BEKLENEN DEĞER

6. Ders
BEKLENEN DEĞER
Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R  R, ∀B ∈ BR için x : gx ∈ B ∈ BR
özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:
i) X kesikli ve ∑ |gx|fx < ∞ olduğunda,
x
EgX =∑ gxfx
x
∞
ii) X sürekli ve ∫ |gx|fxdx < ∞ olduğunda,
−∞
∞
EgX = ∫ gxfxdx
−∞
değerine gX in beklenen değeri denir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
fx = 1x , x = 1, 2, …
2
ve
x
gx = −1 x+1 2x
olmak üzere, gX in beklenen değerini araştıralım.
∞
x
∑ |gx|fx =∑ −1 x+1 2x
x
x=1
1
2x
∞
=∑ 1x = ∞
x=1
olduğundan, Tanım 4.1.1 deki ∑ |gx|fx < ∞ olma şartı sağlanmamaktadır. Bu
x
sebeple, gerçekte var olan,
∞
∞
x
−1 x+1
∑ gxfx =∑ −1 x+1 2x 21x =∑
x
x
x=1
x=1
sayısına gX in beklenen değeri diyemeyiz. Böyle durumlarda gX in beklenen değeri
yoktur denir. Bundan sonraki kısımlarda EgX değeri sözkonusu olduğunda aksi
belirtilmedikçe gX in beklenen değerinin var olduğunu kabul edeceğiz.
Tanım: X bir rasgele değişken, c ∈ R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
a) E X − c k değerine X in c ye göre k inci momenti,
b) EX k  değerine X in k inci momenti,
c) EX değerine X in beklenen değeri,
d) E X − EX 2 değerine X in varyansı,
e) EXX − 1X − 2⋯X − k + 1 değerine X in k inci çarpımsal momenti denir.
Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri μ X veya sadece μ,
varyansı ise VarX, σ 2X veya sadece σ 2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne
standart sapma denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması σ X veya sadece σ ile
gösterilir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3x −4
,
x>1
0
,
d. y.
fx =
olsun. X in beklenen değeri,
∞
∞
−2
EX =∫ x × 3x −4 dx = 3 x
|= 3
−2 1 2
1
ve varyansı,
∞
VarX =∫
x− 3
2
2
× 3x −4 dx =
−3x −1 + 9 x −2 − 9 x −3
2
4
1
∞
|= 3
4
x=1
olarak bulunur.
∞
α ≥ 3 için ∫ x α 3x −4 dx integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den
1
büyük olan momentleri yoktur.
Teorem: g i : R  R, i = 1, 2, … , n, ∀B ∈ BR için x : g i x ∈ B ∈ BR olmak
n
üzere, Eg i X, i = 1, 2, … , n beklenen değerleri varsa, ∑ g i X in beklenen değeri
i=1
vardır ve
n
a) E ∑ g i X
i=1
n
=∑ Eg i X
i=1
b) a, b ∈ R olmak üzere,
EaX + b = aEX + b,
VaraX + b = a 2 VarX
c) m k = EX k , μ k = EX − μ k , k = 1, 2, … olmak üzere,
k
μ k =∑ −1 i k m k−i μ k
i
i=0
k
k μ k−i μ k
i
m k =∑
i=0
ve özel olarak,
VarX = μ 2 = m 2 − μ 2 = EX 2  − EX 2
dır.
Đspat:(Ödev)
Teorem: 0 < h < t olmak üzere |X| t nin beklenen değeri varsa |X| h nin de beklenen
değeri vardır.
Đspat: Đspatı X in sürekli olması hali için verelim.
∞
∫
|x| h fxdx =
−∞
∫
|x| h ≤1
≤
∫
|x| h fxdx +
∫
|x| h >1
fxdx +
|x| h ≤1
|x| h fxdx
∫
|x| t fxdx
|x| h >1
≤ P|X| h ≤ 1 + E|X| t < ∞
X in kesikli olması durumunda ispat yukarıdakine benzer yolda yapılabilir.
Teorem: Negatif değerler almayan bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F
olsun. Eğer X in beklenen değeri varsa
∞
EX =∫ 1 − Fxdx
0
dir. Eşitliğin sağ tarafındaki integralin yakınsak olması halinde X in beklenen değeri
vardır.
Đspat: Đlk önce X in sürekli rasgele değişken olması durumunu ele alalım. X negatif
değerler almayan, dağılım fonksiyonu F, olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve beklenen
değeri var E|X| = EX < ∞ olan bir rasgele değişken olsun. O zaman,
∞
n
EX =∫ xfxdx = lim ∫ xfxdx
n∞
0
0
ve
∞
lim ∫ xfxdx = 0
n∞
n
dır. Kısmi integrasyon sonucu
n
n
n
0
0
0
∫ xfxdx = nFn −∫ Fxdx = −n1 − Fn +∫ 1 − Fxdx
elde edilir. Diğer taraftan,
0 ≤ n1 − Fn = n
∞
∞
n
n
∫ fxdx <∫ xfxdx
olması sebebiyle,
lim n1 − Fn = 0
n∞
dır. Böylece,
n
n
EX = lim ∫ xfxdx = lim ∫ 1 − Fxdx
n∞
n∞
0
∞
0
=∫ 1 − Fxdx
0
elde edilir. Teoremin geri kalan kısmını ispatlamak için,
∞
∫ 1 − Fxdx < ∞
0
olduğunu varsayalım. O zaman,
n
n
∞
0
0
0
∫ xfxdx ≤∫ 1 − Fxdx ≤∫ 1 − Fxdx < ∞
ve böylece,
n
n
E|X| = lim ∫ |x|fxdx = lim ∫ xfxdx < ∞
n∞
n∞
0
0
dır.
Şimdi X rasgele değişkenin kesikli olması durumunu ele alalım. X rasgele değişkenin
olasılık fonksiyonu f olmak üzere
∞
EX =∑ x j fx j  < ∞
j=1
olsun. Her n pozitif tamsayısı için,
∞
k/n
∞
∫ 1 − Fxdx =∑ ∫
PX > xdx
k=1 k−1/n
0
ve PX > x, x e göre artmayan olduğundan,
∞
∞
∞
0
k=1
≤∫ 1 − Fxdx ≤ 1n ∑ P X > k −n 1
1 ∑P X> k
n
n
k=1
yazılabilir.
∞
1 ∑P X> k
n
n
k=1
∞ ∞
j
j+1
= 1n ∑∑ P n < X ≤
k
k=1 j=k
∞
= 1n ∑ k − 1P k −n 1 < X ≤ nk
k=2
∞
= ∑ nk P k −n 1 < X ≤ nk
k=2
∞
−∑ 1n P k −n 1 < X ≤ nk
k=2
∞
= ∑ nk
k=2
∑
∞
= ∑ nk
k=1
k=1
k
n
∑
<x j ≤ nk
k−1
n
∞
≥ ∑ nk
<x j ≤
k−1
n
∑
k−1
n
<x j ≤
k
n
fx j  − 1n P X > 1n
fx j  − 1n
∑ fx j  + P X > 1n
1
0<x j ≤ n
x j fx j  − 1n
= EX − 1n
ve benzer yoldan,
∞
1 ∑ P X > k−1
n
n
≤ EX + 1n
k=1
olduğu gösterilebilir. Buradan
∞
EX − 1n ≤∫ 1 − Fxdx ≤ EX + 1n
0
∞
yazılabilir. n  ∞ için limit alındığında EX = ∫ 1 − Fxdx elde edilir.■
0
Teorem: Bir X rasgele değişkenin beklenen değerinin var olması için gerek ve yeter
0
∞
−∞
0
şart ∫ PX ≤ xdx ve ∫ PX > xdx integrallerinin her ikisinin de yakınsak olmasıdır. Bu
durumda
∞
0
0
−∞
EX =∫ PX > xdx − ∫ PX ≤ xdx
dır.
Đspat: (Ödev)
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −x−3
,
x > −3
0
,
d. y.
fx =
olsun. X in beklenen değeri vardır ve,
∞
EX = ∫ xe −x−3 dx
−3
= −xe
∞
−x−3
∣ +
−3
= − lim
x∞
x
e x+3
∞
∫
e −x−3 dx
−3
∞
−x−3
−3+ e
∣= −2
−1 −3
dır. Şimdi X in beklenen değerini Teorem 4.1.4 deki yoldan hesaplayalım.
0
,
x < −3
1 − e −x−3
,
x ≥ −3
Fx = PX ≤ x =
olmak üzere,
∞
0
0
−∞
EX =∫ PX > xdx − ∫ PX ≤ xdx
∞
0
0
−∞
=∫ 1 − Fxdx − ∫ Fxdx
∞
=∫ e
−x−3
0
−3
0
−∞
−3
dx − ∫ 0dx − ∫ 1 − e −x−3 dx = −2
elde edilir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
fx = 1/6,
x = −2, −1, 0, 1, 2, 3
olsun.
3
EX = ∑ xfx = 1/2
x=−2
olmak üzere, bu değeri Teoremdeki yoldan hesaplayalım.
Fx =
olmak üzere,
0
,
x < −2
1/6
,
−2 ≤ x < −1
2/6
,
−1 ≤ x < 0
3/6
,
0≤x<1
4/6
,
1≤x<2
5/6
,
2≤x<3
1
,
x≥3
∞
0
0
−∞
EX =∫ 1 − Fxdx − ∫ Fxdx
1
2
3
0
1
2
=∫ 1 − 3/6dx +∫ 1 − 4/6dx +∫ 1 − 5/6dx +
∞
−2
−1
0
3
−∞
−2
−1
+∫ 0dx − ∫ 0dx − ∫ 1/6dx − ∫ 2/6dx = 1
2
elde edilir.
Örnek : X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx =
x2
1 e− 2 ,
2π
−∞ < x < ∞
olsun. n = 1, 2, … için EX n  değerlerini hesaplayalım.
∞
EX  =
n
∫
x
n
−∞
x2
1 e − 2 dx
2π
0
=
=
1
2π
1
2π
∫
∞
x2
x2
−
n
x e 2 dx +∫ x e 2 dx
−
n
−∞
0
∞
∞
x2
x2
−
n
−x e 2 dx +∫ x e 2 dx
∫
n −
0
=
0
∞
x2
2 ∫ x n e − 2 dx
2π 0
0
=
n = 2k, k = 1, 2, …
,
n = 2k − 1, k = 1, 2, …
n−1
2 e −y dy
,
n = 2k, k = 1, 2, …
0
,
n = 2k − 1 , k = 1, 2, …
∞
=
,
2 ∫ y
2π 0
n
22 Γ n+1
2
π
0
,
n = 2k, k = 1, 2, …
,
n = 2k − 1, k = 1, 2, …
dır. n = 1, 3, 5, … için,
EX n  = 0
n = 2 için,
EX 2  =
n = 4 için,
2 Γ 3
2
π
=
2
π
3 −1 Γ 3 −1
2
2
=
1 Γ 1
2
π
=1
2
EX 4  = 2 Γ 5
2
π
2
= 2 3 1Γ 1
2
π 2 2
=3
elde edilir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx =
x
1 e− θ
θ
,
x > 0 θ > 0
0
,
d. y.
olsun. n = 1, 2, … için
∞
∞
EX  = ∫
x
x 1 e − θ dx = θ n
θ
n
n
0
∫ y n e −y dy
0
= θ Γn + 1
n
dır. n = 1 için,
EX = θ
n = 2 için,
EX 2  = θ 2 Γ3 = 2θ 2
ve
VarX = EX 2  − EX 2 = 2θ 2 − θ 2 = θ 2
elde edilir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
−λ x
fx = e λ ,
x!
olsun. X in beklenen değeri,
x = 0, 1, 2, … , λ > 0
∞
∞
x=0
x=1
−λ x
−λ x
EX = ∑ x e λ =∑ xe λ
x!
x!
∞
= λe −λ ∑
x=1
∞
λ x−1 = λe −λ ∑ λ x
x!
x − 1!
x=0
1
2
n
= λe −λ 1 + λ + λ + ⋯ + λ + ⋯
1!
2!
n!
=λ
dır.
X 2 = XX − 1 + X ifadesinden faydalanarak,
EX 2  = EXX − 1 + EX
∞
=∑
x=0
∞
=∑
x=2
∞
=∑
x=2
xx − 1e −λ λ x
+λ
x!
xx − 1e −λ λ x
+λ
x!
e −λ λ x + λ
x − 2!
∞
=e λ ∑
−λ 2
x=2
λ x−2 + λ
x − 2!
∞
x
= λ 2 e −λ ∑ λ + λ
x!
x=0
= λ2 + λ
elde edilir. Buradan,
VarX = EX 2  − EX 2 = λ
bulunur.
Örnek: Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği
parçaların sayısı X olsun. X in olasılık fonksiyonu,
4 x 1 5−x , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
5
5
dır. Đşlenmemiş parçanın alış değeri a, işleme masrafı b, kusurlu işlenmiş parçanın
hurda değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük
kazancın beklenen değeri nedir?
K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere,
fx =
5
x
K = −5a + b + 5 − xc + Xd
olarak ifade edilebilir. EX = 4 olduğu göz önüne alınırsa
EK = −5a + b + 5 − EX × c + EX × d
= −5a + b + c + 4d
= 4d + c − 5a + b
elde edilir.
KARAKTERĐSTĐK FONKSĐYONLAR
Tanım: X bir rasgele değişken olmak üzere,
Φ X t = Ee itX  = EcostX + iEsintX , t ∈ R
fonksiyonuna X in karakteristik fonksiyonu denir.
|e itx | = 1 olduğundan Ee itX  beklenen değeri her X için mevcuttur, yani her rasgele
değişkenin karakteristik fonksiyonu vardır.
Örnek: X rasgele değişkeni c c ∈ R noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip
olduğunda,
Φ X t = Ee itX  = ∑ e itx fx = e itc , t ∈ R
x
dır. c = 0 için Φ X t = 1 dir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
fx = 1 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
6
olmak üzere,
Φ X t = Ee itX = ∑ e itx fx, t ∈ R
x
= 1 e it + 1 e 2it + 1 e 3it + 1 e 4it + 1 e 5it + 1 e 6it
6
6
6
6
6
6
dir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x
1 e− θ , x > 0
θ
fx =
0
, d. y.
olmak üzere,
∞
Φ X t = Ee  =
itX
∫ e itx 1θ e −x/θ dx
0
−1
= 1 − iθt , t ∈ ℝ
dır.
Teorem: X rasgele değişkenin karakteristik fonksiyonu Φ X olmak üzere,
a) Φ X 0 = 1
b) |Φ X t| ≤ 1, t ∈ R
c) Φ X düzgün sürekli,
d) Φ aX+b t = e itb Φ X ta, t ∈ R, (a ve b sabit)
dır.
Đspat:
a) Φ X t = Ee itX  olmak üzere Φ X 0 = E1 = 1dir.
b) |Φ X t| = |Ee itX | ≤ E|e itX | = E1 = 1
c)
|Φ X t + h − Φ X t| = |Ee it+hX − e itX |
= |Ee itX e ihX − 1|
≤ E|e itX e ihX − 1| = E|e ihX − 1|
X in sürekli rasgele değişken olduğunu varsayalım. O zaman
∞
|Φ X t + h − Φ X t| ≤
∫ |e ihx − 1|fxdx
−∞
dır. ε > 0 için, yeterince büyük M > 0 sayısı
∫
fxdx < ε
4
|x|≥M
olacak şekilde alınırsa,
M
|Φ X t + h − Φ X t| ≤
∫ |e ihx − 1|fxdx + 2 ∫
−M
olur (h sadece ε’a bağlıdır). Φ X düzgün süreklidir.
x≥|M|
fxdx < ε
X in kesikli olması durumunda integral yerine toplam işareti gelecektir.
d)
Φ aX+b t = Ee itaX+b  = Ee itb e itaX  = e itb Ee itaX 
= e itb Φ X ta
Teorem: Bir rasgele değişkenin n. momenti varsa, k ≤ n için
d k Φ X t| t=0 = i k EX k 
dt k
dır.
Đspat: k = 1, 2, … . n için
∑|x k |fx < ∞
x
|EXe
kitX
| ≤ E|X |=
k
∞
∫ |x k |fxdx < ∞
−∞
dır.
dΦ X t
= d Ee itX  = E d e itX  = iEXe itX 
dt
dt
dt
⋮
k
d Φ X t
= i k EX k e itX , k ≤ n
dt k
olmak üzere
d k Φ X t
| t=0 = i k EX k , k ≤ n
dt k
dır.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
−λ x
fx = e λ , x = 0, 1, 2, …
x!
olmak üzere
Φ X t = Ee itX 
∞
itx −λ x
=∑ e e λ
x!
x=0
∞
= e −λ ∑
x=0
= e −λ e λe
= e λe
λe it  x
x!
it
it −1
dır. Buradan,
it
iEX = d Φ X t| t=0 = iλe it e λe −1 | t=0 = iλ
dt
2
it
it
i 2 EX 2  = d 2 Φ X t| t=0 = i 2 λe it e λe −1 + iλe it  2 e λe −1 | t=0
dt
= i 2 λ + λ 2 
Teorem: Bir X rasgele değişkenin olasılık (yoğunluk) fonksiyonu f, dağılım fonksiyonu
F ve karakteristik fonksiyonu Φ olmak üzere:
i) x 1, x 2 ∈ ℝ, x 1 < x 2  noktalarında F sürekli ise
T
Fx 2  − Fx 1  = lim 1
T∞ 2π
1 − e −itx 1 − e −itx 2 Φtdt
it
∫
−T
ii) X sürekli bir rasgele değişken ise,
T
fx =lim lim 1
h0T∞ 2π
∫
−T
1 − e −ith e itx Φtdt
ith
∞
ve
∫ |θt|dt < ∞ ise,
−∞
fx = 1
2π
∞
∫ −∞ e −itx Φtdt
iii) X kesikli rasgele değişken ise,
T
fx = lim 1
T∞ 2T
∫ e −itx Φtdt
−T
dır.
Bu teoremin ispatı burada yapılmayacaktır. Teoremin sonucu olarak dağılım
fonksiyonların kümesi ile karakteristik fonksiyonların kümesi arasında bire-bir eşleme
yapılabileceği söylenebilir. Şimdi karakteristik fonksiyonların kümesini belirleyen
Bochner-Khincin teoremini ispatsız olarak verelim.
Teorem: (Bochner-KhinchinTeoremi)
ℂ kompleks sayıların kümesi olmak üzere bir Φ : R  ℂ fonksiyonu sürekli ve
Φ0 = 1 olsun. Φ nin karakteristik fonksiyon olması için gerek ve yeter şart her
t 1 , t 2 , … , t n ∈ R ve her c 1 , c 2 , … , c n ∈ ℂ, n ∈ ℕ için
n
n
∑ ∑ Φt j − t k c j c k ≥ 0
k=1 j=1
olmasıdır.(Burada c , c nin eşleniği olan kompleks sayıdır, yani c = a + bi ise c = a − ib
dır.)
Örnek: Φt = e ict , c ∈ R karakteristik fonksiyonuna karşılık gelen dağılım nedir?
x 1 < x 2 için
T
∫
Fx 2  − Fx 1  = lim 1
T∞ 2π
−T
T
∫
= lim 1
T∞ 2π
−T
T
∫
= lim 1
T∞ 2π
−T
T
1
= lim π
T∞
∫
e itx 1 − e itx 2 e ict dt
it
e itc−x 1  − e itc−x 2  dt
it
sin tc − x 1  − sin tc − x 2 
dt
t
sin tc − x 1  − sin tc − x 2 
dt
t
0
olmak üzere,
T
1
lim π
T∞
olduğu göz önüne alınırsa,
x 1 , x 2 < c için
∫
0
sin at dt =
t
1
2
−1
2
, a>0
, a<0
Fx 2  − Fx 1  = 1 − 1 = 0
2
2
x 1 , x 2 > c için
Fx 2  − Fx 1  = − 1 − − 1  = 0
2
2
x 1 < c < x 2 için
Fx 2  − Fx 1  = 1 − − 1  = 1
2
2
dir. Dağılım fonksiyonunun özelliklerinden,
0 , x2 < c
Fx 2  = lim Fx 2  − Fx 1  =
1 , x2 ≥ c
x 1 −∞
bulunur. Bu dağılım fonksiyonu c noktasında yoğunlaşmış dağılıma aittir.
Şimdi aynı problemde, karakteristik fonksiyonun bir kesikli dağılıma karşılık geldiğini
bildiğimizi varsayalım. Buna göre,
T
fx = lim 1
T∞ 2T
∫ e −itx e itc dt
−T
T
= lim 1
T∞ 2T
∫ e itc−x dt
−T
1
=
x=c
,
x≠c
T
lim
T∞
1 e itc−x |
2T ic − x −T
1
=
lim
T∞
=
,
sin Tx − c
Tx − c
,
x=c
,
x≠c
1 , x=c
0 , x≠c
bulunur.
Örnek 4.2.6 Φt = e −t /2 , karakteristik fonksiyonu sürekli bir dağılıma karşılık
gelmektedir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu Teorem 4.2.3 yardımıyla
bulmaya çalışalım.
2
∞
∞
∫ |Φt|dt = ∫ e −t /2 dt =
2
−∞
2π < ∞
−∞
olmak üzere
∞
fx = 1
2π
∫ e −itx Φtdt
−∞
∞
= 1
2π
∫e
−
1 t 2 +2itx
2
dt
−∞
1 x2
−
= 1 e 2
2π
∞
∫
1 t+ix 2
−
e 2
dt
−∞
∞
1 2
= 1 e− 2 x
2π
∫e
−
1 u2
2 du
−∞
=
1 e − 12 x 2 , x ∈ ℝ
2π
dır.
Karakteristik fonksiyon esasında bir Fourier dönüşümüdür. Matematik analizde ters
Fourier dönüşümleri geniş bir şekilde ele alınmaktadır. Fourier dönüşümleri ile ilgili hazır
formüller içeren tablolar hazırlanmıştır. Burada bunlara değinmeyeceğiz.
ÜRETĐCĐ FONKSĐYONLAR
Bu kısımda momentlerin hesaplanmasında kolaylık sağlayan bazı fonksiyonlar ele
alınacaktır.
Tanım: X bir rasgele değişken olmak üzere (var olması halinde),
M X t = Ee tX , − h < t < h, h > 0
fonksiyonuna X ’in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu denir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx =
olsun. ∀ t > 0 için,
x −2 , x ≥ 1
0
, d. y.
e tx > tx ,
x2
x2
x ≥ 1
∞
ve ∫ x −1 dx integrali ıraksak olduğundan,
1
∞
Ee  =
tX
∫
e tx dx
x2
1
integrali ıraksaktır, yani t > 0 için Ee  beklenen değeri mevcut değildir. X in moment
üreten fonksiyonu yoktur.
tX
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −x , x > 0
fx =
0
, d. y.
olsun.
∞
∫e
∞
∫ e t−1x dx
tx −x
e dx =
0
0
integrali t < 1 için yakınsak olduğundan, M X t vardır ve
∞
M X t =
∫ e tx e −x dx
0
t−1x
= e
t−1
∞
|
x=0
= 1 − t −1 , − 1 < t < 1
dır.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
−λ x
fx = e λ , x = 0, 1, 2, … λ > 0
x!
olsun. ∀ t ∈ R için
∞
tx −λ x
∑ e ex! λ
x=0
serisi yakınsak olduğundan
∞
tx −λ x
M X t = ∑ e e λ
x!
x=0
= e λe −1 , t ∈ ℝ
t
dır.
Eğer bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,
M X it = Φ X t
dır. Dolayısıyla moment üreten fonksiyonlar da olasılık dağılımlarını tek biçimde
belirlemektedir.
Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,
∞
tx
t
M X t = e e −1 = e −1 ∑ e
x!
x=0
ise X in olasılık fonksiyonu
−1
fx = e , x = 0, 1, 2, …
x!
dır.
Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,
d n M X t| t=0 = EX n , n = 1, 2…
dt n
dır.
Örnek: M X t = e λe −1 , t ∈ R olmak üzere
dM X t
EX =
| t=0 = λe t e λt−1 | t=0 = λ
dt
t
EX 2  =
d 2 M X t
| t=0
dt 2
= λe t e λe −1 + λe t  2 e λe −1 | t=0
t
t
= λ + λ2
elde edilir.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 x α−1 e −x , x > 0, α > 0
Γα
fx =
0
, d. y.
olsun.
∞
M X t =
∫
0
1 x α−1 e −i−tx dx = 1 − t −α , t < 1
Γα
olmak üzere
n
EX n  = d n 1 − t −α | t=0 = αα + 1⋯α + n − 1
dt
dır.
Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu var olsun.
n
K n = d n ln M X t| t=0 , n = 1, 2, …
dt
sayılarına X in n. dereceden kümülantı denir.
Örneğin,
K1 =
M ′X 0
= EX
M X 0
K2 =
M ′′X 0M X 0 − M ′X 0 2
= EX 2  − EX 2 = VarX
M X 0 2
K 3 = EX 3  − 3EX 2 EX + 2EX 3
K 4 = EX 4  − 4EX 3 EX − 3EX 2  2 + 12EX 2 EX 2 − 6EX 4
dır.
Örnek: M X t = e λe −1 , t ∈ R olsun. Kümülantlar,
n
t
K n = d n ln e λe −1 | t=0
dt
t
= λe t | t=0
= λ , n = 1, 2, …
dır.
Tanım: t ∈ R : Et X  < ∞ kümesinde tanımlı
N X t = Et X 
fonksiyonuna X in çarpımsal moment üreten fonksiyonu denir. Eğer k = 1, 2, … n için,
d n Et X  = E d n t X 
dt n
dt n
oluyorsa,
d n N X t| t=1 = EXX − 1⋯X − n + 1, n = 1, 2, …
dt n
dır.
Örnek: M X t = e λe −1 , t ∈ R moment üreten fonksiyona sahip rasgele değişken için,
t
∞
−λ x
N X t = ∑ t x e λ
x!
x=0
∞
= e −λ ∑
x=0
tλ x
x!
= e λt−1 , t ∈ ℝ
olmak üzere,
EX = d N X t| t=0 = λe λt−1 | t=1 = λ
dt
EXX − 1 = λ 2 e λt−1 | t=1 = λ 2
ve
EXX − 1⋯X − n + 1 = λ n e λt−1 | t=1 = λ n
dır.
Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −x , x > 0
fx =
0
, d. y.
olsun.
∞
N X t =
∫ t x e −x dx
0
∞
=
∫
e
t
−x
dx
0
∞
=
∫ e ln t−1x dx,
ln t < 1
0
= 1 − ln t −1 , 0 < t < e
olmak üzere
EX = −11 − ln t −2 t −1 | t=1 = −1
EXX − 1 = 21 − ln t −3 t −2  + 1 − ln t −2 t −2 | t=1 = 3
dır.
X rasgele değişkeni kesikli ve aldığı değerler x = 0, 1, 2, … olduğunda
∞
N X t = ∑ fxt x , |t|≤ 1
x=0
fonksiyonuna aynı zamanda olasılık üreten fonksiyon da denir.
ÇOK DEĞĐŞKENLĐ DAĞILIMLARDA BEKLENEN DEĞER
Tanım: X 1 , X 2 , … , X n  bir rasgele vektör ve
g : R n  R , ∀B ∈ BR
fonksiyonu,
x 1 , x 2 , … , x n  : gx 1 , x 2 , … , x n  ∈ B ∈ BR n 
özelleğine sahip bir fonksiyon olmak üzere,
i) X 1 , X 2 , . . , X n  kesikli,
∑
|gx 1 , … , , x n |fx 1 , … , , x n  < ∞ olduğunda,
x 1 ,x 2 ,…,x n 
∑
EgX 1 , X 2 , … , X n  =
gx 1 , x 2 , … , x n fx 1 , x 2 , … x n 
x 1 ,x 2 ,…,x n 
ii) X 1 , X 2 , … , X n  sürekli,
∞
∞
−∞
−∞
∫ ⋯ ∫ |gx 1 , … , , x n |fx 1 , . … , x n dx 1 ⋯dx n < ∞ olduğunda,
EgX 1 , X 2 , … , X n  =
∞
∞
−∞
−∞
∫ . . . ∫ gx 1 , … , x n fx 1 , … , x n dx 1 ⋯dx n
değerine gX 1 , X 2 , … , X n  nin beklenen değeri denir.
Tanım: X 1 , X 2 , … X n  bir rasgele vektör olmak üzere:
a) Var
olması
halinde
EX k 1 X k 2 ⋯X k n 
değerine
X1, X2, … , Xn
k 1 , k 2 , … , k n  −ortak momenti denir. Buradaki k 1 , k 2 , … , k n ler negatif olmayan tam
sayılardır.
b) Var olması halinde EX 1 − EX 1  k 1 X 2 − EX 2  k 2 ⋯X n − EX n  k n  değerine
X 1 , X 2 , … , X n nin k 1 , k 2 , … , k n  −merkezi ortak momenti denir.
c) Var olması halinde,
M X 1 ,X 2 ,…,X n t 1 , t 2, … , t n  = Ee t 1 X 1 +t 2 X 2 +⋯+t n X n   , t i ∈ −h i , h i 
i = 1, 2, … , n
fonksiyonuna X 1 , X 2 , … , X n nin ortak dağlılımının (veya X 1 , X 2 , … , X n  rasgele
vektörünün) moment üreten fonksiyonu denir.
d)
nin
Φ X 1 ,X 2 ,…,X n t 1 , t 2 , … , t n  = Ee it 1 X 1 +t 2 X 2 +⋯+t n X n  , t i ∈ R, i = 1, 2, … , n
fonksiyonuna X 1 , X 2 , … , X n nin ortak dağılımının (veya X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün)
karakteristik fonksiyonu denir.
Şimdi moment üreten ve karakteristik fonksiyonların bazı özelliklerini verelim
a)
Φ X 1 ,X 2 ,…,X n 0, 0, … , 0 = M X 1 ,X 2 ,…,X n 0, 0, … , 0 = 1
b)
Φ a 1 X 1 +b 1 +⋯+a n X n +b n t 1 , … , t n  = e it 1 b 1 +⋯+it n b n Φ X 1 ,…,X n a 1 t 1 , … , a n t n 
M a 1 X 1 +b 1 +⋯+a n X n +b n t 1 , … , t n  = e t 1 b 1 +⋯+t n b n M X 1 ,…,X n a 1 t 1 , … , a n t n 
c) X 1 , X 2 … X n nin k 1 , k 2 , … k n  −ortak momentinin var olması halinde
∑ j=1 k j
∂ k 1 +k 2 +⋯+k n Φ
EX k11 X k22 ⋯X knn 
X 1 ,…,X n t 1,…, t n | t 1 =⋯=t n =0 = i
k1 k2
kn
∂t 1 ∂t 2 ⋯∂t n
n
∂ k 1 +k 2 +⋯+k n M X ,…,X t 1,…, t n | t =⋯=t =0 = EX k 1 X k 2 ⋯X k n 
n
n
n
1
2
1
1
∂t k11 ∂t k22 ⋯∂t knn
d)
Φ X 1 ,X 2 ,…X n t 1 , t 2 , … , t k , 0, 0, … , 0 = Φ X 1 ,X 2 ,…,X k t 1 , t 2 , … , t k 
M X 1 ,X 2 ,…X n t 1 , t 2 , … , t k , 0, 0, … , 0 = M X 1 ,X 2 ,…,X k t 1 , t 2 , … , t k 
Örnek: X 1 , X 2 , X 3  vektörünün olasılık yoğunluk onksiyonu,
e −x 1 −x 2 −x 3
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d. y.
fx 1 , x 2 , x 3  =
olsun. X 1 , X 2 , X 3  ün moment üreten fonksiyonu,
M X 1 ,X 2 ,X 3 t 1 , t 2 , t 3  = Ee t 1 X 1 +t 2 X 2 +t 3 X 3 
∞∞∞
=
∫ ∫ ∫ e t X +t X +t X e −x −x −x dx 1 dx 2 dx 3
1 1
2 2
3 3
1
2
3
0 0 0
=
1
, t 1 < 1, t 2 < 1, t 3 < 1
1 − t 1 1 − t 2 1 − t 3 
dır. Buradan, örneğin,
EX 21 X 2 X 3  =
∂4
∂t 21 ∂t 2 ∂t 3
1 − t 1  −1 1 − t 2  −1 1 − t 3  −1 | t 1 =t 2 =t 3 =0
= 21 − t 1  −3 1 − t 2  −2 1 − t 3  −2 | t 1 =t 2 =t 3 =0
=2
ve X 1 , X 2  nin moment üreten fonksiyonu,
M X 1 ,X 2 t 1 , t 2  = M X 1 ,X 2 ,X 3 t 1 , t 2 , 0
= 1 − t 1  −1 1 − t 2  −1
elde edilir.
EX 1  = ∂ M X 1 ,X 2 ,X 3 t 1 , t 2 , t 3 | t 1 =t 2 =t 3 =0
∂t 1
= 1 − t 1  −2 1 − t 2  −1 1 − t 3  −1 | t 1 =t 2 =t 3 =0
=1
olmak üzere, bu beklenen değer X 1 in
M X 1 t 1  = M X 1 ,X 2 ,X 3 t 1 , 0, 0 = 1 − t 1  −1 , t 1 < 1
moment üreten fonksiyonu yardımıyla da elde edilebilir. Gerçekten,
EX 1  = d M X 1 t 1 | t 1 =0 = 1 − t 1  −2 | t 1 =0 = 1
dt 1
dır.
Aşağıdaki teoremlerde geçecek olan beklenen değerlerin var olduğunu varsayacağız.
Teorem: X 1 , X 2 , . . , X n  bir rasgele vektör ve c 1 , c 2 , … , c k ler sabit sayılar olmak üzere,
k
E ∑ c i g i X 1 , X 2 , … , X n 
i=1
k
= ∑ c i Eg i X 1 , X 2 , … , X n 
i=1
dır.
Đspat: (Ödev)
Bu teoremin bir sonucu olarak
k
E ∑ ciXi
i=1
k
= ∑ c i EX i 
i=1
yazılır.
Teorem: X 1 , X 2 , … , X n bağımsız rasgele değişkenler ve u i : R  R, i = 1, 2, … , n,
fonksiyonları ∀B ∈ B için x : u i x ∈ B ∈ B özelleğine sahip olmak üzere,
n
E ∏ u i X i 
i=1
dır.
n
= ∏ Eu i X i 
i=1
Đspat: (Ödev)
Bu teoremin bir sonucu olarak: Eğer X 1 , X 2 , … , X n bağımsız rasgele değişkenler ise
X 1 , X 2 , … , X n nin ortak dağılımının karakteristik ve moment üreten fonksiyonları için,
Φ X 1 ,X 2 ,…,X n t 1 , t 2 , … , t n  = Φ X 1 t 1 Φ X 2 t 2 ⋯Φ X n t n 
M X 1 ,X 2 ,…,X n t 1 , t 2 , … , t n  = M X 1 t 1 M X 2 t 2 ⋯M X n t n 
olduğu söylenebilir. Ayrıca, u : R k  R ve v : R n−k  R olmak üzere, X 1 , X 2 , … , X k nin
bir fonksiyonu olan uX 1 , X 2 , … , X k  rasgele değişkeni ile X k+1 , X k+2 , … , X n nin bir
fonksiyonu olan vX k+1 , X k+2 , … , X n  rasgele değişkeni bağımsız olduğundan,
EuX 1 , … , X k vX k+1 , … , X n  = EuX 1 , … , X k EvX k+1 , … , X n 
dır.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X n bağımsız rasgele değişkenler ve herbirinin olasılık dağılımının
yoğunluk fonksiyonu
e −x
,
x>0
0
,
d. y.
fx =
olsun. Y = X 1 + X 2 + ⋯ + X n rasgele değişkeninin olasılık dağılımını bulunuz.
Đlk önce Y nin moment üreten fonksiyonunu bulalım.
M Y t = Ee tY 
= Ee tX 1 +tX 2 +⋯+tX n 
n
= E ∏ e tX i
n
= ∏ Ee tX i 
i=1
i=1
n
= ∏ M X i t = 1 − t −n
i=1
dır.
Bu moment üreten fonksiyona sahip Y rasgele değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu
fy =
dır (Örnek 4.3.5).
1 y n−1 e −y
Γn
,
y>0
0
,
d. y.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X k bağımsız rasgele değişkenler ve i = 1, 2, … , k için,
f i x i  = nx ii p x i 1 − p n i −x i , x i = 0, 1, … , n i
olsun 0 < p < 1. Y = X 1 + X 2 + ⋯ + X n rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulunuz.
M X i = 1 − p + pe t  n i
olmak üzere,
k
k
M Y t = Ee tY  = E ∏ e tX i
= ∏ Ee tX i 
i=1
k
k
i=1
i=1
i=1
= ∏ M X i t = ∏1 − p + pe t  n i
k
∑ ni
= 1 − p + pe t  i=1
olarak elde edilir. Bu moment üreten fonksiyona karşılık gelen olasılık fonksiyonu,
k
k
∑ ni
fy =
∑ n i −y
p y 1 − p i=1
i=1
y
k
, y = 0, 1, 2, … , ∑ n i
i=1
dır.
Örnek: X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve i = 1, 2, … , n için,
e −λ i λ xi i
,
xi!
fx i  =
x i = 0, 1, 2, … .
olsun. Y = X 1 + X 2 + ⋯ + X n rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulunuz.
n
n
n
i=1
i=1
∑ λ i e t −1
M Y t = ∏ M x i t = ∏ e λ i e −1 = e i=1
t
olmak üzere (Örnek 4.3.3) Y nin olasılık fonksiyonu,
n
∑ λi
−
e
fy =
i=1
n
∑ λi
i=1
y!
y
,
y = 0, 1, 2, …
dır.
Tanım: X 1 , X 2 , … , X n  n −boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere:
a) CovX i , X j  = EX i − EX i X j − EX j  i, j = 1, 2, … , n değerine X i ile X j nin
kovaryansı,
b) ρ X i ,X j =
CovX i , X j 
,
VarX i VarX j 
i, j = 1, 2, … , n değerine X i ile X j arasındaki
korelasyon katsayısı,
c) CovX i , X j  n×n matrisine X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün var-yans-kovaryans
matrisi
d) ρ X i ,X j  n×n matrisine X 1 , X 2 , … , X n  rasgele vektörünün korelas-yon matrisi denir.
Teorem: Herhangi X, Y rasgele vektörünü için:
a) CovX, Y = EXY − EXEY
b) X ve Y bağımsız CovX, Y = 0, ρ X,Y = 0
c) |ρ X,Y |≤ 1,
d) |ρ X,Y |= 1  X ve Y arasında lineer ilşki var
dır.
Đspat:
a)
CovX, Y = EX − EXY − EY
= EXY − XEY − YEX + EXEY
= EXY − EXEY
b)
X ve Y bağımsız ⇒ EX − EXY − EY = EX − EXEY − EY = 0
⇒ CovX, Y = 0
Buradaki gerektirmenin tersi doğru değildir. Bunu bir örnekle açıklayalım
X, Y nin olasılık fonksiyonu,
f X,Y = 1/3, x, y = −1, 1, 0, 1, 1, 1
olmak üzere,
f X x = 1/3, x = −1, 0, 1
f Y y = 1, y = 1
ve
CovX, Y = EXY − EXEY
= 0 − 0 × 1/3 = 0
dır, ancak
f X,Y ≠ f X × f Y
olduğundan, X ve Y bağımsız değildir.
c) ve d) şıklarını ispatlayınız.
Bir boyutlu rasgele değişkenlerde EX beklenen değeri X in olasılık dağılımının
"merkezi", VarX değeri ise bu merkez etrafında "yayılımının" bir ölçüsüdür. Đki boyutlu
rasgele değişkenlerde korelasyon katsayısı, bu rasgele değişkenler arasındaki lineer
ilişkinin ölçüsüdür. |ρ X,Y |= 1 olduğunda X ve Y arasında tam lineer ilişki, |ρ X,Y | değeri bire
yakın olduğunda güçlü bir lineer ilişki, ρ X,Y = 0 olduğunda ise lineer ilişki yoktur denir.
Görüldüğü gibi X ve Y nin bağımsız olmaları ilişkisiz olmalarını gerektirir ancak tersi
doğru değildir.
Örnek: X, Y nin aşağıda verilen dağılımları için kovaryans ve korelasyon
katsayısılarını karşılaştırınız.
Y╲
a)
X
0
1
EX = 1
,
VarX = 3/4
EY = 1
,
VarY = 3/4
EXY = 3/8
,
CovX, Y = −5/8
2
0
0
1/8 2/8 3/8
1
0
1/8 1/8 2/8
2
3/8
0
0
3/8
3/8 2/8 3/8
ρ X,Y = −0. 83
Y╲
b)
X
0
1
0
0
0
1
0
2/8
0
2/8
2
3/8
0
0
3/8
EX = 1
,
VarX = 3/4
EY = 1
,
VarY = 3/4
EXY = 2/8
,
CovX, Y = −6/8
2
3/8 3/8
3/8 2/8 3/8
ρ X,Y = −1
Y╲
c)
X
0
1
2/8 1/8
0
3/8
1
1/8 1/8
0
2/8
0
0
,
VarX = 3/4
EY = 1
,
VarY = 3/4
EXY = 13/8
,
CovX, Y = 5/8
EX = 1
,
VarX = 3/4
EY = 1
,
VarY = 3/4
EXY = 14/8
,
CovX, Y = 6/8
2
0
2
EX = 1
3/8 3/8
3/8 2/8 3/8
ρ X,Y = 0. 83
Y╲
d)
X
0
1
2
0
3/8
0
0
3/8
1
0
2/8
0
2/8
2
0
0
3/8 3/8
3/8 2/8 3/8
ρ X,Y = 1
Y╲
e)
X
0
1
,
VarX = 3/4
EY = 1
,
VarY = 3/4
EXY = 1
,
CovX, Y = 0
2
0
1/8 1/8 1/8 3/8
1
1/8
2
1/8 1/8 1/8 3/8
0
EX = 1
1/8 2/8
3/8 2/8 3/8
ρ X,Y = 0
b) ve d) de X ve Y arasında tam bir lineer ilşki vardır. d) de Y = X, b) de Y = 2 − X dir.
e) de X ile Y arasında ilişki yoktur, ancak X ile Y nin bağımsız olduğu söylenemez.
Örneğin f1, 1 ≠ f X 1f Y 1 dır.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3  vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu
fx 1 , x 2 , x 3  =
1 e −x 3
2
,
0 ≤ x 1 + x 2 ≤ 2, x 3 > 0
0
,
d. y.
olsun. X 1 , X 2 , X 3  ün varyans-kovaryans ve korelasyon matrislerini bulunuz. X 3 ün
marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2 2−x 1
∫∫
f X 3 x 3  =
0
1 e −x 3 dx 2 dx 1
2
,
x3 > 0
,
d. y.
0
0
e −x 3
,
x3 > 0
0
,
d. y.
=
ve X 1 , X 2  nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞
∫ 2e −x dx 3
3
f X 1 ,X 2 x 1 , x 2  =
,
0 ≤ x1 + x2 ≤ 2
,
d. y.
0
0
1/2
,
0 ≤ x1 + x2 ≤ 2
0
,
d. y.
=
olmak üzere X 1 , X 2  ile X 3 bağımsız ve
μ 1 = EX 1  = 2/3,
σ 21 = VarX 1  = 2/9
μ 2 = EX 2  = 2/3,
σ 22 = VarX 2  = 2/9
μ 3 = EX 3  = 1,
σ 23 = VarX 3  = 1
EX 1 X 2  = 1/3
EX 1 X 3  = EX 1 EX 3 = 2/3
EX 2 X 3  = EX 2 EX 3 = 2/3
dır.
CovX i , X j  yerine σ ij ve ρ X i ,X j yerine ρ ij gösterimlerini kullanarak,
σ 11 = EX 1 − EX 1 X 1 − EX 1  = σ 21 = 2/9
σ 12 = EX 1 − EX 1 X 2 − EX 2  = EX 1 X 2  − EX 1 EX 2 = −1/9
σ 13 = EX 1 − EX 1 X 3 − EX 3  = EX 1 X 3  − EX 1 EX 3 = 0
σ 21 = σ 12 = −1/9
σ 22 = EX 2 − EX 2 X 2 − EX 2  = σ 22 = 2/9
σ 23 = EX 2 − EX 2 X 3 − EX 3  = EX 2 X 3  − EX 2 EX 3 = 0
σ 31 = σ 13 = 0
σ 32 = σ 23 = 0
σ 33 = EX 3 − EX 3 X 3 − EX 3  = σ 23 = 1
olmak üzere X 1 , X 2 , X 3  ün varyans-kovaryans matrisi,
∑
=
2/9
−1/9 0
−1/9
2/9
0
0
0
1
ve korelasyon matrisi,
1
R=
−1/2 0
−1/2
1
0
0
0
1
dır.
KOŞULLU BEKLENEN DEĞER
Tanım: X 1 , X 2  iki boyutlu bir rasgele vektör, x 2 ∈ D X 2 için X 2 = x 2 verilmişken X 1 in
koşullu dağılımının olasılık (yoğunluk) fonksiyonu f X 1 /X 2 =x 2  ve g : R  R her B ∈ B için
s : gs ∈ B ∈ B özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:
a) Kesikli halde, ∑|gx 1 |f X 1 /X 2 =x 2  x 1  < ∞ olduğunda,
x1
EgX 1 /X 2 = x 2  = ∑ gx 1 f X 1 /X 2 =x 2  x 1 
X1
∞
b) Sürekli halde,
∫ |gx 1 |f X /X =x  x 1 dx 1 < ∞ olduğunda,
1
2
2
−∞
∞
Egx 1 /X 2 = x 2  =
∫ gx 1 f X /X =x  x 1 dx 1
1
2
2
−∞
değerine X 2 = x 2 verilmişken gX 1  in koşullu beklenen değeri denir.
Tanım: c ∈ R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
a) EX 1 − c k /X 2 = x 2  değerine X 2 = x 2 verilmişken X 1 in c ye göre k. koşullu
momenti,
b) EX k /X 2 = x 2  değerine X 2 = x 2 verilmişken X 1 in k. koşullu momenti,
c) EX 1 /X 2 = x 2  değerine X 2 = x 2 verilmişken X 1 in koşullu beklenen değeri,
d) EX 1 − EX 1 /X 2 = x 2  2 /X 2 = x 2  değerine X 2 = x 2 verilmişken X 1 in koşullu
varyansı
denir.
Koşullu beklenen değerin en basit durumları için yapılan bu tanımlamalar daha genel
durumlara da kolayca genişletilebilir.Yapılması gereken, beklenen değer ile ilgili verilen
önceki tanımlarda olasılık (yoğunluk ) fonksiyonları yerine koşullu olasılık (yoğunluk)
fonksiyonlarını yazmaktır.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3  vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx 1 , x 2 , x 3  =
1 e −x 3 , 0 ≤ x 1 + x 2 ≤ 2 , x 3 > 0
2
0
,
d. y.
olsun. x 1 ∈ 0, 2 için X 1 = x 1 verilmişken X 2 , X 3  ün koşullu dağılımının olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
f X 2, X 3 /X 1 =x 1  x 2 , x 3  =
=
fx 1 , x 2 , x 3 
f X 1 x 1 
,
0 ≤ x2 ≤ 2 − x1 , x3 > 0
0
,
d. y.
e −x 3
2 − x 1 
,
0 ≤ x2 ≤ 2 − x1, x3 > 0
0
,
d. y.
dır. Örneğin X 1 = 1 verilmişken X 2 , X 3  ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −x 3
,
0 ≤ x 2 ≤ 1, x 3 > 0
0
,
d. y.
f X 2, X 3 /X 1 =1 x 2 , x 3  =
dır. Buna göre,
1 ∞
∫ ∫ x 2 x 3 e −x dx 3 dx 2
EX 2 X 3 /X 1 = 1 =
3
0 0
∞
1
∫ x 2 dx 2 ∫ x 3 e −x dx 3 = 1/2
=
3
0
0
1 ∞
EX 2 + X 3 /X 1 = 1 =
∫ ∫x 2 + x 3 e −x dx 3 dx 2
3
0 0
1
=
∞
∫ x2 ∫ e
0
−x 3
1
∞
0
0
dx 3 + ∫ dx 2 ∫ x 3 e −x 3 dx 3 = 3/2
0
1 ∞
EX 2 /X 1 = 1 =
∫ ∫ x 2 e −x dx 3 dx 2 = 1/2
3
0 0
1 ∞
EX 3 /X 1 = 1 =
∫ ∫ x 3 e −x dx 3 dx 2 = 1
3
0 0
elde edilir. Ayrıca,
EX 2 + X 3 /X 1 = 1 = EX 2 /X 1 = 1 + EX 3 /X 1 = 1
olduğuna dikkat edin.
X 1 ≤ 1 verilmişken X 1 , X 2 , X 3  ün koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f X 1 ,X 2 ,X 3 /X 1 ≤1 x 1 , x 2 , x 3  =
=
1 e −x 3
2
PX 1 ≤ 1
,
0
,
2 e −x 3
3
,
0
,
0 ≤ x1 + x2 ≤ 2
x ≤ 1, x 3 > 0
d. y.
0 ≤ x1 + x2 ≤ 2
x ≤ 1, x 3 > 0
d. y.
ve X 1 ≤ 1 verilmişken X 2 nin koşullu (marjinal) olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2
3
f X 2 /X 1 ≤1 x 2  =
, 0 ≤ x2 ≤ 1
2 2 − x 2  , 1 < x 2 < 2
3
0
, d. y.
olmak üzere,
1
EX 2 /X 1 ≤ 1 = 2
3
2
∫ x 2 dx 2 + 23
∫ x 2 2 − x 2 dx 2 = 7/9
0
1
dır.
X 1 = x 1 ve X 3 = x 3 0 < x 1 < 2 , x 3 > 0 verilmişken X 2 nin koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
f X 2 /X 1 =x 1 ,X 3 =x 3  x 2  =
=
1 e −x 3
2
1 2 − x 1 e −x 3
2
,
0 ≤ x2 ≤ 2 − x1
0
,
d.y.
1
2 − x1
,
0 ≤ x2 ≤ 2 − x1
0
,
d.y.
olmak üzere, örneğin X 1 = 1 ve X 3 =1 için,
1
EX 2 /X 2 = 1, X 3 = 1 =
∫ x 2 dx 2 = 1/2
0
dir. 0 < x 1 < 2 ve x 3 > 0 için X 1 = x 1 , X 3 = x 3 verilmişken X 2 nin koşullu beklenen değeri,
2−x 1
EX 2 /X 1 = x 1 , X 3 = x 3  =
∫
0
x2
1 dx = 2 − x 1
2 − x1 2
2
dır.
Teorem: a, b ∈ R , X, Y, Z bir rasgele vektör olmak üzere:
a) EaY + b/X = x = aEY/X = x + b
b) EY + Z/X = x = EY/X = x + EZ/X = x
c)
EY − a 2 /X = x = EY − EY/X = x 2 /X = x + EY/X = x − a 2
dır.
Đspat: (Ödev)
Örnek: X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
x+y
,
0 < x < 1, 0 < y < 1
0
,
d.y.
fx, y =
olsun. x ∈ 0, 1 için X = x verilmişken Y nin koşullu beklenen değeri,
1
EY/X = x =
∫ yf Y/X=x ydy
0
1
=
y
dy
∫ y fx,
f X x
0
1
=
y
dy
∫ y xx++1/2
0
x + 2/3
= 3x + 2 =
6x + 3
2x + 1
dır. X in verilmiş x değeri için EY/X = x bir sayıdır. Ancak
g : 0, 1  ℝ
x
 gx = EY/X = x =
x + 2/3
2x + 1
dönüşümü yardımıyla tamamlanan EY/X = gX fonksiyonu bir rasgele değişkendir.
Şimdi bu rasgele değişkenin beklenen değerini bulalım.
1
EEY/X = EgX =
∫ gxf X xdx
0
1
=
∫
x + 2/3
x + 1/2dx
2x + 1
0
1
=
∫
x + 2/3
dx = 7/12
2
0
Diğer taraftan EY = 7/12 dir. Bu sonucu genel halde ispatlayalım.
Teorem: X, Y iki boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere,
EY = EEY/X
dır.
Đspat: Đspatı sürekli rasgele değişkenler için verelim.
∞
EEY/X =
∫ EY/X = xf X xdx
−∞
∞ ∞
=
∫ ∫ yf Y/X=x yf X xdydx
−∞ −∞
∞ ∞
=
∫ ∫ yfx, ydydx = EY
−∞ −∞
dır.
Bu teoremin bir sonucu olarak,
VarY = EY 2  − EY 2 = EEY 2 /X − EEY/X 2
yazılabilir.
Bir rasgele değişkenin beklenen değerinin veya varyansının bulunmasında ikinci bir
rasgele değişken ile koşullandırılarak yapılan hesaplama birçok yerde kolaylık
sağlamaktadır.
Örnek: Belli bir atıcı için hedefi vurma olasılığı p, 0 < p < 1 olsun. Atıcı, hedef ilk
isabetini alıncaya kadar atışlar yapmaya kararlıdır. Atışların birbirinden bağımsız olduğu
varsayımı altında atıcının yapacağı atışların sayısının beklenen değeri nedir?
Y, gerekli atışların sayısı y = 1, 2, … 
X, birinci atıştaki isabet sayısı, x = 0, 1
olsun.
EY = EEY/X
= EY/X = 0PX = 0 + EY/X = 1PX = 1
= 1 − pEY/X = 0 + pEY/X = 1
ve
EY/X = 0 = 1 + EY, EY/X = 1 = 1
olmak üzere,
EY = 1 − p + 1 − pEY + p
den
EY = 1p
bulunur.
Örnek: 0, 1 arlığında gelişigüzel bir sayı X seçildikten sonra x, 1 aralığından
gelişigüzel bir sayı Y seçilmektedir. Burada gelişigüzel sözcüğü ile kastedilen X ve
Y /X=x nin olsılık yoğunluk fonksiyonlarının,
1
, x≤y≤1
1 , 0≤x≤1
1
−x
f X x =
, f Y/X=x y =
0 , d. y.
0
, d. y.
biçiminde olmasıdır.
EY = EEY/X
ve
1
EY/X = x =
∫ y 1 1− x dy =
x
EY/X = 1 + X
2
olmak üzere,
1+x
2
EY = E 1 + X
2
= 1 + 1 EX
2
2
1
= 1 + 1
2
2
∫ xdx
0
= 3
4
elde edilir.
EY/X nin bir rasgele değişken olarak yorumlanmasına benzer biçimde; X = x
verilmişken VarY/X = x bir reel sayı olmak üzere, g : R  R, gx = VarY/X = x
yardımıyla tanımlanan VarY/X = gX , X in bir fonksiyonu olan bir rasgele değişkendir.
Teorem: X, Y iki boyulu bir rasgele vektör olmak üzere,
VarY = EVarY/X + VarEY/X
dır.
Đspat:
VarY = EY − EY 2 = EEY − EY 2 /X
olmak üzere, Teorem 4.5.1 c) den, her x ∈ D X için,
EY − EY 2 /X = x = EY − EY/X = x 2 /X = x
+EY/X = x − EY 2
yani,
EY − EY 2 /X = EY − EY/X 2 /X + EY/X − EY 2
= VarY/X + EY/X − EEY/X 2
olduğundan,
VarY = EVarY/X + EEY/X − EEY/X 2
= EVarY/X + VarEY/X
dır.
Örnek: N,
değer
kümesi
doğal
sayılar
olan
bir
rasgele
X 1 , X 2 , … , X n , N rasgele değişkenleri bağımsız, X i ler aynı dağılımlı ve
EX i  = EX,
olmak üzere,
VarX i  = VarX,
i = 1, 2, … , n
değişken,
Y = X1 + X2 + ⋯ + XN
rasgele değişkeni için,
EY/N = n = EX 1 + X 2 + ⋯ + X n  = nEX
VarY/N = n = VarX 1 + X 2 + ⋯ + X n  = nVarX
EY/N = NEX , VarY/N = NVarX
EEY/N = ENEX = ENEX
EVarY/N = ENVarX = ENVarX
dır. Y rasgele değişkenin beklenen değeri ve varyansı
EY = ENEX
VarY = EVarY/N + VarEY/N
= ENEX + VarNEX 2
olarak elde edlir.
Teorem: X ve Y bağımsız ise
EY/X = x = EY
dır.
Đspat: Sürekli rasgele değişkenler için,
∞
EY/X = x =
∫ yf Y/X=x ydy
−∞
∞
=
∫ yf Yydy = EY
−∞
ve kesikli rasgele değişkenleri için,
EY/X = x = ∑ yf Y/X=x y
y
= ∑ yf Y y = EY
y
dır.
Bu teoremden görüldüğü gibi X ve Y bağımsız ise,
gx = EY/X = x
olarak belirlenen g fonksiyonu bir sabit fonksiyondur ve her x ∈ D X için gx = EY dir.
Böylece X ve Y bağımsız ise
EY/X = EY
dır.
Teorem: X ve Yortak dağılıma sahip rasgele değişkenler, EX 2  < ∞, EhX 2 < ∞,
h : D X ⊂ R  R olmak üzere, EY − hX 2 değerini minimum yapan h fonksiyonu
hx = EY/X = x ile belirlenen fonksiyondur.
Đspat: Đspatı X, Y nin sürekli durumu için yapalım.
∞ ∞
EY − hX =
2
∫ ∫ y − hx 2 fx, ydxdy
−∞ −∞
∞ ∞
=
∫ ∫ y − hx 2 f X xf Y/X=x ydxdy
−∞ −∞
∞
=
∫
−∞
∞
f X x
∫ y − hx 2 f Y/X=x ydy
dx
−∞
Bu integrali h fonksiyonları üzerinden minimize etmek için, x in bir ifadesi olan,
∞
EY − hx /X = x =
2
∫ y − hx 2 f Y/X=x ydy
−∞
integralini her x için minimum yapan h fonksiyonu bulmaya çalışalım. Verilmiş x değeri
için hx bir reel sayıdır.
EY − hx 2 /X = x = EY − EY/X = x 2 /X = x
+EY/X = x − hx 2
olmak üzere, hx = EY/X = x için EY − hx 2 /X = x minimuma ulaşmaktadır.
Böylece, EY − hx 2 değerini minimum yapan h fonksiyonu
hx = EY/X = x
ile belirlenen fonksiyondur.
Alışılagelmiş olarak,
hx = EY/X = x
ifadesine (fonksiyonuna) Y nin X üzerindeki regresyon denklemi denilmektedir.
Örnek: X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx, y =
2
π
,
x, y ∈ a, b ∈ R 2 : a 2 + b 2 ≤ 1 , b ≥ 0
0
,
d.y.
olsun.
f X x =
2
2
π 1−x
,
−1 ≤ x ≤ 1
0
,
d.y.
4
2
π 1−y
,
0≤y≤1
0
,
d.y.
f Y y =
y ∈ 0, 1 için,
f X/Y=y x =
1
2 1 − y2
,
− 1 − y2 ≤ x ≤
0
,
d.y.
1 − y2
x ∈ −1, 1 için,
f Y/X=x y =
1
1 − x2
,
0≤y≤
0
,
d.y.
1 − x2
olmak üzere,
1−x 2
EY/X = x =
∫
y
0
1
dy =
1 − x2
1 − x2
2
1−y 2
EX/Y = y =
∫
− 1−y 2
x
1
dx = 0
1 − y2
dır. Regresyon denklemlerinin belirlediği eğriler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Örnek: X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx, y =
1
2
,
x, y ∈ a, b ∈ R 2 : 0 < b < a < 2
0
,
d.y.
olsun.
f X x =
x
2
,
0<x<2
,
0
,
f Y y =
d.y.
2−y
2
,
0<y<2
0
,
d.y.
olmak üzere x ∈ 0, 2 için,
f Y/X=x y =
1
x
,
0<y<x
0
,
d.y.
y ∈ 0, 2 için,
f X/Y=y x =
1
2−y
0
, y<x<2
, d.y.
ve
x
EY/X = x =
∫ y 1x dy =
x
2
0
2
EX/Y = y =
∫ x 2 1− y dx =
y+2
2
y
dır. Regresyon denklemlerinin belirlediği eğriler (doğrular) aşağıdaki şekilde
gösterilmiştir.
Örnek: X, Y nin olasılık fonksiyonu,
fx, y = 1 , x, y ∈ 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1,
15
4, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4
olsun.
f X x = x + 1 ,
15
x = 0, 1, 2, 3, 4
5−y
,
15
y = 0, 1, 2, 3, 4
f Y y =
olmak üzere, x ∈ 0, 1, 2, 3, 4 için,
1 ,
x+1
f Y/X=x y =
x
EY/X = x = ∑ y
y=0
y = 0, 1, … , x
1 = x
x+1
2
ve y ∈ 0, 1, 2, 3, 4 için,
f X/Y=y x =
1 ,
5−y
4
EX/Y = y = ∑ x
x=y
x = y, y + 1, … , 4
1 = y+4
5−y
2
dır
Eğer h fonksiyonu x in lineer bir ifadesi, yani
hx = EY/X = x = a + bx a, b ∈ ℝ
biçiminde alınrsa, EY − hX 2 nin h üzerinden minimizasyonu problemi,
Qa, b = EY − a + bX 2
nin a ve b üzerinden minimizasyonuna dönüşmektedir. Bir an için b nin tesbit edilmiş
olduğunu varsayalım. O zaman EY − bX − a 2 yi minimum yapan a değeri,
a = EY − bX = EY − bEX
olur.
Böyle belirlenmiş a ile
EY − a − bX 2  = EY − EY − bX − EX 2
= σ 2Y − 2ρ X,Y σ X σ Y b + σ 2X b 2
dır. Bu ifadeyi minimum yapan b değeri,
σY
b = ρ X,Y σ
X
dır. Buradan,
σ Y EX
a = EY − ρ X,Y σ
X
bulunur. Bu durumda EY − a + bX 2 nin alabileceği minimum değer,
σ Y  + σ 2 ρ σ Y  2
min EY − a + bX 2 = σ 2Y − 2ρ X,Y σ X σ Y ρ X,Y σ
X,Y σ
X
X
X
a,b
= σ 2Y 1 − 2ρ 2X,Y 
dır.
Koşullu beklenen değerin kullanıldığı yerlerden bir başkası koşullandırılarak yapılan
olasılık hesabıdır. A, bir Ω, U, P olasılık uzayında bir olay ve
1
,
ω∈A
0
,
ω∈A
I A ω =
olmak üzere X = I A rasgele değişkenini göz önüne alalım. EX = PA ve herhangi bir Y
rasgele değişkeni için,
EX/Y = y = PA/Y = y , PY = y ≠ 0
dır. Buradan,
PA = EX = EEX/Y
= ∑ EX/Y = Yf Y y
y
= ∑ PA/Y = yf Y y
y
yazılır. Y nin sürekli olması durumunda da,
∞
PA =
∫ PA/Y = yf Yydy
−∞
yazılabilir.
Örnek: X ve Y bağımsız ve sürekli rasgele değişkenler olsun. PX < Y olasılığı için,
∞
∫ PX < Y/Y = yf Yydy
PX < Y =
−∞
∞
∫ PX < y/Y = yf Yydy
=
−∞
∞
∫ PX < yf Yydy
=
−∞
∞
∫ F X yf Yydy
=
−∞
ve PX + Y < a, a ∈ R olasılığı için,
∞
PX + Y < a =
∫ PX + Y < a/Y = yf Yydy
−∞
∞
=
∫ PX + y < a/Y = yf Yydy
−∞
∞
=
∫ PX < a + yf Yydy
−∞
∞
=
∫ F X a + yf Yydy
−∞
dır.
PROBLEMLER
1. Olasılık fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü momentlerini,
beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz.
a) fx = 1/5 ,
x = −2, −1, 0, −1, 2
b) fx = 1/5 ,
x = 0, 1, 2, 3, 4
c) fx = 1
16
4
x
4
x
e) fx =
4
x+2
f) fx =
x
1
4
d) fx =
|x|
,
6
x = 0, 1, 2, 3, 4
,
4−x
3
4
x+2
1
4
,
3
4
x = 0, 1, 2, 3, 4
2−x
,
x = −2, −1, 0, 1, 2
x = −2, −1, 0, 1, 2
g) fx = 1 x + 2 ,
10
x = −2, −1, 0, 1, 2
2. Olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü
momentlerini, beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz.
1/4
,
−2 ≤ x ≤ 2
0
,
d. y.
1/4
,
0≤x≤4
0
,
d. y.
a) fx =
b) fx =
c) fx =
d) fx =
1 2 − |x|
4
,
−2 ≤ x ≤ 2
0
,
d. y.
1 2 − |x − 2|
4
,
0≤x≤4
0
,
d. y.
e) fx =
f) fx =
1 |x|
4
,
−2 ≤ x ≤ 2
0
,
d. y.
1 x + 2
8
,
−2 ≤ x ≤ 2
0
,
d. y.
3. 1, 2, 3, 4, 5 rakamları birer kağıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın. Kavanozdan
aynı anda üç tane kağıt parçası alındığında:
X −gelen sayılar arasında en küçüğü,
Y −gelen sayılar arasında en büyüğü,
U −gelen sayılar arasında ortancası,
V −gelen sayıların toplamı,
W −gelen sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark
olmak üzere, EX, EY, EU, EV, EW değerlerini bulunuz.
4. 1, 2, … , n sayıları birer kâğıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın.
a) Kavanozdan aynı anda r tane 1 ≤ r ≤ n kâğıt parçası alındığında gelen en
küçük sayı X olsun.
EX = n + 1
r+1
olduğunu gösteriniz.
b) Kavanozdan, çekileni yine yerine koyarak ard arda r tane kâğıt parçası
çekildiğinde gelen en küçük sayı X olsun.
1 r+ n−2 r+⋯+ 1 r
EX = 1 + n −
n
n
n
olduğunu gösteriniz.
5. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
fx = pq x−1 ,
x = 1, 2, … p + q = 1, 0 < p < 1
olsun. X in k inci çarpımsal momentini bulunuz.
Yol gösterme:
∞
k
∑ xx − 1⋯x − k + 1p x−1 = p k−1 d k
dp
x=1
∞
∑ px
x=1
6. Belli bir atıcı için, hedef ilk isabetini alıncaya kadar yaptığı atışların sayısı X rasgele
değişkeni olsun. X in olasılık fonksiyonunun
x−1
, x = 1, 2, …
fx = 3 2
5 5
olduğu bilinsin. Bu atıcı, hedef ilk isabetini alıncaya kadar atış yapmaya kararlıdır.
Harcanan her merminin değeri a ve kazanılan hedefin değeri b olduğuna göre atıcının
kazancının beklenen değeri nedir?
7. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
−λ x
fx = e λ , x = 0, 1, 2, … , λ > 0
x!
olsun. X in k inci çarpımsal momentini bulunuz.
8. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
βα β x −β−1
,
x ≥ α, α, β > 0
0
,
d. y.
fx =
olsun. X in momentlerinin varlığını arştırınız.
9. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cx α−1 1 − x β−1
,
0 < x < 1, α, β > 0
0
,
d. y.
fx =
olsun. c sabitinin değerini bulunuz.
Γα + βΓα + n
EX n  =
,
ΓαΓα + β + n
n = 1, 2, …
olduğunu gösteriniz ve EX ile VarX değerlerini bulunuz.
10. Bir X rasgele değişkenin beklenen değeri EX olsun. c ∈ R için,
E X − c 2
= E X − EX 2 + EX − c 2
olduğunu gösteriniz. E X − c 2 yi minimum yapan c değerini bulunuz.
11. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu x = c doğrusuna göre simetrik
∀x ∈ R için fc + x = fc − x olsun. Mevcut olması halinde,
EX = c
ve
E X − c 2n−1
= 0,
n = 1, 2, …
olduğunu gösteriniz.
12.
1
2
−1
2
T
1
lim π
T∞
∫
sin at dt =
t
0
, a>0
, a<0
olduğunu gösteriniz.
Yol gösterme:
T
∫
∞
T
sin x dx =
x
0
∫ sin x ∫ e −ux du
0
∞
=
0
T
∫ ∫ sin xe −ux dx
0
dx
du
0
13. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
fx = pq x−1 , x = 1, 2, …
p + q = 1, 0 < p < 1
olsun. X in karakteristik fonksiyonunu bulunuz ve EX ile VarX değerlerini bu fonksiyon
yardımıyla elde ediniz.
14. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx = 1 e −|x| , − ∞ < x < ∞
2
olsun. X in karakteristik fonksiyonunu bulunuz ve EX ile VarX değerlerini bu fonksiyon
yardımıyla elde ediniz.
15. Sürekli X rasgele değişkenin karakteristik fonksiyonu,
Φ X t = e −|t| , t ∈ ℝ
olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
16. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
fx =
1
2a
0
, −a < x < a
, d. y.
olsun. X in karakteristik fonksiyonunu bulunuz.
17. Olasılık (yoğunluk) fonksiyonları aşağıda verilen dağılımlar için M X t ve N X t
fonksiyonlarını bulunuz. Birinci ve ikinci dereceden momentleri, çarpımsal momentleri ve
kümülantları hesaplayınız.
a) fx =
1
2
x
,
x = 1, 2, …
b) fx =  nx  1
2
x
xe −x
,
x>0
0
,
d. y.
1
1 e− 2
2πσ
x−μ
σ
, x = 0, 1, 2, … , n
c) fx =
d) fx =
2
,
− ∞ < x < ∞, μ ∈ R, σ > 0
18. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu M X t olmak üzere
a) M X 0 = 1
b) M aX t = M X at,
a≠0
c) M aX+b t = e bt M X at
olduğunu gösteriniz.
19. X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu
M X t = e 2t+2t
2
olmak üzere X in olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazınız .
Y=
X − EX
VarX
rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonunu ve buradan olasılık yoğunluk
fonksiyonunu bulunuz.
20. X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu
M X t =
1 + 1 et
2
2
4
olsun. X in olasılık fonksiyonunu bulunuz.
21. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
1 , 0<x<1
fx =
0 , d. y.
olsun. Y = − ln X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonunu ve buradan olasılık
yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Y nin önce olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve buradan
moment üreten fonksiyonunu bulunuz.
22. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
fx =  nx p x 1 − p n−x , x = 0, 1, 2, … , n, 0 < p < 1
olmak üzere
M X t = 1 − p + pe t  n
olduğunu gösteriniz. EX ve VarX değerlerini hesaplayınız.
23. X 1 , X 2 , X 3  ün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx 1 , x 2 , x 3  =
1 e −2x 1 −3x 2 −x 3
6
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d. y.
olsun.
a) X 1 , X 2 , X 3  ün moment üreten fonksiyonunu,
b) X 1 , X 2 ve X 3 ün moment üreten fonksiyonlarını,
c) EX 1 X 2 , EX 21 X 2 , EX 1 + X 2 + X 3  değerlerini,
d) X 1 , X 2 , X 3  ün varyans-kovaryans matrisini
bulunuz.
24. X 1 , X 2 , … , X n  nin olasılık fonksiyonu,
n!
fx 1 , x 2 , … x n  =
p x 1 p x 2 ⋯p xnn , x i = 0, 1, i = 1, 2, … , n
x 1 !x 2 !⋯x n ! 1 2
olsun.
a) X 1 , X 2 , … , X n  nin moment üreten fonksiyonunu,
b) X i , i = 1, 2, … , n nin moment üreten ve olasılık fonksiyonunu,
c) X i , X j  nin moment üreten ve olasılık fonksiyonunu i, j = 1, 2, … n, i ≠ j
d) X 1 , X 2 , … , X n  nin varyans-kovaryans ve korelasyon matrisini bulunuz.
25. X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
fx 1 , x 2  =
1
2πσ 1 σ 2 1−p 2

x 1 −μ 1
σ1
 − 2ρ
x 1 −μ 1 x 2 −μ 2 
σ1σ2
+
x 2 −μ 2
σ2

2
−∞ < x 1 < ∞, −∞ < x 2 < ∞, μ 1 , μ 2 ∈ R, σ 1 > 0, σ 2 > 0, ρ ∈ −1, 1
olsun.
a) X 1 , X 2  nin moment üreten fonksiyonunun
M X 1 ,X 2 t 1 , t 2  = e
μ 1 t 1 +μ 2 t 2 +
σ 21 t 21 + 2ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 + σ 22 t 22
2

olduğunu gösteriniz. X 1 , X 2  nin varyans-kovaryans ve korelasyon matrisini bulunuz.
b) X 1 ve X 2 nin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter şartın ρ = 0 olması olduğunu
gösteriniz.
26. i, j = 1, 2, … , , n için CovX i , X j  değerleri var olsun.
a k , b k ∈ R, k = 1, 2, … , n, olmak üzere,
n
n
i=1
j=1
Cov ∑ a i X i , ∑ a j X j
olduğunu ispatlayınız. Özel olarak,
n
n
= ∑ ∑ a i b j CovX i , X j 
i=1 j=1
n
n
a) Var ∑ a i X i
= ∑ a 2i VarX i  + 2 ∑ ∑ a i a j CovX i , X j 
i=1
n
b) Var ∑ X i
i=1
1≤i<j≤n
n
= ∑ VarX i  + 2 ∑ ∑ CovX i , X j 
i=1
i=1
1≤i<j≤n
c) X 1 , X 2 , … , X n ler bağımsız ise
n
Var ∑ a i X i
i=1
n
= ∑ a 2i VarX i 
i=1
n
Var ∑ X i
i=1
n
= ∑ VarX i 
i=1
d) a, b, c ∈ R için
VaraX 1 + bX 2 + c = a 2 VarX 1  + b 2 VarX 2  + 2abCovX 1 , X 2 
VarX 1 + X 2  = VarX 1  + VarX 2  + 2CovX 1 , X 2 
VarX 1 − X 2  = VarX 1  + VarX 2  − 2CovX 1 , X 2 
e) a, b, c, d ∈ R için
CovaX 1 + b, cX 2 + d = acCovX 1 , X 2 
CovaX 1 + bX 2 + c, X 3  = aCovX 1 , X 3  + bCovX 2 , X 3 
olduğunu gösteriniz.
27. Ortak dağılıma sahip X ve Y rasgele değişkenleri sonlu varyanslı ve
U = aX + b
V = cY + d
a, b, c, d ∈ R, a ≠ 0, c ≠ 0 olsun:
a) ac > 0 için ρ X,Y = ρ U,V
b) ac < 0 için ρ X,Y = −ρ U,V
olduğunu gösteriniz.
28. X ve Y ortak dağılıma sahip sonlu varyanslı iki rasgele değişken ve
U = X+Y
V = X−Y
olmak üzere;
a) VarX = VarY ise ρ U,V = 0
b) CovX, Y  = 0 ise ρ U,V =
VarX − VarY
VarX + VarY
olduğunu gösteriniz.
29. X 1 , X 2 , … , X n bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele değişkenler olsun. EX i  = μ,
VarX i  = σ 2 < ∞ olmak üzere,
n
Y = ∑ aiXi
i=1
rasgele değişkeninin beklenen değeri EY = μ ve varyansı, (VarY minimum olacak
şekilde a 1 , a 2 , … , a n ∈ R katsayılarını belirleyiniz.
30. EXY = 0 olduğunda X ve Y ye ortogonaldir denir. X ve Y ortogonal ise,
EX + Y 2  = EX 2  + EY 2 
olduğunu gösteriniz.
31. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
a) fx =
1/2 , 0 < x < 2
0
, d.y.
e −x
,
x>0
0
,
d.y.
x −2
,
x>1
0
,
d.y.
b) fx =
c) fx =
olsun. EX/X > 1 koşullu beklenen değerinin varlığını araştırınız ve var olması halinde
bulunuz.
32. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cx + y
,
0<x<y<1
0
,
d. y.
fx, y =
olsun. c sabitini ve x, y ∈ 0, 1 için EX/Y = y ile EY/X = x koşullu beklenen
değerlerini bulunuz.
33. X, Y nin olasılık fonksiyonu,
fx, y = cx + y, x, y ∈ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 2
olsun. c sabitinin değerini ve y = 0, 1, 2, 3 için EX/Y = y ve x = 0, 1, 2 için EY/X = x
değerlerini hesaplayınız.
34. X, Y nin olasılık fonksiyonu,
fx, y =
e −λ 1 −λ 2 λ x1 λ y2
,
x!y!
x, y = 0, 1, 2, …
olsun λ 1 > 0, λ 2 > 0. n ∈ N için X + Y = n verilmişken X in koşullu olasılık fonksiyonunu
bulunuz.
35.
EuX/X = uX
EXuY/Y = y = uyEX/Y = y
EgX, Y/Y = y = EgX, y/Y = y
EXY = EYEX/Y
olduğunu gösteriniz.
36.
h = a + bx, a, b ∈ R için,
Qa, b = EY − hX 2
fonksiyonunu minimum yapan a, b değerlerini,
∂Qa, b
=0
∂a
∂Qa, b
=0
∂b
denklem sisteminin (normal denklemlerin) bir çözümü olarak yeniden elde ediniz.
37. Y, X 1 , X 2 , … , X n , n + 1 − boyutlu bir rasgele değişken ve
h : ℝn  ℝ
EY 2  < ∞, EhX 1 , … , X n  2 < ∞ olmak üzere EY − hX 1 , … , X n  2 değerini minimum
yapan h fonksiyonunun,
hx 1 , x 2 , … , x n  = EY/X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n 
ile belirlendiğini gösteriniz.
hX 1 , X 2 , … , X n  = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ⋯ + β n X n
olması durumunda β 0 , β 1 , β 2 , … , β n katsayılarını belirleyen normal denklemleri bulunuz.