limit ve süreklilik ünite 2. ünite 2. ünite 2. ünite 2. ünit

LİMİT VE SÜREKLİLİK
ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
Limit
1.
Kazanım
: Bir bağımsız değişkenin verilen bir sayıya yaklaşmasını örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limiti ve sağdan limiti kavramlarını örneklerle
açıklar ve bir noktadaki limiti ile soldan, sağdan limitleri arasındaki ilişkiyi belirtir.
3.
Kazanım
: Limit ile ilgili özellikleri belirtir ve uygulamalar yapar.
4.
Kazanım
: Fonksiyonların limitleri ile ilgili uygulamalar yapar.
5.
Kazanım
: Genişletilmiş gerçek sayılar kümesini belirtir, fonksiyonun bir noktadaki limitinin sonsuz
olmasını ve sonsuzdaki limitini açıklar.
6.
Kazanım
: Trigonometrik fonksiyonların limiti ile ilgili özellikleri belirtir.
7.
Kazanım
: Belirsizlik durumlarını belirtir ve fonksiyonun belirsizlik noktalarındaki limitini hesaplar.
8.
Kazanım
: Bir dizinin limitini açıklar ve uygulamalar yapar.
9.
Kazanım
:
3
/
n=1
a 1 r n – 1 sonsuz geometrik dizi toplamının
|r| < 1 ise bir gerçek sayıya yaklaştığını,
|r| ≥ 1 ise bir gerçek sayıya yaklaşmadığını belirtir, yaklaştığı değer varsa bulur.
Süreklilik
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği kavramını açıklar ve verilen bir fonksiyonun verilen bir noktada sürekli ya da süreksiz olduğunu belirler.
2.
Kazanım
: Bir noktada sürekli olan fonksiyonların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün
sürekliliğine ait özllikleri ifade eder.
3.
Kazanım
: Fonksiyonun sınırlı olmasını açıklar, kapalı aralıkta sürekli fonksiyonların özelliklerini belirtir.
2. ÜNİT
LİMİT ve SÜREKLİLİK
Soldan ve Sağdan Yaklaşma
Yandaki tabloda bir x değişkeninin 4 sayısına sağdan ve soldan
yaklaşımı ifade edilmiştir. Bu durumu genellemek gerekirse;
x değişkeni a reel sayısına, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa,
bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x → a– şeklinde
gösterilir.
x
4
Soldan yaklaflma
x
x
Sa¤dan yaklaflma
x
3
5
3,5
4,5
3,9
4,1
x değişkeni a reel sayısına, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa,
3,99
4,01
bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x → a+ şeklinde
3,999
4,001
gösterilir.
.......
.......
x → 4–
x → 4+
ÖRNEK 1
f : R → R, f(x) = 3x – 1 fonksiyonunda x, 2 ye sağdan ve soldan yaklaştığında f(x) kaça yaklaşır?
Çözüm
102
Limit ve Süreklilik
LİMİT
x değişkeni a ya soldan yaklaştığında (x → a–) f(x) fonksiyonu da L1 reel sayısına yaklaşıyorsa
“f(x) in x = a daki soldan limiti L1 dir.” denir ve lim f(x) = L1 şeklinde gösterilir.
x " a–
x değişkeni a ya sağdan yaklaştığında (x → a+) f(x) fonksiyonu da L2 reel sayısına yaklaşıyorsa
“f(x) in x = a daki sağdan limiti L2 dir.” denir ve lim f(x) = L2 şeklinde gösterilir.
x " a+
Soldan limit, sağdan limite eşit ise fonksiyonun limiti vardır. Farklı ise fonksiyonun limiti yoktur.
lim f(x) = lim f(x) = L ise lim f(x) = L dir.
x " a–
x " a+
x"a
lim f(x) ≠ lim f(x) ise lim f(x) yoktur.
x " a–
x " a+
x"a
ÖRNEK 2
Aşağıda grafikleri verilen bazı fonksiyonların x = a noktasındaki limitleri bulunmuştur. İnceleyiniz.
y
y
f(x)
L
0
x
a
lim f(x) = L ,
L2
L2
L1
L
L1
0
lim f(x) = L
x " a–
x " a+
x
a
lim f(x) = L1 ,
x " a–
lim f(x) = L
y
f(x)
lim f(x) = L2
x " a+
0
lim f(x) = L1 ,
x"a
y
y
f(x)
lim f(x) = L2
x " a+
lim f(x) yoktur.
x"a
y
x
a
x " a–
lim f(x) yoktur.
x"a
f(x)
f(x)
L
f(x)
a
0
0
lim f(x) = L ,
lim f(x) = L
x " a+
lim f(x) = +∞ ,
x " a–
lim f(x) = L
lim f(x) = – ∞
x " a+
lim f(x) yoktur.
x"a
x"a
y
y
x
a
lim f(x) = +∞ ,
lim f(x) = +∞
x " a+
lim f(x) = +∞
x"a
x
lim f(x) = – ∞ ,
x " a–
lim f(x) = +∞
x " a+
lim f(x) yoktur.
y
a
0
L1
x
f(x)
x " a–
a
x"a
f(x)
0
0
x
a
x " a–
x
L2
0
lim f(x) = – ∞ ,
x " a–
lim f(x) = – ∞
x " a+
lim f(x) = – ∞
x"a
a1
a2
x
f : [a1, a2) → R ise
lim f(x) = lim+ f(x) = L1
x " a1
x " a1
lim f(x) = lim f(x) = L2
x " a2
–
x " a2
a1 noktasındaki limit, sağdan limitle,
a2 noktasındaki limit, soldan limitle belirlenir.
103
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 3
ÖRNEK 4
Aşağıda grafikleri verilen bazı fonksiyonların ∞ ile
f : R – {4 } → R, f(x) =
– ∞ daki limitleri bulunmuştur. İnceleyiniz.
teki limitini araştırınız.
®
Çözüm
y
f(x)
b
x
0
lim f(x) = ∞ ve
x"–3
®
lim f(x) = b
x"3
y
b
f(x)
lim f(x) = – ∞ ve
x"–3
®
lim f(x) = b
x"3
y
f(x)
b
x
0
lim f(x) = b ve
x"–3
®
lim f(x) = ∞
x"3
y
b
x
0
f(x)
lim f(x) = b ve
x"–3
104
lim f(x) = – ∞
x"3
ESEN YAYINLARI
x
0
x–4
x–4
fonksiyonunun x = 4
Limit ve Süreklilik
Limitle İlgili Özellikler
ÖRNEK 5
y
f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon
f(x)
olmak üzere,
® ∀c ∈ R için
2
1
–3
–2
–1
0
–1
1
3
lim c = c
x"a
® lim [f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x)
x
x"a
x"a
x"a
® lim [f(x).g(x) ] = lim f(x). lim g(x)
x"a
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun x in
x"a
x"a
® ∀c ∈ R için lim [c.f(x) ] = c. lim f(x)
x"a
–3, –2, –1, 0, 1 ve 3 değerlerinden bazıları için var
x"a
olan limitlerini bulunuz.
® g(x) ≠ 0 ve lim g(x) ≠ 0 olmak üzere,
Çözüm
x"a
lim
ESEN YAYINLARI
x"a
lim f (x)
f (x)
= x"a
g (x)
lim g (x)
x"a
® f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 ise
lim f(x) = f(a) dır.
x"a
® lim |f(x)| = lim f (x)
x"a
x"a
® n tek doğal sayı ise ya da n çift doğal sayı iken
x in a sayısına yakın tüm değerleri için
f(x) ≥ 0 ise lim
n
x"a
f (x) = n lim f (x) dir.
x"a
® lim f(x) = lim g(x) = L ve x in a sayısına
x"a
x"a
yakın tüm değerleri için
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ise lim h(x) = L dir.
x"a
® c ∈ R+ olmak üzere,
lim f (x)
lim cf(x) = c x " a
x"a
®
lim [logbf(x) ] = logb [ lim f(x) ]
x"a
x"a
105
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 6
ÖRNEK 9
Aşağıda bazı limitler hesaplanmıştır. İnceleyiniz.
lim
x"2
lim 7 = 7
®
x"5
x2 – 7
x+1
limitinin değeri nedir?
Çözüm
lim 5x = 5. lim x = 5.3 = 15
®
x"3
x"3
lim (3x + 5) = lim 3x + lim 5 = 3.2 + 5 = 11
®
x"2
x"2
x"2
ÖRNEK 10
lim [(x2 + 2).(x + 3) ] = lim (x2 + 2). lim (x + 3)
®
x"0
x"0
lim 2x
x"0
2
–x–2
x"3
= (02 + 2).(0 + 3) = 6
limitinin değeri kaçtır?
Çözüm
lim (x 2 – 2)
x2 – 2 x " 2
22 – 2 4 – 2 1
=
=
=
=
lim (x + 2)
2+2
4
2
x"2 x + 2
lim
®
x"2
ÖRNEK 11
2
2
lim (3x + 4x + 1) = 3.1 + 4.1 + 1 = 8
®
lim x 2 + 5x – 2 limitinin değeri kaçtır?
x"1
ESEN YAYINLARI
x"1
ÖRNEK 7
lim |x2 – x – 3| limitinin değeri kaçtır?
x"1
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 12
lim
3
x " –1
x 2 + 4x – 2 limitinin değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 8
f(x) = (2x + 1).|x + 3| + 4 ise
kaçtır?
Çözüm
lim f(x) limitinin değeri
x" –5
ÖRNEK 13
lim [log5(x2 + 1) ] limitinin değeri nedir?
x"3
Çözüm
106
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 14
lim [log(x3 + 2) ] limitinin değeri kaçtır?
x"2
Çözüm
ÖRNEK 15
lim [ |2x – 3| + log2(5x + 3) ] limitinin değeri nedir?
x"1
Çözüm
ÖRNEK 17
Z
2
, x<0
]] x
f(x) = [ 1
, x=0
]
–x + 2 , x > 0
\
olduğuna göre,
ESEN YAYINLARI
aşağıdaki limitleri (varsa) bulunuz.
a.
lim f(x)
x " –1
b. lim f(x)
x"0
c. lim f(x)
x"3
Çözüm
ÖRNEK 16
f(x) = )
3x – 1 , x > 0
olduğuna göre,
2x 2 – 1 , x ≤ 0
aşağıdaki limitleri (varsa) bulunuz.
a.
lim f(x)
x " –2
b. lim f(x)
x"0
c. lim f(x)
x"2
Çözüm
107
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 18
ÖRNEK 19
Z 2
x<1
]] x + 1 ,
f(x) = [ 3x – 1 , 1 ≤ x < 2
]
–x + 3 ,
x≥2
\
Aşağıda bazı limitler hesaplanmıştır. İnceleyiniz.
olduğuna göre,
lim sinx = sin
®
x"
aşağıdaki limitleri (varsa) bulunuz.
a.
lim f(x)
x"1
b.
lim cosx = cos
®
lim f(x)
x"
x"2
Çözüm
2r
3
lim tanx = tan
®
x"
r
4
lim cotx = cot
®
x"
r
2
lim
®
ESEN YAYINLARI
r
3
r
x"
6
r
=1
4
r
=
2
cos
sin x – 1
=
cos x – 3 cos
ÖRNEK 20
lim tanx limitinin değeri (varsa) nedir?
x"
r
2
Çözüm
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
a ∈ R olmak üzere,
®
®
®
®
lim sinx = sina
x"a
lim cosx = cosa
x"a
lim tanx = tana , (cosa ≠ 0)
x"a
lim cotx = cota , (sina ≠ 0)
x"a
108
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 21
lim cotx limitinin değeri (varsa) nedir?
x"0
lim
x"a
ESEN YAYINLARI
Çözüm
+ 3 , n pozitif çift sayı
1
=*
(x – a) n
yoktur , n pozitif tek sayı
lim
x "!3
1
= 0 , (n ∈ Z+)
(x – a) n
ÖRNEK 23
Aşağıdaki limitlerin değerlerini (varsa) bulunuz.
a. lim
x"3
2
x–3
b. lim
x"3
2
x–3
c.
lim
x"–3
2
x–3
Çözüm
ÖRNEK 22
Aşağıdaki limitlerin değerlerini (varsa) bulunuz.
a. lim
x"0
1
x
b.
1
x
c.
–
Çözüm
x
lim
x"3
lim
x"–3
1
x
+
–10–1 –10–10 –10–100
0
10–100
10–10
10–1
10100
1010
10
1
x
–10
x
1
10
100
1000
..... → ∞
1
x
1
1
10
1
100
1
1000
..... → 0
x
–1
–10
–100
–1000
..... → – ∞
1
x
–1
1
10
1
100
1
1000
–1010
–10100 tan›ms›z
..... → 0
109
Limit ve Süreklilik
®
ÖRNEK 25
a ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
a
0
=1,
= 0 , a ! ∞ = !∞
a
a
lim
x"3
®
(+∞) + (+∞) = +∞ , (–∞) + (–∞) = – ∞
®
(+∞).(+∞) = +∞ , (–∞).(–∞) = +∞
1
limitinin değerini (varsa) bulunuz.
(x – 3) 2
Çözüm
(+∞).(–∞) = –∞
®
∀n ∈ N+ için, (+∞)n = +∞
®
∀n ∈ N+ için, (– ∞)n = *
®
∀n ∈ N+ için,
n
®
0
0
→0, – →0
0+
0
®
a > 0 ise
n
– 3 = –∞
ÖRNEK 26
a
a
→ ∞ , – → –∞
0+
0
Aşağıda bazı limitler hesaplanmıştır. İnceleyiniz.
a
3
→0,
→ ∞ , a.∞ → ∞
3
a
®
a
a
→ –∞ , – → ∞
0+
0
a
3
→0,
→ – ∞ , a.∞ → – ∞
3
a
ESEN YAYINLARI
a < 0 ise
+ 3 , n çift
+3 =+3
n ∈ N+ ve n tek ise
®
– 3 , n tek
®
®
ÖRNEK 24
®
Aşağıdaki limitlerin değerlerini (varsa) bulunuz.
a. lim
x"0
1
x2
b.
lim
x"3
1
x2
c.
lim
x"–3
1
x2
®
lim
–2 –2
= + =
x
0
lim
–2 –2
= – =
x
0
lim
2–x 2
=
x2
(0 )
x " 0+
x " 0–
x " 0–
lim
x " 0+
3–x
=
2x – 1
lim
x+1
=
x 2 – 4x + 4
lim
x
e
=
1 – ln x 1 – 1 +
x " 2+
x
2
Çözüm
®
®
®
®
®
110
x " e+
0
lim c 1 –
1
m=1–0=1
x
lim c 2 +
3
m=2+0=2
x
x"3
x"3
lim
x2 – 2
1
=
x –1
1
lim
x2 – 2
=
x–2
x " 1+
x " 2–
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 29
® a > 1 ise
lim ax = ∞ ,
x"3
lim c
lim ax = 0
x"–3
x"3
Çözüm
® 0 < a < 1 ise
lim ax = 0 ,
x"3
3 –x
m limitinin değeri nedir?
4
lim ax = ∞
x"–3
ÖRNEK 27
lim c
x"3
1 x
m limitinin değeri nedir?
2
ÖRNEK 30
lim c –
Çözüm
x"3
2 x
m limitinin değeri nedir?
3
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 28
lim c
x"3
3 x
m
2
Çözüm
ÖRNEK 31
limitinin değeri nedir?
lim (–2)x limitinin değeri (varsa) nedir?
x"3
Çözüm
111
Limit ve Süreklilik
ETKİNLİK
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) olmak üzere,
Aşağıda r yarıçaplı bir daireye dıştan teğet olan
lim f(x) = lim g(x) = b ⇒ lim h(x) = b dir.
x"a
x"a
düzgün n - genler çizilmiştir.
x"a
n, sonsuza yaklaşırken düzgün n - genin bir kenar
uzunluğunun sıfıra yaklaştığına dikkat ediniz.
sin x
= 0 olduğunu gösteriniz.
lim
x"3 x
1
sin x
1
≤
≤
x
x
x
⇒ lim c –
1
sin x
1
≤ lim
m ≤ lim
x
x
x"3
x"3 x
⇒ 0 ≤ lim
sin x
≤0
x
x"3
x"3
x"3
lim
x"3
cos x
= 0 olduğunu gösteriniz.
x
–1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ –
cos x
1
1
≤
≤
x
x
x
⇒ lim c –
x"3
⇒ 0 ≤ lim
x"3
⇒ lim
n=3
sin x
= 0 bulunur.
x
⇒ lim
x"3
1
cos x
1
≤ lim
m ≤ lim
x
x
x"3
x"3 x
ESEN YAYINLARI
–1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ –
n=4
n=5
n=6
n = 10
n = 20
cos x
≤0
x
cos x
= 0 dır.
x
ÖRNEK 32
lim
x"3
sin 3x
limitinin değeri kaçtır?
x2
Çözüm
n = 80
112
ALIŞTIRMALAR – 1
2.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
f(x) = x – 1 ve g(x) = 2x + 1 ise
lim
lim (2x + 5x + 1)
x"2
x"0
(fog) (x)
limitinin değeri kaçtır?
(gof) (x)
b. lim 5x 2 + 4
x"1
c.
lim e
3.
cosx
x"0
f(x) = )
2x + 1 , x ≠ 0
2
, x=0
ise lim f(x) kaçtır?
x"0
d. lim (log8x3)
x"4
e.
f.
g.
lim
x " –1
(x – 1) (x 2 + 1)
x+2
lim ^ x –
x " 3–
lim
x"r
9 – 3x h
ESEN YAYINLARI
1.
4.
Z ax – b , x > 1
]
f(x) = [ 4
, x=1
] 2
x
+
a
, x<1
\
fonksiyonunun x = 1 de limiti varsa b kaçtır?
sin 5x
x
5.
h. lim (sinx.tanx)
lim
x"y
sin x – sin y
limitinin değeri nedir?
sin (x + y)
x"0
ı.
lim (sinx.cotx)
x"0
6.
i.
lim sin b
x"0
r
cos x l
2
f(x) = x2 + 2 olmak üzere,
lim (fof)(x) ifadesinin eşiti nedir?
x"1
113
Limit ve Süreklilik
8.
y
2
(varsa) bulunuz.
a.
2
–2
lim f(x)
–1 0
4
5
6
x
x"0
–2
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
grafiğine göre, aşağıdakilerin değerlerini bulub.
lim f(x)
nuz.
x " 1+
a.
c.
d.
lim f(x)
b.
x"1
lim f(x)
x"
3
2
ESEN YAYINLARI
7.
Z 2
x≤1
]] 3x – 1 ,
f : R → R , f(x) = [ 2
, 1<x<2
] 2
x +1 ,
x≥2
\
fonksiyonuna göre aşağıdakilerin değerlerini
c.
lim f(x)
x " –2 –
lim f(x)
x " –2 +
lim f(x)
x " –1
d. lim f(x)
x"0
e.
lim f(x)
x " 2+
e.
f.
f.
lim f(x)
x"5
lim f(x)
x"2
g.
g. lim f(x)
x"3
114
lim f(x)
x"2
lim f(x)
x " 6–
h. lim f(x)
x"6
Limit ve Süreklilik
12. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
10. lim
x"3
lim
2
x –1
a.
lim
1
x–2
b.
lim
1
x
c.
x " 1+
x " 2–
x " 0+
lim
–1
x +1
d.
lim
x
x
e.
lim
x–4
x 2 – 4x + 4
x " –1 –
x " 0–
x " 2+
1
m
x
lim c
3 x–2
m
4
lim c
3 x–3
m
2
x"3
x"3
lim e x
x"–3
x"2
lim
x2 – 1
x+1
h.
2 + sin x
limitinin değeri nedir?
x
lim c 2 –
x"3
1
g.
x " –1 +
x"3
lim – 3 x – 2
1– cos x
x
x " 0+
1
x
lim
f.
lim
11. lim (1 – sinx) limitinin değeri nedir?
x"3
ESEN YAYINLARI
9.
lim c
x " 2+
lim+
x"0
13.
lim
r +
x "b l
2
1
2 x–2
m
3
1
1
2 + 3x
cosx
cosx
limitinin değeri nedir?
14. x + 2 < f(x) < 2x – 1 ise lim f(x) nedir?
x"3
115
Limit ve Süreklilik
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
ÖRNEK 35
Limit hesaplamalarında karşılaşılan
lim
0 3
,
, ∞ – ∞, 0.∞, 1∞, 0°, ∞°
0 3
x " 0+
sin x
limitinin değeri nedir?
1– cos x
Çözüm
biçimindeki ifadelere belirsiz ifadeler denir.
0
Belirsizliği
0
Bu belirsizlik türüyle ilgili sorularda pay ve payda
polinomlardan oluşuyorsa bu polinomlar çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirmeler yapılıp, belirsizlik giderilir. Trigonometrik terimlerden oluşuyor ise
trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirmeler
yapılır. Ya da ileride öğreneceğiniz L'HOSPİTAL
kuralı yardımıyla çözülür.
lim
x"1
x2 – 1
limitinin değeri nedir?
x –1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 33
ÖRNEK 36
lim
r
x"
4
cos 2x
limitinin değeri nedir?
cos x – sin x
Çözüm
ÖRNEK 34
lim
x"2
x3 – 8
limitinin değeri nedir?
x2 – 4
Çözüm
116
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 37
sin x
= 1 olduğunu gösteriniz.
lim
x"0 x
lim
x"1
lim
x"0
sin x sin 0 0
belirsizliği var.
=
=
x
0
0
sin (x – 1)
limitinin değeri nedir?
x –1
Çözüm
O merkez
B
[DB teğet
%
m( BOD ) = x
1
x
O
|BC| = sinx
C
A
D
|OC| = cosx
|BD| = tanx
&
&
A( OCB ) < BOA daire diliminin alanı < A( BOD )
ÖRNEK 38
OC . BC
OB . BD
rr 2 .x
<
<
2
2r
2
lim
x"2
cos x. sin x x tan x
< <
2
2
2
cos x <
sin x
cos x
Çözüm
(Her iki tarafı
1
ile çarpalım.)
sin x
x
1
1
sin x
⇒
<
>
> cos x
sin x cos x
cos x
x
⇒ lim
x"0
1
sin x
> lim
> lim cos x
cos x x " 0 x
x"0
⇒ 1 > lim
x"0
⇒ lim
x"0
ESEN YAYINLARI
cosx . sinx < x <
sin (x 2 – 4)
limitinin değeri nedir?
x–2
sin x
>1
x
sin x
= 1 bulunur.
x
ÖRNEK 39
lim
®
lim
sin x
x
= lim
=1
x
x " 0 sin x
lim
tan x
x
= lim
=1
x
x " 0 tan x
x"0
x"0
®
x"5
x–5
limitinin değeri nedir?
tan (2x – 10)
Çözüm
lim f (x) = 0 olmak üzere,
x"a
lim
x"a
lim
x"a
m.f (x)
sin (m.f (x))
m
= lim
=
n.f (x)
n
x " a sin (n.f (x))
m.f (x)
tan (m.f (x))
m
= lim
=
n.f (x)
n
x " a tan (n.f (x))
ÖRNEK 40
lim
x"0
sin 2 x
limitinin değeri nedir?
5x 2
Çözüm
sin (m.f (x)) m
tan (m.f (x))
lim
= lim
=
n
x " a sin (n.f (x))
x " a tan (n.f (x))
117
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 41
lim
x"0
ÖRNEK 44
lim
tan 2 3x
limitinin değeri nedir?
3x 2
r
x"
2
Çözüm
1 – sin x
limitinin değeri nedir?
r
–x
2
Çözüm
ÖRNEK 42
lim
x"0
sin 3x + tan 4x
limitinin değeri nedir?
sin 2x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 43
lim
r
x"
2
cos x
limitinin değeri nedir?
r
x–
2
ÖRNEK 45
Çözüm
lim
sin
x"3
Çözüm
118
3
x
1
x limitinin değeri nedir?
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 46
lim
x"1
ÖRNEK 48
x –1
limitinin değeri nedir?
x + 2 – 10 – x
lim
x"2
Çözüm
x 2 + mx + 1
ifadesi bir gerçel sayıya eşit ise m
x2 – 4
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 49
ESEN YAYINLARI
m ve n gerçek sayılar olmak üzere,
lim
x"1
x – x+n
= m eşitliğini sağlayan m + n kaçtır?
x2 – 1
Çözüm
ÖRNEK 47
lim
x"0
1– 3 1– x
limitinin değeri nedir?
3x
Çözüm
119
Limit ve Süreklilik
3
Belirsizliği
3
ÖRNEK 52
lim
x"–3
® n ∈ N olmak üzere
4x + 1
limitinin değeri nedir?
– 2x + 3
Çözüm
f(x) = anxn + an–1xn–1 + ...... + a1x + a0
polinom fonksiyonunda,
lim f(x) =
x
x"–3
lim (anxn)
x"–3
lim f(x) = lim (anxn)
x
x"3
x"3
® m, n ∈ N olmak üzere
anxn + an–1xn–1 + ...... + a1x + a0
f(x) = ––––––––––––––––––––––––––––
bmxm + bm–1xm–1 + ...... + b1x + b0
ÖRNEK 50
3
2
ESEN YAYINLARI
Z
0
, n<m
]
]]
an
, n=m
lim f(x) = [
bm
x"3
]
]
3 veya –3 , n > m
\
ÖRNEK 53
lim (4x – x + 3) limitinin değeri nedir?
x"3
lim
Çözüm
x"3
4x 2 + 2x
limitinin değeri nedir?
3x 2 + 1
Çözüm
ÖRNEK 51
lim (2x5 + x2 – 1) limitinin değeri nedir?
x"–3
Çözüm
P(x) ve Q(x) polinom olmak üzere,
lim
x""3
P (x)
Q (x)
limiti hesaplanırken,
P(x)
ve
Q(x) in en büyük
dereceli terimleri hesaba katılarak limit bulunur.
Diğer terimler ihmal edilebilir.
120
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 54
lim
x"3
ÖRNEK 57
x2
limitinin değeri nedir?
x –1
lim
x"–3
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 55
x 3 + 2x
lim
x"–3
2x + 3
limitinin değeri nedir?
x2
x2 + 3
ÖRNEK 58
limitinin değeri nedir?
lim
x"3
Çözüm
4x 2 + x + 1
limitinin değeri nedir?
3x – 1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 56
lim
x"3
3x + 1
limitinin değeri nedir?
2x 2 + x
Çözüm
lim
x"3
4x 2 + x + 1
= lim
3x – 1
x"3
2x
4x 2
= lim
3x
x " 3 3x
= lim
x"3
2x
2
=
3x
3
olduğuna dikkat ediniz.
121
Limit ve Süreklilik
∞ – ∞ Belirsizliği
ÖRNEK 59
lim
x"–3
x x 2 + x – 1 + 3x + 1
limitinin değeri nedir?
x4 + x3 – x2 + 1
Bu tür belirsizliklerde, bazı cebirsel işlemlerle (payda eşitleme, pay ve paydayı eşlenikle çarpma, ...)
Çözüm
düzenlenerek limit kuralları yardımı ile çözülür.
a > 0 olmak üzere,
lim
x"3
ax 2 + bx + c = lim c a . x +
x"3
b
m
2a
ÖRNEK 62
1
3
limitinin değeri nedir?
lim c
–
x – 2 x2 – x – 2 m
x"2
Çözüm
ÖRNEK 60
3x – 2x
limitinin değeri nedir?
3x + 1 + 2x
lim
x"3
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 63
lim ^ x 2 + 4x + 1 – x h limitinin değeri nedir?
ÖRNEK 61
lim
x"–3
5x + 2x + 1
5x + 1 – 2x
Çözüm
122
x"3
limitinin değeri nedir?
Çözüm
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 64
lim ^ 5x + 1 –
x"3
ÖRNEK 66
3x – 1 h limitinin değeri nedir?
lim ^ 4x 2 + 1 + 2x – 1 h limitinin değeri nedir?
x"–3
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 67
lim c
x"–3
x2 + 1
– x m limitinin değeri nedir?
x –1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 65
lim ^ x + 1 –
x"3
Çözüm
x h limitinin değeri nedir?
ÖRNEK 68
lim [log3(x2 + 1) – log3(9x2 – 1) ] değeri nedir?
x"3
Çözüm
123
Limit ve Süreklilik
BİR DİZİNİN LİMİTİ
0.∞ Belirsizliği
0.∞ =
0
0
=
1
0
3
veya 0.∞ =
(an) bir dizi olmak üzere, n → ∞ için an bir a sa-
3 3
=
1 3
0
yısına yaklaşıyorsa (an) dizisinin limiti a dır denir ve
lim a n = a biçiminde gösterilir.
n"3
3
0
olduğundan, 0.∞ belirsizliği
veya
belirsiz3
0
liğine dönüştürülerek limit hesaplanır.
f(x), [1, ∞) aralığında tanımlı bir fonksiyon ve (an),
genel terimi an = f(n) olan bir dizi olmak üzere,
lim f (x) mevcut ise lim a n = lim f (x) tir.
x"3
n"3
x"3
ÖRNEK 69
lim c x. sin
x"3
2
m limitinin değeri nedir?
x
ÖRNEK 72
lim
Çözüm
n"3
4n + 3
ifadesinin eşitini bulunuz.
2n + 1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 70
Bir dizinin limiti bulunurken fonksiyon limiti ile ilgili
kurallar aynen kullanılır.
lim (x.cotx) limitinin değeri nedir?
x"0
Çözüm
ÖRNEK 73
(an) = c
2 + 4 + 6 + … + 2n
m
3n 2 + n + 2
dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 71
lim ;
x"3
1
. (3x – 5) E limitinin değeri nedir?
x+2
Çözüm
124
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 74
ÖRNEK 75
(an) = d
Fonksiyonların limiti ile ilgili kurallardan yararlanarak
bazı dizilerin limitleri bulunmuştur. İnceleyiniz.
2n – 5n+1
n
1 + 5n
dizisinin limitini bulunuz.
®
®
®
®
Çözüm
lim
2n – 1 2
= =2
n+3
1
lim
n2 + 1
=3
n+3
lim
4n 3 – 5n 2 + 2n + 1 –
=
3
n 2 – 3n 3 + 1
n"3
n"3
n"3
lim (2n – 1) . sin
n"3
1
= lim
3n n " 3
ESEN YAYINLARI
®
1
lim
=0
n"3 n + 1
ÖRNEK 76
(an) = d
(m – 2) n 2 + 5n – 1
n
2n + 3
dizisinin limiti k gerçek sayısına eşit olduğuna göre,
®
®
lim
n"3
n + 4n 2 + 1
= lim
2n + 3
n"3
m + k kaçtır?
Çözüm
lim ^ 4n 2 + n – 2n h
n"3
125
ALIŞTIRMALAR – 2
2. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
x3
sin x
lim
x2 – 4
x–2
a.
b. lim
x –1
x3 – 1
b. lim
sin (4x 2)
x2
lim
(sin 2x) 2
x 2 . cos x
a.
x"2
x"1
c.
lim
x"1
3
x 2 – 3x + 2
x 2 + 2x – 3
lim
x+1 –1
x
lim
2x –2 x
x–2
lim
x+1 –
x
x"1
e.
f.
g.
x"0
x"2
x " 0–
h. lim
x"0
ı.
i.
126
lim
lim
x"0
x"0
e.
1– x
x 2 – 2x – 8
x+2
4+x –2
x
x"0
d. lim
(x + 1) 2 – 1
x
x"–2
x"0
c.
x –1
x –1
d. lim
lim
x"0
ESEN YAYINLARI
1.
f.
lim
sin (x 2 – 9)
x–3
lim
x. sin x
1– cos x
x"3
x"0
g. lim
x"0
h.
ı.
i.
2x – tan x
sin x
lim
x
r
cos b + x l
2
x" –1
x 2010 + x 2009
tan (x + 1)
lim
sin x – sin y
x–y
lim
cos x
2x – r
x"y
r
x"
2
Limit ve Süreklilik
4.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
b.
lim (2x3 + x – 5)
lim
x"–3
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
x"3
b.
c.
lim
x"3
e.
f.
g.
4x 2 + 1
x –1
lim
x"3
lim
x"–3
1+2+3+…+x
x2 + 1
lim
x + 1 + 2x + 3
x
x"3
d.
9x 2 + 2x
3
x3 + 2
lim
x"3
lim ^ x x 2 + 1 – x 2 h
x"3
2x 2 – 1
3 – x2
c.
d.
1
3
lim c
–
1 – x 1 – x3 m
x"1
(–x5 + 2x2 + 1)
ESEN YAYINLARI
3.
e.
5.
lim
x"2
lim ^ x 2 + 3x – 1 + x h
x"–3
lim ^ x 2 + x – x h
x"3
lim ^ x 2 + 8x – 5 – x + 1 h
x"3
x– a
x–2
limitinin var olduğu biliniyorsa, bu
limit kaçtır?
h.
lim
x"3
x+
4x
x2 + 1
6.
ı.
i.
lim
2x – 3x + 1
2 x + 1 – 2.3 x
lim
rx – 1 + e x
rx – 3.e x
x"3
x"3
7.
lim
(x + h) 2 – x 2
limitinin değeri nedir?
h
lim
1– cos x
limitinin değeri nedir?
sin x
h"0
x"0
127
Limit ve Süreklilik
8.
13. lim 6 (x – r) . cot 2x @ limitinin değeri nedir?
n ∈ N+ olmak üzere,
x"r
(x + 1) n – 1
lim
limitinin değeri nedir?
x
x"0
lim (1 – x).tan
x"1
10. lim
r
x"
2
sin 2x
limitinin değeri nedir?
r
x–
2
11. lim d log 6
x"3
14. lim c x 2 . sin
rx
limitinin değeri nedir?
2
x"0
15.
ESEN YAYINLARI
9.
lim d
x"3
x–3
n limitinin değeri nedir?
x+6 –3
x"0
x"3
128
ax 3 + 2x + 1
= 1 ise a + b kaçtır?
bx – 1
1
1 2
1 3
1 x
+c m +c m + … +c m n
2
2
2
2
limitinin değeri nedir?
16. lim
12. lim
1
m limitinin değeri nedir?
x
17.
lim
tan 2 2x
limitinin değeri nedir?
1 – cos 2x
x"–3
x – 4x 2 – 1
limitinin değeri nedir?
x2 + 1 – x
Limit ve Süreklilik
GEOMETRİK SERİ
ÖRNEK 78
Genel terimi geometrik dizi olan seriye geometrik seri
denir ve
Sn =
n
/
k=1
3
/
n=1
a1
1 n–1
toplamı kaçtır?
c m
n=1 3
3
/
a 1 .r n – 1 şeklinde gösterilir.
Çözüm
.r n – 1
olmak üzere,
Sn = a1 + a1.r + a1.r2 + ..... + a1.rn–1
r.Sn = a1.r + a1.r2 + a1.r3 + ..... + a1.rn
–
Sn – r.Sn = a1 – a1.rn ⇒ Sn.(1 – r) = a1.(1 – rn)
⇒ Sn = a1.
1 – rn
1– r
bulunur.
® | r | < 1 ise (r n ) dizisi 0 a yaklaşır. Dolayısıyla
3
/
n=1
a1.r n – 1 = a1.
1
1– r
olur. ( | r | < 1 )
|r| < 1 olmak üzere,
® |r | ≥ 1 ise (r n ) dizisi bir reel sayıya yaklaş-
3
/
maz. Dolayısıyla
n=1
a1.r n – 1 = ∞ veya –∞ olur.
ÖRNEK 77
n–1
/ 3.c 23 m
n=1
3
toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
3
/
n=1
1
1– r
rn – 1 =
olduğunu geometrik olarak gösteriniz.
D
1
C
1–r
F
1
A
r
1
B
r2
r
rn
r2
...
rn
...
E
Çözüm
ABCD birim kare olmak üzere,
A, B, E doğrusal ve D, F, E doğrusal ise
&
&
DCF + EBF dir. Bu durumda,
DC
CF
1
1– r
=
⇒
=
r
BE
FB
r + r2 + … + rn + …
⇒ (1 – r).(r + r2 + ... + rn + ...) = r
⇒ (1 – r).r.(1 + r + ... + rn–1 + ...) = r
⇒ (1 – r).(1 + r + ... + rn–1 + ...) = 1v
⇒ 1 + r + ..... + rn–1 + ... =
3
⇒
/
n=1
rn – 1 =
1
1– r
1
bulunur.
1– r
129
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 79
ÖRNEK 81
3
Aşağıda bazı geometrik serilerin sonuçları bulunmuş-
/
tur. İnceleyiniz.
n=2
®
3
1 n
1
c m = / ·c m
2
n=1
n=1 2
®
3
1 2n
1
c m = / c
2
n=1
n=1 4
5 1 – n serisinin eşiti kaçtır?
Çözüm
3
/
3
/
ÖRNEK 82
3
/
n=1
®
/
n=1
3
®
/
n=1
3 n = 3 , (3 > 1 yani | r | ≥ 1 olduğundan)
c–
3 n
m serisi ıraksaktır. (| r | ≥ 1 olduğundan)
2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
3
2n + 3n
serisinin eşiti kaçtır?
5n
ÖRNEK 80
Aşağıdaki örnekler
3
/
n=1
a1 rn – 1 =
a1
1– r
( | r | < 1) ku-
ralı yardımıyla çözülmüştür. İnceleyiniz.
3 n
c m serisinde
n=0 4
3
®
/
n = 0 için a1 = c
ÖRNEK 83
0
3
m =
4
ve r =
olup
3
/
n=1
1 – 2 2n
serisinin eşiti kaçtır?
5n
Çözüm
3
®
/
n=1
c–
2 n
m serisinde
3
n = 1 için a1 = c –
130
ve r = –
2
olup
3
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 84
ÖRNEK 86
–
0,6 devirli ondalık sayısı kaça eşittir?
3
/
n=1
Çözüm
n
serisinin eşiti kaçtır?
2n
Çözüm
ÖRNEK 87
20 m yükseklikten bırakılan bir top her seferinde düştüğü yüksekliğin 1 si kadar sıçramaktadır. Topun
2
denge durumuna gelinceye kadar aldığı toplam dikey
ÖRNEK 85
/ ^– 1hn .c 3n m
3
4
n=1
yol kaç metredir?
serisinin eşiti kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
| r | < 1 olmak üzere,
3
/
n=1
n.r n–1 = 1 + 2.r1 + 3.r2 + ... + n.rn–1 +...=
1
^1 – r h2
olduğunu gösteriniz.
T = 1 + 2.r1 + 3.r2 + 4.r3 + ..... + n.rn–1 + .....
–
r.T = 1.r + 2.r2 + 3.r3 + 4.r4 + ..... + n.rn + .....
T – r.T = 1 + r1 + r2 + r3 + ..... + rn–1 + .....
T.(1 – r) =
1
1
⇒T=
olur.
1– r
^1 – r h2
1 + 2.r1 + 3.r2 + 4.r3 + ..... + n.rn–1 + ..... =
1
^1 – r h2
131
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 88
ÖRNEK 89
A
B
h1
B1
C
ABCD paralelkenarında
|AB| = 12 cm
A1
3
D
h2
|AD| = 8 cm ve
a
m( DAB) = 30° dir.
A2
h3 h4
B2
30°
A
B
Bu paralelkenarın kenarlarının orta noktalarını köşe
kabul eden dörtgen çiziliyor. Bu şekilde elde edilen
C
her dörtgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul
Şekildeki ABC üçgeninde |AB| = 3 cm ve |AC| = 4 cm
eden iç içe sonsuz tane dörtgen çiziliyor. Bu sonsuz
dir. ABC üçgeninin A köşesinden hipotenüse çizilen
sayıdaki dörtgenlerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
yükseklik h1, oluşan AB1C üçgeninin B1 köşesin-
Çözüm
den hipotenüse çizilen yükseklik h2 olup aynı işleme
sonsuz çoklukta devam ediliyor. Buna göre, çizilen
yüksekliklerin toplamı kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 90
O
r
.....
Şekildeki sonsuz çokluktaki dairelerden her birinin
yarıçapı bir büyüğünün yarıçapının 2 ü kadardır. Bu
3
dairelerden en büyüğünün yarıçapı r cm dir.
Buna göre, bu dairelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
Çözüm
132
ALIŞTIRMALAR – 3
2.
Aşağıdaki serilerin değerini bulunuz.
a.
/
n=1
Aşağıdaki devirli ondalık sayıları kesir halinde
gösteriniz.
–
a. 0, 3
6
5n
3
b. 0, 18
b.
c.
3
/ ^0, 1h
n
n=0
–
c. 1,2 3
1 2n – 1
c m
n=1 2
3
/
3.
a > 3 olmak üzere,
3
/
n=1
d.
e.
3 n–1
toplamı neye eşittir?
m
a
1–
4n + 1
/
n=1
1
3n
3
/
n=3
^– 1hn
f. /
2n
n=1 2
3
g.
c1–
3n
3
2 n + 2 2n
5n
3
/
n=1
4.
Bir kenarı 8 cm olan bir eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir eşkenar üçgen elde ediliyor. Aynı işlem elde edilen
ESEN YAYINLARI
1.
bütün eşkenar üçgenlere uygulanarak sonsuz
çoklukta eşkenar üçgen elde ediliyor. Elde edilen
bu eşkenar üçgenlerin alanları toplamı kaç cm2
dir?
5.
Bir çocuk kumbarasına hergün bir önceki attığı
paranın iki katı para atıyor. İlk gün kumbaraya
h.
ı.
3
/
n=1
1 TL attığına göre, 7. günün sonunda kumbara-
^n.6 – nh
3
/
n = – 10
2– n
sında kaç TL vardır?
6.
Bir kenarının uzunluğu a cm olan karenin içine
köşeleri bu karelerin kenarlarının orta noktaları
i.
3
%
n=1
5
1
f np
2
olacak şekilde yeni bir kare çiziliyor. Aynı şekilde
sonsuz çoklukta kare çizildiğine göre, çizilen karelerin çevreleri toplamı kaç cm dir?
133
Limit ve Süreklilik
SÜREKLİLİK
ÖRNEK 92
A ⊂ R ve f : A ⎯→ R bir fonksiyon olsun.
2x + 3 , x ≥ 2
a ∈ R olmak üzere, lim f(x) = f(a) ise f fonksiyonu,
f(x) = *
x = a noktasında süreklidir denir. Sürekli olmayan
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a kaçtır?
fonksiyona ise süreksiz fonksiyon denir.
Çözüm
x"a
x+a
, x<2
f fonksiyonu x = a da sürekli ise;
I.
f fonksiyonu x = a da tanımlı olmalıdır.
II. f fonksiyonunun x = a da limiti olmalıdır.
III. f fonksiyonunun x = a daki limiti, fonksiyonunun
x = a için aldığı değere eşit olmalıdır.
Yani,
lim f(x) = lim f(x) = f(a) olmalıdır.
x " a–
x " a+
Grafiği verilen fonksiyonlar için, grafik istenen
noktada el kaldırmadan çizilebiliyorsa fonksiyon o
ÖRNEK 93
ESEN YAYINLARI
noktada süreklidir.
ÖRNEK 91
y
3
Z
]] x – 1
f(x) = [ a – 1
]
b–x
\
, x<3
, x=3
, x>3
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a + b kaçtır?
Çözüm
2
1
–2 –1
1
2
3
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu x in hangi
değerleri için süreksizdir?
Çözüm
ÖRNEK 94
f(x) =
3x 2 – 1
fonksiyonunun süreksiz olduğu nokx2 – 4
taları bulunuz.
Çözüm
134
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 95
f(x) =
x2
ÖRNEK 97
2x 2 + x – 1
fonksiyonu reel sayılar küme– 2ax – a + 6
y
sinde sürekli ise a hangi aralıkta değer alır?
2
Çözüm
1
f(x) fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise paydasının
–5
kökü olmamalıdır. Yani,
–2
0
2
4
x
5
x2 – 2ax – a + 6 = 0 denkleminde ∆ < 0 olmalıdır.
∆ < 0 ⇒ (–2a)2 – 4.1.(–a + 6) < 0
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu x in
–5, –2, 0, 2, 4 ve 5 değerlerinden hangilerinde süreklidir?
ÖRNEK 96
Z x
, x<1
]
] 3
f(x) = [
]] 1
, x≥1
2
\ 4–x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
fonksiyonu hangi x değerinde süreksizdir?
Çözüm
135
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 98
f(x) =
ÖRNEK 101
x –1
fonksiyonu R – {–1, 2 } de sürekli
x 2 + bx + c
x2 – 2
2x – 1 – x + 3
f(x) =
olduğuna göre b + c kaçtır?
fonksiyonunun sürekli olduğu
kümeyi bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 99
Çözüm
A ⊂ R ve f : A → R bir fonksiyon olsun.
ESEN YAYINLARI
Z x –2 +a , x < 0
]]
f(x) = [ x + 6
]
, x≥0
2
\
fonksiyonu x = 0 için sürekli olduğuna göre, a kaçtır?
∀x ∈ A için f fonksiyonu sürekli ise f, tanım bölgesinde sürekli bir fonksiyondur.
Örneğin; f(x) =
1
fonksiyonu, tanım kümesi olan
x
R – {0 } kümesi üzerindeki her nokta için süreklidir.
ÖRNEK 102
f(x) =
ÖRNEK 100
x2 – 1
fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi
x+3
bulunuz.
f(x) =
Çözüm
136
sin x + 1
2 cos x – 1
meyi bulunuz.
Çözüm
fonksiyonunun sürekli olduğu kü-
Limit ve Süreklilik
Bir Fonksiyonun Kapalı Bir Aralıkta Sürekliliği
ÖRNEK 103
Z
2
]] sin x
, x≠0
f(x) = [ 1 – cos x
]]
2
, x=0
\
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli midir?
f : [a, b ] → R fonksiyonu [a, b ] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon ise f aşağıdaki özelliklere
sahiptir.
I.
f fonksiyonu sınırlıdır. Yani, ∀x ∈ [a, b ] için
Çözüm
|f(x)| ≤ k olacak şekilde bir k sayısı vardır.
II.
f([a, b ]) = [m, M ] olacak şekilde m ve M reel
sayıları vardır.
x ∈ [a, b ] olmak üzere, f(x) in en küçük (minimum) değeri m ve en büyük (maksimum) değeri M dir.
III.
f(a).f(b) < 0 ise f(x0) = 0 olacak şekilde en az
bir x0 ∈ (a, b) vardır.
ÖRNEK 105
ÖRNEK 104
f : [–1, 4 ] → R , f(x) = x2 – 2x – 3
, x≥1
, x<1
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Z x+3
] 2
]x –4
f(x) = [
] x
] x2 – 9
\
fonksiyonunun alabileceği en büyük, en küçük değerlerini ve f([–1, 4 ]) kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
137
Limit ve Süreklilik
ÖRNEK 106
f : [0, 16 ] → [0, 4 ] , f(x) =
ÖRNEK 108
x fonksiyonunun tersini
f : [–1, 2 ] → R , f(x) = x2 + 2x fonksiyonunun x eksenini kesip kesmediğini tespit ediniz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 107
x+4
fonksiyonunun alabileceği
x
en küçük (minimum) ve en büyük (maksimum) değerf : [1, 4] → R , f(x) =
ESEN YAYINLARI
(varsa) bulunuz.
lerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 109
x3 + 2x – 4 = 0 denkleminin (1, 2) aralığında bir
kökünün olduğunu gösteriniz.
Çözüm
f(x) = x3 + 2x – 4 olsun.
138
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
f(x) = *
x –1
, x≥1
x+a
, x<1
5.
f(x) =
x–2
fonksiyonu kaç farklı noktada sü2 x –8
reksizdir?
fonksiyonu x = 1 de sürekli ise a kaçtır?
2.
Z 2
]] x – 1
f(x) = [ x –1
]]
a
\
, x≠1
6.
, x=1
ESEN YAYINLARI
3.
7.
4.
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a + b kaçtır?
f(x) =
1
olmak üzere,
x –1
g(x) = (fofof)(x) fonksiyonu kaç farklı noktada
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise (a, b) nedir?
Z sin 2x
, x<0
]
] x
]
f(x) = [ a
, x=0
]
] x+b , x > 0
] 2x + 3
\
x2 – x + 1
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli
x 2 + bx + 9
olduğuna göre, b hangi aralıkta değer alabilir?
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a kaçtır?
Z 4 cos x
,
x<0
]
]
f(x) = [ a cos x + b , 0 ≤ x ≤ r
]]
,
x>r
– sin x
\
f(x) =
süreksizdir?
8.
f(x) =
2x + 1
x 2 + 2x + c
fonksiyonu x = 2 apsisli nok-
tada süreksiz olduğuna göre, c kaçtır?
139
Limit ve Süreklilik
9.
y
11. f(x) =
R – {–1, 2 } de sürekli olduğuna göre, b + c kaç-
2
tır?
1
–3 –2
x+1
fonksiyonu
x 2 + bx + c
1
2
4
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
12. f(x) =
– x 2 + x + 6 fonksiyonunun sürekli oldu-
ğu aralık nedir?
10. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri x = 1 apsisli
noktada süreksizdir?
b. f(x) =
x –1
x+1
c. f(x) = )
2x + 1 , x > 1
x2 + 2 , x ≤ 1
ESEN YAYINLARI
a. f(x) = 2 – |x – 1|
13. f(x) =
x 2 – 2x – 3
fonksiyonunun limitinin bulunup
x–3
fakat süreksiz olduğu noktanın ordinatı kaçtır?
Z x
, x>0
]
] x+1
14. f(x) = [
] x
, x≤0
] 2
\x –4
bağıntısı kaç farklı x değerinde süreksizdir?
Z 2
] 2x – 1 , x > 1
]
d. f(x) = [ 0
, x=1
]]
, x<1
\ 1
e. f(x) = 2
140
1
x –1
15. f(x) =
+1
4
4– x
aralık nedir?
fonksiyonunun sürekli olduğu
Limit
TEST – 1
1.
lim (ln(x – 1) + x + 1)
5.
y
y = f(x)
–2
0
x"2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x
3
A) 0
a
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2a
–4
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
lim
x " – 2+
f ( – x – 4)
ifadesinin değeri nedir?
f (x)
A) –2
B) –1
C)
1
2
D) 1
6.
E) 2
x + 3 ise
f(x) = x + 1 ve g(x) =
lim (fog)(x) ifadesinin eşiti kaçtır?
x"6
lim
2.
x " 0–
– x 2 . sin 2x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
B) 0
C) 1
D)
2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 1
E) 2
7.
lim
x"0
x
cos x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
x–2
n
lim d x +
x–2
x"2
3.
B) 0
C)
1
2
D) 1
E) Yoktur
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Yoktur
lim
8.
4.
a ve b birer gerçel sayıdır.
lim
x"2
x"
ax + 4
= b ise a.b kaçtır?
x–2
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
r
2
r
2
sin x
x–
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 4
A) 0
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) ∞
145
Limit ve Süreklilik
9.
13. n ∈ N+ olmak üzere,
ax 2 + 3x + 1 1
ise a + b kaçtır?
=
bx – 1
3
lim
x"3
lim
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
x"1
E) 18
xn – 1
x –1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
x – 2x + 1
x
lim
10.
x"3
B) 1
C) n
14. (an) = (log3(12n2 + 1) – log3(4n2 – 1))
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
dizisinin limiti kaçtır?
A) –2
A)
C) 0
D) 1
E) 2
1
3
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
ESEN YAYINLARI
B) –1
E) n2
D) 2n
11.
1+2+3+…+x
x2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
15.
lim
x"3
A) 0
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
A) 0
E) 2
lim ^ x 2 + 3x + 6 + x h
12.
16.
x"–3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –
1.C
3
2
2.B
146
B) –1
3.E
C) –
4.E
1
3
5.D
D) –
1
2
6.D
E) 0
7.B
sin x
sin x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
lim
x " 0+
9.C
C)
2
D)
2
2
E) 2
x+2 – x
x2 – 4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
lim
x"2
A) –
8.A
B) 1
10.B
1
2
B) –
11.C
3
8
12.A
1
8
D) –
13.C
14.C
C) –
3
1
E) –
16
4
15.B
16.D
Limit
TEST – 4
1.
5.
y
(an) = ^ n + 1 – n h dizisinin limiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) – ∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
1
–4
0
x
3
2
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
lim
x " – 4–
f(x) = – ∞
B)
C) lim f(x) = – ∞
lim
x " – 4+
lim
6.
f(x) = ∞
x"0
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D) lim f(x) = 0
x"2
sin 2x + sin 4x
sin 4x + sin 6x
x"3
A)
E) lim f(x) = ∞
1
2
B)
2
3
C)
2
5
D)
3
5
E) 1
2.
lim
x " 0–
ESEN YAYINLARI
x"3
2x 2 + 3x
x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
7.
lim
x"y
sin x – sin y
tan x – tan y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
2
D) cos y
3.
lim
x"0
C) cosy
3
E) cos y
x. sin x
x + sin x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
4.
lim
x"0
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
8.
1– cos x
x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
B) 0
lim
x "b
C)
1
2
D) 1
E) 2
r –
l
2
(2x + tanx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) – ∞
B) 0
C) 1
D) π
E) ∞
151
Limit ve Süreklilik
9.
x+3 –2
x2 – 1
x"1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B)
1
8
C)
1
4
D)
1
2
A) 0
E) 1
14.
B)
B) –2siny
D)
2
E) 2
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
E) 2sin2y
ESEN YAYINLARI
D) 1
C) 1
2n – 2 – n
n
–n
n"3 2 + 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
C) 0
1
2
lim
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2sin2y
x2 + 3 h
x"3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
cos 2x – cos 2y
lim
x–y
x"y
10.
lim ^ x 2 + x –
13.
lim
A)
12.
1
3
B)
1
2
C) 1
D)
y
3
A) – ∞
E) 3y
x
1 – cos 2x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
lim
1.E
2.A
152
B)
1
2
3.C
C)
4.B
2
2
5.C
D) 1
6.D
E)
7.E
x"–3
9x 2 + x + 1
x+1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) –3
lim
16.
x " 0+
A) 0
lim
15.
x 2 sin (x – y)
11.
lim
x3 – y3
x"y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x " e–
C) –1
D) 1
E) 3
x –1
1 – ln x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) 0
8.E
9.B
10.A
B)
11.A
1
e
12.C
C) 1
13.B
D) e
14.D
E) ∞
15.B
16.E
Limit
TEST – 7
1.
Z 2
]] x + 1 , x > 2
f(x) = [ 4
, x=2
]]
3x – 1 , x < 2
\
ise lim f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
5.
A) 0
B) 3
C) 4
D) 5
lim
h"0
(x + h) 2 – x 2
h
C) 1
2
2
D)
E)
1 – cos 2x
sin 3x
A) –1
C) 0
D) –x
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
E) –2x
ESEN YAYINLARI
B) x
lim
x"0
1
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
B)
E) Yoktur
6.
2.
x"0
x
x
– sin
2
2
cos x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x"2
A) 2
lim
cos
3.
lim
x"0
7.
sin x. sin 2x. sin 3x
tan 3 x
sin x – tan x
x3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
lim
x"0
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
A) 1
4.
B) 2
lim
x"1
C) 3
D) 6
E) ∞
sin ^ x – 1 h
x –1
8.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
B) –
E) 2
lim
x"0
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
x+4 –2
x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
157
3
2
Limit ve Süreklilik
1 – cos x 2
1 – cos x
lim
9.
x"0
13. (an) = f
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
B)
2
A) 0
A)
2
C)
2
D) 1
E)
2
14.
3n 2 + 1 – n 2 + 1
n+1
lim
10.
n"3
3 +1
B)
3 –1
1
8
B)
p dizisinin limiti kaçtır?
1
6
C)
1
4
f(x) = x5 – x2 + x ise
D)
lim
x"3
1
3
E)
1
2
f (2 – x)
f (2x + 1)
C)
A) –
1
1
1
B) –
C) –
32
16
8
D) –
1
4
E) –
1
2
3
E) 0
ESEN YAYINLARI
D) 1
2n + 2n +1
limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2n – 2n – 1
lim d
11.
x"3
x –1
– x+1
n
–
2x + 1
3x – 1
12.
1
6
lim
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
A) 0
E) 1
1 – 9n 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
1.D
2.A
158
3.D
4.C
5.C
x"0
A) 0
D) 0
6.C
C) 2
E) ∞
ex – 1
x
B) 1
C)
E) 1
7.B
D) 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
n"3
1
C) –
9
B) 1
lim
16.
n2
1
B) –
3
x"3
2
2 2
2 3
2 x
+c m +c m + … +c m n
3
3
3
3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
lim d
15.
8.B
9.E
10.B
11.A
12.C
e
2
13.B
D) e – 1
14.A
E) e
15.C
16.B
Seriler
TEST – 8
1.
3
/
n=1
1 + 2n – 1
3n – 1
B) 9
2
C) 5
D)
11
2
A) – 1
10
E) 6
6.
2
=n. c m
3
n=1
/
3.
B) – 1
20
C) – 1
24
D) 1
40
E) 1
20
G
3
/
n=1
c
2a n – 1
m
3b
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9
A)
B) 6
C) 4
D) 3
E) 2
3b + 2a
3b
D)
31 – n
n–2
n=1 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
2a
3b – 2a
2b
3b – 2a
E)
C)
3a
3b – 2a
3b
3b – 2a
3
/
A) 6
5
B) 8
5
C) 2
D)
12
5
7.
E) 3
3
/
n=0
3
/
n=–2
31 – n
8.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 41
B)
81
2
C) 40
D)
79
2
E) 39
;x.
2n
E = 24
3n
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
4.
1
E
2 2n + 1
1 < a < b olmak üzere,
n–1
3
ESEN YAYINLARI
2.
n=2
2n – 1
·
;^–1h
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
3
/
5.
B) 6
3
/
n=1
c–
C) 8
D) 12
E) 24
1 n
m
6
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
B) –
1
6
C) –
1
7
D) 1
7
E) 1
159
Limit ve Süreklilik
9.
a > 1 olmak üzere,
3
/
n=1
13.
a 2 – n = 4 olduğuna göre, a kaçtır?
B) 5
2
A) 2
D) 7
2
C) 3
A) 1
12
E) 4
14.
n–1
10.
/ 3 2n
n=0 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3
B) 4
3
C) 5
3
D) 2
11.
E) 11
12
3
2
k=1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) – 3
2
C) –1
D) 1
2
E) 1
değdikten sonra, her seferinde bir önceki yüksekliğinin 3 ü kadar yukarı çıkıyor.
4
Bu sarkaç durana kadar kaç metre yol alır?
3– k
1– k
2
k=2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
C)
3
D) 7
12
15. 10 metre yükseklikten bırakılan bir sarkaç yere
/
4
B)
3
C) 1
3
E) 8
3
3
3
A)
2
B) 1
4
/ ^– 1hk + 1 · 3k
A) –2
ESEN YAYINLARI
A) 1
2
2 + 6n + 8
n
n=1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3
/
2
D)
9
A) 84
4
E)
9
B) 80
C) 76
D) 72
E) 70
16. Bir kenarının uzunluğu 4 cm olan bir karenin
kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir
12.
3
2n
%
n=1
kare elde ediliyor. Aynı işlem yeni elde edilen
3
her kareye uygulanıyor.
Bu şekilde oluşan tüm karelerin alanlarının top-
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) v3
B) 3
D) 3v3
1.B
2.A
160
3.D
lamı kaç cm2 dir?
C) 2v3
A) 32
E) 6
4.B
5.C
6.E
7.C
8.C
9.A
10.B
B) 36
11.C
12.B
C) 40
13.D
D) 44
14.E
E) 48
15.E
16.A
Süreklilik
TEST – 9
1.
Z 2x – 1
]
]
f : R → R , f(x) = [
1
]
3r
x
] sin
2
\
fonksiyonu için aşağıdakilerden
, x < –1
4.
, x = –1
B)
C)
lim
f(x) = –3
lim
f(x) = 1
lim
f(x) = f(–1)
x " – 1–
x " – 1+
x " – 1+
1
olmak üzere,
x+1
g(x) = (fof)(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu
, x > –1
noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
hangisi yanlış-
A) –3
tır?
A)
f(x) =
B) –2
D) f fonksiyonu x = –1 de süreksizdir.
f(x) = *
5.
E) f fonksiyonu x = 0 da süreksizdir.
C) –1
D) 0
E) 1
mx + 4 , x ≥ – 1
3x + n
, x < –1
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise m + n kaçtır?
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise (m, n) ikilisi
nedir?
B) c 4 ,
A) (4, 1)
D) c
9
, 1m
2
1
m
2
C) c
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ESEN YAYINLARI
2.
A) 4
Z 3x – 1 ,
x≤ –1
]
f(x) = [ mx + n , – 1 < x < 1
]
x≥1
\ 6–x ,
9 1
, m
2 2
E) (5, 2)
6.
f(x) =
x+1
fonksiyonu R – {–3, –2 } de
x 2 + bx + c
sürekli olduğuna göre b + c kaçtır?
A) 11
3.
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 0
1
2
3
x
5
7.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu kaç
noktada limiti olduğu halde süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Z 3x + 1 ,
x≤1
]
f(x) = [ ax + b , 1 < x < 2
]
x≥2
\ 3 – 2x ,
fonksiyonu R de sürekli ise a.b kaçtır?
A) –24
B) –32
C) –36
D) – 40
E) – 45
161
Limit ve Süreklilik
8.
f(x) =
x
x+1
– 2
fonksiyonu aşağıdaki
x2 – 1
x –4
12. f(x) =
rekli olduğuna göre, n kaç farklı tam sayı değeri
noktaların hagisinde süreklidir?
A) –2
B) –1
C) 0
3x 2 – x + 1
fonksiyonu ∀x ∈ R için süx 2 + nx + 5
D) 1
alabilir?
E) 2
A) 6
Z 4
]] x – 1 , x ≠ 1
f(x) = [ x 3 – 1
]]
n
, x=1
\
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise n kaçtır?
9.
A) 0
B)
1
2
C) 1
D)
4
3
B) 7
f(x) = *
13.
E) 2
x–2
, x<2
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise m.n kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
, x<1
2x + a
, x≥1
hangisidir?
ESEN YAYINLARI
* nx + 4
4x – 1
B) –3
C) –1
D) 3
E) 5
Z x
,
x≤1
]]
14.
f(x) = [ ax + b , 1 < x < 2
]
x≥2
\ – 2x ,
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise (a, b) ikilisi
nedir?
E) 10
A) (– 4, 6)
B) (– 4, 5)
D) (–5, 6)
11. f(x) =
E) 10
fonksiyonunun x = 1 de sürekli olması için a nın
mx + 6 , x ≥ 2
f(x) =
D) 9
alabileceği değerlerden birisi aşağıdakilerden
A) –5
10.
C) 8
x2 – 4
fonksiyonu kaç farklı noktada
2 x –6
15. f(x) =
4– x
C) (–5, 5)
E) (–6, 6)
fonksiyonunun sürekli olduğu
aralık aşağıdakilerden hangisidir?
süreksizdir?
A) [– 4, 4 ]
A) 0
1.E
162
2.C
B) 1
3.D
C) 2
4.A
D) 3
5.D
E) 4
6.A
7.E
B) (–5, 5)
8.C
9.D
10.D
11.C
C) [0, 4 ]
E) (0, ∞)
D) [0, 5)
12.D
13.A
14.D
15.A
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1981 – ÖYS
5.
sin ra
lim
2
a " 1 1– a
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
1987 – ÖYS
lim
y"x
y3 – x3
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
y2 – x2
hangisidir?
A)
2.
3r
2
2r
3
B)
C) π
D)
r
4
E)
A) 0
r
2
1982 – ÖYS
sin x – cos a
ifadesinin (limitinin) değeri nelim
x " a cos x – sin a
6.
dir?
A) tg a
B) – cot a
D) –1
C) – tg a
E) 1
x"
3
A) 2 3
3
B)
C) 0
D) – 3
1
2
7.
D)
2
x
3
E) ∞
B) –
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
1
2
E) –2 3
1987 – ÖYS
3
n
/ c 23 m geometrik serisinin değeri nedir?
n=0
A) 1
2
4.
C) 2x
ESEN YAYINLARI
1982 – ÖYS
2 sin x – tan x
limitinin değeri nedir?
lim
cos x
r
3
x
2
1987 – ÖYS
r
cos b x l
2
değeri kaçtır?
lim
x " 1 sin (rx)
A) –
3.
B)
B) 2
3
C) 1
D) 2
E) 3
1984 – ÖYS
y
4
3
y = f(x)
2
1
0
8.
2
3
x
4
f, grafiği yukarıda verilen bir fonksiyondur.
Bu fonksiyonun x in 2, 3, 4 değerinden bazıları
fonksiyonu hangi x değerinde süreksizdir?
için var olan limitleri toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
1988 – ÖYS
Z x
, x > –1
]
] 3
f(x) = [
]] 1
, x≤ –1
2
\ x –4
E) 8
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
163
Limit ve Süreklilik
9.
1988 – ÖYS
2 cos x – 1
değeri nedir?
lim
r tan x – 3
x"
13. 1991 – ÖYS
lim
r
x"
6
3
A) –2 3
B) –
3
2
D) 2 3
C) –
3
4
A) 0
1
B)
16
1
C)
8
1
D)
4
3 –1
B)
E) 4 3
D)
3
(1 + 3 )
r
E)
C)
1
(1 –
2
3)
3
r
14. 1991 – ÖYS
10. 1988 – ÖYS
3
/ 1n toplamının değeri nedir?
n=3 2
1
A)
32
sin x + cos x
değeri kaçtır?
r
–x
3
n elemanlı bir kümenin r-li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı
1
E)
2
C(n, r)
ile
gösterildiğine göre,
lim
ESEN YAYINLARI
n"3
C (n , 1) .C (n , 4)
C (n , 2) .C (n , 3)
değeri kaçtır?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
E) 2
11. 1989 – ÖYS
3
lim
x " 64
A) 0
x –4
değeri nedir?
x –8
B)
1
3
C)
2
3
D)
3
2
E) 3
15. 1991 – ÖYS
3
/ 12k ifadesinin değeri kaçtır?
k=0 3
A) 9
8
B) 3
8
C) 3
5
D) 3
4
E) 4
3
12. 1990 – ÖYS
lim
x"2
x 3 – 8x + 8
aşağıdakilerden hangisine eşitx 4 – 4x
tir?
A) –1
164
B) –
1
7
C) 0
D)
1
7
E) 1
16. 1992 – ÖYS
1
4
lim c
– 2
m değeri kaçtır?
x –4
x"2 x – 2
A) –
1
8
B) –
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
1
8
Limit ve Süreklilik
17. 1992 – ÖYS
sin (x 2 – 4)
lim d
n değeri kaçtır?
x 4 – 16
x"2
A) 1
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
6
E)
21. 1993 – ÖYS
Z mx + n , 1 < x ise
]
f(x) = [ 5
, x = 1 ise
] 2
x
+
m
, x < 1 ise
\
1
8
fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, n kaçtır?
A) –2
18. 1992 – ÖYS
1
lim
x"–3
x"3
B) –1
C) 0
D) 1
C) 1
D) 6
E) 7
22. 1994 – ÖYS
x
lim b 7 x + 5 + 1 l değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
x 3 – 3x 2
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2 – 3
E) 2
3
2
B)
1
2
C) 0
D) 3
E) 6
ESEN YAYINLARI
A)
19. 1993 – ÖYS
cos x – 2 sin x – 1
değeri kaçtır?
lim
cos
2x + sin 2x – 1
x"0
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
23. 1994 – ÖYS
lim
E) 1
x"
2
f(x) = 2x + 3 olduğuna göre,
A) 0
lim
c"x
f (1 + h) – f (1)
değeri kaçtır?
h
B) 2
1
4
1
2 değeri kaçtır?
B) –
1
8
C) –
1
1
D)
16
2
E)
1
8
24. 1995 – ÖYS
20. 1993 – ÖYS
h"0
sin 4x
r
4
A) –
lim
sin 2 x –
C) 3
D) 4
16x 2 – 16c 2
değeri aşağıdakilerden hangi4 sin (x – c)
sine eşittir?
E) 5
A) 4
B) 18
C) 8x
D) 16x
E) 32x
165
Limit ve Süreklilik
25. 1995 – ÖYS
29. 1998 – ÖYS
1
4
lim d
–
n değeri kaçtır?
x –2 x–4
x"4
m, n gerçel sayılar, m – 6n = 0 ve
(2n – 10) x 3 + (m – 3) x 2 + 2x – 3
=2
mx 3 – nx 2 + 7x + 5
lim
x"3
A) 4
B) 3
C) 2
D)
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 8
B) 1
C) –1
D) –7
n=1
1 + yn
3n
toplamı aşağıdakilerden hangisine
lim f(x) = a ve
eşittir?
x " 0+
B)
3
3–y
D) 3y
C)
E)
3
y
olduğuna göre, a – b kaçtır?
3+y
6 – 2y
A) –2
27. 1997 – ÖYS
3
2
1
cos x –
2
sin x –
lim
x"
r
6
3
A)
B) 2
lim f(x) = b
x " 0–
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
ESEN YAYINLARI
1
3–y
A)
1
4
30. 2006 – ÖSS
Z
] x , x ≠ 0 ise
f(x) = [ x
] 3 , x = 0 ise
\
fonksiyonu için,
1 < y < 3 olmak üzere,
3
E)
E) –9
26. 1995 – ÖYS
/
1
2
31. 2007 – ÖSS
değeri kaçtır?
C) 0
D) –1
E) –
3
R den R ye
Z 2
, x < 3 ise
]] x
, x = 3 ise
f(x) = [ 3
]]
x + a , x > 3 ise
\
ile tanımlanan f fonksiyonunun x = 3 noktasında limitinin olması için a kaç olmalıdır?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
28. 1997 – ÖYS
1 < x < y olmak üzere,
3
/
n=1
c
3x n – 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine
m
4y
eşittir?
A)
32. 2008 – ÖSS
4y + 3x
4y
D)
166
B)
3x
4y
4y
4y – 3x
E)
C)
4y
3x
3y
3x – 5y
lim ^ x 2 – 4x – x h limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
Limit ve Süreklilik
36. 2010 – LYS
33. 2008 – ÖSS
y
y
2
a
3
1
2
O
–1
O
b
c
x
Yukarıdaki şekilde f: R\{–1 } → R \ {2 } fonksiyo-
–4
nunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre,
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
lim f (x) + lim f (x)
Buna göre,
x"–3
lim f(x) + lim f(x) + lim f(x)
x " a+
x " b–
A) –2
C) 0
D) 1
B) –1
ile verilen dizi için
A) –
3
2
B)
2
3
d1
1
m
n
E) 3
A1
A2
A3
A4
12
lim an kaçtır?
n"3
C) –1
D) 1
37. 2010 – LYS
34. 2009 – ÖSS
an = (3n – 2) sin c
C) 0
E) 3
ESEN YAYINLARI
B) –1
x"0
limitlerinin toplamı kaçtır?
x " c+
toplamı kaçtır?
A) –2
x
D) 0
d2
E) 3
30°
B1
B2
B3 B4
O
Yukarıda verilen d1 ve d2 doğrularının oluşturduğu açının ölçüsü 30° dir. İlk olarak d1 doğrusu
üzerinde alınan A1 noktasından d2 doğrusuna
A1B1 dikmesi iniliyor. Sonra B1 noktasında d1
doğrusuna B1A2 dikmesi ve A2 dikme ayağından
da d2 doğrusuna A2B2 dikmesi inilerek bu işleme
devam ediliyor.
|A1B1| = 12 cm olduğuna göre, d2 doğrusuna
35. 2009 – ÖSS
bu şekilde inilen tüm dikmelerin uzunluklarının
1 – x2
lim
+
x " 1 1– x
toplamı olan |A1B1| + |A2B2| + |A3B3| + … kaç cm
dir?
limitinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
A) 32
D) 1
B) 36
C) 38
D) 40
E) 48
E) 2
167
Limit ve Süreklilik
38. 2011 – LYS
lim ^
x"3
41. 2012 – LYS
x 2 + 2x + 1
x2 + 1
–
h
Aşağıda, yan yana çizilmiş çemberler dizisi
verilmiştir. Bu dizide, ilk çemberin yarıçapı 4
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
2
B)
3
2
C)
birim ve sonraki her bir çemberin yarıçapı, bir
önceki çemberin yarıçapının yarısıdır.
5
2
D) 1
E) 2
4
2
1
39. 2011 – LYS
Bu dizideki tüm çemberlerin çevre uzunlukları
x 1
olduğuna göre,
f(x) = 2x – 1 ve g(x) = –
2 x
f (g (x))
limitinin değeri kaçtır?
lim
x"2 x – 2
B) 1
C) 3
D)
3
E)
2
40. 2011 – LYS
Bir kenar uzunluğu 1 birim olan ABC eşkenar
üçgeninin AB ve AC kenarları üç eşit parçaya
ayrılarak şekildeki gibi D ve E noktaları işaretleniyor. DE doğru parçasının orta noktası K olmak
üzere, bir köşesi K ve bu köşenin karşısındaki
B) 16r
A) 15r
ESEN YAYINLARI
A) 0
1
D)
2
toplamı kaç birimdir?
31r
2
C) 18r
E)
33r
2
42. 2012 – LYS
sin 3x
lim
x"0 2 – 4 – x
limitinin değeri kaçtır?
A) 3
B) 9
C) 12
D) 15
E) 16
kenarı BC üzerinde olan yeni bir eşkenar üçgen
çiziliyor ve aynı işlem çizilen yeni eşkenar üçgenlere de uygulanıyor.
A
43. 2012 – LYS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f
K
D
fonksiyonu için
E
lim f(x) = 1
B
x " 3+
C
lim f(x) = 2
x " 3–
Bu şekilde çizilecek iç içe geçmiş tüm üçgensel
bölgelerin alanları toplamı kaç birim karedir?
A)
3
3
B)
D)
168
5 3
16
3 3
4
C)
E)
9 3
32
8 3
9
olduğuna göre, lim
x " 2+
f (2x – 1) + f (5 – x)
limitinin
f (x 2 – 1)
değeri kaçtır?
A)
–1
2
B)
3
2
C) 1
D) 3
E) 4
Limit ve Süreklilik
44. 2012 – LYS
Z
1
,
]]
2
f(x) = [ x + ax + b ,
]
5
,
\
x # 1 ise
11 x 1 3 ise
x $ 3 ise
fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
B) –1
C) 2
D) 3
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) – 4
169