MAT105U-MATEMATİK I Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri Matrisler Sayıların tablo şeklinde gösterimi matris olarak adlandırılır. Matrisler satır ve sütunlardan oluşur. m satır ve n sütundan oluşan matrise mxn tipinde bir matris denir. Her matris bir büyük harf ile adlandırılır. Aşağıda 3x2 boyutunda örnek bir T matrisi verilmiştir. 1 T = −3 4 7 2 5 Her bir matriste satır ve sütun sayılarının çarpımı kadar eleman vardır. Matris elemanları matris adının küçük harfi ile gösterilir ve elemanın bulunduğu satır ve sütun numaraları iliştirilir. Matris elemanlarının bu şekilde temsil edilmesine, elemanın indislerle gösterimi denir. Örneğin, yukarıdaki T matrisinin t12 elemanı 7 değerine sahiptir. Bir A matrisinin elemanları aşağıdaki şekilde gösterilebilir. 𝑎!! 𝑎!" A = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere kare matris adı verilir. Aşağıda 3x3 boyutunda örnek bir kare matris verilmiştir. 2 K= 1 3 3 −2 5 7 4 −3 1 −2 3 4 B= 2 1 5 −1 C=A+B= 3 −1 8 3 İki matrisin farkı da toplama işlemi ile aynı şekilde yapılır. Aynı indise sahip her iki elemanın farkının alınmasıyla hesaplanır. A= 1 −2 3 4 B= 2 1 5 −1 C=A+B= −1 −3 −2 5 Bir matrisi sabit bir sayı ile çarpmak o matristeki her bir elemanı o sayı ile çarpmak anlamına gelir. A= 1 −2 3 4 2.A = 2,1 2. −2 2.3 2 = −4 2.4 3 6 9 30 B= 20 10 5 8 10 40 25 5 A matrisinin 1. satırı ile B matrisinin 1. sütunu çarpılıp toplanırsa C sonuç matrisinin c11 elemanı bulunur. 30 40 4 3 5 A.B = C = 7 6 8 . 20 25 6 9 10 10 5 4.30 + 3.20 + 5.10 ? = ? ? ? ? Aynı işlem a matrisinin tüm satırları için sırayla uygulanır. 30 40 4 3 5 7 6 8 . 20 25 6 9 10 10 5 4.30 + 3.20 + 5.10 ? = 7.30 + 6.20 + 8.10 ? ? ? Çarpım işlemi tüm satırlar için uygulandığında sonuç matrisinin 1. sütunu bulunur. 4.30 + 3.20 + 5.10 = 7.30 + 6.20 + 8.10 6.30 + 9.20 + 10.10 Çarpım işlemi A matrisinin tüm satırları için B matrisinin 2. Sütunu ile tekrarlandığında sonuç matrisi bulunur. 2 Matrisin toplamı, matrislerdeki aynı indislere sahip olan elemanların toplanması ile bulunur. Bu nedenle iki matrisin toplanabilmesi için aynı tipten olmaları gerekmektedir. Sonuç da aynı boyutta bir matristir. A= 4 A= 7 6 4.30 + 3.20 + 5.10 4.40 + 3.25 + 5.5 = 7.30 + 6.20 + 8.10 7.40 + 6.25 + 8.5 6.30 + 9.20 + 10.10 6.40 + 9.25 + 12.5 230 260 C= 410 480 460 515 Bir kare matriste aynı satır ve sütun numarasına sahip elemanlara matrisin köşegen elemanları denir. n. mertebeden bir kare matriste köşegen üzerindeki elemanlar 1, bunun dışındaki elemanlar 0 ise bu matrise birim matris denir ve In ile gösterilir. Bir matris birim matris ile çarpıldığında yine kendisi elde edilir. Aşağıda 2. mertebeden birim matris gösterilmiştir. I2 = 6 8 İki matrisin çarpımında ise durum daha farklıdır. İki matrisin çarpımı; ilk matristeki her satırdaki elemanların ikinci matristeki her sütundaki elemanlarla sırayla çarpılarak toplanması ile elde edilir. Bu yüzden iki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısının eşit olması gerekir. Çarpım yapılan satır ve sütun numarası sonuç elemanının indisini belirler. Sonuç matrisinin satır sayısı birinci matrisin satır sayısına, sütun sayısı ise ikinci matrisin sütun sayısına eşittir. A= A.I2 = 2 4 3 . 5 1 0 2 4 1 0 0 1 3 5 0 2 = 1 4 3 5 Matrislerin çarpım işleminde sıra önemlidir ve sonucu değiştirir. Yani A.B≠B.A. Aşağıda çarpım sırasını değiştirmenin sonucu değiştirdiği iki matris ile gösterilmiştir. −2 3 0 1 −2 3 4 A.B = . 0 1 2 A= 4 1 2 0 1 −2 −2 = 0 2 0 B= 1 MAT105U-MATEMATİK I Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri B.A = 4 2 1 −2 . 0 0 3 −8 = 1 −4 13 6 n. mertebeden bir A kare matrisi, başka bir B kare matrisi ile çarpıldığında birim matris elde ediliyor ise B matrisine A matrisinin ters matrisi denir ve A-1 ile gösterilir. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Determinantlar ax + by = e cx + dy = f denklemlerinden oluşan sisteme, iki bilinmeyenli ve iki denklemden oluşan bir doğrusal denklemi denir. Bu sistem; 𝑥 𝑒 𝑎 𝑏 A= , X= 𝑦 ve B= 𝑓 𝑐 𝑑 olmak üzere, AX=B şeklinde gösterilebilir. Bu gösterime sitemin matrisler ile gösterimi denir. A’ya katsayılar matrisi, X’e bilinmeyenler matrisi ve B’ye de sabitler matrisi denir. Bu denklemi sağlayan (x,y) ikilisine de denklem sisteminin bir çözümü denir. Bu tip bir denklem sistemini çözmek için sırayla x ve y yok edilir. x’i bulmak için birinci denklem d ile, ikinci denklem –b ile çarpılıp, denklemler taraf tarafa toplanır. adx + bdy = ed -bcx – bdy = -bf => x(ad – bc) = ed – bf => x = (ed – bf)/ (ad – bc) Aynı şekilde y’yi bulmak için birinci denklem c ile ikinci denklem –a ile çarpılır. acx + bcy = ec -acx + ady = -af Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak; y(bc – ad) = ec – af => y = (af – ec)/ (ad – bc) olur. İki denklemin de paydasında bulunan ad – bc sayısına A matrisinin determinantı denir. 𝐴 veya det(A) şeklinde gösterilir. Paylardaki ed – bf sayısı, A matrisinin birinci sütununun çıkarılıp, onun yerine B matrisinin konulmasıyla elde edilen matrisin determinantıdır. Benzer şekilde af – ec sayısı ise, A matrisinin ikinci sütununun çıkarılıp, onun yerine B matrisinin konulmasıyla elde edilen matrisin determinantına eşittir. Bu durumda; Ax = 𝑒 𝑓 𝑏 𝑑 x = 𝐴! / 𝐴 , 𝑎 Ay = 𝑐 𝑒 𝑓 y = 𝐴! / 𝐴 Yalnızca kare matrislerin determinantı vardır. Determinantın 0 çıkması durumunda iki ihtimal vardır. Birincisi denklemin çözümünün olmaması ikincisi de denklemin birden fazla çözümünün olmasıdır. Üç bilinmeyenli üç denklem sistemi de iki bilinmeyenli iki denklem sistemi ile benzer bir yöntem ile çözülür. Bilinmeyenler sırayla yok edilerek çözüme ulaşılır. Bu yolla sistemi çözmeye çalıştığımızda da karşımıza 3. mertebeden bir kare matrisin determinantı için bir kural, dolayısıyla yine Cramer yöntemi çıkar. 3. mertebeden bir kare matrisin determinantı için birinci ve ikinci sütunlar matrisin sağ tarafına yardımcı sütunlar olarak yazılır ve aşağıda verilen çarpım ile hesaplanır. 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" A = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝐴 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33 Bu kural Sarus kuralı olarak adlandırılır. Sarus kuralı sadece 3. mertebeden kare matrislerin determinantını hesaplamakta kullanılır. 𝑥 B= 𝑦 𝑧 A matrisinin birinci sütununun çıkarılıp yerine B matrisinin konulmasıyla elde edilen matrise Ax, A matrisinin ikinci sütununun çıkarılıp yerine B matrisinin konulmasıyla elde edilen matrise Ay ve A matrisinin üçüncü sütununun çıkarılıp yerine B matrisinin konulmasıyla elde edilen matrise de Az denirse; x = 𝐴! / 𝐴 , y = 𝐴! / 𝐴 , Bu şekilde matrislerin determinantlarını kullanarak sistemin çözümünü bulmaya Cramer yöntemi denir. olur. Bir A matrisi B matrisi ile çarpıldığında sonuç birim matris çıkıyorsa B matrisine A matrisinin ters matrisi denildiği daha önce söylenmişti, bu ters matrisin hesaplanması için aşağıdaki yol izlenir. 𝑥 𝑧 𝑎 𝑏 1 0 A= B= 𝑦 𝑡 A.B = 0 1 𝑐 𝑑 olacak şekilde x, y, z, ve t bulunmalıdır. ax + by = 1 cx + dy = 0 x = 𝐴! / 𝐴 = d/(ad – bc) ve y = 𝐴! / 𝐴 = - c/ (ad – bc) olur. İkinci denklem sistemi de; az + bt = 0 cz + dt = 1 dersek, olur. z = 𝐴! / 𝐴 z = 𝐴! / 𝐴 = -b/(ad – bc) ve t = 𝐴! / 𝐴 = a/ (ad – bc) olur. Bu yöntem ile 𝐴 ≠ 0 durumu için A matrisinin ters matrisi bulunur. A matrisinin tersi; 2 MAT105U-MATEMATİK I Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri -1 A = ! !! ! !! ! ! ! ! = 1/(ad – bc). 𝑑 −𝑐 −𝑏 𝑎 şeklinde gösterilir. 3