De\360erlendirme Raporu.indd

2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI
ÖABT MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
(İLKÖĞRETİM) TESTİ
DEĞERLENDİRME RAPORU,
SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
Temmuz, 2013
MATEMATİK (İLKÖĞRETİM) ÖĞRETMENLİĞİ
Analizden 12 soru sorulmuştur. İlk 8 soru lise düzeyindedir. 9. soruda çok değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı sorulmuştur. 10. soru
türevle hata hesaplaması, 11. ve 12. soru dizi ve seri ile ilgilidir. 5. soruda seçeneklerde doğru cevap yoktur. B seçeneğinin (0, 1) olması
gerekirken (1, 0) olarak verildiği görülmüştür. Soyut matematikten 2 soru sorulmuştur. 13. soru kümeler ailesinde önermelerin denkliği ile
ilgilidir. 14. soru sayılabilirlik kavramı üzerinedir. Lineer cebirden 5 soru sorulmuştur. Bu sorular matris cebiri ve alt vektör uzayı ile ilgilidir. Bu
sorular lineer cebir dersinde anlatılan başlangıç konularıyla ilgilidir. Soyut cebirden 2 soru sorulmuştur. İlk soru devirli grup kavramı, ikinci
soru halka ideali üzerinedir. Diferansiyel denklemlerden 2 soru sorulmuştur. İki sabit katsayılı homojen diferansiyel denklem olup çözümü
basittir. İkinci soru diferansiyel denklemlerin biyolojiye uygulamasıyla ilgilidir. İstatistik ve olasılıktan 6 tane soru sorulmuştur. Sorular istatistik
ve olasılık dersini tarayıcı şekildedir. ÖSYM’nin yaptığı açıklamada bulunmamasına rağmen uygulamalı matematik sorularına 6 tane istatistik ve olasılık sorusu eklenmesi sürpriz olmuştur. Lise düzeyinde 2 tane geometri sorusu sorulmuştur. Sorular çember ve doğruların ilişkisi
üzerinedir. Analitik geometriden 9 soru sorulmuştur. 32. ve 33. sorular temel düzeyde olup diğerleri uzay geometrisi ağırlıklıdır. Özellikle iki
tam elips sorusu sorulması ilginç olmuştur.
Sınavda alan eğitimine yönelik toplam 10 soru bulunmaktadır. Soruların yarısından çoğu hata / kavram yanılgılarına ilişkin örnek durumlardan oluşmaktadır. Farklı konulara ilişkin öğrenme hatalarının / kavram yanılgılarının tespit edilmesine yönelik 6 soru mevcuttur. Temel
matematiksel becerilerden akıl yürütme ve tahmin (ondalık sayılarda zihinden toplama) stratejilerine yönelik 2 sorunun yer aldığı sınavda
çocukta geometrik düşünmenin gelişimi (Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri) ile ilgili 1 soru ve ilköğretim 7. sınıf Matematik Dersi
Öğretim Programında cebir öğrenme alanında yer alan kazanımlara yönelik 1 soru bulunmaktadır.
Soru No:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Aritmetik ve Geometrik Ortalama
Trigonometrik Özdeşlikler (Yarımaçı Formülü)
Fonksiyon Türleri
Limitte Belirsizlik Türleri
Sağ ve Sol Limit Hesabı
Fonksiyonun Tersinin Türevi
Türevin Geometrik Anlamı (Normal Denklemi)
Belirli İntegral (Kısmi İntegral)
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit
Hata Hesabı
Dizinin Limiti
Seri Toplamı Hesabı
Kümeler Ailesi
Sayılabilir Kümeler
Determinant Özellikleri
Köşegen Matris / Cayley - Hamilton Teoremi
Alt Vektör Uzayları
Matris ve Tersi
Vektörlerin Dikliği
Devirli Gruplar
Halka İdealleri
Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem
Diferansiyel Denklemin Uygulaması
Olasılık Hesabı
Olasılık Hesabı
Soru No:
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Moment Çıkaran Fonksiyon
Beklenen Değer Hesabı
Yoğunluk Fonksiyonu
Rastgele Değişkenler
Çemberin Geometrisi
Çemberin Geometrisi
Düzlemde Bölgenin Alanı
Elipsin Geometrisi
Uzayda Simetri Kavramı
Uzayda Üçgenin Alanının Hesabı
Uzayda Ortanormal Çatı
Düzlemde Simetri
Düzlemin Denklemi
Uzayda Doğru ve Düzlem
Elipsin Geometrisi
Matematiksel Beceriler (Akıl Yürütme)
Hata ve Kavram yanılgıları (Doğal Sayılarda Toplama İşlemi)
Hata ve Kavram Yanılgıları (Dört İşlem)
Hata ve Kavram Yanılgıları (Yüzde)
Hata ve Kavram Yanılgıları (Köklü Sayılar)
Hata ve Kavram Yanılgıları (Geometrik Şekillerde Çevre - Alan)
Geometrik Düşünmenin Gelişimi (Van Hiele Düzeyleri)
Matematiksel Beceriler (Tahmin Stratejisi)
Matematik Dersi Öğretim Programı (7. sınıf)
Hata ve Kavram Yanılgıları (Olasılık)
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
(İLKÖĞRETİM) TESTİ
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
1. Bu testte 50 soru vardır.
1.
a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere, a ve b sayılarının aritmetik ortalaması x, geometrik ortalaması y’dir.
3.
Buna göre, a + b toplamının x ve y türünden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x+y
x+ y
B)
x+y
2
D)
E)
C)
a ve b birer gerçel sayı olmak üzere,
ax + 1
veriliyor.
f: R / "− d , " R, f ^x h =
x+d
f fonksiyonu bire-bir olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
2x + 2y
A) ad = 1
x+ y
2
B) ad = 0
D) a + 2d = 0
C) a + d = 0
E) 2a + d = −1
Çözüm:
Çözüm:
a+b
= x & a + b = 2x
2
a 1
= olması durumunda fonksiyon sabit olacağından
1 d
bire - birlik sağlanmaz.
a:b = y
^ a + b h2 = a + b + 2 a : b
= 2x + 2y
& a+ b=
O halde a • d = 1 yanlıştır.
Cevap A
2x + 2y
Cevap C
4.
tan2x = u
2.
lim ^x 2 − 1 h
x−1
x " 1+
limitinin değeri kaçtır?
olarak veriliyor.
A) 0
B) 1
D) e−1
C) e
E) e−2
Buna göre, sin4x’in u türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 − u2
1 + u2
B)
D)
u2 − 1
u2 + 1
u
1 − u2
C)
E)
2u
Çözüm:
1 + u2
lim ^x 2 − 1 h
^0 ο h belirsizliði
x−1
1 + u2
u2 − 1
x " 1+
y = ^x 2 − 1 h
x−1
& ln y = ^x − 1 h ln ^x 2 − 1 h
& lim ^ln y h = lim
Çözüm: tan2x = u
x " 1+
A
x " 1+
ln ^x 2 − 1 h 3
b l
3
1
−
x 1
2x
2
= lim x − 1
+
1
x"1
^x − 1 h2
2
1
+u
u
2x
B
= − lim
x " 1+
C
1
=0
sin4x = 2sin2x • cos2x\
= 2:
u
1 + u2
:
1
1 + u2
2x ^x − 1 h
x+1
=
& ln a lim y k = 0
x " 1+
2u
1 + u2
& lim y = e 0 = 1
x " 1+
Cevap C
Cevap B
1
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
5.
f ^x h =
000000000
f(x) = sinx + cosx
7.
2
2 + 2 2/x
eğrisinin x = 0 noktasındaki normalinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonu veriliyor.
A) y − x = 0
Bu fonksiyonun x = 0 noktasındaki sağdan ve
soldan limitlerinin değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 0)
B) (1, 0)
D) (1, +∞)
B) y + x = 0
D) y + x − 1 = 0
C) (1, 1)
C) y − x − 1 = 0
E) y + x − 2 = 0
Çözüm: f(x) = sinx + cosx
E) (−∞, +∞)
f(0) = 1
Doğru (0, 1) noktasından geçer.
f'(x) = cosx − sinx
f'(0) = 1
m
Çözüm:
lim
2
x " 0+ x
Teğet
= 1 olup m = −1'dir.
N
Denklem;
y − 1 = −1 • (x − 0)
= 3 olduðundan;
lim
y+x−1=0
2
x " 0 + 2 + 2 2 /x
= 0 olur.
Cevap D
2
= − 3 olduðundan;
lim
x " 0− x
lim
2
x " 0 − 2 + 2 2 /x
e
#
8.
= 1 olur.
lnxdx
f
integralinin değeri kaçtır?
ÖSYM tarafından cevap B seçeneği olarak verilmiştir.
A) −2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Çözüm: Kısmi integralden;
e
#
l
e
ln xdx = ^x ln x − x h
l
=1
Cevap C
6.
f(x) = 2x − 1
9.
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f−1(x)’in x = 2 noktasındaki türevi kaçtır?
1
A)
2
1
B)
3
1
C)
4
D) 1
4xy 2
f (x, y) = 2
x + y2
fonksiyonunun (0, 0) noktasındaki limitinin değeri
kaçtır?
1
1
E)
A) 0
B) 1
C) 2
D)
2
3
E) 0
Çözüm: Kutupsal koordinatlara geçilme;
x = rcosθ
y = rsinθ
Çözüm:
f ^x h = 2x − 1 & f
−1
4xy 2
4r cos θr 2 sin 2 θ
= lim
2
2
^x, y h " ^0, 0 h x + y
r"0
r2
x+1
^x h =
2
lim
= lim ^4r cos θ : sin 2 θ h
^f −1 h ' ^x h = 1 olup,
2
1
x = 2 için deðer 'dir.
2
r"0
=0
Cevap A
Cevap A
2
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
10. Bir dairenin yarıçapı en çok % 1 hata ile ölçülebiliyor.
13. I doğal sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi
olmak üzere,
Buna göre, bu dairenin alanının hesaplanmasında
en çok yüzde kaç hata olabilir?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
{A  i ∈ Ι}
i
E) 2
herhangi bir kümeler ailesi veriliyor.
Aı bir A kümesinin tümleyeni olduğuna göre,
dr
Çözüm: Yarıçapta yapılan bağıl hata dt = 1'dir. A = πr2
r
ve buradan,
x z + Ai önermesi aşağıdaki ifadelerden hangisiidΙ
ne denktir?
dA
dr
= 2πr
olduğundan, alanda yapılan bağıl hata,
dt
dt
dA
dr
dr
2πr :
dt =
dt = 2 dt = 2 : 1 = 2 'dir. O halde alanda yapılan
A
r
πr 2
yüzdelik hata %2 olur.
Cevap E
A)
x d , Ai
B)
x d + Aiý
C)
x d , Aiý
D)
6i `i d Ι & x d Aiý j
E)
67 i ^i d Ι / x d Aiýh@ ý
11. Genel terimi,
an =
2n − 1
3n
2
3
B)
1
3
C) 0
D)
−1
3
E)
/ 66i ^i ! Ι & x ! Ai h@'
/ 7i ` i ! I / x g A i j
2n − 1
n"3
3n
/ 7i ` i ! I / x g A i ' j
2 n 1 n
= lim e c m − c m o
3
3
n"3
/ x ! , Ai '
i!Ι
=0
Cevap C
Cevap C
3
1
/
^k − 1hk
k=3
12.
14. Sayılabilir kümeler için aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?
serisinin toplamı kaçtır?
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D) 1
A)
K sayılabilir bir küme ise her T ⊂ K için T kümesi
de sayılabilirdir.
B)
L ve M sayılabilir kümeler ise L ∪ M kümesi de
sayılabilirdir.
C)
L1, L2, ..., Ln küme ailesi sayılabilir ise , Li
i=1
kümesi de sayılabilirdir.
D)
L sayılabilir bir küme ve M ⊂ L ise L / M kümesi
de sayılabilirdir.
E)
L sayılabilir bir küme ve L ⊂ T ise T kümesi de
sayılabilirdir.
E) 2
Çözüm:
3
/ ^ −1 h = / : c k −1 1 − 1k m
k 1 k k=3
k=3
3
+
idΙ
x g + A i / b x ! + Ai l '
i!Ι
−2
3
Çözüm:
lim
idΙ
Çözüm:
3 dizisinin limitinin değeri kaçtır?
olan "an ,n
=1
A)
idΙ
aK =
1
1
−
k−1 k
a3 =
1 1
−
2 3
a4 =
1 1
−
3 4
ak =
1
1
−
k−1 k
Sk =
1 1
−
2 k
lim SK =
k"3
n
Çözüm: Sayılabilir kümelerin alt kümeleri de sayılabilir olduğundan A ve D seçeneklerindeki önermeler doğrudur. D
seçeneğinde L / M ⊂ L olmasına dikkat edelim. Sayılabilir
kümelerin sonlu (hatta sayılabilir) birleşimleri de sayılabilir olduğundan B ve C seçeneklerindeki önermeler de doğrudur.
E seçeneğindeki ifade yanlıştır. Örnek olarak L = N ve T = R
alınırsa L sayılabilir iken T sayılabilir değildir.
1
olur.
2
Cevap E
Cevap A
3
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
R1 0 0V
W
S
16. B = S0 2 0W
W
SS
0 0 3W
X
T
matrisi veriliyor.
15. n ≥ 2 olmak üzere, n • n tipli A ve B kare matrisleri
için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A)
det(A • B) = detA • detB
B)
det(A ) = −det(A)
C)
det(k • A) = k • detA
f(t) = −t + 6t − 11t + 6
D)
det(A + B) = detA + detB
olduğuna göre, f(B) nedir?
R1 0 0 V
R1 0 0V
W
W
S
S
A) S0 8 0 W
B) S0 1 0W
W
W
SS
SS
0 0 27W
0 0 0W
X
X
T
T
R0 0 0V
S
W
D) S0 0 0W
E)
SS
WW
0 0 0
T
X
E)
−1
3
T
det(A ) = −detA
Çözüm: Bir A matrisi için A−1 varsa det ^A −1 h =
B seçeneği yanlıştır. det (k
seçeneği de yanlıştır.
•
1
sağlanır.
det A
n
A) = k det A olduğundan C
2
R1 0 0V
W
S
C) S0 4 0W
W
SS
0 0 9W
X
T
R−
V
1
0
0
S
W
S0 −1 0W
S
W
S 0 0 − 1W
T
X
A =1 0 G, B = =2 0G alýnýrsa A + B = =3 0G olur.
0 1
0 1
0 2
det A + det B = 1 + 2 = 3 ve det(A + B) = 6 olduğundan eşitlik
sağlanmaz. D yanlıştır.
Çözüm:
I. Yol:
A = =1 0 G için A = A T
0 1
Köşegen matrislerin kuvvetlerini bulmak için köşegendeki
elemanların her birinin aynı dereceden kuvvetlerini almak
yeterlidir.
Dolayısıyla,
det A = det AT = 1 olduğundan E seçeneğindeki eşitlik de
sağlanmaz.
3
2
f(B)R1= −B
0 0+ V6B R−1 11B
0 0+V 6Ι
W S
S
= − S0 8 0 W + 6 S0
WW SS
SS
T0 0 27X T0
V R
R−
S 1 0 0 W S6
S
= 0 − 8 0 W + S0
W S
S
S
S
− W 0
T 0 0 27X T
R0 0 0V
W
S
= S0 0 0W
WW
SS
T0 0 0X
Cevap A
R1 0 0 V R1 0 0 V
W
W S
W
S
4 0W − 11 S0 2 0W + 6 S0 1 0 W
W
WW SS
WW
SS
0 9WX
T0 0 3X T0 0 1 X
V
R
0 0 VW S− 11 0 0 W RS6 0 0VW
S
24 0 W + 0 − 22 0 W + S0 6 0W
W S
WW
WW S
S
0 54X S 0 0 − 33W T0 0 6X
X
T
II. Yol:
f(t), B'nin karakteristik polinomudur. Cayley - Hamilton Teoremine göre her matris kendi karakteristik polinomunun kökü
olacağından f(B) sıfır matrisidir.
Cevap D
4
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
17. R, reel sayılar cismi olmak üzere, aşağıdakilerden
3
hangisi R 'ün bir alt vektör uzayı değildir?
20. Z tamsayılar kümesinin n’ye göre kalan sınıflar
n
A)
W = {(a, b, c) ∈ R a + b + c = 0}
kümesi olmak üzere, aşağıdaki gruplardan hangisi devirli değildir?
B)
W = {(a, b, c) ∈ R3abc = 0}
A) (Z2, +)
3
3
C)
W = {(a, b, c) ∈ R 2a − c = 0}
D)
W = {(0, 0, 0)}
E)
W = R3
B) (Z , +)
D) (Z × Z , +)
2
Çözüm: D seçeneğinde verilen tek nokta kümesi sıfır uzayıdır.
Aşikâr alt vektör uzayı olarak da bilinen bu küme R 3 'ün alt
vektör uzayıdır. Dolayısıyla kendisinin alt vektör uzayıdır. A,
B ve C seçeneklerinde şartlı verilen kümelerde eşitliklerin
sağ tarafı 0 olduğundan kümelerin alt vektör uzayı olmaları
için eşitliklerin sol taraflı bilinmeyenlerin lineer bileşimi şeklinde yazılmalıdır.
C) (Z , +)
4
2
5
E) (Z × Z , +)
2
3
Çözüm: Her n için `Zn, + j grubu 1 elemanı tarafından üretildiğinden devirli gruptur.
`Zm # Zn, + j grubunun devirli olması için m ile n aralarında
asal olmalıdırlar. Bu kurala D seçeneğindeki `Z2 # Z2, + j
Bu duruma uymayan küme B seçeneğindedir.
grubu uymadığından bu grup devirli değildir.
Cevap B
Cevap D
18. Bir A matrisi ve bu matrisin tersi
V
R
R1 2 3V
S 1 1 − 2W
W
S
−
A = S2 4 5W A 1 = S− 3 1 1 W
W
S
W
SS
S2 −1 0 W
a b cW
X
T
X
T
olarak veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) −3
21. (Z, +, • ) tamsayılar halkasında n ∈ Z için nZ, Z
halkasının ideali olmak üzere,
E) −6
Çözüm: A • A−1 = Ι olduğundan,
V
R1 2 3 V R 1
1 − 2W R1 0 0 V
S
S
W S
W
S
S2 4 5W − 3
1 1W = S0 1 0 W eþitliðinden
S
W
SS
WW S
WW
W SS
Ta b c X T 2 − 1 0X T0 0 1X
Z a − 3b + 2c = 0
]]
[ a + b − c = 0 sistemi elde edilir.
]
\ − 2a + b = 1
I.
2Z + 3Z = 5Z
II.
2Z − 3Z = Z
III.
2Z ∩ 3Z = 6Z
IV.
2Z ∪ 3Z = Z
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
A) I ve III
B) I ve IV
D) II ve IV
C) II ve III
E) III ve IV
Bu sistem çözülürse, a = 1, b = 3, c = 4 olur. a + b + c = 8
Cevap C
2
19. R reel sayılar kümesi olmak üzere, R de verilen
u = ^1, 2 h vektörü v = ^a, 3 h vektörüne diktir.
Çözüm: k ve l tamsayılar olmak üzere, 2Z + 3Z'nin elemanları 2k + 3l biçimindedir.
Buna göre, a kaçtır?
A) −2
B) −3
C) −4
D) −5
2 = 2 • 1 + 3 • 0 ∈ 2Z + 3Z ancak 2 ∉ 5Z olduğundan Ι yanlıştır.
2Z − 3Z'nin elemanları 2k − 3l biçimindedir. Herhangi bir m ∈ Z
için m = 2 : 2m − 3 : m yazılabildiğinden,
E) −6
S
k
Çözüm:
+
l
2Z − 3Z = Z'dir, yani II doğrudur.
U ve V dik olduðundan U : V = 0'dýr.
2Z ∩ 3Z = okek(2, 3) Z = 6Z olduğundan III de doğrudur.
U : V = 1 : a + 2 : 3 = 0 & a =− 6
1 ∈ Z için 1 ∉ 2Z ∪ 3Z olduğundan IV yanlıştır.
Cevap E
Cevap C
5
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
22. yII − 5yI + 6y = 0
24. Hilesiz bir madeni paranın 3 kez ard arda atılması
durumunda 2 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? (c1 ve c2 keyfî sabitlerdir.)
−2x
A)
y=c e
1
B)
y=c e
2x
C)
y=c e
−2x
D)
y = c1e
−6x
E)
y=c e
1
1
6x
1
+ c2e
+c e
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
8
E)
3
8
3x
2
+c e
−3x
+ c2e
−x
2
+c e
A)
3x
−x
2
Çözüm:
3
1 2 1
c m:c m :
2
2
2
Çözüm: Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlerde
genel çözüm y = erx eşitliğinde gerekli türevler alınıp,
denklemde yerine yazılmasıyla bulunur. erx ortak çarpan
olup sıfır olamayacağından geriye kalan ifadede r değerleri
belirlenir. Soruda verilen denklemin karakteristik denklemi
r2 − 5r + 6 = 0'dır. Buradan r = 2, r = 3 bulunur. O halde
1
1 3
= 3 :c m
2
2
genel çözüm y = c e2x + c e3x olur.
1
3
8
=
Cevap E
2
Cevap B
23. P(t), bir bakteri kültürünün t anındaki bakteri sayısını göstermek üzere, bu bakteri kültürünün büyüme
modeli
dP
= 2t
dt
25. Bir kenarı 6 cm olan bir karenin içerisinden rastgele
bir nokta işaretleniyor.
diferansiyel denklemi ile veriliyor.
Bu noktanın karenin iç teğet çemberinin içerisinde olma olasılığı kaçtır?
π
π
π
π
A) π
B)
C)
D)
E)
2
3
4
6
Bu kültürde başlangıçta 100 bakteri olduğuna
göre, 20 saniye sonra toplam kaç bakteri vardır?
A) 120
B) 200
C) 350
D) 440
E) 500
Çözüm:
dp
= 2t
dt
Çözüm:
dp = 2tdt integral alınırsa;
D
2
p=t +c
2
Kürenin alanı = 6 = 36
C
2
Dairenin alanı = π • 3 = 9π
t = 0 ⇒ p = 100 ⇒ c = 100 olur.
3
2
p = t + 100 bulunur.
O
t = 20 → p = 202 + 100
6
3
Dairenin alaný 9π π
=
=
Olasýlýk =
Karenin alaný 36 4
= 500
A
Cevap E
B
Cevap D
6
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
26. X, f(x) olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir rastgele
değişkendir.
28. Bir X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
f ^x h = *
Buna göre, X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyon ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
Mx ^ t h =
Mx ^ t h =
+3
#
−3
+3
#
−3
x,
0<x<1
2 − x, 1 < x < 2
biçiminde tanımlanıyor.
e tx : f ^x hdx
Buna göre, P(1,5 < x < 2) olasılığı kaçtır?
A)
eitx : f ^x hdx
1
9
B)
1
8
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
2
M x ^ t h = / e tx : f ^x h
x
D)
E)
Mx ^ t h =
+3
#
−3
f ^x hdx
P ^1, 5 1 x 1 2 h =
M x ^ t h = / f ^x h
2
#
1, 5
2
x
#
=
1, 5
f ^x h dx
^2 − x h dx
= e 2x −
Çözüm: Kesitli değişkenler için moment çıkaran fonksiyon;
x2 o 2
2
1, 5
1
=
8
M x (t) = / e tx f (x) 'tir.
x
Cevap B
Cevap C
27. Bir X rastgele değişkeni için,
Y = 5X2 + 3
29. Bir X rastgele değişkeni için yalnız iki sonuç bulunmaktadır.
E(X) = 2
Var(X) = 8
Buna göre, bu rastgele değişkene ne ad verilir?
olduğuna göre, Y rastgele değişkeninin ortalaması (beklenen değeri) kaçtır?
A)
Bernoulli rastgele değişkeni
B)
Binom rastgele değişkeni
A) 44
C)
Geometrik rastgele değişkeni
D)
Poisson rastgele değişkeni
E)
Negatif binom rastgele değişkeni
B) 56
C) 63
D) 72
E) 80
Çözüm: Var(X) = E(X2) − (E(X))2
2
2
8 = E(X ) − 2
⇒ E(X2) = 12 olur.
E(Y) = 5E(X2) + 3
= 5 • 12 + 3
Çözüm: Yalnız iki sonuç varsa Bernoulli rastgele değişkenidir.
= 63
Cevap A
Cevap C
7
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
30.
D
000000000
m
A
C
A, B ve E teğet noktaları
n
AO = r birim
B
O
r
31.
O merkezli çember
E
1
C
B
AD = m birim
BC = n birim
A
Yukarıdaki verilere göre; r, m ve n uzunlukları
arasındaki bağıntı için aşağıdakilerden hangisi
her zaman doğrudur?
A) r = 2n − m
B) r = 2m − n
2
D) r = mn
Yarıçap uzunluğu 1 birim olan A, B ve C merkezli üç
çember birbirlerine dıştan teğettir.
C) 2r = m + n
2
2
E) 4r = m + n
Buna göre, bu üç çembere içten teğet olan O merkezli çemberin yarıçapı kaç birimdir?
2
2
3
A) 1 −
B)
Çözüm:
m
A
r
3
+1
2
2
+1
3
D)
D
m−n
H
n
O
C)
E)
3
−1
2
2
−1
3
Çözüm:
n
3
2r
n
O
B
M
1
C
C
1
1
1
30º
3
1
2
ve BG =
3
3
L
1
1
3
ABC'nin iç teğet çemberinin
yarıçapı
1
G
K
B
A
DCH'den;
^m − n h + ^2r h2 = ^m + n h2
2
Cevap E
m 2 − 2mn + n 2 + 4r 2 = m 2 + 2mn + n 2
4r 2 = 4mn
r 2 = mn
32. x + y = 2
doğrularının oluşturduğu kapalı bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
Cevap D
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Çözüm:
Bölge yandaki gibi olup
4:4
=8
Alaný =
2
2
−2
2
−2
Cevap D
8
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
33. Ç = {(x, y) ∈ R2 : 9x2 + 16y2 ≤ 144}
35. Uzayda, köşelerinin koordinatları
kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A(2, 1, −1)
A)
B(1, 0, 1)
B)
y
y
C(−1, 1, 2)
3
4
olarak verilen bir ABC üçgensel bölgesinin alanı
kaç birimkaredir?
3
3 3
1+ 3
B) 2 3
C)
D)
E)
A) 3
2
2
2
3
x
4
4
4
3
x
3
Çözüm:
C)
D)
y
y
4
3
A=
x
3
3
4
AC = ^− 3, 0, 3 h
x
i
k
−3
0
3
= ^− 3, − 3, − 3 h
y
AB # AC =
^− 3 h2 + ^− 3 h2 + ^− 3 h2
=3 2
3
4
j
AB # AC = − 1 − 1 2
4
E)
AB # AC
AB = ^− 1, − 1, 2 h
4
3
1
2
4
3 3
A=
2
x
Cevap E
3
Çözüm:
9x 2 + 16y 2 # 144
36. Uzayda e1, e2, e3 vektörleri için
9x 2 16y 2
+
#1
144 144
e1 : e2 = δij = *1, i = j
0, i ! j
iç çarpımı sağlanıyor ise bu vektörlere R3’te bir ortonormal çatıdır denir.
x2 y2
+
= 1 (elips)
16 9
y = 0 & x"4
x = 0 & y"3
Cevap A
34. Uzayda A(-2, 3, 3) noktasının xy düzlemine göre simetriği B noktası ve B noktasının orijine göre simetriği
C noktası olarak belirleniyor.
e1 = e
2 2
,
,0o
2 2
e2 = e
− 2 2
,
,0o
2
2
olduğuna göre, e3 aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (1, 0, 0)
B) (0, 0, 1)
C) (0, 1, 0)
D) (1, 0, −1)
Buna göre, C noktasının koordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, −3, 3)
B) (−2, −3, 3)
D) (−2, −3, −3)
E) (0, 1, 1)
C) (2, 3, −3)
E) (2, 3, 3)
Çözüm: Seçeneklerde e1 ve e2 vektörleriyle ayrı ayrı iç
çarpımı 0 olan tek vektör e3 = ^0, 0, 1 h vektörüdür. Ayrıca
Çözüm: A(-2,3,3) noktasının xy düzlemine göre simetriği B(2,3,-3) noktasının orjine göre simetriği C(2,-3,3) noktası olur.
bu vektörün kendisiyle iç çarpımı 1'dir.
Cevap A
Cevap B
9
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
37. Düzlemde denklemleri
39. Uzayda, denklemi
k : y = 2x + 4
x−3
= − y,
2
z = − 1 olan doğru
olan doğrular veriliyor.
ile denklemi x + y − 2z − 6 = 0 olan düzlemin arakesit
noktasından geçen ve verilen düzleme dik olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Aşağıdakilerden hangisi k doğrusunun d doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemidir?
A)
x=y=
B)
x y−3
=
, z=1
2
5
C)
x − 2 = y + 1, z = 1
D)
x+1 = y−1 =
z−1
−2
E)
x−5 = y+1 =
z+1
−2
d:y=x
A) x − 2y + 4 = 0
B) x − 2y − 4 = 0
C) 3x − 4y + 4 = 0
D) 6x − 5y + 4 = 0
E) −3x + 4y + 4 = 0
z−1
−2
Çözüm: y = 2x + 4 doğrusunun y = x'e göre simetriği,
x = 2y + 4
x − 2y − 4 = 0
Cevap B
Çözüm:
x−3
= − y = t, z = − 1
2
Z x = 2t + 3
]]
[ y = − t parametrik denklemi elde edilir.
]
\z = − 1
38.
Bu denklemi düzlemde yerine yazarsak;
x z−1
=
,y = 1
3
2
2t + 3 - t - 4 = 0
t=1
doğrusuna dik olan ve A(−1, 0, 2) noktasından
geçen düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x − 2y − 2z + 1 = 0
B) 3x + 2z − 1 = 0
C) 3x + 2y − 2z = 0
D) 3x + 2y − 1 = 0
Ortak nokta; x = 5, y = -1, z = -1 olur. İstenilen doğru düzlem
dik olduğundan düzlemin normalini doğrunun doğrultmanı
olarak kullanabiliriz. O halde;
x−5 y+1 z+1
=
=
1
1
2
Cevap E
E) 3x − 2z + 1 = 0
Çözüm:
x z−1
=
, y=1
3
2
doğrusunun doğrultman vektörü;
d = ^3, 0, 2 h olup aynı zamanda istenilen düzlemin normal
vektörü olur.
A(−1, 0, 2) noktasından geçiyorsa;
3(x + 1) + 0 • (y − 0) + 2(z − 2) = 0
3x + 2z − 1 = 0
Cevap B
10
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
40. Düzlemde A(2, 0) ve B(−2, 0) noktalarına uzaklıkları
toplamı 5 birim olan noktaların geometrik yerinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
2
42. Bir matematik öğretmeni iki basamaklı sayılarla toplama işlemi ile ilgili bir sınav yapıyor. Öğretmen öğrencilerden sonuçlarla beraber her basamak için ayrı
ayrı buldukları toplam sonucunu da ilgili basamağın
üzerine renkli kalemle belirtmelerini istiyor. Aşağıda,
dört öğrencinin bu sınavdaki cevapları verilmiştir.
2
A)
36x + 100y = 225
B)
36x + 64y = 225
C)
36x2 + 400y2 = 64
D)
400x + 36y = 225
E)
400x + 64y = 64
2
2
2
2
2
2
I. Öğrenci
II. Öğrenci
III. Öğrenci
11 21
55
29
+ 48
19 24
49
78
+ 87
21 25
79
87
+ 69
Çözüm: İstenilen elips denklemidir. Odak noktaları A(2, 0),
B(-2, 0)'dır.
y
b
b2 =
5
2
−2 0
2
2
1
2
a
−b
x2
a2
+
y2
b2
x
A) I. ve II.
25
9
−4 =
4
4
b=
3
2
a=
5
2
Buna göre, aşağıdaki öğrenci düşüncelerinden
hangisi aşırı genelleme sonucu ortaya çıkmış
olamaz?
Buna göre aşağıdakilerden hangisi, akıl yürütme
becerisi ile en az ilişkilidir?
C)
Matematiğin sembol ve terimlerini doğru kullanabilme
D)
Matematik öğrenirken genellemeler yapabilme
E)
Öğrenme sürecinde tahmin stratejilerini kullanabilme
C) II. ve III.
E) I., III. ve IV.
43. Aşırı genelleme: Bir konuya ait kural, ilişki veya ilkenin başka konularda da aynı şekilde geçerli olduğuna
dair bir düşüncedir ve öğrencilerin genellikle yanlış
sonuçlara ulaşmasına neden olur.
41. Matematik derslerinin öğrencilerde geliştirmeyi
hedeflediği matematiksel becerilerden biri de akıl
yürütmedir.
Yaptığı çıkarımların geçerliliğini sorgulayabilme
172
Cevap D
Cevap A
B)
262
Çözüm: Öğrenci cevapları incelendiğinde; I. öğrenci birler basamağı toplamında hata yapmış ancak eldeyi doğru aktarmıştır.
II, III ve IV. öğrenciler basamak bazında toplamaları doğru
yapmış ancak III. öğrenci eldenin onluk değil birlik kısmını
elde 5 olarak, II. öğrenci elde 2’yi elde 1 olarak ve IV. öğrenci
ise elde 3’ü elde 1 olarak aktarmıştır. Buna göre, II ve IV.
öğrenciler aynı türden hata yapmıştır.
x2 y2
+
= 1 & 36x 2 + 100y 2 = 225
25 9
4
4
Yaptığı matematiksel genellemelerin doğruluğunu savunabilme
B) I. ve III.
D) II. ve IV.
= 1 denkleminde yazılırsa;
A)
204
Buna göre, bu öğrencilerden hangileri aynı türden
bir hata yapmıştır?
5 2
b2 + 22 = c m
2
5
2
−a
131
IV. Öğrenci
16 32
49
78
36
+ 29
A)
1,17 sayısı 1,7 sayısından daha büyüktür çünkü
1,17 sayısı daha fazla basamağa sahiptir.
B)
4 • 0, 3 işleminin sonucu 4’ten büyüktür çünkü
çarpım çarpandan daha büyüktür.
C)
2,5 : 0,5 işleminin sonucu 2,5 ’ten küçüktür çünkü bölünen bölümden daha büyüktür.
1 2
: işleminin sonucu bulunurken paydalar
2 3
eşitlenip çarpma işlemi yapılır çünkü kesirlerle
işlemlerde önce paydaların eşitlenmesi gerekir.
D)
E)
3
3
2 işleminin sonucu 6’dır çünkü 2 , 3 tane 2’nin
toplamıdır.
Çözüm: Genellemeler yapma ve doğruluğunu savunma,
çıkarımların geçerliliğini sorgulama ve tahmin stratejilerini
kullanabilme, akıl yürütme ile ilgili olup matematiksel sembol ve terimleri kullanma doğrudan akıl yürütme ile ilgili
değildir.
Çözüm: 23 işleminin sonucunun 3 tane 2’nin toplamı
olduğu düşüncesi bir aşırı genelleme sonucu değildir. Burada farklı bir konudaki kuralın aktarılması söz konusu olmayıp yapılan hata çarpma işlemi yerine toplama işleminin
seçiminden kaynaklanmaktadır.
Cevap C
Cevap E
11
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
44. Bir öğretmen, “Tüm gömleklerde % 20 indirim yapan
bir dükkândan 2 gömlek alındığında toplamda % 40
indirim olur.” biçiminde açıklama yapan bir öğrencisinde bilişsel çatışma oluşturarak düşüncelerini yeniden
gözden geçirmesini sağlamak istiyor.
46. Bir öğrenci kare ve dikdörtgen üzerinde yapmış
olduğu incelemeler sonucunda “Bütün geometrik şekillerin çevresi büyüdükçe alanı da büyür.” çıkarımını
yapmıştır.
Buna göre, öğretmenin aşağıdakilerden hangisini
bu öğrencisine söylemesi en uygundur?
Bu öğrencisinin yaptığı çıkarımı gözden geçirmesini sağlamak isteyen bir öğretmenin, aşağıdakilerden hangisini yapması en uygundur?
A)
Niçin % 40 indirim olacağını açıklar mısın?
A)
B)
Tanesi 30 TL’den 5 gömlek alırsan kaç TL
ödersin?
Öğrenciye yaptığı çıkarımın yanlış olduğunu
söylemek.
B)
C)
İndirim oranı alınan gömlek sayısına bağlı
değildir.
Öğrencinin dışbükey çokgenler üzerinde çalışmasını istemek.
C)
D)
% 40 değil, hâlâ % 20 indirim olur.
Öğrencinin kenar uzunluğu 1 birimden küçük
kareler üzerinde çalışmasını istemek.
E)
% 60 indirim kazanmak için kaç gömlek almak
gerekir?
D)
Öğrencinin farklı dikdörtgenler üzerinde çalışmasını istemek.
E)
Öğrencinin içbükey dörtgenler üzerinde çalışmasını istemek.
Çözüm: Niçin %40 indirim olacağının ya da %60 indirim
için kaç gömlek alınması gerektiğinin sorulması öğrencinin
mevcut yanılgıyla hatalı bir şekilde cevap vermesini sağlayacaktır. Bunun yanında indirimin hala %20 olduğunun ya
da indirim oranının gömlek sayısına bağlı olmadığının belirtilmesi ise öğrencide bilişsel çatışmaya neden olmayacaktır.
30 TL’den 5 gömlek alındığında kaç TL ödeyeceğinin sorulması, öğrencinin gömlek başına indirim ile toplam ödeme
tutarındaki indirimin aynı olacağını görmesi ve düşüncesini
yeniden gözden geçirmesi için daha uygun olacaktır.
Çözüm: Öğrencinin yapmış olduğu hatalı çıkarım üzerinde
tekrar düşünmesini sağlamanın en uygun yolu çıkarımın
geçerli olmadığı bir örnek üzerinde çalışmaya yönlendirilmesi olacaktır. Mevcut çıkarım dışbükey çokgenler üzerinde geçerli olup öğrencinin içbükey dörtgenler üzerinde
çalışmasını istemek, düşüncesini gözden geçirmesini sağlayacaktır.
Cevap B
Cevap E
45.
4 2 + 3 2 = 7 olduğunu söyleyen bir öğrencinin bu
cevabı vermesinin nedeni aşağıdaki düşüncelerden hangisi olamaz?
A)
2
2
2
a + b ile (a + b) birbirine eşittir.
B)
a2 + b2nin karekökü (a − b)(a + b)’ye eşittir.
C)
2
2
a + b nin karekökü a + b’ye eşittir.
D)
a2 + b2 ile (a − b2) + 2ab birbirine eşittir.
E)
a + b ile
a + b birbirine eşittir.
Çözüm: (4 − 3)2 + 2 • 4 • 3 = 25 olup öğrenci bu yanlış cevabı
verirken a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab → şeklinde düşünmüş
olamaz.
Cevap D
12
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
47. Van Hiele, geometrik düşünmenin gelişiminin aşamalı
olarak aşağıda verilen beş düzeyde gerçekleştiğini
belirtmektedir.
48. Uygulanmakta olan Matematik Dersi (6 - 8.) Sınıflar Öğretim Programı’nda tahmin stratejilerine yer
verilmiştir. Bu bağlamda, bir matematik öğretmeni,
öğrencilerinden işleminin sonucunu tahmin etmelerini
istemiştir.
1. Düzey: Öğrenci, şekilleri genel görsel özelliklerine
göre tanır ve adlandırır.
2. Düzey: Öğrenci, şekillerin özelliklerini belirtir.
3,3 + 4,8 + 2,7 + 6,4 + 9,1
3. Düzey: Öğrenci, geometrik şekiller arasında ilişkiler
kurar.
İşlemin sonucunu 26 olarak tahmin eden bir öğrenci,
bu tahmini nasıl yaptığını aşağıdaki gibi açıklıyor.
4. Düzey: Öğrenci, bir aksiyomatik yapıyı kullanabilir
ve bu yapı içinde ispatlar yapar.
“Önce 3 + 4 + 2 + 6 + 9 toplamını 24 olarak buldum.
Ayrıca; 0,3 ile 0,7’nin toplamı 1 ve 0,8 ile 0,4’ün toplamı da yaklaşık 1’dir. Bu nedenle, 24’e 2 ekledim.”
5. Düzey: Öğrenci, farklı aksiyomatik sistemler arasındaki benzerlik ve farklılıkları anlar.
Bu öğrencinin kullanmış olduğu tahmin stratejisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Dağılma
B)
Varsayma
- Kare aynı zamanda bir dikdörtgendir.
C)
Gruplandırma
- Eşit dört kenar ve en az bir dik açı
bir kareyi tanımlar.
D)
İlk veya son basamakları kullanma
E)
Uyuşan sayıları kullanma
- Dikdörtgenler bir açısı dik olan paralelkenarlardır.
Betül
Çözüm: Öğrenci ondalık sayıların toplamını tahmin ederken
tam kısımları ve ondalık kısımları ayrı ayrı kendi içinde toplayarak zihinden işlem yapmıştır. En soldaki ve/veya en sağdaki basamakları kullanarak sonucu tahmin ettiğinden ilk veya
son basamakları kullanma stratejisini kullanmıştır.
Bu açıklamayı yapan Betül, en az hangi Van Hiele
geometrik düşünme düzeyi içinde yer alır?
A) 1. Düzey
B) 2. Düzey
D) 4. Düzey
C) 3. Düzey
E) 5. Düzey
Cevap D
49. 7. sınıfların matematik dersini yürüten Serhat Öğretmen, öğrencilerinin cebir öğrenme alanına yönelik
bilgilerini ölçmek amacıyla yıl sonunda bir sınav
yapmak istiyor.
Çözüm: Betül’ün ifadeleri geometrik şekillerin özelliklerini
bildiğini ve geometrik şekiller arasında ilişkiler kurabildiğini
göstermektedir. Buna göre Betül, Van Hiele geometrik düşünme düzeylerinden en az 3. düzey içindedir.
Buna göre, uygulanmakta olan 7. Sınıf Matematik Dersi Öğretim Programı kapsamında, Serhat
Öğretmen’in
I.
2
x − 25 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Cevap C
II.
y = 3x − 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.
III.
2x − 3y = 5 doğrusunun eğimini bulunuz.
IV.
3x − 5 > 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
sorularından hangilerini bu sınavda kullanması
uygundur?
A) Yalnız II
B) Yalnız III
D) I, II ve III
C) I ve II
E) II, III ve IV
Çözüm: Serhat Öğretmen'in sınavda kullanmak istediği sorulardan I, III ve IV. sorular Matematik Dersi Öğretim Programı’na
göre 8. sınıf cebir öğrenme alanında yer alan kazanımlara ilişkin sorular olup 7. Sınıflar için uygun değildir. Buna göre Yalnız
II. Soru 7. sınıf programında yer alan “Doğrusal denklemlerin
grafiğini çizer.” kazanımına ilişkin olarak kullanılabilir.
Cevap A
13
Diğer sayfaya geçiniz.
2013 - KPSS / ÖABT
000000000
50. Barış Öğretmen, öğrencilerine
“KANAL” kelimesinin harfleri özdeş kâğıtlar üzerine
yazılarak bir kutuya atılıyor. Ardından kutudan rastgele bir kâğıt seçiliyor. Seçilen kağıdın üzerinde “A”
harfinin olma olasılığı kaçtır?”
sorusunu yöneltiyor.
Öğrencilerden Can, cevabın
1
olduğunu söylüyor.
4
Barış Öğretmen, “KANAL” kelimesinde 4 farklı harf
var. Can, örnek uzayı belirlerken kümeler konusunu
düşünerek her harfi çıktı olarak sadece bir kez örnek
uzaya dâhil etmiş olabilir.” biçiminde düşünüyor.
Barış Öğretmen yanılgıyı doğru teşhis edip etmediğini
belirlemek için Can’a aynı soruyu yani seçilen harfin
“A” olma olasılığını, “KANAL” kelimesi yerine başka
bir kelime kullanarak sormaya karar veriyor.
Buna göre, Barış Öğretmen’in aşağıdaki kelimelerden hangisini kullanması uygun değildir?
A) KALELİ
B) LALA
D) MASA
C) BERRA
E) SUSSA
Çözüm: Barış Öğretmen'in öğrencideki yanılgıyı doğru teşhis
edebilmesi için soruda içinde aynı harfin birden fazla tekrar ettiği bir kelimeyi kullanması uygun olur. Ancak LALA kelimesini
1
cevabının mevcut yanılkullandığında öğrencinin vereceği
2
gıdan kaynaklı olup olmadığını belirlemesi güçtür.
Cevap B
14