Untitled - Gazi Üniversitesi Açık Arşiv

ILMONEN-HAUKKANEN-MERIKOSKI KONJEKTÜRÜNÜN ĠSPATI
Ali KESKĠN
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
EKĠM 2015
Ali
KESKĠN tarafından hazırlanan “ILMONEN-HAUKKANEN-MERIKOSKI
KONJEKTÜRÜNÜN ĠSPATI” adlı tez çalıĢması aĢağıdaki jüri tarafından OY BĠRLĠĞĠ ile
Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LĠSANS TEZĠ olarak kabul edilmiĢtir.
DanıĢman: Doç. Dr. Ercan ALTINIġIK
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
...…………………
BaĢkan : Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU
Matematik, Ankara Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………...
Üye : Prof. Dr. Dursun TAġCI
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
Tez Savunma Tarihi:
…………………...
22/10/2015
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli Ģartları yerine
getirdiğini onaylıyorum.
…………………….…….
Prof. Dr. ġeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETĠK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak
hazırladığım bu tez çalıĢmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalıĢmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değiĢiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalıĢmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
Ali KESKĠN
22/10/2015
iv
ILMONEN-HAUKKANEN-MERIKOSKI KONJEKTÜRÜNÜN ĠSPATI
(Yüksek Lisans Tezi)
Ali KESKĠN
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
Ekim 2015
ÖZET
2008 yılında Ilmonen, Haukkanen ve Merikoski, köĢegen elemanları 1 olan nxn tipinden
bütün (0,1) alt üçgen Y matrisleri için Y ve Y nin transpozunun çarpımlarının en küçük
özdeğerlerinden en küçüğü ile ilgili bir konjektür sunmuĢlardır. Bu tezde bir C kodu
yardımıyla bu konjektürün 8x8 tipinden ve 9x9 tipinden matrisler için doğruluğu kontrol
edilmiĢtir. Sonra konjektürün doğru olduğu negatif olmayan matrislerin spektral yarıçapı
için bir eĢitsizlik kullanılarak ispatlanmıĢtır. Üstelik yapılan hesaplamalar ıĢığında böyle
bir Y matrisinin tek olduğuna iliĢkin bir konjektür ortaya atılmıĢtır.
Bilim Kodu
: 204.1.025
Anahtar Kelimeler : Ilmonen-Haukkanen-Merikoski konjektürü, 0-1 matrisi, özdeğer,
negatif olmayan matris, spektral yarıçap
Sayfa Adedi
: 29
DanıĢman
: Doç. Dr. Ercan ALTINIġIK
v
PROOF OF ILMONEN-HAUKKANEN-MERIKOSKI CONJECTURE
(M. Sc. Thesis)
Ali KESKĠN
GAZĠ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
October 2015
ABSTRACT
In 2008 Ilmonen, Haukkanen and Merikoski prensented a conjecture on the smallest one of
the smallest eigenvalues of all products of Y and the transpose of Y for all Y matrices in
the set of all n by n lower triangular 0-1 matrix with each diagonal element equal to 1. In
this thesis, we verify the truth of the Ilmonen-Haukkanen-Merikoski conjecture by using a
C code for 8 by 8 matrices and 9 by 9 matrices. Then, we prove that the conjecture is true
by using an inequality for spectral radii of nonnegative matrices. Furthermore, in the light
of our computations, we conjecture that such a matrix Y is unique.
Science Code
Key Words
Page Number
Supervisor
: 204.1.025
: Ilmonen-Haukkanen-Merikoski conjecture, 0-1 matrix, eigenvalue,
nonnegative matrix, spectral radius
: 29
: Assoc. Prof. Dr. Ercan ALTINIġIK
vi
TEġEKKÜR
Bu tez konusunu bana vererek çalıĢmalarımın her aĢamasında yakın ilgisini esirgemeyen,
çok kıymetli yardımlarıyla beni yönlendiren hocam, Sayın Doç. Dr. Ercan ALTINIġIK’a,
yine her aĢamada yardımlarından ötürü Sayın Mehmet YILDIZ’a, kod yazma
aĢamasındaki büyük desteği için Sayın Murat DEMĠRBÜKEN’e ve son olarak da manevi
desteğini hiçbir zaman esirgemeyen eĢime teĢekkürü bir borç bilirim.
vii
ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÖZET ..............................................................................................................................
iv
ABSTRACT ....................................................................................................................
v
TEġEKKÜR ....................................................................................................................
vi
ĠÇĠNDEKĠLER ..............................................................................................................
vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR................................................................................. viii
1. GĠRĠġ.......................................................................................................
1
2. KONJEKTÜRÜN DOĞRULUĞUNUN n=8 ve 9 ĠÇĠN KONTROL
EDĠLMESĠ .......................................................................................................................
5
3. KONJEKTÜRÜN ĠSPATI ......................................................................
9
4. SONUÇ VE ÖNERĠLER .......................................................................................
17
KAYNAKLAR ...............................................................................................................
19
EKLER ............................................................................................................................
21
EK-1. MATLAB Kodu ...................................................................................................
22
EK-2. C Kodu .................................................................................................................
23
EK-3. Teklik için C Kodu ...............................................................................................
26
ÖZGEÇMĠġ ........................................................................................................................
29
viii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalıĢmada kullanılmıĢ simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aĢağıda
sunulmuĢtur.
Simgeler
Açıklamalar
matrisinin determinantı
matrisinin izi
matrisinin spektral yarıçapı
Euler’in fi fonksiyonu
Euler fonksiyonunun Jordan genellemesi
Fibonacci sayısı
GCD matrisi
Tamsayı elemanlı
kare matrislerin kümesi
ÖzdeĢlik fonksiyonu
(
)
ve
nin en büyük ortak böleni
Kısaltmalar
Açıklamalar
GCD
En büyük ortak bölen
1
1. GĠRĠġ
farklı pozitif tamsayılardan oluĢan bir küme olsun.
en büyük ortak böleni (
((
) ile gösterilsin ve
)) ve
((
sayılarının
bir pozitif reel sayı olsun.
) ) matrisleri sırasıyla
kuvvet matrisi olarak adlandırılır. 1876 yılında Smith [23],
∏
ve
tipinden
üzerinde GCD matris ve GCD
çarpan kapalı ise
eĢitliğinin sağlandığını ispatladı. Smith’in çalıĢmasından sonra GCD, LCM
matrisleri ve bunların çeĢitli genellemelerinin determinantları, tersleri, özdeğerleri ve
matris normları ile ilgili bir çok sonuç yayınlanmıĢtır [3, 6-9, 17].
GCD matrisleri ile ilgili ilginç ve aktif çalıĢma konularından biri de bu matrislerin
özdeğerleridir. Bu konudaki ilk sonuçlar Wintner [25] ile Lindqvist ve Seip [18] tarafından
yayınlandı. Bu sonuçlar, fonksiyonel analizdeki Riesz bazları üzerine bazı teoremlerden
elde edildiğinden Hong ve Loewy’nin makalesi [12] konumuzun ilk çalıĢması olarak kabul
edilebilir. Makalede Hong ve Loewy sayılar teorisinin bazı araçlarını kullanarak GCD
kuvvet matrislerinin özdeğerlerinin asimptotik davranıĢlarını araĢtırdı.
tamsayıların kesin artan sonsuz dizisi olsun.
kümesi üzerinde tanımlı
GCD kuvvet matrisinin özdeğerleri
için (
elemanları her
)
olsun.
ve ∑
olduğunu ispatladılar. Sonra
tamsayıları verildiğinde oluĢan
ve
dizisi için
ise
dizisinin
Ģartlarını sağlasın. Bu durumda Hong
olmak üzere
ve Loewy
, pozitif
aritmetik
olduğunu gösterdiler. Bu sonuçların yanında,
aynı makalede Hong ve Loewy GCD kuvvet matrislerinin en küçük özdeğerlerinin bir alt
sınırını elde etmek için bir
olan bütün
olsun.
sabiti tanımladılar.
alt üçgen matrislerin kümesi,
,
,
tipinden köĢegen elemanları 1
ve
GCD kuvvet matrisinin en küçük özdeğeri ve
fonksiyonunun Jordan genellemesi olmak üzere
, Euler
olduğunu
2
ispatladılar [12]. Hong ve Loewy’nin makalesinden sonra literatürde konu ile ilgili bir çok
sonuç yayınlanmıĢır [1, 4, 5, 10-11, 13, 15, 19-22].
Bu çalıĢmalardan biri Ilmonen, Haukkanen ve Merikoski’nin 2008 yılında yayınladığı
makaledir [12]. Bu makalede Ilmonen, Haukkanen ve Merikoski
olabileceğine iliĢkin
sayısının ne
için MATLAB yardımıyla hesaplamalar yaptılar. Bu
hesaplamalar sonucunda
sayısının özel bir matrisin en küçük özdeğeri olduğunu
keĢfederek aĢağıdaki konjektürü ortaya attılar.
Konjektür:
{
olmak üzere
(
)
matrisi tanımlansın. O zaman
,
matrisinin en
küçük özdeğeridir [12].
Bugüne kadar ne konjektürü çürütecek bir karĢı örnek sunulabilmiĢ ne de konjektürün
doğruluğu ispat edilebilmiĢtir. Hatta
nin 7 den büyük değerleri için bilgisayar yardımıyla
bile herhangi bir araĢtırma yapılmamıĢtır. Yalnızca Mattila bu yıl basılan makalesinde
konjektürün doğru olduğunu varsayarak
sayısı için iki alt sınır sunmuĢ ancak bulduğu
sınırların iyi olmadığını itiraf etmiĢtir [19]. Aynı makalede Mattila konjektürün
doğruluğunun ispatının ya da çürütülmesinin halen bir açık problem olarak durduğunu ve
ispatın zor göründüğünü vurgulamıĢtır.
Bu tezin amacı,
nin daha büyük değerleri için konjektürün doğruluğunu bilgisayar
yardımıyla kontrol etmek ve konjektürün doğruluğuna iliĢkin ikna edici verilerin artması
durumunda konjektürün ispatını aramaktır. Bu nedenle ikinci bölümde
için
konjektürün doğruluğu öncelikle bir MATLAB programı yardımıyla kontrol edilmiĢtir.
Sonra programın çalıĢma süresinin uzun olması nedeniyle MATLAB den vazgeçilerek C
programında bir kod yazılmıĢtır. Bu kodda Newton özdeĢlikleri kullanılarak en küçük
özdeğerini hesaplamak istediğimiz matrislerin önce karakteristik polinomları bulunmuĢ
3
sonra Newton metodunu kullanarak en küçük özdeğer yaklaĢık olarak hesaplanmıĢtır.
Dolayısıyla en küçük özdeğerin bulunması, yeni C kodu yardımıyla büyük ölçüde
hızlandırılmıĢtır. Bu sayede
için de konjektürün doğruluğu kontrol edilmiĢtir. Bu
hesaplamalar konjektürün doğruluğuna iliĢkin inancı güçlendirmiĢ ve bizi konjektürün
doğruluğunu ispatlama yönünde motive etmiĢtir.
Üçüncü bölümde öncelikle her
için |
|
|
için |
|
|
| olduğu ve ardından her
| olduğu gösterilmiĢtir. Sonra negatif olmayan matrisler için
spektral yarıçap ile ilgili bir eĢitsizlik kullanılarak Ilmonen, Haukkanen ve Merikoski
tarafından ortaya atılan konjektürün ispatı yapılmıĢtır. Ayrıca yaptığımız hesaplamalar
ıĢığında, son bölümde
matrislerinden en küçük özdeğeri
olan matrisin
baĢka bir matris olamayacağını iddia eden bir konjektür ortaya atılmıĢtır.
dan
4
5
2. KONJEKTÜRÜN DOĞRULUĞUNUN n=8 ve 9 ĠÇĠN KONTROL
EDĠLMESĠ
Öncelikle üzerinde çalıĢtığımız Ilmonen-Haukkanen-Merikoski konjektürünü ifade edelim.
tipinden köĢegen elemanları 1 olan bütün
,
alt üçgen matrislerin kümesi,
ve
olsun.
2.1. Konjektür
{
olmak üzere
(
)
matrisi tanımlansın. O zaman
,
matrisinin en
küçük özdeğeridir [12].
ve
için MATLAB yardımıyla yazdığımız kod, iddianın doğruluğunu ortaya
koydu [Ek-1]. Ancak MATLAB kodunun çalıĢması
sürdü. | |
için 2 saat ve
ve | |
için 10 gün
olduğundan
için doğruluğunu kontrol etmek aynı MATLAB kodu ile yaklaĢık 7 yıl sürecekti. Bu
süreleri gördükten sonra C programlama dilinde baĢka bir kod daha yazdık [Ek-2].
matrisinin karakteristik polinomunu elde etmek için Newton özdeĢliklerini [16],
matrisinin en küçük özdeğerini bulurken de Newton yöntemini [24] kullandık. Bu sayede
programın çalıĢma süresi oldukça kısaldı.
gün sürdü. Sonuç olarak
ve
için 30 dakika ve
için yaklaĢık 7
için iddianın doğru olduğunu gördük [Ek-2]. Bu
bölümde elde edilen sonuçların bir kısmı AMAT2015 de sunulmuĢtur [2].
ġimdi kısaca Newton yöntemini sunalım ve bu yöntemin üzerinde çalıĢtığımız matrisleri
karakteristik polinomun köklerini yaklaĢık olarak hesaplamak için uygun olduğunu
6
açıklayalım.
denkleminin Newton yöntemi ile çözümü, tahmini bir
değeri ile
baĢlanarak
Ģeklinde tanımlanır [24]. Burada her
deki her bir
için
olmalıdır. Diğer yandan,
matrisi pozitif tanımlı olduğundan bu matrisin tüm özdeğerleri pozitif reel
sayılardır. Ayrıca, özdeğerinin çarpımı
aralığındadır. Üstelik
için
dir. O halde,
nin en küçük özdeğeri
nin en küçük özdeğeri
olmak üzere
nin
aralığında artan ve konkav ya
karakteristik polinomu bir fonksiyon olarak
da azalan ve konvekstir. Bütün bunlar,
değerini
aldığımızda en küçük özdeğeri
yaklaĢık olarak hesaplamak için Newton yönteminin çalıĢacağını garanti eder.
ġimdi, yazdığımız C kodunu hızlandırmak için kullandığımız ve konjektürün ispatında da
kullanacağımız Newton özdeĢliklerini verelim [16].
∑
için
Ģeklinde tanımlansın.
reel sayıları verilsin.
için
temel simetrik polinom olsun. Yani;
için
her bir
∑
,
için
dır.
Bu durumda tüm
için aĢağıdaki eĢitlik sağlanır:
∑
.
7
Buradan açıkça görülüyor ki,
sayısı
için
sayılarına bağlı olarak tek türlü bellidir.
ġimdi, Newton özdeĢliklerini kullanarak matrislerin karakteristik polinomlarının nasıl
tespit edileceğini bir lemma ile verelim.
2.1. Lemma
ve
nın karakteristik polinomu
olsun. Bu polinomun kökleri de
sağlanır ve
[16].
olsun. Bu durumda
için
için
8
9
3. KONJEKTÜRÜN ĠSPATI
Öncelikle konjektürün ispatında kullanılacak olan nilpotent (0,1) matrislerle ilgili bazı
özellikler aĢağıdaki lemmada verilecektir.
3.1. Lemma
ve
olsun. Burada
birim matristir.
ise
matrisinin
pozitif tam kuvvetinin -inci giriĢi olarak belirlensin. O halde aĢağıdakiler doğrudur.
için
i)
dır.
ise
dır.
ii)
İspat
Birinci kısmı
olduğu
üzerinden tümevarımla ispatlayalım.
nin tanımından açıktır.
için
mu?
için
ise
için iddia doğru olsun.
iddia doğru
olduğunu ispatlamalıyız.
olduğundan
∑
eĢitliği sağlanır.
iken
olduğundan
∑
olur. Diğer yandan, tümevarım kabulünden
ise
ġimdi ikinci kısmı ispatlayalım.
değerlerini alırken
olduğundan
ise
bulunur.
vardır ve tektir. Diğer yandan
eĢitliğini göz önüne alalım. Burada
olur.
alırsak
10
olduğundan
ve
olduğu da göz önüne alınırsa
bulunur.
bulunur.
3.2. Lemma
ve
{
olsun.
ve
olsun.
∑
bağıntısı vardır.
İspat
Lemma 3.1. (ii) deki eĢitliğinin her iki tarafını soldan
ile çarparsak
elde edilir. Her iki tarafa
eklenir ve
olduğu göz önünde bulundurulursa
bulunur. Yani
eĢitliği elde edilir. Lemma 3.1. (ii) eĢitliğinden
iken
ve
olduğu aĢikardır.
∑
elde edilir. Bu eĢitliği
∑
eĢitliğinden
∑
Ģeklinde de yazabiliriz.
olduğundan
iken
iken
∑
için
ve
için
11
∑
bulunur.
ġimdi, Fibonacci sayılarının toplamları için birkaç zarif özelliği kullanarak |
| sayılarının
maksimum değerlerini hesaplayalım.
3.1. Teorem
ve
için |
olsun.
|
eĢitsizliği sağlanır. Burada
-inci Fibonacci terimidir.
İspat
Lemma 3.2. deki gibi tanımlansın.
olduğunu
üzerinden tümevarımla ispatlayalım.
olduğundan |
|
|
|
olduğunu kabul edelim.
∑
Lemma 3.2. den
1.Durum:
|
|
ve
olsun. |
|
için Lemma 3.2. den
. ġimdi her
için
için iddianın doğru olduğunu gösterelim.
olduğunu biliyoruz.
olsun. Bu durumda
| ∑
|
| ∑
|
olur. Diğer yandan yine Lemma 3.2. den
terimleri ile
seçilebildiği için
kabulünden |
terimleri
ile
|
∑
dir. Buradaki
için keyfi
veya
değiĢkenleri aynı değerleri alır. O halde, tümevarım
elde edilir.
12
2.Durum:
olsun.
1.Alt Durum:
|
|
olsun. Lemma 3.2. den
| ∑
|
| ∑
|
terimleri
için ∑
ile
|
için keyfi
|
|∑
|∑
seçilebildiği
| elde edilir. Buradaki
için keyfi
terimleri
için ∑
veya
elde edilir. Diğer yandan, 1.Alt durum kabulünden
|
terimleri ile
dir. Buradaki
değiĢkenleri aynı değerleri alır. Sonuç olarak, tümevarım
kabulünden |∑
|
|
∑
bulunur. Yine Lemma 3.2. den
terimleri ile
|
veya
seçilebildiği
değiĢkenleri aynı değerleri alır. Sonuç olarak,
ile
tümevarım kabulünden |
|
elde edilir. Sonuç olarak |
|
bulunur.
2.Alt Durum:
|
|
olsun. Lemma 3.2. den
| ∑
|
bulunur. ∑
tümevarım
| ∑
değiĢkenleri aynı değerleri aldığından ve yine
ile
kabulünden
|
|∑
|
elde
olduğu için
∑
(
)
∑
edilir.
Diğer
yandan
13
eĢitliğini yazabiliriz. Buradaki
keyfi
değiĢkenleri
değerlerini alabilir. Sonuç olarak ∑
veya
ile
değiĢkenleri aynı değerleri alabildiği ve tümevarım kabulünden |∑
elde edilir. O halde |
|
|
bulunur.
Tümevarım prensibi gereğince ispat tamamlanmıĢ olur.
(
)
(
)
yazabiliriz. Eğer
ise
olarak | |
reel matrisler olsun. Eğer her
olsun. Yani
(|
|) olarak tanımlayabiliriz.
yarıçapı olarak adlandırılır ve
ise
yazabiliriz. Buna ek
matrisinin en büyük özdeğeri,
nın spektral
olarak gösterilir.
3.2. Teorem
,
|
deki gibi tanımlansın ve
olsun. Her
için |
| eĢitsizliği sağlanır.
İspat
Öncelikle
matrisinin tersini elde edelim.
{
matrisinin tersi (
olur.
{
) olsun. ġimdi
ve
olsun. O halde
|
14
olduğunu ispat edelim.
olduğundan ve Lemma 3.2. den
olduğu açıkça görülür. Yine Lemma 3.2. den
iken
iken
ve
∑
iken
dir.
ġimdi
olduğunu
iken
ispatlayalım.
için
Tümevarım kabulünden
∑
∑
olduğunu hatırlayalım.
∑
çiftse
bulunur. O halde
ve
∑
ġimdi
tekse
elde edilir.
matrisinin tersini hesaplayalım.
için
için
.
olduğunu kabul edelim.
ġimdi,
üzerinden tümevarımla
ve
∑
(
) olduğundan her
elde edilir.
için olsun.
∑
∑
∑
(
∑
elde edilir. Diğer yandan
(
)
matrisi simetrik olduğundan
∑
) elde edilir.
ġimdi de teoremin iddiasını ispatlayalım. Her
matrisinin var olduğunu biliyoruz.
için
olduğunda
(
için
olacak Ģekilde
) olsun. Lemma 3.2. ve Teorem 3.1. den
15
|
|
|∑
|
∑|
|
∑|
|
∑
|
|
elde ederiz.
ġimdi,
|
olsun. Lemma 3.2. ve Teorem 3.1. den
|
|∑
∑|
|
|
|
||
|
∑ |
||
|
∑
|
|
Sonuç olarak
ve
elde edilir.
bulunur.
matrisleri simetrik olduğundan her
için |
|
|
|
16
3.3. Lemma
olsun. Eğer | |
| |
ise
[14].
ġimdi Konjektür 2.1 in ispatını sunalım.
3.3. Teorem
ile tanımlanan matris olsun. Her
,
için
sayısı
matrisinin en küçük
özdeğeridir. Kısaca, Ilmonen-Haukkanen-Merikoski konjektürü doğrudur.
Ġspat
Teorem 3.2. deki gibi tanımlansın. Öncelikle
ve |
| matrislerinin karakteristik
polinomlarının aynı olduğunu gösterelim. Bir kare matrisin izinin tanımı göz önüne
alınırsa her
için
∑
olduğu görülür.
nin Teorem 3.2. deki formülü göz önünde bulundurulursa tüm
(
için
)
(
olduğu kolayca gösterilebilir. Buradan
)
edilir. Newton özdeĢliklerinden [16] den
polinomları aynıdır. Sonuç olarak
|
|
olur. Yani
|
ve |
|
elde
| matrislerinin karakteristik
elde edilir. Teorem 3.2. ve Lemma
3.3. den
|
|
|
|
elde edilir. Sonuç olarak her
özdeğeri her
için
pozitif tanımlı olduğu için
matrisinin en küçük
matrisinin en küçük özdeğerinden küçük veya eĢittir.
17
4. SONUÇ VE ÖNERĠLER
Literatürde
değerinin
yaklaĢık
olarak
ile
hesaplaması
bulunmamaktadır. Yakın zamanda Mattila tarafından
ilgili
değerinin alttan (
sınırlandığını ispatladı. Sonra, bu alt sınırın
çiftken (
)
)
)
ve
ile
tekken
ile değiĢtirilebileceğini gösterdi. Mattila’nın sonuçlarının yanında,
yine yakın zamanda AltınıĢık ve Büyükköse tarafından
olan
sonuç
sabiti için bir alt sınır veren bir
çalıĢma yayınlandı [19]. Bu çalıĢmada, Mattila
(
fazla
matrisinin en küçük özdeğeri
∑
değeri için bir alt sınır elde edildi ve açıkça
gösterildi [5]. Burada
matrisleri
tipinden matrisler olup
diğer durumlarda ise 0 dır. Aslında bu sınır, literatürdeki
GCD matrisi ve ilgili matrislerin en küçük özdeğerleri için
kullanılabilir [10, 12, 15, 19, 22].
olduğu
’inci girdisi | ise 1,
üzerinde tanımlı
’i içeren alt sınırlar yerine
değerinin hesaplanması üzerine yapılan yukarıdaki
çalıĢmalardan sonra, doğal olarak aĢağıdaki problemi verebiliriz.
4.1. Problem
için yukarıda bahsedilen alt sınırlar geliĢtirilebilir mi?
Diğer yandan, Ek-3’te verilen C kodu hesaplamaları ile
en küçük özdeğerinin
(2.1)’de tanımlanan
değerine eĢit olmasını sağlayan
için
matrisinin
matrisinin tek olduğu ve
matrisinden baĢkası olamayacağı görülmüĢtür. Bu hesaplamalar
ıĢığında aĢağıdaki konjektürü ortaya atıyoruz.
4.1. Konjektür
olsun.
BaĢka bir deyiĢle,
matrisinin en küçük özdeğeri
matrisinin en küçük özdeğeri
olacak Ģekilde
’e eĢit ise
matrisi tektir.
dır.
18
19
KAYNAKLAR
1.
AltınıĢık, E. (2009). On inverses of GCD matrices associated with multiplicative
functions and a proof of the Hong-Loewy conjecture. Linear Algebra and Its
Applications, 430, 1313-1327.
2.
AltınıĢık, E. (2015, 28-31 May). On a Conjecture on the Smallest Eigenvalues of Some
Special Positive Definite Matrices. Paper presented at the 3rd International Conference
on Applied Mathematics \& Approximation Theory – AMAT, Ankara.
3.
AltınıĢık, E., Sagan, B. E. and Tuğlu, N. (2005). GCD matrices, posets, and
nonintersecting paths. Linear and Multilinear Algebra, 53(2), 75-84.
4.
AltınıĢık, E. and Büyükköse, ġ. (2015). A proof of a conjecture on monotonic
behavior of the largest eigenvalue of a number-theoretic matrix. American Institue of
Physics Conference Proceedings, 1648, 850118.
5.
AltınıĢık, E. and Büyükköse, ġ. (2015). A proof of a conjecture on monotonic
behavior of the smallest and the largest eigenvalue of a number-theoretic matrix.
Linear Algebra and Its Applications, 471, 141-149.
6.
AltınıĢık, E., Tuğlu, N. and Haukkanen, P. (2004). A note on bounds for norms of the
reciprocal Lcm matrix. Mathematical Inequalities and Applications, 7(4) 491-496.
7.
Beslin, S. and Ligh, S. (1989). Greatest common divisor matrices. Linear Algebra and
Its Applications, 118, 69-76.
8.
Bourque, K. and Ligh, S. (1992). On GCD and LCM matrices. Linear Algebra and Its
Applications, 174, 65-74.
9.
Haukkanen, P., Wang, J. and Sillanpää, J. (1997). On Smith's determinant. Linear
Algebra and Its Applications, 258, 251-269.
10. Hong, S. (2008). Asymptotic behavior of largest eigenvalue of matrices associated
with completely even functions (mod r). Asian-European Journal of Mathematics, 1,
225-235.
11. Hong, S. and Enoch Lee, K. S. (2008). Asymptotic behavior of eigenvalues of
reciprocal power LCM matrices. Glasgow Mathematical Journal,50, 163-174.
12. Hong, S. and Loewy, R. (2004). Asymptotic behavior of eigenvalues of greatest
common divisor matrices. Glasgow Mathematical Journal,46, 303-308.
13. Hong, S. and Loewy, R. (2011). Asymptotic behavior of the smallest eigenvalue of
matrices associated with completely even functions (mod r). International Journal of
Number Theory, 7, 1681-1704.
14. Horn, R. and Johnson, C. R. (1985). Matrix Analysis (Forth edition). London:
Cambridge University Press, 490-491.
20
15. Ilmonen, P., Haukkanen, P. and Merikoski, J. K. (2008). On eigenvalues of meet and
join matrices associated with incidence functions. Linear Algebra and Its
Applications, 429, 859-874.
16. Kalman, D. (2000). A matrix proof of Newton's identities. Mathematics Magazine,
73(4), 859-874.
17. Korkee, I. and Haukkanen, P. (2003). On meet and join matrices associated with
incidence functions. Linear Algebra and Its Applications, 372, 127-153.
18. Lindqvist, P. and Seip, K. (1998). Note on some greatest common divisor matrices.
Acta Arithmetica, 84(2), 149-154.
19. Mattila, M. (2015). On the eigenvalues of combined meet and join matrices. Linear
Algebra and Its Applications, 466, 1-20.
20. Mattila, M. and Haukkanen, P. (2012). On the eigenvalues of certain number-theoretic
matrices. Paper presented at the International Conference in Number Theory and
Applications.
21. Mattila, M. and Haukkanen, P. (2012). On the eigenvalues of certain number-theoretic
matrices. East West Journal of Mathematics, 14(2), 121-130.
22. Mattila, M. and Haukkanen, P. (2004). On the positive definiteness and eigenvalues of
meet and join matrices. Discrete Mathematics, 326, 9-19.
23. Smith, H. J. S. (1876). On the value of a certain artihmetical determinant. Proceedings
London Mathematical Society, 1(7), 208-212.
24. Süli, E. and Mayers, D. (2003). An Introduction to Numerical Analysis (First edtition).
London: Cambridge University Press. 19-24.
25. Wintner, A. (1944). Diophantine approximations and Hilbert's space. American
Journal of Mathematics, 66, 564-578.
21
EKLER
22
EK-1. MATLAB Kodu
n=8;
global minE;
global minEMatrix;
minE = 1;
minEMatrix=zeros(n);
Y = eye(n);
tryMatrix(Y,2,1,n);
display(minE);
display(minEMatrix);
function setGlobals(e, mE)
global minE;
global minEMatrix;
if(e < minE)
minE=e;
minEMatrix=mE;
end
end
function tryMatrix(Y,i,j,n)
if(i == n+1)
Z = Y*Y.';
min_eZ = eigs(Z,1,'sm');
setGlobals(min_eZ,Y);
end
r = roots(E);
setGlobals(r(n),Y);
return;
end
Y(i,j)=0;
if i-1==j
tryMatrix(Y,i+1,1,n);
else
tryMatrix(Y,i,j+1,n);
end
Y(i,j)=1;
if i-1==j
tryMatrix(Y,i+1,1,n);
else
tryMatrix(Y,i,j+1,n);
end
end
23
EK-2. C Kodu
// Kodu derlerken "gcc kod.c -o kod -O2" Ģeklinde derlemelisiniz.
// ÇalıĢtırırken "time ./kod" Ģeklinde çalıĢtırmalısınız.
// Matrisin boyutu için N degerini değiĢtirmeniz yeterli.
#include <stdio.h>
#define MAXN 10
int N=9;
double minE = 1;
int minEMatrix[MAXN][MAXN];
int Y[MAXN][MAXN];
int Ytrans[MAXN][MAXN];
int Z[MAXN][MAXN];
int T[MAXN][MAXN];
int tmp[MAXN][MAXN];
int E[MAXN];
int P[MAXN];
double x,y,ydif;
// a uzeri b hesaplama
double ussu(double a, int b)
{
double c;
if(b == 1) return a;
if(b == 0) return 1;
if(b%2 == 0) {
c = ussu(a, b/2);
c = c * c;
}
else {
c = ussu(a, (b-1)/2);
c = c * c * a;
}
return c;
}
void tryMatrix(int i,int j)
{
int k,a,b,c,itr;
if(i == N+1)
{
// Ytrans = Y' O(N^2)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
Ytrans[b][a] = Y[a][b];
}
}
//****
// Z = Y * Ytrans(Y') O(N^3)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
Z[a][b] = 0;
for (c = 1 ; c <= N ; c++) {
Z[a][b] += Y[a][c] * Ytrans[c][b];
}
}
}
//****
24
EK-2(devam). C Kodu
// T = Z O(N^2)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
T[a][b]=Z[a][b];
}
}
//****
// P degerlerini belirleme O(N^4)
for (k=1 ; k<=N ; k++) {
P[k]=0;
// P[k] = Trace(T)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
P[k]+=T[a][a];
}
// tmp = T * Z
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
tmp[a][b] = 0;
for (c=1 ; c<=N ; c++) {
tmp[a][b] += T[a][c] * Z[c][b];
}
}
}
// T = tmp (T * Z)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
T[a][b]=tmp[a][b];
}
}
}
//****
// E degerlerini belirleme O(N^2)
E[1]=1;
for (a=2 ; a<=(N+1) ; a++) {
E[a]=0;
for (b=1 ; b<=(a-1) ; b++) {
E[a] -= E[a-b] * P[b];
}
E[a]=E[a]/(a-1);
}
//****
// Minimum koku bulma O(N)
x=0; // mininum kok
for (itr=1 ; itr<=4 ; itr++) {
y=0; ydif=0;
for (a=0 ; a<=N ; a++) {
y += ussu(x,a) * E[N+1-a];
}
for (a=1; a<=N ; a++ ) {
ydif += a*ussu(x,a-1)*E[N+1-a];
}
x=x-y/ydif;
}
//****
// Global minimum ile karsilastirma O(N^2)
if(x < minE) {
minE = x;
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
25
EK-2(devam). C Kodu
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
minEMatrix[a][b] = Y[a][b];
}
}
}
//****
return;
}
Y[i][j]=0;
if ((i-1)==j) {
tryMatrix(i+1,1);
}
else {
tryMatrix(i,j+1);
}
Y[i][j]=1;
if ((i-1)==j) {
tryMatrix(i+1,1);
}
else {
tryMatrix(i,j+1);
}
return;
}
int main()
{
int a,b;
// O(N)
for(a=1 ; a<=N ; a++)
Y[a][a]=1;
//****
// O((2^(N^2))*(N^4))
tryMatrix(2,1);
//****
printf("Min eigen value -> %lf\nMatrix:\n",minE);
// O(N^2)
for(a=1 ; a<=N ; a++)
{
for(b=1 ; b<=N ; b++)
printf("%d ",minEMatrix[a][b]);
printf("\n");
}
//****
return 0;
}
26
EK-3. Teklik için C Kodu
// Kodu derlerken "gcc kod.c -o kod -O2" Ģeklinde derlemelisiniz.
// ÇalıĢtırırken "time ./kod" Ģeklinde çalıĢtırmalısınız.
// Matrisin boyutu için N degerini değiĢtirmeniz yeterli.
#include <stdio.h>
#define MAXN 10
int N=9;
double minE = 1;
int minEMatrix[MAXN][MAXN];
int minMatrixCounter;
int Y[MAXN][MAXN];
int Ytrans[MAXN][MAXN];
int Z[MAXN][MAXN];
int T[MAXN][MAXN];
int tmp[MAXN][MAXN];
int E[MAXN];
int P[MAXN];
double x,y,ydif;
// a uzeri b hesaplama
double ussu(double a, int b)
{
double c;
if(b == 1) return a;
if(b == 0) return 1;
if(b%2 == 0) {
c = ussu(a, b/2);
c = c * c;
}
else {
c = ussu(a, (b-1)/2);
c = c * c * a;
}
return c;
}
void tryMatrix(int i,int j)
{
int k,a,b,c,itr;
if(i == N+1)
{
// Ytrans = Y' O(N^2)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
Ytrans[b][a] = Y[a][b];
}
}
//****
// Z = Y * Ytrans(Y') O(N^3)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
Z[a][b] = 0;
for (c = 1 ; c <= N ; c++) {
Z[a][b] += Y[a][c] * Ytrans[c][b];
}
}
}
27
EK-3(devam). Teklik için C Kodu
//****
// T = Z O(N^2)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
T[a][b]=Z[a][b];
}
}
//****
// P degerlerini belirleme O(N^4)
for (k=1 ; k<=N ; k++) {
P[k]=0;
// P[k] = Trace(T)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
P[k]+=T[a][a];
}
// tmp = T * Z
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
tmp[a][b] = 0;
for (c=1 ; c<=N ; c++) {
tmp[a][b] += T[a][c] * Z[c][b];
}
}
}
// T = tmp (T * Z)
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
T[a][b]=tmp[a][b];
}
}
}
//****
// E degerlerini belirleme O(N^2)
E[1]=1;
for (a=2 ; a<=(N+1) ; a++) {
E[a]=0;
for (b=1 ; b<=(a-1) ; b++) {
E[a] -= E[a-b] * P[b];
}
E[a]=E[a]/(a-1);
}
//****
// Minimum koku bulma O(N)
x=0; // mininum kok
for (itr=1 ; itr<=4 ; itr++) {
y=0; ydif=0;
for (a=0 ; a<=N ; a++) {
y += ussu(x,a) * E[N+1-a];
}
for (a=1; a<=N ; a++ ) {
ydif += a*ussu(x,a-1)*E[N+1-a];
}
x=x-y/ydif;
}
//****
// Global minimum ile karsilastirma O(N^2)
if(x < minE) {
minE = x;
28
EK-3(devam). Teklik için C Kodu
minMatrixCounter = 1;
for (a=1 ; a<=N ; a++) {
for (b=1 ; b<=N ; b++) {
minEMatrix[a][b] = Y[a][b];
}
}
}
// Global min degerini saglayan matrix sayisi
else if (x == minE) {
minMatrixCounter++;
}
//****
return;
}
Y[i][j]=0;
if ((i-1)==j) {
tryMatrix(i+1,1);
}
else {
tryMatrix(i,j+1);
}
Y[i][j]=1;
if ((i-1)==j) {
tryMatrix(i+1,1);
}
else {
tryMatrix(i,j+1);
}
return;
}
int main()
{
int a,b;
// O(N)
for(a=1 ; a<=N ; a++)
Y[a][a]=1;
//****
// O((2^(N^2))*(N^4))
tryMatrix(2,1);
//****
printf("Min eigen value -> %lf\nMin eigen value count -> %d\nMatrix:\n",minE,minMatrixCounter);
// O(N^2)
for(a=1 ; a<=N ; a++)
{
for(b=1 ; b<=N ; b++)
printf("%d ",minEMatrix[a][b]);
printf("\n");
}
//****
return 0;
}
29
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler
Soyadı, adı
: KESKĠN, Ali
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 20.07.1987, Sandıklı
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (533) 519 23 57
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
2015
Lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
2013
Lise
Özel Samanyolu Fen Lisesi
2004
Yabancı Dil
Ġngilizce
Yayınlar
-
Hobiler
Yüzme, Masa Tenisi, Sinema
GAZİ GELECEKTİR...