Lineer Cebir kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

İÇİNDEKİLER
Ön Söz..................................................................................2
Matris Cebiri..........................................................................3
Elementer İşlemler............................................................... 12
Determinantlar.....................................................................17
Lineer Denklem Sistemleri ................................................... 28
Vektör Uzayları....................................................................36
Lineer Dönüşümler .............................................................. 48
Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme....................... 55
Genel Tarama Sınavı........................................................... 66
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
Örnek:
Tanım: A = [aij]nxn bir matris, x sıfırdan farklı n x 1
tipinde bir sütun matris ve I, n x n tipinde birim mat-
 1 6
A

2 2 
ris olmak üzere,
A x = x
matrisinin özdeğerlerini ve bu özdeğerlere karşılık
gelen özvektörlerini bulalım.
(A - I) x = 0
A matrisinin karakteristik polinomu
denklemi n bilinmeyenli ve n denklemden oluşan bir
homojen lineer denklem sistemidir. Bu denklemin
aşikar olmayan çözümünün olması için
a11  
a12
....
a 21
a 22   ....
det(A - I) =
....
....
....
a n1
an2
KA() = det(A - I) =
a1n
a 2n
....
1 
6
2
2
2
=  - 3 - 10
=0
.... ann  
ve karakteristik denklemi,
olmasıdır. Burada det (A - I) nın hesaplanması
KA() = ( - 5) ( + 2) = 0
sonucunda  ya bağlı elde edilen n. dereceden
monik polinoma A matrisinin karakteristik polinomu
olduğundan özdeğerleri 1 = 5 ve 2 = -2 bulunur.
denir ve KA() ile gösterilir. KA() = 0 denklemine A
Şimdi de bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri
matrisinin karakteristik denklemi denir. Bu denklemin
bulalım.
köklerine de A matrisinin özdeğerleri ya da karakte(A - I) x = 0
ristik değerleri denir. KA(), n. dereceden bir denklem olduğundan n tane kökü vardır.
(1 - ) x1 + 6 x2 = 0
(A - I) x = 0 denkleminde aşikâr olmayan x çözüm2 x1 + (2 - ) x2 = 0
lerine A matrisinin özdeğerlerine karşılık gelen
özvektörleri ya da karakteristik vektörleri denir.
denklem sisteminde 1 = 5 özdeğerine karşılık gelen
özvektör için  yerine 5 yazılarak
-4 x1 + 6 x2 = 0
2 x1 - 3 x2 = 0
55
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
homojen lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denk-
kR
lem sisteminin rankı, r = 1 ve bilinmeyen sayısı n = 2
x1 = 2k
olduğundan n - r = 1 parametreye bağlı sonsuz
çözüm vardır.
x2 = k
tR
olduğundan 2 = -2 özdeğerine karşılık gelen
özvektör,
x1 = 3t
x2 = 2t
2k 
2
   k    veya (2, 1)
k
 
1 
olduğundan 1 = 5 özdeğerine karşılık gelen
olarak bulunur.
özvektör,
Teorem: n. mertebeden bir A matrisinin özdeğerleri
 3t 
3
   t    veya (3, 2)
2
t
 
 2
1, 2, ….., n olsun. Bu durumda,
n
olur.
n
i) iz A   aii    i   1   2  ......   n
i1
i1
(1 - ) x1 + 6 x2 = 0
n
ii) det A    i   1. 2 ....... n
2 x1 + (2 - ) x2 = 0
i1
dir.
denklem sisteminde 2 = -2 özdeğerine karşılık
gelen özvektör için  yerine -2 yazılarak
Örnek:
-3 x1 + 6 x2 = 0
 1 4
A

2 3 
2 x1 - 4 x2 = 0
matrisinin özdeğerleri toplamını ve çarpımını bulalım.
homojen lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin rankı, r = 1 ve bilinmeyen sayısı n = 2
KA() = det (A - I) = 0
olduğundan n - r = 1 parametreye bağlı sonsuz
çözüm vardır.
1 
4
0
2
3
56
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
2
 - 4 - 5 = 0
Teorem: A, n x n tipinde bir matris ve  bir skaler
olmak üzere,
1 = 5 , 2 = -1
A matrisinin tekil olması için gerek ve yeter şart
2
iz A 
 = 0 ın A nın bir özdeğeri olmasıdır.
 i
i1
İspat:
1 + 3 = 1 + 2
5
A matrisinin bir özdeğeri  olsun
-1
det (A - I) = 0
2
det A    i
i1
karakteristik denkleminin bir kökü  = 0 ise det A = 0
olacağından A tekil (tersi olmayan) bir matristir.
-5 = 1 . 2
5
-1
Diğer taraftan eğer det A = 0 ise det (A - I) = 0
karakteristik denkleminin bir kökü  = 0 olacaktır.
Örnek:
Teorem: A, n x n tipinde bir matris ve bir özdeğeri 
0 2
A

2 0 
olsun.
-1
i) A, düzgün bir matris ise A matrisinin bir özdeğeri
matrisinin karakteristik polinomu
KA() = det(A - I) =
1
dır. (  0)

 2
2
= +4
2 
+
k
k
ii) k  Z olmak üzere, A matrisinin özdeğeri  dır.
olduğundan reel sayılar üzerinde indirgenemez,
T
iii) A matrisinin de bir özdeğeri  dır.
kompleks sayılar üzerinde indirgenebilir. Yani,
KA() = ( - 2i) ( + 2i)
olduğundan A matrisinin
de özdeğerleri vardır ve
bu özdeğerler -2i ve 2i dir.
57
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
İspat:
iii) A matrisinin bir özdeğeri  ise
i) A matrisinin bir özdeğeri  ise
A - I = 0
Ax = x
dır. Bir matrisin determinantı ile transpozunun determinantı aynı olacağından
tir. A düzgün (tersi olan) bir matris olduğundan
T
A - I = 0
-1
-1
A . Ax = A . x
T
A - I = 0
-1
x=.A x
T
elde edilir. Dolayısıyla A matrisinin bir özdeğeri de
1
-1
 x =A . x , (  0)

 olur.
Teorem: A ve B, n x n tipinde iki matris olsun. Bu
1
-1
elde edilir. Dolayısıyla A matrisinin bir özdeğeri

durumda AB ve BA matrislerinin özdeğerleri aynıdır.
olur.
İspat: A . B matrisinin bir özdeğeri A ise
ii) A matrisinin bir özdeğeri  ise
ABx = x
Ax = x
tir.
tir.
B . (A . B)x = B . x
A . Ax = A . x
(BA) Bx =  Bx
X
2
A x =  . Ax
2
(BA) X =  X
A x =  . x
2
2
elde edilir. Dolayısıyla BA matrisinin de bir özdeğeri
A x= .x
 dır.
…………….
k
X
k
Ax= x
k
k
elde edilir. Dolayısıyla A matrisinin bir özdeğeri  olur.
58
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
ii) A matrisinin bir özdeğeri  ise
Teorem: n x n tipindeki A matrisinin bir özdeğeri 
olsun. Bu durumda,
T
A - I = 0
i) Ek A matrisinin bir özdeğeri
1
 det A dır. (  0)

dır.
T
ii) A ters simetrik bir matris ise - da A matrisinin bir
A - I = 0
özdeğeridir.
T
A - I = 0
iii) A ortogonal bir matris ise
1
(  0) da A matrisi
T
A ters simetrik bir matris ise A = -A olacağından
nin bir özdeğeridir.
T
-A - I = 0
İspat:
n
(-1) . A + I= 0
i) A matrisinin bir özdeğeri  ise
A - (-)I = 0
Ax = x
elde edilir. Dolayısıyla A matrisinin bir özdeğeri de -
tir.
olur.
Ek A . Ax = Ek A . x
T
iii) A matrisinin bir özdeğeri  ise A matrisinin bir
A . I
özdeğeri de  ve A
A . x =  . Ek A . x
-1
matrisinin bir özdeğeri de
T
1

-1
dır. A ortogonal bir matris olduğundan A = A dir.
Dolayısıyla A matrisinin bir özdeğeri de
1
 A . x = Ek A . x

1
olur.

Tanım: A, n x n tipinde bir matris olmak üzere,
elde edilir. Dolayısıyla Ek A matrisinin bir özdeğeri
2
A = A ise A ya idempotent matris denir.
1
 det A olur.

59
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
Teorem: İdempotent bir matrisin 0 ve 1 den başka
Teorem: Nilpotent bir matrisin bütün özdeğerleri
özdeğeri yoktur.
sıfırdır.
İspat:
İspat:
A matrisinin bir özdeğeri  ise
A matrisinin bir özdeğeri  ise A (k N ) matrisinin
k
+
k
de bir özdeğeri  olacağından
Ax = x
k
k
Ax=x
tir.
0
A . Ax = A . x
k
0=x
2
A x =  . Ax
A
1 = 2 = ……. = k = 0
x
dır.
2
Ax =  x
x
Tanım: A ve B, n x n tipinde iki matris olsun.
2
x =  x
-1
B = P AP
2
 -=0
olacak şekilde tekil olmayan bir P matrisi varsa A ve B
matrislerine benzer matrisler denir.
 = 0 veya  = 1
Teorem:
Tanım: A, n x n tipinde bir matris ve k bir sayma
sayı olmak üzere,
i)
Matrisler arasında tanımlanan benzerlik bağın-
tısı bir denklik bağıntısıdır.
k
k-1
A = 0 ve A
0
ii)
Benzer matrislerin determinantları aynıdır.
ise A ya nilpotent matris, en küçük k sayısına da
iii) Benzer matrisler aynı karakteristik polinoma
nilpotentlik mertebesi denir.
dolayısıyla aynı özdeğerlere sahiptir.
iv) Tekil olmayan benzer matrislerin inversleri de
benzerdir.
v)
60
Benzer matrislerin kuvvetleri de benzerdir.
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
İspat:
Tanım: D köşegen bir matris olmak üzere,
-1
Burada sadece ii ve iv nin ispatlarını vereceğiz.
D = P AP
ii) A ve B, n x n tipinde benzer iki matris ise
olacak şekilde tekil olmayan bir P matrisi varsa A ya
köşegenleştirilebilir matris denir. Aynı zamanda D
-1
B = P AP
matrisinin esas köşegen üzerindeki elemanları da A
matrisinin özdeğerleridir.
olacak biçimde tekil olmayan bir P matrisi vardır.
Teorem: n x n tipindeki bir A matrisinin köşegenleş-1
B = P AP
tirilebilir olması için gerek ve yeter şart; n tane lineer
bağımsız özvektöre sahip olmasıdır.
-1
B = P  . A. P
Örnek:
1
B =
. A. P
P
1 3 
A

0 2
B = A
matrisinin köşegenleştirilebilir olup olmadığına bakalım
olacağından benzer matrislerin determinantları aynıdır.
KA() = 0
iv) A ve B tekil olmayan benzer matrisler ise
1 
3
=0
0
2
-1
B = P AP
(1 - ) . (2 - ) = 0
tir.
-1
-1
B = (P AP)
olduğundan A matrisinin özdeğerleri 1 = 1 ve 2 = 2
-1
bulunur. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri
-1
-1
-1
-1
-1
-1
bulalım.
-1 -1
B = P A (P )
(A - I) x = 0
B =P A P
(1 - ) x1 + 3x2 = 0
olacağından benzer matrislerin tersleri de benzerdir.
(2 - ) x2 = 0
61
ÖABT Lineer Cebir
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
denklem sisteminde 1 = 1 özdeğerine karşılık gelen
olduğundan 2 = -2 özdeğerine karşılık gelen
özvektör için  yerine 1 yazılarak
özvektör
3x2 = 0
3k 
3
   k    veya (3, 1)
k
 
1 
-x2 = 0
bulunur.
denklem sistemi elde edilir.
1 
3
P1    ve P2    vektörleri lineer bağımsız ve
0
 
1 
tR
2 tane olduğundan A matrisi köşegenleştirilebilir.
x1 = t
 1 3
P  P1 P2   

0 1
x2 = 0
olduğundan 1 = 1 özdeğerine karşılık gelen
 1 3 
P 1  

0 1 
özvektör
t 
1 
   t    veya (1, 0)
0
 
0
olduğundan
 1  3   1 3  1 3   1 0
D = P 1AP  




0 1  0 2 0 1 0 2
olur.
(1 - ) x1 + 3x2 = 0
3 1
bulunur. Burada P  P2 P1   
 alınırsa
 1 0
(2 -  ) x2 = 0
 2 0
-1
D = P AP = 
 elde edilir.
0 1
denklem sisteminde 2 = 2 özdeğerine karşılık gelen
özvektör için  yerine 2 yazılarak
D matrisi A matrisine benzerdir. Aynı zamanda D
-x1 + 3x2 = 0
matrisinin esas köşegen üzerindeki elemanları A
matrisinin özdeğerleridir.
denklemi elde edilir.
kR
x1 = 3k
x2 = k
62
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
1 3
A

 1 2
1.
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
 4 2
A

 1 5
4.
2
matrisinin karakteristik polinomu aşağıdakiler-
olduğuna göre, A matrisinin bir özdeğeri aşa-
den hangisidir?
ğıdakilerden hangisidir?
2
2
A)  - 3 - 5
A) 1
B)  - 3 - 1
2
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
2
C)  -  + 2
D)  -  - 5
2
E)  -  - 3
5.
2
2
T : R  R , T(x, y) = (3x - y, -x + 2y)
lineer dönüşümüne karşılık gelen matrisin
özdeğerlerinin çarpımı kaçtır?
 1 2 0


A   3 2 0
4  1 3
2.
A) -4
B) -3
C) 3
D) 4
E) 5
matrisinin özdeğerleri toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
2 1
A

 2 3
6.
matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
 3
X2   
 2
3  12 4 


A  a
0
 2
a
5
a 
3.
C)
matrisinin bir özdeğeri 1 olduğuna göre, a  Z
kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
B)
1 
X1   
 2
D) 1
E) 2
D)
3 
X1   
1 
 4
X2   
3 
E)
63
 2
X1   
 1
3 
X2   
2 
 1
X1   
 1
1 
X2   
2 
1
X1   
1
3 
X2   
2 
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
A ve B, n x n tipinde iki matris olmak üzere,
I.
A . B ve B . A matrislerinin özdeğerleri aynıdır.
matrisinin köşegenleştirilmiş hali aşağıdakiler-
II.
A = A ise A nın özdeğerleri 0 ve 1 dir.
den hangisidir?
III. k  Z , A = 0, A
 4 0
A) 

 0 1
4 0 
B) 

0  1
A) Yalnız I
 0 ise A matrisinin tüm
B) Yalnız III
D) I ve III
C) II ve III
E) I, II ve III
10. n x n tipindeki bir A matrisinin özdeğerleri
1, 2, ……,n olsun. Bu durumda,
1
 det A dır.

(  0)
II.
k-1
Yargılarından hangileri doğrudur?
0 0 
E) 

 1  4
Ek A matrisinin bir özdeğeri,
k
özdeğerleri sıfırdır.
 1 0
C) 

0 4
n x n tipindeki A matrisinin bir özdeğeri  olsun.
I.
2
+
 4 0
D) 

 1 0
8.
9.
1 1
A

6 2
7.
Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
A ters simetrik ise -  da A matrisinin bir
T
I.
A matrisinin de özdeğerleri 1, 2, ……,n dir.
II.
iz A = 1 + 2 + …… + n dir.
III. det A = 1 . 2 . …… .n dir
özdeğeridir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
III. A ortogonal bir matris ise
1
da A nın bir

A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) I ve III
özdeğeridir. (  0)
C) II ve III
E) I, II ve III
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız III
C) I ve II
E) I, II ve III
64
1. D
CEVAP ANAHTARI
2. D
3. B
4. C
5. E
6. B
7. B
10. E
8. E
9. E
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TARAMA SINAVI - 7 Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
Aşağıdakilerden hangisi
4.
A ve B, n x n tipinde iki matris olmak üzere
-1
B = P .A.P olacak şekilde tekil olmayan bir P
 1 2
A

 4 3
matrisi varsa A ile B ye benzer matrisler denir.
Buna göre,
matrisinin bir özdeğeridir?
A) -3
B) -4
C) 1
D) 2
I.
Benzer matrislerin determinantları aynıdır.
II.
Tekil olmayan benzer matrislerin tersleri de
E) 5
benzerdir.
III. Benzer matrisler aynı karakteristik polinoma
dolayısıyla aynı özdeğerlere sahiptir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
1 0 2 


A  0 2  3 
3 1 4 
2.
matrisinin karakteristik polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
B) - + 4 - 5 + 3
3
3
2
D)  - 7 + 11 + 1
A) - + 7 - 11 - 1
3
C) - - 3 + 4 + 2
2
2
5.
I.
İdempotent matrislerin 0 ve 1 den başka
özdeğeri yoktur.
3
2
E)  - 2 + 3 + 4
II.
Nilpotent matrislerin tüm özdeğerleri sıfırdır.
III. İdempotent ve nilpotent matrisler tekil olmayan matrislerdir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
 2 0
A

3 1
3.
3
matrisi veriliyor. A matrisinin özdeğerleri toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
1. E
65
CEVAP ANAHTARI
2. A
3. E
4. E
5. C
ÖABT Lineer Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
4.
1 0 
A

3  1
1.
2014
olduğuna göre, A
T
T
T T
matrisi aşağıdakilerden
II. (A ) = A
T
T
III. (k . A) = k . A
 1 0
A) 

0 1
 1 3
B) 

0 1
1 3 
D) 

0  1
1 0 
C) 

3  1
IV. A ve B çarpılabilir iki matris olmak üzere,
T
T
T
(A . B) = A . B
1 3
E) 

1 0
yargılarından kaç tanesi daima doğrudur?
A) 0
 2 0
A

0 3
5.
4
olduğuna göre, A matrisinin elemanları toplamı
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A, B ve C çarpılabilir reel matrisler olmak üzere,
I. AB = AC ise B = C dir.
kaçtır?
A) 20
T
(A + B) = A + B
hangisidir?
2.
I. A ve B toplanabilir iki matris olmak üzere,
II. AB = A ise B = I dır.
B) 37
C) 96
D) 97
E) 98
T
III. A . A = 0 ise A = 0 dır.
Yargılarından hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
3.
C) Yalnız III
E) II ve III
A ve B n. mertebeden iki kare matris, k bir
skaler olmak üzere,
I. iz(k . A) = k . iz(A)
II. iz(A  B) = iz(A)  iz(B)
6.
III. iz(A . B) = iz(A) . iz(B)
A , 2 x 2 tipinde bir matris ve rank A = 2 olmak
üzere,
yargılarından hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
2
A = 3A
C) I ve II
ise det A kaçtır?
E) I, II ve III
A) 0
66
B) 3
C) 6
D) 8
E) 9
ÖABT Lineer Cebir
37.
GENEL TARAMA SINAVI
40. A, n x n tipinde bir matris, n  Z ve  bir skaler
olmak üzere,
2 4 
A

 1  1
matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?
I. A nın singüler matris olması için gerek ve yeter
şart  = 0 ın A nın bir özdeğeri olmasıdır.
 4 1
A)   ,  
 1  1 
 1
B)  
 4
II. A regüler matris ve bir özdeğeri  ise  de
-1
A matrisinin bir özdeğeridir. (  0)
4
C)   ,
1
 1
D)  
  4
-1
1
, 
 1
n
1
 
  1
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
 2  1 
E)   ,  
 1  1
C) I ve II
E) I, II ve III
41. V1 ve V2 , F cismi üzerinde tanımlı V vektör
uzayının iki alt uzayı olsun. Bu durumda,
I. V1 + V2 , V nin alt uzayıdır.
2
I. A = A ise A matrisinin 0 ve 1 den başka
II. V1  V2 , V nin alt uzayıdır.
özdeğeri yoktur.
m
B) Yalnız II
D) I ve III
38. A, n x n tipinde bir matris olmak üzere,
+
n
III. A matrisinin bir özdeğeri  ise  de A matrisinin bir özdeğeridir.
1
, 
1
m-1
II. m  N , A = 0 ve A
III. V1  V2 , V nin alt uzayıdır.
 0 ise A matrisinin
Yargılarından hangileri daima doğrudur?
bütün özdeğerleri sıfırdır.
A) Yalnız I
T
III. A ve A matrislerinin özdeğerleri aynıdır.
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
42. Aşağıdakilerden hangisi bir elementer matris
değildir?
E) I, II ve III
39. A ve B, n x n tipinde iki matris,  bir skaler olmak üzere,
I. A matrisi ortogonal ve bir özdeğeri  ise
 1 0 0


A) 0 0 1
0 1 0
 1 0 0


B) 0 1 3 
0 0 1
 1 0 0


C) 0 1 0 
0  2 1
0 0 1


D)  1 0 0 
0 1 0 
1
da A nın bir özdeğeridir. (  0)

 1 4 0


E) 0 1 0
0 0 1
II. A . B ve B . A matrislerinin özdeğerleri aynıdır.
III. A matrisinin bir özdeğeri  ise
det A

da
Ek A nın bir özdeğeridir. (  0)
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
72
1. A
2. D
CEVAP ANAHTARI
3. C
4. D
5. C
8. A
9. E
10. E
15. C
16. E
22. E
23. C
29. D
36. A
6. E
7. D
11. B
12. E
13. A
14. E
17. E
18. E
19. C
20. B
21. A
24. B
25. C
26. D
27. E
28. A
30. E
31. B
32. C
33. E
34. D
35. C
37. A
38. E
39. E
40. E
41. C
42. D