Forever you DİFERANSİYEL DENKLEMLER Tanım 1 (Diferansiyel

Forever you
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Tanım 1 (Diferansiyel denklem): İçerisinde türev ve diferansiyel bulunduran denklemlere
diferansiyel denklem denir. Diferansiyel denklemler fen ve mühendisliğin çeşitli alanlarında :
roket , uydu ve gezegenlerin hareketlerinin incelenmesinde , bir elektrik devresindeki akım ve
voltajın tespitinde ısı transferi problemlerinde , titreşim problemlerinde ortaya çıkar.
Tanım 2 (Adi diferansiyel denklemler): İçerisinde türev bulunduran denklem eğer tek
bağımsız değişken bulunduran denklem ise bu denkleme adi diferansiyel denklem
denir. F( x, y, y' , y' ' ,....., y ( n ) ) = 0 şeklinde veya a 1 y ( n ) + .... + a n y = f ( x ) şeklinde gösterilir.
Eğer an katsayı fonksiyonları sbt ise bu denklemlere sbt katsayılı diferansiyel denklemler
denir. Eğer bu katsayılardan herhangi biri veya tümü denklemi oluşturan bağımsız değişken x
i içeriyorsa bu denklemlere değişken katsayılı diferansiyel denklem denir.
Tanım 3 (Lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler): Eğer katsayı
fonksiyonlarından biri veya tümü x değişkeni ile birlikte veya tek başına bilinmeyen y
fonksiyonunu içeriyorsa denkleme lineer olmayan bu katsayılar y den bağımsız ise lineer
diferansiyel denklem denir.
Tanım 4 (Homojen diferansiyel denklem): a 1 y ( n ) + .... + a n y = f ( x ) ifadesinde f(x)=0 ise bu
diferansiyel denkleme homojen diferansiyel denklem denir.
Tanım 5 (Kısmi türevli diferansiyel denklem): Diferansiyel denklemde bir fonksiyon ve
türevleri birden fazla bağımsız değişken içeriyorsa bu tip denklemlere Kısmi türevli
diferansiyel denklem denir.
Tanım 6 (Diferansiyel denklemin derecesi ve mertebesi): Bir diferansiyel denklemde
denklemdeki en yüksek mertebeli türevin kuvvetine diferansiyel denklemin derecesi denir.
Diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebeden türeve de diferansiyel denklemin mertebesi
denir. Örnek: y' ' '+2( y' ) 2 + y = 0 diferansiyel denkleminin mertebesi 3 ve derecesi 1 dir.
Tanım 7 (Genel çözüm , özel çözüm ve tekil çözüm): Diferansiyel denklem çözüldüğünde
elde edilen çözüm fonksiyonu denklemin mertebesi kadar keyfi sbt içermek zorundadır. Bu
tür çözümlere genel çözüm denir. Genel çözümdeki keyfi sbtlere verilen bir değer sonucunda
elde edilen çözüme özel çözüm denir. Genel çözümdeki keyfi sbtlere değer verilerek elde
edilemeyen çözümlere ise tekil çözüm denir.
Tanım 8 (Başlangıç değer ve sınır değer problemi): Diferansiyel denklemlerde bilinmeyen
fonksiyon ve türevleri üzerinde bağımsız değişkenin aynı değerleri için verilen şartlar altında
çözümlerinin problemine başlangıç değer problemi denir. Benzer olarak bilinmeyen
fonksiyon ve bunun türevlerinin üzerinde bağımsız değişkenin farklı değerleri için verilen
şartlar altında çözümlerinin problemine sınır değer problemi denir.
Tanım 9 (Birinci mertebeden diferansiyel denklemler): Birinci mertebeden diferansiyel
denklemler genel olarak y ' = f(x,y) şeklinde gösterilir. M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 ifadesine
diferansiyel biçimde gösteriliş denir.
t@k
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Forever you
Tanım 10 (Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler): Birinci mertebeden
diferansiyel denklem aranan fonksiyon ve onun türevlerine göre lineer ise bu tip denklemlere
birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler denir. P(x)y’+Q(x)y=R(x) şeklindedir.
Tanım 11 (Sabitlerin değişimi yöntemi – lagrange): Bu yöntemde önce verilen
diferansiyel denklemin sağ taraf fonksiyonunun sıfır olduğu kabul edilir. Bu durumdaki
denklem için homojen çözüm olur. Daha sonra bu çözümdeki keyfi sbt x e bağlı bir
fonksiyonmuş gibi kabul edilip bu fonksiyonun denklemi sağlaması gerektiğinden denklemde
yerine yazılarak homojen olmayan çözüm elde edilmiş olur.
Tanım 12 (Bernoulli diferansiyel denklemi): P(x) ve Q(x) fonksiyonları x in sürekli
fonksiyonları olmak üzere y'+f (x ) y = q( x ) y n n≠0 , n≠1 biçiminde tanımlanan diferansiyel
denklemlere bernoulli diferansiyel denklemleri denir.
Tanım 13 (Clairaut diferansiyel denklemi): y ye göre çözüldüğü zaman : y = x P + f (P)
Şeklinde yazılabilen denkleme clairaut diferansiyel denklemi denir.
Tanım 14 (Analitik fonksiyon): x in belli bir noktasında fonksiyon sürekli ve türevlere

f ( n ) ( x0 )( x  x0 )
sahip olsun. x = x0 noktasında fonksiyon 
Taylor serisine açılabiliyor ise
x!
n 0
ve bu noktanın komşuluğunda seri f(x) fonksiyonun yakınsıyorsa bu fonksiyona analitik
fonksiyon denir.
Tanım 15 (Riccati diferansiyel denklemi):
y' = P0 (x ) + P1 ( x ) y + P2 ( x ) y 2 şeklindeki
diferansiyel denklemlere riccati diferansiyel denklemi denir.
Tanım 16 (Tam diferansiyel denklemler): M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 diferansiyel denklemini
göz önüne alalım. Eğer : dg = M(x,y)dx+N(x,y)dy eşitliği mevcut olacak şekilde bir g(x,y)
∂
M ∂N
fonksiyonu mevcut ise yani bu denklemde :
=
şartı mevcut ise bu diferansiyel
∂
y ∂
x
denklemlere tam diferansiyel denklemler denir.
Tanım 17 (İntegral çarpanı- Euler çarpanı): M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 denklemini göz önüne
alalım. Eğer bu denklem tam değil ise bu durumda öyle bir I(x,y) fonksiyonu bulunmalıdır ki
bu fonksiyon ile 1 ile verilen denklem çarpıldığında elde edilen denklem tam diferansiyel
olur. I(x,y) fonksiyonun integral çarpanı denir.
t@k
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/