ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Mustafa GÖK
LIE CEBİRLERİNİN SIFIR BÖLENLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2012
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LIE CEBİRLERİNİN SIFIR BÖLENLERİ
Mustafa GÖK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez
/ /2012 Tarihinde Aşağıdaki
Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir.
Jüri
Üyeleri
Tarafından
……………….............................
……………………………
…………………………..………
Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN
Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. M. Rıfat ULUSOY
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
LIE CEBİRLERİNİN SIFIR BÖLENLERİ
Mustafa GÖK
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman: Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Yıl: 2012, Sayfa: 153
Jüri: Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN
Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL
K karakteristiği sıfır olan herhangi bir cisim olsun. K cismi üzerinde Lie cebirleri
için bir sıfır bölen tanımı ve bu tanıma bağlı olarak Lie cebirleri için bir bölge, bir
yarıbölge ve bir kesin yarıbölge olma tanımı verilmiştir. İki bölgenin karıştırılmış serbest
çarpımlarının da bir bölge olması için gerekli koşullar verilmiştir. K cismi üzerinde
serbest metabelyen bir Lie cebiri ve sonlu üretilmiş bir metabelyen U - Lie cebirinin bir
yarıbölge olduğu gösterilmiştir. Ayrıca A 2 , K cismi üzerinde tüm metabelyan Lie
cebirlerinin varyetesi olmak üzere A 2 varyetesinde sıfırdan farklı herhangi iki A ve B
metabelyen Lie cebirinin metabelyen çarpımının bir yarıbölge olmasını sağlayan bir kriter
verilmiştir. Son olarak da yarı basit Lie cebirleri için bir kesin yarıbölge ve bir bölge olma
kriterleri verilmiştir.
Key Words: Sıfır bölen, Bölge, Yarıbölge, Kesin yarıbölge, Yarı basit
I
ABSTRACT
MSc THESIS
ZERO DIVISORS OF LIE ALGEBRAS
Mustafa GÖK
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Süpervisor: Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Year: 2012, Pages: 153
Jury: Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK
Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN
Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL
Let K be a field with characteristic zero. The definition of a zero divisor has been
given for Lie algebras over the field K and with respect to this definition, we have given
the definition of a domain, a semidomain and a strict semidomain for Lie algebras over the
field K . We have given that the free amalgamated Lie products of two domains is a
domain again. We have proven that a free metabelian Lie algebra and a finitely generated
metabelian U - Lie algebra over the field K is a semidomain. Moreover, if A 2 is the
variety of all metabelian Lie algebras over the field K , we have given a criterion that
establishes when metabelian product of two arbitrary nonzero metabelian Lie algebras A
and B in the variety A 2 is a semidomain. Finally, we have given criteria of being a strict
semidomain and being a domain for semi simple Lie algebras.
Key Words: Zero divisor, Domain, Semidomain, Strict semidomain, Semi simple
II
TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanmasında mesleki bilgi ve tecrübelerinden faydalandığım tez danışmanım sayın Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK’e teşekkürlerimi sunarım.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ........................................................................................................ II
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER ....................................................................................................V
1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER................................................................ 5
2.1. Lie Cebirleri ............................................................................................. 5
2.2. Alt Cebirler .............................................................................................. 6
2.3. Yapı Sabitleri ........................................................................................... 6
2.4. İdealler ..................................................................................................... 7
2.5. Lie Homomorfizmi ................................................................................... 7
2.6. Bölüm Lie Cebirleri.................................................................................. 8
2.7. Lie Cebirleri İzomorfizm Teoremleri ........................................................ 8
2.8. Direkt Toplam .......................................................................................... 9
2.9. Küçük Boyutlu Lie Cebirleri .................................................................. 10
2.10. Çözülebilir Lie Cebirleri ....................................................................... 11
2.11. Nilpotent Lie Cebirleri.......................................................................... 13
2.12. Matris Temsili ...................................................................................... 14
2.13. Basit Lie Cebirleri ................................................................................ 15
2.14. Yarı Basit Lie Cebirleri ........................................................................ 15
2.15. Klasik Lie Cebirleri .............................................................................. 19
2.16. Modüller .............................................................................................. 21
2.17. Alt Modüller ......................................................................................... 21
2.18. Modül Homomorfizmi .......................................................................... 22
2.19. Bölüm Modülleri .................................................................................. 22
2.20. Modül İzomorfizm Teoremleri ............................................................. 22
2.21. Modül Genişlemesi............................................................................... 23
2.22. Modül Üreteçleri .................................................................................. 27
2.23. Serbest Modül ...................................................................................... 28
IV
2.24. Torsiyon Serbest Modül ....................................................................... 29
2.25. Kategori ............................................................................................... 29
2.26. Terim Sıralama ..................................................................................... 29
2.27. Nonasosyatif Polinomlar ...................................................................... 32
2.28. Bir Özdeşlik Bağıntısını Sağlayan Cebirler ........................................... 35
2.29. Bir Lie Cebirinin Bir Tek Elemanı Tarafından Üretilen İdeali............... 36
2.30. Lie Cebirlerinde Sıfır Bölenler.............................................................. 36
2.31. Serbest Lie Cebirleri ............................................................................. 37
2.32. Serbest Lie Cebirinin İnşası .................................................................. 38
2.33. Serbest Lie Cebirinin Hall Bazı ............................................................ 39
2.34. Bir Serbest Lie Cebirinin Alt Merkezi Serisinin Terimleri İçin
Serbest Üreteçler .................................................................................. 42
2.35. Serbest Metabelyen Lie Cebiri .............................................................. 42
2.36. Matris Metabelyen Lie Cebirleri ........................................................... 43
2.37. Metabelyen U - Lie Cebiri.................................................................... 44
2.38. Karıştırılmış Serbest Çarpım................................................................. 45
2.39. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımlarının İnşası ................... 45
2.40. Serbest Çarpım ..................................................................................... 46
2.41. Kartezyen Alt Cebir .............................................................................. 48
2.42. Metabelyen Lie Cebirlerinin Metabelyen Çarpımı ................................ 48
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ ............................... 51
3.1. A - Lie Cebirlerinin Kategorisi ............................................................... 51
3.2. Standart Birinci Sıralama Dili ................................................................. 52
3.2. Lie Cebirlerinde Cebirsel Geometri Kavramları ...................................... 53
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA
SIFIR BÖLENLER ........................................................................................ 67
4.1. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımı ........................................ 67
4.2. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımının Değişmeli
Elemanları.............................................................................................. 72
4.3. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımının Sıfır Bölenleri ............ 77
V
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN
METABELYEN ÇARPIMLARI ................................................................... 87
5.1. Bir Metabelyen Lie Cebirinin Komütatör Alt Cebirinin Modül Yapısı .... 87
5.2. Yarıbölge ............................................................................................... 93
5.3. Metabelyen Lie Cebirleri ve Sonlu Üretilmiş Metabelyen Lie
Cebirlerinin Üreteç Kümeleri ve Tanımlı Bağıntıları .............................. 98
5.4. Serbest Metabelyen Lie Cebirinin Fitting Radikali.................................104
5.5. Matris Metabelyen Lie Cebirinin Fitting Radikali ..................................106
5.6. Sonlu Üretilmiş Metabelyen U - Lie Cebirleri .......................................111
5.7. Metabelyen Lie Cebirlerinin Metabelyen Çarpımının Yapısı .................115
5.8. Örnekler ................................................................................................128
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER.............................133
6.1. Yarı Basit Lie Cebirlerinde Kesin Yarıbölge, Yarıbölge ve Bölge
Kavramları ............................................................................................133
KAYNAKLAR .................................................................................................149
ÖZGEÇMİŞ .....................................................................................................153
VI
1. GİRİŞ
Mustafa GÖK
1. GİRİŞ
Gruplar üzerinde cebirsel geometrinin inşası G. Baumlag, A. Miasnikov ve V. N.
Remeslennikov tarafından yapıldı. Bu çalışmalarında gruplar üzerinde cebirsel geometrinin
cebirsel küme, koordinat grubu, indirgenemezlik, radikal, vb. gibi temel kavramlarını tanımladılar ve bu temel kavramların temel özellikleri belirlediler (Baumslag, Miasnikov ve
Remeslennikov, 1999). A. Miasnikov ve V. N. Remeslennikov bu inşanın lojikal problemlerini çalıştı (Miasnikov ve Remeslennikov, 2000). Özellikle G. Baumlag, A. Miasnikov ve
V. N. Remeslennikov tarafından gruplar için bölge tanımı ve bir G grubu üzerinde bir
cebirsel kümenin indirgenemezliği sorusunun cevabını ispatlayan G grubun “bir bölge”
olma özelliğinin önemi verildi (Baumslag, Miasnikov ve Remeslennikov, 1999).
Gruplar teorisi ile Lie cebiri teorisi arasında yakın benzerlikler vardır. Gruplardaki
birçok sonuç Lie cebirleri içinde geçerlidir. V. N. Remeslennikov Lie cebirleri üzerinde
cebirsel geometri inşa etme ile ilgili bir çalışma programı önerdi. I. V. Kazatchkov gruplar
üzerinde cebirsel geometrinin inşasındaki fikirleri (Baumslag, Miasnikov ve Remeslennikov, 1999: Miasnikov ve Remeslennikov, 2000) Lie cebirleri üzerinde cebirsel geometrinin
inşasına taşıdı (Kazatchkov, 2006).
Gruplara benzer olarak E. Yu Daniyarova bölge kavramını içeren Lie cebirleri üzerinde cebirsel geometrinin inşasını ortaya attı. İki bölgenin karıştırılmış serbest çarpımının
da ne zaman bir bölge olacağı sorusuna cevap verdi. Bu soru önemlidir çünkü koordinat
Lie cebirlerinin karıştırılmış serbest çarpımları bilinen cebirsel geometride koordinat halkalarının tensör çarpımı olarak Lie cebirleri üzerindeki cebirsel geometride aynı rolü oynar
(Daniyarova, 2004).
K karakteristiği sıfır olan herhangi bir cisim olmak üzere A , K cismi üzerinde bir
metabelyen Lie cebiri, S Í A[ X ] , A metabelyen Lie cebiri üzerinde değişkenleri
X = { x1 , x2 , K , xn } olan bir denklem sistemi ve VA ( S ) , A metabeyen Lie cebiri üzerinde
S denklem sistemine karşılık gelen cebirsel küme olsun. F ( X ) serbest metabelyen Lie
cebiri ve * metabelyen çarpımı göstermek üzere VA ( S ) cebirsel kümelerin ve bu cebirsel
kümelerin G A ( S ) koordinat cebirlerinin inşasındaki teoremlerin ispatlarının analizi tüm
majör hesaplamaların A[ X ] = A * F ( X ) serbest metabelyen A - Lie cebiri üzerinde yapıl-
1
1. GİRİŞ
Mustafa GÖK
dığını gösterir (Daniyarova, Kazatchkov ve Remeslennikov, 2003b). Bu durum Lie cebirlerinin metabelyen çarpımlarının yapısı ile ilgilenebileceğimize dair bir problem belirtir. Bu
problemin çözümü E. Yu Daniyarova, I. V. Kazatchkov ve V. N. Remeslennikov tarafından verildi (Daniyarova, Kazatchkov ve Remeslennikov, 2004).
Sıfırdan farklı abeyen ideallere sahip herhangi bir Lie cebirinin veya sıfırdan farklı
abelyen alt gruplara sahip herhangi bir grubun sıfır bölenleri vardır. Bu yüzden Lie cebirleri ve metabelyen Lie cebirleri kategorisinde bir bölge olma kavramı yetersiz kalır. Bu durumlar bize Lie cebirleri ve metabelyen Lie cebirleri için bir yarıbölge ve bir kesin yarıbölge kavramlarını tanımlamamıza ve bu kavramların özelliklerini cebirsel geometriden elde
edilen sonuçlara uygulamak için inceleme yapmamıza olanak sağlar.
V. A. Artomonov polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısında serbest bir metabelyen Lie cebirinin bir temsilini verdi (Artamonov, 1972: Artamonov, 1977). Bu temsil
daha genel olarak A. I. Shmel’kin tarafından yapılan Lie cebirlerinin bir verbal wreath çarpımının özel tipteki bir Lie cebirine gömmenin inşasının özel bir durumudur (Shmel’kin,
1973). E. Yu Daniyarova I. V. Kazatchkov ve V. N. Remeslennikov bu yazarların fikirlerini özel matris metabelyen Lie cebirleri inşa etmek için kullandılar. Serbest metabelyen Lie
cebirleri üzerinde cebirsel geometride kullanılan bir metabelyen U - Lie cebiri kavramını
tanımladılar ve özel matris Lie cebirleri ile bağlantılarını kurdular. Özellikle her sonlu üretilmiş bir metabelyen U - Lie cebirinin bir özel matris Lie cebirinin bir alt cebiri olduğunu
gösterdiler (Daniyarova, Kazatchkov ve Remeslennikov, 2003a).
Bu tez altı bölümden meydana gelmektedir.
İkinci bölümde tez boyunca kullanılan temel tanım ve teoremler verildi.
Üçüncü bölümde cebirsel geometrinin temel tanım ve kavramlarından bahsedildi.
Dördüncü bölümde iki Lie cebirinin karıştırılmış serbest çarpımının değişmeli elemanları sınıflandırıldı. Burada değişmeli elemanların sınıflandırılması grupların serbest
karıştırılmış çarpımının değişmeli elemanlarının sınıflandırılması ile oldukça benzerdir
(Magnus, Karrass ve Solitar, 1974). Lie cebirlerinin karıştırılmış serbest çarpımının merkezini hesaplandı. İki bölgenin karıştırılmış serbest çarpımının hangi koşullar altında bir
bölge olacağı sorusu yanıtlandı.
Beşinci bölümde ilk olarak K cismi üzerinde abelyen olmayan bir F serbest metabelyen Lie cebiri için Fit ( F ) = F 2 olduğunu gösterilerek F abelyen olmayan serbest
2
1. GİRİŞ
Mustafa GÖK
metabelyen Lie cebirinin bir kesin yarıbölge olduğu gösterildi ve buna bağlı olarak herhangi serbest bir metabelyen Lie cebirinin bir yarıbölge olduğu gösterildi. Daha sonra metabelyen U - Lie cebirleri ve matris metabelyen Lie cebirleri arasında bağlantılar kuruldu.
her sonlu üretilmiş metabelyen U - Lie cebirinin alt cebirinin bir özel matris cebirine gömüleceği gösterildi ve bundan faydalanarak sonlu üretilmiş bir metabelyen U - Lie cebirinin bir yarıbölge olduğu gösterildi. Son olarak da A 2 , K cismi üzerinde tüm metabelyan
Lie cebirlerinin varyetesi olmak üzere A 2 varyetesinde herhangi iki A ve B metabelyen
Lie cebirinin A * B metabelyen çarpımının yapısını incelendi ve Fit ( A * B) = ( A * B)2 olduğu gösterilerek A * B metabelyen çarpımı için bir yarıbölge olma özelliği ile bir kesin
yarıbölge olma özelliğinin aynı olduğu belirtildi. A * B metabelyen çarpımı için bir yarıbölge olma kriteri ve bu kriterin ispatı verildi.
Altıncı bölümde sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirlerinde bir yarıbölge, bir kesin
yarıbölge ve bir bölge kavramları incelendi. Sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirleri için bir
kesin yarıbölge ve bir bölge olma kriterleri ve bu kriterlerin ispatları verildi. Genel olarak
yarı basit Lie cebirlerinin yarıbölge olmadığı gösterildi.
Aksi belirtilmedikçe K karakteristiği sıfır olan bir cisim olarak kabul edilececektir.
3
1. GİRİŞ
Mustafa GÖK
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde tez boyunca kullanılan temel tanım ve teoremleri vereceğiz.
2.1. Lie Cebirleri
Tanım 2.1.1: L , K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer L vektör uzayı üzerinde
( x, y ) ® x o y kuralı ile tanımlı bir o : L ´ L ® L fonksiyonu mevcut ise L vektör uzayına
K cismi üzerinde bir cebir denir.
Tanım 2.1.2: L , K cismi üzerinde bir cebir olsun. Eğer L cebiri
L1) Her x Î L için x o x = 0
L2) Her x, y, z Î L için ( x o y ) o z + ( y o z ) o x + ( z o x) o y = 0
koşullarını sağlıyorsa L cebirine K cismi üzerinde bir Lie cebiri denir.
Tanım 2.1.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer her x, y Î L için x o y = 0
ise L Lie cebirine abelyen bir Lie cebiri denir.
Tanım 2.1.4: V , K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve gl (V ) , V vektör uzayı üzerinde
tüm lineer dönüşümlerin kümesi olsun. gl (V ) kümesi bileşke işlemi ile bir vektör uzayıdır.
gl (V ) vektör uzayı her x, y Î gl (V ) için x o y = x × y - y × x çarpımı ile bir Lie cebiri olur.
Bu Lie cebirine genel Lie cebiri denir.
Tanım 2.1.5: gl ( n, K ) , K cismi üzerindeki tüm n ´ n tipindeki matrislerin vektör uzayı
olsun. gl ( n, K ) matris vektör uzayı her x, y Î gl ( n, K ) için x o y = x × y - y × x çarpımı ile
bir Lie cebiridir. gl ( n, K ) Lie cebiri vektör uzayı olarak eij , 1 £ i < j £ n matris birimleri-
5
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
nin oluşturduğu bir baza sahiptir. Burada eij , ij - bileşeni bir diğer bileşenleri sıfır olan
n ´ n tipindeki matristir.
Tanım 2.1.6: sl ( n, K ) , gl ( n, K ) genel Lie cebirinin izi sıfır olan tüm matrislerini içeren
alt uzayı olsun. sl ( n, K ) matris alt uzayı her x, y Î sl ( n, K ) için x o y = x × y - y × x çarpımı
ile bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirine özel Lie cebiri denir. sl ( n, K ) vektör uzayı olarak
{e }È {e
ij
i¹ j
ii
- ei +1,i +1} , 1 £ i < n baz kümesine sahiptir.
2.2. Alt Cebirler
Tanım 2.2.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Her x, y Î T için x o y Î T olacak
şekildeki bir T alt vektör uzayına L Lie cebirinin bir alt cebiri denir. L Lie cebirinin her
alt cebiri de bir Lie cebiridir.
2.3. Yapı Sabitleri
Tanım 2.3.1: L , K cismi üzerinde bir baz kümesi { x1 , x2 , K , xn } olan bir Lie cebiri oln
sun. xi o x j = å aijk xk olacak şekildeki aijk Î K sabitlerine L Lie cebirinin { x1 , x2 , K , xn }
k =1
bazına göre yapı sabitleri denir.
aijk yapı sabitleri L Lie cebirinin bazının seçimine bağlıdır. L Lie cebirinin farklı
bazları genel olarak farklı yapı sabitlerini verir. i, j Î {1, 2, K , n} olmak üzere L Lie cebirlerinin elemanlarının Lie çarpımı xi o x j çarpımları ile tam olarak bellidir. Her
i Î {1, 2, K , n} için xi o xi = 0 ve her i, j Î {1, 2, K , n} için xi o x j = - x j o xi olduğundan
1 £ i < j £ n olacak biçimdeki aijk yapı sabitlerini bilmek yeterlidir.
6
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.4. İdealler
Tanım 2.4.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Her x Î L, y Î I için x o y Î I
olacak şekildeki bir I alt vektör uzayına L Lie cebirinin ideali denir.
I ve J L Lie cebirinin herhangi iki ideali olsun. I ve J ideallerini kullanılarak
elde edilen I Ç J , I + J = { x + y | x Î I , y Î J } ve I o J = span { x o y | x Î I , y Î J } kümeleri de L Lie cebirinin birer idealidir.
I o J idealinin önemi I = J = L olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda L o L = L2
ideali elde edilir ve bu ideale L Lie cebirinin komütatör alt cebiri denir.
Tanım 2.4.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Z ( L) = { x Î L | x o y = 0, "y Î L}
kümesine L Lie cebirinin merkezi denir.
Tanım 2.4.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve A , L Lie cebirinin sıfırdan farklı bir
alt cebiri olsun. Eğer her a Î A için a o L Í A iken a = 0 oluyorsa A alt cebirine L Lie
cebirinin anti ideali denir.
2.5. Lie Homomorfizmi
Tanım 2.5.1: L1 ve L2 K cismi üzerinde iki Lie cebiri olsun. Eğer bir a : L1 ® L2 dönüşümü K - lineer ve her x, y Î L1 için a ( x o y ) = a ( x) o a ( y ) koşulunu sağlıyorsa
a : L1 ® L2 dönüşümüne bir Lie homomorfizmi denir. Eğer a : L1 ® L2 Lie homomorfizmi birebir ve örten ise a : L1 ® L2 dönüşümüne bir Lie izomorfizmi denir. Eğer
a : L1 ® L2 bir Lie izomorfizmi ve L1 = L2 ise a : L1 ® L2 dönüşümüne bir otomorfizm
denir.
Tanım 2.5.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Her x, y Î L için ( adx)( y ) = x o y
kuralı ile tanımlı ad : L ® gl ( L ) dönüşümü bir Lie homomorfizmidir. Bu homomorfizme
adjoint homomorfizmi denir.
7
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.6. Bölüm Lie Cebirleri
Tanım 2.6.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve I , L Lie cebirinin bir ideali olsun. O
zaman I ideali bir L vektör uzayı olup her z Î L için z + I = { z + x | x Î I } kosetlerinden
bahsedebiliriz. Bu şekildeki tüm kosetlerin kümesini L / I ile gösterelim. Dolayısıyla L / I
bölüm vektör uzayı L / I = { z + I | z Î L} şeklindedir. Şimdi L / I bölüm vektör uzayı üzerinde her w, z Î L için
(w + I ) o ( z + I ) = w o z + I
çarpımını tanımlayalım. L / I bölüm vektör uzayı bu çarpım ile bir Lie cebiridir ve bu Lie
cebirine L Lie cebirinin I ideali ile faktör cebiri veya bölüm cebiri denir.
2.7. Lie İzomorfizm Teoremleri
Bu alt bölümde Lie cebirleri için izomorfizm teoremleri verilmiştir. Bu teoremlerin
ispatları (Erdmann ve Wildon, 2006)’da bulunabilir.
1. İzomorfizm Teoremi: L1 ve L2 K cismi üzerinde iki Lie cebiri ve j : L1 ® L2 bir Lie
homomorfizmi olsun. O zaman ker j , L1 Lie cebirinin bir ideali, Im j , L1 Lie cebirinin
bir alt uzayı ve L1 / ker j @ Im j olur.
2. İzomorfizm Teoremi: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve I ve J L Lie cebirinin
iki ideali ise ( I + J ) / J @ I / ( I Ç J ) olur.
3. İzomorfizm Teoremi: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve I ve J L Lie cebirinin
I Í J olacak şekilde iki ideali ise J / I , L / I bölüm cebirinin bir idealidir ve
( L / I ) / ( J / I ) @ L / J olur.
8
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.8. Direkt Toplam
Aksi ifade edilmemişse direkt toplam denildiğinde Lie cebirlerinin direkt toplamı
anlaşılacaktır.
Tanım
2.8.1:
L1 , L2 , K , Lm
K
cismi
üzerinde
Lie
cebirleri
ve
L = {( x1 , x2 , K , xm ) : xi Î Li , i = 1, 2, K , m} kümesi L1 , L2 , K , Lm Lie cebirlerinin vektör
uzayı olarak direkt toplamı olsun. Bu durumda L vektör uzayı
( x1 , x2 , K , xm ) o ( y1 , y2 , K , ym ) = ( x1 o x2 oLo xm , y1 o y2 oLo ym )
çarpımı ile bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirine L1 , L2 , K , Lm Lie cebirlerinin direkt toplamı
denir ve L = L1 Å L2 Å L Å Lm ile gösterilir. Yani; L = L1 Å L2 Å L Å Lm ise herhangi bir
l Î L elemanı l = l1 + l2 + L + lm , li Î Li , i = 1, 2, K , m şeklinde tek türlü olarak ifade edilebilir.
L1 , L2 , K , Lm L Lie cebirinin idealleri olsun. Eğer L Lie cebiri L1 , L2 , K , Lm
ideallerinin direkt toplamı ise i ¹ j için Li Ç L j = {0} olur. Çünkü i ¹ j ve l Î Li Ç L j olmak üzere l = 0 + L + li + 0 + L + 0 ve l = 0 + L + l j + 0 + L + 0 l elemanının iki farklı
ifadesi ise l elemanı tek türlü ifade edildiğinden l = 0 olmak zorundadır. i ¹ j için
Li o L j Í Li Ç L j = {0} olduğundan Li o L j = {0} olarak bulunur. Eğer L Lie cebiri
L1 , L2 , K , Lm ideallerinin direkt toplamı ise Li idealinin herhangi bir ideali aynı zamanda
L Lie cebirinin de bir idealidir. Çünkü I , Li idealinin bir ideali ise o zaman i ¹ j için
I o L j Í Li o L j = {0} olup buradan I o L Í I o L1 + I o L2 + L + I o Lm = I o Li Í I olduğu elde
edilir.
9
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki direkt toplam ile ilgili teoremin ispatı (Erdmann ve Wildon, 2006)’da bulunabilir.
Teorem
2.8.1:
L1 , L2 , K , Lm
K
cismi
üzerinde
Lie
cebirleri
olsun.
Eğer
L = L1 Å L2 Å L Å Lm ise Z ( L) = Z ( L)1 Å Z ( L2 ) Å L Å Z ( Lm ) ve L2 = L12 Å L2 2 Å L Å Lm 2
olur.
2.9. Küçük Boyutlu Lie Cebirleri
Bu alt bölümde 1 , 2 ve 3 - boyutlu Lie cebirleri ile ilgili teoremler verilmiştir. Bu
teoremlerin ispatları (Erdmann ve Wildon, 2006)’da bulunabilir.
Teorem 2.9.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve dim L = 1 olsun. Bu durumda L ,
L = span { x} olacak biçimde bir { x} baz kümesine sahip abelyen bir Lie cebiridir.
Teorem 2.9.2: İzomorfizme bağlı olarak Lie çarpımı x o y = x ile tanımlı bir { x, y} baz
kümesine sahip K cismi üzerinde 2 - boyutlu abelyen olmayan bir tek Lie cebiri vardır.
Teorem 2.9.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. dim L2 = 1 ve L2 Í Z ( L) olduğunu varsayalım. İzomorfizme bağlı olarak bu varsayımları sağlayan Lie çarpımı f o g = z
ile tanımlı bir
{ f , g , z}
baz kümesine sahip 3 - boyutlu bir tek L Lie cebiri vardır. Bu L
Lie cebirine Heinsenberg cebiri denir.
Teorem 2.9.4: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. dim L2 = 1 ve L2 Ë Z ( L) olduğunu varsayalım. İzomorfizme bağlı olarak bu varsayımları sağlayan Lie çarpım tablosu
x o y = x, x o z = 0, y o z = 0 ile tanımlı { x, y, z} baz kümesine sahip 3 - boyutlu bir tek L
Lie cebiri vardır. Bu Lie cebiri 2 -boyutlu abelyen olmayan Lie cebiri ile 1 - boyutlu Lie
cebirinin direkt toplamıdır yani; L = span { x, y} Å span { z} olur.
10
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Teorem 2.9.5: L , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde bir Lie cebiri ve dim L2 = 2 olsun.
{ y , z} ,
L2 komütatör alt cebiri için bir baz kümesi ve bir x Ï L2 için adx : L2 ® L2 dönü-
şümünün köşegenleştirilebilir olduğunu varsayalım. Bu varsayımları sağlayan y ve z
adx dönüşümünün öz vektörleri ve adx dönüşümünün L2 komütatör alt cebirinin { y , z}
æ1 0 ö
baz kümesine göre matrisi ç
÷ , 0 ¹ b Î £ olacak şekilde 2 - boyutlu abelyen olmayan
è0 b ø
Lie cebiri ile 1- boyutlu Lie cebirinin vektör uzayı olarak direkt toplamı yani;
L = span { y, z} Å span { x} olacak biçimde bir
{ x,
y, z} baz kümesine sahip 3 - boyutlu
sonsuz tane L Lie cebiri vardır. Bu L Lie cebiri Lb notasyonu ile gösterilir.
Teorem 2.9.6: L , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde bir Lie cebiri ve dim L2 = 2 olsun.
{ y , z} ,
L2 komütatör cebiri için bir baz kümesi ve her x Ï L2 için adx : L2 ® L2 dönüşü-
münün köşegenleştirilemez olduğunu varsayalım. İzomorfizme bağlı olarak bu varsayımları sağlayan y , adx dönüşümünün öz vektörü ve adx dönüşümünün L2 komütatör alt cebirinin
{ y , z}
æ1 1 ö
baz kümesine göre matrisi ç
÷ , 0 ¹ m Î £ olacak şekilde 2 - boyutlu
è0 m ø
abelyen olmayan Lie cebiri ile 1 - boyutlu Lie cebirinin vektör uzayı olarak direkt toplamı
yani; L = span { y, z} Å span { x} olacak biçimde bir { x, y, z} baz kümesine sahip 3 - boyutlu bir tek L Lie cebiri vardır.
2.10. Çözülebilir Lie Cebirleri
Lemma 2.10.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve I < L olsun. L / I bölüm cebirinin
abelyen olması için gerek yeter koşul L2 Í I olmasıdır.
Yukarıdaki lemmanın ispatı (Erdmann ve Wildon, 2006)’da bulunabilir.
11
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Tanım 2.10.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun.
d (0) L = L
d (1) L = d (0 ) L o d (0 ) L = L2
d (2 ) L = d (1) L o d (1) L = L2, 2
.
.
.
d ( m ) L = d ( m -1) L o d ( m -1) L = L2, 2, K , 2
14243
m tane
olmak üzere
L = d (0) L É d (1) L É d (2) L É L É d ( m+1) L É L
şeklindeki bir seriye L Lie cebirinin türetilmiş serisi denir.
Tanım 2.10.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer d ( n ) L = {0} olacak şekilde
pozitif bir n tam sayısı var ise L Lie cebirine çözülülebilir bir Lie cebiri denir. Eğer n
pozitif tamsayısı her k pozitif tamsayısı için k ³ n olacak biçimdeki en küçük tamsayı ise
d ( k ) L = {0} olur ve n pozitif tamsayısına L Lie cebirinin türetilmiş uzunluğu denir. Eğer
k = 2 ise L Lie cebirine metabelyen bir Lie cebiri denir.
Şimdi metabelyen Lie cebirinin daha genel bir tanımını verelim.
Tanım 2.10.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Her a , b, c, d Î L için
( a o b ) o ( c o d ) = 0 evrensel özelliğini sağlanıyorsa L Lie cebirine K cismi üzerinde bir
metabelyen Lie cebiri denir.
12
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.11. Nilpotent Lie Cebirleri
Tanım 2.11.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. L0 = {0} , L1 = L ve k ³ 2 için
Lk = L o Lk -1 olmak üzere
{0} = Z 0 ( L) Í Z1 ( L) Í Z 2 ( L) Í L Í Z k ( L) Í Z k +1 ( L) Í L
şeklindeki bir seriye L Lie cebirinin üst merkezi serisi denir.
Tanım 2.11.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. L1 = L ve k ³ 2 için
Lk +1 = Lk o L olmak üzere
L = L1 Ê L2 Ê L Ê Lk Ê Lk +1 Ê L
şeklindeki bir seriye L Lie cebirinin alt merkezi serisi denir.
L Lie cebirinin iki idealinin çarpımında L Lie cebirinin bir ideali olacağından L
Lie cebirinin alt merkezi terimleri Lk +1 < Lk <L < L2 < L1 olacak şekilde bir idealler zinciri
meydana getirir. Bu durumda Lk / Lk +1 ve L / Lk alt merkezi bölüm cebirlerinden bahsedebiliriz. Jakobi özelliğinden Ln o Lm Í Ln+ m , m, n Î ¥ olur. Bu seriye merkezi alt seri denilmesinin sebebi her k ³ 1 için Lk / Lk +1 Í Z ( L / Lk +1 ) olmasıdır.
Tanım 2.11.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer Z m-1 ( L) ¹ L, Z m ( L) = L
veya Lm ¹ {0} , Lm+1 = {0} olacak şekilde bir m doğal sayısı var ise L Lie cebirine nilpotentlik sınıfı m olan nilpotent Lie cebiri denir.
13
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki nilpotent Lie cebirleri ile ilgili lemmanın ispatı (Humphreys, 1980)’de
bulunabilir.
Lemma 2.11.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun.
1) Eğer L nilpotent bir Lie cebiri ise her alt cebiri de nilpotent bir Lie cebiridir ve nilpotentlik sınıfı L nilpotent Lie cebirinin nilpotentlik sınıfından küçüktür.
2) Eğer L / Z ( L ) bölüm cebiri nilpotent ise L nilpotent bir Lie cebiridir.
3) Eğer L sıfırdan farklı nilpotent bir Lie cebiri ise Z ( L ) ¹ {0} olur.
Tanım 2.11.4: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. L Lie cebirinin tüm nilpotent
ideallerinin elemanlarının kümesi tarafından üretilen idealine L Lie cebirinin Fitting radikali denir ve Fit ( L ) ile gösterilir.
Açıklama 2.11.1: L , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. Metabelyenlik
özelliğinden L2 komütatör alt cebiri abelyen bir ideal olup L2 komütatör alt cebiri nilpotent bir ideal olur. O zaman L2 komütatör alt cebiri L Lie cebirinin Fit ( L ) Fitting radikali
tarafından içerilir yani; L2 Í Fit ( L) olur. O halde L2 = Fit ( L) olacak şekilde bir L metabelyen Lie cebiri vardır.
Eğer L metabelyen Lie cebiri abelyen ise L Í Fit ( L ) olur ve Fit ( L ) Í L olduğundan L = Fit ( L ) elde edilir.
Eğer L metabelyen Lie cebiri sıfırdan farklı ise Fit ( L ) ¹ {0} olur.
2.12. Matris Temsili
Tanım 2.12.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve V , K cismi üzerinde sonlu boyutlu
bir vektör uzayı olsun. Bir j : L ® gl (V ) Lie homomorfizmine L Lie cebirinin bir temsili
denir. V vektör uzayına ise j : L ® gl (V ) temsilinin temsil uzayı denir. Eğer V , L Lie
cebirinin K cismi üzerinde bir temsil uzayı ise j : L ® gl (V ) temsil uzayının bir bazını
sabit tutabiliriz ve V temsil uzayının lineer dönüşümlerini L Lie cebirinin elemanları ile
14
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
belli olan matrisler olarak yazabiliriz. Ya da; bir j : L ® gl ( n, K ) Lie homomorfizmi ile
bir temsil tanımlayabiliriz. Bu şekilde düşünülen temsile L Lie cebirinin bir matris temsili
denir.
2.13. Basit Lie Cebirleri
Tanım 2.13.1: L , K cismi üzerinde abelyen olmayan bir Lie cebiri olsun. Eğer L Lie
cebirinin {0} ve kendisi dışında başka bir ideali yok ise L Lie cebirine basit Lie cebiri
denir.
1 - boyutlu Lie cebirleri basit Lie cebirleridir. Bir basit Lie cebirinin abelyen olma-
ması koşulu sadece 1- boyutlu Lie cebirleri için kaldırılabilir.
Aşağıdaki basit Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Humphreys, 1980)’de bulunabilir.
Teorem 2.13.1: L , K cismi üzerinde bir basit Lie cebiri ve dim L > 1 olsun. Bu durumda
Z ( L ) = {0} ve L2 = L olur.
2.14. Yarı Basit Lie Cebirleri
Tanım 2.14.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. L Lie cebirinin maksimal çözülebilir idealine L Lie cebirinin radikali denir ve Rad ( L ) ile gösterilir.
Tanım 2.14.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer L Lie cebirinin maksimal
çözülebilir ideali Rad ( L) = {0} ise L Lie cebirine yarı basit bir Lie cebiri denir.
15
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki yarı basit Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Humphreys, 1980)’de
bulunabilir.
Teorem 2.14.1: L , K cismi üzerinde yarı basit bir Lie cebiri ise Z ( L ) = {0} ve L2 = L
olur.
Tanım 2.14.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve I , L Lie cebirinin sıfırdan farklı bir
ideali olsun. Eğer I idealinin sıfır ve kendisinden farklı bir ideali yoksa I idealine L Lie
cebirinin bir minimal ideali denir.
Aşağıdaki yarı basit Lie cebirli ile ilgili iki teoremin ispatı (Graff, 2000)’de bulunabilir.
Teorem 2.14.2: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ise L Lie cebiri tüm minimal ideallerinin direkt toplamıdır. Bu minimal idealler basit Lie cebirleridir.
Yani; 1 £ k £ s için J k , L Lie cebirinin basit idealleri olmak üzere L = J1 Å J 2 Å L Å J s
şeklindedir.
Teorem 2.14.3: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun.
L = J1 Å J 2 Å L Å J m ve L = K1 Å K 2 Å L Å K n L Lie cebirinin basit ideallerinin direkt
toplamının iki ayrışımı olduğunu varsayalım. Bu durumda m = n ve her Li , 1 £ i £ m ideali
bir K j , 1 £ j £ n idealine eşit olur.
Aşağıdaki yarı basit Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Humphreys, 1980)’de
bulunabilir.
Teorem 2.14.4: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ve I , L Lie
cebirinin bir ideali olsun. Bu durumda I ideali, L / I bölüm cebiri ve L yarı basit Lie
cebirinin homomorfik görüntüsü yarı basit bir Lie cebiridir. Ayrıca L yarı basit Lie cebirinin her ideali L yarı basit Lie cebirinin bazı basit ideallerinin direkt toplamıdır.
16
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Tanım 2.14.4: V , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. i Î {1, 2} olmak
üzere V vektör uzayı üzerinde her v, w, vi , wi ÎV ve li , mi Î K için
(v, w) = ( w, v)
( l1v1 + l2 v2 , w) = l1 (v1 , w) + l2 (v2 , w)
(v, m1 w1 + m 2 w2 ) = m1 (v, w1 ) + m 2 (v, w2 )
olacak şekildeki bir ( -, -) :V ´ V ® K dönüşümüne bir simetrik bilineer form denir.
Tanım 2.14.5: b , sonlu boyutlu bir V vektör uzayında bir simetrik bilineer form olsun.
S,
V
kümesinin
bir
alt
kümesi
olsun.
S
kümesinin
ortogonal
uzayını
S ^ = { x Î V : b ( x, s ) = 0, "s Î S } olarak tanımlayalım. Bu durumda S ^ , V vektör uzayının bir alt uzayı olur. Eğer V ^ = {0} ise b simetrik bilineer formuna non degenerate denir.
Yani; her x Î V için b ( x, v ) = 0 olacak biçimde sıfırdan farklı bir v Î V elemanı yoktur.
b simetrik bilineer formu non degenerate ve W , V vektör uzayının bir alt uzayı ise
dim W + dim W ^ = dim V olur.
Tanım 2.14.6: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir Lie cebiri ve (V , s ) , L Lie cebirinin sonlu boyutlu bir temsili olsun. L Lie cebirinde s : L ® gl (V ) Lie homomorfizmine
bağlı bir bs simetrik bilineer formunu her x, y Î L için
bs ( x, y ) = tr (s ( x ) s ( y ) )
olacak şekilde tanımlayalım. Eğer bs simetrik bilineer formu adjoint homomorfizmine
bağlı ise bs simetrik bilineer formuna L Lie cebirinin Killing formu denir ve k ile gösterilir.
17
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki simetrik bilineer form ile ilgili teoremin ispatı (Tauvel ve Yu, 2005)’te
bulunabilir.
Teorem 2.14.5: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir Lie cebiri ve (V , s ) , L Lie cebirinin sonlu boyutlu bir temsili ve bs L Lie cebirinde s : L ® gl (V ) Lie homomorfizmine
bağlı bir simetrik bilineer form olsun. Bu durumda
1) bs ( radL, L2 ) = {0}
2) radL , L2 komütatör alt cebirinin L Lie cebirinin Killing formuna bağlı ortogonali
3) I , L Lie cebirinin bir ideali ise radI = I Ç radL
olur.
Aşağıdaki bir Lie cebirinin bir idealinin Killing formuna bağlı ortogonali ile ilgili
teoremin ispatı (Tauvel ve Yu, 2005)’te bulunabilir.
Teorem 2.14.6: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir Lie cebiri ve I , L Lie cebirinin
bir ideali olsun. Bu durumda I idealinin Killing formuna bağlı ortogonali I ^ , L Lie cebirinin bir ideali olur.
Aşağıdaki yarı basit Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Tauvel ve Yu, 2005)’te
bulunabilir.
Teorem 2.14.7: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ve I , L Lie
cebirinin sıfırdan ve kendisinden farklı bir ideali olsun. Bu durumda L = I Å I ^ olur.
18
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.15. Klasik Lie Cebirleri
S , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde n ´ n tipinde bir matris olsun.
glS (n, £) = { x Î gl (n, £) | x t S = Sx} kümesini tanımlayalım. L , £ karmaşık sayılar cismi
üzerinde bir Lie cebiri ve I l , l ´ l tipindeki birim matris olsun.
1) sl (l + 1 , £ ) : Eğer L = { x Î glS (l + 1, £ ) | tr(x)=0} ise L Lie cebiri sl (l + 1, £) özel Lie
cebiridir.
2) so(2 l + 1 , £ ) :
æ1 0
ç
S = ç0 0
ç0 I
è
l
0ö
÷
Il ÷
0 ÷ø
olmak üzere her l ³ 1 için L = glS (2l + 1, £) olsun. Gerekli işlemler yapıldığında L Lie
cebiri
ìæ 0 c t -bt ö
ü
ïç
÷
t
tï
L = íç b m
p ÷ : p = - p , q = -q ý
ïç - c q - m t ÷
ï
ø
îè
þ
şeklinde blok matrisleri ile ifade edilir ve so(2l + 1, £ ) notasyonu ile gösterilir.
3) so(2 l, £ ) :
æ0
S =ç
è Il
Il ö
÷
0ø
olmak üzere her l ³ 1 için L = glS (2l , £) olsun. Gerekli işlemler yapıldığında L Lie cebiri
19
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
p ö
ìæ m
ü
L = íç
: p = - pt , q = -qt ý
t ÷
îè q - m ø
þ
şeklinde blok matrisleri ile ifade edilir ve so(2l , £) notasyonu ile gösterilir.
4) sp(2 l, £ ) :
æ 0
S =ç
è - Il
Il ö
÷
0ø
olmak üzere her l ³ 1 için L = glS (2l , £) olsun. Gerekli işlemler yapıldığında L Lie cebiri
ìæ m
p ö
ü
L = íç
: p = pt , q = qt ý
t ÷
îè q -m ø
þ
şeklinde blok matrisleri ile ifade edilir ve sp(2l , £) notasyonu ile gösterilir.
Yukarıda belirtilen sl (l + 1, £), so(2l + 1, £ ), so(2l , £) ve sp(2l , £) Lie cebirlerine klasik Lie cebirleri denir.
Aşağıdaki klasik Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Erdmann ve Wildon,
2006)’da bulunabilir.
Teorem 2.15.1: L , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde bir klasik Lie cebiri ve
L ¹ so(2, £), so(4, £ ) olsun. Bu durumda L klasik Lie cebiri basit bir Lie cebiridir.
20
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.16. Modüller
Tanım 2.16.1: R bir halka ve M bir abelyen grup olmak üzere ( r , m ) ® rm kuralı ile
tanımlı R ´ M ® M fonksiyonu
1) Her r , s Î R ve m Î M için ( r + s ) m = rs + rm
2) Her r , s Î R ve m Î M için r ( sm ) = ( rs ) m
3) Her r Î R ve m, n Î M için r ( m + n) = rm + rn
koşullarını sağlıyorsa M kümesine sol R - modül denir.
Bu koşullara ek olarak R halkasının 1R ile gösterilen birim elemanı var ise ve
4) Her m Î M için 1R m = m
koşulu sağlanıyorsa M kümesine birimli sol R - modül denir.
2.17. Alt Modüller
Tanım 2.17.1: R bir halka, M bir sol R - modül ve N , M abelyen grubunun bir alt grubu olsun. Eğer her r Î R ve n Î N için rn Î N koşulu sağlanıyorsa N alt grubuna M
modülünün bir R - alt modülü denir.
Teorem 2.17.1: R birimli bir halka ve M bir R - modül olsun. M kümesinin bir N alt
kümesinin M modülünün bir R - alt modül olması için gerek yeter koşul
1) N ¹ Æ
2) Her x, y Î N ve r Î R için x + ry Î N
koşullarının sağlanmasıdır.
21
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.18. Modül Homomorfizmi
Tanım 2.18.1: R bir halka, M ve N iki R - modül ve j : M ® N bir fonksiyon olsun.
Eğer
1) Her x, y Î M için j ( x + y ) = j ( x ) + j ( y )
2) Her x Î M ve r Î R için j ( rx) = rj ( x )
koşulları sağlanıyorsa j
fonksiyonuna bir R - modül homomorfizmi denir. Eğer
j : M ® N fonksiyonu birebir ve örten ise j fonksiyona bir izomorfizm denir. Bu du-
rumda M ve N modülleri izomorfiktir denir ve M @ N ile gösterilir.
2.19. Bölüm Modülü
Tanım 2.19.1: R bir halka, M bir sol R - modül ve N , M modülünün bir alt modülü
olsun. ( r , m + N ) ® rm + N çarpımı ile M / N toplamsal bölüm grubu bir R - modül olur
ve bu modüle M modülünün N alt modülü ile bölüm modülü denir.
2.20. Modül İzomorfizm Teoremleri
Bu alt bölümde modüller için izomorfizm teoremleri verilmiştir. Bu teoremlerin ispatları (Hazewinkel, Gubareni ve Kirichenko, 2004)’te bulunabilir.
1. İzomorfizm Teoremi: R bir halka, M ve N iki R - modül ve j : M ® N bir R - modül homomorfizmi ise ker j , M modülünün bir R - alt modülü ve M / ker j @ j ( M ) olur.
2. İzomorfizm Teoremi: R bir halka, M bir R - modül ve M 1 ve M 2 M modülünün iki
R - alt modülü ise M 1 + M 2 / M 2 @ M 1 / M 1 Ç M 2 olur.
22
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
3. İzomorfizm Teoremi: R bir halka, M bir R - modül, M 1 ve M 2 M modülünün iki
R - alt modülü ve M 1 Í M 2 ise ( M / M 1 ) / ( M 2 / M 1 ) @ M / M 2 olur.
2.21. Modül Genişlemesi
S birimli bir halka olmak üzere M ve N S halkası üzerinde iki modül olsun. R ,
S halkasının bir alt halkası ve S halkasının birimli R - modül olmasını sağlamak için
1R = 1S olduğunu varsayalım.
Eğer N halkası bir S - modül ise varsayımdan R halkasının elemanları N abelyen grubu üzerinde etki ettiği için N grubu aynı zamanda sol R - modül olarak düşünülebilir. S - modül aksiyomları N abelyen grubu için aşağıdaki bağıntıları içerir.
Her s , s1 , s2 Î S ve n1 , n2 Î N için
( s1 + s2 ) × n = s1 × n + s2 × n ve s × (n1 + n2 ) = s × n1 + s × n2
(2.1)
Her s1 , s2 Î S ve n Î N için
( s1s2 ) × n = s1 ( s2 × n)
(2.2)
(2.2) bağıntısının özel bir durumu olarak, her s Î S , r Î R ve n Î N için
( sr ) × n = s ( r × n)
(2.3)
elde edilir. Daha genel olarak f : R ® S , f (1R ) = 1S kuralı ile tanımlı bir halka homomorfizmi ise N abelyen grubunu f ( r ) × n, r Î R, n Î N etkisi ile sol R - modül olarak düşünülebileceğini görmek zor değildir. Bu durumda S halkası R halkasının bir genişlemesi olarak düşünülebilir ve oluşan yeni sol R - modüle S halkasının skalerlerinin R halkasına
23
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
f : R ® S homomorfizmi altında kısıtlamasıyla ile N abelyen grubundan elde edilen mo-
dül denir.
Şimdi bu argümanın tersini yapmaya çalışalım. Yani; bir sol R - modül N ile bu
işe başlayalım ve N abelyen grubundaki R - modül etkisini yine N abelyen grubunda bir
S - modül etkisine genişleten bir S - modül yapısı inşa edelim.
Eğer R - modül N bir S - modül olsaydı o zaman R halkasının skalerlerinin S
halkasına genişlemesinde hiçbir zorluk olmazdı. Bu yüzden her s Î S , n Î N için s × n
formundaki çarpımların tanımlanıp tanımlanamayacağını belirlemek için inşaya temel modül aksiyomlarını yeniden gözden geçerek başlayalım. Bu aksiyomlar abelyen bir N grubu ve ( s, n) çiftinin görüntüsü s × n ile gösterilen S ´ N kümesinden N kümesine bir
fonksiyon ile başlar. Dolayısıyla N abelyen grubu S ´ N kümesi üzerinde serbest Z - modül (serbest abelyen grup) olarak yani; si Î S ve ni Î N olmak üzere ( si , ni ) formundaki
elemanların tüm sonlu değişmeli toplamlarının bir koleksiyonu olarak düşünebilir. S ´ N
kümesi üzerinde serbest abelyen grubu F ( S ´ N ) ile gösterelim. F ( S ´ N ) serbest grubu
herhangi farklı iki ( s, n) ve ( s ' , n' ) çifti arasında herhangi bir bağıntının olmadığı bir
abelyen gruptur ve bu abelyen grupta orijinal R - modül N yeni S halkasın katsayılarından tam olarak ayırt edilebilir. (2.1) ifadesinde bir S - modül yapısı için gerekli bağıntılar
ve (2.3) ifadesindeki N abelyen grubundaki R - modül etkisi ile uyumlu bağıntıyı sağlamak için F ( S ´ N ) serbest abelyen grubunun her s , s1 , s2 Î S , n, n1 , n2 Î N ve r Î R için
( s1 + s2 , n) - ( s1 , n) - ( s2 , n) ,
( s, n1 + n2 ) - ( s, n1 ) - ( s, n2 ) ve
(2.4)
( s × r , n ) = ( s, r × n )
formundaki elemanlar tarafından üretilen H alt grubu ile bölüm grubunu alalım.
Elde edilen bölüm grubu S Ä R N ile gösterilir ve R halkası üzerinde S ve N
modüllerinin tensör çarpımı olarak adlandırılır. s Ä n elemanı S Ä R N tensör çarpımında
( s, n ) elemanını içeren koset olarak gösterilirse bölüm grubu tanımından
24
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
( s1 + s2 ) Ä n = s1 Ä n + s2 Ä n ,
s Ä (n1 + n2 ) = s Ä n1 + s Ä n2 ve
(2.5)
s×r Än = s Är ×n
elde edilir. S Ä R N
tensör çarpımının elemanları tensörler olarak adlandırılır ve
s Î S , n Î N olmak üzere s Ä n formundaki basit tensörlerin sonlu toplamı olarak yazıla-
bilir.
I sonlu bir indis kümesi olmak üzere şimdi S Ä R N tensör çarpımının
s × (å si Ä ni ) = å ( ssi ) Ä ni
iÎI
(2.6)
iÎI
çarpımı ile bir S - modül olduğunu gösterelim.
İlk olarak çarpımın iyi tanımlı olup olmadığını gösterelim. Yani; S Ä R N tensör
çarpımındaki basit tensörlerin toplamı olarak yazılan elemanların temsilinden bağımsız
olduğunu gösterelim. s ' Î S herhangi bir eleman ise o zaman
( s ' ( s1 + s2 ), n ) - ( s ' s1 , n ) - ( s ' s2 , n ) = ( s ' s1 + s ' s2 , n ) - ( s ' s1 , n ) - ( s ' s2 , n )
( s ' s, n1 + n2 ) - ( s ' s, n1 ) - ( s ' s, n2 ) ve
( s ' (s × r ), n) - ( s ' s , r × n) = (( s ' s ) × r ), n) - (s ' s, r × n)
elemanlarının her biri (2.4) ifadesindeki üreteç kümesine aittir. Bundan dolayı her bir eleman H alt grubunun elemanıdır. Bu ise (2.4) ifadesindeki üreteç kümesinin elemanlarının
ilk girişlerini soldan s ' Î S elemanı ile çarpma H alt grubunun başka bir elemanını verdiğini gösterir. H alt grubunun her elemanı (2.4) ifadesindeki gibi elemanların bir toplamı
olduğundan her
å (s , n )
iÎI
å ( ss , n ) Î H
iÎI
i
i
i
i
elemanı H
alt grubunun elemanı ve aynı zamanda
olur. Kabul edelim ki S Ä R N tensör çarpımında aynı elemanının iki tem-
25
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
sili eşit yani;
ås Än = ås Än
iÎI
grubunun
bir
i
i
iÎI
elemanıdır
å ( ss , n ) - å ( ss , n )
'
iÎI
i
i
çarpımında
i
iÎI
'
i
'
i
'
i
ve
olsun. O zaman
görüldüğü
iÎI
'
gibi
i
aynı
i
iÎI
i
zamanda
'
i
elemanı H alt
her
sÎS
için
elemanı da H alt grubunun elemanıdır. Bu ise S Ä R R tensör
'
i
å (s , n ) - å ( s , n )
iÎI
å ( ss ) Ä n = å ( ss ) Ä n
i
Mustafa GÖK
iÎI
i
i
'
olduğunu ifade eder. O zaman (2.6) ifadesindeki
çarpım iyi tanımlıdır.
Şimdi ise (2.5) ifadesindeki bağıntıları kullanarak (2.6) ifadesindeki çarpım ile
S Ä R N tensör çarpımının bir sol S - modül yapısına sahip olduğu gösterelim. si Ä ni basit
tensöründe
1)
( s + s ' ) × ( si Ä ni ) = (( s + s ' )si ) Ä ni )
= ( ssi + s ' si ) Ä ni
= ssi Ä ni + s ' si Ä ni
= s × ( si Ä ni ) + s ' × ( si Ä ni )
2)
(ss ' ) × ( si Ä ni ) = (( ss ' ) si ) Ä ni )
= ( s (s ' si )) Ä ni
= s × (( s ' si ) Ä ni )
= s × ( s ' × (si Ä ni ))
3)
s × ( si Ä ni + s j Ä n j ) = ( ssi ) Ä ni + (ss j ) Ä n j
= s × ( si Ä ni ) + s × ( s j Ä n j )
26
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
olup dağılma özelliği ve S Ä R N tensör çarpımında her elemanının basit tensörlerin sonlu
bir toplamı olduğundan S Ä R N bir sol S - modül yapısına sahip olduğu elde edilir.
Elde edilen yeni S Ä R N modülü N R - modülünün skalerlerinin genişlemesiyle
elde edilen S - modül olarak adlandırılır.
i (n) = 1R Ä n kuralı ile tanımlı bir i : N ® S Ä R N doğal dönüşümü vardır.
1R Ä r × n = r Ä n = r × (1R Ä n) olduğundan i : N ® S Ä R N doğal dönüşümü bir R - modül
homomorfizmidir.
2.22. Modül Üreteçleri
Tanım 2.22.1: R bir halka, M bir R - modül ve X Í M olsun. Eğer M modülünün her
elemanı X kümesinin bir lineer kombinasyonu olarak yazılabiliyorsa X kümesine M
modülünün bir üreteç kümesi denir.
Bu tanım r1 , r2 , K , rp Î R ve a1 , a2 , K , a p Î A olmak üzere M modülünün her
elemanının r1a1 + r2 a2 + L + rp a p formunda tek türlü yazılabileceğini gösterir.
Tanım 2.22.2: R birimli bir halka, M bir R - modül ve N1 , N 2 , K , N n M modülünün
alt modülleri olsun.
1) N1 , N 2 , K , N n alt modüllerinin toplamı N i , i = 1, 2, K , n kümelerinin elemanlarının
tüm sonlu toplamlarının bir kümesidir ve N1 + N 2 + L + N n ile gösterilir.
2) Her X Í M alt kümesi için
RX = {r1 x1 + r2 x2 + L + rm xm | r1 , r2 , K , rm Î R, x1 , x2 , K , xm Î X }
olsun. RX kümesine M modülünün X kümesi tarafından üretilen alt modülü denir.
Eğer
X = Æ ise RX = {0} olur. Eğer X = { x1 , x2 , K , xn } sonlu bir küme ise
RX = R1 x1 + R2 x2 + L + Rn xn olur. Eğer N , M modülünün bir alt modülü ve bir X Í M
kümesi için N = RX ise X kümesine N alt modülü için bir üreteç kümesi denir
27
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
3) N , M modülünün bir alt modülü olsun. Eğer N = RX olacak şekilde bir X Í M alt
kümesi varsa N alt modülü sonlu üretilmiş bir modüldür yani; N alt modülü sonlu bir
küme tarafından üretilir.
4) N , M modülünün bir alt modülü olsun. Eğer N = Rx olacak şekilde bir x Î M elemanı varsa N alt modülüne devirli modül denir. Yani; N alt modülü bir eleman tarafından üretilir ve bu durumda N = Rx = {rx | r Î R} olur.
R birimli bir halka olsun. Her X Í M alt kümesi için RX , M modülünün X
kümesini içeren en küçük alt modülüdür. Özellikle N1 + N 2 + L + N n alt modülü
N1 È N 2 È ... È N n kümesi tarafından üretilir ve M modülünün N i , i = 1, 2, K , n kümelerini içeren en küçük alt modüldür. Eğer M modülünün N1 , N 2 , K , N n alt modülleri sırasıyla
X1, X 2 , K , X n
kümeleri tarafından üretilirse
N1 + N 2 + L + N n
alt modülü
X 1 È X 2 È ... È X n kümesi tarafından üretilir.
N , M modülünün bir alt modülü olsun. N alt modülü farklı üreteç kümelerine
sahip olabilir. Eğer N alt modülü sonlu üretilmişse N alt modülü en az d tane eleman
tarafından üretilecek şekilde bir d pozitif tamsayısı vardır. d tane eleman içeren herhangi
bir üreteç kümesine N alt modülü için bir minimal üreteç kümesi denir.
Tanım 2.22.3: R bir halka, M bir R - modül, N1 , N 2 , K , N n M modülünün alt modülleri ve M = N1 + N 2 + L + N n olsun. Eğer ai Î N i , i = 1, 2, K , k olmak üzere her x Î M
elemanı x = a1 + a2 + L + ak formunda tek türlü olarak yazılabiliyorsa M modülüne
N1 , N 2 , K , N n alt modüllerinin direkt toplamı denir.
2.23. Serbest Modül
Tanım 2.23.1: R bir halka, M bir R - modül ve X Í M olsun. Eğer her R - modül N
için bir f : X ® N fonksiyonu mevcut olduğunda f
X
= f olacak şekilde bir tek f R -
modül homomorfizmi varsa M modülüne X kümesi üzerinde bir serbest R - modül denir.
28
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.24. Torsiyon Serbest Modül
Tanım 2.24.1: R bir halka, M bir R - modül olsun. r Î R ve m Î M için rm = 0 iken
r = 0 veya m = 0 oluyorsa M modülüne torsiyon serbest bir modül denir.
2.25. Kategori
Tanım 2.25.1: Elemanları objeler olarak adlandırılan A, B, C , K kümelerinin aşağıdaki
koşulları sağlayan bir C sınıfına bir kategori denir.
1) C sınıfındaki her ( A, B ) objeler çifti için herhangi bir f elemanı A kümesinden B kümesine bir morfizm olarak adlandırılan ve f : A ® B ile gösterilen ayrık kümelerin bir Hom ( A, B ) sınıfı vardır.
2) Her bir ( A, B, C ) objeler üçlüsü için Hom ( A, B ) ´ Hom( B, C ) ® Hom ( A, C )
fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.
a) h Î Hom ( A, B ), g Î Hom( B, C ) ve f Î Hom ( A, C ) C sınıfının morfizleri ise h o ( g o f ) = ( h o g ) o f olur.
b) C sınıfının her B objesi ve her f : A ® B , g : B ® C morfizmleri için
1B o f = f ve g o 1B = g olacak biçimde C sınıfının bir 1B : B ® B morfizmi vardır.
2.26. Terim Sıralama
Değişkenleri
x1 , x2 , K , xn
ve
katsayıları
K
cisminin
elemanları
olan
f ( x1 , x2 , K , xn ) polinomlarını düşünelim. a Î K ve b i Î ¥, i = 1, 2, K , n olmak üzere
bu polinomlar a x1b1 x2 b 2 K xn b n formundaki terimlerin sonlu toplamlarıdır. x1b1 x2 b 2 K xn b n
terimine bir kuvvet çarpımı denir. K [ x1 , x2 , K , xn ] , değişkenleri x1 , x2 , K , xn ve katsayıları K cisminin elemanları olan tüm polinomların kümesi olsun. K [ x1 , x2 , K , xn ] kümesi üzerinde tanımlı bilinen polinom toplaması ve polinom çarpması ile değişmeli bir
29
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
{
}
halka meydana getirir ve aynı zamanda T n = x1b1 x2 b2 K xn bn | b i Î ¥, i = 1, 2, K , n tüm
kuvvet çarpımlarının kümesini göstermek üzere K [ x1 , x2 , K , xn ] baz kümesi T n olan bir
K - vektör uzayıdır.
Kuvvet çarpımlarında bir sıralama belirlemek önemlidir. x1b1 x2 b 2 K xn b n terimini
b = ( b1 , b 2 , K , b n ) Î ¥ n olmak üzere x b ile gösterelim.
T n kümesi üzerinde bir çok sıralama tanımlanabilir. Bir sıralamanın T n kümesi
üzerinde tam sıralama olması için her xa , x b Î T n için xa < x b , xa = x b veya xa > x b
bağıntılarından birini sağlaması gerekir.
Tanım 2.26.1: T n kümesi üzerinde < ile gösterilen bir tam sıralama
1) Her 1 ¹ x b Î T n için 1 < x b
2) xa , x b Î T n ve xa < x b iken her xg Î T n için xa xg < x b x g
koşullarını sağlıyorsa bu sıralamaya T n kümesi üzerinde bir terim sıralama denir.
Tanım 2.26.2: 0 ¹ ai Î K , xai Î T n , a i Î ¥ n ve xa1 > xa 2 > L > xa r
f = a1 xa1 + a2 xa 2 + L + ar xa r Î K [ x1 , x2 , K , xn ] olsun.
1) lp( f ) = xa1 , f polinomunun leading kuvvet çarpımı
2) lc ( f ) = a1 , f polinomunun leading katsayı
3) lt ( f ) = a1 xa1 , f polinomunun leading terimi
olarak tanımlanır.
30
olmak üzere
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Tanım 2.26.3: x1 > x2 > L > xn olmak üzere x1 , x2 , K , xn değişkenleri ile T n kümesi
üzerinde sözlük sıralamayı her a = (a1 , a 2 , K , a n ), b = ( b1 , b 2 , K , b n ) Î ¥ n için
ìïa ve b sıralı n - lisinde birbirinden farklı soldan ilk
xa < x b Û í
ïîkoordinatlar sırasıyla a i ve b i olmak üzere a i < b i ise
şeklinde tanımlayalım. Bu sıralama lex ile gösterilir.
Tanım 2.26.4: x1 > x2 > L > xn olmak üzere x1 , x2 , K , xn değişkenleri ile T n kümesi
üzerinde ters sözlük sıralamayı her a = (a1 , a 2 , K , a n ), b = ( b1 , b 2 , K , b n ) Î ¥ n için
ìïa ve b sıralı n - lisinde birbirinden farklı sağdan ilk
x <x Ûí
ïîkoordinatlar sırasıyla a i ve b i olmak üzere a i < b i ise
a
b
şeklinde tanımlayalım. Bu sıralama revlex ile gösterilir.
Tanım 2.26.5: x1 > x2 > L > xn olmak üzere x1 , x2 , K , xn değişkenleri ile T n kümesi
üzerinde derece sözlük sıralamayı her a = (a1 , a 2 , K , a n ), b = ( b1 , b 2 , K , b n ) Î ¥ n için
n
ì n
a
<
ïå i å bi
i =1
ï i =1
ï
ï veya
xa < x b Û í
n
ï n
a
=
ïå i å b i iken a ve b sıralı n - lisinde birbirinden farklı
i =1
ï i =1
ï
îsoldan ilk koordinatlar sırasıyla a i ve b i olmak üzere a i < b i ise
şeklinde tanımlayalım. Bu sıralama deglex ile gösterilir.
31
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Tanım 2.26.6: x1 > x2 > L > xn olmak üzere x1 , x2 , K , xn değişkenleri ile T n kümesi
üzerinde derece ters sözlük sıralamayı her a = (a1 , a 2 , K , a n ), b = ( b1 , b 2 , K , b n ) Î ¥ n
için
n
ì n
a
<
ïå i å b i
i =1
ï i =1
ï
ïveya
xa < x b Û í
n
ï n
a
=
ïå i å b i iken a ve b sıralı n - lisinde birbirinden farklı
i =1
ï i =1
ï
îsağdan ilk koordinatlar sırasıyla a i ve b i olmak üzere a i < b i ise
şeklinde tanımlayalım. Bu sıralama degrevlex ile gösterilir.
İki değişken olması durumunda deglex ve degrevlex aynı sıralamadır. Fakat en az
üç değişken var ise aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bu durum geçerli değildir.
x1 > x2 > x3 ise deglex sıralamaya göre x12 x2 x3 > x1 x2 3 fakat degrevlex sıralamaya göre
x12 x2 x3 < x1 x23 olur.
2.27. Nonasosyatif Polinomlar
Tanım 2.27.1: X = { x1 , x2 , K , xn , K } değişkenlerin sayılabilir bir kümesi olsun. X
kümesinin herhangi bir elemanına derecesi 1 olan nonasosyatif monomial denir. Tümevarım ile derecesi herhangi bir doğal sayı olan nonasosyatif monomialleri tanımlayalım. Verilen bir n doğal sayısı için u ve v derecesi sırasıyla i ve n - i olan nonasosyatif monomialler olmak üzere (u )( v) formu derecesi n olan nonasosyatif bir monomialin bir ifadesidir. u (ve/veya v ) monomialinin derecesi 1 ise (u )( v) ifadesindeki u (ve/veya v ) monomialinin etrafındaki parantezler yazılmaz. Nonasosyatif bir polinom nonasosyatif monomiallerin bir K - lineer kombinasyonudur. R , K cismi üzerinde bir cebir olsun. Eğer f
nonasosyatif polinomu x1 , x2 , K , xn değişkenlerinden başka değişkenleri içermiyorsa ve
32
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
a1 , a2 , K , an R cebirinin elemanlarının bir koleksiyonu ise f nonasosyatif polinomunu
oluşturan x1 , x2 , K , xn değişkenlerinin yerine a1 , a2 , K , an yazılarak dönüşümlerin zinciri sonunda elde edilen f (a1 , a2 , K , an ) R Lie cebirinin bir elemanı olur.
Tanım 2.27.2: S sıralı bir alfabe olsun. S alfabesindeki tüm asosyatif kelimelerin kümesi
sözlük sıralamasına göre sıralayalım. u , S alfabesinde herhangi bir asosyatif kelime olsun. En az bir harf içeren her u1 , u2 asosyatif kelimeleri için u = u1u2 iken u > u1u2 oluyorsa u asosyatif kelimesine regüler asosyatif kelime denir.
w en az bir harf içeren kelime olmak üzere eğer u ve v herhangi iki regüler asosyatif kelime ve u = vw ise v > u olduğunu kabul edelim.
Açıkça görüldüğü gibi u = u1u2 bir regüler asosyatif kelime ise u > u2 olur.
Tanım 2.27.3: S sıralı bir alfabe olsun. u , S alfabesinde herhangi bir nonasosyatif kelime olsun. Eğer
1) u nonasosyatif kelimesinden parantezlerin çıkarılması ile elde edilen kelime regüler asosyatif kelime
2) v ve w herhangi iki regüler nonasosyatif kelimeler olmak üzere u = vw ise
v>w
3) v ve w herhangi iki regüler nonasosyatif kelimeler olmak üzere u = vw ve
v = v1v2 ise v2 £ w
koşulları sağlanıyorsa u nonasosyatif kelimesine bir regüler nonasosyatif kelime denir.
Aşağıdaki regüler asosyatif kelime ile ilgili lemmanın ispatı (Shirshov, 1958)’de
bulunabilir.
Lemma 2.27.1: Herhangi bir regüler asosyatif kelimede parantezler sadece elde edilen
nonasosyatif kelime regüler olacak şekilde bir tek yol ile yerleştirilir.
33
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Tanım 2.27.4: A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan iki
Lie cebiri ve X , Y ve Z sırasıyla A , B ve C Lie cebirlerinin baz kümeleri olsun. X , Y
ve Z baz kümelerinin iyi sıralı ve her z Î Z , her y Î Y ve her x Î X için z < y < x olduğunu varsayalım. Sıralı U = Z È Y È X alfabesini düşünelim. w , U alfabesinde herhangi
bir nonasosyatif regüler kelime, a ' , a '' Î X
ve b ' , b '' Î Y olmak üzere a ' > a '' ve
b ' > b '' Î Y olsun. Eğer w Î U veya X È Y alfabesinde w nonasosyatif regüler kelimesine
karşılık gelen asosyatif regüler kelime a ' a '' veya b 'b '' formundaki alt kelimeleri içermiyorsa w nonasosyatif regüler kelimesine bir özel kelime denir.
ai , a kelimesinin yazılışındaki soldan ilk harfi
as , a kelimesinin yazılışındaki sağdan ilk harfi
bi , b kelimesinin yazılışındaki soldan ilk harfi
bs , b kelimesinin yazılışındaki sağdan ilk harfi
ci , c kelimesinin yazılışındaki soldan ilk harfi ve
V-1 = X È Y
V0 = {t = ab : deg t = 2, a Î X , b Î Y }
V1 = {t = (ab)c : deg t = 3, ab ÎV0 , c ÎV-1 ve b £ c}
ìït = ( ab)c : deg t = 4, ab Î V0 È V1 , c Î V-1 È V0 , ab > e, b £ c ve (( as , bi Î X ise as £ bi ) üï
V2 = í
ý
veya (bs , ci Î X ise bs £ ci ) veya (as , bi , bs , ci Î X ise as £ bi ve bs £ ci )) ïþ
ïî
.
.
.
m -1
m- 2
ì
ü
t
=
(
ab
)
c
:
deg
t
=
m
+
2,
ab
Î
V
,
c
Î
V j , ab > c, b £ c ve ((as , bi Î X ise as £ bi ) ï
U
U
i
ïï
ï
i =0
j =-1
Vm = í
ý
ï
ï
veya (bs , ci Î X ise bs £ ci ) veya ( as , bi , bs , ci Î X ise as £ bi ve bs £ ci )) þï
îï
34
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
olmak üzere
V =ZÈ
UV
m
m ³-1
alınırsa V derecesi en az bir olan özel kelimelerin bir kümesi olur.
2.28. Bir Özdeşlik Bağıntısını Sağlayan Cebirler
Tanım 2.28.1: V , K cismi üzerinde cebirlerin bir sınıfı ve R ÎV olsun. Eğer her
( a1 , a2 , K , an ) Î R n sıralı n - lisi için f (a1 , a2 , K , an ) = 0 olacak şekilde nonasosyatif
bir
f
polinomu ve V
sınıfında bir
(b1 , b2 , K , bn ) Î S n
sıralı
n - lisi için
f (b1 , b2 , K , bn ) ¹ 0 olacak şekilde bir S cebiri mevcut ise R cebirine V sınıfında trivial
olmayan bir özdeşlik bağıntısını sağlayan bir cebir denir. f ( x1 , x2 , K , xn ) º 0 formundaki
bir ifadeye özdeşlik bağıntısı ve R cebirine de V sınıfında bu özdeşlik bağıntısını sağlayan bir cebir denir.
Tanım 2.28.2: V , K cismi üzerinde Lie cebirlerinin bir sınıfı ve L , V sınıfında bir Lie
cebiri olacak şekilde nonasosyatif polinomların bir koleksiyonu V olsun. Eğer bir
{v º 0 | v Î V }
özdeşlik bağıntıları kümesi mevcut ve L Lie cebiri bu küme üzerindeki tüm
özdeşlik bağıntılarını sağlıyorsa V sınıfına bir varyete denir.
Tanım 2.28.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. a1 , a2 , K , an Î L elemanlarının
a1a2 K an sol normal çarpımı (L ((a1 o a2 ) o a3 ) oL) o an olarak tanımlanır. Böyle çarpımlara sol normal kelimeler veya derecesi n olan monomial denir. Monomiallerin herhangi bir
lineer kombinasyonuna ise bir Lie polinomu denir.
35
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki monomial ile ilgili teoremin ispatı (Kukin, 1970)’te bulunabilir.
Teorem 2.28.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. a1 , a2 , K , an Î L harflerini
içeren uzunluğu l olan her monomial aynı harfleri içeren uzunluğu l olan sol normal monomiallerin bir K - lineer kombinasyonu olarak yazılabilir.
2.29. Bir Lie Cebirinin Bir Tek Elemanı Tarafından Üretilen İdeali
L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. x Î L elemanı tarafından üretilen esas
ideal L Lie cebirinin x elemanı ile başlayan sol normal monomiallerin ürettiği bir K vektör uzayıdır yani; a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , K , cn , K Î L olmak üzere
x, xa1 , xb1b2 , K , xc1c2 K cn , K
monomialleri tarafından üretilen K - vektör uzayıdır ve id L á xñ ile gösterilir.
2.30. Lie Cebirlerinde Sıfır Bölenler
Tanım 2.30.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Herhangi bir 0 ¹ x Î L elemanı
için
id L á xñ o id L á yñ = 0
(2.7)
olacak biçimde bir 0 ¹ y Î L elemanı mevcut ise x elemanına bir sıfır bölen denir.
Tanım 2.30.1 x ve y elemanlarına bağlı olarak simetriktir. Bu yüzden x ve y elemanları sıfır bölenlerin bir çiftini oluşturur. Yani; 0 ¹ x, y Î L elemanlarının L Lie cebirinde bir sıfır bölen çifti olması için gerek ve yeter koşul id L á xñ o id L á y ñ = 0 olmasıdır.
36
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
L Lie cebirinin 0 elemanını ve tüm sıfır bölenlerini içeren kümesini D ( L ) ile gös-
terelim.
Tanım 2.30.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer L Lie cebiri sıfır bölensiz
ise L Lie cebirine bir bölge denir.
Tanım 2.30.3: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer D ( L ) = Fit ( L ) oluyorsa L
Lie cebirine bir yarıbölge denir.
Tanım 2.30.4: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer D ( L) = L2 oluyorsa L Lie
cebirine bir kesin yarıbölge denir.
Açıklama 2.30.1: Eğer L , K cismi üzerinde metabelyen bir Lie cebiri ise kesin yarıbölge
tanımı düzenleyelim. L2 Í Fit ( L) ve Fit ( L ) Í D ( L ) olduğu için L2 Í D ( L) olur. O zaman L metabelyen Lie cebirinin bir kesin yarıbölge olması için gerek ve yeter koşul L
metabelyen Lie cebirinin bir yarıbölge ve Fit ( L) = L2 olmasıdır.
2.31. Serbest Lie Cebirleri
Tanım 2.31.1: X boş olmayan bir küme, L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve
b : X ® L bir dönüşüm olsun. Eğer K cismi üzerinde her B Lie cebiri ve her a : X ® L
dönüşümü için a = Wb olacak biçimde bir tek W : L ® B Lie homomorfizmi var ise
( L, b ) ikilisine X kümesi üzerinde serbest bir Lie cebiri denir.
Tanım 2.31.2: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri ve A = {ai : i Î I } , L Lie cebirinin elemanlarının bir ailesi, I kümesi üzerinde inşa edilen serbest Lie cebiri F ( I ) ve
s : I ® F ( I ) , s (i) = ai kuralı ile tanımlı bir Lie homomorfizmi olsun. Eğer s : I ® F ( I )
Lie homomorfizmi örten ise A kümesine L Lie cebiri için bir üreteç kümesi,
s : I ® F ( I ) Lie homomorfizmi birebir ve örten ise A kümesine L Lie cebiri için bir
37
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
serbest üreteç kümesi denir. Eğer A kümesi sonlu bir küme ise L Lie cebirine sonlu üretilmiş bir Lie cebiri denir. Buna göre bir serbest Lie cebirinin herhangi iki üreteç
kümesinin kardinalitesi aynıdır. L Lie cebirinin bir serbest üreteç kümesinin kardinalitesine L Lie cebirinin rankı denir.
2.32. Serbest Lie Cebirinin İnşası
Boş kümeden farklı bir X kümesi üzerinde bir serbest Lie cebirini inşa edelim. ´
kümelerin kartezyen çarpımını göstermek üzere her n pozitif tamsayısı için X n kümelerini
n -1
X 1 = X , X 2 = X ´ X , K , X n = U ( X p ´ X n- p )
p =1
¥
olacak şekilde tanımlayalım ve M ( X ) = U X n diyelim.
n =1
Herhangi bir a, b Î M ( X ) için a Î X p ve b Î X q olacak şekilde p, q Î ¢ + vardır.
n = p + q olsun. Bu durumda ( a, b) Î X p ´ X n - p olup ( a, b) elemanının X p ´ X n - p ® X n
kanonik injeksiyonu altındaki görüntüsünü ( ab) ile gösterelim. Böylece her a, b Î M ( X )
için ( ab) çarpımını tanımlanır. a Î X p olacak şekildeki p Î ¢ + sayısına a elemanın
uzunluğu denir ve l ( a) ile gösterilir. a, b Î M ( X ) için l ( ab ) = l ( a ) + l (b) olur. X kümesinin elemanlarına uzunluğu 1 olan elemanlar denir. Uzunluğu 2 olan bir c elamanını
a, b Î X olmak üzere c = ( ab ) ile tanımlayalım. Uzunluğu n > 2 olan bir c elamanını
l ( a ) < l (c ) ve l (b ) < l (c ) olmak üzere c = ( ab ) ile tanımlayalım. Böylece tümevarım ile
uzunluğu bir pozitif tamsayı olan M ( X ) kümesinin elemanları tanımlanmış olur.
K cismi üzerinde bir bazı M ( X ) kümesi olan bir vektör uzayı oluşturalım. Yani;
M ( X ) kümesinin elemanlarının K - lineer kombinasyonlarını alıp M ( X ) kümesindeki
çarpımı tüm vektör uzayına genişletelim. Böylece K cismi üzerinde asosyatif olmayan ve
vektör uzayı olarak sonlu boyutlu olmayan bir N ( X ) serbest cebir elde ederiz. Yani;
38
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
N ( X ) , nonasosyatif bir çarpma işlemi ile baz kümesi M ( X ) olan K - modül olur. A ,
N ( X ) serbest cebirinin
a) Q ( a ) = aa
b) J ( a, b, c ) = ( ab)c + ( ca)b + (bc ) a
şeklindeki elemanları tarafından üretilen ideali olsun. Bu durumda F ( X ) = N ( X ) / A , X
kümesi üzerinde bir serbest Lie cebiri ve X , F ( X ) serbest Lie cebiri için bir serbest üreteç kümesi olur.
2.33. Serbest Lie Cebirinin Hall Bazı
M n ( X ) , M ( X ) kümesinde n - uzunluklu elemanların kümesi olsun. O zaman
açıkça görülüğü gibi M 1 ( X ) = X olur.
Tanım 2.33.1: Bir H Í M ( X ) Hall kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanır.
1) X Í H ve X kümesine herhangi bir tam sıralama verilmiştir.
2) H Ç M 2 ( X ) kümesi x, y Î X ve x > y olacak şekildeki ( xy ) elemanlarından
meydana gelir
3) H Ç M n ( X ) kümesi tanımlı ve m = 1, 2, K , n - 1 için bu kümeye uzunluğu koruyan bir tam sıralama verilmiş olduğunu varsayalım. Yani; u , v Î M ( X ) ve l (u ) < l (v)
ise u < v diyelim ve aynı uzunluklu elemanları keyfi olarak sıralayalım.
n -1
n ³ 3 için H Ç M n ( X ) kümesi a, b, c, bc Î U H Ç M k ( X ) ve a > b £ c, ab > c
k =1
olmak
üzere
M n(X )
kümesinin
( ab )c
şeklindeki
elemanlarından
¥
¥
n =1
n =1
oluşur.
H = U ( H Ç M n ( X ) ) diyelim. H n = H Ç M n ( X ) olarak alırsak H = U H n olur. Hall
39
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
kümesini böylece tanımlanmış olur. Verilen bir X kümesi farklı Hall kümeleri tanımlanabilir ve her bir Hall kümesi X kümesine verilen tam sıralama ile belirlidir. Şimdi
¥
H = U H n Hall kümesi açık olarak yazalım.
n =1
H1 = X , X kümesi iyi sıralı
H 2 = {( xy ) | x, y Î X , x > y}
.
.
.
H n = {(( xy ) z ) | x, y, z , xy Î H1 È H 2 È L È H n -1 x > y, y £ z , xy > z}
olmak üzere
¥
H = U Hn
n =1
X kümesi üzerinde tanımlı bir Hall kümesidir.
Aşağıdaki serbest Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Shirshov, 1953)’te bulunabilir.
Teorem 2.33.1: F , K cismi üzerinde serbest bir Lie cebiri ve C , F serbest cebirinin alt
cebiri olsun. Bu durumda C alt cebiri de serbest bir Lie cebiri olur.
Tanım 2.33.2: F , K cismi üzerinde serbest bir Lie cebiri ve Æ ¹ M , F serbest Lie cebirinin sonlu bir alt kümesi olsun. Eğer her f Î M Lie polinomunun leading terimi olan
lt ( f ) , {lt ( g ) : g Î M \{ f }} kümesinin ürettiği alt uzaya ait değilse M kümesine indirgen-
miş bir küme denir. Boş kümenin indirgenmiş olduğunu varsayacağız.
40
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki indirgenmiş küme ile ilgili teoremin ispatı (Kukin, 1972)’de bulunabilir.
Teorem 2.23.2: F , K cismi üzerinde serbest bir Lie cebiri olsun. F serbest Lie cebirinin
her C alt cebiri indirgenmiş bir üreteç kümesine sahiptir
Aşağıdaki serbest Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Bourbaki, 1975)’te bulunabilir.
Teorem 2.33.3: X herhangi bir küme, F , X kümesi üzerinde bir serbest Lie cebiri ve
H , F serbest Lie cebirinin X kümesi üzerindeki Hall kümesi olsun. H Hall kümesi vek-
tör uzayı olarak F serbest Lie cebirinin toplamsal bir bazını oluşturur.
Açıklama 2.33.1: X herhangi bir küme, F , X kümesi üzerinde bir serbest Lie cebiri ve
H , F serbest Lie cebirinin X kümesi üzerindeki Hall kümesi olsun. Fn ve Fm sırasıyla
F serbest Lie cebirinin alt merkezi serisinin n - inci ve m - inci terimi ve H n , H Hall
kümesindeki n - uzunluklu elemanların kümesi olmak üzere Fn Fm Í Fn+ m olduğundan F
serbest Lie cebirinde uzunluğu ³ n olan elemanlar Fn tarafından içerilir. Bu yüzden
H n Ì Fn olur.
Aşağıdaki serbest Lie cebirleri ile ilgili teoremin ispatı (Ward, 1964)’te bulunabilir.
Teorem 2.33.4: F , K cismi üzerinde bir serbest Lie cebiri ve H , F serbest Lie cebirinin
Hall bazı olsun. a1 , a 2 , K , a r Î K , h1 , h2 , K , hr Î H1 È H 2 È L È H n-1 ve Fn , F serbest
Lie cebirinin alt merkezi serisinin n - inci terimi olmak üzere herhangi bir f Î F elemanı
r
f = å ai hi (modulo Fn )
i =1
şeklindedir.
41
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.34. Bir Serbest Lie Cebirinin Alt Merkezi Serisinin Terimleri İçin Serbest Üreteçler
F , K cismi üzerinde serbest bir Lie cebiri olsun. m ³ 2 için F serbest Lie cebiri-
nin Fm alt merkezi serisinin terimleri 1- üreteçli serbest Lie cebiri hariç F vektör uzayının
alt uzayları olarak sonlu boyutlu değildir.
Aşağıdaki alt merkezi serisinin terimleri ile ilgili teoremin ispatı (Shmel’kin,
1963)’te bulunabilir.
Teorem 2.34.1: X herhangi bir küme, F , X kümesi üzerinde serbest bir Lie cebiri, H ,
F serbest Lie cebirinin X kümesi üzerindeki Hall bazı ve Fm , F serbest Lie cebirinin alt
merkezi serisinin m - inci terimi olsun. Bu durumda
Cm = { x = a1a2 : l ( x) ³ m, a1 , a2 , x Î H , a1 > a2 ve l (a2 ) < m}
Fm alt merkezi serisinin terimi için bir serbest üreteç kümesidir. Cm kümesi üzerinde tanımlanan H Cm Hall kümesi Fm alt cebirinin vektör uzayı olarak bazıdır.
2.35. Serbest Metabelyen Lie Cebiri
Tanım 2.35.1: L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer L = F / F2, 2 olacak şekilde
bir X serbest üreteç kümesi üzerinde bir F serbest Lie cebiri varsa L Lie cebirine serbest
bir metabelyen Lie cebiri denir.
Tanım 2.35.2: F , K cismi üzerinde serbest bir metabelyan Lie cebiri ve L tam sıralı bir
küme olmak üzere {aa : a Î L} , F serbest metabelyen Lie cebiri için bir baz kümesi olsun. ai1 ai2 K aim sol normal monomiallerine i1 > i2 £ i3 £ L £ im koşulunu sağlıyorsa normalleştirilmiş kelimeler denir.
42
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aşağıdaki serbest metabelyen Lie cebiri ile ilgili teorem ve buna bağlı sonucunun
ispatı (Artamonov, 1972)’de bulunabilir.
Teorem 2.35.1: F , K cismi üzerinde serbest bir metabelyen Lie cebiri olsun. F serbest
metabelyen Lie cebirinin tüm normalleştirilmiş kelimelerinin kümesi F serbest metabelyen Lie cebirinin bir lineer baz kümesini oluşturur.
Sonuç 2.35.1: F , K cismi üzerinde serbest bir metabelyen Lie cebiri olsun.
1) F serbest Lie cebirinin {aa : a Î L} serbest baz kümesinin F / F 2 bölüm cebirindeki
görüntüsü F / F 2 bölüm cebirinin toplamsal lineer baz kümesi oluşturur.
2) Eğer L > 1 ise o zaman F serbest metabelyen Lie cebiri abelyen değildir.
3) Eğer L = 1 ise F serbest metabelyen Lie cebiri 1 - boyutlu bir vektör uzayıdır.
4) F serbest metabelyen Lie cebirinin lineer bağımsız modülo F 2 kümesinin {bb : b Î B}
sisteminin elemanlarının her koleksiyonu rankı B olan serbest bir metabelyen Lie cebirini üretir.
2.36. Matris Metabelyen Lie Cebirleri
Tanım 2.36.1: R , değişkenleri { xa : a Î L} değişmeli elemanlar ve katsayıları K cisminin elemanları olan bir polinomlar halkası ve T , baz kümesi {ui : i Î I } olan R polinomlar
halkası üzerinde bir serbest modül olsun. R polinomlar halkası ve T serbest modülünü
kullanarak bir matris metabelyen Lie cebiri inşa edelim. f Î R ve u Î T olmak üzere
æf
ç0
è
uö
0 ÷ø
formundaki tüm matrislerin kümesini M I , L ile gösterelim.
M I , L kümesi üzerinde
43
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
æ f u ö æa × f
a ×ç
÷=ç
è 0 0ø è 0
a ×u ö
, aÎK
0 ÷ø
æf
ç0
è
u ö æ g vö æ f + g u + vö
+
=
0 ÷ø çè 0 0 ÷ø çè 0
0 ÷ø
æf
ç0
è
u ö æ g v ö æ 0 ug - vf ö
o
=
0 ÷ø çè 0 0 ÷ø çè 0
0 ÷ø
işlemlerini tanımlayalım. M I , L kümesinin tanımlanan bu işlemler ile metabelyen bir Lie
cebiri meydana getirdiği kolaylıkla gösterilebilir. Böyle cebirlere ve alt cebirlerine matris
metabelyen Lie cebirleri denir.
Kısalık olması bakımından M I , L matris metabelyen Lie cebirinin elemanlarını
{( f , u )}
çiftleri ile gösterelim. T , K cismi üzerinde bir vektör uzayı olduğunda L = Æ
yani; R = K olur. f ¹ 0 ve u ¹ 0 olmak üzere (0, u ) o (0, f ) = (0, vf ) ¹ (0, 0) olduğundan
genel olarak M I , L metabelyen Lie cebiri abelyen değildir. Fakat M I , L metabelyen Lie
cebirinin abelyen alt cebirleri vardır. Örneğin M I , L matris metabelyen Lie cebirinin komütatör alt cebiri ve tek üreteçli alt cebiri abelyendir. M I , L matris metabelyen Lie cebiri
üzerindeki çarpma işleminin tanımdan herhangi iki elemanın çarpımı esas köşegeni sıfır
olan bir eleman olduğundan M I , L metabelyen Lie cebirinin komütatör alt cebiri esas köşegeni sıfır olan elemanlardan yani; (0, u ) Î M I , L formundaki elemanlardan oluşur.
2.37. Metabelyen U - Lie Cebiri
Tanım 2.37.1: L , K cismi üzerinde metabelyen bir Lie cebiri olsun. Eğer
1) Fit ( L ) Fitting radikali abelyen
2) Fit ( L ) Fitting radikali polinomlar halkası üzerinde torsiyon serbest bir modül
oluyorsa L metabelyen Lie cebirine metabelyen bir U - Lie cebiri denir.
44
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.38. Karıştırılmış Serbest Çarpım
Tanım 2.38.1: R , K cismi üzerinde cebirlerin bir varyetesi olsun. Aa , a ÎA ve C R
varyetesinde cebirler ve ja : C ® Aa kuralı tanımlı izomorfizmler olsun. Bir AÎ R cebirine aşağıdaki koşulların sağlanması durumunda R varyetesinde Aa , a ÎA cebirlerin C
alt cebiri ile karıştırılmış serbest çarpımı denir.
1) Aa , a ÎA cebirleri Aa , a ÎA cebirlerine izomorfik olan cebirleri göstermek
 ñ
üzere A cebiri Aa , a ÎA cebirlerinin birleşimi tarafından üretilir. Yani; A = á Aa : a ÎA
olur.
2) a , b Î A ve a ¹ b ve C alt cebirine izomorfik olan cebir C olmak üzere Aa
ve Ab cebirlerinin kesişimi C alt cebiridir. Yani; Aa Ç Ab = C olur.
3) R varyetesinde herhangi bir G cebiri ve ja qa fonksiyonunun görüntüsü yani;
C alt cebirinin görüntüsü a Î A elemanına bağlı olmayan fa : Aa ® G homomorfizmleri
için qa , a Î A homomorfizmlerini A cebirinden G cebirine genişleten bir tek q : A ® G
homomorfizmi vardır.
Aa , a ÎA
cebirlerinin
C
alt
cebiri
ile
karıştırılmış
serbest
çarpımı
A = *R ( Aa ; C : a Î A ) ile gösterilir.
2.39. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımlarının İnşası
La , a Î A , K cismi üzerinde bir ve aynı C alt cebirini içeren Lie cebirleri olsun.
C alt cebirinin bir {vt : t Î T } baz kümesini her a Î A için {va t : a Î A , t Î T } kümesi ile
olarak tanımlayalım. Ayrıca {va t : t Î Ta } kümesinin La , a Î A Lie cebiri için bir baz kümesi, Ta indis kümesinin tam sıralı ve başlangıç indeksinin T olduğunu varsayalım. La
45
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Lie cebirinin çarpım tablosu va t va l = å g amtl va m , l < t Î Ta eşitliği ile verilsin. t Î T olmak
m
üzere va t = vt bağıntıları da göz önünde bulundurulursa tüm bu çarpım tablolarının birleşimi La , a Î A Lie cebirlerinin C alt cebiri ile A = *R ( Aa ; C : a Î A ) karıştırılmış serbest çarpımının tanımlı bağıntılarının bir kümesini sağlar.
Aşağıdaki karıştırılmış serbest çarpım ile ilgili teoremin ispatı (Bokut ve Kukin,
1994)’te bulunabilir.
Teorem 2.39.1: K cismi üzerinde her La , a Î A Lie cebirleri ve her C < La alt cebiri
için bir L = *(La ; C ) karıştırılmış serbest çarpımı vardır. {va t : t Î Ta , a Î A} kümesindeki tüm özel kelimeler L = *(La ; C ) serbest karıştırılmış çarpımının bir bazını oluşturur.
2.40. Serbest Çarpım
Tanım 2.40.1: R , K cismi üzerinde cebirlerin bir varyetesi olsun. Aa , a ÎA , R varyetesinde cebirler olsun. Bir AÎ R cebirine aşağıdaki koşulların sağlanması durumunda R
varyetesinde Aa , a ÎA cebirlerin serbest çarpımı denir.
1) Aa , a ÎA cebirleri Aa , a ÎA cebirlerine izomorfik olan cebirleri göstermek
üzere A cebiri Aa , a ÎA cebirlerinin birleşimi tarafından üretilir. Yani; A = á Aa : a ÎA
 ñ
olur.
2) a , b Î A ve a ¹ b
için Aa
ve Ab cebirlerinin kesişimi sıfırdır yani;
Aa Ç Ab = {0} olur.
3) R varyetesinde herhangi bir G cebiri ve fa : Aa ® G homomorfizmleri için
qa , a Î A homomorfizmlerini A cebirinden G cebirine genişleten bir tek q : A ® G homomorfizmi vardır.
46
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
Aa , a ÎA cebirlerinin serbest çarpımı A = *R ( Aa : a Î A ) = *( Aa ) ile gösterilir.
Teorem 2.40.1: Bir A cebirinin { Aa : a ÎA
 } Lie cebirlerinin serbest çarpımı olması için
gerek ve yeter koşul
1) fa : Aa ® A Lie homomorfizmleri mevcut
2) Her L Lie cebiri ve Wa : Aa ® L Lie homomorfizmleri için Wa = fat
olacak biçimde bir tek t : A ® L Lie homomorfizminin var olmasıdır.
Şimdi Lie cebirlerinin serbest çarpımını inşa edelim. {eia : a Î A} , Aa Lie cebirlerinin için bir baz kümesi olsun. A indis kümesini eia > e bj olması için gerek ve yeter koşul
a > b veya a = b ise i > j olması şeklinde lineer sıralayalım ve Ta kümesinin lineer
sıralı olduğunu varsayalım. U serbest Lie cebirinin serbest üreteç kümeleri { xia : a Î A}
olan U a , a Î A alt cebirleri için U serbest Lie cebirini U a , a Î A alt cebirlerinin serbest
Lie çarpımı olarak U = *R (U a : a Î A ) = *(U a ) olarak yazalım ve a > b veya a = b olduğunda i > j ise xia > x bj olduğunu kabul edelim. Aa cebirlerindeki çarpma işlemini
{e e = å c e : i, j Î T } olarak
x x - å c x , i, j Î T , i > j, a Î A
a a
i j
a
i
a
j
k a
ij k
k a
ij k
a
a
verilmiş
olsun.
U
serbest
Lie
cebirinin
formundaki tüm elemanları tarafından üretilen idea-
line Q diyelim. Bu durumda A cebiri U / Q bölüm cebirine izomorfiktir ve U serbest Lie
cebirinden A cebirine olan doğal epimorfizmi altında xia elemanlarını eia elemanlarına ve
U a alt cebirleri Aa Lie cebirlerine dönüşür.
47
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2.41. Kartezyen Alt Cebir
Tanım 2.41.1: R , K cismi üzerinde cebirlerin bir varyetesi, Aa , a ÎA , R varyetesinde
cebirler ve P = *( Aa ) , Aa , a ÎA cebirlerinin bir serbest çarpımı olsun. j : *( Aa ) ® Å Aa
doğal epimorfizminin çekirdeğine P = *( Aa ) serbest çarpımının kartezyen alt cebiri denir
ve D ile gösterilir.
2.42. Metabelyen Lie Cebirlerinin Metabelyen Çarpımı
A 2 , K cismi üzerinde tüm metabelyan Lie cebirlerinin varyetesi olsun. A 2 varye-
tesinde herhangi iki A ve B metabelyen Lie cebirinin metabelyen çarpımını A * B ile
gösterelim.
Tanım 2.42.1: A = á zi , i Î I A | RA ñ A 2 ve B = á zi , i Î I B | RB ñ A 2 sırasıyla A 2 varyetesinde
A ve B Lie cebirlerinin takdimleri ve I A Ç I B = Æ olsun. O zaman A 2 varyetesinde
A * B metabelyen çarpımı A * B = á zi , i Î I A È I B | RA È RB ñ A 2 takdimi ile tanımlı olur.
Aynı zamanda A * B metabelyen çarpımının Tanım 2.42.1’e denk olan kategorik
tanımını verelim.
Tanım 2.42.2: A 2 varyetesinde bir C metabelyan Lie cebirine eğer aşağıdaki iki koşul
sağlanırsa A ve B metabelyen Lie cebirlerinin A 2 varyetesinde metabelyen çarpımı denir.
1) C metabelyan Lie cebiri iA ( A) ve iB ( B) görüntü kümeleri tarafından üretilecek
şekilde iA : A ® C ve iB : B ® C injeksiyon çifti vardır. Yani; C = áiA ( A) È iB ( B)ñ A 2 olmalıdır.
48
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
2) K cismi üzerinde her H metabelyen Lie cebiri ve y A : A ® H ve y B : B ® H
injeksiyon çifti için j iA = y A ve j iB = y B olacak şekilde bir tek j : C ® H homomorfizmi vardır.
49
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Mustafa GÖK
50
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Bu bölümde cebirsel geometrinin temel tanım ve kavramlarından bahsedeceğiz.
Koordinat Lie cebirlerinin karıştırılmış serbest çarpımlarının bilinen cebirsel geometride
koordinat halkalarının tensör çarpımı olarak Lie cebirleri üzerindeki cebirsel geometride
aynı rolü oynadığını göstereceğiz.
3.1 A - Lie Cebirlerinin Kategorisi
Tanım 3.1.1: A ve B K cismi üzerinde iki Lie cebiri olsun. B Lie cebirinin özel bir alt
cebiri A Lie cebirine izomorfik ise B Lie cebirine bir A - Lie cebiri denir. Yani; B Lie
cebirinin bir A - Lie cebiri olması için gerek ve yeter koşul A ve B Lie cebirlerinin K
cismi üzerinde bir a : A ® B gömme dönüşümünün var olmasıdır.
Tanım 3.1.2: B1 ve B2 K cismi üzerinde iki A - Lie cebiri olsun. f : B1 ® B2 , B1 ve B2
A - cebirlerinin bir Lie homomorfizmi olsun. Eğer her a Î A için f ( a ) = a ise f : B1 ® B2
Lie homomorfizmine bir A - homomorfizm denir. Yani; f : B1 ® B2 Lie homomorfizminin
bir A - homomorfizm olması için gerek ve yeter koşul a1 : A ® B1 ve a 2 : A ® B2 Lie
cebirlerinin gömme dönüşümleri olmak üzere her a Î A için f (a1 (a )) = a 2 (a) olmasıdır.
Açıkça görüldüğü gibi A - Lie cebirleri ve A - homomorfizmleri bir kategori oluşturur. Bu kategoriye A - Lie cebirlerinin kategorisi denir. Bu kategorinin nesneleri A - Lie
cebirleri morfizmleri ise A - homomorfizmleridir. A = {0} özel durumunda A - Lie cebirlerinin kategorisi K cismi üzerinde Lie cebirlerinin kategorisidir. Eğer A sıfırdan farklı bir
Lie cebiri ise o zaman A - Lie cebirlerinin kategorisi bir sıfır nesnesine sahip değildir. A
Lie cebirinin kendisi bir A - Lie cebiridir.
B1 Lie cebirinden B2 Lie cebirine tanımlı tüm A - homomorfizmlerin kümesini
HomA ( B1 , B2 ) , A - Lie cebirleri kategorisinde izomorfizmi ise @ A ile gösterelim.
51
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
Eğer bir B A - Lie cebiri bir Lie cebiri gibi A È X kümesi tarafından üretiliyorsa
B A - Lie cebiri A - Lie cebirlerinin kategorisinde X kümesi tarafından üretilir diyeceğiz
ve B = á A, X ñ A veya B = á X ñ A ile göstereceğiz.
Bir B A - Lie cebiri bir Lie cebiri gibi sonlu üretilmiş olmasa da A - Lie cebirlerinin kategorisinde sonlu üretilmiş olabilir.
Tanım 3.1.3: X = {x1 , x2 , K , xn } sonlu bir küme ve A[ X ] = á x1 , x2 , K , xn ñ A , A - Lie
cebirlerinin kategorisinde bir A - Lie cebiri olsun. Her B = á b1 , b2 , K , bn ñ A A - Lie cebiri
ve
A
Lie cebirinde tanımlı ve y ( xi ) = bi , i = 1, 2, K , n koşulunu sağlayan her
y : A[ X ] ® B dönüşümü bir A[ X ] ® B A - epimorfizmine genişletilebiliyorsa A[ X ] A -
Lie cebirine A - Lie cebirlerinin kategorisinde serbest bir
A - Lie cebiri denir.
X = { x1 , x2 , K , xn } kümesi A[ X ] serbest A - Lie cebirinin serbest bir baz kümesidir
Sonlu bir X = { x1 , x2 , K , xn } kümesi verilsin. A[ X ] serbest bir baz kümesi X
olan bir serbest A - Lie cebiri olsun. F ( X ) , Lie K - cebirlerinin kategorisinde X kümesi
tarafından üretilen serbest Lie cebiri ve * sembolü Lie cebirlerinin serbest Lie çarpımı
olmak üzere
A[ X ] = A * F ( X )
olur.
3.2 Standart Birinci Sıralama Dili
L , K cismi üzerindeki Lie cebirlerinin standart birinci sıralama dili olsun. L dili,
toplam sembolü + , sıfır sembolü 0 , Lie çarpımı sembolü o ve K cisminin elemanlarının
çarpımı olan
{ka : a Î K }
sembollerinin bir koleksiyondan oluşur. A - Lie cebirlerinin
kategorisi ile ilgilendiğimiz için L dilini A Lie cebirinin sıfırdan farklı elemanlarını sıfırdan farklı sabitler olarak ekleyerek LA diline genişletebiliriz. O halde LA dilini
52
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
LA = L È {ca : a Î A, a ¹ 0}
şeklinde ifade edebiliriz.
Açıkça görüldüğü gibi tüm A - Lie cebirleri LA dilinin bir modeli olarak düşünülebilir. Bu yüzden K cismi üzerinde tüm A - Lie cebirlerinin sınıfını aşağıdaki aksiyom serilerini kullanarak LA dilinde aksiyomlaştırabiliriz.
1) L dili standart aksiyom serileri: LA , K cismi üzerinde tüm Lie cebirlerinin sınıfını ayırt eder.
2) A Lie cebirinin gömmelerini tanımlayan aksiyom serileri:
a) Her a1 , a2 Î A ve her a1, a2 Î K için ca1a1 +a 2 a2 = ka1 (ca1 ) + ka 2 (ca2 ) ,
b) Her a1 , a2 Î A için ca1a2 = ca1 o ca2 ,
c) Her a Î A için ca ¹ 0 .
a) ve b) serisi her cebirde A Lie cebirinin homomorfik görüntüsünün varlığını c)
serisi ise aynı homomorfizmin gömme olduğunu garanti eder.
3.3 Lie Cebirlerinde Cebirsel Geometri Kavramları
Cebirsel geometri denklem sistemleri ile ilgilenir. Lie cebirleri üzerinde cebirsel
geometrinin inşasında A Lie cebiri denklem sistemlerinin katsayılar kümesi rolündedir.
Bu sistemlerde denklemler A[ X ] serbest A - Lie cebirinin elemanlarıdır. Daha ayrıntılı
olarak X = { x1 , x2 , K , xn } bilinmeyenlerinin sayısı sonlu sayıda olan bir küme ve A[ X ] ,
serbest bir baz kümesi X olan serbest A - Lie cebiri olsun. f Î A[ X ] elemanlarını katsayıları A Lie cebirinin elemanları değişkenleri x1 , x2 , K , xn olan polinomlar olarak adlandıralım. Yani; a1 , a2 , K , ar Î A sabitler olmak üzere f Î A[ X ] elemanı
f = f ( x1 , x2 , K , xn ) = f ( x1 , x2 , K , xn , a1 , a2 , K , ar )
53
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
şeklindedir. Bir polinom sıfıra eşitlendiğinde A Lie cebiri üzerinde bir denklem elde ederiz. Herhangi bir S Í A[ X ] alt kümesini A Lie cebiri üzerinde bir denklem sistemi olarak
tanımlayalım. A Lie cebiri üzerindeki denklem sistemlerini K cismi üzerinde bir B A Lie cebirinde çözeceğiz.
Tanım 3.3.1: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri olsun.
B n = {(b1 , b2 , K , bn ) : bi Î B, i = 1, 2, K , n}
kümesine B A - Lie cebiri üzerinde n - boyutlu afin uzay denir.
Tanım 3.3.2: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri, f Î A[ X ] herhangi bir polinom ve
S Í A[ X ] herhangi bir alt küme olsun. a1 , a2 , K , ar Î A sabitler olmak üzere bir
p = (b1 , b2 , K , bn ) Î B n noktası için
f ( p ) = f (b1 , b2 , K , bn , a1 , a2 , K , ar ) = 0
ise p Î B n noktasına f Î A[ X ] polinomunun bir kökü denir. Benzer şekilde bir p Î B n
noktası S Í A[ X ] denklem sistemindeki her polinomun bir kökü ise p Î B n noktasına S
denklem sisteminin bir kökü denir.
Tanım 3.3.3: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri ve S Í A[ X ] herhangi bir alt küme
olsun.
VB (S ) = { p Î B n : "f Î S , f ( p ) = 0}
kümesine B A - Lie cebiri üzerinde S denklem sistemine karşılık gelen cebirsel küme
denir.
54
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
Tanım 3.3.4: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri ve S1 , S2 Í A[ X ] herhangi iki denklem sistemi olsun. Eğer
VB (S1 ) = VB ( S2 )
ise S1 ve S2 denklem sistemleri B A - Lie cebiri üzerinde denktir denir. Eğer
VB ( S ) = Æ
ise S denklem sistemine tutarsız denklem sistemi denir.
Tanım 3.3.5: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri ve Y Í B n herhangi bir alt küme
olsun.
Rad B (Y ) = { f Î A[ X ] : "p Î Y , f ( p ) = 0}
kümesine Y alt kümesinin radikali denir.
Tanım 3.3.6: f Î A[ X ] herhangi bir polinom, B K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri ve
S Í A[ X ] herhangi bir alt küme olsun. Eğer f Î Rad B (S ) ise f Î A[ X ] polinomuna S
denklem sisteminin bir sonucu denir. Başka bir ifade ile S ' = S È{ f } olmak üzere
f Î A[ X ] polinomu S denklem sisteminin bir sonucu olması için gerek ve yeter koşul
VB ( S ) = VB ( S ' )
olmasıdır.
55
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
Önerme 3.3.1: Herhangi bir Y Í B n kümesinin radikali A[ X ] serbest A - Lie cebirinin
bir idealdir.
İspat: f , g Î Rad B (Y ), h Î A[ X ] ve y Î Y olsun. a , b Î K olmak üzere
(a f + b g )( y ) = a f ( y ) + b g ( y ) = 0
( hf )( y ) = h ( y ) f ( y ) = h( y )0 = 0
olup Rad B (Y ) , A[ X ] serbest A - Lie cebirinin bir idealidir.
Y cebirsel bir küme olduğu durumda bir S Í A[ X ] denklem sistemi için
Y = VB ( S ) olur ve aynı zamanda Y
cebirsel kümesinin S
denklem sisteminin
Rad B (S ) = Rad B (VB (S )) radikalinden bahsedebiliriz. Bir S denklem sisteminin radikali
S denklem sisteminin tüm çözümleri sıfır yapan tüm polinomlardan oluşur. Aksi ifade
edilmemişse Rad B ( S ) , S denklem sistemine denk olan denklem sistemlerinin maksimal
denklem sistemidir. Eğer VB ( S ) = Æ yani; S denklem sistemi B A - Lie cebiri üzerinde
tutarsız ise o zaman Rad B ( S ) , A[ X ] serbest A - Lie cebirinin radikali ile aynıdır.
Önerme 3.3.1: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri ve S Í A[ X ] herhangi bir alt küme olsun. f p : A[ X ] ® B, p Î VB ( S ) ,
f p ( f ) = f ( p)
kuralı ile tanımlı bir A - homomorfizm olmak üzere
Rad B ( S ) =
I
pÎVB ( S )
şeklinde ifade edilebilir.
56
Kerf p
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
İspat:
f Î Rad B (S ) = Rad B (VB (S )) Þ "p ÎVB ( S ), f ( p ) = 0
Þ "p Î VB (S ), f p ( f ) = 0
Þ "p Î VB (S ), f Î Kerf p
I
Þ fÎ
Kerf p
pÎVB ( S )
Þ
I
Kerf p Í Rad B ( S )
pÎVB ( S )
ve
fÎ
I
Kerf p Þ "p ÎVB ( S ), f Î Kerf p
pÎVB ( S )
Þ "p Î VB ( S ), f p ( f ) = 0
Þ "p Î VB ( S ), f ( p) = 0
Þ f Î Rad B (VB (S )) = Rad B (S )
Þ Rad B (S ) Í
I
pÎVB ( S )
olup
Rad B ( S ) =
I
pÎVB ( S )
olduğu elde edilir.
57
Kerf p
Kerf p
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
Lemma 3.3.1:
1) Her S Í A[ X ] denklem sisteminin radikali S denklem sistemi tarafından üretilen ideali
kapsar. Yani;
Rad B ( S ) Ê id á S ñ
olur.
2) Herhangi iki Y1 , Y2 Í B n kümeleri için Y1 Í Y2 ise
Rad B (Y1 ) Ê Rad B (Y2 )
olur.
3) Yi Í B n , i Î I olmak üzere {Yi : i Î I } alt kümelerinin her ailesi için
Rad B (U Yi ) = I Rad B (Yi )
iÎI
iÎI
olur.
4) Bir I < A[ X ] idealinin B A - Lie cebiri üzerinde bir cebirsel kümenin ideali olması için
gerek ve yeter koşul
Rad B (VB ( I )) = I
olmasıdır.
5) Bir Y Í B n kümesinin B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel bir küme olması için gerek ve
yeter koşul
VB ( Rad B (Y )) = Y
olmasıdır.
58
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
6) Y1 , Y2 Í B n , B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel kümeler olmak üzere Y1 = Y2 olması için
gerek ve yeter koşul
Rad B (Y1 ) = Rad B (Y2 )
olmasıdır.
İspat:
1)
f Î id á S ñ Þ h Î A[ X ], g Î S ' f = gh
Þ "p Î VB ( S ), f ( p ) = ( gh )( p ) = g ( p ) h ( p ) = 0 h( p ) = 0
Þ f Î Rad B (VB ( S ))
Þ id á S ñ Í Rad B (VB ( S )
2)
f Î Rad B (Y2 ) Þ "p Î Y2 , f ( p ) = 0 Ù Y1 Í Y2
Þ "q Î Y1 , f ( q ) = 0
Þ f Î Rad B (Y1 )
Þ Rad B (Y2 ) Í Rad B (Y1 )
3)
f Î I Rad BYi Þ "i Î I , f Î Rad BYi
iÎI
Þ "i Î I Ù "p Î Yi , f ( p ) = 0
Þ "p Î U Yi , f ( p ) = 0
iÎI
Þ f Î Rad B (U Yi )
iÎI
Þ I Rad BYi Í Rad B (U Yi )
iÎI
iÎI
59
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
ve
"i Î I , Yi Í U Yi Þ "i Î I , Rad B (U Yi ) Í Rad BYi
iÎI
iÎI
Þ Rad B (U Yi ) Í I Rad BYi
iÎI
iÎI
olup
I Rad
i ÎI
Y = Rad B (U Yi )
B i
iÏI
olduğu elde edilir.
4)
(Þ:) I < A[ X ] ideali B A - Lie cebiri üzerinde bir cebirsel kümenin ideali yani; Y Í B n
cebirsel bir küme olmak üzere I = Rad B (Y ) olsun. Y Í B n cebirsel bir küme olup bir
S Í A[ X ] denklem sistemi için Y = VB ( S ) olur. O zaman
I = Rad B (Y ) Þ I = RadB (VB ( S )) = Rad B (S )
Þ (VB ( I ) = VB ( Rad B ( S )) = VB ( S )
Þ Rad B (VB ( I ) = Rad B (VB ( Rad B (S )) = Rad B (VB ( S )) = Rad B ( S ) = I
olup Rad B (VB ( I ) = I olduğu elde edilir.
(Ü:) Rad B (VB ( I )) = I ise VB ( I ) cebirsel bir küme ve I = Rad B (VB ( I )) < A[ X ] olup açık-
ça görüldüğü gibi I < A[ X ] ideali B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel bir kümenin idealidir.
60
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
5)
(Þ:) Y Í B n kümesi B üzerinde cebirsel bir küme olsun. Y Í B n cebirsel bir küme olup
bir S Í A[ X ] denklem sistemi için Y = VB ( S ) olur. O zaman
Y = VB ( S ) Þ Rad B (Y ) = Rad B (VB ( S ))
Þ VB ( Rad B (Y )) = VB ( Rad B (VB ( S )) = VB ( Rad B ( S )) = VB ( S ) = Y
olup VB ( Rad B (Y )) = Y olduğu elde edilir.
(Ü:) VB ( Rad B (Y )) = Y olsun. VB ( Rad B (Y )) = Y ise Rad B (VB ( Rad B (Y )) = Rad BY olur ve
Rad B (Y ) < A[ X ] olduğundan 4)’den dolayı Y Í B n kümesi B A - Lie cebiri üzerinde
cebirsel bir küme olur.
6)
(Þ:) Y1 , Y2 Í B n , B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel kümeler olmak üzere Y1 = Y2 olsun.
Açıkça görüldüğü gibi Y1 = Y2 ise Rad B (Y1 ) = Rad B (Y2 ) olur.
(Ü:)
Y1 , Y2 Í B n ,
B
A - Lie cebiri üzerinde cebirsel kümeler olmak üzere
Rad B (Y1 ) = Rad B (Y2 ) olsun. Rad B (Y1 ) = Rad B (Y2 ) ise VB ( Rad B (Y1 )) = VB ( Rad B (Y2 )) olup
5)’den dolayı Y1 = Y2 olur.
Tanım 3.3.7: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri olsun.
G B (Y ) = A[ X ] / Rad B (Y )
bölüm cebirine B A - Lie cebiri üzerinde bir Y cebirsel kümesinin koordinat cebiri denir.
Eğer Y = VB ( S ) alınırsa S denklem sisteminin koordinat cebiri olur ve G B ( S ) ile
gösterilir.
61
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
Eğer S denklem sistemi B A - Lie cebiri üzerinde tutarsız ise o zaman açıkça görüldüğü gibi
GB (S ) = 0
olur.
Lemma 3.3.2: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri olsun. Z1 Í B n ve Z 2 Í B m B A Lie cebiri üzerinde cebirsel kümeler olsun. O zaman
Z1 ´ Z 2 Í B n + m
kümesi de B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel bir kümedir.
İspat: Z1 Í B n ve Z 2 Í B m B A - Lie cebiri üzerinde cebirsel kümeler ise S1 Í A[ X ] ve
S2 Í A[Y ] denklem sistemleri için Z1 = VB ( S1 ) ve Z2 = VB ( S2 ) olur. İlk olarak
Z1 ´ Z 2 Í B n + m olduğunu gösterelim. r Î Z1 ´ Z 2 olsun. O zaman
r Î Z1 ´ Z 2 Þ r = ( p, q) ' p Î Z1 Ù q Î Z 2
Þ r = ( p, q) ' p ÎVB ( S1 ) Ù q Î VB (S 2 )
Þ r = ( p, q) ' p Î B n Ù q Î B m
Þ r = ( p, q) Î B n + m
Þ Z1 ´ Z 2 Í B n + m
olduğu elde edilir.
h Î S1 È S 2 polinomunu f Î S1 ve g Î S2 polinomlarına bağlı olarak ifade edelim.
h Î S1 È S 2 olması için gerek ve yeter koşul h = f Î S1 veya h = g Î S 2 olmasıdır. Yani;
62
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
ìï f ( p), h Î S1 ise
h = (r = ( p, q )) = í
ïî g (q), h Î S2 ise
şeklindedir. Dolayısıyla
r Î Z1 ´ Z 2 Þ r = ( p, q ) ' p Î Z1 Ù q Î Z 2
Þ r = ( p, q ) ' p ÎVB ( S1 ) Ù q ÎVB ( S2 )
Þ p ÎVB ( S1 ) Ù q ÎVB ( S2 )
Þ "f Î S1 , f ( p) = 0 Ù "g Î S 2 , g ( p) = 0
ìï f ( p), h Î S1 ise
Þ "h Î S1 È S 2 , h = (r = ( p, q )) = í
ïî g (q), h Î S2 ise
Þ "h Î S1 È S 2 , h(r ) = 0
Þ r Î VB (S1 È S 2 )
Þ Z1 ´ Z 2 Í VB ( S1 È S 2 )
ve
r ÎVB ( S1 È S 2 ) Þ "h Î S1 È S 2 , h(r ) = 0
Þ h( r ) = f ( r ) = 0 Ú h( r ) = g ( r ) = 0
Þ f (r ) = f ( p, 0) = 0 Ú g (r ) = g (0, q ) = 0
Þ r ÎVB ( S1 ) Ú r Î VB (S 2 )
Þ r ÎVB ( S1 ) È VB ( S 2 )
Þ r Î Z1 È Z 2
Þ r Î Z1 ´ Z 2
Þ VB (S1 È S2 ) Í Z1 ´ Z 2
63
Mustafa GÖK
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
olup Z1 ´ Z 2 Í VB ( S1 È S 2 ) olduğu elde edilir. O halde Z1 ´ Z 2 Í B n + m kümesi de B A Lie cebiri üzerinde cebirsel bir kümedir.
Lemma 3.3.3: B , K cismi üzerinde bir A - Lie cebiri olsun. B A - Lie cebiri üzerinde
bir Z1 ´ Z2 cebirsel kümesinin koordinat cebiri
G B ( Z1 ´ Z2 ) @ A G B ( Z1 ) *A G B (Z 2 )
şeklindedir.
İspat: f p : A[ X ] ® B, p Î VB ( S1 ) ve fq : A[ X ] ® B, q Î VB ( S 2 ) sırasıyla
f p ( f ) = f ( p ) ve f p ( g ) = g ( p )
kuralı ile tanımlı A - homomorfizmler olmak üzere
Rad B (VB ( S1 )) =
I
Kerf p ve Rad B (VB ( S2 )) =
pÎVB ( S1 )
I
Kerfq
qÎVB ( S2 )
şeklinde ifade edilebilir.
G B ( Z1 ´ Z 2 ) = A[ XUY ] / Rad B ( Z1 ´ Z 2 ) = G B ( S1 È S 2 ) = A[ XUY ] / Rad B (VB ( S1 È S2 ))
olduğu dikkate alınırsa
64
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
Mustafa GÖK
r ÎVB (S1 È S2 ) Þ "h Î S1 È S2 , h(r ) = 0
Þ h (r ) = f ( r ) = 0 Ú h ( r ) = g ( r ) = 0
Þ f (r ) = f ( p, 0) = 0 Ú g (r ) = g (0, q ) = 0
Þ r ÎVB ( S1 ) Ú r ÎVB ( S 2 )
Þ r ÎVB ( S1 ) È VB (S 2 )
Þ VB ( S1 È S 2 ) Í VB ( S1 ) È VB ( S2 )
Þ Rad B (VB ( S1 ) È VB ( S2 )) Í Rad B (VB ( S1 È S 2 ))
Þ A[ XUY ] / Rad B (VB ( S1 È S2 )) @ A A[ XUY ] / Rad B (VB ( S1 ) È VB (S 2 ))
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A A[ XUY ] / ( Rad B (VB ( S1 )) Ç Rad B (VB ( S2 )))
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A A[ XUY ] / (
I
Kerf p ) Ç
pÎVB ( S1 )
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A (
Õ
pÎVB ( S1 )
A[ XUY ] / Kerf p ) * (
I
Kerfq )
Õ
A[ XUY ] / Kerfq )
qÎVB ( S2 )
qÎVB ( S2 )
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A ( A[ XUY ] / Rad B (VB ( S1 ))) * ( A[ XUY ] / Rad B (VB ( S2 )))
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A G B ( S1 ) * A G B (S 2 )
Þ G B ( Z1 ´ Z 2 ) @ A G B ( Z1 ) * A G B (Z 2 )
olarak bulunur.
65
3. LIE CEBİRLERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL GEOMETRİ
66
Mustafa GÖK
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Bu bölümde iki Lie cebirinin karıştırılmış serbest çarpımının değişmeli elemanlarını sınıflandırarak Lie cebirlerinin karıştırılmış serbest çarpımının merkezini hesaplayacağız. Daha sonra iki bölgenin karıştırılmış serbest çarpımının hangi koşullar altında bir bölge olacağını göstereceğiz.
4.1. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımı
A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan herhangi
iki Lie cebiri, P = A *C B , A ve B Lie cebirlerinin C Lie cebiri ile karıştırılmış serbest
çarpımı ve X , Y ve Z sırasıyla A , B ve C Lie cebirlerinin baz kümeleri olsun. X , Y
ve Z baz kümelerinin iyi sıralı ve her z Î Z , her y Î Y ve her x Î X için z < y < x olduğunu varsayalım. Sıralı U = Z È Y È X alfabesini düşünelim. V0 = {ab : a Î X , b Î Y } diyelim ve V0 kümesini sözlük sıralamaya göre sıralayalım. 0 £ m Î ¥ olmak üzere Vm kümesinin inşa edilmiş ve sıralanmış olduğunu varsayalım. w , Vm kümesinde bir regüler
kelime, a1 Î X elemanı w regüler kelimesinde en büyük harf, a2 £ L £ at < a1 , b1 Î Y , w
regüler kelimesinde en küçük harf değil ve b1 £ b2 £ L £ bs Î Y , s + t > 0 olmak üzere U
alfabesinde
a1 (a1 K (a1 (K ((K ((wb1 )b2 )K bs )a2 )K at ))K)
formundaki nonasosyatif regüler kelimelerin kümesini düşünelim. Bu kümeyi regüler kelimelerin bir kümesi gibi soldan sağa sözlük sıralamaya göre sıralayalım. Elde edilen sıralı
kümeyi Vm+1 ile gösterelim ve
V = U Vm
m³0
67
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
diyelim.
Şimdi V kümesi ile ilgili bir lemma verelim.
Lemma 4.1.1:
1) V kümesi derecesi en az iki olan özel kelimelerden oluşur.
2) V alfabesinde her regüler nonasosyatif kelime U alfabesinde derecesi en az iki olan bir
özel kelimedir.
3) P karıştırılmış serbest çarpımında V kümesi tarafından üretilen alt cebir serbest üreteç
kümesi V olan serbest alt cebirdir.
4) U alfabesinde derecesi en az iki olan tüm özel kelimeler tarafından üretilen P karıştırılmış serbest çarpımının alt cebiri V kümesi tarafından üretilir.
İspat:
1) V kümesinin derecesi en az iki olan özel kelimelerden oluştuğu açıktır.
2) İlk olarak V alfabesindeki her regüler nonasosyatif kelime U alfabesinde regüler bir
kelimedir. Şimdi V alfabesinde her regüler nonasosyatif kelimenin U alfabesinde derecesi en az iki olan bir özel kelime olduğunu gösterelim. a1 , a2 Î X , b1 , b2 Î Y
ve
u , v, uv Î V È X È Y olmak üzere a1 > a2 ve b1 > b2 olsun.
a) (a1a2 ) veya (b1b2 )
b) ((a1a2 )u ) veya ((b1b2 )u )
c) v kelimesinin ilk harfi a2 olmak üzere ((uv )a1 ) veya v kelimesinin ilk harfi b2
olmak üzere ((uv )b1 )
formunda yazılan kelimeleri düşünelim. Bu formlarda yazılan tüm regüler nonasosyatif
kelimeler ve bu formlardaki regüler nonasosyatif kelimeleri alt kelime olarak içeren regü-
68
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
ler nonasosyatif kelimeler V alfabesinde yazılamayacağı için V alfabesindeki her regüler
nonasosyatif kelime U alfabesinde bir özel kelimedir.
3) V alfabesinde regüler nonasosyatif kelimelerin lineer bağımsız olduğunu göstermeliyiz.
V alfabesindeki her regüler nonasosyatif kelime U alfabesinde derecesi en az iki olan bir
özel kelime ve Teorem 2.39.1’den U alfabesindeki tüm özel kelimeler P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımı için bir baz kümesini oluşturduğundan U alfabesindeki özel kelimeler P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımında lineer bağımsız olup V alfabesindeki regüler nonasosyatif kelimeler lineer bağımsızdır. O halde P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımında V kümesi tarafından üretilen alt cebir serbest üreteç kümesi V olan serbest alt
cebirdir.
4) U alfabesinde derecesi en az iki olan her özel kelimenin V alfabesinde bir polinom
olarak yazılabileceğini gösterelim. 2 £ m Î ¢ + olmak üzere w Î P , U alfabesinde derecesi
m olan herhangi bir özel kelime olsun. İddiayı m üzerinden tümevarım ile yapalım.
m = 2 için w Î P özel kelimesi a Î X , b Î Y ve a > b olmak üzere w = ab formundadır.
Açıkça görüldüğü gibi w Î P , V alfabesinde bir polinom olur. İddianın deg w £ m - 1 için
doğru olduğunu kabul edelim ve m için de sağlandığını gösterelim. w Î P , U alfabesinde
derecesi m olan herhangi bir özel kelime olsun. O zaman u , v en az bir harf içeren kelimeler olmak üzere w = uv olur. Eğer u , v Ï U ise tümevarım hipotezinden u ve v V
alfabesinde birer polinom olup w = uv özel kelimesi de V alfabesinde bir polinom olarak
yazılır. Şimdi u Î U olduğunu varsayalım yani; u bir harf olsun. a1 Î X elemanı v regüler kelimesinde en büyük harf olmak üzere w Î P nonasosyatif kelimesi regüler ve özel
olduğundan u = a1 Î X olmak zorundadır. V kümesinin inşası ve tümevarım hipotezinden
w = a1v Î V olur yani; w özel kelimesi V alfabesinde bir polinom olarak ifade edilir. Eğer
v ÎU ise b1 Î Y elemanı u regüler kelimesinde en küçük harf olmak üzere w Î P nonasosyatif kelimesi regüler ve özel olduğundan v = b1 Î Y olmak zorundadır. V kümesinin
inşası ve tümevarım hipotezinden w = ub1 ÎV olur yani; w özel kelimesi V alfabesinde
69
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
bir polinom olarak ifade edilir. V alfabesinde her regüler nonasosyatif kelime U alfabesinde derecesi en az iki olan bir özel kelime olduğundan ispat biter.
Bir indirgenmiş kümenin inşası A. G. Kurosh tarafından yapılmıştır (Kurosh,
1947). A. I. Shirshov bir serbest Lie cebirinin alt cebirinin serbestliğini ispatlamak için
indirgenmiş kümenin inşasını kullanmıştır (Shirshov, 1953). G. P. Kukin bu yapıyı ilk olarak serbest çarpımların alt cebirlerinin takdimini ifade etmek için kullanmıştır (Kukin,
1972). Lemma 4.1.2 Kukin’in (1972) ve (1974) bazı sonuçlarından yola çıkarak da gösterilebilirdi. Fakat biz basitliği açısından açık ve sade bir ispat yapacağız.
Lemma 4.1.2: A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan iki
Lie cebiri, P = A *C B , A ve B Lie cebirlerinin C Lie cebiri ile serbest karıştırılmış çarpımı ve X , Y ve Z sırası ile A , B ve C Lie cebirlerinin baz kümeleri olsun. X , Y ve
Z baz kümelerinin iyi sıralı ve her z Î Z , her y Î Y ve her x Î X için z < y < x olduğu-
nu varsayalım. O zaman aşağıdaki ifadeler sağlanır.
1) s, t Î P , X È Y alfabesinde derecesi en az iki olan özel kelimeler ve s > t olsun.
O zaman st Î P elemanının derecesi s Î P ve t Î P elemanlarının dereceleri toplamına
eşittir.
2) 2 £ m Î ¢ + , w Î P derecesi m olan herhangi bir özel kelime ve a Î X ise aw
elemanının derecesi m + 1 olur.
İspat:
1) Teorem 2.39.1’den U alfabesindeki tüm özel kelimeler P = A *C B karıştırılmış serbest
çarpımı için bir baz kümesini oluşturduğundan ve Lemma 4.1.1’den U alfabesinde derecesi en az iki olan her özel kelimenin V alfabesinde bir polinom olarak yazılabildiğinden
st Î P elemanının derecesi s Î P ve t Î P elemanlarının dereceleri toplamına eşit olur.
2) Bunu göstermek için her a Î X için V È {a} kümesi tarafından üretilen alt cebirin serbest olduğunu gösterelim. Genelliği kaybetmeksizin a Î X elemanı X kümesinin en kü-
70
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
çük harfi olsun. V kümesinde sonu a elemanı ile biten tüm özel kelimeleri çıkararak elde
edilen kümeye V ' diyelim ve Va = V ' È {a} olsun. Va kümesinin herhangi bir elemanı Va
kümesinin diğer elemanları tarafından üretilen alt cebire ait olmaz ve V kümesi Va kümesinin tarafından üretilen alt cebirde bulunur. Va kümesinin elemanlarının derecesi üzerinden tümevarım ile Va alfabesindeki farklı regüler nonasosyatif kelimeler U alfabesinde
farklı regüler kelimeler olduğu gösterelim. Derecesi 1 olan elemanlar için yani; a Î X ve
V ' kümesinin elemanları için Lemma 4.1.1 kullanılarak bu durum ispatlanır. 2 £ m Î ¢ +
olmak üzere w , Va alfabesinde derecesi m olan herhangi bir regüler nonasosyatif kelime
olsun. O zaman u, v ÎVa regüler nonasosyatif kelimeler ve u > v olmak üzere w = uv
olur. Tümevarım hipotezinden u ve v regüler nonasosyatif kelimeleri U alfabesinde özel
kelimelerdir. w = uv regüler nonasosyatif kelimesi sadece
a) a1 , a2 Î X , u kelimesinin son harfi a1 ve v kelimesinin ilk harfi a2 ise a1 > a2
b) b1 , b2 Î Y , u kelimesinin son harfi b1 ve v kelimesinin ilk harfi b2 ise b1 > b2
durumları sağlandığında özel kelime olmaz.
1. Durumun w = uv regüler nonasosyatif kelimesi için geçerli olmadığını gösterelim. Kabul edelim ki w = uv regüler nonasosyatif kelimesi için 1. Durum geçerli olsun. İlk
olarak u Î Va , U alfabesinde özel kelime ve u1 , u2 ÎVa en az bir harf içeren nonasosyatif
kelimeler olmak üzere u = u1u2 olsun. O zaman u2 ³ a1 > a2 ³ v iken u2 > v olur. Bu ise
w = (u1u2 )v olup w regüler nonasosyatif kelimesinin regüler olması ile çelişir. Eğer
u Î X ise o zaman U kümesinde Va kümesine ait olan tek eleman a elemanı olup tümevarım hipotezinden a1 = a olur. Bu ise a elemanının X kümesinin en küçük elemanı olması ile çelişir.
Va alfabesinde hiçbir regüler nonasosyatif kelime b2 Î Y elemanı ile başlamadığından bu durum özel olarak v regüler nonasosyatif kelimesi içinde sağlanır. Bundan dolayı
2. Durum da w = uv regüler nonasosyatif kelimesi için geçerli olmaz. O halde w regüler
nonasosyatif kelimesi bir özel kelimedir. Lemma 4.1.1’den Va kümesi tarafından üretilen
71
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
alt cebir ile V È {a} kümesi tarafından üretilen alt cebir aynı olup V È {a} kümesi tarafından üretilen alt cebir serbesttir.
4.2. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımının Değişmeli Elemanları
Teorem 4.2.1: A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan iki
Lie cebiri ve P = A *C B , A ve B Lie cebirlerinin C Lie cebiri ile karıştırılmış serbest
çarpımı olsun. Eğer x, y Î P ve xy = 0 ise aşağıdaki durumlardan biri sağlanır.
1) x veya y çarpanlarından biri C Lie cebirinin elemanıdır yani; x Î C veya
y Î C olur.
2) x Ï C ve y Ï C ise x ve y çarpanlarından biri A (veya B ) bileşeninin elemanı ise diğer çarpanda A (veya B ) bileşeninin elemanı olur.
3) c1 , c2 Î C , w Î P ve l , m Î K olmak üzere x = c1 + l w, y = c2 + m w formundadır ve c1w = c2 w = c1c2 = 0 olur.
İspat: X , Y ve Z sırası ile A , B ve C Lie cebirlerinin baz kümeleri olsun.
1) Kabul edelim ki x Î C olsun. O zaman genelliği kaybetmeksizin x = c Î Z olduğunu
varsayabiliriz. a1 Î A, b1 Î B ve c1 Î C sırasıyla X , Y ve Z baz kümelerinin elemanlarının birer lineer kombinasyonları ve f1 derecesi en az iki olan özel kelimelerin bir lineer
kombinasyonu olmak üzere y Î P elemanı y = c1 + a1 + b1 + f1 formundadır. O halde
xy = 0 Þ c(c1 + a1 + b 1 + f1 ) = 0
Þ cc1 + ca1 + cb 1 + cf1 = 0
elde edilir. Şimdi f1 ¹ 0 olduğunu varsayalım. O zaman cf1 çarpımının en büyük kelimesinin derecesi Lemma 4.1.2’den deg( f1 ) + 1 olup deg(cf1 ) = deg( f1 ) + 1 elde edilir. Ayrıca
72
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
deg(cc1 ), deg(ca1 ), deg(cb1 ) £ 2, deg(cf1 ) = deg( f1 ) + 1 ³ 3 ve cc1 + ca1 + cb1 = -cf1 olduğundan deg(cc1 + ca1 + cb1 ) ¹ deg(-cf ) çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla kabulümüz yanlıştır. O zaman f1 = 0 olmak zorundadır. Buradan y = c1 + a1 + b1 Ï C olduğu elde edilir.
2) Kabul edelim ki x Î A\C olsun. O zaman genelliği kaybetmeksizin x = a Î X olduğunu
varsayabiliriz. a1 Î A, b1 Î B ve c1 Î C sırasıyla X , Y ve Z baz kümelerinin elemanlarının birer lineer kombinasyonları ve f1 derecesi en az iki olan özel kelimelerin bir lineer
kombinasyonu olmak üzere y Î P elemanı y = c1 + a1 + b1 + f1 formundadır. O halde
xy = 0 Þ a(c1 + a1 + b1 + f1 ) = 0
Þ ac1 + aa1 + ab1 + af1 = 0
olur. Şimdi f1 ¹ 0 olduğunu varsayalım. O zaman af1 çarpımının en büyük kelimesinin
derecesi Lemma 4.1.2’den deg( f1 ) + 1 olup deg(af1 ) = deg( f1 ) + 1 elde edilir. Ayrıca
deg(ac1 ), deg(aa1 ), deg(ab1 ) £ 2, deg(af1 ) = deg( f1 ) + 1 ³ 3 ve ac1 + aa1 + ab1 = - af1 olduğundan deg(ac1 + aa1 + ab1 ) ¹ deg(- af ) çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla kabulümüz yanlıştır. O zaman f1 = 0 olmak zorundadır. O halde ac1 + aa1 + ab1 = 0 olup ac1 + aa1 = 0 ve
ab1 = 0 olduğu elde edilir. a Î X bir baz kümesinin elemanı olduğundan a ¹ 0 ve ab1 = 0
olduğundan b1 = 0 olmak zorundadır. Buradan y = c1 + a1 Î A olduğu elde edilir. x Î B \C
olması durumunda da y Î A olduğu benzer bir şekilde gösterilebilir.
3) Kabul edelim ki x, y Ï A È B olsun. xy = 0 ve 3. Durum sağlanmasın yani;
x = c1 + l w, y = c2 + m w olacak biçimde c1 , c2 Î C , w Î P ve l , m Î K olmasın. x Î P
elemanını en az mümkün en büyük özel kelimeyi y Î P elemanını ise mümkün y elemanları arasından en az en büyük kelimeyi içerecek şekilde seçelim. Açıkça görüldüğü gibi
y Î P elemanının en büyük kelimesi, x Î P elemanının en büyük kelimesinden ya büyük-
tür ya da eşittir. i Î {1, 2} olmak üzere ai Î A, bi Î B ve ci Î C sırasıyla X , Y ve Z baz
73
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
kümelerinin elemanlarının birer lineer kombinasyonları ve f i derecesi en az iki olan özel
kelimelerin lineer kombinasyonları olmak üzere x = c1 + a1 + b1 + f1 ve y = c2 + a2 + b2 + f 2
olsun. Hipotezden xy = 0 ise (c1 + a1 + b1 + f1 )(c2 + a2 + b2 + f 2 ) = 0 olup
c1c2 + c1a2 - c2 a1 + c1b2 - c2 b1 + a1a2 + b1b2 + a1b2 - a2 b1
+ c1 f 2 - c2 f1 + a1 f 2 - a2 f1 + b1 f 2 - b2 f1 + f1 f 2 = 0
elde edilir. Buradan Lemma 4.1.2 den f1 f 2 = 0 olup bu ise x Î P elemanındaki en büyük
özel kelime ile y Î P elemanındaki en büyük özel kelimenin eşit olduğunu söyler.
Şimdi
xÎP,
x- yÎP
elemanlarını
düşünelim.
xx = 0
ve
hipotezden
xy = - yx = 0 olup ( x - y ) x = xx - yx = 0 elde edilir. x Î P elemanındaki en büyük özel
kelime x - y Î P elemanındaki en büyük özel kelimeden büyük ve ( x - y ) x = 0 olduğu
için bu iki eleman için bu teorem sağlanır. Hipotezden x Ï A È B olup x Ï C olur.
( x - y ) x = 0 ve x Ï C olduğundan x - y Î C durumunu düşünelim. O zaman
x - y Î C Þ ((c1 + a1 + b2 + f1 ) - (c2 + a2 + b2 + f 2 )) Î C
Þ a1 = a2 , b1 = b2 Ù f1 = f 2
Þ x - y = c1 - c2
olur. c1' = 0, c2 ' = c2 - c1 ve w = x alınırsa x = c1' + w, y = c2 ' + w ve c1' w = c2 ' w = c1' c2 ' = 0
elde edilir bu ise kabulümüz ile çelişir.
Şimdi ise x - y Î A \C durumunu düşünelim. O zaman ( x - y ) x = 0 ve x - y Î A \C
olduğundan 2. Durumdan x Î A olur bu ise hipotez ile yani; x, y Ï A È B olması ile çelişir.
Son olarak c ' , c '' Î C , w Î P ve l , m Î K olmak üzere x - y = c ' + l w, x = c '' + m w
ve
c 'c '' = c ' w = c '' w = 0
olsun.
Buradan
y = x - ( x - y ) = (c '' - c ' ) + ( m - l ) w
ve
c '' (c '' - c ' ) = c ''c '' - c ''c ' = c ''c '' + c 'c '' = 0 + 0 = 0, c '' w = 0 ve (c '' - c ' )w = c '' w - c ' w = 0 elde edi-
74
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
lir. Bu ise 3. Durumun sağlanmaması ile çelişir. O halde c1 , c2 Î C , w Î P ve l , m Î K
olmak üzere x = c1 + l w, y = c2 + m w formunda xy = 0 koşulunu sağlayan x, y Î P elemanları vardır ve c1 w = c2 w = c1c2 = 0 olur.
Dolayısıyla teoremin ispatı biter.
Sonuç 4.2.1: A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan iki
Lie cebiri ve P = A *C B , A ve B Lie cebirlerinin C Lie cebiri ile karıştırılmış serbest
çarpımı olsun. Eğer A ¹ C ve B ¹ C ise P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımının merkezi
Z ( P = A *C B) = Z ( A) Ç Z ( B) Ç C
olur.
İspat: İlk olarak Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C Í Z ( P ) olduğunu gösterelim. x Î Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C
olsun. O zaman
x Î Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C Þ x Î Z ( A) Ù x Î Z ( B ) Ù x Î C
Þ "a Î A, ax = 0 Ù "b Î B , bx = 0 Ù "c Î C , cx = 0
olur. Her p Î P için px = 0 olduğunu gösterelim yani; x Î Z ( P ) olduğunu gösterelim.
X , Y ve Z sırasıyla A , B ve C Lie cebirlerinin baz kümeleri olsun. a1 Î A, b1 Î B ve
c1 Î C sırasıyla X , Y ve Z baz kümelerinin elemanlarının birer lineer kombinasyonları
ve f1 derecesi en az iki olan özel kelimelerin bir lineer kombinasyonu olmak üzere p Î P
elemanı p = c1 + a1 + b 1 + f1 formundadır. Şimdi f1 x = 0 olduğunu gösterelim. Bunun için
f1 , derecesi en az iki olan özel kelimelerin bir lineer kombinasyonu olduğundan
2 £ m Î ¢ + olmak üzere w Î P derecesi m olan herhangi bir özel kelime için wx = 0 ol-
duğunu göstermek yeterlidir. İddiayı m üzerinden tümevarımla yapalım. m = 2 için
75
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
w ÎV2 , a Î X , b Î Y ve a > b olmak üzere w Î P özel kelimesi w = ab formundadır.
wx = ( ab ) x olup Jakobi özelliğinden wx = ( ab ) x = ( ax)b + (bx ) a şeklinde yazılır ve
wx = ( ab ) x = 0b + 0 a = 0 elde edilir. İddianın deg w £ m - 1 için doğru olduğunu kabul
edelim ve m içinde sağlandığını gösterelim. deg(rs) £ m - 1 ve deg(t ) £ m - 2 olmak üzere
deg w = m ve w = ( rs )t olsun. Bu durumda wx = (( rs )t ) x olup Jakobi özelliğinden
wx = (( rs )t ) x = (( rs )t ) m + (tx)( rs ) şeklinde yazılır ve deg( rs ), deg t £ m - 1 olup tümevarım
hipotezinden ( rs ) x ) = tx = 0 olup wx = (( rs )t ) x = (( rs ) x ) m + (tx )( rs ) = 0 m + 0( rs ) = 0 elde
edilir. Dolayısıyla 2 £ m Î ¢ + olmak üzere w Î P derecesi m olan herhangi bir özel kelimesi için wx = 0 olur. Her p Î P için px = (c1 + a1 + b1 + f1 ) x = (c1 x + a1 x + b 1 x + f1 x ) olup
her a Î A için ax = 0 , her b Î B için bx = 0 , her c Î C için cx = 0 ve f1 x = 0 olduğundan px = 0 elde edilir. Dolayısıyla p Î Z ( P ) olduğu elde edilir.
Son olarak Z ( P ) Í Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C olduğunu gösterelim. Hipotezden A ¹ C ve
B ¹ C olup A\C ¹ Æ ve B \C ¹ Æ olur. x Î Z ( P ) olsun. O zaman
x Î Z ( P ) Þ "p Î P, px = 0
Þ $a Î A \C , ax = 0 Ù $b Î B \C , bx = 0
Þ xÎ AÙ xÎB
Þ xÎ AÇ B
Þ x ÎC
Þ xÎ AÇ B
Þ xÎ AÙ xÎB
Þ x Î Z ( A) Ù x Î Z ( B ) Ù x Î C
Þ x Î Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C
Þ Z ( P ) Í Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C
olur. Dolayısıyla
76
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
Z ( P ) = Z ( A) Ç Z ( B ) Ç C
olduğu elde edilir.
4.3. Lie Cebirlerinin Karıştırılmış Serbest Çarpımının Sıfır Bölenleri
Teorem 4.3.1: A ve B K cismi üzerinde bir C Lie cebirine izomorfik alt cebiri olan iki
Lie cebiri ve P = A *C B , A ve B Lie cebirlerinin C Lie cebiri ile serbest karıştırılmış
çarpımı olsun. A ve B Lie cebirleri bir bölge ve C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinin
sıfırdan farklı ideallerini içermiyorsa P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımı bir bölge
olur.
İspat: Kabul edelim ki P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımı bir bölge olmasın. O zaman P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımının sıfır bölenleri vardır. 0 ¹ x Î P ve
0 ¹ y Î P elemanları sıfır bölenler olsun. Dolayısıyla id P á xñid P á yñ = 0 olup özel olarak
xy = 0 olur. O halde Teorem 4.2.1’den dolayı mümkün 3 durum söz konusudur.
1. Durum: x Î A\C ise y Î A olduğunu varsayalım. A Lie cebirinin I = A Ç id P á xñ ve
J = A Ç id P á yñ ideallerini düşünelim. 0 ¹ x Î A ve 0 ¹ y Î A olduğundan I ¹ {0} ve
J ¹ {0} olur. Dolayısıyla IJ = 0 olduğu elde edilir. Bu ise A Lie cebirinin sıfır bölensiz
olması ile çelişir. x Î B \C olduğu durumda ise benzer şekilde B Lie cebirinin sıfır bölensiz olması ile ilgili bir çelişki elde edilir.
2. Durum: x Î C olduğunu varsayalım. id P á xñ idealini düşünelim. I = A Ç id P á xñ ve
J = B Ç id P á xñ idealleri sırasıyla A ve B Lie cebirlerinin birer idealidir. 0 ¹ x Î P olup
0 ¹ I ve 0 ¹ J olur. Hipotezden I Ë C ve J Ë C olup I Ë C olduğunu varsayalım. O
zaman
id P á xñid P á yñ = 0
hipotezini de
kullanarak
zy = 0
olacak
biçimde
bir
z Î I \C Í A\C elemanının varlığından söz edebiliriz. z Î A\C olup y Î A elde edilir. Bu
77
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
durum ise 1. Durumdaki hipotezin aynısı olup yine A Lie cebirinin sıfır bölensiz olması
ile çelişir. y Î C olduğu durumda ise benzer şekilde B Lie cebirinin sıfır bölensiz olması
ile ilgili bir çelişki elde edilir.
3. Durum: Şimdi c1 , c2 Î C , w Î P ve l , m Î K olmak üzere x = c1 + l w, y = c2 + m w
formunda ve c1 w = c2 w = c1c2 = 0 olsun. id P á xñ esas idealini düşünelim. Bu idealde herhangi bir u Î id P á xñ elemanını ele alalım. {c(u ) : u Î id P á xñ} ve {l (u ) : u Î id P á xñ} kümeleri sırasıyla u Î id P á xñ elemanına karşılık gelen c(u ) Î C ve l (u ) Î K elemanlarının birer
koleksiyonu olmak üzere u Î id P á xñ elemanı u = c(u ) + l (u ) w formunda olduğunu varsayalım. Benzer şekilde
{c(v ) : v Î id P á xñ}
ve
{l (v) : v Î id P á xñ}
kümeleri sırasıyla
v Î id P á xñ elemanına karşılık gelen c(v) Î C ve l (v) Î K elemanlarının birer koleksiyonu
olmak üzere herhangi bir v Î id P á yñ elemanının u = c (v) + m (v) w formunda olduğunu varsayabiliriz. Burada l : id P á xñ ® K ve m : id P á yñ ® K K - lineer dönüşümlerdir. Bu dönüşümlerden en az biri birebir ise o zaman ker l £ id P á xñ alt uzayında bir 0 ¹ t Î ker l elemanı için l (t ) = 0 olur. t = c (t ) + l (t ) w olup t = c(t ) Î C elde edilir. Bu durum ise 2. Durumdaki hipotezin aynısı olup yine A Lie cebirinin sıfır bölensiz olması ile çelişir.
m : id P á yñ ® K lineer dönüşümünün birebir dönüşüm olduğu durumda ise benzer şekilde
B Lie cebirinin sıfır bölensiz olması ile ilgili bir çelişki elde edilir. l : id P á xñ ® K ve
m : id P á yñ ® K lineer dönüşümlerinin her ikisinin de birebir dönüşüm olduğu durumda ise
id P á xñ ve id P á y ñ esas idealleri bir boyutludur. Bu ise A ve B Lie cebirlerinin sıfır bölensiz olması ile çelişir. O zaman P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımı bu idealler üzerinde skalerler gibi etki eder yani; p Î P, id P á xñ ve k p Î K olmak üzere up = k p u olur. O
halde her p1 , p2 Î P için k p1 p2 = 0 eşitliği elde edilir. Özellikle A ve B Lie cebirlerinin
komütatör alt cebirlerinin id P á xñ ideali üzerinde etkisi sıfır olur.
A2 ve B 2 sırasıyla A ve B Lie cebirlerinin komütatör alt cebirleri olmak üzere
A2 ¹ 0 ve B 2 ¹ 0 olsun. A2 ve B 2 komütatör alt cebirlerinin sırasıyla A ve B Lie cebir-
lerinin idealidir. Hipotezden dolayı A2 Ë C ve B 2 Ë C olur. A2 Ë C olduğunu varsaya-
78
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
lım. O zaman Æ ¹ A2 \ C Í A\ C olur. x(A2 \C ) = 0 olup buradan Teorem 4.2.1’in 2. Durumundan x Î A elde edilir. 1. Durumdaki hipotezin aynısı olup yine A Lie cebirinin sıfır
bölensiz olması ile çelişir. B 2 Ë C olduğu durumda ise benzer şekilde B Lie cebirinin
sıfır bölensiz olması ile ilgili bir çelişki elde edilir.
B 2 = 0 olduğunu varsayalım. O zaman A2 Ë C olmak zorundadır. c Î C ve
b Î B ise cb Î B 2 olur ve varsayımdan cb = 0 Î C olduğu elde edilir. Bundan dolayı C
Lie cebiri hem B hem de A Lie cebirinin bir idealidir. Eğer C ¹ 0 ise bu durum C Lie
cebirinin A ve B Lie cebirlerinin sıfırdan farklı idealini içermemesi ile çelişir.
Şimdi C = 0 olması durumunu inceleyelim. Yani; P = A *C B karıştırılmış serbest
çarpımı bir serbest çarpım olsun. P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımın sıfır bölensiz
olduğu A ve B Lie cebirleri sıfır bölensiz varsayımı olmadan da aşağıdaki iki gerçekten
sağlanır.
1) P = A *C B karıştırılmış serbest çarpımında sıfırdan farklı her idealinin
P = A *C B serbest çarpımın kartezyen alt cebiri ile keşişimi sıfırdan farklıdır (Kukin,
1970).
2) Bir serbest çarpımın kartezyen alt cebiri serbesttir (Kukin, 1970).
Sonuç olarak yukarıdaki durumlar göz önüne alındığında Teorem 4.3.1 ispatlanmış
olur.
Sonuç 4.3.1: “ C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinin sıfırdan farklı ideallerini içermez”
koşulu ile “ C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinden en az birinin sıfırdan farklı ideallerini
içermez” koşulu ile değiştirildiğinde Teorem 4.3.1 yine sağlanır.
İspat: Teorem 4.3.1 için geçerli olan ispat ile aynıdır.
79
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
Sonuç 4.3.2: “ C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinin sıfırdan farklı ideallerini içermez”
koşulu ile “ C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinin anti idealidir” koşulu ile değiştirildiğinde Teorem 4.3.1 yine sağlanır.
İspat: Bunu ispatlamak için bir Lie cebirinin herhangi bir anti idealinin bu Lie cebirin sıfırdan farklı idealini içermediğini göstermek yeterlidir. L , K cismi üzerinde bir Lie cebiri
ve A , L Lie cebirinin bir anti ideali olsun. I , L Lie cebirinin sıfırdan farklı bir ideal olmak üzere I Í A olduğunu varsayalım. 0 ¹ I < L olup bir 0 ¹ u Î I Í A elemanı vardır ve
uI Í uL olur. A , L Lie cebirinin bir anti ideali olduğundan her a Î A için aL Í A iken
a = 0 olur. Özel olarak u Î A içinde uL Í A geçerli olup u = 0 elde edilir. Bu ise
0 ¹ u Î A olması ile çelişir. O zaman varsayımımız yanlıştır. O halde L Lie cebirinin sıfırdan farklı her I ideali için I Ë A olmalıdır.
Örnek 4.3.1: Teorem 4.3.1’de “ C Lie cebiri A ve B Lie cebirlerinin sıfırdan farklı ideallerini içermez” koşulu kaldırılamaz.
Çözüm: A ve B K cismi üzerinde sırasıyla serbest üreteç kümeleri {a , b} ve
{x, y}
olan serbest Lie cebirleri olsun. C = A2 = B 2 diyelim ve a ile b elemanlarının her komütatörünü x ile y elemanlarının aynı komütatörü ile özdeşleştirelim. Açıkça görüldüğü gibi
A ve B serbest Lie cebirleri sıfır bölensizdir. Şimdi
C o id P (a - x) = 0
olduğu gösterelim. C2 , C serbest Lie cebiri için bir serbest üreteç kümesi ve
¥
H C2 = U H i C2
i =1
bu serbest üreteç kümesi için bir Hall bazı olsun. hi Î H C2
ve
m j , j = 0, 1, 2, K , n, K derecesi j olan monomiallerin bir lineer kombinasyonu olmak
üzere herhangi bir c Î C elemanı
80
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
¥
c = å a i hi , a i Î K
i =1
herhangi bir t Î id P (a - x ) elemanı ise
¥
å l ( a - x) m , l
j
j=0
j
j
ÎK
formundadır. C o id P (a - x) = 0 eşitliğini göstermek için ct = 0 olduğunu göstermek yeterlidir.
¥
¥
i =1
j=0
¥
¥
i =1
j =0
ct = (å a i hi )(å l j (a - x)m j )
= (å a i hi )(å l j (a - x)m j )
¥
¥
¥
i =1
j =0
j =0
¥
¥
¥
i =1
j =0
j=0
= å a i hi (å l j am j - å l j xm j )
= å a i (hi å l j am j - hi å l j xm j )
¥
¥
¥
i =1
j =0
j =0
= å a i (å hi (l j am j ) - å hi (l j xm j ))
ve hipotezden
¥
¥
j=0
j =0
å hi (l j am j ) = å hi (l j xm j )
olup
81
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
¥
¥
¥
i =1
j =0
j =0
ct = å a i (å hi (l j am j ) - å hi (l j xm j ))
¥
= å a i (0)
i =1
=0
elde edilir. Dolayısıyla C o id P (a - x) = 0 olduğu elde edilir.
Örnek 4.3.2: L , K cismi üzerinde bir basit Lie cebiri ve dim L > 1 olsun. Bu durumda L
basit Lie cebiri bir bölgedir.
Çözüm: Kabul edelim ki
L
basit Lie cebiri bir bölge olmasın. O zaman
id L á xñ o id L á yñ = {0} olacak şekilde 0 ¹ x Î L ve 0 ¹ y Î L elemanları vardır. Buradan
id L á xñ , id L á yñ ¹ 0 ve L basit Lie cebiri olduğundan id L á xñ = L ve id L á y ñ = L olur. Dolayısıyla id L á xñ o id L á yñ = L o L = L2 olup L2 = {0} olduğu elde edilir. Bu ise Teorem
2.13.1 ile çelişir. O halde kabulümüz yanlıştır. L basit Lie cebiri sıfır bölensizdir. Yani; L
basit Lie cebiri bir bölge olmak zorundadır.
Önerme 4.3.1: Basit Lie cebirleri Teorem 4.3.1’de verilen “ C Lie cebiri A ve B Lie
cebirlerinin sıfırdan farklı ideallerini içermez” koşulunu sağlar
İspat: Bunu ispatlamak için C Lie cebirin bir basit Lie cebirinin sıfırdan farklı bir idealini
içermediğini göstermek yeterlidir. L , K cismi üzerinde bir basit Lie cebiri ve I , L Lie
cebirinin sıfırdan farklı bir ideali olsun ve I Í C olduğunu varsayalım. 0 ¹ I < L olup
basit Lie cebirinin tanımından I = L olmak zorundadır. Dolayısıyla L Í C olur. Bu ise C
Lie cebirinin L basit Lie cebirinin bir alt cebiri olması ile çelişir. O zaman varsayımımız
yanlıştır. O halde L basit Lie cebirinin sıfırdan farklı her I ideali için I Ë C olmalıdır.
82
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
Örnek 4.3.3: sp (4, £ ) ve sl (3, £ ) Lie cebirlerinin sp (4, £ ) *sl (2, £ ) sl (3, £ ) karıştırılmış
serbest çarpımı bir bölge olur.
Çözüm: Klasik Lie cebirleri ve alt cebir tanımından
æ ìæ 1
ç ïç
ç ïç 0
ç ïç 0
ç ïç
ç ïè 0
çï
ç ïæ 0
ç ïç
çï 1
sp(4, £) = span ç íç
ç0
ç ïç
ç ïè 0
çï
ç ïæ 0
ç ïç
ç ïç 0
ç ïç 0
ç ïç
ç ïè 1
èî
0 0
0 0
0 -1
0 0
0ö æ 0
0 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç 0
÷ ç
0ø è 0
1 0
0 0
0 0
0 -1
0 0
0 0
0 -1
0 0
0ö æ 0
÷ ç
0÷ ç 0
,
0÷ ç 0
÷ ç
0ø è 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
æ ìæ 1
ç ïç
ç ïç 0
ç ïç 0
ïè
sl (3, £) = span ç í
ç
ç ïæ 0
ç ïç 0
ç ïçç
ç ïè 0
èî
0ö æ 0
÷ ç
0÷ ç 0
,
0÷ ç 0
÷ ç
0ø è 0
0
0
0
1
0ö æ 0
0 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç 0
÷ ç
0ø è 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0ö æ 0
0 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç0
÷ ç
0ø è0
0
0
0
0
0 0 ö æ0
÷
0 0 ÷ çç 0
,
0 0 ÷ ç0
÷ ç
0 -1 ø è 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0ö æ0
1 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç 1
÷ ç
0ø è 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0
0 0
0ö
÷
0÷
0÷
÷
0ø
0 0 ö æ 0 1 0ö æ 0 0 1 ö æ 0 0 0ö üö
ï÷
0 0 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ , çç 1 0 0 ÷÷ ,ï ÷
0 -1÷ø çè 0 0 0 ÷ø çè 0 0 0 ÷ø çè 0 0 0 ÷ø ï ÷
ï÷
ý÷ ,
0 0 ö æ 0 0 0ö æ 0 0 0ö æ 0 0 0ö ï÷
ï
1 0 ÷÷ , çç 0 0 1 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ ï ÷
÷
0 -1÷ø çè 0 0 0 ÷ø çè 1 0 0 ÷ø çè 0 1 0 ÷ø ïþ ÷ø
æ ìæ 1 0 ö æ 0 1 ö æ 0 0 ö ü ö
sl (2, £) = span ç íç
,
,
,
ç è 0 -1÷ø çè 0 0 ÷ø çè 1 0 ÷ø ý ÷÷
þø
èî
83
1ö üö
ï÷
0 ÷÷ ï ÷
,
0÷ ï÷
÷ ï÷
0ø ï÷
ï÷
0ö ï÷
ï÷
0 ÷÷ ï ÷
,ý ,
0÷ ï÷
÷ ÷
0ø ï÷
ï÷
ï÷
ï÷
ï÷
ï÷
ï÷
ï÷
þø
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
æ ìæ 1
ç ïç
ï 0
A = span çç íç
ç0
ç ïç
ç ïè 0
èî
0 0
0 0
0 -1
0 0
0ö æ 0
0 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç 0
÷ ç
0ø è 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0ö æ0
0 ÷÷ çç 0
,
0÷ ç1
÷ ç
0ø è0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 öü ö
ï÷
0 ÷÷ ï ÷
ý < sl (4, £) ,
0 ÷ï ÷
÷ ÷
0 ø ïþ ÷ø
ve
æ ìæ 1 0 0 ö æ 0 0 1 ö æ 0 0 0 ö ü ö
çï
ï÷
B = span ç íçç 0 0 0 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ , çç 0 0 0 ÷÷ ý ÷ < sl (3, £)
ç ïçè 0 0 -1÷ø çè 0 0 0 ÷ø çè 1 0 0 ÷ø ï ÷
þø
èî
olduğu elde edilir.
a1 : sl (2, £) ® sl (3, £)
ve
a 2 : sl (2, £) ® sp(4, £)
homomorfizmleri sırasıyla
æ1 0 0 ö
ææ1 0 öö ç
÷
a1 ç ç
÷÷ = ç 0 0 0 ÷
0
1
ø ø ç 0 0 -1÷
èè
è
ø
æ0 0 1ö
ææ 0 1öö ç
÷
a1 ç ç
÷ = ç 0 0 0÷
÷
èè 0 0øø ç 0 0 0÷
è
ø
æ 0 0 0ö
ææ 0 0öö ç
÷
a1 ç ç
÷ = ç 0 0 0÷
÷
èè 1 0øø ç 1 0 0÷
è
ø
84
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
ve
æ1
æ æ 1 0 ö ö çç 0
a2 ç ç
÷÷ =
è è 0 -1ø ø ç 0
ç
è0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
0 0
0 0
0 -1
0 0
æ0
æ æ 0 1 ö ö çç 0
a2 ç ç
÷÷ =
èè0 0øø ç 0
ç
è0
0
0
0
0
1
0
0
0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
æ0
æ æ 0 0 ö ö çç 0
a2 ç ç
÷÷ = ç1
1
0
è
ø
è
ø
ç
è0
0
0
0
0
0
0
0
0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
kuralı ile tanımlanırsa A < sl (2, £ ) ve B < sl (2, £ ) olur. Dolayısıyla Teorem 2.39.1’den
sp (4, £ ) *sl (2, £ ) sl (3, £ ) karıştırılmış serbest çarpımı mevcuttur ve j : sp (4, £ ) ® sl (3, £ )
dönüşümü
æ1
ææ1 0 0 öö ç
çç
÷÷ 0
j çç0 0 0 ÷÷ = ç
ç
ç ç 0 0 -1 ÷ ÷ ç 0
è
ø
è
ø 0
è
0 0
0 0
0 -1
0 0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
æ0
ææ 0 0 1ö ö ç
çç
÷÷ 0
j çç 0 0 0÷ ÷ = ç
ç
çç 0 0 0÷ ÷ ç0
øø 0
èè
è
0
0
0
0
1
0
0
0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
æ0
ææ0 0 0öö ç
çç
÷÷ 0
j çç0 0 0÷÷ = ç
ç
çç1 0 0÷÷ ç1
øø 0
èè
è
0
0
0
0
0
0
0
0
0ö
0 ÷÷
0÷
÷
0ø
85
4. LIE CEBİRLERİNİN KARIŞTIRILMIŞ SERBEST ÇARPIMLARINDA SIFIR
BÖLENLER
Mustafa GÖK
kuralı ile tanımlı bir sl (2, £) - homomorfizmi olur. Teorem 2.15.1’den sp (4, £ ) ve
sl (3, £ ) klasik Lie cebirleri basit Lie cebirleri olup Örnek 4.3.2’den birer bölge olur.
Önerme
4.3.1’den
dolayı
Teorem
4.3.1’deki
koşullar
sağlandığından
sp (4, £ ) *sl (2, £ ) sl (3, £ ) karıştırılmış serbest çarpımı bir bölge olur.
Açıklama 4.3.1: 2.17. alt bölümünde verilen klasik Lie cebirleri arasında uygun izomorfizmler tanımlanarak Teorem 4.3.1’in sağlandığı örnekler elde edilebilir.
86
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Bu bölümde ilk olarak serbest bir metabelyen Lie cebirinin bir matris metabelyen
Lie cebirinin bir alt cebirine gömülebileceğini, abelyen olmayan bir serbest metabelyen Lie
cebiri için bir yarıbölge ve bir kesin yarıbölge olma özelliklerinin aynı olduğunu ve serbest
metabelyen Lie cebirlerinin bir yarıbölge olduğunu göstereceğiz. Daha sonra sonlu üretilmiş metabelyen U - Lie cebirlerinin bir yarıbölge olduğunu göstereceğiz. Son olarak da
A 2 , K cismi üzerinde tüm metabelyen Lie cebirlerinin varyetesi olsun. A 2 varyetesinde
sıfırdan farklı herhangi iki A ve B metabelyen Lie cebirinin A * B metabelyen çarpımının
yapısını inceleyeceğiz ve Fit ( A * B) = ( A * B)2 olduğunu göstererek A * B metabelyen
çarpımı için bir yarıbölge olma özelliği ile bir kesin yarıbölge olma özelliğinin aynı olduğunu göstereceğiz. A * B metabelyen çarpımı için bir yarıbölge olma kriteri ve bu kriterin
ispatını vereceğiz.
5.1. Bir Metabelyen Lie Cebirinin Komütatör Alt Cebirinin Modül Yapısı
A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri ve I , A2 komütatör alt cebirini
içeren herhangi bir abelyen ideal olsun. X , A / I vektör uzayının bir lineer baz kümesi ve
R = K [ X ] , K cismi üzerinde polinomlar halkası olmak üzere I abelyen idealinin R - mo-
dül yapısına sahip olduğunu göstereceğiz.
Lemma 5.1.1: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. n ³ 2 olmak üzere
A metabelyen Lie cebirinin her abc1c2 K cn sol normal monomiali {1, 2 , K , n} indis
kümesinin her t permütasyonu için abct (1) ct (2) K ct ( n ) sol normal monomialine eşittir.
İspat: abct (1) ct (2) K ct ( n ) sol normal monomialinde herhangi iki kofaktörünün yer değiştirilmesiyle elde edilen bir permütasyonun yine abc1c2 K cn sol normal monomialine eşit
olduğunu göstermeliyiz. Herhangi iki ardışık ci ve ci +1 kofaktörü için bunu göstermek
yeterlidir.
87
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
abc1c2 K ci ci +1 K ck - abc1c2 K ci +1ci K ck = (abc1c2 K ci ci +1 - abc1c2 K ci +1ci )K ck
eşitliğini düşünelim. Anti komütatiflik özelliği kullanılarak
abc1c2 K ci +1ci = -ci +1 (abc1c2 K)ci
elde edilir. Metabelyenlik özelliğinden ci ci +1 (abc1c2 K) = 0 olur.
(abc1c2 K ci ci +1 - abc1c2 K ci +1ci )K ck
ifadesi tekrar düzenlenirse
((abc1c2 K)ci ci +1 + ci +1 (abc1c2 K)ci + ci ci +1 (abc1c2 K))K ck
elde edilir. Bu ifade ise Jakobi özelliğinden sıfıra eşit olup
abc1c2 K ci ci +1 K ck - abc1c2 K ci +1ci K ck = 0
olduğu elde edilir.
Lemma 5.1.2: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. I1 ve I 2 sırasıyla
nilpotentlik sınıfı n1 ve n2 olan A metabelyen Lie cebirinin nilpotent idealleri olsun. O
zaman I = á I1 , I 2 ñ ideali de A metabelyen Lie cebirinin nilpotent bir idealidir.
İspat: n = max {n1 , n2 } olmak üzere I idealinin nilpotentlik sınıfı 2n pozitif tamsayısından daha küçük ya da eşit olur.
88
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Sonuç 5.1.1: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. I1 , I 2 , K , I n A metabelyen Lie cebirinin nilpotent idealleri olsun. O zaman I = á I1 , I 2 , K , I n ñ ideali de A
metabelyen Lie cebirinin nilpotent bir idealidir.
İspat: I1 , I 2 , K , I n nilpotent ideallerinin nilpotentlik sınıfı sırasıyla n1 , n2 , K , nk olsun.
n = max {n1 , n2 , K , nk } olmak üzere I idealinin nilpotentlik sınıfı 2n pozitif tamsayısından daha küçük ya da eşit olur.
Sonuç 5.1.2: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. Herhangi bir x Î A
elemanını düşünelim. x Î Fit ( A) olması için gerek ve yeter koşul id A á xñ nilpotent bir ideal veya x Î A elemanının A metabelyen Lie cebirinin nilpotent bir idealinin elemanı olmasıdır.
İspat:
(Þ:) Eğer x Î Fit ( A) ise id A á xñ Í Fit ( A) olup Fitting radikalinin tanımı ve Sonuç
5.1.1’den id A á xñ ideali nilpotent olur.
(Ü:) Eğer id A á xñ ideali nilpotent ise x Î id A á xñ olup Fitting radikalinin tanımından
x Î Fit ( A) olur.
Lemma 5.1.3: n ³ 2 olmak üzere C , K cismi üzerinde nilpotentlik sınıfı n olan bir nilpotent metabelyen Lie cebiri olsun. O zaman C iki üreteçli nilpotentlik sınıfı 2 olan bir
D alt cebirini içerir.
İspat: {0} = Z 0 (C ) Í Z1 (C ) Í Z 2 (C ) Í L Í Z n -1 (C ) Í Z n (C ) = C , C nilpotent metabelyen
Lie cebiri için alt merkezi seri olsun. n ³ 2 olduğundan C1 ¹ {0} olup C nilpotent metabelyen Lie cebiri abelyen değildir. O zaman C nilpotent metabelyen Lie cebirininde çarpımları sıfır olmayan en az iki tane vardır ve Z 2 (C ) \ Z1 (C ) = Æ olur. c1 o c2 ¹ 0 olacak
89
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
şekildeki c1 Î Z 2 (C ) \ Z1 (C ) ve c2 Î C elemanlarını alalım. D = á c1 , c2 ñ olarak alınırsa D ,
C nilpotent metabelyen Lie cebirinin nilpotentlik sınıfı 2 olan iki üreteçli bir alt cebiri
olur.
Lemma 5.1.4: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. Eğer A metabelyen
Lie cebirinin her nilpotent ideali abelyen ise o zaman Fit ( A) Fitting radikali de abelyen
olur.
İspat: Kabul edelim ki Fit ( A) Fitting radikali abelyen olmasın. I1 ve I 2 c1 Î I1 , c2 Î I 2
ve c1 o c2 ¹ 0 olacak şekilde A metabelyen Lie cebirinin iki nilpotent ideali olsun. O zaman Lemma 5.1.2’den dolayı I = á I1 , I 2 ñ , A metabelyen Lie cebirinin nilpotent bir ideali
olur. Fakat c1 o c2 ¹ 0 olup I = á I1 , I 2 ñ ideali abelyen olamaz bu ise A metabelyen Lie
cebirinin her nilpotent idealinin abelyen olması ile çelişir. O halde kabulümüz yanlıştır.
Fit ( A) Fitting radikali abelyen olur.
Lemma 5.1.5: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. Bir a Î A elemanı
düşünelim. Eğer her b Î A2 için a o b = 0 oluyorsa a Î Fit ( A) olur.
İspat: I = id A á añ esas idealinin abelyen olduğunu gösterelim. Her x, y Î id A á añ için
x o y = 0 olduğunu gösterelim. a o mi , i = 0, 1, K , n, K ve a o n j , j = 0, 1, K , n, K sı-
rasıyla derecesi i + 1 ve j + 1 olan monomiallerin birer lineer kombinasyonu olmak üzere
x Î id A á añ ve y Î id A á añ elemanları sırasıyla
¥
¥
i =0
j=0
x = å li (a o mi ) ve y = å g j (a o n j )
formundadır. a o mi , a o n j Î A2 olduğundan metabelyenlik özelliğinden ve hipotezden
90
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
¥
¥
i =1
j =1
(å li (a o mi ))(å g j (a o n j )) = 0 ve a o ( a o mi ) = a o ( a o n j ) = 0
elde edilir. Buradan
¥
¥
i =0
j =0
x o y = (å li (a o mi )) o (å g j (a o n j ))
¥
¥
i =1
j =1
= (l0 a + å li (a o mi )) o (g 0 a + å g j (a o n j ))
¥
¥
¥
¥
j =1
i =1
i =1
j =1
= (l0 a) o (g 0 a) + (l0 a) o (å g j (a o n j )) + (å li (a o mi )) o (g 0 a) + (å li (a o mi )) o (å g j (a o n j ))
¥
¥
¥
¥
j =1
i =1
i =1
j =1
= l0g 0 (a o a) + å l0g j (a o (a o n j )) + å lig 0 (a o (a o mi )) + (å li (a o mi )) o (å g j (a o n j ))
= 0+0+0+0
=0
olduğu bulunur.
Bu lemma serileri bize A 2 komütatör alt cebirinin ve abelyen olma koşuluyla
Fit ( A) Fitting radikalinin polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısını tanımlamamıza
olanak sağlar. Ya da; daha genel olarak A 2 komütatör alt cebirini içeren herhangi bir I
abelyen idealin modül yapısına sahip olduğunu gösterir. A2 Í I olduğundan Lemma
2.10.1’den A / I bölüm cebiri abelyendir. Lineer bağımsız bir modülo I kümesinin maksimal bir {aa : a Î L} Í A sistemini alalım. I ideali R = [ xa : a Î L ] polinomlar halkası
üzerinde bir modül yapısına sahiptir. I , K cismi üzerinde bir vektör uzayı olduğundan
toplama işlemi ve K cisminin elemanları ile çarpma işlemi iyi tanımlıdır.
Her b Î I için b × xi = b o ai , a Î L
91
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olsun. Bir tek f Î R elemanının b Î I elemanı üzerinde etkisini tanımlamak için deg f
üzerinden tümevarım yapalım. b × ( fxi ) = (b × f ) × xi ) diyelim. f1 , f 2 , K , f m R polinomlar
halkasının elemanlarının bir sıralısı ve g 1 , g 2 , K , g m Î K olmak üzere
b × (g 1 f1 + g 2 f 2 + L + g m f m ) = g 1b × f1 + g 2b × f 2 + L + g mb × f m
(5.1)
olsun. (5.1) ifadesi I idealinin değişkenleri değişmeli olmayan elemanlar olan polinomlar
halkası üzerinde bir modül yapısını tanımlar. Şimdi bu tanımlamanın bir R değişmeli polinomlar halkası için doğru olduğunu gösterelim. O halde sadece b Î I ve xa , xb Î L herhangi bir indis çifti olmak üzere b × ( xi x j ) = b × ( x j xi ) olduğunu göstermek yeterlidir.
b × ( xi x j ) - b × ( x j xi ) = b o ( ai o a j ) - b o ( a j o ai ) = ( a j o ai ) o b elde edilir. A / I ve I ideali
abelyen olduğundan a j o ai Î I ve ( a j o ai ) o b = 0 olup yukarıdaki argümandan I idealinin
R değişmeli polinomlar halkası üzerinde modül yapısına sahip olduğu elde edilir.
Açıklama 5.1.1: Eğer lineer bağımsız modülo I kümesinin maksimal {aa : a Î L} Í A
sistemi yerine başka bir {aa' : a Î L} Í A sistemi seçilirse I idealinin modül yapısı değişir? I ideali abelyen olduğundan böyle bir değişim sadece R polinomlar halkasının değişkenlerinin bir K - lineer değişimini gerektirir.
Açıklama 5.1.2: V , {aa : a Î L} kümesi tarafından üretilen K - vektör uzayı olsun. Bu
durumda A metabelyen Lie cebiri A = V Å I şeklinde K cismi üzerinde vektör uzaylarının bir direkt toplamı gibi düşünülebilir.
Açıklama 5.1.3: f Î R ve b Î A olmak üzere b × f ile eğer
f = g + xa1 f1 + xa 2 f 2 + L + xa l f l , g Î K , fi Î R, a Î L
92
(5.2)
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
ise o zaman b × f = g b + (b o aa1 ) × f1 + (b o aa 2 ) × f 2 + L + (b o aa l ) × fl anlaşılacaktır. b o ai Î I
olduğundan bu eşitlik iyi tanımlıdır. (5.2) ifadesi xa1 , xa 2 , K , xal harflerinin seçimine bağlıdır.
Açıklama 5.1.4: Genel olarak A2 komütatör alt cebirini ve abelyen olma koşuluyla
Fit ( A) Fitting radikalini I ideali olarak düşünebiliriz.
5.2. Yarıbölge
Lemma 5.2.1: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. ( x, y ) çiftinin A
metabelyen Lie cebirinin sıfır bölenlerin bir çifti olması için gerek ve yeter koşul
x o y = 0 ve her a Î A için ( a o x) o y = 0
(5.3)
olmasıdır.
İspat:
(Þ:) id A á xñ o id A á yñ = 0 olsun. x Î id A á xñ , y Î id A á yñ ve her a Î A için a o x Î id A á xñ
olduğundan x o y = 0 ve ( a o x) o y = 0 elde edilir.
(Ü:)
x o y = 0 ve her a Î A için ( a o x) o y = 0 olsun. mi , i = 0, 1, K , n, K
ve
n j , j = 0, 1, K , n, K sırasıyla derecesi i ve j olan monomiallerin bir lineer kombinas-
yonu olmak üzere herhangi bir x% Î id A á xñ ve y% Î id A á y ñ elemanı sırasıyla
¥
¥
i=0
j =0
x% = å a i ( x omi ), a i Î K ve y% = å b j ( y o n j ), b j Î K
93
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
formundadır. id A á xñ o id A á yñ = 0 olduğunu ispatlamak için x% o y% = 0 olduğunu göstermek
¥
yeterlidir.
å a i ( x o mi ),
i =1
¥
åb
j =1
j
( y o n j ) Î A2 olduğundan metabelyenlik özelliğinden
¥
¥
i =1
j =1
(å a i ( x o mi ))(å b j ( y o n j )) = 0
ve hipotezden x o y = 0 varsayımından
¥
¥
x% o y% = (å a i ( x o mi )) o (å b j ( y o n j ))
i=0
j =0
¥
¥
i =1
j =1
= (a 0 x + å a i ( x o mi )) o (( b 0 y + å b j ( y o n j ))
¥
¥
¥
¥
j =1
i =1
i =1
j =1
= (a 0 x) o ( b 0 y ) + (a 0 x) o (å b j ( y o n j )) + (å a i ( x o mi )) o ( b0 y )) + (å a i ( x o mi )) o (å b j ( y o n j ))
¥
¥
j =1
i =1
= 0 + (å (a 0 b j )( x o ( y o n j ))) + (å (a i b 0 )(( x o mi ) o y )) + 0
¥
¥
j =1
i =1
= (å (a 0 b j )( x o ( y o n j ))) + (å (a i b 0 )(( x o mi ) o y ))
elde edilir.
¥
¥
j =1
i =1
(å (a 0 b j )( x o ( y o n j ))) + (å (a i b 0 )(( x o mi ) o y )) = 0
eşitliğini yeniden düzenleyelim. b j = a 0 b j ve ai = a i b 0 diyelim. x o y = 0 olduğu göz
önünde bulundurularak ve Jakobi özelliğini kullanılarak
¥
¥
¥
¥
j =1
i =1
j =1
i =1
(å b j ( x o ( y o n j ))) + (å a i (( x o mi ) o y )) = (å b j (n j o x ) o y )) - (å a i ((mi o x ) o y )) = 0
94
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olur. Buradan gerekli düzenlemeler yapılarak
¥
¥
¥
¥
j =1
i =1
j =1
i =1
(å b j ( x o ( y o n j ))) + (å a i (( x o mi ) o y )) = (å b j ((n j o x) o y )) - (å a i ((mi o x ) o y ))
¥
¥
j =1
i =1
= (å b j (n j o x) - å ai ((mi o x) o y ))
¥
¥
j =1
i =1
= ((å b j n j - å ai mi ) o x) o y
elde edilir.
¥
¥
j =1
i =1
å b j n j - åa i mi
ifadesi A metabelyen Lie cebirinin monomiallerinin bir lineer kombinasyonu olup ve
a Î A için ( a o x) o y = 0 varsayımından
¥
¥
j =1
i =1
((å b j n j - å a i mi ) o x ) o y = 0
yani; x% o y% = 0 olur. Sonuç olarak
id A á xñ o id A á yñ = 0
olduğu elde edilir.
Jakobi özelliğini kullanarak (5.3) ifadesinin x ve y elemanlarına bağlı olarak simetrik olduğunu gösterelim. Açık olarak x o y = 0 ise y o x = 0 ve ( a o x) o y = 0 ise Jakobi
özelliğinden ( a o y ) o x = ( x o y ) o a + ( a o x) o y olup buradan ( a o y ) o x = 0 elde edilir.
95
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Lemma 5.2.2: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri olsun. Eğer A metabelyen
Lie cebiri bir kesin yarıbölge ise A 2 komütatör alt cebiri lineer torsiyon serbest modül
olur.
İspat: A metabelyen Lie cebiri bir kesin yarıbölge ise Örnek 5.8.8 ’den
Her 0 ¹ x, y Î A için x Î A2 , y Ï A2 ise x o y ¹ 0
(5.4)
olur. A 2 komütatör alt cebirinin R = K [ xa : a Î L ] - modül yapısına sahip olduğunu biliyoruz. O zaman A 2 komütatör alt cebirinin R - modül olarak lineer torsiyon serbest modül
olduğunu gösterelim. Lineer bağımsız bir modülo
{aa : a Î L} Í A
A2
kümesinin maksimal bir
sistemini alalım. Herhangi bir 0 ¹ c Î A2 elemanını ve bir f Î R lineer
polinomunu düşünelim. a i Î K olmak üzere f Î R lineer polinomu
f = å ba xa
a ÎL
formundadır.
c × f = c × å ba xa = å c × ( ba xa ) = å ba (c × xa ) = å ba (c o aa )
a ÎL
a ÎL
aÎL
a ÎL
ve (5.4) ifadesinden c × f ¹ 0 elde edilir.
Teorem 5.2.1: A , K cismi üzerinde sıfırdan farklı bir metabelyen Lie cebiri olsun. A Lie
cebirinin bir kesin yarıbölge olması için gerek ve yeter koşul A Lie cebiri abelyen değil ve
A 2 komütatör alt cebirinin lineer torsiyon serbest modül olmasıdır.
96
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
İspat:
(Þ:)
A metabelyen Lie cebiri bir kesin yarıbölge yani; D ( A) = A2 olsun. Her
0 ¹ x, y Î A için x Î A2 , y Ï A2 ise x o y ¹ 0 olur. Kabul edelim ki A metabelyen Lie
cebiri abelyen olsun. Dolayısıyla A2 = 0 ve D ( A) = A olup A = 0 çelişkisi elde edilir. O
zaman kabulümüz yanlıştır. A metabelyen Lie cebiri abelyen değildir.
(Ü:) A abelyen olmayan metabelyen Lie cebiri ve her 0 ¹ x, y Î A için x Î A2 , y Ï A2
ise x o y ¹ 0 olsun. A metabelyen Lie cebirinin bir kesin yarıbölge olduğunu gösterelim.
Yani; D ( A) Í A2 olduğunu gösterelim. A Lie cebirinin bir ( x, y ) sıfır bölen çiftini düşünelim. x Î A2 olduğunu varsayalım. x o y = 0 olduğundan (5.4) ifadesinden y Î A2 olur.
Yani; x, y Î D( A) olup D ( A) Í A2 elde edilir. Şimdi x Ï A2 olduğunu varsayalım. A
abelyen olmayan metabelyen Lie cebiri olduğundan çarpımları sıfırdan farklı iki eleman
vardır yani; elemanlardan biri x Ï A2 elemanı ise diğer eleman ise (5.4) ifadesi sağlandığından z o x ¹ 0 olacak şekildeki 0 ¹ z Î A elemanı alınabilir. Diğer yandan ( x, y ) bir sıfır
bölen çifti olduğundan her a Î A için ( a o x) o y = 0 olup özel olarak a = z alınırsa
( z o x ) o y = 0 olur. Jakobi özelliğinden ve metabelyen özelliğinden her b Î A için
((b o ( z o x )) o y ) = ((( z o x ) o y ) o b) - ((b o y ) o ( z o x)) = 0 o b - 0 = 0
olur ve
( z o x) o y = 0
olduğundan ( z o x, y ) çifti de bir sıfır bölen çifti olur. Buradan ise y Î A2 olup ve x Î A2
olduğu görülür bu ise varsayım ile çelişir. O zaman x Î A2 olmak zorundadır. y Î A2 olduğu durumda yukarıdaki argüman kullanılarak benzer şekilde yapılır. O halde D ( A) Í A2
olup D ( A) = A2 elde edilir. Sonuç olarak A metabelyen Lie cebirinin bir kesin yarıbölge
olur.
Sonuç 5.2.1: A , K cismi üzerinde sıfırdan farklı bir metabelyen Lie cebiri olsun. A 2 komütatör alt cebirinin lineer torsiyon serbest modül olması için gerek ve yeter koşul A metabelyen Lie cebirinin ya abelyen bir Lie cebiri ya da bir kesin yarıbölge olmasıdır.
97
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
İspat:
(Þ:) A 2 komütatör alt cebirini lineer torsiyon serbest modül olsun. Kabul edelim ki A
metabelyen Lie cebiri abelyen olmasın. O zaman Teorem 5.2.1’den A metabelyen Lie
cebirinin bir kesin yarıbölge olur.
(Ü:) A metabelyen Lie cebiri ya abelyen ya da bir kesin yarıbölge olsun. Eğer A meta-
belyen Lie cebiri abelyen ise A2 = 0 olup A 2 komütatör alt cebiri lineer torsiyon serbest
modül olur. Şimdi A metabelyen Lie cebiri kesin yarıbölge olduğunu varsayalım. O zaman Teorem 5.2.1’den A 2 komütatör alt cebirinin lineer torsiyon serbest modül olduğu
elde edilir.
5.3. Metabelyen Lie Cebirleri ve Sonlu Üretilmiş Metabelyen Lie Cebirlerinin Üreteç
Kümeleri ve Tanımlı Bağıntıları
Lemma 5.3.1: A , K cismi üzerinde bir metabelyen Lie cebiri ve I , A metabelyen Lie
cebirinin A / I bölüm cebiri abelyen olacak şekilde bir ideali olsun. Lineer bağımsız bir
modülo A 2 kümesinin maksimal bir {aa : a Î L} Í A sistemini alalım. V , K cismi üzerinde {aa : a Î L} tarafından üretilen bir vektör uzayı olsun ve {bb : b Î B} kümesi bir R modül ve minimal olarak I idealini üretsin. Bu durumda {aa : a Î L} ve {bb : b Î B} kümelerini birleşimi A metabelyen Lie cebirini üretir.
İspat: Açıklama 5.1.2’den A metabelyen Lie cebiri K cismi üzerinde vektör uzayı olarak
A = V Å I direkt toplamı olarak yazılabilir. Yani; c Î V ve b Î I olmak üzere her a Î A
elemanı
a = c+b
şeklinde yazılabilir.
fi Î R
olmak üzere
bÎ I
elemanı bir
b = bb1 × f1 + L + bb l × fl temsiline sahiptir. Her bbi × fi terimi A metabelyen Lie cebirinin
elemanı gibi düşünülebilir. Sonuç olarak b elemanı ve buna bağlı olarak da a elemanı
{aa : a Î L} È {bb : b Î B} kümesinin bir Lie polinomlarıdır.
98
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Lemma 5.3.2: A , K cismi üzerinde sonlu üretilmiş bir metabelyen Lie cebiri olsun. O
zaman A metabelyen Lie cebirinin kanonik üreteç kümesi sonludur.
İspat: {s1 , s2 , K , sn } , A metabelyen Lie cebirinin üreteçlerinin sonlu bir kümesi olsun.
Bu üreteç kümesinin kanonik üreteç kümesinin sonlu olduğunu gösterelim.
İlk olarak A / I vektör uzayının K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı
olduğunu gösterelim. A metabelyen Lie cebirinin her elemanı {s1 , s2 , K , sn } harfleri kullanılarak yazılmış bir Lie polinomudur. a i Î K ve b Î A2 olmak üzere her polinom
a = a1s1 + a1s2 + L + a n sn + b
temsiline sahiptir ve b Î A2 olduğundan b Î I olur. Buradan dim ( A / I ) = r ve r < n olup
A / I sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır.
Şimdi I idealinin polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısı olarak sonlu üretilmiş olduğunu gösterelim. A 2 komütatör alt cebiri K - vektör uzayı olarak uzunluğu > 2
olan si1 o si2 oL o sim sol normal monomialleri tarafından üretilir. i Î {1, 2, K , n} , ci ÎV ve
bi Î I olmak üzere Açıklama 5.1.2’den si elemanını si = ci + bi şeklinde yazalım. Gerekli
işlemler yapıldığında si1 o si2 oL o sim = ( si1 o si2 ) × f , f Î R olduğunu görebiliriz. Bu yüzden
A 2 komütatör alt cebiri R halkası üzerinde bir modül yapısı olarak sonlu alt kümesi
{s o s
i
j
| i < j = 1, 2, K , n} tarafından üretilir. Aynı zamanda I / A2 sonlu boyutlu bir vek-
tör uzayı olduğundan I ideali sonlu üretilmiş bir R - modüldür.
Teorem 5.3.1: K cismi üzerinde sonlu üretilmiş her A metabelyen Lie cebiri, K cismi
üzerinde tüm metabelyen Lie cebirlerinin kategorisinde sonlu temsile sahiptir.
İspat: A / A2 vektör uzayını düşünelim. dim( A / A2 ) = r olduğunu varsayalım. A 2 komütatör alt cebiri R = K [ x1 , x2 , K , xr ] polinomlar halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modüldür. b1 , b2 , K , bl A2 komütatör alt cebirinin modül üreteçleri olsun. Burada biz A
99
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
metabelyen Lie cebirinin a1 , a2 , K , ar , b1 , b2 , K , bl kanonik üreteç kümesini kullanacağız.
R polinomlar halkası Noetherian ve A2 komütatör alt cebiri sonlu üretilmiş bir R -
modül olduğundan A2 modülü sonlu temsile sahiptir. R - modül A 2 komütatör alt cebirinin sonlu bir temsilini alalım. A2 modülünün herhangi bir bağıntısı
b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × fl = 0, fi Î R
şeklindedir. Bu bağıntı metabelyen Lie cebirlerinin dilinde yeniden yazılabilir. Bu yolla
a1 , a2 , K , ar , b1 , b2 , K , bl harflerini içeren ve A metabelyen Lie cebiri için doğru olan
bir bağıntı elde edilir. Bu tür bağıntılar A metabelyen Lie cebirinin tanımlı birinci tip bağıntılarını oluşturur.
A metabelyen Lie cebirinde üç tip bağıntı vardır. İkinci tip bağıntılar A 2 komüta-
tör alt cebirinin abelyen olduğunu gösteren
bi o b j = 0, (bi o a s ) o b j = 0, i < j = 1, 2, K , l , s = 1, 2, K , r
şeklindeki bağıntılardır.
Üçüncü tip bağıntılar her (i, j ) indis çifti için ai o a j çarpımının A 2 komütatör alt
cebirinde olduğunu gösteren
ai o a j = b1 × gij1 + b2 × g ij2 + L + bl × g ijl = 0, i < j = 1, 2, K , r , gijp Î R
şeklindeki bağıntılardır. Bu bağıntılar yine metabelyen Lie cebirlerinin dilinde yazılabilir
ve A metabelyen Lie cebirinin tanımlı üçüncü tip bağıntılarını oluşturur.
A metabelyen Lie cebiri tam olarak bu bağıntılarla tanımlıdır. F , K cismi üzerin-
de bazı x1 , x2 , K , xr , y1 , y2 , K , yl olan serbest Lie cebiri olsun. J , F serbest metabelyen Lie cebirinin yukarıda tanımlanan bağıntıların ürettiği bir ideali olsun. j : F ® A dönüşümü
100
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
j ( xi ) = ai , i = 1, 2, K , r , j ( y j ) = b j , j = 1, 2, K , l
kuralı ile tanımlı kanonik epimorfizmi olsun.
Şimdi Kerj = J
olduğunu gösterelim. Kerj Ê J
olduğu açıktır. O halde
Kerj Ê J olduğunu göstermeliyiz. x1 , x2 , K , xr , y1 , y2 , K , yl harflerini içeren herhangi
bir u Lie polinomunu düşünelim. u bir K - Lie cebirinin elemanını olduğu için yine aynı
harfleri içeren sol normal monomialerin bir K - lineer kombinasyonı olarak yazılabilir.
Lemma
5.1.2’de
a, b, c1 , c2 , K , cn Î { x1 , x2 , K , xr , y1 , y2 , K , yl }
olmak
üzere
abc1c2 K cn sol normal monomialinde ci faktörlerinin herhangi bir permütasyonunun
abc1c2 K cn elemanını koruduğu yani; yine abc1c2 K cn elemanına eşit olduğu gösterilmişti.
Üçüncü tip bağıntıları ve anti komütatiflik özelliğini kullanarak uzunluğu ³ 2 olan
her monomiali başlangıç harfleri y j harflerinden biri olan monomiallerin bir K - lineer
kombinasyonu olarak yazalım. Eğer bir monomialde y j harflerinden en az ikisi varsa o
zaman ikinci tip bağıntılardan dolayı bu monomial J idealinde bulunur. Bu ise v Î J ,
a i Î K ve fi Î R olmak üzere herhangi bir u Î F elemanının
u = a1 x1 + a 2 x2 + L + a r xr + y1 × f1 + y2 × f 2 + L + yl × fl + v
şeklinde temsil edilebileceğini gösterir. Buradan
a1a1 + a 2 a2 + L + a r ar + b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × f l = 0
elde edilir. Sonuç olarak a1 = a 2 = L = a r = 0 ve b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × fl = 0 olur. Son
eşitlik ve birinci tip bağıntılar y1 × f1 + y2 × f 2 + L + yl × f l Î J olduğunu söyler. Böylece
u Î J olduğu gösterilmiş olur. O halde sonlu üretilmiş her A metabelyen Lie cebiri tüm
metabelyen Lie cebirlerinin kategorisinde sonlu temsile sahiptir.
101
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Sonuç 5.3.1: Eğer Fit ( A) Fitting radikali abelyen ise Teorem 5.3.1’in ispatında verilen
temsil yerine başka bir temsil kullanılabilir. Yeni temsil Teorem 5.3.1’in argümanı kullanılarak A 2 komütatör alt cebiri ile Fit ( A) Fitting radikalini yer değiştirerek elde edilir.
Şimdi K cismi üzerinde bir A metabelyen Lie cebirinin endomofizmlerinin bir sınıfını tanıtalım. A metabelyen Lie cebirinin I idealinin ya A 2 komütatör alt cebir ya da
değişmeli olması koşuluyla Fit ( A) Fitting radikal olduğunu varsayalım.
f Î R serbest sıfır terimi içeren bir polinom olsun. j dönüşümünü, A metabelyen
Lie cebirinin elemanlarının (1 + f ) polinomu ile çarpımı olarak tanımlayalım. Bu dönüşümün sadece I idealinin elemanları için iyi tanımlı olduğunu hatırlayalım. j dönüşümünün etkisini A metabelyen Lie cebirine genişletmek için f polinomunu
f = x j1 f1 + x j2 f 2 + L + x jq f q
formunda yazalım. A metabelyen Lie cebirinin kanonik üreteç kümesi için
ha Î A2 , ha = (aa o a j1 ) × f1 + (aa o a j2 ) × f 2 + L + (aa o a jq ) × f q
olmak üzere
j (bb ) = bb × (1 + f ), j ( aa ) = aa + ha , a Î L
(5.5)
diyelim. (5.5) ifadesi j dönüşümü altında A metabelyen Lie cebirinin kanonik üreteç
kümesinin görüntüsünü tanımlar. O zaman j dönüşümünün A metabelyen Lie cebirine
etkisini bir homomorfizmin tanıma uygun olacak şekilde genişletilmiş olur.
102
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Şimdi j dönüşümü ile ilgili bir önerme verelim.
Önerme 5.3.1: j : A ® A dönüşümü bir homomorfizmdir. Eğer I ideali R üzerinde bir
torsiyon serbest modül ise o zaman j : A ® A dönüşümü birebirdir.
İspat: (5.5) ifadesinin A metabelyen Lie cebirinde bir homomorfizme neden olduğunu
gösterelim. Teorem 5.3.1’de verilen A metabelyen Lie cebirinin temsilini kullanalım. Her
b Î I elemanı
b = bb1 × f (1) + bb2 × f (2) + L + bbl × f (l ) , f ( k ) Î R
formunda yazılabilir. Metabelyenlik özelliğinden
j (bb o aa ) = j (bb ) o j ( aa ) = (bb × (1 + f )) o ( aa + ha ) = (bb o aa ) × (1 + f )
olup f ( k ) polinomunun derecesi üzerinden tümevarım ile j (b) = b × (1 + f ) olduğu kolayca
gösterilebilir. j : A ® A dönüşümünün A metabelyen Lie cebirinin birinci ve ikinci tip
bağıntıları koruduğu oldukça açıktır. Her i, j Î L indis çifti için A metabelyen Lie cebirinin üçüncü tip bağıntıları
ai o a j = bb1 × fij(1) + bb2 × fij(2) + L + bbl × fij(l ) , fij( k ) Î R
şeklindedir. j : A ® A dönüşümünün bu bağıntıları koruduğunu göstermek için
j ( ai ) o j ( a j ) = ( ai o a j ) × (1 + f )
olduğunu göstermek yeterlidir. Metabelyenlik, anti komütatiflik ve Jakobi özelliğinden
103
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
j (ai ) o j (a j ) = (ai + (ai o a j1 ) × f1 + L + (ai o a jl ) × fl ) o (a j + (a j o a j1 ) × f1 + L + (a j o a jl ) × fl )
= (ai o a j ) + (ai o (a j o a j1 )) × f1 + L + (ai o (a j o a jl )) × fl
+ ((ai o a j1 ) o a j ) × f1 + L + ((ai o a jl ) o a j ) × fl
= (ai o a j ) + ((ai o a j1 ) o a j ) × f1 + L + ((ai o a jl ) o a j ) × fl
- (((a j o a j1 ) o ai ) × f1 + L + ((a j o a jl ) o ai ) × f l )
= (ai o a j ) + ((ai o a j ) o a j1 ) × f1 ) + L + ((ai o a j ) o a jl ) × f l )
= (ai o a j ) × (1 + f )
olup j ( ai ) o j ( a j ) = ( ai o a j ) × (1 + f ) olduğu gösterilir. O halde j : A ® A dönüşümü bir
homomorfizm olur.
Şimdi I ideali R halkası üzerinde bir torsiyon serbest modül olsun. c Î V ve
b Î I olmak üzere herhangi bir a Î A elemanı a = c + b şeklinde yazılabilir. Eğer c ¹ 0
ise o zaman j ( a ) ¹ 0 olur. Eğer c = 0 ise o zaman a = b yani; a Î I olur. j : A ® A homomorfizminin I ideali üzerinde etkisini bu idealin elemanları ile (1 + f ) polinomunun
çarpımı olarak tanımlanmıştı. I ideali R halkası üzerinde bir torsiyon serbest modül olduğundan j ( a ) ¹ 0 olur. Sonuç olarak her durumda j : A ® A homomorfizmi birebir olur.
5.4. Serbest Metabelyen Lie Cebirinin Fitting Radikali
Önerme 5.4.1: F , K cismi üzerinde abelyan olmayan serbest bir metabelyen Lie cebiri
olsun. O zaman Fit ( F ) = F 2 olur.
İspat: Her metabelyen Lie cebirinin Fitting radikali komutatör alt cebirini içerdiğinden
F 2 Í Fit ( F ) olur. Şimdi Fit ( F ) Í F 2 olduğunu gösterelim. Yani; buna denk olarak herhangi bir a Ï F 2 elemanı için a Ï Fit ( F ) olduğunu gösterelim. b Î F 2 olmak üzere a
elemanı a = a1ai1 + a 2 ai2 + L + a n ain + b şeklinde normalleştirilmiş kelimelerin bir lineer
kombinasyonu olarak yazılabilir. c = a1ai1 + a 2 ai2 + L + a n ain diyelim. a Ï F 2 olduğundan
104
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
c Ï F 2 olur. Bu durumda c Ï Fit ( F ) olduğunu göstermek yeterlidir. Kabul edelim ki
c Î Fit ( F ) olsun. Bu yüzden c elemanı F serbest metabelyen Lie cebirinin bir serbest
bazına dahil edilebilir. Yeni serbest baz kümesi başlangıçtaki baz kümesinden bir lineer
dönüşüm ile elde edilir. c Î Fit ( F ) olduğundan c elemanı F serbest metabelyen Lie cebirinin nilpotent bir I idealinin bir elemanı olur. Hipotezden F serbest metabelyen Lie cebiri abelyen olmadığından d o c ¹ 0 olacak şekilde serbest bazının bir d elemanı vardır.
d o c Î I ve c Î I olup d ccc
K c = 0 olur. Bu ise dcccK c normalleştirilmiş kelimesinin
123
n tan e
F serbest metabelyen Lie cebirinin lineer baz kümesinin bir elemanı olması ile çelişir. O
zaman kabulümüz yanlıştır. Dolayısıyla c Ï Fit ( F ) olmalıdır.
Önerme 5.4.1’den dolayı abelyen olmayan serbest bir F metabelyen Lie cebirinin
{aa : a Î L}
serbest bazı lineer bağımsız bir modülo Fit ( F ) kümesinin maksimal bir sis-
teminin elemanlarıdır. R = K [ xa : a Î L ] polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısına
sahip olan Fit ( F ) Fitting radikalinin C ( F ) ile gösterilen üreteç sistemi aşağıdaki gibi inşa
edilir. {aa o ab : a , b Î L} kümesi R - modül Fit ( F ) Fitting radikalini üretir. Her (a , b )
indis çifti için elemanların C ( F ) kümesine ya aa o ab ya da ab o aa elemanını dahil edelim. Sonuç olarak F serbest metabelyen Lie cebirinin kanonik üreteç kümesi {aa : a Î L}
ve C ( F ) kümelerinin birleşimidir. Jakobi özelliğine göre R - modül Fit ( F ) Fitting radikalinin üreteçleri
( aa o a b ) × xg + ( a b o ag ) × xa + ( ag o aa ) × xb = 0
tipindeki bağıntıları sağlar.
105
(5.6)
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Lemma 5.4.1: C ( F ) üreteç kümesi ve (5.6) ifadesindeki bağıntılarının kümesi F serbest
metabelyen Lie cebirinin Fit ( F ) Fitting radikalinin bir R - modül temsilini tanımlar.
İspat: M , yukarıda verilen üreteç kümesi ve bağıntılar ile bir R - modül olsun. V ,
{aa : a Î L}
kümesi tarafından üretilen bir K - vektör uzayı olmak üzere V Å M direkt
toplamını düşünelim. Açıkça görüldüğü gibi V Å M direkt toplamı bir K - vektör uzayıdır.
aa ab , V vektör uzayı üzerindeki çarpma işlemi, m1 , m2 Î M ve xa , xb Î R olmak üzere
V ÅM
vektör uzayında ( aa Å m1 ) o ( ab Å m2 ) = (0 Å aa ab + m1 × xb - m2 × xa ) çarpımını
tanımlayalım. V Å M vektör uzayının bu çarpma işlemi ile üreteç kümesi
{aa : a Î L}
olan bir metabelyen Lie cebiri olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Bu çarpma işleminin tanımından V Å M metabelyen Lie cebirinin komütatör alt cebiri M modülüdür. F serbest
metabelyen Lie cebiri olduğundan j : F ® V Å M kanonik homomorfizmi vardır. Bu j
kanonik homomorfizm altında F serbest metabelyen Lie cebirinin komütatör alt cebirinin
görüntüsü ile M modülü ile aynı olup Önerme 5.4.1’den ispat biter.
5.5. Matris Metabelyen Lie Cebirinin Fitting Radikali
M I , L , değişkenleri
{ xa : a Î L}
değişmeli elemanlar ve katsayıları K cisminin
elemanları olan bir R polinomlar halkası ve bu polinomlar halkası üzerinde baz kümesi
{ui : i Î I }
olan bir T serbest modülü kullanılarak inşa edilen bir matris metabelyen Lie
cebiri olsun.
Lemma 5.5.1: A , M I , L matris metabelyen Lie cebirinin abelyen olmayan bir alt cebiri
olsun. O zaman A alt cebirinin Fitting radikali A alt cebirinin esas köşegeni sıfır olan tüm
elemanlarından oluşur.
İspat: B = {( f , u ) Î A, f = 0} olsun. Fit ( A) = B olduğunu gösterelim. Her ( f , u ) Î M I , L
ve (0, v) Î B için ( f , u ) o (0, v) = (0, - vf ) Î B olup B alt cebiri M I , L matris metabelyen
106
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Lie cebirinin bir idealidir. Her (0, u ), (0, v ) Î B için (0, u ) o (0, v ) = (0, 0) olup B ideali
abelyendir. Herhangi bir (0, u ) Î B elemanını alalım ve I , (0, u ) tarafından üretilen A alt
cebirinin bir ideali olsun. (0, u ) Î B olduğundan I = id A á (0, u )ñ Í B olur. Bu yüzden I
bir abelyen ideal olup ve (0, u ) Î I olduğundan (0, u ) Î Fit ( A) elde edilir. O halde
B Í Fit ( A) olur.
Şimdi Fit ( A) Í B olduğunu gösterelim. Herhangi bir z = ( f , u ) Î A elemanını alalım. z Ï B olduğunu kabul edelim. O halde f ¹ 0 olur. Tersine z Î Fit ( A) olduğunu varsayalım. z Î Fit ( A) olduğundan Sonuç 5.1.2’den z elemanı A alt cebirinin nilpotent bir
idealinin elemanıdır. B alt cebiri abelyen olmadığından A alt cebirinde çarpımları sıfır
olmayan iki tane eleman mevcuttur. M I , L kümesi üzerindeki çarpmanın tanımdan herhangi iki elemanın çarpımı B idealinin bir elemanı olur. Dolayısıyla v ¹ 0 olmak üzere sıfırdan farklı w = (0, v ) Î B elemanı vardır. Buradan w o z = (0, v) o (u, f ) = (0, vf ) Î I olur.
f ¹ 0 ve v ¹ 0 olduğundan vf ¹ 0 olur ve w o z ¹ 0 olduğu elde edilir. I nilpotent bir
n
oLo
z4
ideal olduğundan w o 1
24
3z = (0, vf ) = (0, 0) olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı varn tan e
dır. Bu ise f ¹ 0 ve v ¹ 0 ise (0, vf n ) ¹ (0, 0) olması ile çelişir. O halde kabülümüz yanlıştır. z Î B olmak zorundadır. Dolayısıyla Fit ( A) Í B olur ve Fit ( A) = B elde edilir.
M I , L matris metabelyen Lie cebirinin Lemma 5.5.1’i sağlamayan abelyen bir alt
cebiri vardır. Örneğin f ¹ 0 olmak üzere A , ( f , u ) tarafından üretilen alt cebir ise bu
durumda Fit ( A) = A olur.
Sonuç 5.5.1: A , M I , L matris metabelyen Lie cebirinin bir alt cebiri olsun. O zaman A alt
cebirinin Fit ( A) Fitting radikali abelyendir.
İspat: Eğer A abelyen ise Fit ( A) = A olup Fit ( A) Fitting radikali abelyendir. Eğer A
abelyen değilse Lemma 5.5.1’den Fit ( A) = A2 olur ve metabelyenlik özelliğinden Fit ( A)
Fitting radikali abelyen olur.
107
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
M I0, L ile M I , L matris metabelyen Lie cebirinin
{
M I0, L = ( f , u ) | f = ba1 xa1 + ba 2 xa 2 + L + ba m xa m , b a j Î K
}
alt kümesini gösterelim. Açıkça görüldüğü gibi M I0, L , M I , L matris metabelyen Lie cebirinin alt cebiridir.
Lemma 5.5.2: A , M I0, L matris metabelyen Lie cebirinin bir alt cebiri olsun. A alt cebirinin Fit ( A) Fitting radikali polinomlar halkası üzerinde bir torsiyon serbest modüldür.
İspat: Sonuç 5.5.1’den Fit ( A) abelyen bir idealdir. Bu yüzden Fit ( A) Fitting radikali
R = K [ xd : d Î D] polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısı tanımlar. {ed : d Î D} kümesi A / Fit ( A) vektör uzayının bir bazı ve {( f d , ud ) : d Î D} kümesi de bu baz kümesinin
A alt cebirindeki ters görüntüsü olsun. Tüm f d polinomları { xa : a Î L} harflerinin K -
lineer kombinasyonlarıdır ve { f d : d Î D} polinomlarının kümesi lineer bağımsızdır.
Şimdi Fit ( A) Fitting radikalinin R = K [ xd : d Î D] polinomlar halkası üzerinde torsiyon serbest modül olduğunu gösterelim. Herhangi bir b Î Fit ( A) elemanı ve sıfırdan
farklı bir g ( xd ) polinomunu alalım ve b × g çarpımını düşünelim. b Î Fit ( A) olduğundan
Lemma 5.5.1’den b elemanı b = (0, v), v Î T formundadır. Buradan b × g = (0, vg ( f d ))
elde edilir. g ( f d ) polinomu sıfırdan farklı ve T serbest modül olduğundan vg ( f d ) ¹ 0
olur. Dolayısıyla b × g ¹ 0 olur.
K cismi üzerinde bir F serbest metabelyen Lie cebirinin bir matris cebirine nasıl
gömüleceğini gösterelim. {aa : a Î L} kümesi F serbest metabelyen Lie cebirinin serbest
bir bazı olsun. O zaman F serbest metabelyen Lie cebiri M L0 , L matris metabelyen Lie
cebirinin bir alt cebiri olur. M L0 , L matris metabelyen Lie cebiri, R = K [ xa : a Î L ] poli-
108
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
nomlar halkası ve serbest üreteç kümesi {ua : a Î L} olan serbest modül T üzerinde inşa
edilmiştir. M L0 , L matris metabelyen Lie cebirinin
ì
æ xa
í za = ç
è0
î
ua ö
ü
÷ :a Î Lý
0ø
þ
kümesi tarafından üretilen L alt cebirini düşünelim. L alt cebirinin { za : a Î L} üreteç
kümesi ile F serbest metabelyen Lie cebirinin {aa : a Î L} serbest baz kümesinin kardinaliteleri aynı olduğundan her a ÎL için g (aa ) = za kuralı ile tanımlı g : F ® M L0 , L kanonik homomorfizmi vardır.
Aşağıdaki teorem L alt cebirinin bir matris cebirinde F serbest metabelyen Lie
cebirinin bir temsili olduğunu gösterir.
Teorem 5.5.1: Her a ÎL için g (aa ) = za kuralı ile tanımlı g : F ® M L0 , L kanonik homomorfizmi bir gömme dönüşümüdür.
İspat: I , g : F ® M L0 , L homomorfizminin çekirdeği olsun. I = {0} olduğunu gösterelim.
Teorem 2.35.1’den L alt cebiri K - vektör uzayı olarak { za : a Î L} harfleri ile yazılan
normalleştirilmiş kelimeler tarafında üretilir. Normalleştirilmiş kelimeler, L indis kümesi
tam sıralı olmak üzere i1 > i2 £ i3 £ L £ im koşulunu sağlayan zi1 zi2 K zim sol normal kelimeleridir. I idealinin sıfır olduğunu göstermek için zi1 zi2 K zim alt cebirinde normalleştirilmiş kelimelerin lineer bağımsız olduğunu göstermek yeterlidir. Matris temsilinde
zi1 zi2 K zim normalleştirilmiş kelimesi
æ 0 (ui1 xi2 - ui2 xi1 ) × xim K xi3 ö
ç
÷
0
è0
ø
109
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
matrisi ile temsil edilir. (ui1 xi2 - ui2 xi1 ) × xim K xi3 ifadesi T serbest modülünün sıfırdan farklı
bir elemanı olduğundan bu matris sıfırdan farklıdır. a ı Î K olmak üzere
æ
ö
g ç å a ı ai1 ai2 K aim ÷ = 0
è ı
ø
(5.7)
olduğunu varsayalım ve tüm çoklu ı indisleri için a ı katsayısının sıfır olduğunu gösterelim.
æ
ö
g ç å a ı ai1 ai2 K aim ÷ = 0 Þ å a ı g (ai1 ai2 K aim ) = 0
ı
è ı
ø
Þ å a ı g (ai1 )g (ai2 )K g (aim ) = 0
ı
Þ å a ı zi1 zi2 K zim = 0
ı
æ 0 (ui1 xi2 - ui2 xi1 ) × xim K xi3 ö
Þ åa ı ç
÷=0
0
ı
è0
ø
æ0
Þç
ç0
è
åa
ı
ı
(ui1 xi2 - ui2 xi1 ) × xim K xi3 ö
÷=0
÷
0
ø
olup buradan
åa
ı
ı
(ui1 xi2 - ui2 xi1 ) × xim K xi3 = 0
(5.8)
elde edilir. (5.7) ifadesini içeren tüm ı çoklu indislerinde tüm birinci indisler arasından
maksimal i1 indeksini alalım. Normalleştirilmiş kelimenin tanımı ve (5.8) ifadesi kullanılarak ui1 Î T elemanının katsayısı
110
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
å
ı =i1 , i2 , K , im
a ı xim K xi3 × xi2
olarak elde edilir. T bir serbest modül ve ui1 Î T elemanı T serbest modülünün bazının
elemanı olduğundan bu katsayı R polinomlar halkasında sıfıra eşit olur. ı çoklu indeks
inin i1 maksimal indeksi ile başlaması şartıyla normalleştirilmiş kelimenin tanımını kullanarak bu şekilde devam ederek tüm a ı katsayılarının sıfıra eşit olduğu bulunur. Yani; ı
çoklu indeksinin ilk koordinatı üzerinden tümevarım ile bu durum ispatlanır.
Teorem 5.5.2: F , K cismi üzerinde sonlu üretilmiş serbest bir metabelyen Lie cebiri olsun. Bu durumda F serbest metabelyen Lie cebiri bir yarıbölge olur.
İspat: Teorem 5.5.1’den F serbest metabelyen Lie cebiri M L0 , L matris metabelyen Lie
cebirinin bir alt cebiri olur. Eğer F
serbest metabelyen Lie cebiri abelyen ise
D ( F ) = Fit ( F ) olup bir yarıbölge olur. Eğer F serbest metabelyen Lie cebiri abelyen de-
ğilse Önerme 5.4.1’den Fit ( F ) = F 2 ve Lemma 5.5.2’den Fit ( F ) Fitting radikali lineer
torsiyon serbest bir modül olup Teorem 5.2.1’den dolayı F serbest metabelyen Lie cebiri
bir kesin yarıbölge olur. Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den F serbest metabelyen Lie cebiri
bir yarıbölge olur.
5.6. Sonlu Üretilmiş Metabelyen U - Lie Cebirleri
Teorem 5.6.1: Her sonlu üretilmiş metabelyen U - Lie cebiri M I0, L matris metabelyen Lie
cebirinin bir alt cebirine izomorfiktir. Tersine M I0, L matris metabelyen Lie cebirinin her alt
cebiri bir metabelyen U - Lie cebiridir.
İspat: A , K cismi üzerinde sonlu üretilmiş metabelyen bir U - Lie cebiri olsun. Fit ( A)
Fitting radikali abelyen ve bu yüzden polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısına sa-
111
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
hiptir. A sonlu üretilmiş metabelyen bir U - Lie cebiri olduğundan Lemma 5.3.2’den kanonik üreteç kümesi a1 , a2 , K , ar , b1 , b2 , K , bl sonludur.
Fit ( A) Fitting radikali R = K [ x1 , x2 , K , xr ] polinomlar halkası üzerinde torsiyon
serbest modül olduğundan s £ l olmak üzere Fit ( A) Fitting radikali rankı s olan R polinomlar halkası üzerinde serbest bir T modüle gömülebilir (Bourbaki, 1972: Lang, 2002).
Buradaki gömme dönüşümü j : Fit ( A) ® T olsun. Bu gömme dönüşümünü kullanarak A
metabelyen U - Lie cebirinin bir g : A ® M s0, r gömme dönüşümünü elde edelim.
g homomorfizmin tanımından kanonik üreteç kümesi için
æ
æ r
öö
g (bi ) = ç 0, j (bi ) × ç å xk ÷ ÷ , i = 1, 2, K , l
è k =1 ø ø
è
r
æ
ö
g (a j ) = ç x j , å j (ai o ak ) ÷ , j = 1, 2, K , r
k =1
è
ø
diyelim. A metabelyen U - Lie cebirinde g homomorfizminin kuralını bir homomorfizm
olacak şekilde genişletelim. g homomorfizminin doğru homomorfizm olduğunu ispatlamak için Teorem 5.3.1‘de verilen A metabelyen U - Lie cebirinin tanımlı 3 tip bağıntılarını koruduğunu gösterelim.
A metabelyen U - Lie cebirinin tanımlı birinci tip bağıntısı tam olarak Fit ( A) Fit-
ting radikalinin bağıntılarıdır. R - modül Fit ( A) Fitting radikalinin her modül bağıntısı
b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × fl = 0, fi Î R
formundadır. Her (i, j ) indis çifti için
æ
æ r
ö ö
g (b j o a j ) = g (b j ) o g (a j ) = ç 0, j (bi ) × ç å xk ÷ × x j ÷
è k =1 ø ø
è
112
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olup herhangi bir f Î R polinomu için derecesi üzerinden tümevarımla
æ
æ r
ö
g (bi × f ) = ç 0, j (bi ) × ç å xk ÷ ×
è k =1 ø
è
ö æ
æ r
öö
f ÷ = ç 0, j (bi × f ) × ç å xk ÷ ÷
è k =1 ø ø
ø è
elde edilir. Bu eşitlik bize gerekli olan
g (b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × fl ) = g (b1 × f1 ) + g (b2 × f 2 ) + L + g (bl × fl )
æ
æ r
öö
= ç 0, j (b1 × f1 + b2 × f 2 + L + bl × fl ) × ç å xk ÷ ÷
è k =1 ø ø
è
= (0, 0)
eşitliği elde edilir. Lemma 5.5.1’den g (bi ) Î Fit ( M s0, r ), i = 1, 2, K , l olur.
Sonuç olarak A serbest metabelyen Lie cebirinin Fit ( A) Fitting radikalinin abelyen olduğunu ifade eden ikinci tip bağıntıları g homomorfizminin etkisi altında korunur.
A serbest metabelyen Lie cebirinin üçüncü tip bağıntıları her (i, j ) indis çifti için
ai o a j Î Fit ( A) olduğunu gösterir. Bu bağıntılar
ai o a j = b1 × g ij1 + b2 × gij2 + L + bl × gijl = 0, gijp Î R
formundadır.
æ
æ r
öö
g (b1 × gij1 + b2 × gij2 + L + bl × gijl ) = ç 0, j (b1 × g 1ij + b2 × g ij2 + L + bl × gijl ) × ç å xk ÷ ÷
è k =1 ø ø
è
olduğu gösterilmişti. Şimdi
113
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
æ
æ r
öö
g (ai o a j ) = ç 0, j (ai o a j ) × ç å xk ÷ ÷
è k =1 ø ø
è
olduğunu gösterelim. Jakobi özelliği kullanılarak
æ
g (ai o a j ) = g (ai ) o g (a j ) = ç xi ,
è
æ
= ç 0,
è
ö æ
r
r
å j (a o a ) ÷ø o çè x , å j (a
k =1
i
k
j
r
å (j (a o a ) × x
k =1
i
k
j
k =1
j
ö
o ak ) ÷
ø
ö
- j (a j o ak ) × xi ) ÷
ø
æ
æ r
öö
= ç 0, j (ai o a j ) × ç å xk ÷ ÷
è k =1 ø ø
è
elde edilir.
Teoremi ispatlamak için g homomorfizminin çekirdeğinin sıfır olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi bir a Î A alalım. a ¹ 0 iken g ( a) ¹ (0, 0) olduğunu göstermeliyiz. ai Î K , b Î Fit ( A) olmak üzere a elemanı
a = a1a1 + a 2 a2 + L + a n an + b
formunda bir tek temsile sahiptir. Eğer a1a1 + a 2 a2 + L + a n an ¹ 0 ise g ( a) ¹ (0, 0) olur.
a = b Î Fit ( A) ve b ¹ 0 olsun. f k Î R olmak üzere b elemanı b = b1 f 1 + b2 f 2 + L + bl f l
şeklinde yazılabilir. j bir gömme dönüşümü ve T , R üzerinde bir torsiyon serbest modül
olduğundan
æ
æ r
öö
g (b) = ç 0, j (b1 × f 1 + b2 × f 2 + L + bl × f l ) × ç å xk ÷ ÷ ¹ (0, 0)
è k =1 ø ø
è
elde edilir.
114
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
O halde A metabelyen U - Lie cebirinin M s0, r matris metabelyen Lie cebirine bir
gömme dönüşümünün A metabelyen U - Lie cebirinde kısıtlanışını g birebir bir homomorfizmdir.
Lemma 5.5.1 ve Lemma 5.5.2’den M I0, L matris metabelyen Lie cebirinin her alt
cebiri bir metabelyen U - Lie cebiridir.
Teorem 5.6.2: A , K cismi üzerinde sonlu üretilmiş bir metabelyen U - Lie cebiri olsun.
Bu durumda A metabelyen U - Lie cebiri bir yarıbölge olur.
İspat: Teorem 5.6.1’den A metabelyen U - Lie cebiri M I0, L matris metabelyen Lie cebirinin bir alt cebiri olup Örnek 5.8.15’ten A metabelyen U - Lie cebiri bir yarıbölge olur. Ya
da; A metabelyen U - Lie cebiri abelyen ise D ( A) = Fit ( A) olup bir yarı bölge olur. Şimdi
ise A metabelyen U - Lie cebirinin abelyen olmadığını varsayalım. O zaman Lemma
5.5.1’den Fit ( A) = A2 ve Lemma 5.5.2’den Fit ( A) Fitting radikali lineer torsiyon serbest
bir modül olup Teorem 5.2.1’den dolayı A metabelyen U - Lie cebiri bir kesin yarıbölge
olur. Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den A metabelyen U - Lie cebiri bir yarıbölge olur.
5.7. Metabelyen Lie Cebirlerinin Metabelyen Çarpımının Yapısı
A ve B K cismi üzerinde herhangi iki metabelyen Lie cebiri olsun. K cismi üze-
rinde A / A2 ve B / B 2 vektör uzaylarını düşünelim. A = A / A2 ve B = B / B 2 diyelim. I
ve J kümeleri tam sıralı olmak üzere X = { xi : i Î I } ve Y = { y j : j Î J } sırasıyla A ve B
vektör uzaylarının lineer bazları olsun. Kolaylık için X ve Y kümelerinin elemanlarını,
sırasıyla bu elemanların A ve B Lie cebirlerindeki ters görüntüleri ile gösterelim.
5.1. alt bölümünde bahsedildiği gibi A2 ve B 2 komütatör alt cebirleri sırasıyla
RX = K [ X ] ve RY = K [Y ] polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısına sahiptir. K
cismi üzerinde A * B / ( A * B)2 bölüm cebiri vektör uzayı olarak X È Y kümesi tarafından
115
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
üretilir. Bu ise ( A * B )2 komütatör alt cebirinin RX ÈY = K [ X È Y ] polinomlar halkası üzerinde bir modül gibi düşünülebileceğini gösterir.
Şimdi A * B metabelyen çarpımının yapısını iki adımda inceleyelim.
Adım 1: RX ÈY - modül M 0 , M 1 ve M 2 üçlüsünü tanımlayalım. Bu modülleri kullanarak
yeni bir RX ÈY - modül M inşa edelim.
Adım 2: M modülünü kullanarak bir metabelyen Lie cebiri inşa edelim ve bu metabelyen
cebirin A * B metabelyen çarpımına izomorfik olduğunu gösterelim. Bu izomorfizm A * B
metabelyen çarpımının yapısal olarak yeterli bir tanımını bilmemize olanak sağlar. Ä RX ve
Ä RY sırasıyla RX ve RY polinomlar halkası üzerinde tensör çarpımı göstermek üzere A 2
ve B 2 komütatör alt cebirleri sırasıyla RX - modül ve RY - modül olarak 2.21. alt bölümünde ifade edildiği gibi M 1 = A2 Ä RX RX ÈY ve M 2 = B 2 Ä RY RX ÈY tensör çarpımları tanımlaRX ÈY -
narak
{x y
i
j
modüllerine
genişletilebilir.
M0 ,
RX ÈY
polinomlar
halkasının
: i Î I , j Î J } kümesi tarafından üretilen idealine izomorfik olan bir RX ÈY - modül
olsun. Açıkça görüldüğü gibi M 0 modülü torsiyon serbest modüldür. Z1 Ç Z 2 = Ø olmak
üzere A2 = á Z1 | R1 ñ ve B 2 = á Z 2 | R2 ñ sırasıyla RX - modül A 2 komütatör alt cebiri ve RY modül B 2 komütatör alt cebirinin birer takdimi olsun. Üreteçleri ve bağıntıları ile M modülü tanımlamak için bir harf çifti ile bazı üreteçlerini gösterelim.
XY = {wij = xi y j : i Î I , j Î J } ve Z = Z1 È Z 2
olsun.
ì( xi y j1 ) × y j2 = ( xi y j2 ) × y j1 + ( y j2 y j1 ) × xi , j1 > j2
ï
S =í
ïî( xi1 y j ) × xi2 = ( xi2 y j ) × xi1 + ( xi1 xi2 ) × y j , i1 > i2
116
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olmak üzere
M = á XY È Z | R1 È R2 È S ñ
(5.9)
takdimini tanımlayalım. Burada × modül etkisini, xi1 xi2 ve y j1 y j2 ise sırasıyla A ve B Lie
cebirlerinin elemanlarının Lie çarpımını göstermektedir.
Şimdi inşa ettiğimiz RX ÈY - modül M ile ilgili bir lemma verelim.
Lemma 5.7.1:
1) M modülünün M 3 = á Z1 È Z 2 ñ alt modülü M 1 Å M 2 alt modülüne izomorfiktir.
2) M / M 3 bölüm modülü M 0 alt modülüne izomorfiktir.
İspat: Bu durumları ispatlamak için M 1 Å M 2 vektör uzayı M ' = M 0 Å M 1 Å M 2 modülünün bir alt modülü ve M 1 Å M 2 vektör uzayı üzerinde kondurulmuş modül etkisi ile başlangıçtaki modül etkisi aynı olacak şekilde M ' vektör uzayı üzerinde RX ÈY - modül yapısını tanımlayalım. Bunun için M 0 vektör uzayının toplamsal bazı üzerinde RX ÈY polinomlar
halkasının etkisini doğru bir şekilde tanımlayalım. M 0 modülünün RX ÈY polinomlar halkasının
{x y
i
j
: i Î I , j Î J } kümesi tarafından üretilen idealine izomorfik olan bir RX ÈY -
modül olduğunu hatırlayalım. Sonuç olarak M 0 vektör uzayının bir toplamsal bazı hem X
kümesinin hem de Y kümesinin harflerini içeren X È Y kümesinin harfleri ile yazılan tüm
monomiallerin kümesidir. W , sözlük sıralamaya göre bu şekilde yazılabilen tüm monomiallerin kümesi olsun.
Herhangi bir w Î W alalım. i Î I ve j Î J sırasıyla w elemanının içerdiği X ve
Y kümesinin harflerinin en küçük alt indisleri olmak üzere w elemanını
w = ( xi x j ) w*
117
(5.10)
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
formunda tekrar yazalım.
V , X È Y kümesinin harfleri ile yazılan tüm monomiallerin kümesi olsun. Herhangi bir v Î V elemanı alalım. v elemanının derecesi üzerinden tümevarım ile v elemanı
üzerinde bir w Î W elemanının modül etkisini tanımlayalım. m = ( xi xi1 ) × w* y j M 1 modülünün bir elemanı ve xi xi1 A Lie cebirlerinin elemanlarının Lie çarpımını göstermek üzere
ì( xi y j ) × w* xi1 , i1 ³ i
ï
w × xi1 = í
*
*
îï( xi1 y j ) × w xi + ( xi xi1 ) × w y j , i1 < i
(5.11)
ve m = ( y j1 y j ) × w* xi M 2 modülünün bir elemanı ve y j1 y j B Lie cebirlerinin elemanlarının
Lie çarpımını göstermek üzere
ì( xi y j ) × w* y j1 , j1 ³ j
ï
w × y j1 = í
ïî( xi y j1 ) × w* y j + ( y j1 y j ) × w* xi , j1 < j
(5.12)
olsun.
(5.11) ve (5.12) ifadelerinin M ' vektör uzayı üzerinde gerekli modül yapısına neden olduğunu kolaylıkla görülebilir.
Tanımdan M ' modülü, M modülünün aynı elemanları tarafından üretilir. Ayrıca
(5.9) ifadesindeki M modülü için doğru olan tüm bağıntılar M ' modülü içinde sağlanır.
Bu yüzden bir f : M ® M ' modül homomorfizmi vardır. Şimdi bu f modül homomorfizminin bir modül izomorfizmi olduğunu gösterelim. M ' modülü için B doğal toplamsal
baz kümesi düşünelim. B baz kümesinin f homomorfizmi altındaki ters görüntüsü M
modülünü üretir. Ayrıca B baz kümesinin tüm modül bağıntıları bu kümesinin f homomorfizmi altındaki ters görüntüsünde sağlanır. O halde f homomorfizmi bir izomorfizm
olur. Dolayısıyla
118
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
f (M 3 ) = M1 Å M 2
olur. Buradan
M / M 3 @ M ' / M 3 = M 0 Å M1 Å M 2 / M 3 @ M 0 Å M1 Å M 2 / M 1 Å M 2 @ M 0
olup yani;
M / M3 @ M0
olduğu elde edilir.
M modülünü kullanarak metabelyen bir C Lie cebiri inşa edelim. V , baz kümesi
X È Y olan K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve C = V Å M , K cismi üzerinde vektör
uzaylarının direk toplamı olsun. C vektör uzayı üzerinde bir çarpma işlemi tanımlayalım.
ì xi x j Î A, v1 = xi ve v2 = x j
ï
ï y y Î B, v = y ve v = y
1
2
i
j
ï i j
ï
v1v2 = í xi y j Î M , v1 = xi ve v2 = y j
ï
ï- xi y j Î M , v1 = yi ve v2 = x j
ï
ï
î0 , v1 = 0 veya v2 = 0
ve ci = (vi , mi ), vi ÎV , mi Î M , i = 1, 2 olmak üzere ci Î C elemanlarının her çifti için
(v1 , m1 ) o (v2 , m2 ) = (0, v1v2 - m2 × v1 + m1 × v2 )
(5.13)
olsun. v1 ve v2 X È Y baz kümesinin elemanlarının lineer kombinasyonları olup dağılma
özelliği ve yukarıdaki eşitlikler kullanarak C vektör uzayı üzerinde v1v2 çarpımı tanımlanır.
119
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Şimdi inşa ettiğimiz C vektör uzayı ile ilgili iki lemma verelim.
Lemma 5.7.2: U (C ) = {(0, m ) : m Î M } olsun. U (C ) , C cebirinin bir abelyen idealidir,
C 2 = U (C ) ve C metabelyen bir cebirdir.
İspat: C vektör uzayında tanımlı (5.13) ifadesinde çarpma işleminden kolaylıkla ve
C 2 = U (C ) olduğu görülebilir. Ayrıca buradan her a, b, c, d Î C için ( a o b) o (c o d ) = 0
olup C metabelyen bir cebir olduğu elde edilir.
Lemma 5.7.3: C cebiri bir Lie cebiridir.
İspat: Anti komütatiflik özelliği (5.13) ifadesinden sağlanır. Jakobi özelliğinin sağlandığını gösterelim. C cebirinin elemanlarının bir x = (v1 , m1 ), y = (v2 , m2 ) ve z = (v3 , m3 ) üçlüsünü düşünelim. Çarpma işleminin tanımından
( x o y ) o z = (0, (v1v2 )v3 + (m1 × v2 ) × v3 - (m2 × v1 ) × v3 )
( y o z ) o x = (0, (v2v3 )v1 + (m2 × v3 ) × v1 - (m3 × v2 ) × v1 )
( z o x ) o y = (0, (v3v1 )v2 + (m3 × v1 ) × v2 - (m1 × v3 ) × v2 )
olup buradan ( x o y ) o z + ( y o z ) o x + ( z o x ) o y = (0, (v1v2 )v3 + (v2 v3 )v1 + (v3 v1 )v2 ) elde edilir.
Şimdi X È Y kümesinin harfleri ile yazılan tüm monomiallerin kümesi için
(v1v2 )v3 + (v2 v3 )v1 + (v3v1 )v2 = 0
(5.14)
olduğunu ispatlayalım.
Bunu ispatlamak için sadece X È Y baz kümesinin elemanları için sağlandığını
göstermek yeterli olacaktır. v1 , v2 , v3 Î X È Y olsun. İlk olarak v1 , v2 ve v3 elemanlarının
ya X kümesinin ya da Y kümesinin elemanları olduğunu varsayalım. Bu durumda A ve
B Lie cebirlerinde Jakobi özelliği sağlandığından (v1v2 )v3 + (v2 v3 )v1 + (v3 v1 )v2 = 0 olur.
120
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Şimdi vi , i Î {1, 2, 3} elemanları hem X kümesinin hem de Y kümesinin elemanları ile
yazılan monomialler olsun. Genelliği kaybetmeksizin v1 = xi1 , v2 = xi2 ve v3 = y j olsun. O
zaman (5.14) ifadesi yeniden düzenlenirse
(v1v2 ) v3 + ( v2 v3 )v1 + (v3 v1 )v2 = ( xi1 xi2 ) y j + ( xi2 y j ) xi1 - ( xi1 y j ) xi2
elde edilir. Burada mümkün olan üç durum vardır.
(i) xi1 = xi2
(ii) xi1 > xi2
(iii) xi2 > xi1
Şimdi bu durumları inceleyelim.
(i) xi1 = xi2 ise
xi1 xi2 = 0 ve ( xi2 y j ) × xi1 = ( xi1 y j ) × xi2
olup buradan
( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 - ( xi1 y j ) × xi2 = 0 + 0 = 0
elde edilir.
(ii) xi1 > xi2 ise
( xi1 y j ) × xi2 = ( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1
olup buradan
121
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 - ( xi1 y j ) × xi2 = ( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 - (( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 ) = 0
elde edilir.
(iii) xi2 > xi1 ise
( xi2 y j ) × xi1 = ( xi1 y j ) × xi2 - ( xi1 xi2 ) × y j
olup buradan
( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 - ( xi1 y j ) × xi2 = ( xi1 xi2 ) × y j + ( xi1 y j ) × xi2 - ( xi1 xi2 ) × y j - ( xi1 y j ) × xi2
= ( xi1 xi2 ) × y j - ( xi1 xi2 ) × y j + ( xi1 y j ) × xi2 - ( xi1 y j ) × xi2
= ( xi1 xi2 ) × y j + ( xi2 y j ) × xi1 - ( xi1 y j ) × xi2
= 0+0 = 0
elde edilir. O halde
(v1v2 )v3 + (v2 v3 )v1 + (v3 v1 )v2 = 0
olduğu ispatlanmış olur. Ayrıca Lemma 5.7.2’den metabelyenlik özelliği sağlandığından
C cebiri metabelyen bir Lie cebiridir.
A ve B metabelyen Lie cebirlerinin A * B metabelyen çarpımını düşünelim.
Açıkça görüldüğü gibi X È Y È Z1 È Z 2 kümesi A * B metabelyen çarpımının bir üreteç
kümesidir. A * B metabelyen çarpımının kategorik tanımı y : A * B ® C doğal homomorfizminin varlığını sağlar.
122
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Şimdi y : A * B ® C doğal homomorfizmi ile ilgili bir teorem verelim
Teorem 5.7.1:
1) y : A * B ® C doğal homomorfizmi bir izomorfizmdir.
2) y (( A * B)2 ) @ U (C ) @ M
3) A 2 komütatör alt cebiri RX ÈY - modül ( A * B )2 komütatör alt cebirinin M 1 modülüne
izomorfik bir alt modülünü üretir.
4) A 2 komütatör alt cebiri RX ÈY - modül ( A * B )2 komütatör alt cebirinin M 2 modülüne
izomorfik bir alt modülünü üretir.
5) RX ÈY - modül ( A * B ) 2 / ( M 1 Å M 2 ) bölüm modülü M 0 modülüne izomorfiktir.
İspat:
1) C metabelyen Lie cebirinin bir doğal toplamsal bazını ve bu doğal toplamsal bazın
A * B metabelyen çarpımındaki ters görüntüsünü düşünelim. Bu ters görüntü A * B meta-
belyen çarpımı için bir toplamsal üreteç kümesi olur (Artamonov, 1972). Bu yüzden y
doğal homomorfizmi bir izomorfizmdir.
2) Homomorfizmin tanımından ve 1)’den y : A * B ® C doğal homomorfizminin izomorfizm olduğu göz önünde bulundurulursa
y (( A * B)2 ) = y (( A * B)( A * B)) = y (( A * B))y (( A * B)) = C o C = C 2 = U (C )
olup
y (( A * B)2 ) @ U (C ) @ M
elde edilir.
123
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
3) 2) ve ( A * B )2 komütatör alt cebirinin yapısından A 2 komütatör alt cebiri RX ÈY - modül
( A * B )2 komütatör alt cebirinin M 1 modülüne izomorfik bir alt modülünü ürettiği açık bir
şekilde görülür.
4) 2) ve ( A * B )2 komütatör alt cebirinin yapısından B 2 komütatör alt cebiri RX ÈY - modül
( A * B )2 komütatör alt cebirinin M 2 modülüne izomorfik bir alt modülünü ürettiği açık bir
şekilde görülür.
5) 2) ve Lemma 5.7.1’den ( A * B ) 2 / ( M 1 Å M 2 ) @ M / ( M 1 Å M 2 ) @ M 0 elde edilir.
Teorem 5.7.2: A ve B K cismi üzerinde abelyen Lie cebirleri olsun. RX ÈY - modül
( A * B )2 komütatör alt cebiri M 0 modülüne izomorfiktir.
İspat: A ve B abelyen Lie cebirleri ise A2 = 0 ve B 2 = 0 olur. Bu ise A @ A = A / A2 ve
B @ B = B / B 2 olduğunu gösterir ve M 1 = A2 Ä RX RX ÈY ve M 2 = B 2 Ä RY RX ÈY olup
M 1 = M 2 = 0 olduğu elde edilir. Dolayısıyla Teorem 5.7.1’den ( A * B ) 2 @ M 0 olur.
Önerme 5.7.1: A ve B K cismi üzerinde sıfırdan farklı metabelyen Lie cebirleri olsun.
A * B metabelyen çarpımın Fitting radikali ile A * B metabelyen çarpımınım komutatör alt
cebiri aynıdır. Yani; Fit ( A * B) = ( A * B)2 olur.
İspat: Her metabelyen Lie cebirinin Fitting radikali komutatör alt cebirini içerdiğinden
Fit ( A * B) Ê ( A * B)2 olur. O halde Fit ( A * B) Í ( A * B)2 olduğunu göstermek yeterlidir.
a Î Fit ( A * B ) ve a Ï ( A * B) 2 olduğunu kabul edelim. xi Î X ve y j Î Y sırasıyla X ve
Y kümelerinin en küçük elemanları olmak üzere bir c = xi y j elemanını düşünelim. v1 ve
v2 sırasıyla X ve Y kümesinin bir lineer kombinasyonu ve m Î ( A * B)2 olmak üzere
K a ¹ 0 olur.
a = v1 + v2 + m olsun. c = xi y j Î A * B ve a Ï ( A * B) 2 varsayımından c a{
n tan e
124
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Buradan a, ca Î id A á añ olduğundan id A á añ nilpotent bir ideal olamaz yani; a Ï Fit ( A * B )
elde edilir. Bu ise a Î Fit ( A * B ) olması ile çelişir. O zaman kabulümüz yanlıştır. O halde
a Î ( A * B) 2 olmak zorundadır.
Fit ( A * B) = ( A * B)2 olması A * B metabelyen çarpımı için bir yarıbölge ve bir kesin yarıbölge olma özelliklerinin aynı olduğunu gösterir.
Teorem 5.7.1 ile ( A * B )2 komütatör alt cebirinin yapısı RX ÈY - modül M 0 , M 1 ve
M 2 üçlüsü ile tanımlanmıştı. Genel olarak M 1 ve M 2 modüllerinin aksine M 0 torsiyon
serbest bir modüldür. Yine de M 1 ve M 2 modülleri ile ilgili aşağıdaki lemma geçerlidir.
Lemma 5.7.4: A , K cismi üzerinde metabelyen bir Lie cebiri olsun. A 2 komütatör alt
cebirininin lineer torsiyon serbest modül olduğunu varsayalım. Bu durumda M 1 lineer
torsiyon serbest modül olur.
İspat: Herhangi bir 0 ¹ u Î M 1 elemanını ve bir f Î RX ÈY lineer polinomunu düşünelim.
a i Î K olmak üzere f Î RX ÈY lineer polinomu
f = å a i xi + å b j y j
iÎI
jÎI
formundadır. u Î M 1 elemanında sadece Y kümesinin harflerini içeren en büyük
a Ä y gj11 y gj22 K y gjtt , 0 ¹ a Î A2
basit tensörünü alalım. Kabul edelim ki
åb
jÎI
j
y j ¹ 0 ve y jn ,
åb
jÎI
j
y j lineer kombinasyonu
oluşturan harfler arasında katsayısı sıfırdan farklı en büyük indisli harf olsun. O zaman
u × f çarpımında
125
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
b j a Ä y gj11 y gj22 K y gjtt × y jn
basit tensörü sıfırdan farklı ve sadeleştirilemezdir.
Şimdi
åb
jÎI
j
y j = 0 olduğunu varsayalım. Dolayısıyla
åa x
iÎI
i i
¹ 0 olur. Buradan A 2
komütatör alt cebiri lineer torsiyon serbest modül olduğundan
a × å a i xi ¹ 0
iÎI
elde edilir. Dolayısıyla u × f çarpımında
(a × å a i xi ) Ä y gj11 y gj22 K y gjtt
iÎI
basit tensörü sıfırdan farklı ve sadeleştirilemezdir. Bu yüzden u × f ¹ 0 olur. O halde M 1
lineer torsiyon serbest modül olur.
Teorem 5.7.3: A ve B K cismi üzerinde sıfırdan farklı metabelyen Lie cebirleri olsun. O
zaman A * B metabelyen çarpımının bir kesin yarıbölge olması için gerek ve yeter koşul
A ve B metabelyen Lie cebirlerinin her birinin ya abelyen ya da kesin yarıbölge olması-
dır.
İspat: Yukarıda belirtildiği gibi A * B metabelyen çarpımı için bir yarıbölge olma özelliği
ile kesin yarıbölge olma özelliği eşdeğerdir. A ve B sıfırdan farklı metabelyen Lie cebirleri olduğundan 0 ¹ x Î A Í A * B ve 0 ¹ y Î B Í A * B için 0 ¹ xy Î ( A * B) 2 olup A * B
metabelyen çarpımı abelyen olamaz. O zaman A * B metabelyen çarpımının bir yarıbölge
olması için gerek ve yeter koşul ( A * B )2 komütatör alt cebirinin lineer torsiyon serbest
modül olmasıdır.
126
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
(Þ:) A metabelyen Lie cebiri ne abelyen ne de bir kesin yarıbölge olsun. Teorem
5.2.1’den
A2
komütatör alt cebiri lineer torsiyon serbest modül değildir yani;
x Î A2 , y Ï A2 ve xy = 0 olacak biçimde sıfırdan farklı x Î A ve y Î A elemanları vardır.
Buradan x Î ( A * B) 2 , y Ï ( A * B) 2 ve xy = 0 olup bu ise ( A * B )2 komütatör alt cebirinin
lineer torsiyon serbest modül olmadığını gösterir. Bu yüzden A * B metabelyen çarpımı
Teorem 5.2.1’den bir kesin yarıbölge olamaz buna bağlı olarak da bir yarıbölge olamaz.
(Ü:) A ve B metabelyen Lie cebirlerinin her biri ya abelyen ya da kesin yarıbölge olsun.
Bu yüzden A 2 ve B 2 komütatör alt cebirleri lineer torsiyon serbest modüldür.
Şimdi ( A * B )2 komütatör alt cebirinin lineer torsiyon serbest olduğunu gösterelim.
0 ¹ c Î ( A * B) 2 ve bir f Î RX ÈY lineer polinomunu düşünelim. a i Î K olmak üzere
f Î RX ÈY lineer polinomu
f = å a i xi + å b j y j
iÎI
jÎI
formundadır. c × f ¹ 0 olduğunu göstermek yeterlidir.
Eğer A ve B metabelyen Lie cebirlerini abelyen ise bu durumda Teorem 5.7.2’den
( A * B ) 2 @ M 0 olur. Buradan c Î M 0 ve M 0 torsiyon serbest bir modül olduğundan
c × f ¹ 0 elde edilir.
A ve B metabelyen Lie cebirleri bir kesin yarıbölge olsun. c Ï M 0 olup
c Î M1 Å M 2 olur. Bundan dolayı c elemanı
c = u + v, u Î M 1 , v Î M 2
formunda yazılabilir. Lemma 5.7.4’ten dolayı M 1 ve M 2 lineer torsiyon serbest modüller
olduğundan ya u × f ¹ 0 ya da v × f ¹ 0 sonucuna ulaşılır ve M 1 Ç M 2 = {0} olduğu için
127
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
c × f = (u + v ) × f = u × f + v × f ¹ 0
olduğu elde edilir.
5.8. Örnekler
Bu alt bölümde Lie cebirleri için sıfır bölen, yarıbölge ve kesin yarıbölge kavramları ile ilgili örnekler vereceğiz.
Örnek 5.8.1: gl (n, K ) / sl ( n, K ) bölüm cebirinin her elemanı bir sıfır bölendir ve bu bölüm Lie cebiri bir yarıbölgedir.
Çözüm: Öncelikle K cisminin her x, y Î K için x o y = 0 çarpımı ile kendi üzerinde bir
Lie cebiri olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Yani; K cismi abelyen bir Lie cebiridir. Dolayısıyla K cisminin her elemanı bir sıfır bölen olur. Ayrıca Fit ( K ) = K olup D ( K ) = Fit ( K )
olur. Dolayısıyla K cismi bir yarıbölge olur. Şimdi tr : gl ( n, K ) ® K iz dönüşümünü düşünelim. Her x, y Î gl ( n, K ) için tr( x o y ) = tr( x × y - y × x) = tr( x × y ) - tr( y × x) = 0 ve
trx o try = 0 olduğundan tr( x o y ) = trx o try elde edilir. tr dönüşümünün lineer bir dönü-
şüm olduğu kolayca gösterilebilir. O halde trx iz dönüşümü bir Lie homomorfizmidir. Her
f Î K için trx = f olacak biçimde bir x Î gl ( n, K ) elemanı vardır. Yani; tr iz dönüşümü
örtendir. x Î ker(tr) ise tr(x)=0 olup x Î sl ( n, K ) ve x Î sl ( n, K ) ise tr( x) = 0 olup
x Î ker(tr) elde edilir. Buradan ker(tr) = sl ( n, K ) olup 1.izomorfizm teoreminden
gl ( n, K ) / sl ( n, K ) @ Im(tr) = K
bulunur. O halde gl (n, K ) / sl ( n, K ) bölüm cebirinin her elemanı bir sıfır bölen ve bu bölüm cebirinin bir yarıbölge olduğu gösterilmiş olur.
128
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Örnek 5.8.2: A , K cismi üzerinde sıfırdan farklı bir Lie cebiri olsun. Eğer Z ( A) ¹ {0} ise
herhangi bir 0 ¹ x Î A elemanı bir sıfır bölendir.
Çözüm: Herhangi bir 0 ¹ x Î A elemanını alalım. A Lie cebirinin x elemanı tarafından
üretilen id A á xñ idealini düşünelim. 0 ¹ y Î A elemanı y Î Z ( A) olacak şekilde seçilirse
id A á y ñ , 1-boyutlu bir K - vektör uzayı olur. Çünkü id A á y ñ , A Lie cebirinin y elemanı
ile başlayan monomiallerin ürettiği K - vektör uzayı yani; a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , K , cn , K Î A
olmak üzere y , ya1 , yb1b2 , K , yc1c2 , K , cn , K monomialleri tarafından üretilen K - vektör uzayı ve her a Î A için ya = 0 olduğundan id A á y ñ , y tarafından üretilen K - vektör
uzayı olur. H kümesi K cisminin elemanlarının çarpımının bir koleksiyonu ve a h Î K
olmak üzere
id A á xñ o id A á yñ = id A á xñ o span { y} = id A á xñ o ( å a h y ) = å a h (id A á xñ o y ) = å a h o 0 = 0
hÎH
hÎH
hÎH
elde edilir.
Örnek 5.8.3: A nilpotentlik sınıfı n pozitif sayısı olan K cismi üzerinde sıfırdan farklı
bir nilpotent Lie cebiri olsun. Bu durumda herhangi bir 0 ¹ x Î A elemanı bir sıfır bölendir.
Çözüm: A sıfırdan farklı bir nilpotent Lie cebiri olduğundan Lemma 2.11.1’den
Z ( A) ¹ {0} olur. Örnek 5.8.2’den herhangi bir 0 ¹ x Î A elemanı bir sıfır bölendir.
Örnek 5.8.4: A , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Fit ( A) Fitting radikalinin her
elemanı bir sıfır bölendir.
129
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Çözüm: Herhangi bir x Î Fit ( A) elemanını düşünelim. O zaman id A á xñ ideali A Lie cebirinin nilpotent bir idealidir. x Î id A á xñ olduğundan ve Örnek 5.8.3’ten nilpotent bir idealin her elemanı sıfır bölen olduğundan x Î Fit ( A) elemanı da bir sıfır bölen olur.
Örnek 5.8.5: A , K cismi üzerinde dim A2 = 1 , A2 Ë Z ( A) , Lie çarpım tablosu
x o y = x, x o z = 0, y o z = 0 ile tanımlı ve 2 - boyutlu abelyen olmayan Lie cebiri ile 1 -
boyutlu Lie cebirinin direkt toplamı yani; A = span { x, y} Å span { z} olacak biçimde bir
{ x,
y, z} baz kümesine sahip 3 - boyutlu Lie cebiri olsun. Bu durumda A Lie cebirinin
sıfırdan farklı her elemanı bir sıfır bölen olur.
Çözüm: A Lie cebirinin merkezi
Z ( A) = Z ( span { x, y}) Å Z ( span { z})
= {0} Å span { z}
= span { z} ¹ {0}
olup Örnek 5.8.2’den A Lie cebirinin sıfırdan farklı her elemanı bir sıfır bölen olur.
Örnek 5.8.6: A , K cismi üzerinde nilpotent bir Lie cebiri olsun. O zaman A nilpotent
Lie cebiri bir yarıbölge olur.
Çözüm: Örnek 5.8.3’ten A nilpotent Lie cebirinin her elemanı bir sıfır bölen olduğundan
D ( A) = A olur. Herhangi bir x Î D ( A) alalım. x Î A olup id A á xñ Í A elde edilir. A nil-
potent bir Lie cebiri olduğundan id A á xñ nilpotent bir ideal olur. Sonuç 5.1.2’den
x Î Fit ( A) olur. Buradan D ( A) Í Fit ( A) olur ve her A Lie cebiri için Örnek 5.8.4’ten
Fit ( A) Í D ( A) olduğundan D ( A) = Fit ( A) elde edilir. Yani; A nilpotent Lie cebiri bir
yarıbölge olur.
130
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Örnek 5.8.7: A , K cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer A / Z ( A) bölüm Lie cebiri
nilpotent ise gl ( A) genel Lie cebirinin her elemanının sıfır bölen olduğu bir alt cebiri vardır ve bu alt cebir bir yarıbölgedir.
Çözüm: ad : A ® gl ( A) adjoint dönüşümünü düşünelim.
x Î Ker ( ad ) Þ adx = 0
Þ "y Î A, adx( y ) = 0
Þ "y Î A, x o y = 0
Þ x Î Z ( A)
Þ Ker ( ad ) Í Z ( A)
ve
x Î Z ( A) Þ "y Î A, x o y = 0
Þ "y Î A, adx( y ) = 0
Þ adx = 0
Þ x Î Ker ( ad )
Þ Z ( A) Í Ker ( ad )
olup
Z ( L ) = Ker ( ad )
elde edilir. 1. izomorfizm teoreminden
A / Z ( A) = A / Ker ( ad ) @ Im ( ad )
131
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olur. Im( ad ) £ gl ( A) ve A / Z ( A) bölüm cebiri nilpotent olduğundan Örnek 5.8.3’ten
Im( ad ) alt cebirinin her elemanı sıfır bölen ve Örnek 5.8.6’dan Im( ad ) alt cebiri bir yarı-
bölge olur.
Örnek 5.8.8: A , K cismi üzerinde metabelyen bir Lie cebiri olsun. A metabelyen Lie
cebirinin x Î A2 ve x o y = 0 olacak şekildeki sıfırdan farklı x ve y elemanlarını düşünelim. O zaman ( x, y ) , A metabelyen Lie cebirinin bir sıfır bölen çifti olur.
Çözüm: Her a Î A için a o y Î A2 olup ve x Î A2 olduğundan metabelyenlik özelliğinden
ayx = 0 elde edilir. O halde (5.3) ifadesi sağlanmış olup ( x, y ) , A metabelyen Lie cebiri-
nin bir sıfır bölen çifti olur.
Örnek 5.8.9: A , K cismi üzerinde her a , b Î A için (a o b) o b = 0 olacak biçimde bir Lie
cebiri olsun. Bu durumda A Lie cebiri bir yarıbölgedir.
Çözüm: KarK ¹ 3 olduğunu varsayalım. a, b, c Î A alalım. ( a o (b + c)) o (b + c ) = 0 olur
ve ( a o b) o c = -( a o c) o b olduğu elde edilir. Dolayısıyla ( y o z ) o x = - ( y o x) o z = ( x o y ) o z
ve ( z o x) o y = -( z o y ) o x = ( y o z ) o x = -( y o x) o z = ( x o y ) o z olup Jakobi özelliğinden her
x, y , z Î A için ( x o y ) o z + ( y o z ) o x + ( z o x) o y = 0 olduğundan 3(( x o y ) o z ) = 0 elde
edilir ve KarK ¹ 3 olup ( x o y ) o z = 0 yani; A3 = {0} olarak bulunur. O halde A nilpotent
bir Lie cebiri olup Örnek 5.8.6’dan bir yarıbölge olur.
Şimdi KarK = 3 olduğunu varsayalım. İlk olarak A Lie cebirinin metabelyen bir
Lie cebiri olduğunu gösterelim. A Lie cebirinin herhangi bir x, y , z ve t dörtlüsününü
düşünelim. Jakobi özelliğinden ve KarK = 3 olduğundan
132
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
( x o y ) o ( z o t ) = ((( x o y ) o z ) o t ) - ((( x o y ) o t ) o z )
= ((( x o y ) o z ) o t ) + ((( x o y ) o z ) o t )
= 2((( x o y ) o z ) o t )
= -((( x o y ) o z ) o t )
ve benzer şekilde
( z o t ) o ( x o y ) = -((( z o t ) o x) o y )
elde edilir. Şimdi ((( x o y ) o z ) o t ) = ((( z o t ) o x) o y ) olduğunu gösterelim.
(( x o y ) o z ) o t = -( z o ( x o y )) o t
= ( z o t ) o ( x o y)
= -(( z o t ) o y ) o x
= (( z o t ) o x ) o y
olur. Buradan
( x o y) o ( z o t ) = ( z o t ) o ( x o y)
elde edilir. Sonuç olarak
( x o y ) o ( z o t ) = -( z o t ) o ( x o y )
olup
2( x o y ) o ( z o t ) = 0
133
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
elde edilir. KarK = 3 olduğundan ( x o y ) o ( z o t ) = 0 olduğu elde edilir. O halde A Lie
cebiri metabelyen bir Lie cebiridir.
Herhangi bir u Î A elemanı alalım. v Î A elemanı w Î A olmak üzere v = wo u
şeklinde seçilirse, u o v = u o ( w o u ) = 0 ve wu Î A2 olup (u , v ) çifti A Lie cebirinin bir
sıfır bölen çifti olur. Dolayısıyla bu Lie cebirinin her elemanı bir sıfır bölendir yani;
D ( A) = A olur. Örnek 5.8.4’ten FitA Í D ( A) olduğunu biliyoruz. Şimdi D ( A) Í FitA
olduğunu gösterelim. D ( A) = A ve her a , b Î A için (a o b) o b = 0 ve (b o a) o a = 0 olduğundan Lemma 5.1.5’ten a, b Î Fit ( A) olur. Yani; D ( A) Í FitA olup D ( A) = FitA olduğu elde edilir.
Örnek 5.8.10: A , K cismi üzerinde takdimi A = á a1 , a2 , a3 | a1 o a2 o a3 = 0ñ A 2 olan bir
metabelyen Lie cebiri olsun. Bu durumda A metabelyen Lie cebiri bir yarıbölge değildir.
Çözüm: x = a1 o a2 ve y = a3 alalım. x Î A2 , y Ï A2 ve x o y = 0 olup ( x, y ) çifti A metabelyen Lie cebirinin bir sıfır bölen çiftidir. Sıfırdan farklı bir a3 a1a3 a3 K a3 ¹ 0 sol normal çarpımını düşünelim. Buradan görüldüğü gibi id A á a3 ñ ideali nilpotent bir ideal değildir yani; a3 Ï Fit ( A) olur. O halde y Î D ( A) ve y Ï Fit ( A) olup D ( A) Ë Fit ( A) olur.
Dolayısıyla A metabelyen Lie cebiri bir yarıbölge değildir.
Örnek 5.8.11: A , Lie çarpımı x o y = x ile tanımlı { x, y} baz kümesine sahip K cismi
üzerinde 2 - boyutlu bir Lie cebiri olsun. O zaman A Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur.
Çözüm: Herhangi bir 0 ¹ a Î A elemanını alalım. A Lie cebirinin a elemanı tarafından
üretilen id A á añ idealini düşünelim. a1 , a 2 Î K olmak üzere a Î L elemanı a = a1 x + a 2 y
şeklindedir. 0 ¹ a Î A olduğu için a1 Î K ve a 2 Î K katsayılarından en az biri sıfırdan
farklıdır. O zaman id A á añ ideali için 3 durum geçerli olur.
134
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
1) Eğer a1 = 0 ve a 2 ¹ 0 ise a = a 2 y olup id A á añ = A olur.
2) Eğer a1 ¹ 0 ve a 2 = 0 ise a = a1 x olup id A á añ = span { x} = A2 olur.
3) Eğer a1 ¹ 0 ve a 2 ¹ 0 ise id A á añ = A olur.
Yani; A Lie cebirinin a elemanı tarafından üretilen id A á añ idealini ya A ya da A 2 olur.
Şimdi herhangi iki 0 ¹ a, b Î A elemanını alalım ve A Lie cebirinin a ve b elemanları
tarafından üretilen id A á añ ve id A ábñ ideallerinin id A á añ o id A ábñ çarpımını için
1) id A á añ o id A á bñ = A o A = A2 = span { x} ¹ {0}
2) id A á añ o id A ábñ = A o A2 ¹ {0}
3) id A á añ o id A ábñ = A2 o A ¹ {0}
4) id A á añ o id A ábñ = A2 o A2 = {0}
durumları geçerlidir. Buradan açıkça görüldüğü gibi
D ( A) = A2
olup A Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur.
Ya da; A metabelyen bir Lie cebiri olduğundan lineer bağımsız bir modülo A 2
kümesinin maksimal bir M Í A sistemini alalım. Açıkça görüldüğü gibi M sistemi tek
elemanlıdır ve M = {a } diyelim. O zaman A 2 komütatör alt cebiri R = K [ x ] polinomlar
halkası üzerinde bir modül yapısına sahiptir. Şimdi herhangi bir 0 ¹ c Î A2 elemanı ve bir
f Î R lineer polinomunu düşünelim. a Î K olmak üzere f Î R lineer polinomu f = a x
formundadır.
c × f = c × (a x ) = a (c × x ) = a (c o a ) ¹ 0
135
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
ve açıkça görüldüğü gibi A Lie cebiri abelyen olmadığından Teorem 5.2.1’den A Lie
cebiri bir kesin yarıbölge olur. Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den A Lie cebiri bir yarıbölge
olur.
Örnek 5.8.12: A , K cismi üzerinde bir Heinsenberg cebiri olsun. O zaman A Heinsenberg cebiri bir yarıbölgedir.
Çözüm: Açıkça görüldüğü gibi Heinsenberg cebiri metabelyen bir Lie cebiridir. Heinsenberg cebirinde bir metabelyen Lie cebiri için (5.3) ifadesinde verilen ( x, y ) çiftinin bir
sıfır bölen çifti olması için gerekli koşullardan biri olan
her a Î A için ( a o x) o y = 0
koşulu kaldırılabilir. l1 , l2 , l3 , a1 , a 2 a 3 , b1 , b 2 , b 3 Î K olmak üzere a, x ve y elemanı
sırasıyla a = l1 f + l2 g + l3 z , x = a1 f + a 2 g + a 3 zf o g = z ve y = b1 f + b 2 g + b 3 z
şeklindedir. Buradan
a o x = (l1 f + l2 g + l3 z ) o (a1 f + a 2 g + a3 z )
= l1a 2 ( f o g ) - l2a1 ( f o g )
= (l1a 2 - l2a1 )( f o g )
= (l1a 2 - l2a1 ) z
ve
(a o x ) o y = (l1a 2 - l2a1 ) z o ( b1 f + b 2 g + b 3 z ) = 0
elde edilir. Yani; herhangi bir 0 ¹ x Î A elemanı verildiğinde x o y = 0 olacak şekilde bir
0 ¹ y Î A elemanı bulunabiliyorsa ( x, y ) çifti Heinsenberg cebiri için bir sıfır bölen çifti
olur. y = x olarak alınırsa x o x = 0 olup Heinsenberg cebirinin her elemanı bir sıfır bölen
136
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
olur. Ayrıca her a Î A için a o A2 = {0} olduğundan Lemma 5.1.5’ten a Î Fit ( A) olur. O
zaman D ( A) = Fit ( A) olup Heinsenberg cebiri bir yarıbölge olur.
Ya da; A3 = {0} olduğundan A Heinsenberg cebiri nilpotent bir Lie cebiri olup
Örnek 5.8.6’dan bir yarıbölge olur.
Örnek 5.8.13: L , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde bir Lie cebiri ve dim L2 = 2 olsun.
{ y, z} ,
L2 komütatör alt cebiri için bir baz kümesi ve bu baz kümesinin elemanları adx
dönüşümünün öz vektörleri olacak biçimde bir x Ï L2 için adx : L2 ® L2 dönüşümünün
köşegenleştirilebilir olduğunu varsayalım. adx dönüşümünün L2 komütatör alt cebirinin
æ1 0 ö
{ y, z} baz kümesine göre matrisi ç
÷ , 0 ¹ b Î £ ise L Lie cebiri bir kesin yarıbölge
è0 b ø
olur.
Çözüm: adx dönüşümünün L2 komütatör alt cebirinin { y , z} baz kümesine göre matrisi
æ1 0 ö
ç 0 b ÷ , 0 ¹ b Î £ olduğundan L , Lie çarpım tablosu x o y = y , x o z = b z , y o z = 0 ile
è
ø
tanımlı bir Lie cebiridir. Açıkça görüldüğü gibi L Lie cebiri metabelyen bir Lie cebiridir.
Sadece y , z Î L2 için y o z = 0 ve ( x o y ) o z = 0 , ( y o y ) o z = 0 , ( z o y ) o z = 0 olup (5.3)
ifadesi sağlanır. O halde D ( L) = L2 olup L Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur.
Ya da; lineer bağımsız bir modülo L2 kümesinin maksimal bir M Í L sistemini
alalım. Açıkça görüldüğü gibi M sistemi tek elemanlıdır ve M = {a } diyelim. O zaman
L2 komütatör alt cebiri R = K [ x ] polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısına sahiptir.
Şimdi herhangi bir 0 ¹ c Î L2 elemanını ve bir f Î R lineer polinomunu düşünelim.
a Î K olmak üzere f Î R lineer polinomu f = a x formundadır.
c × f = c × (a x ) = a (c × x ) = a (c o a ) ¹ 0
137
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
ve L Lie cebiri abelyen olmadığından Teorem 5.2.1’den L Lie cebiri bir kesin yarıbölge
olur. Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den L Lie cebiri bir yarıbölge olur.
Örnek 5.8.14: L , £ karmaşık sayılar cismi üzerinde bir Lie cebiri ve dim L2 = 2 olsun.
{ y, z} ,
L2 komütatör alt cebiri için bir baz kümesi ve y , adx dönüşümünün öz vektörü
olacak biçimde her x Ï L2 için adx : L2 ® L2 dönüşümünün köşegenleştirilemez olduğunu
varsayalım. adx dönüşümünün L2 komütatör alt cebirinin { y , z} baz kümesine göre matæ1 1 ö
risi ç
÷ , 0 ¹ m Î £ ise L Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur.
è0 m ø
æ1 1 ö
Çözüm: L2 komütatör alt cebirinin { y , z} baz kümesine göre matrisi ç
÷ , 0 ¹ m Σ
è0 m ø
ise L , Lie çarpım tablosu x o y = y, x o z = y + m z , y o z = 0 ile tanımlı bir Lie cebiridir.
Açıkça görüldüğü gibi L Lie cebiri metabelyen bir Lie cebiridir. Sadece y , z Î L2 için
y o z = 0 ve ( x o y ) o z = 0 , ( y o y ) o z = 0 , ( z o y ) o z = 0 olup (5.3) ifadesi sağlanır. O halde
D ( L) = L2 olup L Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur.
Ya da; lineer bağımsız bir modülo L2 kümesinin maksimal bir M Í L sistemini
alalım. Açıkça görüldüğü gibi M sistemi tek elemanlıdır ve M = {a } diyelim. O zaman
L2 komütatör alt cebiri R = K [ x ] polinomlar halkası üzerinde bir modül yapısına sahiptir.
Şimdi herhangi bir 0 ¹ c Î L2 elemanını ve bir f Î R lineer polinomunu düşünelim.
a Î K olmak üzere f Î R lineer polinomu f = a x formundadır.
c × f = c × (a x ) = a (c × x ) = a (c o a ) ¹ 0
ve L Lie cebiri abelyen olmadığından Teorem 5.2.1’den L Lie cebiri bir kesin yarıbölge
olur. Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den L Lie cebiri bir yarıbölge olur.
138
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
Örnek 5.8.15: Herhangi bir matris metabelyen Lie cebiri bir yarıbölgedir.
Çözüm: M I , L , değişkenleri { xa : a Î L} değişmeli elemanlar ve katsayıları K cisminin
elemanları olan bir R polinomlar halkası ve bu polinomlar halkası üzerinde baz kümesi
{ui : i Î I }
olan bir T serbest modülü kullanılarak inşa edilen bir matris metabelyen Lie
cebiri olsun. Eğer M I , L matris metabelyen Lie cebiri abelyen ise açıkça görüldüğü gibi
D ( M I , L ) = Fit ( M I , L ) olup bir yarıbölge olur. Şimdi M I , L matris metabelyen Lie cebiri
abelyen olmadığını varsayalım. O zaman Lemma 5.5.1’den Fit ( M I , L ) = M I , L 2 ve Sonuç
5.5.1’den Fit ( M I , L ) Fitting radikali abelyen bir ideal olup R polinomlar halkası üzerinde
bir modül yapısına sahiptir. Her
0 ¹ x, y Î M I , L
için
x Î M I , L2 , y Ï M I , L2
ise
x = (0, u ), u Î T ve y = ( g , v ), 0 ¹ g Î R , v Î T şeklinde olup x o y = (0, ug ) ¹ 0 olur.
Çünkü x o y = (0, ug ) = 0 olsa idi ug = 0 olup buradan g = 0 çelişkisi elde edilirdi. O zaman x o y = (0, ug ) ¹ 0 olmak zorundadır. O zaman Lemma 5.2.2’nin ispatından M I , L 2
komütatör alt cebiri lineer torsiyon serbest modül olur. O halde Teorem 5.2.1’den M I , L
matris metabelyen Lie cebiri bir kesin yarıbölge olur. Ya da; M I , L 2 komütatör alt cebirinin
lineer torsiyon serbest olduğu Lemma 5.5.2’nin ispatına benzer bir şekilde gösterilebilirdi.
Dolayısıyla Açıklama 2.30.1’den M I , L matris metabelyen Lie cebiri bir yarıbölge olur.
139
5. YARIBÖLGELER VE METABELYEN LIE CEBİRLERİNİN METABELYEN
ÇARPIMLARI
Mustafa GÖK
140
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Bu bölümde sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirleri için bir kesin yarıbölge, bir yarıbölge ve bir bölge olma kavramlarını inceleyeceğiz. Sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirleri
için bir kesin yarıbölge ve bir bölge olma kriteri vereceğiz. Genel olarak yarı basit Lie cebirlerinin bir yarıbölge olmadığını göstereceğiz.
6.1. Yarı Basit Lie Cebirlerinde Kesin Yarıbölge, Yarıbölge ve Bölge Kavramları
Lemma 6.1.1: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ve P , L Lie
cebirinin tüm esas ideallerinin kümesi olsun. L Ï P olması için gerek ve yeter koşul L
yarı basit Lie cebirinin her elemanının bir sıfır bölen olmasıdır.
İspat:
(Þ:) L Ï P olduğunu varsayalım. Herhangi bir 0 ¹ x Î L elemanı alalım. L yarı basit
Lie cebirinin x elemanı tarafından üretilen id L á xñ idealini düşünelim. Teorem 2.14.4’ten
id L á xñ ideali yarı basit olup X 1 , X 2 , K , X m L yarı basit Lie cebirinin minimal idealleri
olmak üzere id L á xñ = X 1 Å X 2 Å L Å X m şeklindedir. L Ï P varsayımından id L á xñ ¹ L ve
L yarı basit Lie cebirinin X 1 , X 2 , K , X m minimal ideallerinden farklı en az bir ideali
vardır. Y , L yarı basit Lie cebirinin Y ¹ X1 , X 2 , K , X m olacak şekildeki bir minimal
ideali olsun. 0 ¹ y Î L elemanını y Î Y olacak şekilde alalım. O zaman id L á y ñ ¹ {0} ve Y
minimal ideal olduğundan Tanım 2.13.1’den id L á xñ = Y olur. id L á xñ ve id L á xñ ideallerinin id L á xñ o id L á yñ Lie çarpımı
id L á xñ o id L á yñ = ( X 1 Å X 2 Å L Å X m ) o Y
= X1 o Y + X 2 o Y + L + X m o Y Í X1 Ç Y + X 2 Ç Y + L + X m Ç Y
= X 1 o Y + X 2 o Y + L + X m o Y Í {0} + {0} + L + {0}
= X 1 o Y + X 2 o Y + L + X m o Y = {0}
141
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
olur. O halde L yarı basit Lie cebirinin her elemanı sıfır bölendir yani; D ( L ) = L olur.
(Ü:) L yarı basit Lie cebirinin her elemanının sıfır bölen olduğunu varsayalım. Kabul
edelim ki L Î P olsun. O zaman herhangi bir 0 ¹ x Î L elemanı için id L á xñ = L olur.
L1 , L2 , K , Lm
L
yarı basit Lie cebirinin tüm minimal idealleri olmak üzere
L = L1 Å L2 Å L Å Lm olur. L yarı basit Lie cebirinin her elemanı sıfır bölen olduğundan
id L á xñ o id L á y ñ = {0} olacak şekilde bir 0 ¹ y Î L elemanı vardır. id L á yñ ideali yarı basit
olup Li1 , Li2 , K , Lik
L
yarı basit Lie cebirinin minimal idealleri olmak üzere
id L á yñ = Li1 Å Li2 Å L Å Lik , i1 , i2 , K , ik Î {1, 2, K , m} şeklindedir. id L á xñ ve id L á xñ ideallerinin id L á xñ o id L á yñ Lie çarpımı
id L á xñ o id L á yñ = L o id L á yñ = ( L1 Å L2 Å L Å Lm ) o ( Li1 Å Li2 Å L Å Lik )
= L2i1 Å L2i2 Å L Å L2ik ¹ {0}
olur. Bu ise ( x, y ) çiftinin bir sıfır bölen çifti olması ile çelişir. O zaman kabulümüz yanlıştır. Yani; L Ï P olmak zorundadır.
Sonuç 6.1.1: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ve P , L Lie
cebirinin tüm esas ideallerinin kümesi olsun. L Ï P olması için gerek ve yeter koşul L
yarı basit Lie cebirinin bir kesin yarıbölge olmasıdır.
İspat: L yarı basit Lie cebirinde Teorem 2.14.1’den L2 = L ve Lemma 6.1.1’den
D ( L ) = L olup D ( L) = L2 olduğu elde edilir. Dolayısıyla L yarı basit Lie cebiri bir kesin
yarıbölge olur.
142
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
Lemma 6.1.2: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri ve P , L yarı
basit Lie cebirinin tüm esas ideallerinin kümesi olsun. P kümesinin her bir ( I , J ) ideal
çiftinin minimal ideallere ayrışımında en az bir tane minimal idealinin aynı olması için
gerek yeter koşul L yarı basit Lie cebirinin bir bölge olmasıdır.
İspat:
(Þ:) P kümesinin her bir ( I , J ) ideal çiftinin minimal ideallere ayrışımında en az bir
tane minimal idealinin aynı olduğunu varsayalım. L1 , L2 , K , Lm L yarı basit Lie cebirinin
tüm minimal idealleri olsun. Herhangi iki 0 ¹ x, y Î L elemanını alalım. L yarı basit Lie
cebirinin x ve y elemanlarının tarafından üretilen id L á xñ ve id L á yñ ideallerini düşünelim. Teorem 2.14.4’ten id L á xñ ve id L á xñ idealleri yarı basit olup
Li1 , Li2 , K , Lik , i1 , i2 , K , ik Î {1, 2, K , m}
ve
L j1 , L j2 , K , L jm , j1 , j2 , K , jk Î {1, 2, K , m}
L yarı basit Lie cebirinin minimal idealleri olmak üzere id L á xñ = Li1 Å Li2 Å L Å Lik ve
id L á yñ = L j1 Å L j2 Å L Å L jm şeklindedir.
{L
ik1
}
, Lik , K , Lik : ik1 , ik2 , K , ikm Î {i1 , i2 , K , ik }
m
2
ve
{L
i j1
}
, Li j , K , Li j : i j1 , i j2 , K , i jm Î { j1 , j2 , K , jk }
2
m
143
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
sırasıyla id L á xñ ve id L á xñ ideallerinin minimal ideallere ayrışımlarındaki aynı minimal
ideallerin kümeleri olsun. Şimdi L yarı basit Lie cebirinin id L á xñ ve id L á xñ ideallerinin
id L á xñ o id L á yñ Lie çarpımı
id L á xñ o id L á y ñ = ( Li1 Å Li2 Å L Å Lik ) o ( L j1 Å L j2 Å L Å L jl )
= L2ik Å L2ik Å L Å L2ik ¹ {0}
1
m
2
olur. Dolayısıyla L yarı basit Lie cebiri bir bölge olur.
(Ü:) L yarı basit Lie cebirinin bir bölge olduğunu varsayalım. O zaman herhangi iki
0 ¹ x, y Î L için id L á xñ o id L á y ñ ¹ {0} olur. P kümesinin her bir ( I , J ) ideal çiftinin mi-
nimal ideallere ayrışımında hiç bir minimal idealinin aynı olmadığını varsayalım. . Teorem
2.14.4’ten id L á xñ ve id L á xñ idealleri yarı basit olup
Li1 , Li2 , K , Lik , i1 , i2 , K , ik Î {1, 2, K , m}
ve
L j1 , L j2 , K , L jm , j1 , j2 , K , jk Î {1, 2, K , m}
L yarı basit Lie cebirinin minimal idealleri olmak üzere id L á xñ = Li1 Å Li2 Å L Å Lik ve
id L á yñ = L j1 Å L j2 Å L Å L jm şeklindedir. id L á xñ ve id L á xñ ideallerinin id L á xñ o id L á yñ Lie
çarpımı
id L á xñ o id L á yñ = ( Li1 Å Li2 Å L Å Lik ) o ( L j1 Å L j2 Å L Å L jm )
k
m
k
m
= åå ( Li p o L jq ) Í åå ( Li p Ç L jq ) = {0}
p =1 q =1
p =1 q =1
144
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
olur. Bu ise L yarı basit Lie cebirinin bir bölge olması ile çelişir. O halde P kümesinin
her bir ( I , J ) ideal çiftinin minimal ideallere ayrışımında en az bir tane minimal idealinin
aynı olmak zorundadır.
Önerme 6.1.1: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. L yarı
basit Lie cebirinin sıfır ve kendisinden farklı en az bir ideali olduğunu varsayalım. Bu durumda L yarı basit Lie cebirinin 0 ve sıfır bölenlerini içeren D ( L ) kümesi sıfırdan farklı
olur.
İspat: I , L yarı basit Lie cebirinin sıfır ve kendisinden farklı bir ideali olsun. Bu durumda
Teorem 2.14.7’den L = I Å I ^ olur. Herhangi iki 0 ¹ x, y Î L elemanı x Î I ve y Î I ^
olacak şekilde alınırsa id L á xñ o id L á y ñ = {0} elde edilir. Dolayısıyla ( x, y ) , L yarı basit
Lie cebirinin sıfırdan farklı bir sıfır bölen çiftidir. Yani; D ( L) ¹ {0} olur.
Önerme 6.1.2: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. Bu durumda L yarı basit Lie cebirininin Fitting radikali Fit ( L ) sıfır olur.
İspat: Kabul edelim ki Fit ( L) ¹ {0} olsun. O zaman bir 0 ¹ x Î Fit ( L ) elemanı vardır.
Buradan id L á xñ ¹ {0} ve id L á xñ ideali nilpotent olur. id L á xñ ideali nilpotent olduğundan
aynı zamanda L yarı basit Lie cebirininin çözülebilir bir ideali olur. Bu ise L yarı basit
Lie cebirininin sıfırdan farklı çözülebilir bir ideale sahip olması ile çelişir. O halde
Fit ( L) = {0} olmak zorundadır.
Sonuç 6.1.2: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. L yarı
basit Lie cebirinin sıfır ve kendisinden farklı en az bir ideali olduğunu varsayalım. Bu durumda L yarı basit Lie cebiri bir yarıbölge olamaz.
145
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
İspat: Önerme 6.1.1’den D ( L) ¹ {0} Önerme 6.1.2’den Fit ( L) = {0} olup D ( L ) ¹ Fit ( L )
olur.
Sonuç 6.1.3: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. L yarı
basit Lie cebirinin sıfır ve kendisinden farklı en az bir ideali olduğunu varsayalım. Bu durumda L yarı basit Lie cebiri bir bölge olamaz.
İspat: Önerme 6.1.1’den D ( L) ¹ {0} olup L yarı basit Lie cebiri bir bölge olamaz.
Sonuç 6.1.4: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. Eğer L
yarı basit Lie cebiri bir yarıbölge ise L yarı basit Lie cebiri basit bir Lie cebiridir.
İspat: L yarı basit Lie cebiri yarıbölge ise Sonuç 6.1.2’den L yarı basit Lie cebirinin sıfır
ve kendisinden farklı hiç bir ideale sahip değildir. Bu ise L yarı basit Lie cebirinin basit
bir Lie cebiri olması demektir.
Sonuç 6.1.5: L , K cismi üzerinde sonlu boyutlu bir yarı basit Lie cebiri olsun. Eğer L
yarı basit Lie cebiri bir bölge ise L yarı basit Lie cebiri basit bir Lie cebiridir.
İspat: L yarı basit Lie cebiri bir bölge ise Önerme 6.1.1’den L yarı basit Lie cebirinin
sıfır ve kendisinden farklı hiç bir ideale sahip değildir. Bu ise L yarı basit Lie cebirinin
basit bir Lie cebiri olması demektir.
Önerme 6.1.3: L yarı basit Lie cebiri bir bölge olması için gerek ve yeter koşul L yarı
basit Lie cebirin basit bir Lie cebiri olmasıdır.
İspat:
(Þ:) Sonuç 6.1.5’ten L yarı basit Lie cebiri bir bölge ise L yarı basit Lie cebiri basit bir
Lie cebiridir.
146
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
Mustafa GÖK
(Ü:) Eğer L yarı basit Lie cebirin basit bir Lie cebiri ise Örnek 4.3.2’den L yarı basit Lie
cebiri bir bölgedir.
Açıklama 6.1.1: Lemma 6.1.2’deki “ L yarı basit Lie cebirinin tüm esas ideallerinin kümesinde her bir ideal çiftinin minimal ideallere ayrışımında en az bir tane minimal ideali
aynıdır” koşulundaki minimal ideal Önerme 6.1.3’ten dolayı tektir ve bu minimal ideal L
yarı basit Lie cebiridir.
147
6. YARI BASİT LIE CEBİRLERİNDE SIFIR BÖLENLER
148
Mustafa GÖK
KAYNAKLAR
ARTAMONOV V. A., 1972. Projective Metabelian Lie Algebras of Finite Rank. Izv.
Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 36: pp. 510–522.
_____ , 1977. The Categories of Free Metabelian Groups and Lie Algebras. Comment
Math. Univ. Carolin., 18, No. 1: pp. 142–159.
BAHTURIN YU. A., 1985. Identities in Lie Algebras (in Russian). Nauka, Moscow.
_____ , 1987. Identical Relations in Lie Algebras. First English Edition. VNU Science
Press, Utrecht, The Netherlands, 309 p.
BAUMSLAG G., MIASNIKOV A. G. and REMESLENNIKOV V. N., 1999. Algebraic
Geometry over Groups. I: Algebraic Sets and Ideal Theory. J. Algebra, 219:
pp. 16–79.
BOKUT L. A. and KUKIN G. P., 1994. Algorithmic and Combinatorial Algebra. Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 384 p.
BOURBAKI N., 1972. Elements of Mathematics: Commutative Algebra. Hermann, Paris,
France
_____ , 1975. Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras. Addison-Wesley,
Great Britain, 450 p.
CHIRKOV I. V. and SHEVELIN M. A., 2004. Zero Divisors in Amalgamated Free
Products of Lie Algebras. Siberian Mathematical Journal, Vol. 45, No. 1: pp.
188–195.
DANIYAROVA E. YU., 2004. Elements of Algebric Geometry over Lie Algebras.
Preprint no. 131, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Institute of
Mathematics, Novosibirsk.
DANIYAROVA E. YU., KAZATCHKOV I. V., and REMESLENNIKOV V. N., 2001.
Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebras I: U- Algebras and AModules (in Russian). Preprint No. 34, OmGAU, Omsk.
_____ , 2003a. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebras. I: U- Algebras
and Universal Classes. Fund. Prikl. Mat., Vol. 9, No. 3: pp. 37–63
_____ , 2003b. Algebraic Geometry over Metabelian Lie Algebras II: Finite Field Case.
Fund. Prikl. Mat., Vol. 9, No. 3: pp. 65–87.
149
_____ , 2004. Semidomains and Metabelian Product of Metabelian Lie Algebras. Sovremennaya Matematika i Ee Prilozheniya, Vol. 14, Algebra.
GRAFF W. A. D., 2000. Lie Algebras Theory and Algorithms. First Edition. Elsevier Science, Amsterdam, The Netharlands, 393 p.
HAZEWINKEL M., GUBARENI N. and KIRICHENKO V. V., 2004. Algebras, Rings
and Modules: Volume 1. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netharlands, 380 p.
HUMPHREYS J. N., 1980. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.
Revised Third Edition. Springer-Verlag, New York, The United Stated of America,
171 p.
ERDMANN K. and WILDON M. J., 2006. Introduction to Lie Algebras. Springer, The
United States of America, 251 p.
KAZATCHKOV I. V., 2007. Algebraic Geometry Lie Algebras. London Math. Soc. Notes
347: pp. 34–81.
KUKIN G. P., 1970. On the Cartesian Subalgebra of the Free Lie Sum of Lie Algebras.
Algebra i Logika, 9, No. 6: pp. 701–713.
_____ , 1972. Subalgebras of a Free Product of Lie Algebras with an Amalgamated Subalgebra. Algebra i Logika, 11, No. 1: pp. 59–86.
_____ , 1974. On Subalgebras of the Free Product of Restricted Lie Algebras with an
Amalgamated Subalgebra. Mat. Sb., 95, No. 1: pp. 53–83.
KUROSH A. G., 1947. Nonassociative Free Algebras and Free Products of Algebras. Mat.
Sb., 20: pp. 239–262.
LANG S., Algebra, 2002. Revised Third Edition. Graduate Texts in Mathematics, Vol.
211, Springer, New York.
MAGNUS W., KARRASS A. and SOLITAR D., 1974. Combinatorial Group Theory
(Russian translation). Nauka, Moscow.
MIASNIKOV A. G. and REMESLENNIKOV V. N., 2000. Algebraic Geometry over
Groups. II: Logical Foundations. J. Algebra, 234: pp. 225–276.
SHIRSHOV A. I., 1953. Subalgebras of Free Lie Algebras. Mat. Sb., 33, No. 2: pp.
441–452.
_____ , 1958. On Free Lie Rings. Mat. Sb., 45, No. 2: pp. 113–122.
150
_____ , 1962. On one Conjecture of the Theory of Lie Algebras. Sibirsk. Mat. Zh., 3,
No.2: pp. 297–301.
SHMEL’KIN A. L., 1963. Free Polynilpotent Groups (English translation). Soviet Math.
Dokl, 4: pp. 950-953.
_____ , 1973. Wreath Products of Lie Algebras and Their Applications to Group Theory.
Tr. Moskov. Mat. Obshch., 29: pp. 247–260.
TAUVEL P. and YU R. W. T., 2005. Lie Algebras and Algebraic Lie Groups. Springer,
Germany, 653 p.
WAN Z. X., 1975. Lie Algebras. First Edition. Pergamon Press, Hungary, 231 p.
WARD, M., 1964. Basic Commutators. Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser A, 264:
pp. 343-412.
151
152
ÖZGEÇMİŞ
1989 yılında Gaziantep’in İslahiye ilçesinde doğdu. İlk ve orta öğrenimini
Gaziantep’te sırasıyla Şehit Mahmut Söylemez İlköğretim Okulu ve Hacı Sani Konukoğlu
Lisesi’nde tamamladı. Yükseköğrenimini Adana’da Çukurova Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümü’nde tamamladı. 2010 yılında Çukurova Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilimdalı’nda Yüksek Lisans Programına kayıt oldu. Halen
bu programa kayıtlı öğrencidir.
153