kısmi diferansiyel denklem

UYGULAMALI
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
GİRİŞ
Birçok mühendislik, fizik ve sosyal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade
edildiği zaman bu problemler, bilinmeyen fonksiyonun bir veya daha yüksek mertebeden
türevlerini içeren bir denklemi sağlayan fonksiyonun bulunması problemine dönüşür. Bu
mantıkla oluşturulmuş denklemlere ‘Diferansiyel Denklemler’ denir. Diferansiyel
denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik
problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım
problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radyoaktif
maddelerin parçalanması problemleri, elektrik devreleri vb. gösterilebilir. Bu dersin amacı
diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü öğrenmektir.
Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim
hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu
görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler
sonucuna göre,
y'(x) = k . y(x)
yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif
olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif
olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi
y' - ky = 0 ’dır.
Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda)
soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki
sıcaklığı ve ortamın sıcaklığı arasındaki fark ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise
y'(x) = k (y(x) – 30)
yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi
y' = k(y – 30) olur.
Diferansiyel Denklem Kavramı
x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevleri (y', y'',
y''',…, y(n) ) arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Bu eşitlikte türevlerle
beraber y=f(x) fonksiyonunun kendisi x’in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir.
Böyle bir denklem sembolik olarak,
veya
şeklinde gösterilir.
)
Diferansiyel denklemlerde Sınıflandırma:
Değişken sayısına göre;
1) Adi dif denklemler (Tek değişkenli)
2) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli)
Mertebeye göre;
1) I. Mertebeden dif denklemler
2) Yüksek Mertebeden dif denklemler
Lineerliğe göre;
1) Lineer dif denklemler
2) Non-lineer dif denklemler
Katsayılara göre;
1) Sabit Katsayılı dif denklemler
2) Değişken Katsayılı dif denklemler
y=f(x) fonksiyonu tek değişkenli bir fonksiyon ise denkleme adi diferansiyel denklem
denir.
Bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu birden fazla değişkene bağlı ise ise kısmi diferansiyel
denklem denir.
adi diferansiyel denklem
kısmi diferansiyel denklem
adi diferansiyel denklem

kısmi diferansiyel denklem
Diferansiyel Denklemin Mertebesi
Denklemdeki en yüksek mertebeli türevin değerine diferansiyel denklemin mertebesi denir.
y  Cosx
(I. Mertebeden dif.denklem)
x2 y  yx  y  5
(III. Mertebeden dif.denklem)
y  y  y
(II. Mertebeden dif.denklem)
(I. Mertebeden dif.denklem)
4
n
f ( x, y, y, y, y, y ) ...... y ) )  0
(n. Mertebeden dif.denklem)
Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır.
Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'', . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor.
Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır.
Diferansiyel Denklemin Derecesi
Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebedeki türevin kuvvetine diferansiyel
denklemin derecesi denir.
y' = y/x
1. Dereceden dif. denk.
(y')2= y/x
2. Dereceden dif. denk.
y'' + 3(y')4 + 5y = 0
1. Dereceden dif. denk.
Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız.
3. mertebeden, 1. derece dif. denk.
2. mertebeden, 2. derece dif. denk.
2. mertebeden, 2. derece dif. denk.
2. mertebeden, derecesi tanımlı değil
Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler:
Lineer dif. denk.
Lineer olmayan dif. denk.
Genel, Özel ve Tekil Çözümler
Bir diferansiyel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm olmak üzere
üçe ayrılır.
Diferansiyel denklemin c sabitine bağlı çözümüne genel çözüm;
c’ye değerler verilerek elde edilen çözümlere özel çözüm denir.
Ayrıca bu genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde edilemeyen
fakat denklemi sağlayan çözümlere de tekil çözüm denir.
y  sinx  c )
y'  1  y
2
c0
c 1
c2
y 1
y1  0
0  1  12  0
genel çözüm
y  sin x
y  sin x  1)
y  sin x  2)










tekil çözüm
özel çözüm
İçerisinde keyfi sabitler içeren çözümlere genel çözüm denir.
Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere
denklemin özel çözümü denir.
GENEL ÇÖZÜM
ÖZEL ÇÖZÜM
y
y
1
x
1
x
1. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler
Örnek
ise y(x)’in genel çözümünü bulunuz.
Örnek
x
x
e
e
ec yeniden bir keyfi sabit olduğundan ec yerine yine “C” yazarsak genel çözümü:
y=C ex
Örnek
y'  1  y 2 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
dy
dy
 1 y2
dx

arcsin y  x  c
1 y
dy
1 y
2
2
 dx
  dx
y  sinx  c )
Örnek
Örnek
100° C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra
cismin sıcaklığı 70° C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur?
Bir önceki soruda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + Cekx
olarak bulunmuştu.
Başlangıçta cismin sıcaklığı 100° C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak
C sabitini bulalım:
Örnek
dr  r tand  0 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
dr
 tan d  0
r
ln r  ln Cos )  C
r  ACos
dr
 r   tand  0
ln
r
C
Cos
Örnek
x
2
)
 yx 2 y' y 2  xy 2  0 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
1  y ) dy  1  x ) dx  0
x 2 1  y )dy  y 2 1  x )dx  0
y2
 1 1
 1 1



dy

  y 2 y    x 2  x dx  0

x
1 1
ln  C  
y
x y
1
1
 ln y   ln x  C
y
x
x
 eC .e
y
x
yA
e
x y
xy
x2
x y
xy
Örnek
denkleminin genel ve özel çözümünü bulunuz.
genel çözüm
özel çözüm
ÖDEV
Değişkenlerine Ayrılabilir Hale Dönüştürülebilen Diferansiyel Denklemler
y'   ax  b) formundaki bir diferansiyel denklemde:
u  ax  b dönüşümü yapılırsa:
dy dy du
dy
elde edilir ve diferansiyel denklem

a
  u )
değişkenlerine ayrılabilir hale dönüştürülür.
dx du dx
du
Örnek
y'  sin2 x  3) formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
u  2 x  3 dönüşümü yapılırsa:
dy du
dy
y' 
2
 sin u
du dx
du
 2dy   sin u.du
y
2dy  sin u.du
2 y   cos u  C
cos u
C
2
elde edilir.
Bulunan çözümde u yerine 2x+3 yazılırsa:
y
cos2 x  3)
C
2
istenen genel çözüm elde edilmiş olur.
Örnek
y'  cos 2 y  3) formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
u  y  3 dönüşümü yapılırsa:
y' 
dy du 1 du

 cos 2 u
du dx  dx
du
 cos 2 u   dx
du
 dx
cos 2 u
tan u  x  C
Bulunan çözümde u yerine λy+3 yazılırsa:
tany  3)  x  C
Örnek
2
y'  3x  3 y  8) formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
u  3x  3 y  8 dönüşümü yapılırsa:

du
 3  3 y'
dx
du
 3 1 u2
dx
du
 1  u 2   3dx
)
arctan u  3x  C
Bulunan çözümde u yerine 3x+3y+8 yazılırsa:
y
tan3x  C )  3x  8
3
u  tan3x  C )
Örnek

)
 yy ' cos 2 x 2  y 2 e x  x  0 formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz
u  x 2  y 2 dönüşümü yapılırsa:
u'  2 x  2 yy '
x
yy '  x 
u' x 2
 e cos u  x  0
2
u'
2
ilk denklemde yerine yazılırsa:
u'
 e x cos 2 u
2
du
x


2
e
 cos 2 u  dx
tan u  2e x  C

u  arctan  2e x  C
)
Bulunan çözümde u yerine x2+y2 yazılırsa:
y  x 2  arctan C  2e x )
Homojen Denklemler
Eğer f(x,y) bir fonksiyon ve t bir gerçel sayı ise f(tx,ty)=tn f(x,y) özelliğine sahipse f’ye n.
dereceden homojen fonksiyon denir.
Örnek
f x, y )  x 2  3xy  5 y 2
fonksiyonu homojenmidir?
f tx, ty )  tx )  3tx )ty )  5ty )
2
f tx, ty )  t 2 x 2  3t 2 xy  5t 2 y 2
2

f tx, ty )  t 2 x 2  3xy  5 y 2
f tx, ty )  t 2 f x, y )
fonksiyon 2. dereceden homojendir.
)
Örnek
f x, y )  xy  x3
fonksiyonu homojenmidir?
f tx, ty )  tx )ty )  tx )
3
f tx, ty )  t 2 xy  t 3 x3

f tx, ty )  t 2 xy  tx 3
f tx, ty )  t 2 f x, y )
fonksiyon homojen değildir.
)
Homojen Diferansiyel Denklemler
Eğer f(x,y) fonksiyonu 0. dereceden homojen ise:
dy
 f ( x, y ) homojen diferansiyel denklemdir.
dx
Homojen diferansiyel denklemler,
x
y'  f ( )
y
şekline getirilebilirler. Bu denklemlerde u=y/x dönüşümü uygulanılarak denklem çözülebilir.
Genel çözüm için hesaplanan integralde u=y/x koymak yeterlidir.
Örnek
xy ' y  x 2  y 2 formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz.
y  ux
y'  u' x  u
xu' x  u )  ux  x 2  u 2 x 2
u' x  1  u 2
du
1 u2
arcsin u  ln x  C

dx
x
u  sin ln Cx )
y  xsinln Cx )
Örnek
xy  y 2
y' 
x2
formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz.
y  ux
ux 2  u 2 x 2
u' x  u 
x2

du
dx

u2  x
y
y'  u' x  u
u' x  u 2
1
 ln x  C
u
x
ln x  C