abc abc abc abc abcabc abc abc abcabc abc abc abc

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
sl2(
) NİN TEMSİLLERİ
Representations of sl2(
Dünya KARAPINAR
Matematik Anabilim Dalı
*
)
Naime EKİCİ
Matematik Anabilim Dalı
ÖZET
sl2(
) basit kompleks Lie cebirinin sonlu boyutlu temsilleri incelenmiştir
ve örnekler verilmiştir. sl2(
) nin temsilleri için Banu’nun (2006) çalışması temel
kaynak olmuştur.
Anahtar Kelimeler: Lie cebirleri, Temsiller, Özel lineer Lie cebirleri
ABSTRACT
In this study, we investigate the finite dimensional representations of the
simple complex Lie algebras sl2(
) and we give some examples. The main
source that was used for the study of sl2(
)-representations is Banu’s (2006)
work.
Key Words : Lie algebras, Representations, Special linear Lie algebras
Giriş
Lie cebirleri yirminci yüzyılın en merkezi konularından biri olup
matematiğin, diferansiyel geometri, temsil teorisi, harmonik analiz ve matematiksel
fizik gibi birçok alanıyla güçlü bağlara sahiptir. Özellikle temsil teorisi ile olan yakın
ilişkisi Lie cebirlerinin yapısının anlaşılmasında önemli bir rol oynar. Temsil teorisi
matematiğin bir dalı olup soyut cebirsel yapıları,elemanlarını vektör uzaylarının
lineer dönüşümleri şeklinde temsil ederek inceler ve bu soyut cebirsel yapılar
üzerindeki modülleri çalışır. Temelde, bir temsil bir cebirsel yapıyı, elemanlarını
matrisler ve cebirsel işlemlerini de matris işlemleri cinsinden tanımlayarak daha
anlaşılır hale getirir. Gruplar, birleşmeli cebirler ve Lie cebirleri gibi cebirsel yapılar
bu şekildeki bir tanıma uyguluk gösterirler. Bu cebirsel yapıların ilki ve en çok göze
çarpanı grupların temsil teorisidir. Bu teoride grup işlemi matris çarpımı olmak
üzere grup elemanları tersinir matrislerle temsil edilir.
Temsil teorisi soyut cebirdeki problemleri lineer cebirdeki problemlere
dönüştürdüğünden bir cebirsel yapının anlaşılmasında güçlü bir araçtır. Temsil
teorisi fizikte de önemli bir rol oynar. Örneğin; bir fiziksel sistemin simetri grubunun
bu sistemi tanımlayan denklemlerin çözümü üzerine nasıl etki ettiğini tanımlar.
Temsil teorisinin çarpıcı bir özelliği de matematikteki yaygınlığıdır. Teorinin
uygulamalarının muhtelif oluşu ve uygulamalardaki yaklaşımların çeşitliliği
*
Yüksek Lisans Tezi-MSc. Thesis
- 32 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
yaygınlığın önemli nedenlerindendir. Teorinin başarısı, cebirsel yapıları daha genel
yapılarla değiştirmek gibi genelleştirmeleri beraberinde getirmesinden kaynaklanır.
Temsil teorisinin en önemli uygulama alanlarından birisi de basit ve
yarıbasit Lie cebirleridir. Bu konuda birçok araştırmacı çalışmalar yapmıştır.( Banu
(2006), Fulton ve Harris (1991), Samelson (1990), Santos (2005), Serre
(2001,2006), Wakimoto(1999), Walllach ve Goodman (1998) )
Bu makalede Banu’nun (2006) sln(
) nin temsilleri ile ilgili çalışmasının
sl2(
) ile ilgili olan kısmı alınarak sl2(
) nin
temsillerinin örnekleri ve baz
elemanları olan X ve Y matrislerinin çeşitli V
incelenmiştir.
sl2(
uzayları üzerindeki etkisi
) nin Temsilleri
sl2 (
)=
 a b 
 : a,b,c 

 c  a 



cebirinin A,B = AB – BA işlemiyle birlikte bir Lie cebiridir. sl2 (
bazı

1 0 
 0 0 
0 1
 , Y  
 , X  

H  
 0 0
 0  1
 1 0 

olup
 H , X  = 2X,  H , Y  = - 2Y,  X , Y  = H.
bağıntıları sağlanır.
Örnek 1. Aşağıda sl2 (
1. sl2 (
) den gl2 (
) nin temsillerinin örnekleri verilmiştir.
) içine olan
 : sl2 (
)  gl2 (
)
monomorfizm ( gömme dönüşümü ) bir temsil tanımlar.
2. V =
 x,y  polinom halkası olsun. Eğer
- 33 -
) Lie cebirinin bir
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
Xx

,
y
Hx


-y
,
x
y
Yy

x
ise o zaman bu homomorfizm
 x,y  nın bir sl2 (
)- temsilini tanımlar.
k
Derecesi k olan homojen polinomları Sym ( V ) ile gösterelim.
3
Örnek 2. k = 3 olsun. Sym (V) derecesi 3 olan homojen polinomların kümesidir.
3
3
2
2
3
sl2 (
) cebiri Sym (V) nin {x , x y, xy , y } baz kümesine aşağıdaki şekilde etki
eder.
X=x

y
H=x


-y
x
y
Y=y
x3
0
3 x3
3 x2y
x2y
x3
x2y
2 xy2
xy2
2 x2y
y3
3 xy2
- xy2
y3
-3 y3
0

x
3
Sym (V) nin bu baz kümesine göre X, H ve Y nin matrisi
0

0
X =
0

0

1 0 0

0 2 0
, H=
0 0 3

0 0 0 
3

0
0

0

0 

1 0
0 
, Y=
0 1 0 

0 0  3 
0
0
0

3
0

0

0 0 0

0 0 0
2 0 0

0 1 0 
şeklindedir.
V, sl2 (
) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsili olsun. Jordan
Parçalanışının koruma teoremini kullanarak H nin V üzerindeki etkisinin
köşegenleştirilebilir olduğunu gösterebiliriz.  
ve her   V vektörü için
H =  olacak şekilde
V =  V
parçalanışı vardır.
- 34 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
Şimdi X ve Y nin çeşitli V uzayları üzerindeki etkisini inceleyeceğiz.X ve Y
nin V alt uzaylarını diğer V alt uzaylarına taşıdığını göstereceğiz.
Önerme 1.   V olsun. O zaman
1. X  V+2
2. Y  V-2
dir.
ispat 1
HX=XH+H,X
=X+2X
= (  +2 ) X 
Eğer  H için  özdeğerine karşılık gelen özvektör ise o zaman X  de H için  + 2
özdeğerine karşılık gelen özvektör olur. Tümevarımdan
H (X  ) = ( + 2k ) X 
k
k
olur.
2. Benzer şekilde
HY=YH+Y,H
= (  - 2) Y 
olur ve tümevarımdan
H (Y  ) = ( - 2k ) Y 
k
k
elde edilir. Bu gerçeğin ve V nin indirgenemezliğinden dolayı bir  için
kZ V+2k
alt uzayı sl2 (
) altında invaryant olup V ye eşittir.
Ayrıca , H nin özdeğerlerinin kümesi bazı m  Z için
,  + 2, … ,  + 2m
formundadır. Biz bu dizinin en son elemanını n ile gösterelim. n nin kompleks sayı
olduğunu biliyoruz, fakat n nin tamsayı olduğunu kanıtlayacağız.
- 35 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
Bir 0  Vn vektörü şeçelim. Vn+2 = {0} olduğu için X  = 0 dır. sl2(
V üzerindeki etkisini aşağıdaki diyagramla görebiliriz:
X
X
) nin
X
 V n-4  Vn-2  Vn
Y
Y
H
Y
H
H
Şimdi Y nin  vektörü üzerindeki etkisini inceleyelim.
Önerme 2.   V için X  = 0 olsun. O zaman
X(Y )=m(-m+1)Y
m
m–1

dir.
İspat. m üzerinde tümevarımla gösterelim.
m = 1 için
X Y  = Y X  +  X ,Y   = 0 + H  =  
m - 1 için doğru olsun. m için doğru olduğunu gösterelim.
X Y  = Y X Y  +  X ,Y  Y 
m-2
m-1
= Y (m – 1) ( - m + 2) Y  + H Y 
m-1
= [m ( - m + 2) -  + m – 2 +  - 2m + 2] Y 
m-1
= m ( - m + 1) Y 
m
m-1
m-1
elde edilir.
Önerme 3. V indirgenemez sonlu boyutlu sl2 (
olsun. O zaman
) – modül ve   Vn yani, X  = 0
1. {  , Y  , Y  , Y  ,…} vektör kümesi V yi gerer.
2. H nin özuzayları 1-boyutlu alt uzaylardır.
3. H nin özdeğerleri tamsayılardır.
4. H nin özdeğerleri orjine göre simetrik tamsayılardır. Yani,
2
3
- 36 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
V = V-n  V-n+2  … Vn-2  Vn
dır.
İspat. 1. V nin indirgenemezliğinden dolayı W = Sp { , Y , Y , Y ,…} alt
m
uzayının sl2 (
) nin etkisi altında kendisine taşındığını göstermek yeterlidir. Y 
2
3
Y  ye taşındığından W uzayını invaryant bırakır. Benzer şekilde, Y  vektörü
m
m
Vn-2m içinde olduğu H ( Y () ) = ( n – 2m ) Y () dir ve H W alt uzayını korur.
m
i
Geriye X (W)  W olduğunu göstermek kalır. Yani, her m için X, Y () yi Y () nin
lineer kombinasyonuna taşır. Bir önceki önermeden m üzerinde tümevarım
yapılarak sonuç elde edilir.
m+1
m
2. k = Y  diyelim. H k = ( n – 2k ) k olur. Böylece, k  0 olmak üzere k
özvektörleri farklı özdeğerlere karşılık gelirler. Çünkü V sonlu boyutlu olduğundan
k
Y  = 0 olacak şekilde yeterince büyük bir k vardır. Böylece { 0 =  , 1 ,…, m}
lineer olarak bağımsızdır ve bütün özdeğerler farklı olduğu için her özuzay 1 –
boyutludur.
k
3. m, Y   0 ve Y
m
m+1
m+1
0=XY
 = 0 koşulunu sağlayan en küçük sayı olsun. O zaman
 = (m+1) (n – m – 1 + 1) Y 
m
 n–m=0  n=m
olup bütün özdeğerler tamsayıdır.
4. 1 den dolayı V = Vn  Vn-2  … Vn-2m olur. 3 ten dolayı n = m dir. O halde
V = Vn  Vn-2  … V-n
dir. Böylece H nin  özdeğerleri orjine göre simetrik tamsayılardan oluşur.
Örnek 3.sl2 (
) nin bazı standart temsillerini yukarıdaki anlamda tanımlayalım.
Öncelikle sl2 (
) nin
2
= V üzerindeki standart temsilini düşünelim. Eğer x ve
y
için baz ise H(x) = x ve H(y) = -y dir. Böylece V =
, V = V-1  V1
olacak şekilde bir temsil tanımlar.
2
2
2
Benzer şekilde, W = Sym (V) için { x , xy , y } bazını seçelim. sl2 (
) nin
etkisi
2
2
X=x
2




, Y=y
, H=x
-y
x
x
y
y
2
2
2
ile bellidir. Buna göre H(x ) = 2x , H(xy) = 0, H(y ) = -2y olup temsil
- 37 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
Sym (V) = W -2  W 0  W 2
2
şeklinde özuzaylarına parçalanabilir.
Önerme 4. n negatif olmayan bir tamsayı olsun. V { 0 , 1 ,…, n} bazıyla sl2 (
nin n+1 boyutlu temsili olsun öyleki H nin V üzerindeki etkisi k = 0,…,n için
)
Hk = (n – 2k) k,
Yk = k+1,
Xk = k(n – k + 1) k-1
ile köşegenleştirilebilir olsun. O zaman
1. V indirgenemezdir.
2. sl2 (
) nin n+1 boyutlu her indirgenemez temsili V ye izomorfiktir.
Daha genel olarak, sl2 (
düşünelim ve eğer x ve y
bazına sahip olup
H (x
n-k
k
2
) nin V =
2
üzerindeki standart temsilini
n
n
için standart baz ise Sym (V) {x , x
y ) = (n – k) H(x) x
n – k -1
k
y + k H(y) x
n-k
k-1
y
= (n – 2k) x
n-k
n-1
n
y , .., y }
k
y
n
eşitliği vardır. Böylece H nin Sym (V) üzerindeki özdeğerleri n , n-2 ,…,-n dir.
n
Önerme 4 den Sym (V) indirgenemez olduğu görülür.
Kaynaklar
BANU, L., 2006. Representation Theory of Lie Algebra sl n(
). Queen’s
Unıversity, Department of Mathematics and Statistics Kingston, Ontario,
Canada, Master Tez 33s.
FULTON, W., HARRİS, J., 1991. Representation Theory. A First Course. Graduate
Texts in Mathematics,129. Springer Verlag, New York, 551s
SAMELSON, H., 1990. Notes on Lie Algebras. Springer-Verlag, New York,162s.
SANTOS, W., RİTTORE, A., 2005. Actions and Invariants of Algebraic Groups.
Chapman & Hall/CRC.
SERRE, J.P., 2001. Complex Semisimple Lie Algebras.Springer-Verlag,Berlin,74s.
SERRE, J.P., 2006. Lie Algebras and Lie Groups. Lectures Notes in
Mathematics,1500.
Springer-Verlag, Berlin, 168s.
WAKİMOTO, M., 2001. Infinite-Dimensional Lie Algebras. American
Mathematical Society.304s.
WALLACH, N., GOODMAN, R., 1998. Representations and Invariants of the
Classical Groups. Cambridge University Press, Cambridge, 685s.
- 38 -
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
Teşekkür
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleri ile beni
aydınlatan, yapıcı ve yönlendirici fikirleriyle bana daima yol gösteren, değerli
zamanını ayırarak çalışmamın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliği ile örnek
aldığım danışman hocam Sayın Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye sonsuz saygı ve
teşekkürlerimi sunarım.
Yüksek lisans eğitimim süresince verdiği burstan dolayı TÜBİTAK Bilim
İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
- 39 -