Lineer Cebir (Matris * Determinant)

Lineer Cebir
(Matris)
şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn
türünde(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.
Elemanların sıralanışı olarak tanımladığımız matris bir
gösterim, determinant ise bir değerdir. Bunlar matris ve
determinantı birbirinden ayıran en önemli iki özelliktir.
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki
yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı
verilir
elemanları, A matrisinin 3.
sütununu oluşturmaktadır.
Burada aij genel terimi gösterir.
i, satır numarası ve j, sütun
numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n
kadar sütunu vardır.
MATRİSLERİN TOPLAMI
 Aynı boyutlu matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli
terimler toplanır.
MATRİSLERİN FARKI
 Aynı boyutlu matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli
terimler çıkarılır.
MATRİSİN REEL SAYI (Skaler) İLE
ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin
bütün elemanları c ile çarpılır.
İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
 A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun
sayısı,B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.
 m x n türünde A matrisi ile n x p türünde B matrisinin
çarpımı m x p türünde olur.
 Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin
sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.
MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit
ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.
MATRİSİN ÖZELLİKLERİ
1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)
3. k(A+B)=kA+kB (k:skaler)
4. (k1.k2)A=k1(k2)A=k2(k1)A
5. (k1+k2)A=k1A+k2A
6. A(B+C)=AB+AC
7. (A+B)C=AC+BC
8. A(BC)=(AB)C
9. AB≠BA (genellikle)
10. AB=BC ise A=C olması gerekmez.
11. AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.
ÖZEL MATRİSLER
1-Kare Matris
Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris
denir. Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir.
A matrisi (4 x 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir
kare matristir.
2-Sıfır Matris
Tüm elemanları sıfır olan matristir.
A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matristir.
3-Köşegen Matris
Köşegen üzerindeki elemanların dışında tüm elemanları 0
olan matrise köşegen matris denir. aij elemanlarından
bazıları 0 olabilir.
4-Birim Matris
Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır
olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi
ile gösterilir. Aşağıdaki matris 4 x 4 boyutlu birim matristir.
5-Periyodik Matris
A bir kare matris olmak üzere; Ak+1 = A oluyorsa A’ya
periyodik matris denir.
 k=1 için A2 = A ise A İdempotent matristir.
 Ak=0 (kєN) ise A matrisi Nilpotent matristir.
6-Tekil Matris
 A bir kare matris olsun. Eğer detA=0 ise A matrisine
tekil matris denir.
7-Transpoze Matris
 mxn boyutlu bir A matrisinin aynı numaralı satırları ile
sütunları yer değiştirilirse ortaya çıkan nxm boyutlu
matristir.
 A’nın transpozesi AT veya A’ ile gösterilir.
 (AB)T=BTAT
8-Simetrik ve Yarı Simetrik Matris
 A bir kare matris olsun. Eğer A’nın transpozesi A’ya
eşitse A’ya simetrik, A’nın transpozesi A’nın negatifine
eşit ise A’ya yarı simetrik matris denir.
 AT=A
simetrik
 AT=-A
yarı simetrik
9-EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)
Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp
transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde
gösterilir.
ÖZELLİKLERİ
 A.Ek(A)=Ek(A).A
 Ek(A.B)=Ek(A).Ek(B)
10-Ters Matris
 A tekil olmayan bir matris olsun;
A.B=B.A= I bağıntısını sağlayan B matrisine A ’nın tersi denir. B= A-1
ile gösterilir.
Özellikler;
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE
GÖRE TERSİ
a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde
gösteririz. Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.
11-Ortagonal Matris
 A bir kare matris A-1 = AT ise A ’ya ortagonal matris
denir.
Bir Matrisin Rankı
 mxn boyutlu bir A matrisinin tekil olmayan en büyük
boyutlu kare alt matrisinin rxr boyutuna A matrisinin
rankı denir.(r≤m, r≤n)
 RankA=r şeklinde gösterilir.
Denk Matrisler
Boyutları ve rankları aynı olan A ve B gibi iki matrise denk
matrisler denir. A~B ile gösterilir.Aşağıdaki elemanter işlemleri
içeren matrisler denk matrislerdir.
 Anın i’inci satırı ile j’inci satırı yer değiştirebilir. Bu işlem Hij ile
gösterilir.
 A matrisinin i’inci satırı 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılabilir.Bu
işlem Hi(k) ile gösterilir.
 A matrisinin i’inci satırındaki elemanları 0’dan farklı bir k sayısı ile
çarpılıp j’inci satıra eklenebilir. Bu işlem Hji(k) ile gösterilir.
 Bu işlemler matrisin sütunlarına da uygulanabilir. Sütun işlemleri
K ile gösterilir KJİ(k)
Bir Matrisin İzi
 A kare matrisinin köşegen üzerindeki elemanlarının
toplamına matrisin izi denir.
Özellik: