Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik Hatırlatma Yönetilebilirlik: x(t0 ) ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman * içinde x durumuna götüren bir u (t ) girişi bulunabilinir mi? Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi? Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır. Tanım: Yönetilebilirlik: 1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem [t0 , t1 ] aralığında yönetilebilir. 2) t0 anındaki herhangi bir x0 başlangıç durumunu t1 anındaki bir x1 durumuna götüren [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x (t ) Ax(t ) Bu (t ) sistemi ˆ rank[ B yönetilebilir rankC yönetilebilirlik matrisi AB ... A( n1) B] n Hatırlatma Tanım: Gözlenebilirlik [t0 , t1 ] aralığındaki giriş-çıkış çiftinden x(t0 ) tek olarak belirlenebiliyorsa sistem [t0 , t1 ] aralığında gözlenebilirdir. Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x (t ) Ax(t ) Bu (t ) sistemi y (t ) Cx(t ) Du (t ) gözlenebilir C CA n rankO ˆ rank n 1 CA gözlenebilirlik matrisi 0 0 p0 x 1 0 p1 x, y 0 0 1x 0 1 p2 ile verilen sistem hangi pi i=0,1,2 değerleri için gözlenebilirdir? 1 0 0 0 x 0 0 1 x 0u ile verilen sistem hangi ai i=0,1,2 değerleri için yönetilebilirdir? a3 a2 a1 1 Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Varsayım: A’nın özdeğerleri lineer katsız 1, 2 ,..., n D0 0 0 ... 0 1 b1 0 b 0 ... 0 2 2 x 0 0 3 ... 0 x u ... 0 bn 0 n y c1 c2 ... cn x xi ’ler birbirinden ....... bi 0 ise xi .................................dolayısıyla sistem........... ci 0 ise xi .................................dolayısıyla sistem........... (*) (*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu: G ( s ) C ( sI A) 1 B c1 c2 n ... 1 s 1 0 cn 0 0 0 ... 1 s 2 0 ... 0 1 s 3 ... ... 0 b1 0 b 2 0 0 b 1 n s n 0 ci bi G( s) s i i 1 b j 0 ve/veya c j 0 ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez n ci bi G( s) s i i 1 i j Lemma: ( A, B, C ) sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul G( s) C ( sI A) 1 Btransfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak: Gc ( s) ( sI A) 1 B Go ( s) C ( sI A) 1 F (t ) ˆ e A ( t 0 t ) B ~ Gözlenebilirlik için F (t ) ˆ Ce A(t0 t ) Yönetilebilirlik için 0 0 0 1 0 x 0 2 0 x 1 1u , 0 1 3 1 0 1 1 0 y x 1 0 0 t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler ile verilen sistemin yönetilebilirliğini ve gözlenebilirliğini inceleyiniz? 3 0.5 0.5 1 1 x 2 2.5 0.5 x 2 4u , 6 2.5 0.5 0 2 9 3 .5 1 .5 y x 5 2 1 ile verilen sistemin yönetilebilirliğini ve gözlenebilirliğini inceleyiniz? Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin ayrıştırılması Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkinC yönetilebilirlik matrisinin rankı rankC υ n olsun. Sistem z Pc x ( Pc tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir: ˆ z1 A 11 z 2 0 y Cˆ1 ˆ z1 Bˆ A 12 1 u ˆ z2 0 A 22 z Cˆ 2 1 Du z2 Pc matrisi nasıl belirlenir? C matrisinin lineer bağımsız υ sütunu Pc matrisinin ilk olarak seçilir. υ sütunu Eksik kalan n υ sütunu ise tüm sütunlar lineer bağımsız olacak şekilde tamamen keyfi seçilir. Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkin O gözlenebilirlik matrisinin rankı rankO n olsun. Sistem z Po x ( Po tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir: ˆ z1 A 0 z1 Bˆ1 11 ˆ u z ˆ ˆ 2 A21 A22 z 2 B2 z1 ˆ y C1 0 Du z2 Po matrisi nasıl belirlenir? O matrisinin lineer bağımsız satırı Po matrisinin seçilir. ilk satırı olarak Eksik kalan n satırı ise tüm satırlar lineer bağımsız olacak şekilde tamamen keyfi seçilir. Lemma: lineer zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemini aşağıdaki yapıya dönüştüren z Px ( P tersinir) dönüşümü vardır. ˆ z1 A 11 z ˆ 2 A21 z3 0 z4 0 y Cˆ1 Öyle ki alt sistemler 0 0 ˆ A ˆ A 13 ˆ A 0 ˆ A 33 ˆ A 22 0 Cˆ 3 23 43 0 z1 Bˆ1 ˆ z 2 Bˆ A 24 2 u 0 z3 0 ˆ A44 z 4 0 z1 z 0 2 Du z3 z4 Aˆ , Bˆ , Cˆ yönetilebilir ve gözlenebilir Aˆ , Bˆ ,0 yönetilebilir, gözlenemez Aˆ ,0, Cˆ yönetilemez, gözlenebilir Aˆ ,0,0 yönetilemez, gözlenemez 11 22 33 44 1 1 2 3 Minimal Gerçekleme ( A, B, C, D) durum uzayı gösterimi verilen bir sistem için transfer 1 fonksiyonu matrisi G(s) C(sI A) B D tek olarak belirlenebilir. Tersi söz konusuysa ne olur? G(s) C(sI A)1 B D transfer fonksiyonu matrisi verildiğinde durum uzayı gösterimi tek olarak belirlenebilir mi? Farklı boyutlarda G (s ) ‘i sağlayan sonsuz tane durum uzayı gösterimi vardır. Amaç: Durum uzayı gösteriminin boyutu ile sistemin yönetilebilirliği, gözlenebilirliği arasındaki ilişkiyi incelemek. Tanım: (minimal gerçekleme) G (s ) transfer fonksiyonu matrisine karşılık düşen n boyutlu durum uzayı gösterimi ( A, B, C, D) ‘e, eğer G (s ) ‘in boyutu n’den küçük bir gerçeklemesi yoksa minimal gerçekleme denir. Dikkat!!!!! Minimal gerçekleme tek değildir. ˆ z1 A 11 z ˆ A 2 21 z3 0 z4 0 0 ˆ A ˆ A 13 ˆ A 0 ˆ A 33 ˆ A 22 0 23 43 0 z1 Bˆ1 ˆ ˆ A24 z 2 B2 u 0 z3 0 ˆ z4 0 A 44 z1 z y Cˆ1 0 Cˆ 3 0 2 Du z3 z4 Bu sistem için G(s) C(sI A) 1 B D transfer fonksiyonu matrisini hesaplayalım. G ( s ) Cˆ1 0 Cˆ 3 ˆ sI A 11 ˆ A 21 0 0 0 0 ˆ sI A 22 0 0 ˆ A 13 ˆ A 23 ˆ sI A 33 ˆ A 43 0 ˆ A 24 0 ˆ sI A44 1 Bˆ1 ˆ B2 D 0 0 ˆ ) 1 Bˆ D G( s) Cˆ1 ( sI A 11 1 Teorem 4: G (s ) transfer fonksiyonu matrisinin ( A, B, C, D) gerçeklemesi minimaldir ( A, B, C, D) gözlenebilir ve yönetilebilirdir.