ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER × tipinde bir matris olsun.

ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER
𝐴 𝑛 × 𝑛 tipinde bir matris olsun.
𝐴𝑋 = 𝜆𝑋
(1.1)
olmak üzere 𝑛 × 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir 𝑋 matrisi için 𝜆 sayıları için bu denklemi
sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı 𝑛 × 1 tipinden 𝑋 matrisine 𝜆 özdeğerine karşılık gelen 𝐴’nın
özvektörü adı verilir.
Örnek 1.1
1 −1 0
𝐴 = [0 1
1]
0 0 −1
𝛼
olsun. İddia ediyoruz ki; 1 özdeğerdir ve buna karşılık [ 0 ] da özvektördür. Burada 𝛼 ≠ 0 bir
0
sayıdır. Bunu göstermek için;
𝛼
1
0
𝐴 [ ] = [0
0
0
𝛼
𝛼
−1 0 𝛼
0
0
1
1 ] [ ] = [ ] = 1 [0]
0
0
0 −1 0
𝛼
Böylece 𝜆 = 1 ve 𝑋 = [ 0 ] (1.1) denklemini sağlar.
0
𝛽
2𝛽
𝐴’nın bir başka özdeğeri −1 dir. Buna ait vektörler ise [
] dir. Burada 𝛽 sıfırdan farklıdır.
−4𝛽
Direk hesaplama ile bu gösterilir.
𝛽
1
𝐴 [ 2𝛽 ] = [0
−4𝛽
0
𝛽
−𝛽
𝛽
−1 0
1
1 ] [ 2𝛽 ] = [−2𝛽 ] = −1 [ 2𝛽 ]
4𝛽
−4𝛽
0 −1 −4𝛽
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
Teorem 1.1
𝐴 matrisinin 𝜆 özdeğerine karşılık gelen özvektörü 𝑋 olsun. 𝑎 ≠ 0 alalım bu takdirde 𝛼𝑋 de 𝜆
özdeğerine karşılık gelen 𝐴 nın bir özvektörüdür.
İspat: 𝛼𝑋 in 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 denklemini sağladığını göstereceğiz. Kabulden 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 olduğundan
𝐴(𝛼𝑋) = 𝛼(𝐴𝑋) = 𝛼(𝜆𝑋) = 𝜆(𝛼𝑋)
(1.1) ispatlanır.
Bir karesel matrisin her bir özdeğeri için karşılık gelen bütün özvektörlerini ve özdeğerlerini
bulma problemine bakalım. 𝜆 nın 𝑛 × 𝑛 tipinden 𝐴 matrisinin bir özdeğeri olduğunu ve buna
karşılık gelen özvektörünün de 𝑋 olduğunu kabul edelim. Bu takdirde 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 dir. 𝑛 × 1
tipinden sıfır matrisini 𝑂 ile gösterirsek 𝜆𝑋 − 𝐴𝑋 = 𝑂 şeklinde yazılır. Bu denklem, 𝜆𝐼𝑛 𝑋 −
𝐴𝑋 = 0 veya;
(𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑋 = 𝑂
sistemi, 𝜆 özdeğerine karşılık 𝑋 özvektörü karşılık gelmek üzere aşikar olmayan bir çözüme
sahiptir. Bu elde ettiklerimizi bir teorem olarak verelim.
Teorem 1.2
𝐴 𝑛 × 𝑛 tipinde bir matris olsun. Bu takdirde;
1. 𝐴 özdeğerinin 𝜆 olması için gerek ve yeter şart |𝜆𝐼𝑛 − 𝐴| = 0 olmasıdır.
2. 𝐴 ‘nın bir özdeğeri 𝜆 ise (𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑋 = 𝑂 denklemin aşikar olmayan bir çözümü, 𝜆 ‘ya
karşılık gelen 𝐴 ‘nın bir özvektörüdür.
Dolayısıyla;
|𝜆𝐼𝑛 − 𝐴| = 0
veya daha açık bir ifadeyle;
𝜆 − 𝑎11
−𝑎21
|
⋮
−𝑎𝑛1
−𝑎12
𝜆 − 𝑎22
⋮
−𝑎𝑛2
⋯
−𝑎1𝑛
⋯
−𝑎2𝑛
|=0
⋱
⋮
⋯ 𝜆 − 𝑎𝑛𝑛
denklemini çözerek 𝐴 nın özdeğerlerini buluruz. 𝐴 verildiğinde bu determinantı alarak 𝐴 nın
elemanlarından oluşturulan katsayılara 𝜆 ya göre 𝑛 inci dereceden bir polinom elde edilir. Bu
polinoma
𝐴
nın
karaktersitik
polinomu
denir.
Bu
polinomun
kökleri
𝐴
‘nın
özdeğerleridir.|𝜆𝐼𝑛 − 𝐴| = 0 denklemi 𝐴 nın karakteristik denklemidir.
Her bir 𝜆 özdeğerine karşılık (𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑋 = 0 denkleminin aşikar olmayan çözümleri 𝐴 nın
özvektörleridir. 𝐴 nın özvektörleri 𝑛 inci dereceden polinomun kökleri olduğundan bir 𝑛 × 𝑛
tipinden matris tam olarak 𝑛 tane özdeğere sahip olacaktır. Bunların bazısı katlı kök olabilir.
Genellikle bu özdeğerleri 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 olarak alacağız. Örnek olarak 5 × 5 tipinden bir 𝐴
matrisinin karakteristik polinomu (𝜆 − 1)(𝜆 − 3)(𝜆 + 4)3 ise özdeğerler 1, 3, −4, −4 ve −4
‘tür. −4 üç katlı köktür.
Reel katsayılı 𝑛 inci dereceden bir polinom kompleks köklere sahip olabileceğinden bir matrisin
kompleks özdeğerleri alabilir. Bu takdirde (𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑋 = 0 denkleminin çözümleri kompleks
sayılardır. Dolayısıyla buna karşılık gelen özvektörler kompleks sayılardan oluşur.
Örnek 1.2
1 −1 0
𝐴 = [0 1
1]
0 0 −1
olmak üzere örnek (1.3) ‘i tekrar göz önüne alalım.
|𝜆𝐼𝑛 − 𝐴| = 0 denklemi;
𝜆−1
1
0
| 0
𝜆 − 1 −1 | = 0
0
0
𝜆+1
dır. Bu determinantı açarsak;
(𝜆 − 1)2 (𝜆 + 1) = 0
üçüncü dereceden bir polinom elde edilir. 𝐴 ‘nın karakteristik denklemidir. 𝐴 ‘nın özdeğerleri
1, 1 ve −1 ‘dir. 𝜆 = +1 özdeğerine karşılık (𝐼3 − 𝐴)𝑋 = 0 veya;
0 1
[0 0
0 0
0 𝑥1
0
−1] [𝑥2 ] = [0]
2 𝑥3
0
𝛼
sistemini çözelim. 𝑋 = [ 0 ] çözümü elde edilir. 𝛼 ≠ 0 ile böyle bir matris 1 özdeğerine karşılık
0
gelen 𝐴 ‘nın özvektörüdür. 𝜆 = −1 özdeğerine karşılık (−𝐼3 − 𝐴)𝑋 = 0 denklemini çözelim;
−2 1
0 𝑥1
0
[ 0 −2 −1] [𝑥2 ] = [0]
0
0
0 𝑥3
0
𝛽
Bu sistemin genel çözümü 𝑋 = [ 2𝛽 ] ‘dir. 𝛽 ≠ 0 olan böyle bir matris −1 özdeğerine karşılık
−4𝛽
gelen bir özvektördür. Bu hesaplamalar örnek (1.1) ‘deki özdeğer ve özvektörleri nasıl elde
ettiğimizi açıklar.
Örnek 1.3
𝐴=[
1 −2
]
2 0
matrisinin karakteristik denklemi;
|𝜆𝐼2 − 𝐴| = |𝜆 − 1 2| = 0
−2 𝜆
veya
𝜆(𝜆 − 1) + 4 = 0
dır. Kökler (1 ± √15𝑖)/2 ‘dir ve bunlar 𝐴 ‘nın özdeğerleridir. (1 + √15𝑖)/2 özdeğerine
karşılık;
[
1 + √15𝑖
𝐼2 − 𝐴] 𝑋 = 0
2
sistemini çözelim. Sonuçta;
𝛼
[(1 − √15𝑖 ) 𝛼 ]
4
çözümleri elde edilir. 𝛼 ≠ 0 için bu matris (1 + √15𝑖)/2 özdeğerine karşılık gelen
özvektördür. (1 − √15𝑖)/2 özdeğerine karşılık;
𝛽
[ 1 + √15𝑖 ] (𝛽 ≠ 0)
(
)𝛽
4
özvektörü bulunur.
Bir 𝑛 × 𝑛 tipinden matrisin özdeğerini bulmak 𝑛 ‘inci dereceden bir polinomun köklerini elde
etmeye denktir. 𝑛 ≥ 3 ise karakteristik polinomun köklerini bulmak zor olabilir. 𝑛 ‘inci
dereceden bir polinomun köklerini bulmak problemi (𝑛 ‘incimertebeden diferansiyel denklem
çözümlerinde gördüğümüz gibi) matematik kullanılarak çözülür. Bir çok uygulamalarda
özdeğerin hesaplanması önemli olmasından dolayı bilgisayar programları kullanılarak bir
matrisin özdeğerlerini yaklaşık olarak nümerik metotlarla hesaplayabiliriz.
Örnek 1.4
1 −1 1
𝐴 = [1 0 2 ]
0 1 1
matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her bir özdeğere karşılık gelen
özvektörleri bulunu.
Çözüm: Karakteristik denklemi;
1−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼3 | = | 1
0
−1
1
−𝜆
2 |=0
1 1−𝜆
dır. Buradan;
𝜆3 − 2𝜆2 = 0 üçüncü dereceden polinomu elde edilir. 𝐴 ‘nın özdeğerleri 𝜆1 = 𝜆2 = 0, 𝜆3 = 2
‘dir.
𝜆1 = 𝜆2 = 0 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörü bulmak için;
[𝐴 − 0𝐼3 ][𝑋] = [0] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak;
1 −1 1 𝑥1
0
𝑥
[1 0 2] [ 2 ] = [0]
0 1 1 𝑥3
0
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
−2𝑘
𝑋 = [ −𝑘 ] (𝑘 ≠ 0) bulunur.
𝑘
𝜆3 = 2 için;
[𝐴 − 2𝐼3 ][𝑌] = [0] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak;
−1 −1 1 𝑦1
0
[ 1 −2 2 ] [𝑦2 ] = [0]
0
1 −1 𝑦3
0
0
𝑌 = [𝑚] (𝑚 ≠ 0) bulunur. 𝑘 =
𝑚
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
1, 𝑘 = −1 ve 𝑚 = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki gibi olur,
−2 2
0
[−1] [1] ve [1]
1 1
1
Örnek 1.5
𝐴=[
1 3
]
2 1
Matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her bir özdeğere karşılık gelen
özvektörleri bulunuz.
Çözüm:
|𝐴 − 𝜆𝐼2 | = |1 − 𝜆
2
3
|=0
1−𝜆
dir. Buradan;
𝜆2 − 2𝜆 − 5 = 0 ikinci dereceden polinomu elde edilir. 𝐴 ‘nın özdeğerleri 𝜆1 = 1 − √6 ve
𝜆2 = 1 + √6 ‘dir.
𝜆1 = 1 − √6 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulmak için;
[𝐴 − (1 − √6)𝐼2 ][𝑌] = [0] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak
olursak;
𝑥1
0
[√6 3 ] [𝑥 ] = [ ]
0
2
2 √6
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
𝑋=[
−3𝑘
] (𝑘 ≠ 0) bulunur.
√6𝑘
𝜆3 = 1 + √6 için;
[𝐴 − (1 + √6)𝐼2 ][𝑌] = [0] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak
olursak;
3 ] [𝑦1 ] = [0]
[−√6
0
2
−√6 𝑦2
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
𝑌=[
3𝑚
] (𝑚 ≠ 0) bulunur. Sırasıyla 𝑘 = 1 ve 𝑚 = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki
√6𝑚
gibi olur,
[
−3
3
],[ ]
√6 √6
Örnek 1.6
𝐴=[
−2 0
]
1 4
𝐴 matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen özvektörleri
bulunuz.
Çözüm:
0
|𝜆𝐼2 − 𝐴| = |𝜆 + 2
|=0
1
𝜆−4
dir. Buradan (𝜆 + 2)(𝜆 + 4) = 0 ikinci dereceden polinomu elde edilir. 𝐴 ‘nın özdeğerleri 𝜆1 =
−2 ve 𝜆2 = 4 ‘tür.
𝜆1 = −2 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulmak için;
[−2𝐼2 − 𝐴][𝑋] = [0] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak;
0
[
1
0 𝑥1
0
] [𝑥 ] = [ ]
−6 2
0
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
𝑋=[
6𝑘
] (𝑘 ≠ 0) bulunur.
𝑘
𝜆3 = 4 için;
[4𝐼3 − 𝐴][𝑌] = [0] denklemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak;
6
[
1
0 𝑦1
0
][ ] = [ ]
0 𝑦2
0
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında
0
𝑌 = [ ] (𝑚 ≠ 0) bulunur. Sırasıyla 𝑘 = 1 ve 𝑚 = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki
𝑚
gibi olur.
6 0
[ ],[ ]
1 1