LİE GRUPLARI ÜZERİNDEKİ GÖSTERİMLERİN TANJANT

LİE GRUPLARI ÜZERİNDEKİ GÖSTERİMLERİN TANJANT
DEMETLERE TAŞINMASI
Hülya KADIOĞLU
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2011
ANKARA
Hülya KADIOĞLU tarafından hazırlanan “LĠE GRUPLARI ÜZERĠNDEKĠ
GÖSTERĠMLERĠN TANJANT DEMETLERE TAġINMASI” adlı bu tezin
Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Erdoğan ESĠN
…….…………………….
Tez DanıĢmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora
tezi olarak kabul edilmiĢtir.
Prof. Dr. Baki KARLIĞA
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi.
Prof. Dr. Erdoğan ESĠN
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi.
Prof. Dr. Yusuf YAYLI
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Doç. Dr. F. Nejat EKMEKÇĠ
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi.
Doç. Dr. Aysel VANLI
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Tarih: 17/02/2011
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini
onamıĢtır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…….…………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını
bildiririm.
Hülya KADIOĞLU
iv
LĠE GRUPLARI ÜZERĠNDEKĠ GÖSTERĠMLERĠN TANJANT
DEMETLERE TAġINMASI
(Doktora Tezi)
Hülya KADIOĞLU
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
ġubat 2011
ÖZET
Bu çalıĢmada herhangi bir Lie grubu üzerindeki gösterimler geometrik
yöntemlerle tanjant demete taĢınmıĢ ve bu yöntemlerle tanjant demette oluĢan
cebirsel yapılar ile Lie grubunun cebirsel yapısı arasındaki iliĢkiler elde
edilmiĢtir. Ayrıca elde edilen bu yapılar kullanılarak bir Lie cebirinin tanjant
demetinin üzerinde tanımlı cebirsel yapılar elde edilmiĢ ve böylece Lie cebiri
üzerindeki gösterimler taĢınmıĢtır. Gösterimler ile homojen vektör demetleri
arasındaki bire bir iliĢki kullanılarak, taĢınmıĢ gösterimlere karĢılık gelen
homojen vektör demetleri elde edilmiĢtir.
Bilim Kodu
: 204.1.049
Anahtar Kelimeler : TaĢınma, Tanjant demet, Lie Grubu, Gösterim
Sayfa Adedi
: 111
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Erdoğan Esin
v
PROLONGATIONS OF REPRESENTATIONS OF LIE GROUPS
TO TANGENT BUNDLES
(PhD. Thesis)
Hülya KADIOĞLU
GAZĠ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
February 2011
ABSTRACT
In this study, representations defined on any finite dimensional Lie group G was
prolonged to tangent bundle of G by using geometric methods. Also relations
between algebraic structures of G and the tangent bundle of G were obtained.
By using these structures, algebraic structures on tangent bundles were
obtained and prolongations of representations of Lie algebras are defined. Using
one-to-one correspondence of homogeneous vector bundles and representations,
we obtain corresponding homogeneous bundles of prolonged representations.
Science Code : 204.1.049
Key Words
: Prolongation, Tangent Bundle, Lie Groups, Representations
Page Number : 111
Adviser
: Prof. Dr. Erdoğan Esin
vi
TEġEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla ben yönlendiren Hocam Prof.
Dr. Erdoğan Esin’e, yine kıymetli tecrübelerinden faydalandığım Hocam Prof. Dr.
Baki Karlığa’ya, kısıtlı süresini bana ayıran, beni sabırla dinleyen ve her konuda
yardımlarını esirgemeyen Hocam Prof. Dr. Yusuf Yaylı’ya,
yardımlarını
esirgemeyen Hocam Prof. Dr. Sait Halıcıoğlu’na, bu tezin araştırma aşamasında,
ABD’de araştırma yapmamda bana finansal destek sağlayan Gazi Üniversitesine,
ayrıca her türlü yardımlarıyla araştırmamda bana yardımcı olan Prof. Dr. Tracy L.
Payne ve Idaho State Üniversitesine, manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız
bırakmayan çok değerli aileme ve beni her koşulda destekleyen, çalışma azmi veren
ve motive eden çok değerli eşim Dr. Samet Yücel Kadıoğlu’na teşekkürü bir borç
bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ........................................................................................................................... iv
ABSTRACT .................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR ................................................................................................................. vi
İÇİNDEKİLER ........................................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................... x
1. GİRİŞ ........................................................................................................................ 1
2. TEMEL KAVRAMLAR .......................................................................................... 3
2.1. Lie Grupları ....................................................................................................... 3
2.1.1. Lie grubu ................................................................................................. 3
2.1.2. Lie alt grubu ............................................................................................ 3
2.1.3. Kapalı alt grup......................................................................................... 4
2.1.4. Lie grup homomorfizmi .......................................................................... 4
2.2. Lie Cebirleri ...................................................................................................... 5
2.2.1. Sağ ve sol ötelemeler .............................................................................. 5
2.2.2. Sol invaryant vektör alanı ....................................................................... 5
2.2.3. Lie cebiri ................................................................................................. 7
2.2.4. Lie cebir izomorfizmi ............................................................................. 8
2.3. 1-Parametre Alt grupları ................................................................................... 8
2.3.1. 1-parametre alt grubu .............................................................................. 8
2.3.2. Üstel dönüşüm ........................................................................................ 9
2.3.3. Lie alt cebiri .......................................................................................... 10
2.4. Gösterimler ..................................................................................................... 12
viii
Sayfa
2.4.1. Sonlu boyutlu gösterim ......................................................................... 12
2.4.2. G-invaryant uzay ................................................................................... 12
2.4.3. İndirgenemez gösterim .......................................................................... 13
2.4.4. G-equivaryant dönüşüm ....................................................................... 13
2.4.5. Bir Lie grubunun bir manifold üzerine etkisi........................................ 13
2.4.6. Geçişli etki ............................................................................................ 13
2.4.7. İzotropi grubu........................................................................................ 14
2.4.8. Serbest etki ............................................................................................ 14
2.4.9. Lie grupları için adjoint gösterim.......................................................... 14
2.4.10. Lie cebirleri için adjoint gösterim ....................................................... 15
2.4.11. Denk gösterim ..................................................................................... 15
2.4.12. Gösterimlerin direkt toplamı ............................................................... 16
2.4.13. Lie cebir gösterimi .............................................................................. 21
2.5. Diferensiyellenebilir Lif Demetleri .................................................................. 21
2.5.1. Lifli manifold ........................................................................................ 21
2.5.2. Uyarlanmış koordinat sistemi ............................................................... 22
2.5.3. Trivial lifli manifold ............................................................................. 24
2.5.4. Demet .................................................................................................... 25
2.5.5. Tanjant demetteki vektör uzayı yapısı .................................................. 29
2.5.6. Vektör demeti........................................................................................ 31
2.5.7. Bir vektör demetinin çapraz kesiti ........................................................ 31
2.5.8. Homojen vektör demeti ......................................................................... 36
2.5.9. Asli lif demeti ....................................................................................... 36
ix
Sayfa
2.6. Tanjant Demete Liftler .................................................................................... 36
2.6.1. Fonksiyonların Vertical Liftleri ............................................................ 36
2.6.2. Vertical vektör alanı .............................................................................. 38
2.6.3. Vertical 1-form...................................................................................... 40
2.6.4. Tensör alanlarının vertical lifti .............................................................. 42
2.6.5. Fonksiyonların complete liftleri ............................................................ 42
2.6.6. Vektör alanlarının complete liftleri ....................................................... 43
2.6.7. 1- Formun complete liftleri ................................................................... 45
2.6.8. Tensör alanlarının complete liftleri ....................................................... 45
3. Gösterimlerin Taşınmaları ...................................................................................... 49
3.1. Lie Grupları Üzerindeki Gösterimlerin Taşınmaları ........................................ 49
3.1.1. Gösterimlerin tanjant demete taşınmaları .............................................. 59
3.2. T(Lie(G)) nin Cebirsel Yapısı .......................................................................... 72
3.3. Lie Cebirleri Üzerindeki Gösterimlerin Taşınmaları ....................................... 83
4. HOMOJEN VEKTÖR DEMETLERİ VE GÖSTERİMLER ................................. 86
4.1. Bölüm Uzayı .................................................................................................... 88
4.2. Bölüm Uzayı Üzerindeki Grup Etkisi .............................................................. 90
4.3. T (G / H ) Üzerindeki Homojen Vektör Demeti Yapısı ................................. 106
4.4. T (G / H ) nin İndirgenmiş Etkisi.................................................................... 107
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ...................................................................................... 109
KAYNAKLAR ......................................................................................................... 110
ÖZGEÇMİŞ .............................................................................................................. 111
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
n, n 
Boyutlar
pr1
1. izdüşüm fonksiyonu
pr2
2. izdüşüm fonksiyonu
G,H
Lie Grupları
g,h
Lie Cebirleri
TM
M manifoldunun tanjant demeti
TG
G Lie grubunun tanjant demeti
xi , yi
i. koordinat fonksiyonları
ui
Öklidyen uzaydaki i. Koordinat fonksiyonu
( M )
M üzerindeki tüm vektör alanlarının kümesi
., ,
Riemann Metriği
V,W
Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları

Demet projeksiyonu
( M )
M üzerindeki tensör cebiri
X,Y
Vektör Alanları
vp,wp
Tanjant vektörler
p, q
V vektör uzayının elemanları
xi
Simgeler
Açıklama

Kanonik lineer izomorfizm

TV nin trivializasyonu
i
V nin i. bazı
ei
Öklidyen uzayın standart bazının i. elemanı

TV nin yeni skalar çarpma işlemi

TV nin yeni toplama işlemi
1
1. GİRİŞ
Bir
M
diferensiyellenebilir
manifoldu
verildiğinde,
üzerinde
M
temel
diferensiyellenebilir yapıların diferensiyellenebilir manifoldlara genişletilmesi ve M
üzerindeki geometrik yapılarla diğer diferensiyellenebilir manifoldlar üzerindeki
geometrik yapılar arasındaki ilişki diferensiyel geometri açısından önemli bir
problemdir. Bunun çözümünde, genellikle M üzerinde geometri yapmak için gerekli
bazı diferensiyellenebilir elemanların diğer diferensiyellenebilir manifoldlara
taşınması gerekmektedir. Bu yolla, M ve diğer diferensiyellenebilir manifoldların
geometrisi arasında ilişkiler elde edilebilir.
M manifoldu ile diffeomorfik manifoldlar haricinde, en yakın ilişkisi olan, M’nin
tanjant demetinin total uzayı T(M) dir. Her şeyden önce M üzerinde bir
diferensiyellenebilir yapı T(M) üzerinde de daima diferensiyellenebilir bir yapı
indirgemektedir. Bu nedenle 1966 yılında K. Yano ve S. Kobayashi, M üzerindeki
bazı diferensiyellenebilir elemanları T(M) ye taşımışlardır. Taşınmalarla ilgili 1973
yılında K. Yano ve S. İshihara “Tanjant ve Kotanjant demetler” isimli kitaplarında
complete ve vertical lift tanımlarını Lie grupları üzerinde inceleyerek, bir Lie
cebirinin vertical ve complete liftlerini kullanarak T(G) nin Lie cebirinin elde
edileceğini ifade etmişlerdir.
Öte yandan Lie grubu teorisi, bilindiği üzere hem cebirsel hem de geometrik yapılar
barındırmaktadır.
diferensiyellenebilir
Bundan
eleman
dolayı
Lie
herhangi
grupları
bir
üzerinde
manifolddaki
tanımlı
birçok
diferensiyellenebilir
elemandan farklılık arz etmektedir. Bu nedenle Lie grupları üzerindeki yapıların
tanjant demete liftleri birçok geometrik ve cebirsel objeyi barındırmaktadır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, Lie grupları, Lie grupları
üzerindeki gösterimler, Lie cebirleri, Lie cebirleri üzerindeki gösterimler, demetler
ve liftler ile ilgili önceden bilinen temel kavramlar ve teoremler verilecektir.
Özgün olan üçüncü bölümün ilk kısmında herhangi sonlu boyutlu bir reel vektör
uzayının tanjant demetinin demet trivializasyonunun bir lineer izomorfizm olduğu
2
gösterilecek ve bu bilgiler kullanılarak bu tanjant demetin bazı elde edilecektir.
Morimoto’nun “Prolongations of G-Structures To Tangent Bundles” isimli
makalesinde tanımlanan imbedding kullanılarak, G üzerinde tanımlanan gösterimler,
TG üzerindeki gösterimlere taşınacak ve elde edilen bu yeni gösterim ise G
üzerindeki gösterimin TG ye prolongasyonu olarak adlandırılacaktır. Bununla birlikte
G üzerindeki gösterime karşılık gelen grup etkisinin tanjant dönüşümünün ise TG
üzerinde elde edilen yeni gösterime karşılık geldiği gösterilecek ve bu ifade
kullanılarak denk gösterimlerin prolongasyonlarının da yine denk gösterimler
oldukları gösterilecektir. Bu ifade kullanılarak bir gösterime göre invaryant alt
uzayın tanjant demetinin de, gösterimin taşınmışına göre invaryant olduğu ve bu
ifadenin tersinin de doğru olduğu gösterilecektir. Prolongasyonu indirgenemez olan
bir gösterimin kendisinin de indirgenemez olduğu gösterilecek, tersinin her zaman
doğru olmadığı bir örnekle açıklanacaktır. Ayrıca iki gösterimin direkt toplamlarının
prolongasyonlarının, bu gösterimlerin taşınmışlarının da direkt toplamına eşit olduğu
da gösterilecektir.
Üçüncü bölümün ikinci kısmında ise G nin Lie cebirinin tanjant demeti üzerinde bir
Lie cebir yapısı olduğu gösterilecek ve bu cebir yapısıyla beraber bu demetin, TG nin
Lie cebirine cebirsel olarak izomorfik olduğu gösterilecektir. Bu izomorfizm
kullanılarak verilen bir Lie cebiri üzerindeki gösterimlerden T(Lie(G)) üzerinde bir
Lie cebir gösterimi elde edilecektir. Elde edilen yeni gösterim ise Lie cebirinin
gösteriminin taşınması olarak adlandırılacaktır.
Dördüncü bölümde ise, Prohit’in “Vector Bundles and Induced Representations of
Lie Groups” adlı makalesi ile Brockett ve Sussmann in
“Tangent Bundles of
Homogeneous Spaces are Homogeneous Spaces” adlı makaleleri incelenecektir.
Bununla birlikte üçüncü bölümün ilk kısmında bulunan gösterimlerin taşınmaları
kullanılarak homojen vektör demetleri ile gösterimlerin taşınmaları arasındaki
ilişkiler elde edilecektir. Beşinci bölümde ise tezin üçüncü ve dördüncü bölümlerinde
elde edilen orijinal teorem ve yapılardan yola çıkarak elde edilen sonuçlar ve öneriler
bulunmaktadır.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Manifold ve manifoldlarla ilgili kavramlar birçok kaynakta bulunabilir. Çalışmanın
konusu da göz önünde bulundurularak bu bölümde Lie grupları, Lie cebirleri,
demetler, vertical ve complete liftler hakkında önceden elde edilmiş bilgiler
özetlenecektir.
Bu çalışmada
C -diferensiyellenebilir manifolda kısaca diferensiyellenebilir
manifold denecek ve M ile gösterilecektir.
2.1. Lie Grupları
2.1.1. Tanım
G bir diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer;
a)
G bir cebirsel grup
b)
G ’nin grup işlemi ve G ’nin ters işlemi diferensiyellenebilir fonksiyonlar
ise G ’ye bir Lie grubu denir. [9]
Örnek
M n ( IR)
IRnn bir Lie Grubudur. [9]
2.1.2. Tanım
G bir Lie grubu olsun. H
G cebirsel bir alt grup ve ayni zamanda bir immersed
alt manifoldu ise H ’ya G ’nin bir Lie alt grubu denir [9].
4
Not
Her bir Lie alt grubu kendi başına bir Lie grubudur [9].
2.1.3. Tanım
H
G bir cebirsel alt grup ve H, G’nin bir kapalı alt kümesi ise H’ya G’nin kapalı
alt grubu denir [9].
Teorem
H, G’nin bir kapalı alt grubu ise, H, G’nin bir alt manifoldudur. Ayrıca H üzerinde G
den indirgenmiş topoloji vardır [5].
Örnek
SL(n;IR)= { A GL(n; IR) | det( A) 1} kümesi GL(n,IR) nin bir Lie alt grubudur [9].
İspat
det : M n ( IR)
IR
sürekli fonksiyonu için
SL( n; IR ) det ({ }) olduğundan
SL(n;IR), M n (IR) de kapalıdır. GL(n;IR) , M n ( IR ) ’de açık bir küme olduğundan
SL(n;IR) , GL(n;IR)’de kapalıdır. Böylece SL(n;IR), GL(n;IR) nin bir Lie alt
grubudur.
2.1.4. Tanım
G ve G birer Lie grubu ve f : G
diferensiyellenebilir ise f : G
[9].
G bir homomorfizm olsun. Eğer f dönüşümü
G dönüşümüne bir Lie grup homomorfizmi denir
5
2.2. Lie Cebirleri
2.2.1. Tanım
G bir Lie grubu ve a G olmak üzere
eşitlikleriyle tanımlı La : G
G
ve
G için La ( g )
g
ag ve Ra ( g )
ga
G dönüşümlerine sırasıyla sol
Ra : G
öteleme ve sağ öteleme dönüşümleri denir. Öteleme dönüşümleri düzgün
dönüşümlerdir. Hatta her bir öteleme dönüşümü bir diffeomorfizmdir. Bu
dönüşümlerin ters dönüşümleri sırasıyla ( La )
1
L
a 1
ve ( Ra )
1
R
a 1
dır [9].
2.2.2. Tanım
X
(G ) olsun. Her bir a G ve
bir gösterimle X ag
g
G için X La
(dLa ) g ( X ) ya da başka
(dLa ) g ( X g ) ise X ’e G üzerinde bir sol invaryant vektör alanı
denir [8].
Not
Sol invaryant vektör alanlarının çok önemli bir özelliği vardır: La sol öteleme
dönüşümü düzgün dönüşüm ve X bir sol invaryant vektör alanı olduğundan her
bir a G için X a
(dLa ) e ( X e ) dır. Bu nedenle sol invaryant vektör alanları e
noktasında aldıkları değer ile tanımlanır [8].
Teorem
g {X
(G) | X ab
(dLa )( X b ),
a, b G} kümesi vektör alanlarının toplama ve
skalarla çarpma işlemlerine bir reel vektör uzayıdır [8].
6
İspat
X ,Y
g ise
(dLa ) ( X
Y )(b)
dLa ( X b
Yb )
X ab
Yab
X ab
( X )a
(X
Y )a
X
g
b
X
Y
g
ve
(dLa ) ( X )(b)
olduğundan, g,
dLa ( X b )
b
( G ) nin bir alt vektör uzayıdır. Bu nedenle g kendi başına bir
vektör uzayıdır.
Not
g vektör uzayı, vektör alanlarının Lie parantez operasyonuna göre de kapalıdır [8].
İspat
X ,Y
g ve a, p
G ve f
F ( G ) olmak üzere
dLa ([ X , Y ] p )( f ) [ X , Y ] p ( f La )
X p (dLa (Y )( f )) Yp (dLa ( X )( f ))
X p (Y ( f )) Y p ( X ( f ))
( X p Y Y p X )( f )
[ X ,Y ] p ( f )
[ X ,Y ]
g
X p (Y ( f La )) Yp ( X ( f La ))
7
2.2.3. Tanım
g vektör uzayı, üzerinde tanımlı parantez operatörüyle birlikte bir cebirdir ve G
grubunun Lie Cebiri olarak adlandırılır [8].
Önerme
Her bir
g için f ( X )
X
X e ile tanımlı f : g
Te ( G ) dönüşümü vektör
uzayları arasında tanımlı bir lineer izomorfizmdir [5].
İspat
Her bir
f (aX
g ve her bir a, b IR için
X ,Y
bY )
(aX
bY ) e
aX e
bYe
af ( X ) bf (Y ) olduğundan f lineerdir.
Şimdi f nin bire bir olduğunu gösterelim: Bunun için f ( X )
Xe
0 dir. Her bir g
TL g ( X e )
Her bir g
0 e olsun. Bu durumda
G için
Xg
G için X g
X( g )
X
Bu durumda f dönüşümü bire birdir. Şimdi f nin örten olduğunu gösterelim: Bunun
için bir v Te (G) için X v vektör alanı:
X v ( g ) ( X g )v
( TL g )e ( v )
biçiminde tanımlansın. Bu durumda f ( X v ) ( X e )v
dönüşümü örtendir.
dLe ( v )
v dır. Böylece f
8
f dönüşümü lineer, bire bir ve örten olduğundan, bir lineer izomorfizmdir. f bir
lineer izomorfizm olduğundan g üzerinde tanımlı parantez operatörü kullanılırsa:
u ,v Te ( G ) için [ u , v ]
[ X u ,Yv ]e
eşitliği elde edilir. Te ( G ) üzerinde tanımladığımız parantez operatörü bir Lie
parantezidir.
Örnek
A, B
M n ( IR ) için [ A, B ]
AB
BA ile tanımlanan , ile beraber M n ( IR ) bir
Lie cebiridir [5].
2.2.4. Tanım
g ve h birer Lie cebiri ve
eşitliği sağlanıyorsa
ve örten ise
:g
h bir lineer dönüşüm olsun. Eğer
X ,Y
g için
ye bir Lie cebir homomorfizmi denir. Buna ek olarak bire bir
ye bir Lie cebir izomorfizmi denir. Ayrıca g
h olacak biçim deki
izomorfizmi ise bir Lie cebir otomorfizmi olarak adlandırılır [6].
2.3. 1-Parametre Alt grupları.
2.3.1. Tanım
G bir Lie grubu olmak üzere
:R
parametre alt grubu denir. Bu durumda
(s t)
( s ) (t )
( ) e
( t ) [ ( t )]
G düzgün homomorfizmine G ’nin 1s, t
IR için
9
özellikleri sağlanır [8].
Örnek
( t ) e t , IR*
IR { } çarpımsal grubunun 1-parametre alt grubudur [8].
Teorem
( ) dönüşümü kullanılarak G nin 1-parametre grupları , Te ( G ) ile 1–1
d
karşılık gelir [8].
2.3.2. Tanım
X
elemanı için, X e karşılık gelen G ’nin biricik 1-parametre alt grubu
g
X
olmak üzere
exp( X )
X
(1)
biçiminde tanımlı exp : g
h( t )
X ( st )
h( t
t )
G dönüşümüne üstel (exponential) dönüşüm denir [8].
IR için
olsun. Her bir t ,t
X ( s( t
t ))
X ( st
)
X ( st
) h( t )h( t )
olduğundan h bir homomorfizmdir. Böylece h, G nin bir 1-parametre alt grubudur.
Ayrıca
h (t ) s
dır.
h(t )
sX
X ( st )
(0)
sX
h( ) s
X(
) sX
sX olacak şekildeki biricik 1-parametre alt grubu
(t ) dır, yani,
X
(st )
sX
(t ) eşitliği doğrudur.
sX
olduğundan
10
Yukarıdaki eşitlikte s ve t nin rolleri değiştirilir ve s 1 alınırsa
tX
(1)
X
(t )
eşitliği elde edilir. Böylece
exp( tX )
tX
(1)
X
(t )
elde edilir [8].
Sonuç
Her bir X
g için (t )
exp( tX ) eşitliğiyle tanımlı
sağlayan G ’deki tek homomorfizmdir. Ayrıca
X
eğrisi ,
( )
X özelliğini
in bir homomorfizm olması
kullanılarak aşağıdaki eşitlikler gösterilebilir [8]:
I. exp( s t ) X
II. (exp( tX ))
exp( sX ) exp( tX )
exp( tX )
Önerme
Aşağıdaki özelliği sağlayacak şekilde
g nin bir V komşuluğu ve e G nin bir
U komşuluğu vardır [8]:
exp(V ) U
exp |V : V
exp(V ) bir diffeomorfizmdir.
2.3.3. Tanım
g bir Lie cebiri ve h, g’nin bir alt vektör uzayı olsun.
11
a)
h için [ X ,Y ]
X ,Y
h ise h, g ’nin bir Lie alt cebiri olarak adlandırılır
[8].
b)
h için
X
A
g
için
[ X , A]
h
ise h,
g de bir ideal olarak
adlandırılır [8].
Önerme
:G
d
e
bir
H
Lie
grup
homomorfizmi
olsun.
Bu
durumda
h bir Lie cebir homomorfizmidir. Ayrıca
:g
(exp( X ))
exp( d e ( X ))
dır [8].
Teorem
(1)
Her bir g Lie cebiri için, G’nin Lie cebiri g olacak şekilde en az bir G Lie
grubu
(2)
vardır.(Ancak tek olmak zorunda değildir)
G bir Lie grubu ve ona ait Lie cebiri g olsun. H, G’nin bir Lie alt grubu ve
H’nin Lie cebiri h ise h,g ’nin bir Lie alt cebiridir. g’nin her bir Lie alt cebiri
h’ya
normal
(3)
karşılık G’nin biricik, bağlantılı H Lie alt grubu vardır. Dahası G’nin
grupları, g ’nin ideallerine karşılık gelir.
alt
G1 ve G2 Lie grupları ve bu gruplara karşılık gelen Lie cebirleri sırasıyla
g1 , g 2 olsun. Eğer
izomorfiktir.Eğer
izomorfiktir [8].
g1 ~ g 2 (cebir izomorfik) ise G1 ve G2 lokal
G1 ve G2 Lie grupları basit bağlantılı ise
G1 ve G2
12
2.4. Gösterimler
2.4.1. Tanım
G bir Lie grubu olmak üzere
vektör uzayı varsa
:G
Oto (V ) bir homomorfizm olacak şekilde bir V
ye G’nin bir sonlu boyutlu gösterimi denir. Gösterimin boyutu
V vektör uzayının boyutudur. G’nin V deki gösterimi (G,V) ikilisiyle ya da yalnızca
V ile gösterilir.
dönüşümünün sürekli olması gereklidir.
(G , V ) , G ’nin gösterimi ve a
G’nin V ’ye etkisini tanımlar.
G , x V olmak üzere
( a, x )
( a, x )
(a)( x) ile tanımlı
a.x olacak şekilde tanımlanırsa her bir
G , x V için
a1 , a2
i.
e.v
ii.
a1.(a2 .x)
( e )x
i( x )
x
a1 ( (a2 )( x))
(a1 ) (a2 )( x)
(a1.a2 )( x)
(a1.a2 )( x)
sonuçları elde edilir. Bundan dolayı (G,V) gösterimi aynı zamanda G-uzay olarak da
adlandırılabilir. Hem a.v hem de
(a)(v) notasyonları da kullanılabilir. Eğer V
vektör uzayı reel( sırasıyla kompleks ya da kuateryonik) vektör uzayı ve ayrıca her
bir a G için
(a)(v)
(a, v) dönüşümü lineer ise, karşılık gelen (G,V)
gösterimine Reel (kompleks veya kuateryonik) gösterim denir [8].
2.4.2. Tanım
(G,V) bir gösterim olsun. U
aU
[8].
V bir alt uzay olmak üzere her bir a G için
U ise U alt uzayı invaryant uzay ya da G-invaryant uzay olarak adlandırılır
13
2.4.3. Tanım
(G,V) gösteriminin invaryant alt uzayı yalnızca { } ve V ise (G,V) gösterimine
indirgenemez gösterim denir [8].
2.4.4. Tanım
(G,V) ve (G,W) iki gösterim olsun. f : V
W dönüşüm için her bir a G ve her bir
x V için f ( a.x ) a. f ( x ) ise f dönüşümüne G-equivaryant dönüşüm denir [8].
2.4.5. Tanım
M bir manifold ve G bir Lie grubu olsun.
:G M
M düzgün dönüşümü
aşağıdaki özellikleri sağlasın:
Her bir a1 a2
G,
1.
(a1a2 , m)
2.
(e, m)
M
(a1 , (a2 , m))
m
’ye G’nin M üzerine sol etkisi denir. Burada a G sabit tutulursa
Bu durumda
a :
M için
m
M,
a
(m)
(a, m)
dönüşümü
M
üzerinde
tanımlı
bir
diffeomorfizmdir. Benzer biçimde G’nin M üzerine sağ etkisi de tanımlanabilir [8].
2.4.6. Tanım
:G M
M bir etki olsun. Her bir x, y
olacak şekilde bir g
G varsa
M eleman çifti için y
ya bir geçişli etki denir [14].
( g , x)
14
2.4.7. Tanım
Bir x0
X sabit noktası için G x0
g
G | gx0
x0
ile tanımlı G x0 kümesi,
etkisine göre x 0 noktasının izotropi grubu olarak adlandırılır [14].
2.4.8. Tanım
Eğer X in her bir noktasındaki izotropi grubu, G nin trivial alt grubu ise,
ya bir
serbest etki denir. İzotropi grupları, G nin alt gruplarıdır [14].
Teorem
M bir sol etki olsun. m0
:G M
a
(m0 )
m0 olsun. Bu durumda
:G
M noktası sabitlensin. Her bir a G için
Oto(Tm ( M )),
0
(a)
d
|
a Tm ( M )
0
ile tanımlı dönüşüm, G’nin bir gösterimidir [8].
2.4.9. Tanım
Ad : G
Oto( g ) dönüşümü, her bir a G için Ad(a) : g
ve her bir X
Ad (a)( X )
g lineer bir dönüşüm
g için
d (R
L ) (X )
o a e
a 1
ile tanımlı Ad dönüşümüne, G’nin adjoint gösterimi denir. Bu durumda
Ad ( a ) d ( I a )e
dır [8].
15
2.4.10. Tanım
G bir Lie grubu ve G’ye ait Lie cebiri g olsun. Her bir
ad( X ) d ( Ad )e ( X ) eşitliğiyle tanımlı ad : g
X
g
için
End ( g ) dönüşümüne, g ‘nin
adjoint gösterimi denir [8].
Not
g için ad ( X )(Y )
Her bir X
ad X (Y ) ile göstereceğiz.
Önerme
G bir Lie grubu ve G’nin Lie cebiri g olsun. Her bir
X ,Y
g
için
ad X ( Y ) [ X ,Y ] dır [8].
2.4.11. Tanım
1
:G
Oto(V1 ) ve
I. A : V1
2
:G
Oto(V2 ) iki gösterim olsun. Eğer:
V2 izomorfizm olacak şekilde bir A dönüşümü vardır.
II. Her bir a G ve her bir v V için A(
özellikleri sağlanıyorsa
1
ve
2
1
(a)(v))
2
ye denk gösterimler denir
Bu durumda V1 ve V2 ise G-izomorfik olarak adlandırılır.
Her bir a G ve her bir v V1 için A : V1
A(
1
(a)(v))
2
(a)( A(v))
özelliği sağlanır. Bu eşitlik kısaca
(a)( A(v)) dır.
V2 dönüşümü
1
~
2
ile gösterilir.
16
A
1
2
A
ile ifade edilir [8].
2.4.12. Tanım
(G,V) ve (G,W), G’nin iki gösterimi olsun. Bu gösterimlerden yararlanarak aşağıdaki
gösterimler tanımlanabilir:
a)
V vektör uzayının dual uzayı V* olmak üzere her bir v V ve her bir
V *için
v
v, av
dır. Yani
a 1v, v
(G, V )
ve
(G,V *)
olmak üzere
v,
( (a)) 1 (v), v
(a)(v )
eşitliğiyle ifade edilebilir.
b)
(G, V
W ) gösterimi :
(a)( x, y)
ile tanımlı
(
1
(a)( x),
gösterimine
:G
2
Oto(V
W ) her bir a G için
(a)( y))
1
ve
2
gösterimlerinin direkt toplamı denir [8].
Teorem
V ve W G ’nin iki indirgenemez gösterimi olsun. f : V
dönüşüm ise f , ya tersinirdir, ya da f
0 dır [8].
W , G-equivaryant bir
17
İspat
f
W için ker f
0 olsun. f : V
V ve Im f
W olduğunu biliyoruz. Kerf ve
Im f birer alt uzaydır. Simdi Im f ve Kerf ‘in birer invaryant alt uzay olduğunu
görelim: Her bir a G için
i.
u
a.Kerf
f (u )
f (a.v)
f (u )
a. f (v)
f (u )
a.0W
f (u )
0
u
a.v olacak şekilde v
u
Kerf
Bu durumda a.Kerf
ii.
w
Kerf vardır.
a. Im f
w
Kerf dır.
a.v olacak şekilde v
Im f vardır.
w
a. f (u ) olacak şekilde bir u V vardır.
w
f (a.u )
w
Im f
dır. Bu durumda a. Im f
Im f . (i) ve (ii) den Imf ve Kerf invaryant alt uzaylardır.
Ancak V ve W uzayları indirgenemez uzaylar olduğundan Kerf
Kerf
V dır.
Kerf
{0}
f bire-birdir.
boy(Im f )
Im f
{0}
Im f
W
boy(V )
f , ortendir.
f, birebir ve örten olduğundan tersinirdir.
0
veya
18
Kerf
V
u V
icin f (u)
0
f
0
Bu durumda V ve W G ’nin iki indirgenemez gösterimi olmak üzere f : V
G-equivaryant bir dönüşüm ise f , ya tersinirdir, ya da f
W,
0 dır.
Teorem
(G,V) bir indirgenemez kompleks gösterim ve
dönüşüm ise, c C olmak üzere f
f :V
V
bir G-equivaryant
c.Id dır [8].
İspat
V bir lineer dönüşüm olmak üzere cebirin esas teoremi gereği f ’nin bir
f :V
c C öz değeri vardır. f
cId : V
equivaryant olduğu gösterilirse f
birdir. Ancak f
V lineer bir dönüşümdür. Bu dönüşümün G c.Id dönüşümü ya sıfır dönüşümüdür, ya da bire
c.Id birebir olmadığından tek seçenek f
c.Id =0 olmasıdır. Her
bir a G ve v V için
(f
cId )(a.v)
olduğundan f
f (av) c(a.v)
af (v) c(av)
a( f (v) a(v))
c.Id dönüşümü G -equivaryanttır. Böylece f
a( f
cId )(v)
cI dır.
Sonuç
Eğer G bir değişmeli grup ise G ’nin kompleks indirgenemez her bir gösterimi 1boyutlu olmak zorundadır [8].
19
Teorem
G
bir
kompakt
Lie
ve
C (G) { f | f : G
IR
surekli}
olsun.
IR aşağıdaki özellikleri sağlayan biricik I fonksiyonu tanımlıdır:
I : C (G )
a)

I (1) 1,
b)
f

1:G
IR,

1(a) 1
0 iken I(f) 0 dır ve I lineerdir.
Her bir a G ve f
c)
grubu
C (G ) için, I ( f )
I ( f  La )
I ( Ra  f ) dır [8].
Not
f (a)da sayısı, G üzerinde bir Haar integrali olarak adlandırılır [8].
Burada I ( f )
G
Teorem
G kompakt bir Lie grubu ve
:G
Oto(V ) bir gösterim olsun. Bu durumda V
üzerinde aşağıdaki biçimde tanımlı bir G -invaryant bir iç çarpım vardır [8]:
u, v
(a)(u ), (a)(v)
da
G
Not
G -invaryant reel (kompleks) gösterimler, ortogonal (üniter) gösterimler olarak
adlandırılır [8].
Teorem
Kompakt bir grubun sonlu boyutlu her gösterimi, indirgenemez gösterimlerin direkt
20
toplamı olarak yazılır [8].
İspat
:G
Oto(V )
bir gösterim olsun.
V ’nin boyutu üzerinden tümevarım
uygulayalım:
Boy (V ) 1 ise V indirgenemez bir gösterim olur. Boy (V ) 1 için teorem doğrudur.
n için teoremin doğru olduğunu kabul edelim. Eğer V indirgenemez ise
Boy (V )
ispat biter. Eğer V indirgenemez gösterim değilse V ’nin 0 ve V dışında invaryant
alt uzayı vardır. Bu alt uzaya U diyelim. Bu durumda U alt uzayı için
U
{u V | u, v
tanımlanırsa, U
w
v U}
invaryant bir alt uzay olduğunu gösterelim. Her bir a G ,
için
aU
au~,
w
0,
u~ U
u U , u, w
u, au~
a 1u, u~
0
w U
aU
U
U invaryant bir alt uzaydir.
n ve Boy(U )
Boy (V )
için doğrudur.
U
|
2
U
1
Oto (V ) dönüşümünün iki kısıtlanışı
:G
olmak üzere
2
n olduğundan hipotezden dolayı teoremin ifadesi U ve
1
ve
2
G’nin iki gösterimidir. V
dır. Böylece teoremin ifadesi Boy (V )
U
U
1
|U ve
olduğundan
n için de doğrudur.
21
2.4.13. Tanım
g bir Lie cebiri ve V bir sonlu boyutlu reel vektör uzayı olsun.
:g
End (V ) bir
Lie cebir homomorfizmi ise, yani
i)
bir lineer dönüşümse
ii)
dönüşümü Lie parantezlerini koruyorsa
bu durumda
ye bir Lie cebir gösterimi denir [8].
2.5. Diferensiyellenebilir Lif Demetleri
Lifli Manifold Kavramı
2.5.1. Tanım
P ve M diferensiyellenebilir manifoldlar, π : P
M bir dönüşüm olsun. Eğer π
bir örten submersion ise, ( P , π , M ) üçlüsüne bir lifli diferensiyellenebilir manifold
denir. Bir ( P , π , M ) lifli diferensiyellenebilir manifoldunda P ye total uzay, M ye
taban uzay, π ye projeksiyon ve her bir x
M noktası için
π 1( x )
P
altkümesine de x üzerindeki lif denir [3].
π 1 (x) lifi Px ve bir ( P , π , M ) lifli manifoldu da kısaca P ile gösterilebilir. Bir lifli
( P , π , M ) manifoldunun π projeksiyonu bir örten submersion olduğundan Px , P nin
bir kapalı imbedded alt manifoldudur. Boy Px =Boy P-boy M sayısına P nin lif boyutu
denir. Burada imbedded alt manifold ile alt uzay topolojisine sahip immersed alt
manifold kastedilmektedir.
Bir ( P , π , M ) lifli manifoldu için genelde P uzayının tümü, M manifoldu ile bir
başka manifoldun kartezyen çarpımına diffeomorfik olmak zorunda değildir. Fakat
22
π projeksiyonunun submersion olmasından dolayı bir lokal çarpım yapısı belirlemek
mümkündür. Kapalı fonksiyon teoreminden, her bir p P noktası için
pr1 ( t α ( p )) π( p )
~
koşulunu sağlayacak bir U α
~
tα : U α
P komşuluğu, bir diğer Vα manifoldu ve bir
~
π ( U α ) Vα
diffeomorfizmi vardır. Böylece, total uzayın her bir noktası, bir çarpım manifolduna
benzeyen komşuluğa sahiptir. t α üzerindeki yukarıda belirtilen koşul;

U
|U

(U )

(U ) V
t
id (U )
pr1

(U )
değişmeli diyagramı ile de ifade edilebilir; burada
pr1 ile birinci izdüşüm
fonksiyonu ve id ile de birim fonksiyonu gösterilmektedir.
Bir lifli manifoldun total uzayı üzerinde bir lokal çarpım yapısı özel lokal koordinat
sistemlerinin kullanılmasına imkân sağlar. Bunu aşağıdaki tanımla verelim.
2.5.2. Tanım
Bir lifli manifold ( P , π , M ) , Boy M
kümesi üzerinde bir koordinat sistemi

z :U
IR m
n
m , Boy P

m n ve bir U
P açık alt
23
olsun. pr1 : IR m
π( p ) π( p )
n
IR m olmak üzere , p , p
pr1 ( z( p ))

U için
pr1 ( z( p ))
önermesi doğru ise, z ye bir uyarlanmış (adapte) koordinat sistemi denir [3]. Bu

tanıma göre, aynı Px U lifinde bulunan noktaların koordinatlarının ilk m tanesi eşit
ve geri kalan n tanesi farklı olacak biçimde bir koordinat sistemi seçilebileceği
anlaşılmaktadır.
Bir lifli manifold ( P , π , M ) ve bir p P olsun. p nin komşuluğunda uyarlanmış

koordinatlar lokal çarpım yapısından oluşturulabilir. Bunun için W π( U ) olmak

IR m
üzere π( p ) pr1( tα ( p)) M noktasının W komşuluğunda bir x : W
koordinat sistemi ve pr2 ( t α ( p)) M nin V

y :V
Vα komşuluğunda bir
IR n
koordinat sistemi seçilerek, tıpkı çarpım manifoldlarında olduğu gibi,
pr2 ikinci
izdüşüm fonksiyonu olmak üzere
z


( x  pr1  t α , y  pr2  t α ) eşitliği ile
1
z : tα ( W V )
IR m n dönüşümü tanımlansın. z nin bir uyarlanmış koordinat
sistemi olduğu açıktır.
Karşıt olarak, herhangi bir

z :U
IR m
n
uyarlanmış koordinat sistemi,
24

x( x )
pr1 ( z( p )) , p
Px

U
olacak biçimde bir


x : π( U )
IR m
koordinat sistemi verir.
Bu koordinat sistemi p nin seçilişinden bağımsızdır. M üzerindeki koordinat
fonksiyonları x i , ( 1 i
( xi , y j ) , ( 1
j
m ) ise, P üzerindeki koordinat fonksiyonları
n)
biçimindedir. Burada x i ifadesi, hem π( U )
U
π( U )
IR fonksiyonunu ve hem de
IR bileşke fonksiyonu ifade edilmektedir [3].
2.5.3. Tanım
Bir lifli manifold ( P , π , M ) ve bir manifold E olmak üzere eğer,
t:P
M E dönüşümü
pr1  t
π
olacak biçimde bir diffeomorfizm ise, (E,t) ikilisine P nin bir [global]
trivializasyonu, E ye P nin model lifi (veya uzayı) ve en azından bir trivializasyona
sahip ( P , π , M ) lifli manifolduna da [global] trivial lifli manifold denir [3].
Bu tanıma göre, bir trivial lifli manifoldun total uzayının kartezyen çarpım yapısına
25
sahip olması gerekmektedir. Bununla birlikte, iki farklı trivializasyona karşılık gelen
model lifler diffeomorfik olmak zorundadır. pr1οt
t
P
π koşulu,
M E
π
pr1
M
M
idM
diyagramının değişmeli olmasıyla aynı anlama sahiptir [3].
2.5.4. Tanım
Bir lifli manifold ( P , π , M ) ve x
komşuluğu U x ve pr1οt x
t x : π 1(U x )
Ux
π |π 1 ( U
M olsun. Herhangi bir manifold E, x in bir
x
)
koşulunu sağlayacak bir diffeomorfizm
E
ise o zaman ( U x , E ,t x ) üçlüsüne x in U x komşuluğunda P nin bir lokal
trivializasyonu, taban uzayının her bir noktasının komşuluğunda en az bir lokal
trivializasyona sahip ( P , π , M ) lifli manifolduna demet (veya lokal trivial lifli
manifold) , E ye de demetin model lifi denir [3].
( P , π , M ) lifli manifoldu bir demet ise bu demet ( P , π , M , E ) ile gösterilir.
pr1  t x
1
(U x )
|
tx
1
(U x )
Ux
koşulu,
E
pr1
Ux
idU
x
Ux
diyagramının değişmeli olmasıyla aynı anlama sahiptir.
26
M nin her bir noktası komşuluğunda lokal trivializasyonların varlığı doğrudan
doğruya π nin bir submersion olmasını gerektirir. Bir [global] trivial lifli manifold
bir demet olup, bir trivial demet adını alır. Fakat her demet, bir trivial demet olmak
zorunda değildir [3].
Yukarıda verilen demet kavramı bazı kaynaklarda lif demeti olarak da verilmektedir.
Örnek
m-boyutlu bir M manifoldunun tanjant manifoldu T(M) ve π M : T ( M )
M
dönüşümü, M nin herhangi bir x noktasındaki tanjant vektörünü x noktasına karşılık
getiren kanonik projeksiyon olsun. O zaman ( T ( M ),π M , M ) üçlüsü , IR m model
lifi ile birlikte bir demettir. Çünkü M nin { x i : 1 i
göre herhangi bir X
m
X
ai (
i 1
xi
m } lokal koordinat sistemine
T ( M ) elemanı
)x , π M ( X )
x
şeklinde ifade edilir. Böylece, T(M) üzerindeki uyarlanmış koordinat sistemi
( x i , x i ) ~ ( x i , dxi ) , ( 1 i
şeklindedir. Buradaki x i
m)
ler
x i οπ ve x i ler ise, xi ( X )
X [ xi ] ai şeklinde
tanımlanır.
x i koordinat fonksiyonları x
olacak biçimde
t x : π M1 ( U x )
Ux
IR m
M için U x
M koordinat komşuluğunda tanımlı
27
dönüşümü,
t x ( X ) ( π M ( X ), dx( X )) ( x , x( X ))
olarak tanımlansın. Böylece
1
(U x )
tx
U x IR m
pr1
Ux
Ux
idU
x
değişmeli diyagramı elde edilir. Çünkü
( pr1  t x )( X )
pr1 ( t x ( X ))
X
pr1 ( x , dx( X ))
π M1 ( U M ) tanjant vektörü için;
(2.1)
x
ve
( id U x 
M
)( X )
id U x (
M(
X ))
x
eşitlikleri elde edilir. Eş. 2.1 ve Eş. 2.2
(2.2)
X
π M1 ( U x ) tanjant vektörü için
sağlandığından;
pr1  t x
id U x  π M
eşitliği yazılabilir. Böylece t x diffeomorfizm olup, T(M) lifli manifoldu için bir lokal
trivializasyon olur. (T(M), π M ,M) bir demettir [3].
Önerme
G bir Lie grubu, G nin grup işlemi μ : G G
G olsun. Bu durumda μ nün tanjant
28
dönüşümü olan Tμ : T ( G ) T ( G )
T ( G ) dönüşümü,
v Ta G ve w Tb G için
T (v, w)
TR b (v) TL a (w)
dir [9].
Önerme
G bir Lie grubu ve grup işlemi μ : G G
demeti olan T(G) de Tμ : T ( G ) T ( G )
G olsun. Bu durumda G nin tanjant
T ( G ) işlemiyle birlikte bir Lie grubudur
[9].
Önerme
:G
G
Lie grup homomorfizmi olsun. Bu durumda
T : TG
T (G )
dönüşümü de Lie grup homomorfizmidir [9].
İspat
:G
G
Lie
grup
diferensiyellenebilir
homomorfizmi
olduğundan
olsun.
T : TG
Bu
T (G )
durumda
:G
dönüşümü
G
de
diferensiyellenebilirdir.
Herhangi v,w
T(G) , G nin grup işlemi μ ve G nün grup işlemi μ olsun. Bu
durumda TG nin grup işlemi Tμ ve TG nün grup işlemi de Tμ olur. Ayrıca ζ bir
homomorfizm olduğundan
( ( x, y ))
( ( x), ( y ))
( x , y ) G G için
(
(
))( x, y )
29
eşitliği elde edilir. Bu durumda
(
(2.3)
)
Eş.2.3 den
T (T (v, w)) T (
)(v, w)
T(
(
))(v, w)
T (T (v), T ( w))
dir. Böylece T : TG
T (G ) bir grup homomorfizmdir. T
diferensiyellenebilir
bir grup homomorfizmi olduğundan bir Lie grup homomorfizmidir.
2.5.5. Tanım
v Tx ( IR n ) ve w T y ( IR n ) iki tanjant vektör olsun. v ve w vektörlerinin yeni
w ve v T x ( IR n ) vektörünün c
toplamı v
IR ile yeni skalar çarpımı c v
aşağıdaki biçimde tanımlanır [4]:
v
w
T
c vx = T
y(v )
c
T
x( w)
(vx )
(2.4)
(2.5)
Önerme
IR n diferensiyellenebilir manifoldunun tanjant demeti T ( IR n ) , tanımda verilen
ve
işlemleri ile birlikte 2n- boyutlu bir vektör uzayıdır [4].
30
Önerme
Herhangi
GL( n , IR ) ve
a
tanımlandığında
B
B
u Ta ( GL( n, IR )
gl( n , IR ) çifti için u
TR a ( B ) biçiminde
dır. Böylece her bir
a
GL( n , IR )
ve
gl( n , IR ) için, bir u Ta ( GL( n, IR ) elde edilir. Bu biçimde oluşturduğumuz u
vektörünü u
[ a , B ] ile gösterelim. Bu durumda [a, B].[a , B ] [aa , B
gl( n , IR ) için J n ([ a , B ])
ile ifade edilir. Herhangi a
GL( n , IR ) ve B
eşitliğiyle
J n : T ( GL( n, IR ))
tanımlanan
Ad a 1 B ]
a
Ba a
dönüşümü
GL( 2n, IR )
0
bir
homomorfizmdir. Bu homomorfizme göre
J n ([a, B]). J n ([a , B ])
aa
[ B ad
a 1
0
( B )].aa
(2.6)
aa
dir [4].
Önerme
V bir sonlu boyutlu vektör uzayı olsun. Bu durumda V vektör uzayının tanjant
demeti olan T(V) de
sırasıyla doğal toplama ve skalar ile çarpma
ve
işlemlerine göre bir vektör uzayıdır. Ayrıca V vektör uzayı W ve W alt uzaylarının
direk toplamı ise T(V) vektör uzayı da T(W) ve T ( W ) alt uzaylarının direk
toplamına kanonik olarak izomorfiktir [4].
Not
boyutlu reel vektör uzayı olduğunda, önceki önermede ifade edilen
V bir n
işlemleri aşağıdaki biçimde tanımlanır: x , y V için
tanımlı
x
:V
V dönüşümü ve
c
IR olmak üzere
c
x(
y)
x
ve
y eşitliğiyle
( x) cx eşitliğiyle tanımlı
31
c
V dönüşümü alınsın. Bu durumda
:V
vx
wy
T
c vx = T
c
y ( vx
) T
x ( wy
vx ,wy
TV ve
c
IR için
)
(vx ) [4].
2.5.6. Tanım
E ve M birer manifold,
1
Ex
x
M örten bir submersion olsun.
:E
x
M için
x kümesi n-boyutlu bir reel vektör uzayı yapısına sahip ve
M için x in bir U açık komşuluğu var öyle ki
t : U IR n
1
U
bir diffeomorfizm ve her bir u U
t u : IR n
1
için t u (v)
t (u, v)
eşitliğiyle tanımlı
u bir lineer izomorfizm ise ( E , , M ) üçlüsüne bir vektör demeti
denir [13].
2.5.7. Tanım
( E , , M ) bir vektör demeti olsun.
1
( p)
p ise
çapraz kesitler ailesi
:M
(E ) ile gösterilir [13].
Global çapraz kesitlerde her bir p
1
2
)( p)
p
M için
ye E nin bir çapraz kesiti denir. ( E , , M ) demeti üzerindeki
Teorem
(
E dönüşümü her bir
1
( p)
2
M için
( p)
32
(
)( p )
( p)
eşitlikleriyle tanımlı toplama ve skalarla çarpma işlemleriyle birlikte
(E ) kümesi
bir sonsuz boyutlu reel vektör uzayıdır [13].
Teorem
:G M
ˆ :G / H
gH
M bir geçişli etki olsun. H ise p0 noktasındaki izotropi grubu ise
M
( gH )
( g , p0 )
dönüşümü bir diffeomorfizmdir [5]
İspat
ˆ nün iyi tanımlı olduğunu gösterelim.
gH
g' H
g 1g' H
( g 1 g ' , p0 )
p0
( g , ( g 1 g ' , p 0 ))
( g ' , p0 )
ˆ ( gH )
( g , p0 )
( g , p0 )
ˆ(g' H )
olduğundan iyi tanımlıdır.
ˆ örten olduğunu gösterelim:
G nin M üzerine etkisi geçişli bir etki olduğundan her bir p
M için p
( g , p0 )
33
olacak şekilde g
için ˆ ( gH )
G vardır. Alınan bu g
G için gH
G / H vardır. Bu eleman
p dir. Bu nedenle ˆ örtendir.
( g , p0 )
ˆ nin bire bir olduğunu gösterelim:
ˆ ( gH )
ˆ(g' H )
( g , p0 )
( g ' , p0 )
( g 1 , ( g , p 0 ))
p0
( g 1 , ( g ' , p 0 ))
( g 1 g ' , p0 )
g 1g' H
gH
g' H
olduğundan ˆ bire birdir.
ˆ nin bir diffeomorfizm olduğunu göstermek için ˆ nin diferensiyellenebilir
olduğunu ve d ˆ nin her noktada non-singuler olduğu gösterilmelidir.
:G
ˆ
projeksiyon olmak üzere
G/ H
göstermek için gerekli ve yeterli koşul ˆ 
i p0 : G
G M
g
i p0 ( g )
diferensiyellenebilir olduğunu
diferensiyellenebilirdir.
( g , p0 )
dönüşümü diferensiyellenebilir bir dönüşümdür.
( ˆ  )( g )
ˆ ( gH )
olduğundan
'
olduğundan
( g , p0 ) (  i p0 )( g )
 i p0
dir.
ve
i p0
diferensiyellenebilir dönüşümler
' bir diferensiyellenebilir bir dönüşümdür.
34
ˆ
Şimdi
olsun.
türev dönüşümü alındığında
Çek
*g
Xg |
*g
(X g )
*g
: Tg G
TgH (G / H ) dönüşümünün çekirdeği
0 gH
olmak üzere çekirdek içindeki X g vektörleri için
yapışık eğri alındığında
*g
(  )' (0)
(X g )
X g ler çekirdeğin elemanıdır. Bu nedenle Çek (
G
'
G/H
G noktasındaki
G / H projeksiyonunun bir g
:G
0
*g
gH eğrisi X g ye
(t )
g.h(t )
(g)
dir. Böylece bu biçimdeki
)
Tg ( gH ) dir.
M
için d ˆ nin her noktada bire bir olduğunu göstermek için Çek (d )
olduğunu göstermemiz gerekir ve yeter. Yani Çek (d )
Çek (d )
Tg ( gH ) olduğunu
göstermemiz gerekir ve yeter.
Çek (d | TgG )
Tg ( gH ) olduğunu göstermek için
gösterilmelidir. Çünkü
Çek
*e
Çek
*g
durumda her bir t
R*g 1 
*e
*g
(t)
ve R*g 1 bire bir ve örten olduğundan
H ,
' (0)
X e ve
için
(ˆ
 )(t ) ( ˆ ( (t ) H ))
olduğundan ( ˆ 
d (X e )
d( ˆ 
ˆ (H )
 ) eğrisi bir sabit eğridir. Böylece
)( X e )
(ˆ
Çek (d |TeG ) olduğu
Te H için X e nin teğet olduğu eğri
dir. Her bir X e
IR için
Te H
 )' (0)
0
( 0)
olsun. Bu
e dir. Her bir t
IR
35
bulunur. d ( X e ) 0 olduğundan X e
Çek d
dir. Böylece
Çek d |TeG
Te H
bulunur. Şimdi tersini gösterelim. Her bir x Çek d |TeG için x ’e karşılık gelen sol
invaryant vektör alanı X olsun. Her bir a, g
(
g

 Lg1 )(a)
dir. Böylece
exp(tX )


(
(d
g 1a
 L g1
1
 Lexp(
tX )
d ( X exp(tX ) )
dir. Yani
g
g
exp(tX )
(m0 ))
a
( m0 )
G için
(a)
bulunur. Her bir g
G için eşitlik doğru olduğundan
dir. Bu durumda her bir t
 d  dLexp(
tX )
)( X exp(tX ) )
(d
IR için
exp(tX )
 d )( X e )
d
exp(tX )
(d ( x))
d
exp(tX )
(0)
0
 exp(tX ) dönüşümü sabit bir dönüşümdür. Yani
 exp( tX ) m0 dir.
Böylece
(ˆ
)(exp tX )
Çek d |TeG
m0
exp tX
H
x
H dir. Bu durumda
Te H
olduğu gösterilmiş olur. Böylece Çek (d '|Tg G ) Tg ( gH )
birdir. İnvers fonksiyon teoreminden ˆ bir diffeomorfizmdir.
olduğundan d ˆ bire
36
2.5.8. Tanım
G bir Lie grubu ve U bir n-boyutlu reel vektör uzayı ve
:G M
etki olsun. H ise p0 noktasındaki izotropi grubu olmak üzere M
M bir geçişli
G / H dir.
Bunlara ek olarak ( E , , G / H ) bir vektör demeti olmak üzere G nin E ye etkisi lif
koruyan bir lineer etki ve G nin taban uzay üzerine etkisi ise G nin koset uzayları
homojen vektör demeti denir [10].
2.5.9. Tanım
( P, , M , G ) bir lif demeti ve G bir Lie grubu olsun.
G M
G P
M etkisi bir geçişli etki
P etkisi bir serbest etki
ise ( P, , M , G ) ye bir asli lif demeti denir [12].
Örnek
G bir Lie grubu ve H , G nin bir kapalı alt grubu olsun. Bu durumda
(G, , G / H , H ) bir asli lif demetidir [12].
2.6. Tanjant Demete Liftler
2.6.1. Tanım
IR , C -fonksiyon olsun.
f :M
üzere
fv
f
: TM
M projeksiyon dönüşümü olmak
37
eşitliğiyle tanımlı
~
denir. P
f v ( P)
1
f v : TM
IR
dönüşümüne f fonksiyonun vertical lifti
üzerinde indirgenmiş koordinatlar
(U )
f v ( x, y) ( f
)( P)
f ( p)
(xh , y h )
olmak üzere
f ( x) dir. Bu nedenle Tp M üzerindeki her
~
~
bir P noktasının f v (P ) değeri eşittir [1].
İddia
Her bir f , g
C (M ) olmak üzere ( g. f ) v
g v . f v dır [1].
İspat
Her bir f , g
C (M ) olmak üzere
( g. f )v ( P) (( g. f )
)( P) ( g. f )( p)
g ( p). f ( p)
g v ( P.) f v ( P) dır.
Not
C (M )
f v dönüşümü bir lineer izomorfizmdir [1].
C (M ) ye f
Not
M de bir 1-form ise w , TM de bir fonksiyon olarak düşünülebilir ve bu
w,
fonksiyon ıw ile gösterilir. (U , x i ) koordinat komşuluğu için ıw nın lokal ifadesi
w
w i dxi ise ıw nın
f :M
IR ,
(U , x i ) iken
ı( df )
1
(U ) üzerindeki lokal ifadesi ıw
wi y i dir.
C -sınıfından bir fonksiyon ve M deki lokal koordinat sistemi
1
(U ) üzerindeki indirgenmiş lokal koordinat sistemine göre
f i
y biçiminde ifade edilir [1].
xi
38
Önerme
~ ~
X ,Y
~
(TM ) ve P
bir f : M
~
X (ıdf )
1
fonksiyonu için
IR , C
~
Y (ıdf )
(U ) üzerinde indirgenmiş koordinatlar ( x h , y h ) herhangi
~
X
~
Y dır [1].
2.6.2. Tanım
~
X
(TM ) bir vektör alanı ve f
~
C (M ) olsun. X ( f v )
~
0 ise X ya bir Vertical
~
~
Vektör alanı denir. X vertical vektör alanının bileşenlerini elde edelim: X nın
bileşenleri
~
xi
~i
x
~
~
olmak üzere P TM için P
1
(U ) üzerinde indirgenmiş
koordinatlar ( x h , y h ) olmak üzere
~
X( f v)
(~
xh
0
h
~h
x
h
)( f v )
x
y
f
~ f
(~
xh h xh h)
x
y
f
~
xh h 0
x
dır. Bu eşitlik her bir f
0
~
X nın bileşenleri ~ i
x
0
0
xh
C (M ) için doğru olduğundan ~
0 dır. Bu durumda
dir.
~
Bunun tersi de doğrudur; yani X nın vertical vektör alanı olması için gerek ve yeter
0
koşul, katsayılarının ~ i
x
X v (ıw)
(w( X )) v
olmasıdır. X
w( X ) 
(M ) ve w , M de bir 1-form olsun.
39
eşitliğiyle tanımlı X v vektör alanına X in M den TM ye vertical lifti denir [1].
İddia
X ve w nın (U , x h ) koordinat sistemine göre bileşenleri sırasıyla X i ve w i iken
X v ni bileşenleri
~
Xi
~
Xi
x j(
ise ~
j
~j
x wj
wi ) y i
wi X i dir.
Sonuç
X in (U , x h ) koordinat sistemine göre bileşenleri X i iken X v ni bileşenleri
dir. Böylece X v
0 dır [1].
Not
1) ( X
C (M ) için
( M ) ve f
X ,Y
Y )v
2) ( f . X ) v
Xv
Xi
X i yi biçimindedir. Bu nedenle X v vertical lifti TM de bir
vertical vektör alanıdır. Tanımdan dolayı
X v( f v)
0
Yv
f vXv
eşitlikleri doğrudur [1].
X
(M )
ve
f
C (M ) için
40
Önerme
( M ) iken [ X v , Y v ]
X ,Y
0 dır(Burada [ X , Y ]
XY
YX dir.) [1].
Not
TM deki indirgenmiş lokal koordinat sistemine göre X v nin lokal ifadesi
olduğundan (
x
i
)v
yi
0
Xi
dir [1].
2.6.3.Tanım
~
w
1
0
~ ya TM de vertical
0 olsun. Bu durumda w
~( X v )
(M ) için w
(TM ) ve X
1-form denir [1].
Not
~
~ ,w
(w
i
i)
1
~ nın
(U ) üzerindeki indirgenmiş lokal koordinat sistemine göre w
~ nın TM de vertical 1-form olması için gerek ve yeter koşul
bileşenleri olsun. w
~
1
(U ) üzerindeki indirgenmiş koordinat sistemine göre wi 0 olmasıdır [1].
İspat
~
~ ,w
(w
i
i)
1
~ nın
(U ) üzerindeki indirgenmiş lokal koordinat sistemine göre w
~( X v )
bileşenleri olsun. w
~ dx i
(w
i
~
wi dy i )( X
j
y
j
)
0 olduğundan
0
~
wi X i
0
~
wi
0
41
~
~ ,w
dır. Bu durumda ( w
i
i)
~ nın TM de vertical 1-form olması
~ ,0) dır. Böylece w
(w
i
için gerek ve yeter koşul
~
wi 0 olmasıdır.
1
(U ) üzerindeki indirgenmiş koordinat sistemine göre
Not
f
C (M ) olsun. df 1-formunun TM ye vertical lifti ise (df ) v
tanımlıdır. Ayrıca f , g
C (M ) için ( g.df ) v
g v .(df ) v ile tanımlıdır.
w , M de bir 1-form olsun. M nin (U , x h ) koordinat sisteminde w
ifade edilirse
w 1-formunun TM ye vertical lifti
lokal koordinatlara göre w v
d ( f v ) ile
1
wi dx i olarak
(U ) üzerindeki indirgenmiş
v
wi (dx i ) v dır. Burada tanımlanan w v , TM üzerinde
bir global 1-form tanımlar. Bu global form yine w v ile gösterilir [1].
Sonuç
1
w v vertical liftin
(U ) üzerindeki indirgenmiş lokal koordinatlara göre bileşenleri
~( X v )
wv : (wi ,0) dır.Böylece w v bir vertical 1-formdur ve w
0 dır [1].
Sonuç
1
0
w,
i
(w
( fw) v
( M ) ve f
nın lokal ifadesi w
C (M ) olsun. w ve
w i dx i ve
dx i olsun.
)v
(wi
i v
) (dx i ) v
( fwi ) v (dx i ) v
dir. Bu durumda w
( w i ) v (dx i ) v
( i ) v (dx i ) v
wv
v
f v wv
w v dönüşümü
0
1
(M )
0
1
(TM ) lineer izomorfizmdir.
42
d (x h  )
(dx h ) v
d ( x h ) dır [1].
2.6.4. Tanım
(M ) , M üzerindeki tensör cebirini göstermek üzere her bir P, Q, R
( M ) için
(TM ) vertical lifti için aşağıdaki özellikler yardımıyla tensör alanlarının
(M )
vertical lifti tanımlanır [1]:
(P
Q) v
Pv
(P
R) v
Pv
Qv
Qv
Sonuç
(1,1) tipinden bir tensör F olmak üzere F nin vertical liftinin bileşenleri
Fv :
0
0
i
h
0
F
dir [1].
Sonuç
(0,2) tipinden bir tensör G olmak üzere G nin vertical liftinin bileşenleri
Gv :
G ji
0
0
0
dir [1].
2.6.5. Tanım
f
C (M ) olmak üzere TM üzerinde
fc
fonksiyonuna f fonksiyonunun complete lifti denir.
ı(df ) eşitliğiyle tanımlı
fc
43
f
f .x i
df
f
.dx i
i
x
ı(df )
f i
. y dir [1].
xi
Önerme
~ ~
X ,Y
~
(TM ) olsun. X ( f c )
~
Y( f c)
~
X
~
Y dır. Ayrıca X v ( f c )
( Xf ) v dir
[1].
İddia
f ,g
C (M ) için ( g. f ) c
gc. f v
g v f c dir [1].
İspat
ı(d ( g. f ))
( g. f ) c
ı(dg)( f  ) ( g  ).ı(df )
gc. f v
g v f c dir.
2.6.6. Tanım
X
(M ) ve f
C (M ) için X c ( f c )
( Xf ) c ile tanımlı X c vektör alanına X
vektör alanının TM ye complete lifti denir [1].
Önerme
(U , x h ) lokal koordinat komşuluğu için X
Xh
x
h
olsun. X c nin
üzerindeki indirgenmiş lokal koordinat sistemine göre lokal bileşenleri
Xc :
Xh
Xh
dır [1].
1
(U )
44
Önerme
X
(M )
X v( f v)
0
X v( f c)
( Xf ) v
X c( f v)
( Xf ) v
Xcfc
C (M ) için aşağıdaki eşitlikler vardır [1]:
, f
( Xf ) c
Önerme
X ,Y
( M ) için aşağıdaki eşitlikler vardır [1]:
1) [ X v , Y v ] 0
2) [ X v , Y c ] [ X , Y ]v
3) [ X c , Y c ] [ X , Y ]c
Sonuç
G , (0,2) tipinden bir tensör alanı olsun. X , Y
1) G v ( X v , Y v )
0
2) G v ( X v , Y c )
0
3) G v ( X c , Y v )
0
4) G v ( X c , Y c )
(G ( X , Y )) v
dir [1].
( M ) olmak üzere
45
Önerme
~, ~
w
0
1
(TM ), X
~
~( X c )
( M ) için w
(X c )
~
w
~
dır [1].
2.6.7. Tanım
w
0
1
(M ) olsun. Her bir X
(M ) için wc ( X c )
(w( X )) c eşitliğiyle tanımlanan
w c ye w 1-formunun TM ye complete lifti denir [1].
Önerme
(U , x i ) koordinat sistemine göre
w
w i dx i olsun. Bu durumda w c nin
deki bileşenleri ( wi , wi ) dir [1].
Önerme
w
0
1
(M ) için;
(M ) , X
a) w v ( X v )
0
b) w v ( X c )
( w( X )) v
c) w c ( X v )
( w( X )) v
d ) wc ( X c )
( w( X )) c
dir [1].
2.6.8. Tanım
P, Q, R
( M ) iken ( P
Q) c
Pc
Qv
Pv
Q c , (P
R) c
Pc
Rc
1
(U )
46
eşitlikleri kullanılarak tensör alanlarının complete liftleri tanımlanır [1].
Sonuç
Aşağıda değişik tiplerden tensör alanlarının complete liftleri tanımlanmıştır:
a) (1,1) Tipinden Tensör Alanlarının Complete Liftleri
F
Fi h
(M ) olmak üzere F :
c
1
1
Fi
0
h
Fi h
dir [1].
b) (0,2) Tipinden Tensör Alanlarının Complete Liftleri
G
(M ) olmak üzere G c :
0
2
Gij
Gij
Gij
0
dir [1].
c) (2,0) Tipinden Tensör Alanlarının Complete Liftleri
H
2
0
( M ) olmak üzere H c :
0
H ij
H ij
H ij
dir [1].
d) (0,s) Tipinden Tensör Alanlarının Complete Liftleri
S
0
s
(M )
S
Sİ
s ,..., İ1
dxİ
...
s
dxİ
1
olmak üzere
s
Sc
( Sİ
dir [1].
s ,..., İ1
)(dxİ
s
...
dxİ )
1
Sİ
t 1
s ,..., İ1
)(dxİ
s
..
.dxİ
t
...
dxİ )
1
47
e) (1,s) Tipinden Tensör Alanlarının Complete Liftleri
1
s
T
(M )
Tc
( Tİ
T
( Tİ
h
s ,..., İ1
(Tİ
t 1
h
s ,..., İ1
)(
s
h
s ,..., İ1
Tİ
y
)(
)(
y
h
dxİ
s
...
s
...
s
...
s
dxİ
dxİ
xh
h
dxİ
h
y
h
s ,..., İ1
1
dxİ ) (Tİ
1
dxİ ) Tİ
1
...
dxİ olmak üzere
dy İ
t
.
h
s ,..., İ1
h
s ,..., İ1
)(
xh
)(
x
dx İ
h
s
dxİ
...
s
...
dxİ ) c
1
dxİ )
1
dxİ ) c
1
dır [1].
Sonuç
M üzerindeki koordinat sistemi (U , x h ) olsun. TM deki indirgenmiş lokal koordinat
1
sistemi ise (
(U ), ( x h , y h )) olsun. Bu durumda;
v
1)
xh
yh
2) (dx h ) v
dx h
c
3)
xh
4) (dx h ) c
5) P, Q
xh
dy h
(M )
(P
Q) v
Pv
Qv
48
6) P, Q
(M )
(P
Q) c
Pc
Qv
Pv
Qc
dir [1].
Teorem
G bir Lie grubu olsun. X ise G üzerinde bir sol invaryant vektör alanı olsun. Bu
durumda X V ve X C de TG üzerinde bir sol invaryant vektör alanıdır. Ayrıca
X 1 , X 2 ,..., X m , G nin Lie cebirinin bir bazı ise bu durumda
X 1V , X 2V ,..., X mV , X 1C , X 2C ,..., X mC
TG nin Lie cebirinin bir bazıdır. Ayrıca [ X i , X j ] Cijk X k ise bu durumda aşağıdaki
eşitlikler vardır [1]:
[ X i , X j ]C
[ X iC , X Cj ]
C ijk X kC
[ X i , X j ]V
[ X iV , X Cj ]
C ijk X kV
[ X iV , X Vj ]
0
49
3. GÖSTERİMLERİN TAŞINMALARI
3.1. Lie Grubu Üzerindeki Gösterimlerin Taşınmaları
V
bir n- boyutlu reel vektör uzayı olsun. V vektör uzayı ile IR n Öklid uzayı
arasındaki kanonik lineer izomorfizm  olsun. IR n Öklid uzayının standart
koordinat fonksiyonları u i : IR n  IR olmak üzere x i  u i   eşitliğiyle tanımlı
x i : TV  IR
TV nin global koordinat fonksiyonlarıdır.
TV nin vektör uzayı yapısı ve V  IR n in vektör uzayı yapısı göz önüne alınsın.
Lemma
V ve W birer sonlu boyutlu reel vektör uzayı ve f : V  W bir lineer
dönüşüm olsun. Bu durumda Tf : TV  TW de lineer bir dönüşümdür [4]. Ayrıca
f bir lineer izomorfizm ise Tf de bir lineer izomorfizmdir.
İspat
V ’nin ve W nın x V ve x  W ile sağ ötelemesi sırasıyla
 x :V V
 x : W  W dönüşümü y  V ve x , y   W için
 x ( y)  x  y
ve  x ( y  )  x  y 
ile tanımlansın. y  V için
c  IR için  c ( y)  c. y ve  c ( x)  c.x
ve
50
( f   x )( y)  f ( x  y.)  f ( x)  f ( y)
  f ( x ) ( f ( y))  ( f ( x )  f )( y)  ( f   x )  ( f ( x )  f )
ve
( f  c )( y)  f (cy)  c. f ( y)   c ( f ( y))  ( c f )( y)  ( f  c )  ( c f )
dir. v x , v~y  TV için
i)
(Tf )(v x  v~y )  Tf (T y (v x )  T x (v~y ))
 Tf x  y (T y (v x ))  Tf x  y (T x (v~y ))  T ( f   y )(v x )  T ( f   x )(v~y )
 T (
 f )(v )  T (
 f )(v~ )
f ( y)
x
f ( x)
y
 (T f ( y )  Tf )(v x )  (T f ( x )  Tf )(v~y )
 T
(Tf (v ))  T
(Tf (v~ ))
f ( y)
x
f ( x)
y
 Tf (v x )  Tf (v~y )
ii )
Tf (c  v x )  Tf (T c (v x ))
 T ( f   c )(v x )
 T ( c  f )(v x )
 T ( c )(Tf (v x ))
 c  Tf (v x )
(i) ve (ii) den Tf lineer bir dönüşümdür.
F bir lineer izomorfizm olsun. V ve W nın global koordinat fonksiyonları sırasıyla
( x i ) ve ( x i ) olsun. f
bir lineer izomorfizm olduğundan Boy(V)=Boy(W) dır.
51
böylece Boy(TV)=Boy(TW) dır. Tf dönüşümünün bir lineer izomorfizm olması için
gerekli ve yeterli koşul Tf dönüşümünün birebir olmasıdır.
n
Y p   Y j
j 1

| p  Çekf  Tf (Y p )  0 0 dır. Bu durumda
x j
Tf (Y p )  0 0  ( f ( p), Tf (Y p )[ x i ]ei )  (0,0)
n
 f ( p)  0 ,  Tf (Y p )[ x i ]ei  0
i 1
dir. f bir lineer izomorfizm olduğundan Çekf  {  } dir. Böylece p   dır.
V den IR n e kanonik lineer izomorfizm  ve W den IR n e kanonik lineer
izomorfizm  olsun. Bu durumda aşağıdaki değişmeli diyagram vardır:
f
V 
W
  ( xi ) 
   ( x i )
f̂
IR n 
IR n
Bu durumda
( x i  f )
( x i  f   1 )
|

| ( p )
p
x j
u j
dir. V ve W nın bazları sırasıyla {  ,..., n } ve {  ,..., n } olsun.
n
n
i 1
j 1
( x i  f   1 )(u 1 ,..., u n )  ( x i  f )( u i i )   Ati u t

n
n
u
 ( x i  f   1 )
| ( p )   Ati t | ( p )  Ati  tj A ij
u j
u j
j 1
j 1
52

 ( x i  f )
| p  Aij
x j
dir.
n
i
i
 Tf ( Y p )[ x ] ei   olduğundan her bir   i  n için Tf ( Y p )[` x ]   dır. Her
i 
bir   i  n için
Tf (Yp )[ x i ]  0  Yp [ x i f ]  0
n
( xi f )
0
|
Y

AijY j

p
j
j
x
j 1
j 1
n
~
Y p nin vektörel bileşenlerinden bir Y  ( Y ,...,Yn )  IR n elde edilirse  kanonik
lineer izomorfizm olduğundan
n
~
f (   ( Y ))   Aij Y j i
i , j 
n
~
dir. Ancak her bir   i  n için  Aij Y j   olduğundan f (   ( Y ))   dır. Bu
j 
~
~
durumda   ( Y )  Çekf dir. Çekf  {  } olduğundan   ( Y )   dır. Bu ise
~
Y  ( Y ,...,Yn )  (  ,..., ) olması demektir. Böylece Y p    dır. Çek( Tf )  {  }
olduğundan Tf birebirdir. Böylece Tf bir lineer izomorfizmdir.
Önerme
 : TV  V  IR n , TV tanjant demetinin trivializasyonunu göstersin. Bu durumda
TV nin vektör uzayı yapısı ve V  IR n in vektör uzayı yapısıyla birlikte  bir lineer
53
izomorfizmdir.
İspat
Her bir v , w  TV ve c  IR için v  T p V
1
v  vi
w  T p V olmak üzere
2


| , w  v i i | p2
i p1
x
x
olsun. Her bir u  (u1 ,..., un )  IR n için ( xi  p1  1 )(u1..., u n )  x i ( p1  u )  p1i  u i

( x i   p1 )
x j
|p2 
( x i   p1   1 )
u j
| ( p2 )   ij
(3.1)
eşitliği elde edilir. Bu durumda
( T p2 ( v ))[ x ]  v [ x   p2 ] 
i
i
( x i   p2 )
x j
|p1 v j  vi
elde edilir. Benzer şekilde
( T p1 ( w ))[ x i ]  wi
olduğu gösterilir. Bununla birlikte ( xi  c  1 )( x)  xi (cx)  cxi olduğundan
 ( xi  c )
( xi  c  1 )
|

| ( p1 )  c ij
p1
x j
u j
eşitliği vardır. Bu durumda
(3.2)
54
(T c (v))[ xi ]  v[ xi  c ] 
( xi  c )
| p1 v j  cvi
x j
(3.3)
eşitliği elde edilir.
i)
 ( v  w )   ( T p2 ( v )  T p1 ( w ))  ( p1  p 2 ,( T p2 ( v )  T p1 ( w ))[ x i ] ei )
dir. Eş. 3.2 eşitliğinden
 ( v  w )  ( p  p  ,( v i  wi )ei )  ( p ,v i ei )  ( p  , wi ei )   ( v )   ( w )
dir.
ii)
 (c  v)   (T c (v))  (cp1 , T c (v)[ x i ] ei )  (cp1 , v [ x i   c ] ei )
dir. Eş . 3.3 eşitliğinden
 (c  v)  (cp1 , v [ x i   c ] ei )  (cp1 , cv i ei )  c  (v)
dir.
Böylece (i) ve (ii) den  bir lineer dönüşümdür. Ayrıca  bir global trivializasyon
olduğundan bire bir ve örtendir. Böylece  bir lineer izomorfizmdir.
55
Sonuç
V nin bazı {  i : 1  i  n } olmak üzere
(  i ,0 )   i ve ( 0 ,ei )  yi
ile gösterilsin. Bu durumda
  {  i , yi : 1  i  n }
V  IR n in bir bazıdır.
 : TV  V  IR n
bir lineer izomorfizm olduğundan  1 (  ) de TV nin bir bazıdır.
 1 (  i )  ~i ve  1( yi )  ~yi olarak tanımlansın. Bu durumda
 1 (  )  {~i , ~yi : 1  i  n}
dır. Her bir v  TV ve  ( v )  p için  ( v )  ( p ,v[ x i ] ei ) olmak üzere
 ( v )  ( pi i ,v[ x i ] ei )  pi (  i ,0 )  v[ x i ]( 0 ,ei )  pi i  v[ x i ] yi
n
dir. Ayrıca  ( v )  ( pi i ,v[ x i ] ei ) ve v[ x i ]  vi olmak üzere v   vi
i 1
A  p1  ~1  ...  pn  ~n  v1  ~
y1  ...  vn  ~
yn

| p dir.
x i
56
olsun. Her bir i 1  i  n  1 için pi  i  T pi ( i )  0 pii dir. Ayrıca
n ( x
n
 vi ) 


|0 )  
|
|

vi i |0

0
i
i 0
xi
x
x
x
j 1
j 1
j
vi  yi  T  vi ( yi )  T  vi (
dir. Bu durumda
n

j 
x i
A   p  ...   pn n   vi
|
dir. Her bir i 1  i  n  1 için
0 pi i  0 pi 1 i 1  T p
i  1 i  1
( 0 pi i )  T pi ( 0 pi 1 i 1 )  0 pi i  pi 1 i 1
i
dır. Bu durumda A  v bulunur. Böylece
v    ( p j  j  v j y j )  p j  ~ j  v j  ~
yj
dır.
Not
V  Sp{  ,..., n } bazı sabitlensin. Bu durumda
F  F ji i   j
olmak üzere A matrisinin (i, j ) bileşeni F ji olmak üzere Z ( F )  A eşitliğiyle tanımlı
Z : Oto( V )  GL( n; IR )
57
ve TV üzerindeki vektör uzayı yapısıyla birlikte
~~ ~~
~
~
Z ( F )  A ve A~ji  F~ji
eşitliğiyle tanımlı Z : Oto(TV )  GL(2n; IR) dönüşümü birer grup izomorfizmidir.
İspat
F ,G  Oto( V ) için V  Sp{  ,..., n } bazına göre F  G lineer dönüşümüne
karşılık gelen matris F ye karşılık gelen matris ile G ye karşılık gelen matrisin
çarpımına eşit olduğundan
Z ( F  G )  Z ( F ).Z ( G )
dır. Z bir grup homomorfizmidir. Ayrıca Z ( F )  Z ( G ) ise F ye ve G ye karşılık
gelen matrisler aynı olduğundan F ve G eşit olmalıdır. Bu nedenle Z dönüşümü bire
birdir. Ayrıca her bir A  GL( n , IR ) için her bir matrise bir lineer dönüşüm karşılık
geldiğinden A matrisine de bir V den V ye bir F lineer dönüşümü karşılık gelir.
Ayrıca A  GL(n; IR) tersinir bir matris olduğundan A ya karşılık gelen lineer
dönüşüm de tersinirdir; yani F bir lineer izomorfizmdir; yani F  Oto( V ) dır.
Z ( F )  A olacak biçimde F  Oto( V ) bulunduğundan Z dönüşümü örtendir.
Böylece Z bir grup izomorfizmidir. Benzer biçimde Z nin de izomorfizm olduğu
gösterilebilir.
Not
Bir önceki notta ifade edilen Z izomorfizmi için  1 (  )  { ~i , ~y i : 1  i  n }
 F~ji
~
~ ~i
bazının elemanları göz önüne alındığında Z ( F )  [ F~j ]   ~ ni
 F j
~
Fni j 
~  ve
Fnnji 
58
her i , j 1  i , j  n için
~
~
~
~
~
F (~ j )  F ji~i  F jn i ~
y i  ( F ji i , F jn i ei )
~
~
~
~
~
F(~
y j )  Fni j ~i  Fnnji ~
y i  ( Fni j  i , Fnnji ei )
elde edilir. Bu durumda Z 1 : GL( 2n; IR )  Oto( TV ) izomorfizmi
~
~
~
~
~
Z 1 ( A )  A ij ( ~i  ~i* )  A jni ( ~
yi  ~i* )  Ani  j ( ~i  ~
y j* )  Annij ( ~
yi  ~
y j* )
eşitliğiyle tanımlanır.
Not
2
Oto(V) nin koordinat fonksiyonu ( y ij ) : Oto( V )  IR n ve GL(n;IR) nin koordinat
fonksiyonu
2
( y ij ) : GL( n; IR )  IR n olmak
sabitlendiğinde;
( y ij )( F ji (  i   *j ))  F ji
( y ij )( A )  Aij
olmak üzere
Z
Oto( V ) 
GL( n; IR )
y ij 
 y ij
2

Z
IR n 
IR n
2
üzere
V
nin
{  ,..., n }
bazı
59
geçişli diyagramı incelendiğinde

Z  Id
IR n
2
olduğu görülür. Bu durumda
( y ij )  Z  ( y ij ) dir. Her bir i, j için y ij  Z  y ij eşitliği vardır.
Önerme
(G,V) bir n-boyutlu reel gösterim ise (TG , TV ) de bir 2n-boyutlu reel gösterimdir.
İspat
(G , V ) bir reel gösterim ise  : G  Oto(V ) homomorfizmi vardır. Bu durumda
T : TG  T (Oto (V ))
bir homomorfizmdir. Ayrıca
J n : T ( GL( n, IR ))  GL( 2n, IR )
dönüşümü bir homomorfizmdir. Notta ifade edilen Z ve Z homomorfizmleri de
kullanılırsa
~
  Z 1  J n  TZ  T
~
eşitliğiyle tanımlı  : TG  Oto(TV ) dönüşümünün de bir homomorfizm olduğu
görülür. Böylece (TG, TV) bir gösterimdir. TV 2n  boyutlu bir reel vektör uzayı
olduğundan , (TG, TV) 2n  boyutlu bir reel gösterimdir.
3.1.1. Tanım
~
~
  Z 1  J n  TZ  T eşitliğiyle tanımlı  : TG  Oto(TV ) homomorfizmiyle
60
ifade edilen ( TG ,TV ) gösterimi, G üzerindeki (G,V) gösteriminin TG ye taşınmışı
olarak adlandırılır. Her bir f  Oto( V ) için
( Z  R ( a ) )( f )  Z ( f  (a))
 Z ( f )Z ((a))  RZ ( ( a )) (Z ( f ))  ( RZ ( ( a ))  Z )( f )
olduğundan
( Z  R ( a ) )  ( RZ (  ( a ))  Z )
dir. X a  TG
(3.4)
ve Y p  TV
için
T( X a )  TR ( a ) B olacak şekilde B  End (V ) elemanı alındığında
T( X a )  [(a), B]
ikilisiyle ifade edilsin. Bu durumda
TZ ([ (a ), B])  TZ (TR  ( a ) B )  T ( Z  R ( a ) )( B )  T ( R( Z  )( a )  Z )( B )
 TR ( Z  )( a ) (TZ ( B ))  [( Z   )(a ), TZ ( B)]
dir. Bu durumda tanımlanan J n dönüşümü kullanılırsa
~
 ( X a )  ( Z 1  J n  TZ  T )( X a )  ( Z 1  J n  TZ )([ (a ), B ])
 ( Z 1  J n )[( Z   )(a ), TZ ( B)]
  ( Z   )(a)
0

 Z 1  
 
TZ
(
B
)(
Z


)(
a
)
(
Z


)(
a
)


*
*
 [(Z  )(a)]ij (~i  ~ j )  [TZ ( B)(Z  )(a)]ij ( ~
yi  ~ j )
*
 [( Z   )(a )]ij ( ~
yi  ~
yj )
eşitliği elde edilir. Bu durumda
~
( X a )(Yp )  [(Z  )(a)]ij p j~i )  [TZ ( B)(Z  )(a)]ij p j ~
yi  [(Z  )(a)]ij Y j ~
yi
(3.5)
61
dir. Böylece

~
( X a )(Yp )  [(Z  )(a)]ij p j i , [TZ ( B)(Z  )(a)]ij p j ei  [(Z  )(a)]ij Y j ei

(3.6)
eşitliği elde edilir.
Örnek
S 1 birim çemberinin bir gösterimi  : S 1  Oto( IR 2 ) , ( a,b )  S 1 için
(a, b)( x, y )  (ax  by, ay  bx) ile tanımlansın. IR2 nin standart bazı göz önüne
alındığında
 ( a, b)
ye
karşılık
gelen
 0
[(a, b), B]  TR  ( a ,b ) (T( X ( a ,b ) )) olmak üzere B  
 X
 bX
B(a, b)  
 aX
matris
 a b
 b a 


X
olarak elde edilir.
0 
aX 
 bX 
olarak elde edilir. Böylece
 a
 b
~
 ((a, b), X )  
  bX

 aX
b
a
aX
 bX
0
0 0 
a b

 b a
0
olarak elde edilir.
Önerme
(G , V ) gösterimine karşılık gelen G nin V üzerine etkisi  olsun. Bu durumda
(TG, TV) gösterimine karşılık gelen TG nin TV üzerine etkisi T  dur.
dır.
62
İspat
(G,V) gösterimine karşılık gelen etki  olsun. Bu durumda
 : G V  V
dönüşümü her bir ( a , p )  G  V  ( a , p )   ( a )( p ) ile tanımlanır.
x j : V  IR x j ( p )  p j
x j : G  V  IR x j (a, p )  p j
y ij : Oto(V )  IR , y ij ( f )  f ji
~
y ij : G  V  IR ~
y ij (a, p)  ((a)) ij
eşitlikleri tanımlansın. Bu durumda her bir ( a , p )  G  V için
n
n
t 1
t 1
( x j   )(a, p)  x j ((a)( p))   ((a)) tj pt  ( ~
y t j x t )(a, p)
n
 xj   ~
yt j x t
t 1
dir. Ayrıca
(~
yt j  f a )( p)  ~
yt j (a, p)  ((a)) tj
olduğundan ~yt j  f a fonksiyonu sabit bir fonksiyondur.
Benzer şekilde her bir
a  G için ( x t  f p )(a )  x t (a, p )  pt olduğundan bir sabit fonksiyondur. Bununla
birlikte
(~
y t j  f p )(a)  ~
y t j (a, p)  ((a)) tj  ( y t j  )(a)
63
ve
( x t  f a )( p )  x t ( a , p )  pt  x t ( p )
olduğundan
(~
y t j  f p )  ( y t j   ) ve x t  f a  x t
dir. Bu durumda her bir ( X a ,Y p )  TG  TV için
n
T ( X a , Y p )[ x j ]  ( X a , Y p )( x j   )  ( X a , Y p )( ~
y t j .x t )
t 1
n
n
  ( X a , Y p )( ~
y t j ).(x t (a, p ))   ~
y t j (a, p ).( X a , Y p )( x t )
t 1
t 1
n
n
t 1
t 1
  ( X a , Y p )[ ~
y t j ] pt   ( (a)) tj (( X a , Y p )( x t ))
n
n
n

  Tf p ( X a )[ ~
y t j ]  Tf a (Y p )[ ~
y t j ] pt   ( (a )) tj  Tf p ( X a )( x t )  Tf a (Y p )( x t )
t 1
t 1
 t 1


n



n


  X a[~
yt j  f p ]  Y p [ ~
y t j  f a ] pt   ( (a )) tj X a [ x t  f p ]  Y p [ x t  f a ]
t 1
n
t 1




n
  X a[~
y t j  f p ] pt   ( (a )) tj Y p [ x t  f a ]
t 1
n
t 1
n
  X a [ y t j   ] pt   ( (a )) tj Y p [ x t ]
t 1
n
t 1


n
  T ( X a )[ y t j ] pt   ( (a )) tj Yt
t 1
t 1
bulunur. Bu durumda
n
n


T ( X a , Y p )    (a, p), ( T( X a )[ y t j ] pt   ( (a)) tj Yt )e j 
t 1
t 1


n
n


   (a)( p),  T ( X a )[ y t j ] pt e j   ( (a)) tj Yt e j 
t 1
t 1


(3.7)
64
elde edilir.
n
( y t j  R ( a ) )( f )  y t j ( f   (a ))   y t j ( f )( (a )) tk
k 1
 ( y t  R ( a ) )
j

y
q
l
  qj  lt ( (a )) tk
olduğundan
T ( X a )[ y t j ]  (TR  ( a ) B )[ y t j ]
 B[ y t j  R ( a ) ]

n
b
q ,l 1

 ( y t j  R ( a )
y lq
n
b 
q ,l 1

q
l
q
l
n
b
q ,l 1
j
k
j
q
 lt ((a)) tk
( (a )) tk
 [ B   (a)]tj
bulunur.
n
[TZ ( B)( Z   (a ))]tj   (TZ ( B)) kj ( Z   (a)) tk
k 1
n
  (b) kj ( (a )) tk
k 1
 [ B   (a)]tj
bulunur. Böylece 3.7 eşitliği
n


j
T ( X a , Y p )   (a)( p), [TZ ( B)( Z  (a))]t pt e j   ((a)) tj Yt e j 
t 1


65
n


  ((a)) ij p j i , [TZ ( B)( Z  (a))]tj pt e j   ((a)) tj Yt e j 
t 1


~
 ( X a )(Y p )
dir. (TG, TV) gösterimine karşılık gelen etki T  dur.
Not
Bundan sonra Eş .3.6 eşitliği aşağıdaki biçimde ifade edilecektir:

~
( X a )(Yp )  [(a)]ij p j i , [ B  (a)]ij p j ei  [(Z  )(a)]ij Y j ei

(3.8)
Önerme
(G ,V ) ve ( G ,V  ) denk gösterimler olsun. Bu durumda ( TG ,TV ) ve ( TG ,TV  ) de
denk gösterimlerdir.
İspat
( G ,V ) ve ( G ,V  ) gösterimleri sırasıyla  : G  Oto(V )
ve   : G  Oto (V )
olsun. Ayrıca ( G ,V ) ve ( G ,V  ) gösterimlerine karşılık gelen etkiler sırasıyla  ,  
olsun. ( G ,V ) ve ( G ,V  ) denk gösterimler olduğundan her bir a  G ve her bir
p  V için
A((a)( p))   (a)( A( p))
olacak şekilde A : V  V  izomorfizmi vardır. Bu durumda her bir a  G ve her bir
p  V için
66
A((a)( p))   (a)( A( p))
 A(  (a, p))   (a, A( p))
 ( A   )(a, p)     ( I  A)(a, p)
 A       ( I  A)
(3.9)
dır. Lemma dan A : V  V  bir lineer izomorfizm olduğundan A bir lineer
izomorfizmdir. Yukarıdaki eşitlik göz önüne alındığında TA  T  T   ( TI  TA )
eşitliği elde edilir. Her bir ( X a ,Y p )  TG  TV için
( TA  T )( X a ,Y p )  ( T   ( TI  TA ))( X a ,Y p )
 TA( T ( X a ,Y p ))  T (( TI  TA )( X a ,Y p ))  T ( X a ,TA( Y p ))
eşitliği elde edilir.  : G  Oto(V ) ve
gelen
etkiler
sırasıyla

ve
  : G  Oto (V ) gösterimlerine karşılık
  olduğundan bir önceki önermeden
~
~
 : TG  Oto(TV ) ve  : TG  Oto(TV ) gösterimlerine karşılık gelen etkiler
sırasıyla T  ve T  dır. Böylece her bir X a  TG , Y p  TV için
~
TA(( X a )(Y p ))  TA(T ( X a , Y p ))
 T ( X a , TA(Y p ))
~
  ( X a )(TA(Y p ))
elde edilir. Her bir X a  TG , Y p  TV için
~
~
F (( X a )(Y p ))  ( X a )( F (Y p ))
olacak biçimde F : TV  TV  izomorfizmi var olduğundan ( TG ,TV ) ve ( TG ,TV  )
denk gösterimlerdir.
67
Önerme
(G , V ) n  boyutlu reel gösterim olsun. Bu durumda U vektör uzayının (G , V ) için
bir invaryant alt uzay olması için gerekli ve yeterli koşul
TU
nun
(TG , TV ) gösterimi için bir invaryant alt uzay olmasıdır.
İspat
U alt uzayı (G , V ) gösterimi için bir invaryant alt uzay olsun. Eğer U  V ise ispat
açıktır.
U  V olsun. U  V alt uzayının bir bazı S  {  1 ,.. k } olsun. Burada k  n dir.
U alt uzayının S bazı V nin bazına tamamlanırsa S   {  1 ,.. n } bazı elde edilir.
~
Bu baz sabitlenir ve bu baza göre  dönüşümü tanımlanırsa eşitliğinden X a  TG
için
~
( X a )  [(Z  )(a)]ij (~i  ~j * )  [TZ ( B)(Z  )(a)]ij ( ~
yi  ~j * )  [(Z  )(a)]ij ( ~
yi  ~
y *j )
dir. j içerme dönüşümü olmak üzere Tj : TU  TV kullanılırsa
Y p  ( p1 1  ...  p k  k ,Y1e1  ...  Yk ek )  TU
için
Tj (Yp )  ( p11  ...  pk k  0 k 1  ...  0 n , Y1e1  ...  Yk ek  0ek 1  ...  0en )
alınırsa Tj (Yp )  TV olur. Bundan sonra Tj (Yp ) yi özdeş olarak Y p ile göstereceğiz.

~
( X a )(Yp )  [(Z  )(a)]ij p j  i, [TZ ( B)(Z  )(a)]ij p j ei  [(Z  )(a)]ij Y j ei

68
ve U invaryant alt uzay olduğundan  (a )( p )  U dur. Bu durumda
 (a)( p)  U  ( Z   (a)) ij p j  i  U
  (a)( p) 
k
 (Z  (a))
i , j 1
i
j
p j i
~
~
dır. Ayrıca  ( X a ) bir lineer izomorfizm olduğundan Boy ( ( X a )(TU ))  Boy (TU )
dur. Böylece
n
n
 [TZ ( B)( Z  )(a)]
i 1 j 1
i
j
 IR k
~
dır, yani ( X a )(Yp )  TU dir. Böylece TU bir invaryant alt uzaydır.
Tersine TU , (TG , TV ) gösterimi için bir invaryant alt uzay olsun. Her bir p  U
için  dönüşümü örten bir dönüşüm olduğundan  ( Y )  p olacak şekilde bir
Y  TU vardır. Bu Y elemanı ve X a  TG için

~
( X a )(Yp )  [(Z  )(a)]ij p j  i, [TZ ( B)(Z  )(a)]ij p j ei  [(Z  )(a)]ij Y j ei

dir. Bu durumda TU , (TG , TV ) gösterimi için bir invaryant alt uzay olduğundan
[( Z   )(a)]ij p j  i  U
dur, yani
y ij ( (a))  ( y ij  Z )( (a))  y ij ( Z   )(a)  [( Z   )(a )]ij
dir. Bu eşitlik kullanılırsa
69
 (a )( p )  [ (a )]ij p j  i
 y ij ((a)) p j  i
 (( Z  )(a)) ij p j  i
ve [( Z  )(a)]ij p j  i  U olduğundan  (a )( p )  U dur. Bu durumda U , (G , V )
gösterimi için bir invaryant alt uzaydır.
Sonuç
~
~
 : G  Oto(V ) gösteriminin taşınmışı  olmak üzere eğer  bir indirgenemez
gösterim ise ,  : G  Oto(V ) de bir indirgenemez gösterimdir.
İspat
~
 bir indirgenemez gösterim ve W ,  için sıfırdan farklı bir invaryant alt uzay
~
olsun. Bu durumda TW da  için bir invaryant alt uzaydır. W  {0} olduğundan
~
TW  {0} dır. Bu durumda  bir indirgenemez gösterim olduğundan TW  TV
olmalıdır. Bu durumda W  V dir. Böylece  gösteriminin sıfırdan farklı invaryant
alt uzayı yalnızca V olduğundan  bir indirgenemez gösterimdir.
Not
Yukarıdaki sonucun tersi her zaman doğru değildir. Bunu bir örnekle gösterelim.
Önceki örnekte tanımladığımız S 1 birim çemberinin bir gösterimini alalım. Bu
gösterim bir indirgenemez gösterimdir. Bunu gösterelim:
Kabul edelim ki W ,  için sıfırdan ve IR 2 den farklı bir invaryant alt uzay olsun.
Bu durumda (
1
2
,
1
2
)  S 1 için (
1
2
,
1
2
) : IR 2  IR 2 bir otomorfizm olmak
70
üzere W invaryant alt uzay olduğundan (
1
2
,
1
2
)(W )  W olmalıdır. W sıfırdan
ve IR 2 den farklı olduğundan 1-boyutludur ve bu nedenle düzlem üzerindeki bir
doğrudur.
(
1
2
,
1
2
) : IR 2  IR 2 dönüşümü ise

radyanlık dönme dönüşümüdür. Ancak
4
herhangi bir W doğrusu üzerindeki noktalar

radyanlık dönme sonucu tekrar aynı
4
doğru üzerine düşemez. Bu bir çelişkidir. Bu durumda kabulümüz yanlıştır,  bir
indirgenemez gösterimdir. Örnekte tanımlandığı üzere  nin taşınmışına karşılık
gelen matris
 a
 b

  bX

 aX
b
a
aX
 bX
0
0 0 
a b

 b a
0
~
dır. W  (0,0, x, y) : x, y  IR  IR 4 bu gösterim için bir invaryant alt uzaydır.
Böylece  nin taşınmışı bir indirgenemez gösterim değildir.
Sonuç
İki gösterimin direkt toplamının taşınmışı, bu iki gösterimin taşınmışlarının direkt
toplamıdır.
İspat
1 ve  2 sonlu boyutlu reel gösterimler ve 1 ve  2 ye karşılık gelen grup etkileri
sırasıyla 1 ve  2 olmak üzere   1   2
olsun. Pr1 ve Pr2 sırasıyla
G  (V1  V2 ) nin 1. ve 2. kartezyen çarpım projeksiyonlarını göstersin ve p r1 ve
71
p r2 ise V1  V2 nin sırasıyla 1. ve 2. projeksiyonlarını göstersin. Bu durumda her bir
a  G ve ( v1 ,v2 ) V1 V2 için
( 1  2 )( a,( v1 ,v2 ))  ( 1 ( a,v1 ), 2 ( a,v2 ))
 ( 1  2 )(( a,v1 ),( a,v2 ))
 ( 1  2 ) ((Pr1 , pr1 Pr2 ),(Pr1 , pr2 Pr2 ))( a,( v1 ,v2 ))
olduğundan
( 1  2 )  ( 1  2 ) ((Pr1 , pr1 Pr2 ),(Pr1 , pr2 Pr2 ))
dır. Eşitliğin her iki yanının tanjant dönüşümü alınırsa
T( 1  2 )  T( 1  2 ) (T(Pr1 , pr1 Pr2 ),T(Pr1 , pr2 Pr2 ))
 T( 1  2 ) ((T(Pr1 ),T( pr1 ) T(Pr2 )),(T(Pr1 ),T( pr2 ) T(Pr2 )))
elde edilir. Kartezyen çarpım projeksiyonlarının türev dönüşümleri yine kartezyen
çarpım
projeksiyonu
olduğundan,
yani
T( Pr1 )( X a ,Y( v1 ,v2 ) )  X a
ve
T( Pr2 )( X a ,Y( v1 ,v2 ) )  Y( v1 ,v2 ) olduğundan aşağıdaki sonuç elde edilir:(Aynı sonuç
V1  V2 nin projeksiyonu için de geçerlidir.)
T ( 1   2 )( X a , (Yv 1 , Yv2 ))  T ( 1   2 )(( X a , Yv 1 ), ( X a , Yv 2 ))
 (T1 ( X a , Yv 1 ), T 2 ( X a , Yv 2 ))
~
~
 (1   2 )( X a , (Yv 1 , Yv2 ))
~
~
dir. 1   2 nin taşınmışına karşılık gelen grup etkisi T( 1  2 ) olduğundan ispat
tamamlanır. Şimdiye kadar Lie grupları üzerindeki reel gösterimlerin tanjant demete
taşınmaları ve bu taşınmayla ilgili özelliklere değindik. Bundan sonraki bölümde ise
72
Lie cebirleri üzerindeki reel gösterimlerin tanjant demete taşınmalarını inceleyeceğiz.
3.2. T(Lie(G)) nin Cebirsel Yapısı
Not
G
nin Lie cebiri Lie (G ) olmak üzere Lie (G ) üzerindeki Lie çarpımı  ile
gösterilsin. Bu durumda
T  : T ( Lie(G ))  T ( Lie(G ))  T ( Lie(G ))
(3.10)
diferensiyellenebilir dönüşümü tanımlıdır.
Önerme
T ( Lie( G ))  T ( Lie( G ))  T ( Lie( G )  Lie( G )) izomorfizmi
a ,b  Lie( G ) ve   IR için
f a : Lie( G )  Lie( G )  Lie( G )
x
 f a ( x )  ( a, x )
ve
f a : Lie( G )  Lie( G )  Lie( G )
x
 f a ( x )  ( x,a )
dönüşümleri yardımıyla X a ,Yb  T ( Lie( G )) için aşağıdaki biçimde tanımlanmıştı:
( X a ,Yb )  Tf b ( X a )  Tf a ( Yb )
73
Bu
durumda
a ,b , c  Lie( G ) ,   IR ,
X a ,Yb , Z c  T ( Lie( G )) aşağıdaki
eşitlikler vardır:
i)  f a   1  f a
(3.11)
ii)  fb   1  fb
(3.12)
iii)  fb       fb
(3.13)
iv)  fa     f a
(3.14)
v)  f c  b    (b ,c )  f c
(3.15)
vi) T ( f a )(Zc )  T ( fb )(Zc )  T ( f a b )(Zc )
(3.16)
vii)
T (  ( (b,c ),a )  f c  fb    ( ( a ,b ),c )  f (b,c ) )( X a )
 T ( 1  fb  f c )( X a )
(3.17)
viii)
T (  ( (b ,c ),a )  f c  f a    ( ( a ,b ),c ) f a  f c )(Yb )
 T ( 1  f ( c ,a ) )(Yb )
(3.18)
ix)
T (  ( (b,c ),a )  f ( a ,b )    ( ( a ,b ),c )  f a  fb )( Z c )
 T ( 1  fb  f a )(Z c )
(3.19)
74
İspat
i)
x  Lie( G )
için
( f a )( x)   (a, x)   ( x, a)  ( 1  )( x, a)  ( 1  f a )( x)
olduğundan  f a   1  f a dır.
ii)
x  Lie( G )
için
( fb )( x)   ( x, b)   (b, x)  ( 1  )(b, x)  ( 1  fb )( x)
olduğundan  fb   1  fb dir.
iii)
x  Lie( G ) için
( fb   )( x)   f b ( x)   ( x, b)   ( x, b)
   ( ( x, b))  (   )( x, b)  (   f b )( x)
olduğundan   f b          f b dir.
iv)
x  Lie( G ) için
( fa )( x)   ( a, x)   (a, x)  (   )(a, x)  (   f a )( x)
 fa     f a dır.
olduğundan
75
v)
x  Lie( G ) için
(   f c   b )( x )  (   f c )( b  x )   ( b  x ,c )   ( b , c )   ( x , c )    ( b ,c ) (  ( x , c ))
 (   ( b ,c )   )( x , c )  (   ( b ,c )    f c )( x )
olduğundan   f c   b    ( b ,c )    f c dir.
vi)
X  Lie( G ) için Lie ( G ) nin koordinat fonksiyonları xi ile gösterilsin. Bu
durumda her bir   i  m için
( xi (  (b,c )  f a )  xi (  ( a ,c )  fb ))( X )  ( xi (  (b ,c )  f a    ( a ,c )  fb )( X )
 xi ( (b, c)   (a, X )   (a, c)   (a, X ))
dir.  ( b , c ) ve  ( a ,c ) , xi den bağımsız olduğundan
 ( xi (  (b ,c )  f a )  xi (  ( a ,c )  fb ))( X )
x j
dir. Böylece
|c 
 ( xi ( (b, c)   (a, X )   (a, c)   (b, X ))
|c
x j

 ( xi ( (a, X )   (b, X ))
|c
x j

 ( xi ( (a  b, X )))
|c
x j

 ( xi  f a b )( X ))
|c
x j
76
( xi (  (b,c )  f a )  xi (  ( a ,c )  fb ))
x j
m
eşitliği elde edilir. Z c   z j
j 
|c 
 ( xi  f a b )
|c
x j

|c olmak üzere
x j
(T ( f a )( Z c )  T ( f b )( Z c ))[ xi ]
 (T (  (b ,c )  f a )( Z c )  T (  ( a ,c )  fb )( Z c ))[ xi ]
 Z c [ xi   (b ,c )  f a ]  Z c [ xi   ( a ,c )  fb ]
m
 ( xi   (b ,c )  f a )
i 1
xj

m
 ( xi   (b ,c )  f a )
i 1
xj
 (
m
 ( xi   ( a ,c )  fb )
i 1
xj
|c z j  
|c 
 ( xi   ( a ,c )  fb )
xj
m
 ( xi   (b ,c )  f a  xi   ( a ,c )  fb )
i 1
xj
 (
m

i 1
|c z j
|c ) z j
|c z j
 ( f a b )
|c z j
xj
 (T ( f a b )( Z c ))[ xi ]
olduğundan
T ( f a )(Zc )  T ( fb )(Zc )  T ( f a b )(Zc )
dır.
vii)
X  Lie( G ) için Lie ( G ) nin koordinat fonksiyonları xi ile gösterilsin. Bu
durumda her bir   i  m için
77
( xi    ( (b,c ),a )    f c    f b    ( ( a ,b ),c )    f  (b ,c ) )( x)
m
X
j 1
x j
j
m
X j
j 1
m
 X j
j 1
m
 X j
j 1
m
X j
j 1
m
X j
j 1
|a
( xi ( ( (b, c), a)   ( ( x, b), c)   ( (a, b), c)   ( (b, c), x))
|a
x j
( xi ( ( ( x, b), c)   ( (b, c), x))
|a
x j
( xi ( ( (c, x), b))
|a
x j
 ( xi   1   )( (c, x), b)
|a
x j
 ( xi   1    f b    f c )( x)
|a
x j
olduğundan
T (  ( (b,c ),a )  f c  fb    ( ( a ,b ),c )  f (b,c ) )( X a )[ xi ]
 X a [ xi   ( (b ,c ),a )  f c  fb    ( ( a ,b ),c )  f (b ,c ) ]
m
 ( xi   ( (b,c ),a )  f c  fb    ( ( a ,b ),c )  f (b,c ) )
j 1
x j
Xj
|a
 T ( 1  fb  f c )( X a )[ xi ]
bulunur. (viii) ve (ix) eşitlikleri (vii) eşitliğine benzer biçimde gösterilebilir.
Önerme
( T ( Lie( G )), ,,T ) bir Lie cebiridir.
İspat
Bunu göstermek için T(Lie(G)) üzerindeki T dönüşümünün anti simetri, bi lineerlik
ve
Jacobi
özdeşliğinin
gösterilmesi
gerekir
ve
yeter.
Her
bir
78
( X a ,Yb )  T ( Lie( G ))  T ( Lie( G )) için (i) ve (ii) kullanılırsa
T  ( X a , Yb )  T  (Tf b ( X a )  Tf a (Yb ))  T ( f b )( X a )  T ( f a )(Yb )
 T ( 1  fb )( X a )  T ( 1  f a )(Yb )
 T  1 (T ( f b )( X a )  T ( f a )(Yb ))
 T 1 (T ( f a )(Yb )  T ( f b )( X a ))
 T  1[T  (Tf a (Yb )  Tf b ( X a ))]
 T  1 (T  (Yb , X a ))
 1  T  (Yb , X a )
Bu nedenle T anti simetriktir. Her bir X a ,Yb , Z c  T ( Lie( G )) ,   IR için (iii)
ve (iv) kullanılırsa
T  (  X a , Yb )  T  (Tf b (  X a )  Tf  a (Yb ))  T ( f b )(  X a )
 T ( f  a )(Yb )
 T ( fb )(T   ( X a )  T ( f  a )(Yb )
 T ( fb   )( X a )  T ( f  a )(Yb )
 T (   f b )( X a )  T (   f a )(Yb )
   T  ( X a , Yb )
dir. Diğer yandan (v) ve (vi) kullanılırsa
T ( X a , Z c )  T (Yb , Z c )
 T  (b ,c ) (T ( X a , Z c ))  T  ( a ,c ) (T (Yb , Z c ))
 T (  (b ,c )   )( X a , Z c ))  T (  ( a ,c )   )(Yb , Z c )
 T (  (b ,c )    f c )( X a )  T (  (b ,c )    f a )( Z c )  T (  ( a ,c )    f c )(Yb )
 T (  ( a ,c )    f b )( Z c )
 T (  f c   b )( X a )  T (  (b ,c )    f a )( Z c )  T (  f c   a )(Yb )
 T (  ( a ,c )    f b )( Z c )
79
 T (  f c   b )( X a )  T (  f c   a )(Yb )  (T (  f a )( Z c )  T (  f b )( Z c )
 T (  f c   b )( X a )  T (  f c   a )(Yb )  (T (  f a b )( Z c )
 T ( f c )(T b ( X a )  T a (Yb ))  T ( f a b )( Z c )
 T ( f c )( X a  Yb )  T ( f a b )( Z c )
 T  (Tf c ( X a  Yb )  Tf a b ( Z c ))
 T ( X a  Yb , Zc )
dir. Bu nedenle ilk bileşen için lineerlik mevcuttur. T  anti simetrik olduğundan
ikinci bileşen için de lineerlik vardır. Böylece T  bi-lineerdir.
Her bir X a ,Yb , Z c  T ( Lie( G )) için (vii), (viii) ve (ix) eşitlikleri kullanılırsa;
T (T ( X a , Yb ), Z c )  T (T (Yb , Z c ), X a ) 
 T (  f c   )( X a , Yb )  T (  f  ( a ,b ) )( Z c )
 T (  f a   )(Yb , Z c )  T (  f  (b ,c ) )( X a )
 T (  f c    f b )( X a )  T (  f c    f a )(Yb )  T (  f  ( a ,b ) )( Z c )
 T (  f a    f c )(Yb )  T (  f a    f b )( Z c )  T (  f  ( b ,c ) )( X a )
 T (  ( (b ,c ),a )    f c    f b )( X a )  T (  ( ( b ,c ),a )    f c    f a )(Yb )
 T (  ( (b ,c ),a )    f  ( a ,b ) )( Z c )  T (  ( ( a ,b ),c )    f  ( b ,c ) )( X a )
 T (  ( ( a ,b ),c )    f a    f c )(Yb )  T (  ( ( a ,b ),c )    f a    f b )( Z c )
 T ( 1    f b    f c )( X a )  T ( 1    f  ( c ,a ) )(Yb )  T ( 1    f b    f a )( Z c )
 T 1 T (  f b   )( Z c , X a )  T (  f  ( c ,a ) )(Yb )
 (T 1  T )Tf b ((T )( Z c , X a ))  Tf  ( c ,a ) (Yb ))
 (T 1  T )(T ( Z c , X a ), Yb )
 1  (T (T ( Z c , X a ), Yb ))
dir. Bu nedenle
T (T ( X a , Yb ), Zc )  T (T (Yb , Zc ), X a )  T (T (Zc , X a ), Yb )  00
dir. Jacobi özdeşliği sağlanır.
80
Önemli Eşitlikler
Aşağıdaki eşitlikler vardır:
1. [ X i , X j ] C  Cijk X kC , [ X i , X j ] v  Cijk X kv (Yano,Ishihara)
(3.20)
2.
( xk  f X )
|Y  xi Cijk dir.
xj
(3.21)
3.
 ( xk  fY )
|Y  yi C kji dir.
xj
(3.22)
dır.
İspat
( xk  f X )
( xk ([ X , X ]))
( xk ( xi xt Cith X h ))
( xi xt Citk )
|Y 
|Y 
|Y 
|Y
xj
xj
xj
xj
 xi tj Citk  xi Cijk
dir. Ayrıca
 ( xk  fY )
 ( xk ([ X , Y ]))
( xk ( xt yi Ctih X h ))
( xt yiCtik )
|Y 
|Y 
|Y 
|Y
xj
xj
xj
xj
  tj y j C kji  y j C kji
dir.
Önerme
T ( Lie( G )) , Lie(TG) ye cebir izomorfiktir.
81
İspat
{ X  ,..., X m } Lie(G) ‘nin bir bazı ve { e ,...,em } IR m ’in standart bazı olsun. Bu
durumda X   xi X i  Lie( G ) ve V   vi ei  IR m için
( X , V )  ( xi X i C ,  vi X iV )
(3.23)
eşitliğiyle tanımlı
 : T ( Lie(G ))  Lie(TG )
dönüşümün bir Lie cebir izomorfizmi olduğunu gösterelim:
( X ,V ),( X ,V  )  T ( Lie( G ))   IR için
i)
( X ,V )  ( X ,V  )  T X ( X ,V  )  T X  ( X ,V )  ( X  X ,V  V  )
olduğundan
(( X , V )  ( X , V ))  ( X  X , V  V )  ( ( xi  xi) X i C ,  (vi  vi) X iV )
 ( xi X i C ,  vi X iV )  ( xiX i C ,  viX iV )
 ( X , V )  ( X , V )
bulunur.
ii)
  ( X ,V )  T  ( X ,V )  ( X , V ) olduğundan
82
(  ( X ,V ))  ( X , V )    xi X i C  vi X iV   ( xi X i C vi X iV )
 ( X ,V )
dir. (i) ve (ii) den  bir lineer dönüşümdür.
iii)
( X ,V )  0  ( ( xi X i vi ei ))  0   ( xi X i C vi X iV )  0
 xi  vi  0, (1  i  m)
 ( X ,V )  (0, 0)
olduğundan  bire birdir. Bu nedenle  bir lineer izomorfizmdir.
iv)
( X ,V ),( Y ,W )  T ( Lie( G )) için Lie(G) nin i. koordinat fonksiyonu xi olsun.
Eş 3.21 ve Eş.3.22 eşitlikleri göz önüne alınırsa:
T  (( X ,V ), (Y ,W ))[ xk ]  T  (Tf X (Y ,W )  TfY ( X ,V ))[ xk ]
 (Y ,W )[ xk  f X ]  ( X ,V )[ xk  fY ]
 {w j
 ( xk  f X )
 ( xk  fY )
|Y  v j
|X }
xj
xj
  {w j xi Cijk  v j yi C kji }
  ( w j xi  v j yi )Cijk
dir. Böylece
T (( X ,V ), (Y ,W ))  ([ X , Y ], ( ( w j xi  v j yi )Cijk ek ))
 ( xi y j Cijk X k ,  ( w j xi  v j yi )Cijk X k )
83
bulunur. Buradan;
(T  (( X ,V ), (Y , W )))  ( xi y j Cijk X k C ,  ( w j xi  v j yi )Cijk X k V )
(3.24)
bulunur. Diğer yandan
[( X ,V ), (Y ,W )]  ([ xi X iC  vi X iV ,  y j X Cj  w j X Vj ])
 ( xi yi [ X iC , X Cj ]   xi w j [ X iC , X Vj ]   vi y j [ X iV ,X Cj ]
  vi w j [ X iV , X Vj ])
 ( xi yi [ X i , X j ]C   xi w j [ X j , X i ]v   vi y j [ X i ,X j ]V )
 ( xi yi [ X i , X j ]C   ( xi w j  v j yi )[ X j , X i ]v )
  xi yi Cijk X k C   ( xi w j  v j yi )Cijk X k V
(3.25)
Böylece Eş 3.24 ve Eş. 3.25 in sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir,
yani
(T (( X ,V ),(Y ,W )))  [( X ,V ), (Y ,W )]
olduğundan  bir Lie cebir homomorfizmidir. Ayrıca  bir lineer izomorfizm
olduğundan  bir Lie cebir izomorfizmidir. Böylece T(Lie(G)) ile Lie(TG) Lie
cebir izomorfiktir.
3.3. Lie Cebirleri Üzerindeki Gösterimlerin Taşınmaları
Bu bölümde G bir sonlu boyutlu Lie grubu, g , G ye ait Lie cebiri, V bir sonlu
boyutlu vektör uzayı ve
gösterilecektir.
 : g  End (V ) ,
g üzerinde bir gösterim olarak
84
Önerme
( g ,  ) ve ( h,  ) iki Lie cebiri ve F : g  h bir Lie cebir homomorfizmi olsun. Bu
durumda TF bir Lie cebir homomorfizmidir. Yani Lie cebir homomorfizmlerinin
türev dönüşümleri de Lie cebir homomorfizmleridir.
İspat
F bir Lie cebir homomorfizmi olduğundan, lineerdir. Böylece TF bir lineer
fonksiyondur. TF fonksiyonunun Lie parantezlerini koruduğu gösterilirse ispat
tamamlanmış olur. Her x, y  g için, F bir Lie cebir homomorfizmi olduğundan,
F ( ( x, y ))   ( F ( x), F ( y ))
dir. Böylece
F      (F , F )
(3.3.1)
elde edilir. Eş 3.3.1 den
TF  T  T  (TF , TF )
eşitliği elde edilir. Böylece X , Y  Tg için
TF (T ( X , Y ))  (TF  T )( X , Y )
 (T  (TF , TF ))( X , Y )
 T (TF ( X ), TF (Y ))
eşitliği elde edilir. Bu durumda Lie parantezinin TF dönüşümü altında korunmuş
olduğu gösterilmiş olur. Böylece TF bir Lie cebir homomorfizmidir.
85
Önerme
 bir Lie cebir gösterimi ve  ise Tg den End (V ) ye tanımlı, Eş. 2.23 de
tanımlanan Lie cebir izomorfizmi, J n ise T (GL(n)) den GL(2n) ’e tanımlı bire-bir
Lie grup homomorfizmi ve Ĵ n ise Jˆ n  Z 1  J n  TZ
eşitliğiyle tanımlı T (Oto(V ))  Oto(TV ) Lie grup homomorfizmi olsun. Bu
durumda
~
  T ( Jˆn ) ( I ,0)    T  1
(3.3.2)
eşitliğiyle tanımlı
~
 : Lie (TG )  End (TV )
Lie(TG) üzerinde bir Lie cebir gösterimidir.
İspat
T  bir Lie cebir homomorfizmidir. Ayrıca Ĵ n bir Lie grup homomorfizmi
olduğundan, Ĵ n dönüşümünün (I ,0) noktasındaki türev dönüşümü de bir Lie cebir
~
homomorfizmidir.  ve   birer Lie cebir izomorfizmi olduğundan  , Lie (TG )
den End (TV ) ye bir Lie cebir homomorfizmidir.
3.3.1. Tanım
~
Eş. 3.3.2 eşitliğiyle tanımlı Lie (TG ) nin  gösterimi,  gösteriminin taşınmışı
olarak adlandıracağız.
86
4. HOMOJEN VEKTÖR DEMETLERİ VE GÖSTERİMLER
Bu bölümde öncelikle Prohit’in “Vector Bundles and Induced Representations”
isimli makalesi ve Brockett ve Susmann’in “Tangent Bundles of Homogeneous
Spaces are Homogeneous Spaces” isimli makalesi incelenecek, daha sonra üçüncü
bölümde elde edilen yapılardan yola çıkılarak, orijinal yapılar elde edilecektir.
Teorem
G bir Lie grubu ( E ,  , M ) bir vektör demeti olsun. G , M üzerine etki etsin. G nin
E üzerine etkisi g. 1 p   1 g. p olacak biçimde bir lineer etki ise bu durumda
her bir g  G için
 ( g ) : ( E )  ( E )
   ( g )( ) : M  E
p  (  ( g )( ))( p)  g. ( g 1 p)
olacak şekildeki fonksiyon bir lineer fonksiyondur [10]. Yukarıda tanımlı olan lineer
fonksiyon yardımıyla, sonsuz boyutlu gösterim tanımlanacaktır.
Teorem
( E ,  , G / H ) bir homojen vektör demeti ve U   1 p0  olsun. Bu durumda
 : H  Oto(U )
h   ( h) : U  U
q   (h)(q)  h.q
H nin bir gösterimidir [10].
87
İspat
Her bir q  U   1 p0  için
 (h)(q)  h.q  h. 1 p0    1 h. p0    1 p0    (h)(q)   1 p0 
dir. G nin E ye etkisi lineer bir etki olduğundan H nin etkisi de lineer bir etkidir.
Her bir q  Cek ( (h)) için
 (h)(q)  0  hq  0  h 1 (h.q)  h 1 .0   (h 1 )(0)  0
q0
bulunur. Böylece  (h) nin çekirdeği 0 olduğundan  (h) bire birdir. Bu nedenle
 (h) bir lineer izomorfizmdir. Böylece  , H nin bir gösterimidir.
Not
U bir sonlu boyutlu reel bir vektör uzayı ve  , H nin U üzerinde bir gösterim
olsun.
(G, , G / H , H ) asli demetine ilişkin, model lifi U vektör uzayı olan bir
( E ,  , G / H , U ) vektör demetidir. Burada alınan vektör demetinin total uzayı
E  G  H U dir [13,14].
Teorem
( P,  , M , H )
bir asli lif demeti,
 : H  Oto ( F )
bir reel gösterim olsun. Bu durumda
(P  F )  H  P  F
((u,  ), h)  (u,  ).h  (uh,  (h 1 )( ))
F
bir n-boyutlu reel vektör uzayı ve
88
H nin P  F üzerine bir sağ etkisidir [10].
İspat
H nin P ve
M üzerine etkileri birer diferensiyellenebilir fonksiyon olduğundan
yukarıdaki fonksiyon bir diferensiyellenebilir fonksiyondur. Simdi bu fonksiyonun
bir etki olduğunu gösterelim.
i)
Her bir h, h' H ve (u ,  )  P  F için
((u ,  ).h).h'  (uh,  (h 1 )( )).h'
 ((uh)h' ,  (h' 1 )( (h 1 )( )))
 (u.(hh' ),  ((hh' ) 1 ( ))
 (u ,  ).(hh' )
dir.
ii)
Her bir (u ,  )  P  F için  bir Lie grup homomorfizmi olduğundan  (e)  I dir.
Böylece (u,  ).e  (ue,  (e 1 )( ))  (u,  ) dir.
4.1. Tanım
P F
kümesi üzerinde  bağıntısı (u,  )  (u ' ,  ' )  (u ' ,  ' )  (u,  ).h olacak
bicimde tanımlansın. Bu bağıntı P  F kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Bu
denklik bağıntısına göre denklik sınıfları (u ,  ) H
sınıflarından oluşan küme P  H F ile gösterilir [14].
ile gösterilir. Bu denklik
89
Teorem
 E : P H F  M
(u,  ) H   E ((u,  ) H )   (u )
fonksiyonu bir örten fonksiyondur [14].
İspat
 : P  M örten bir fonksiyon olduğundan, her bir x  M için  (u )  x olacak
şekilde bir u  P vardır. Ayrıca F
bir vektör uzayı olduğundan
0F  F
vardır.   0 F denirse elde edilen bu (u,  ) H  P H F için  E ((u,  ) H )   (u)  x
dir. Böylece  E bir örten fonksiyondur.
Not
( P,  , M , H ) bir asli lif demeti olduğundan her bir x  M nin bir U açık komşuluğu
vardır, öyle ki  1 (U )  U  H diffeomorfizmi vardır. Bu durumda her bir
u   1 (U )  u  ( x, h) olacak şekilde düşüneceğiz.
Önerme
 E1 (U )   1 (U )  H F dir.
İspat
Her bir (u,  ) H   E1 (U ) için
90
(u ,  ) H   E1 (U )   E ((u ,  ) H )  U ,   F
  (u )  U ,   F
 u   1 (U ),   F
 (u ,  ) H   1 (U )  H F
olduğundan  E1 (U )   1 (U )  H F dir.
4.2. Tanım
 1 (U )  U  H
diffeomorfizmi kullanılarak H nin  1 (U )  F üzerindeki sağ
etkisi, U  H  F üzerinde tanımlanabilir. Bu etki
(U  H  F )  H  U  H  F
(( x, h,  ), h )  ( x, h,  ).h  ( x, hh ,  (h 1 )( ))
dir [14].
Önerme
Yukarıdaki etki göz önüne alındığında
( x, h,  ) H  ( xˆ , hˆ, ˆ) H  x  xˆ ,  (h)( )   (hˆ)(ˆ) dir.
İspat
( x, h,  ) H  ( xˆ , hˆ, ˆ) H  ( xˆ , hˆ, ˆ)  ( x, h,  ).h
 ( xˆ , hˆ, ˆ)  ( x, hh ,  (h 1 )( ))
 x  xˆ, hˆ  hh , ˆ   (h 1 )( )
91
 x  xˆ, h 1  hˆ 1 h, ˆ   (h 1 )( )
 x  xˆ,  (h)( )   (hˆ)(ˆ)
dir.
Teorem
t :  E1 (U )  U  F
( x, h,  ) H  t (( x, h,  ) H )  ( x,  (h)( ))
dönüşümü bir diffeomorfizmdir [14]. Ayrıca
t
 E1 (U ) 

U F
E 
U
 pr1
I


U
diyagramı değişmeli bir diyagramdır [14].
İspat
( x, h,  ) H   E1 (U ) için ( pr1  t )(( x, h,  )H )  pr1 ( x, (h)( ))  x   E (( x, h,  )H )
olduğundan pr1  t   E dir. Yukarıdaki diyagram değişmeli bir diyagramdır.
Teorem
x  M için  E1 (x)  ( x, h,  ) H | h  H ,   F  kümesi üzerinde
( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H  ( x, h,    (h 1 hˆ)) H
 ( x, h,  ) H  ( x, h,  ) H
92
eşitlikleriyle tanımlı toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre bir reel vektör
uzayıdır. Ayrıca bu vektör uzayı F ye izomorfiktir. Böylece her bir lif n  boyutlu
birer vektör uzayıdır [10].
İspat
( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H  ( x, h,    (h 1hˆ)(ˆ)) H
ve
 (h)(   (h 1hˆ))   (h)( )   (hˆ)(ˆ)   (hˆ)(ˆ)   (h)( )   (hˆ)(ˆ   (hˆ 1h)( ))
olduğundan
( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H  ( x, h,    (h 1 hˆ)(ˆ)) H
 ( x, hˆ, ˆ   (hˆ 1 h)( )) H
 ( x, hˆ, ˆ) H  ( x, h,  ) H
bulunur. Böylece toplama işlemi değişme özelliğine sahiptir.
( x, h,  ) H  (( x, a,  ) H  ( x, b,  ) H )  ( x, h,  ) H  ( x, a,  ' (a 1b)( " )) H
 ( x, h,    (h 1 a )( ' (a 1b)( " )) H
 ( x, h,    (h 1 a )( ' )   (h 1b)( " )) H
 ( x, h,    (h 1 a )( ' )) H  ( x, b,  " ) H
 (( x, h,  ) H  ( x, a,  ) H )  ( x, b,  ) H
olduğundan toplamanın birleşme özelliği vardır.
( x, h,  ) H  (( x, a,0 F ) H  ( x, h,    (h 1a)(0 F )) H  ( x, h,  ) H
93
olduğundan ( x, a,0 F ) H toplamaya göre birim elemandır. Her bir ( x, h,  ) H için
( x, h,  ) H  ( x, h, ,  ) H  ( x, h,    (h 1h)( )) H  ( x, h,    ) H  ( x, h, OF ) H
olduğundan her elemanın tersi vardır. Böylece ( E1 x,) bir değişmeli gruptur. Her
bir   IR için
 (( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H )  ( x, h,    (h 1hˆ)(ˆ)) H   ( x, h,  ) H   ( x, hˆ, ˆ) H
olduğundan çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği vardır.
Her bir  ,   IR ve ( x, h,  ) H   E1 x için
.( ( x, h,  ) H )   ( x, h,  ) H  ( x, h,  (  )) H  ( x, h, ( ) ) H   (( x, h,  ) H )
(.   )( x, h,  ) H  ( x, h, (.   ) ) H  ( x, h,    ) H   ( x, h,  ) H   ( x, h,  ) H
ve
1( x, h,  ) H  ( x, h,1. ) H  ( x, h,  ) H
özellikleri sağlandığından ( E1 x,,.) bir reel vektör uzayıdır.
 :  E1 x  F
( x, h,  ) H   (( x, h,  ) H )   (h)( )
fonksiyonunun bir lineer izomorfizm olduğunu gösterelim. Her bir  ,   IR ve
( x, h,  ) H , ( x, hˆ, ˆ) H   E1 x için
94
 ( ( x, h,  ) H   ( x, hˆ, ˆ) H )   (( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H )
  (( x, h,    (h 1 hˆ)( ˆ)) H
  (h)(   (h 1 hˆ)( ˆ))
  ( (h)( ))   (hh 1 hˆ)(ˆ)
  ( (h)( ))   (hˆ)(ˆ)
  (( x, h,  ) H )   (( x, hˆ, ˆ) H )
olduğundan  bir lineer fonksiyondur.
 (( x, h,  ) H )   (( x, hˆ, ˆ) H )   (h)( )   (hˆ)(ˆ)  ( x, h,  ) H  ( x, hˆ, ˆ) H dir.
Böylece  birebirdir.
Her bir   F için  (e)( )   olduğundan  (( x, e,  ) H )   dir. Bu nedenle  bir
örten fonksiyondur. Böylece  bir lineer izomorfizmdir, yani  E1 x  F dir.
Not
Yukarıda tanımlı dönüşümlerle birlikte ( P H F ,  E , M , F ) bir vektör demetidir.
Burada ( P,  , M , H ) yerine özel olarak (G,  , G / H , H ) alındığı takdirde elde edilen
vektör demeti bir homojen vektör demetidir [14].
Teorem
Vektör demetlerinin çapraz kesitlerine, ~( gh)   (h 1 )(~( g )) olacak bicimdeki
~ : G  U , fonksiyonları karşılık gelir [10].
95
İspat
Önce vektör demetlerinin çapraz kesitlerine ~ fonksiyonları karşılık getirelim. Her
bir   (E ) için,
~ : G  U
g  ~( g )  g 1 ( gp0 )
olacak bicimde tanımlansın. Esas sonuçta U   1 p0  alındığında
 : H  Oto (U ) gösterimi karşılık gelir. Bu etki kullanıldığında, tanımlanan ~
dönüşümü için g  G ve h  H için
~( gh)  ( gh) 1 ( ghp0 )  h 1 g 1 ( gp0 )   (h 1 )(~( g ))
olduğundan her bir   (E ) ye ~( gh)   (h 1 )(~( g )) olacak bicimde
~
fonksiyonları karşılık gelir.
Tersine ~( gh)   (h 1 )(~( g )) olacak bicimdeki ~ : G  U
fonksiyonuna bir
çapraz kesit karşılık getirelim.
 : M  E fonksiyonu,  ( gp0 )  g~( g ) olacak bicimde tanımlansın. G nin
G / H üzerine etkisi bir geçişli etki olduğundan her bir p  G / H için p  gp0
olacak bicimde bir g  G vardır. Yani her bir p  M için  ( gp0 )  g~( g )  E dir.
 anlamlıdır.
Şimdi  nin iyi tanımlı olduğunu gösterelim.
gp0  g p0  g 1 g   H  g 1 g   h  gp0  ghp0
96
 ( ghp0 )  gh~( gh)  gh (h 1 )~( g )  g (h) (h 1 )~( g )  g~( g )   ( gp0 )
dir. Böylece  iyi tanımlıdır. Yani bir fonksiyondur.
Her bir p  M için (  )( p)   ( ( p))   ( ( gp0 ))   ( g~( g )) dir. Ayrıca
g~( g )   1 ( gp0 ) olduğundan (  )( p)  gp0  p dir. Böylece    id M
bulunur.   (E ) dir.
Böylece
~( gh)   (h 1 )(~( g ))
olacak
bicimdeki ~ : G  U
fonksiyonuna
  (E ) karşılık gelir.
Not
Şimdi G / H üzerindeki homojen vektör demetlerine sonsuz boyutlu gösterimler
karşılık getirilir [10].
İspat
( E ,  , G / H , F ) bir homojen vektör demeti olsun. Bu durumda x  G / H için
 1 x   1 gx etkisi lineer bir etkidir. Her bir g 0 , g  G,   ( E ) için
 : G  Oto(( E )) aşağıdaki gibi tanımlansın.
 : G  Oto(( E ))
g 0   ( g 0 ) : ( E )  ( E )
   ( g 0 )( ) : G / H  E
1
p  (  ( g 0 )( ))( p )  g 0 ( g 0 p )
  (E ) olmak üzere
97
~
(  ( g 0 )( ) ) : G   1 p0 
~
g  (  ( g 0 )( ) ) ( g )  g 1 (  ( g 0 )( ))( gp0 )
 g 1 g 0 ( g 01 gp0 )
 ( g 01 g ) 1 ( g 01 gp0 )
 ~ ( g 01 g )  (~  Lg 1 )( g )
0
bulunur. Böylece
~
~
(  ( g 0 )( ) ) ( gh)  ~ ( g 01 gh)   (h 1 )~ ( g 01 g )   (h 1 )(  ( g 0 )( ) ) ( g )
olduğundan  ( g 0 )( )  ( E) dir.
Şimdi  ( g 0 ) in bire bir ve örten olduğunu gösterelim:
 1 , 2  ( E)
ve
bunlara
karşılık
gelen
fonksiyonlar
~1 ,~2
ve
 ( g 0 )( 1 )   ( g 0 )( 2 ) olsun. Bu durumda
~
~
(  ( g 0 )( 1 ) )  (  ( g 0 )( 2 ) )
~
~
 (  ( g 0 )( 1 ) ) ( g 0 g )  (  ( g 0 )( 2 ) ) ( g 0 g )
 ~ ( g 1 g g )  ~ ( g 1 g g )
1
0
0
2
0
0
 ~1 ( g )  ~2 ( g )
 ~1  ~2
1  2
dir. Böylece  ( g 0 ) bire birdir. Simdi  ( g 0 ) in örten olduğunu gösterelim.
~  MapH G olsun. Bu durumda ~  Lg   olsun. Bu durumda  : G   1 p0 
0
dir.
  MapH G
olduğunu
gösterelim.
 ( gh)  ~( g 0 gh)   (h 1 )~( g 0 g )   (h 1 ) ( g )
olduğundan   MapH G dir. Bu durumda   ~ olacak şekilde    (E ) vardır.
98
~
(  ( g 0 )( ) )  ~  Lg 1    Lg 1  ~  Lg0  Lg 1  ~
0
0
0
olduğundan  ( g 0 )( )   olacak şekilde    (E ) vardır. Bu durumda  ( g 0 )
örtendir. Böylece  ( g 0 ) bir lineer izomorfizmdir. Böylece  bir fonksiyondur.
Simdi

nun bir gösterim
olduğunu gösterelim.
Bunun için her bir
g , g 0  G, p  G / H ,   ( E ) için
(  ( g )(  ( g 0 )( )))( p)  g (  ( g 0 )( ))( g 1 p )
 gg 0 ( g 01 g 1 p )
  ( gg 0 )( )( p )
olduğundan  ( g )   ( g 0 )   ( gg0 ) olduğundan  bir gösterimdir. Sonuç olarak
 : H  Oto( 1 p0 ) gösteriminden yararlanarak  : G  Oto(( E )) gösterimi
elde edilmiş olur.
Önerme
Agp0    ( E ) |  ( gp0 )  0  ( E ) bir alt uzaydır [10].
Önerme
U gp0  ( E ) / Agp0 bir n-boyutlu reel vektör uzayıdır [10].
İspat
 1 gp0  in bir bazı S  1 ,...,  n  olsun. S   i  Agp |  i ( gp0 )   i , 1  i  n
0
nin bir baz olduğunu gösterelim.
99
n
 c (
i 1
i
i
 Agp0 ) Agp0
n
  ci i  Agp0 Agp0
i 1
n
  ci ( i ( gp0 ))  0
i 1
n
  ci  i  0
i 1
 ci  0, 1  i  n
olduğundan S kümesi lineer bağımsızdır. Her bir   Agp0 U gp0 için
 ( gp0 )  c1 1  ...  c n n
 c1 1 ( gp0 )  ....  c n n ( gp0 )
 (c1 1  ...  c n n )( gp0 )
 (c1 1  ...  c n n   )( gp0 )  0
 (c1 1  ...  c n n   )  Agp0
 c1 ( 1  Agp0 )  ...  c n ( n  Agp0 )    Agp0
dir. Germe ve lineer bağımsızlık aksiyomları sağlandığından S kümesi, U gp0 nin bir
bazıdır.
r : U gp0   1 gp0 
  Agp  r (  Agp )   ( gp0 )
0
0
olsun. r nin bir lineer izomorfizm olduğunu gösterelim. Bunun için r nin lineer bire
bir ve örten olduğunu göstermeliyiz. Her bir  1  Agp0 , 2  Agp0  U gp0 ve her bir
  IR için
100
r ( 1  Agp0   ( 2  Agp0 ))  r (( 1   2 )  Agp0 )
 ( 1   2 )( gp0 )
  1 ( gp0 )   2 ( gp0 )
 r ( 1  Agp0 )  r ( 2  Agp0 )
olduğundan r lineerdir.
r ( 1  Agp0 )  r ( 2  Agp0 )
  1 ( gp0 )   2 ( gp0 )
 ( 1  2 )( gp0 )  0
 ( 1  2 )  Agp0
  1  Agp0   2  Agp0
olduğundan r bir bire bir fonksiyondur. r fonksiyonu bire bir ve U gp0 ile  1 gp0 
uzaylarının boyutları eşit olduğundan r bir lineer izomorfizmdir.
Önerme
H , G nin bir kapalı Lie alt grubu olsun. Bu durumda TH  TG bir kapalı Lie alt
grubudur.
İspat
Boy ( H )  n
ve Boy (G )  m olsun. H ve G birer Lie grubu olduğundan
TH  H  IR n ve TG  G  IR m dir. IR n  IR n  0  IR n  IR mn dir.
Ayrıca
pr2 : IR n  IR mn  IR mn sürekli bir dönüşüm ve
olduğundan pr21 0 kümesi IR m de kapalıdır. Bu durumda
0  IR mn
kapalı
101
H  ( IR n  0)  H  ( IR n  0)  H  IR n
olduğundan TH , TG nin bir kapalı alt grubudur.
Sonuç
Yukarıdaki önermeden dolayı TG / TH üzerinde bir manifold yapısı vardır [5].
Önerme
G bir Lie grubu olsun. G   g  G olacak şekilde tanımlansın. G  kümesi bir
manifold yapısına sahiptir. Ayrıca G  üzerinde, her bir (a, g ), (a' , g ' ) G  için
(a, g ).(a' , g ' )  (a  adj( g )(a' ), gg ' )
eşitliğiyle tanımlı bir grup çarpım işlemi tanımlıdır. Bu işlemle birlikte G  bir Lie
grubudur. Burada adj( g )  d ( Lg  Rg 1 ) e ile tanımlı lineer dönüşümdür [11].
İspat
Her bir (a, g ), (a' , g ' ), (a", g") G  için
((a, g ).(a' , g ' )).(a" , g" )  (a  adj( g )(a' ), gg ' ).(a" , g" )
 (a  adj( g )(a' )  adj( gg ' )(a" ), ( gg ' ) g" )
 (a  adj( g )(a' dj( g ' )(a" )), g ( g ' g" ))
 (a, g ).(a' adj( g ' )(a" ), g ' g" )
 (a, g ).((a' , g ' ).(a" , g" ))
olduğundan birleşme özelliği vardır.
102
(0, e) G  olmak üzere her bir (a, g ) G  için (a, g ).(0, e)  (a, g ) dir. Bu
nedenle (0, e) G  birim elemandır.
(a, g ).(a' , g ' )  (0, e)  (a  adj( g )(a' ), gg ' )  (0.e)
 a'  adj( g 1 )(a), g '  g 1
olduğundan her elemanın tersi vardır. Böylece G  bir Lie grubudur.
Önerme
G  , TG ye diffeomorfiktir. Ayrıca yukarıda tanımlı Lie grup yapısıyla birlikte Lie
grup izomorfiktir.
İspat
f : G   TG
(a, g )  f (a, g )  dRg (a)
olarak tanımlansın. G nin grup çarpımı  olsun.
( Rgg'  Lg  Rg 1 )( x)  Rgg' ( gxg 1 )  gxg 1 gg '  gxg'   ( g , xg ' )  (   f g  Rg ' )( x)
olduğundan Rgg'  Lg  Rg 1    f g  Rg ' bulunur. Benzer biçimde Rgg '    f g '  R g
olduğu gösterilebilir. Her bir (a, g ), (a' , g ' ) G  için
f ((a, g ).(a' , g ' ))  f (a  adj( g )(a' ), gg ' )
 dRgg ' (a  adj( g )(a' ))
 dRgg ' (a)  dRgg ' (dLg  dRg 1 )(a' )
103
 d (  f g '  Rg )(a)  d ( Rgg '  Lg  Rg 1 )(a' )
 d (   f g '  R g )(a)  d (   f g  R g ' )(a' )
 d (dRg (a), dRg ' (a' ))
 d ( f (a, g ), f (a' , g ' ))
olduğundan f bir grup izomorfizmidir. Böylece aşağıdaki diyagram değişmeli bir
diyagramdır:
z
G  G 

G
ff 
 f
TG  TG 
TG
d
Ayrıca f dönüşümü diferensiyellenebilir olduğundan f bir Lie grup izomorfizmidir.
Böylece G * ile TG nin cebirsel olarak da geometrik olarak da denk olduğu
gösterilmiş olur.
Önerme
G Lie grubunun M manifoldu üzerine etkisi  : G  M  M
olsun. Her bir
x  M için
x :G  M
g   x ( g )   ( g , x)   g ( x)
olacak şekilde tanımlansın. Ayrıca d ( x ) e : g  Tx M olmak üzere her bir a  g için
d ( x ) e (a)  a ( x)
olarak
gösterilsin.
Bu
durumda
104
  : G   TM  TM
((a, g ), v)    ((a, g ), v)  d (  g )(v)  a ( g. (v))
olacak şekilde tanımlansın.   , G  in TM üzerine etkisidir [11].
İspat
  diferensiyellenebilirdir. G  in birim elemanı (0, e) ve v  TM için
  ((0, e), v)  d (  e )(v)  0 (e. (v))  d (  e )(v)  d  ( v ) (0)  v  0  v
bulunur. Ayrıca her bir (a, g ), (a' , g ' ) G  ve v  TM için
 * ((a, g ).(a' , g ' ), v)  (a, g ). * ((a' , g ' ), v)
olduğundan  * bir etkidir. Şimdi bu etkinin d  dan indirgenen etki olduğunu
gösterelim. Bunun için aşağıdaki diyagramın değişmeli olduğunu göstermek gerekir
ve yeter:
*
G * TM 
TM
f  id 
 id
TG  TM 
TM
d
Her bir x  M için (   f g )( x)   g ( x) olduğundan   f g   g dir. Ayrıca her bir
g ' G için
(   f  ( v )  Rg )( x)  (   f  ( v ) )( xg )   ( xg ,  (v))   g . ( v ) ( x)
olduğundan
  f  ( v )  R g   g . ( v )
dir.
Bu
eşitlikler
kullanılarak
her
bir
105
((a, g ), v)  G * TM için
(d  ( f  id ))((a, g ), v)  d ( f (a, g ), v)
 d (   f g )(v)  d (   f  ( v ) )(dRg (a))
 d (   f g )(v)  d (   f  ( v )  Rg )(a)
 d g (v)  d g . ( v ) (a)
 d g (v)  a ( g. (v))
  * ((a, g ), v)
olduğundan diyagram değişmeli bir diyagramdır. Böylece  * in G * üzerine etkisi
TG den indirgenen etkidir.
Önerme
H x  g  G | gx  x olsun. Bu durumda 0  Tx M olmak üzere
( H x )*  ( H *) 0
dir [11].
İspat
Her bir (a, g )  H x * için
 * ((a, g ),0)  d g (0)  d g . ( 0) (0)  0
bulunur. Böylece H x *  ( H *) 0 dir.
106
Teorem
Yukarıda tanımlı işlemlerle birlikte T (G / H )  G * / H * dir [11].
Böylece T (G / H ) üzerinde bir bölüm uzayı yapısı vardır. Böylece homojen bir
uzayın tanjant demeti de bir homojen uzaydır.
Not
Şimdiye kadar homojen vektör demetleri ve homojen uzayların tanjant demetleri ile
ilgili önceden yapılmış çalışmaları inceledik. Simdi önceden yapılmış bu çalışmaları,
üçüncü bölümde tanımladığımız yapılarla harmanlayalım:
4.3. Tanım
(E,  E , G / H , F ) rankı-n olan bir homojen vektör demeti olsun. Bu homojen vektör
demetine karşılık gelen sonlu grup gösterimi  : H  Oto (U ) olsun.( U   1 x)
Bu gösterimin tanjant demete taşınması
~ : TH  Oto(TU )
 ( h)
0 

dRg (a)  ~(dRg (a))  

d ( ) e (a). (h)  (h)
ve bu gösterimin H * a indirgediği gösterim  *  ~  f olsun. Bu gösterime karşılık
~
gelen homojen vektör demeti E  G *  H * (TU ) biçimindedir.
Not
Burada tanımlanan  * gösterimi aşağıdaki bicimde tanımlanır.
107
 * : H *  Oto(TU )
 ( h)
0 

(a, g )  ~(dRg (a))  

d ( ) e (a). (h)  (h)
4.4. Tanım
G * TU üzerinde H * in indirgenmiş etkisi
~ : (G * TU )  H *  G * TU
(((a, g ), v), (b, h))  ~ (((a, g ), v), (b, h))  ((a, g ).(b, h),  * ((b, h) 1 )(v))
olacak şekilde tanımlıdır. Burada ~ etkisini düzenleyelim:
(a, g ).(b, h)  (a  adj( g )(b), gh) , (b, h) 1  (adj(h 1 )(b), h 1 ) ve v  ( , u )  TU
olmak üzere
 * ((b, h) 1 )(v)   * (adj(h 1 )(b), h 1 )( , u)

 (h 1 )
0   

1
1   
(d ) e (adj(h )(b))  (h ) u 
 ( (h 1 )( ), [(d ) e (adj(h 1 )(b))]ij  i x j  [ (h 1 )]ij u i x j )
~
 ( , u~ )
~(((a, g ), v), (b, h))  ((a  adj( g )(b), gh),  * (adj(h 1 )(b),.h 1 )(v))
~
 ((a  adj( g )(b), gh), ( , u~))
olarak elde edilir. Bu etkiden yola çıkarak G * TU üzerinde elde edilen denklik
bağıntısı ise
((a, g ), ( , u )) ~ ((a' , g ' ), ( ' , u ' ))  ((a' , g ' ), ( ' , u ' ))  ((a, g ), ( , u )).(b, h)
108
olacak şekilde en az bir (b, h)  H * olmasıdır.
Şimdi bu şartı daha açık hale getirelim. ((a, g ), ( , u )) ~ ((a' , g ' ), ( ' , u ' )) olsun. Bu
durumda ((a' , g ' ), ( ' , u ' ))  ((a, g ), ( , u )).(b, h) olacak şekilde (b, h)  H * vardır.
Böylece
((a ' , g ' ), ( ' , u ' ))  ((a  adj( g )(b), gh), ( , u ))
a   a  adj( g )(b),
 g '  gh,


1
 '   (h )( ),
u '  [(d ) e ( adj(h 1 )(b))]ij  i x j  [ ( h 1 )]ij u i x j

~
elde edilir. Bu durumda E nin demet projeksiyonu ise
~E~ : G *  H * TU  G * / H *
((a, g ), v) H *  ~E~ ((a, g ), v)  (a, g ) H *
~
dir. Bu ise E demetinin demet projeksiyonunu bulmamızı sağlar. V  T (G / H )
olmak üzere
~ : ~E~1 (V )  V  TU
((a, g ), v) H *  ~ ((a, g ), v) H *)  ((a,  G ( g )), (b, h)(v))
~
ile ifade edilen dönüşüm E nin lokal demet trivializasyonudur. Böylece E homojen
vektör demetinden yola çıkılarak ve Lie grup gösterimlerinin taşınmaları kullanılarak
~
yeni bir E homojen vektör demeti elde edilmiş ve geometrik yapısı oluşturulmuş
olur.
109
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada, G bir Lie grubu olmak üzere G üzerinde alınan sonlu boyutlu bir reel
gösterimin TG
tanjant Lie grubuna taşınması ve elde edilen yeni gösterimin
özellikleri incelenmiştir. Öncelikle gösterimin prolongasyonu tanımlanmış ve bu
prolongasyona karşılık gelen grup etkisinin, orijinal gösterimine karşılık gelen grup
etkisinin tanjant dönüşümü olduğu gösterilmiştir. Bundan yararlanarak denk
gösterimler taşınmış ve yine denk gösterimler elde edilmiştir. Ayrıca bir grup
gösterimine göre invaryant alt uzayın tanjant demetinin de, gösterimin taşınmışına
göre invaryant olduğu ve bu ifadenin tersinin de doğru olduğu gösterilmiştir.
Bununla birlikte prolongasyonu indirgenemez olan bir gösterimin kendisinin de
indirgenemez olduğu gösterilmiş, tersinin her zaman doğru olmadığı bir örnekle
açıklanmıştır. Ayrıca iki gösterimin direkt toplamlarının prolongasyonlarının, bu
gösterimlerin prolongasyonlarının direkt toplamına eşit olduğu da gösterilmiştir.
Üçüncü bölümün ikinci kısmında öncelikle T(Lie(G)) tanjant demeti üzerinde bir Lie
cebiri yapısı bulunmuş ve bu yapının TG nin Lie cebirine cebirsel izomorfik olduğu
görülmüştür. Üçüncü bölümün üçüncü kısmında ise bu izomorfizm kullanılarak
verilen bir Lie cebiri üzerindeki gösterimlerden T(Lie(G)) üzerinde bir Lie cebir
gösterimi elde edilmiştir. Elde edilen yeni gösterim ise Lie cebirinin gösteriminin
prolongasyonu olarak adlandırılmıştır.
Dördüncü bölümde Prohit’in homojen vektör demetleri ve karşılık gelen gösterimler
ile ilgili makalesi ile Brockett ve Sussmann’in Homojen uzayların tanjant demetleri
ile ilgili makaleleri incelenmiş ve üçüncü bu bölümün ilk kısmında bulunan
gösterimlerin taşınmaları kullanılarak homojen vektör demetleri ile gösterimlerin
taşınmaları arasındaki ilişkiler elde edilmiştir.
Bu çalışmanın ileri bir aşaması olarak Lie cebirleri üzerindeki gösterimlerin
taşınmaları ile ilgili özellikler ve homojen vektör demetlerine karşılık gelen sonsuz
boyutlu gösterimlerin taşınmaları incelenebilir. Bu konudaki çalışmalarımız devam
etmektedir.
110
KAYNAKLAR
1. Yano, K, Ishihara, S., “ Tangent and Cotangent Bundles”, M. Dekker, New York,
(1973).
2. Brickell F., Clark R.S., “Differentiable Manifolds An Introduction”, Van
Nostrand Reinhold Company , London, (1970).
3. Saunders D.J., “The Geometry of Jet Bundles”, Cambridge University Press,
Cambridge- New York, (1989).
4. Morimoto A., “Prolongations of G-Structures To Tangent Bundles”, Nogoya
Math. J., 12: 67–108 (1968).
5. Warner, Frank W., “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups” ,
Springer- Verlag , New York, (2000).
6. Hall, Brian C., “Lie Groups, Lie Algebras and Representations”, SpringerVerlag, New York, 3–121 (2004).
7. Milnor, John , “Curvatures of Left Ġnvariant Metrics on Lie Groups”, Advances in
Mathematics 21: 293–329 (1976).
8. Arvanitoyeorgos, Andreas, “An Introduction to Lie Groups and the Geometry of
Homogeneous Spaces” , American Mathematical Society, (1999).
9. Greub W., Halperin S., Vanstone R., “Connections, Curvature
Cohomology II”, Academic Press, New York and London, (1973).
and
10. Prohit,G.N., “Vector Bundles and Induced Representations of Lie Groups”,
Ganita Sundash, 2: 17–20 (1988).
11. Brockett, R.W., Sussmann, H. J., “Tangent Bundles of Homogeneous Spaces are
Homogeneous Spaces”, Proceedings of the American Mathematical Society,
35: 550–551 (1972).
12. De Leon, Manuel, “Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics”,
Elsevier Science Publishers B.V. (1989).
13. Adams, J. F., “Lectures on Lie Groups”, Benjamin Inc., New York (1969).
14. Kobayashi, S., Nomizu, K., “Foundations of Diffferential Geometry”,
Interscience Publishers (1960).
15. Sternberg, S., “Lectures on Differential Geometry”, Prentice-Hall, Inc.(1964).
111
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: KADIOĞLU, Hülya
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 27.08.1980 Elazığ
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (312) 202 10 89
e-mail
: [email protected].
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
2006
Lisans
Gazi Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2003
Lise
Ġncirli Lisesi
1998
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2005-
Gazi Üniversitesi
Araştırma Görevlisi
2008–2009
Idaho State University
Visiting Scholar
Yabancı Dil
Ġngilizce
Yayınlar
1. Kadioglu, H., Esin, E., “On the Prolongations of Representations of Lie Groups”,
Hadronic Journal, 33 (2): 183-196, (2010)
2. Kadioglu, H., Payne, T.L., “Computational Methods For Nilsoliton Metric Lie
Algebras”, Journal of Symbolic Computation, Under Review, (2011)
Hobiler
Müzik Aletleri, Bilgisayar oyunları, Yerli ve Yabancı Kültürler.