3( SET κ - Ankara Üniversitesi Açık Erişim Sistemi

1. GİRİŞ
Bu tezde, öncelikle Lie grubu ve Lie cebiri, daha sonra Lie gruplarının ötelemeleri
yardımıyla, invaryant ve bi-invaryant metrikler tanımlanacaktır.
R 3 de, dönmelerin grubu SO(3) ve katı hareketlerin grubu SE(3) birer Lie grubudur.
Burada, SO(3) Lie grubu ve bu grup için üstel dönüşüm tanımlanacak yine bu dönüşüm
yardımıyla, SO(3) ün 1- parametreli alt grubu ve SO(3) üzerindeki metrik verilecektir.
Bu metriğin SO(3) için standart bi-invaryant metrik olduğu gösterilecektir.
Riemann konneksiyonu tanımlanacak ve bu konneksiyonla uyumlu metriğin biinvaryant olması durumunda, x ve y sol invaryant vektör alanlar olmak üzere, y nin x
yönündeki kovaryant türevi, ∇ x y =
1
[x, y ] şeklinde kolay bir formülle bulunacaktır.
2
SE(3) Lie grubu ve buna karşılık gelen se(3) Lie cebiri tanımlanacak ve bu Lie cebirinin
standart bazı, yapı sabitleri elde edilecektir. SE(3) üzerindeki invaryant vektör alanları
ile se(3) Lie cebiri ve A ∈ SE(3) olmak üzere, T A SE (3) tanjant uzayı üzerindeki metrik
tanımlanacak ve invaryantlıkları incelenecektir.
Sol invaryant Riemann metrikleri için eğrilik tanımları verilecek ve metriğin flat
( κ = 0 ) olma durumu incelenecektir. SO(3) Lie grubunun kesitsel eğrilikleri
hesaplanacak ve ayrıca flat sol invaryant Lorentz metriğe sahip olan 3- boyutlu Lie
gruplarıyla ilgili bir teorem de verilecektir.
Son olarak, so(3) ve se(3) Lie cebirlerinin adjoint temsilleri bulunacak ve bu adjoint
temsillerin skew-adjoint olup olmadığı, dolayısıyla metriğin bi-invaryant olup olmadığı
incelenecektir.
1
1.1 Temel Kavramlar
Tanım 1.1.1 (Lie Grubu) : G bir grup ve x, y ∈ G olmak üzere, G × G → G ye
( x, y ) → xy −1
ile
verilen
dönüşüm
diferensiyellenebilir
olacak
biçimde,
bir
diferensiyellenebilir yapıyla birlikte verilen G grubuna Lie grubu denir
(do Carmo 1992).
Örneğin;
GL(n,R) = { A ∈ R n×n : det(A) ≠ 0 }standart matris çarpımıyla birlikte bir Lie grubudur.
Tanım 1.1.2 : H, G grubunun bir alt grubu ve H, G içinde kapalı bir alt cümle ise H ye
G Lie grubunun bir kapalı alt grubu denir (Karger and Novak 1985).
Tanım 1.1.3 : H, G nin bir kapalı alt grubu ise bu takdirde H, G nin bir alt manifoldu ve
dolayısıyla G nin bir Lie alt grubudur (O’neill 1983).
Tanım 1.1.4 : Bir manifold boş olmayan iki açık cümlenin ayrık birleşimi olarak
yazılamıyorsa, bu manifolda irtibatlıdır denir ya da bir manifoldun irtibatlı olması için
gerek ve yeter şart herhangi iki noktasının diferensiyellenebilir bir eğri parçası
tarafından bağlanabilmesidir (O’neill 1983).
Tanım 1.1.5 : (Lie Cebiri) gl = {V ,⊕, R,+,⋅,⊗} bir reel vektör uzayı olsun.
[,] : gl × gl → gl
bracket operatörü için
(i) anti-simetrik
(ii) bi-lineer
(iii) [x, [ y, z ]] + [ y, [z , x ]] + [z , [x, y ]] ≡ 0 (Jakobi özdeşliği) özeliklerini
sağlıyorsa , ( gl , [,] ) ikilisine bir Lie cebiri denir (Hacısalihoğlu 1980).
2
Tanım 1.1.6 : G bir Lie grubu ve g∈G olsun. ∀ g ∈ G için,
L g : G→G
x → L g (x) = gx dönüşümüne G üzerinde sol öteleme denir.
R g : G→G
x → R g (x) = xg
dönüşümüne G üzerinde sağ öteleme denir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 1.1.7 : G bir Lie grubu ve G üzerinde bir vektör alanı da X olsun. ∀ g, g 1 ∈ G
için
(l g ) ∗ X(g 1 ) = X(gg 1 )
koşulunu sağlayan X vektör alanına sol invaryant vektör alanı denir.
G bir Lie grubu ve G üzerinde bir vektör alanı da X olsun. ∀ g, g 1 ∈ G için
(r g ) ∗ X(g 1 ) = X(g 1 g)
koşulunu sağlayan X vektör alanına sağ invaryant vektör alanı denir
(Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 1.1.8 : G bir Lie grubu ve d : G × G → R bir metrik olsun. ∀ a ∈ G ve ∀ x,y ∈ G
için,
d(ax , ay) = d(x,y) ise d metriğine sol invaryant metrik,
d(xa , ya) = d(x,y) ise d metriğine sağ invaryant metrik denir.
Tanım 1.1.9 : d metriği hem sol invaryant hem de sağ invaryant ise d metriğine
bi-invaryant metrik denir.
Tanım 1.1.10 : (G,∗) bir grup olsun.
f : (R,+ ) → (G,∗) dönüşümü ∀ t 1 ,t 2 ∈ R için,
f (t1 + t 2 ) =f (t1 ) ∗ f (t 2 ) ise f (R ) ye G nin 1-parametreli alt grubu denir
(Sattinger and Weaver 1993).
3
Tanım 1.1.11 : G Lie grubu üzerinde bir g = g( τ ) (a ≤ τ ≤ b) eğrisi,
g(0) = e
g( τ 1 + τ 2 ) = g( τ 1 )g( τ 2 )
g(- τ ) = g( τ ) −1
koşullarını sağlarsa bu eğriye G Lie grubunun 1-parametreli alt grubu denir
(Avramidi 2000).
G bir Lie grubu ve e ∈ G birim eleman olsun. χ l (G ) , G üzerindeki bütün sol invaryant
vektör alanların uzayı olmak üzere,
χ l (G ) ={X: ∀ g,g 1 ∈ G için (l g ) ∗ X g = X gg } ⊂ χ (G ) dir.
1
1
Teorem 1.1.1 : α : χ l (G ) → Te (G ) dönüşümü bir lineer izomorfizmdir.
İspat: i) α lineerdir (?)
X,Y ∈ χ l (G ) için,
α (X+Y) = (X+Y)(e)
= X(e)+Y(e)
= α (X)+ α (Y)
α (cX) = (cX)(e)
= cX(e)
= c α (X)
⇒ α lineerdir.
ii) α birebirdir (?)
α (X) = α (Y) ⇒ X(e) = Y(e)
∀ g ∈ G için, (l g ) ∗ uygularsak
X(g) = (l g ) ∗ (X(e)) = (l g ) ∗(Y(e)) = Y(g)
4
⇒ X = Y dir.
⇒ α birebirdir.
iii) α örtendir (?)
∀ t e ∈ T e (G) ve ∀ g ∈ G için,
⇒ X(g) = (l g ) ∗( t e)
⇒ (l g ) ∗(X(e)) = (l g ) ∗( t e )
(l g ) ∗ birebir olduğundan
X(e) = t e
α (X) = t e
⇒ α örtendir
O halde α bir lineer izomorfizmdir (Hacısalihoğlu 1980).
[,] :
χ l (G ) × χ l (G ) → χ l (G )
( X , Y )
→ [ X , Y ]g ( f ) = X g (Y ( f )) -Y g ( X ( f )) ; ∀ g ∈ G , ∀ f ∈ C ∞ (G ) bracket
operatörüyle birlikte χ l (G ) bir Lie cebiridir. α : χ l (G ) → Te (G ) bir lineer izomorfizm
olduğundan T e (G ) de bir Lie cebiri olur. Yani, bir G Lie grubunun e birim
noktasındaki tanjant uzayı T e (G ) , G Lie grubunun Lie cebiri olur.
Tanım 1.1.12 : A, n × n bir reel matris olsun. Bu durumda,
exp ( A) = e A = I+ A 1 !+ A 2 2! +… serisi yakınsaktır (Curtis 1979).
Teorem 1.1.2 : A reel anti-simetrik bir matris ise e A ortogonaldir (Curtis 1979).
İspat : A T +A = 0
e(0) = exp (A+A T ) = exp(A)exp(A T )
5
⇒ I = exp(A)exp(A) T
⇒ exp(A) T = exp(A) −1
⇒ e A ortogonal
Tanım 1.1.13 : X, n × n bir reel matris olsun. X in I
komşuluğunda
log ( X ) = ( X − I ) - ( X − I ) 2 + ( X − I ) 3 -… serisi yakınsaktır (Curtis 1979).
2
3
Teorem 1.1.3 : X, n× n bir reel matris olsun. X, X T matrisleri I komşuluğunda
değişmeli ve X, I komşuluğunda ortogonal ise log ( X ) anti-simetriktir (Curtis 1979).
İspat: I = XX T
⇒ 0 = log(XX T )
⇒ 0 = log(X) + log(X T )
⇒ 0 = log(X) + log(X) T
⇒ log(X) T = - log(X)
⇒ log(X) anti-simetrik
Tanım 1.1.14 : Metrik vektör uzaylar arasında tanımlı bir L lineer dönüşümünün L ∗
adjointi
Lx, y = x, L∗ y
şeklinde tanımlanır.
Eğer L ∗ = - L ise L lineer dönüşümüne skew-adjoint dönüşüm denir (Milnor 1976).
Tanım 1.1.15 : g Lie cebirindeki herhangi bir x elemanı için g den g-ye y → [x, y ]
lineer dönüşümüne adjoint dönüşüm denir ve ad x ile gösterilir (Milnor 1976).
Teorem 1.1.4 : Bir irtibatlı Lie grubu üzerinde bir sol invaryant metrik aynı zamanda
sağ invaryanttır (bi-invaryanttır) ⇔ ∀ x ∈ g için ad x skew-adjointtir (Milnor 1976).
6
2. SO(3) LİE GRUBU ve so(3) LİE CEBİRİ
2.1 SO(3) Lie Grubu ve so(3) Lie Cebirinin Tanımı
Tanım 2.1.1 : O (3) = { A ∈ GL(3) : A T A = AA T = I } kümesi standart matris
çarpımıyla birlikte bir gruptur. Bu gruba ortogonal grup denir.
Tanım 2.1.2 : SO(3) = { R ∈ GL(3) : R T R = RR T = I , det( R ) = 1 } ile tanımlanan
gruba O(3) ortogonal grubu içinde özel ortogonal grup denir.
SO (3) , topolojik yapısıyla 3-boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu yüzden bir matris
Lie grubudur. Bir Lie grubuna karşılık gelen Lie cebiri grubun birim noktasındaki
tanjant uzayı olduğundan, T I (SO(3)) , SO (3) Lie grubunun Lie cebiri olur. Bu Lie
cebirine so(3) diyelim.
A ∈ SO (3) için, A: J ⊂ R → SO (3) eğrisini alalım.
t → A(t)
AT A = I ⇒
d
d
(A T A) =
(I)
dt
dt
⇒
d
d
(A T )A + A T
(A) = 0
dt
dt
⇒
d
d
(A T )A + A −1 (A) = 0
dt
dt
(∗) ’ da A −1
… (∗)
d
(A) = Ω diyelim.
dt
T
d


d

Ω =  A −1 ( A) =  ( A)
dt


 dt

T
(∗) ifadesinde Ω T + Ω
T
(A )
−1 T
d

=  ( A)
 dt

=0
⇒ ΩT = - Ω
⇒ Ω anti-simetrik matris
7
T
(A )
T T
( )
d T 
=
A A
 dt

 0

Tanım 2.1.3 : so(3) = { Ω ∈ R : Ω =  ω 3
−ω
2

3
3
− ω3
0
ω1
ω2 

− ω1  , Ω T = - Ω } SO(3) Lie
0 
grubunun Lie cebiri olarak tanımlanır.
2.2 SO(3) Lie Grubunun Tanjant Operatörü ve 1-Parametreli Alt Grubu
.
.
Tanım 2.2.1 : SO(3) Lie grubunun tanjant operatörü, Ω = A A T = A A −1 anti-simetrik
operatörüdür.
Ω matrisine A(t) dönmesinin açısal hız matrisi denir. Burada ,
.
d
( A(t )) = A (t )
dt
notasyonunu kullanalım.
Tanım 2.2.2 : Ω sabit açısal hız matrisi için, A(0) = I başlangıç koşuluyla verilen
.
A(t ) = Ω A(t) diferensiyel denkleminin çözümü
A(t) = exp( Ωt )
dir. Bu durumda A(t) eğrisi, SO(3) ün 1-parametreli alt grubudur.
2.3 SO(3)’ün Geometrik Yorumu
SO(3) ün elemanlarını antipodal noktalarla birlikte merkezi orijinde bulunan π
yarıçaplı küreler olarak düşünebiliriz. Gerçekten, merkezi orijinde bulunan bir küre için,
küre üzerindeki bir noktayı antipodaline dönüştüren dönmeyi θ ∈ SO(3) alıp dönme
açısına da φ dersek, φ açısının π olduğu ve vektörün boyuna eşit olduğu görülür.
Bu durumda, kürenin içinde bir ω noktası alınırsa, orijin ve ω dan geçen doğru
etrafındaki bir θ dönmesi için φ = ω < π dir.
8
2.4 SO(n) Üzerinde Üstel ve Logaritmik Dönüşümler
Burada anti-simetrik
matrislerin üstel dönüşümünü ve ortogonal
matrislerin
logaritmasını tanımlamak için, Gallier and Xu ’nun (2002) bu konu ile ilgili bir
çalışmalarındaki hesaplamalardan yararlanılacaktır.
SO(n) için, n = 2 olduğunda bir B anti-simetrik matrisinin üstel ifadesini yazalım.
 0 − 1
 olmak üzere B = θ J olarak yazılabilir. Bu takdirde,
J = 
1 0 
e B = eθJ = cos(θ ) I 2 + sin(θ ) J
ifadesi elde edilir.
R ∈ SO(2) verildiğinde iz ( R ) = 2cos θ olduğu için cos θ yı bulabiliriz. Bu yüzden
yukarıda verilen üstel ifade problemi çözülmüş olur.
n = 3 durumunda bir reel B anti-simetrik matrisi,
 0 −c b 


B=  c
0 − a
− b a
0 

ve θ = a 2 + b 2 + c 2 iken Rodrigues formülü,
eB = I3 +
sin θ
θ
B+
1 − cos θ
θ
2
B2
şeklinde yazılır.
Burada B = 0 iken e B = I 3 dür.
9
θ ≠ 0 iken B anti-simetrik matrisi B = θB1 olarak normalleştirilebilir. Bu durumda
Rodrigues formülü,
eθB1 = I 3+ sin(θ ) B1 + (1 − cos θ ) B1
2
olur.
Aynı zamanda R ∈ SO(3) verildiğinde iz ( R ) = 1+ 2cos θ olduğundan cos θ yı ve
1
( R − R T ) = sin(θ ) B1
2
olduğundan B 1 i bulabiliriz.
θ = 0 ya da θ = π
iken yani sin θ = 0 olduğu durumlarda yukarıdaki formül
kullanılamaz. θ = 0 iken R = I 3 ve B1 = 0 olur. θ = π olduğunda,
1
2
( R − I 3 ) = B1 … ∗
2
olacak şekildeki B 1 anti-simetrik matrisini bulmak gerekir.
B 1 , 3 × 3 tipinde bir anti-simetrik matris olduğundan, ∗ ifadesi 3 bilinmeyenli bir basit
denklem sistemi olur ve kolaylıkla çözülebilir.
Rodrigues formülü B 3 = −θ 2 B ya da B1 = − B1 olmasından elde edilmiştir. Ancak
3
n ≥ 4 iken sıfırdan farklı bir anti-simetrik matris için verilen eşitlik genellikle doğru
değildir.
Şimdi n ≥ 4 iken exp : so(n) → SO (n) üstel dönüşümünü hesaplamak için Rodrigues
formülünün bir genelleştirilmesinin olduğunu gösterelim ve log : SO (n) → so(n)
logaritma fonksiyonunu hesaplamak için bir yöntem verelim.
n × n tipinde bir B anti-simetrik matrisi verildiğinde,
B = θ1 B1 + ... + θ p B p
10
olacak biçimde p-tane B1 ,..., B p anti-simetrik matrisi vardır. Burada B anti-simetrik
matrisinin üstel ifadesinin nasıl hesaplanacağını ve B1 ,..., B p matrislerinin tek olarak
varlığını göstereceğiz. Aşağıdaki lemma B1 ,..., B p matrislerini elde etmede önemli bir
role sahiptir.
Lemma 2.4.1 : Herhangi bir n × n tipinde B anti-simetrik matrisi verildiğinde B = PEP T
olacak şekilde
 E1



E=













0 n −2 m 
Em
bir blok diagonal matris ve bir P ortogonal matrisi vardır.
Burada her E i ,
0
E i = 
θ i
− θi 
 0 − 1
 = θ i 
 , θ i > 0
0 
1 0 
olacak biçimde 2 × 2 tipinde anti-simetrik matrislerdir. Burada B anti-simetrik
matrisinin eigen değerleri, herhangi bir anti-simetrik matrisin eigen değerlerinin 0 ya da
sırf imajiner olmasından ± iθ j ya da 0 olur.
Şimdi hem B j lerin varlığını ve tekliğini hem de Rodrigues formülünü ispatlayalım.
Teorem 2.4.1 : Herhangi
n × n tipinde sıfırdan farklı bir B anti-simetrik matrisi
verildiğinde ( n ≥ 3 ) eğer :
{iθ 1 ,−iθ1 ,..., iθ p ,−iθ p } , θ j > 0
kümesi, B nin farklı eigen değerlerinin kümesi ve her ± iθ j için k j ≥ 1 ( k j : eigen
değerinin katlı kökü ) ise,
11
B = θ1 B1 + ... + θ p B p
(1)
B i B j = B j B i = 0 n ( i ≠ j)
(2)
B 3i = -B i
(3)
1 ≤ i, j ≤ p ve 2n ≤ p olacak biçimde B1 ,..., B p anti-simetrik matrisleri tek olarak
bellidir. Ayrıca
p
e B = I n + ∑ sin θ i Bi + (1 − cos θ i ) Bi2
i =1
1
olur ve {θ1 ,..., θ p } , − ( B − B T ) 2 simetrik matrisinin 2m-tane katlı köke sahip eigen
4
değerlerinin pozitif karekökleridir.
İspat : B i ve B j ler tüm i , j ler için değişmeli olduğundan
p
∑ θi Bi
e B = e i =1
= eθ1B1 … e
θ pBp
,1 ≤ i ≤ p
olarak yazılabilir.
Bununla birlikte 3 × 3 durumundaki gibi,
Bi3 = − Bi
eşitliği kullanılırsa,
eθ i Bi = I n + sin(θ i ) Bi + (1 − cos θ i ) Bi ( 1 ≤ i ≤ n ) olduğu görülür.
2
Bi3 = − Bi eşitliği yardımıyla,
Bi4 k + j = Bi j ve Bi4 k +2+ j = − Bi j ( j = 1,2 ve tüm k ≥ 0 için)
elde edilir.
Bu yüzden,
eθ i Bi = I n + ∑
θ ik Bik
k!
k ≥1
= I n+(
θi
1!
−
θ i3
3!
+
θ i5
5!
+ ...) Bi + (
θ i2
2!
−
θ i4
4!
+
θ i6
6!
) Bi2
= I n + sin(θ i ) Bi + (1 − cos θ i ) Bi2
olur.
12
Gerçekten, Bi B j = B j Bi = 0 n ( i ≠ j ) dir ve bu yüzden
m
e B = ∏ eθ i Bi
i =1
p
= ∏ ( I n + sin(θ i ) Bi + (1 − cos θ i ) Bi2
i =1
p
= I n + ∑ sin(θ i ) Bi + (1 − cos θ i ) Bi2
i =1
elde edilir.
1
( B − B T ) 2 matrisi PE 2 P T formunda yazılabilir. Burada,
4
−θ 2 0 

Ei2 =  i
θ i2 
 0
dir.
1
Böylece, − ( B − B T ) 2 matrisinin eigen değerleri
4
{θ12 , θ12 ,..., θ m2 , θ m2 ,0,...,0}
1
olur. Bu yüzden {θ1 ,...,θ m } , − ( B − B T ) 2 simetrik matrisinin eigen değerlerinin
4
pozitif karekökleridirler.
Şimdi buradaki B j lerin tekliğini gösterelim. B j lerin özellikleri kullanıldığında
p
B = ∑ θ i Bi
i =1
p
B 3 = −∑ θ i Bi
3
i =1
p
B 5 = ∑ θ i5 Bi
(4)
i =1
...
p
B 2 p −1 = (−1) p −1 ∑θ i2 p −1 Bi
i =1
13
sistemi elde edilir.
Bu sistemin katsayılar matrisi,

θ1

− θ13






 (−1) p −1θ 2 p −1
1

θ2
− θ 23
...
(−1) p −1θ 22 p −1
...
θp
− θ p3








(−1) p −1θ p2 p −1 
...
olur. Bu matris, diag( 1,-1,1,-1,…,1,(-1)
p −1
p
) ile ( ∏ θ i ) V (θ12 ,...,θ p2 )
i =1
matrislerinin çarpımı olarak yazılabilir. Burada V (θ12 ,...,θ p2 ) bir Vandermonde
matrisidir. Bu matrisin determinantına δ n dersek,
δ n = (-1)
p ( p −1)
2
p
∏θ ∏ (θ
i
i =1
2
j
− θ i2 )
1≤ i < j ≤ p
olur.
Buradaki tüm θ i ler pozitif ve birbirinden farklı olduklarından, δ n ≠ 0 dır. Böylece, B
ve onun sıfırdan farklı eigen değerlerinden B1 ,..., B p matrisleri tek olarak belirlenebilir.
Dolayısıyla,
bir R ∈ SO(n)
verildiğinde
log( R) = B
B = θ1 B1 + ... + θ p B p anti-simetrik matrisi bulunabilir.
14
olacak
şekilde
bir
3. RİEMANN KONNEKSİYONU ve Bİ-İNVARYANT METRİKLE İLİŞKİSİ
Bu bölümde Riemann konneksiyonu tanımlanacak ve bu konneksiyonla uyumlu
metriğin bir bi-invaryant metrik olması durumunda ortaya çıkacak sonuçlar
incelenecektir.
Bir Riemann metriğiyle birlikte bir ∇ Riemann konneksiyonunu dikkate aldığımızda, ∇
Riemann konneksiyonu, diferensiyellenebilir x ve y vektör alanlarının her bir çiftine
y nin x yönünde kovaryant türevi adı verilen bir ∇ x y diferensiyellenebilir vektör
alanını karşılık getirir.
Buradaki amacımıza yönelik, ∇ nın tek olarak tanımlı olduğunu, ∇ x y nin x ve y nin
bir fonksiyonu olarak bilineer olduğunu ve
[x , y ] = ∇ x y
- ∇yx
x y, z = ∇ x y, z + y, ∇ x z
(3.1)(simetri koşulu)
(3.2)(metrikle uyumluluk)
koşullarının sağlandığını bilmek yeterlidir.
(3.2) eşitliği y, z sabit fonksiyon olacak biçimdeki her y, z vektör alanı için sıfırdır.
Özel olarak y ve z bir Lie grubu üzerinde bir sol invaryant metrikle birlikte verilen sol
invaryant vektör alanlar ise bu eşitlik her zaman sıfırdır. x sol invaryant ise ∇ x y de sol
invaryanttır. Böylece her x için ∇ x , Lie cebirinden Lie cebirine tanımlı bir skew-adjoint
lineer dönüşümdür.
x, y, z nin tümü sol invaryant vektör alanlar olsunlar. Bu durumda (3.1) ve (3.2)
eşitlikleri yardımıyla,
15
∇ x y, z =
1
[ x, [ y, z ] - y, [z , x ] + z , [x, y ] ]
2
eşitliği elde edilir.
Şimdi bu eşitliğin varlığını gösterelim. Simetri koşulunda x, y ve z nin sıraları
değiştirilirse,
x y , z = ∇ x y, z + y , ∇ x z = 0
(1)
y z, x = ∇ y z, x + z, ∇ y x = 0
(2)
z x, y = ∇ z x, y + x, ∇ z y = 0
(3)
eşitlikleri elde edilir.
(1) den (2) çıkarılırsa,
∇ x y − ∇ y x, z + ∇ x z , y − ∇ y z , x = 0
[x, y ], z
+ ∇ x z, y − ∇ y z, x = 0
(4)
Benzer şekilde (3) den (1) çıkarılırsa,
[z, x], y
+ x, ∇ z y − ∇ x y , z = 0
(5)
elde edilir.
Burada ∇ x lineer dönüşümü skew-adjoint olduğundan, (4) de
∇ x z , y = − z , ∇ x y yazılır ve (4) ile (5) taraf tarafa toplanırsa,
16
2 ∇ x y, z =
∇ x y, z =
[x, y ], z
− [ y, z ], x + [z , x ], y
1
( [x, y ], z − [ y, z ], x + [z, x], y
2
)
eşitliği elde edilir.
Metriğin bi-invaryant olması durumunda, adjoint dönüşüm skew adjoint olacağından
∗
( ad x = − ad x ), yukarıdaki eşitlikte
[z, x], y
= ad z x, y = − x, ad z y ve bu yüzden
− [ y, z ], x + [z , x ], y = − ad y z , x + ad z x, y = x, ad z y − x, ad z y = 0
elde edilir.
Böylece,
∇ x y, z =
1
[x, y ], z
2
olur.
O halde metriğin bi-invaryant olması durumunda, sol invaryant vektör alanlar için
∇x y =
1
[x , y ]
2
eşitliği elde edilir.
17
4. SE(3) LİE GRUBU ve se(3) LİE CEBİRİ
4.1 SE(3) Lie Grubu ve se(3) Lie Cebirinin Tanımı
Bu bölümde, SE(3) Lie grubu ve se(3) Lie cebiri tanımlanacak ve bu yapılar üzerindeki
operatörler verilecektir.
R 3 deki bir katı hareket ,
A : R3 → R3
x → A( x) = Rx + d ; R ∈ SO(3), d ∈ R 3
R d 
lineer dönüşümüyle ifade edilebilir. Bu dönüşüm matris formunda, A = 
 ile
0 1
gösterilebilir.
Tanım 4.1.1 : Bu formdaki bütün matrislere 3- boyutta katı hareketlerin özel öklidiyen
grubu denir.Bu grup,
R d 
SE(3) = { A : A = 
, R ∈ R 3×3 , d ∈ R 3 , R T R = I , det( R ) = 1 }

0 1
kümesiyle gösterilebilir (Zefran et al. 1999).
GL(4,R) bir Lie grubu ve SE(3), GL(4,R) nin kapalı bir alt cümlesi olduğundan SE(3)
bir Lie grubudur.
A : [− a, a ] → SE(3)
t
 R(t ) d (t ) 

→ A(t) = 
1 
 0
eğrisi verildiğinde se(3) Lie cebirinin bir S(t) elemanı aşağıdaki gibi elde edilebilir. Bu
.
.
eğrinin tanjant vektörü A(t ) olmak üzere, A(t ) =
d
[ A(t )] ∈ T A SE (3) dir.
d (t )
SE(3) Lie grubu ve I 3 birim matris olmak üzere, χ l SE (3) , TI SE (3) ye izomorf
18
olduğundan TI SE (3) Lie cebiri olur. Burada, χ l SE (3) sol invaryant vektör alanların
uzayıdır.
Kısaca, TI SE (3) = se(3) diyelim ve se(3) Lie cebirini elde edelim.
A(t ) ∈ SE(3) eğrisi için,
.
 .

.
 R −1 (t ) − R −1 (t )d (t ) 
(
)
(
R
t
d
t)



A (t ) = 
(
)
=
,
A
t

 0
1
0 
 0


−1
.
.
 R −1 (t ) − R −1 (t )d (t )  R(t ) d (t ) 


A (t ) A(t ) = 

1
0 
 0
 0
.
−1
.
.
 −1

−1
R
(
t
)
R
(
t
)
R
(
t
)
d
(
t)
A (t ) A(t ) = 


0
0


.
−1
.
.
Ω = R −1 (t ) R(t ) , v = R −1 (t ) d (t ) denilirse,
.
Ω v
 ∈ se(3)
S(t) = A −1 (t ) A(t ) = 
 0 0
olarak yazılabilir.
Benzer şekilde verilen A(t ) eğrisi için,
.
−1
 .
 −1
R
(
t
)
d
(
t )  R (t ) − R (t )d (t ) 

A(t ) A (t ) =


 0
1
0  0


.
−1
.
−1
 .
 −1
R
(
t
)
d
(
t )  R (t ) − R (t )d (t ) 

A(t ) A (t ) =


 0
1
0  0


.
−1
19
.
.
 .

−1
−1
R
(
t
)
R
(
t
)
−
R
(
t
)
R
(
t
)
d
(
t
)
+
d
(
t) 

A(t ) A (t ) =


0
0


.
−1
.
.
Ω = R(t ) R −1 (t )
,
.
v = − R(t ) R −1 (t )d (t ) + d (t )
olarak alınırsa,
.
Ω v
 elde edilir. Kısaca,
S(t) = A(t ) A −1 (t ) = 
 0 0
Ω v 

 = [Ω, v] yazılabilir.
0
0


Tanım 4.1.2 : SE(3) Lie grubunun tanjant operatörü S = [Ω, v] ile tanımlı bir
operatördür.
→
Teorem 4.1.1 : Ω ∈ R33 anti-simetrik matris ve x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 için
 0

Ω =  ω3
−ω
2

− ω3
0
ω2 

− ω1 
0 
ω1
 x1 
 
x ↔ X =  x2 
x 
 3
→
,
→
ω × x = Ω × X
eşitliği vardır.
İspat :
 0

ΩX =  ω3
−ω
 2
− ω3
0
ω1
ω2   x1   − ω 3 x 2 + ω 2 x3 
  

− ω1   x 2  =  ω 3 x1 − ω1 x3 
0   x3   − ω 2 x1 + ω1 x 2 
20
e1
e2
e3
ω × x = ω1 ω 2 ω 3
x1
x2
= (ω 2 x3 − ω 3 x 2 , ω 3 x1 − ω1 x3 , ω1 x 2 − ω 2 x1 )
x3
→
→
ω × x = Ω × X
eşitliklerin sağ tarafları eşit olduğundan,
eşitliği elde
edilir.
→
→
Bu yüzden Ω ∈ R33 anti-simetrik matrisi ile ω ∈ R 3 vektörü arasında Ω ↔ ω eşlemesi
→ →
vardır. Dolayısıyla her S∈se(3) elemanına { ω , v } vektör çifti karşılık gelir.
Tanım 4.1.3 : SE(3) Lie grubunun se(3) Lie cebiri ,
ω v 
 : ω ∈ R 3×3 , v ∈ R 3 , ω T = −ω }
se(3) = { 
 0 0
ile verilebilir (Belta and Kumar 2002).
Şimdi, se(3) Lie cebirinin standart bazını elde edelim. S∈se(3) olsun.
Bu durumda,
 0

 Ω v   ω3
 = 
S = 
 0 0  − ω2
 0

− ω3
0
ω 2 v1 

− ω1 v 2 
ω1
0
0
0
v3 

0 
biçiminde yazılırsa,
21
0

0
S = ω1 
0

0

0

0
+ v1 
0

0

0
0


0 −1 0
0
+
ω
2
−1
1 0 0


0
0 0 0 

0
0
0 0 1
0


0 0 0
0
+
v
2
0
0 0 0


0
0 0 0 

0 1 0
0 −1


0 0 0
1 0
+
ω
3
0 0
0 0 0


0 0
0 0 0 

0 0 0
0


0 0 1
0
+
v
3
0
0 0 0


0
0 0 0 

0 0

0 0
0 0

0 0 
0 0 0

0 0 0
0 0 1

0 0 0 
S = ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L6
⇒ se(3) = Sp{L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , L6 }
L1 → X ekseni etrafındaki ani dönme
L2 → Y ekseni etrafındaki ani dönme
L3 → Z ekseni etrafındaki ani dönme
L4 → X ekseni boyunca ani öteleme
L5 → Y ekseni boyunca ani öteleme
L6 → Z ekseni boyunca ani öteleme
‘ye karşılık gelen matrislerdir.
→
→
S(t) ↔ { ω (t ), v(t ) } için :
→
ω : Cismin hareketinin açısal hızını
→
v : Cismin hareketinin lineer hızını
gösterirler.
→
→
Tanım 4.1.4 : Kinematikte { ω (t ), v(t ) }formundaki elemanlara twist adı verilir.
22
Teorem 4.1.2 : S1 , S 2 ∈ se(3) için bracket çarpımı işlemi,
[,] : se(3)× se(3) → se(3)
( S1 , S 2 ) → [S1 , S 2 ] = S1 S 2 − S 2 S1
ile tanımlı olsun.
Bu durumda,
→
→
→
→
→ →
S1 ↔ { ω1 , v1 } , S 2 ↔ { ω 2 , v 2 } , [S1 , S 2 ] ↔ { ω , v } için,
→ →
→
→
→
→
→
→
{ ω , v } = { ω1 × ω 2 , ω1 × v 2 + v1 × ω 2 } dir.
→
İspat :
→
→
→
ω1 , v1 , ω 2 , v 2 ∈ R 3 için,
→
→
→
→
ω1 = ( x1 , x 2 , x3 ) , ω 2 = ( y1 , y 2 , y 3 ) , v1 = ( a1 , a 2 , a3 ) , v 2 = ( b1 , b2 , b3 ) olsun.
Bu durumda,
 0

 x
S1 =  3
−x
 2
 0

− x3
x2
0
− x1
x1
0
0
0
a1 
 0


a2 
 y3
,
S
=
2
− y
a3 

 2
 0
0 

− y3
y2
0
− y1
y1
0
0
0
b1 

b2 
b3 

0 
olur.
[S1 , S 2 ]
= S1 S 2 − S 2 S1 olduğundan
[S1 , S 2 ]
 − x3 y 3 − x 2 y 2

x1 y 2

=
x1 y 3


0

 − x3 y 3 − x 2 y 2

x 2 y1

−
x3 y1


0

x 2 y1
x3 y1
− x3 y 3 − x1 y1
x3 y 2
x2 y3
− x 2 y 2 − x1 y1
0
0
x1 y 2
x1 y3
− x3 y 3 − x1 y 1
x2 y3
x3 y 2
− x 2 y 2 − x1 y1
0
0
23
− x3b2 + x 2 b3 

x3 b1 − x1b3 
− x 2 b1 + x1b2 


0

− a 2 y3 + a3 y 2 

a1 y 3 − a3 y1 
− a1 y 2 + a 2 y1 


0

x3 y1 − x1 y 3
x 2 b3 − x3 b2 + a 2 y 3 − a3 y 2 
0
− ( x1 y 2 − x 2 y1 )



0
− ( x 2 y 3 − x3 y 2 ) x 3 b1 − x1b3 + a 3 y1 − a1 y 3 
 x1 y 2 − x 2 y1
=
x 2 y 3 − x3 y 2
x1b2 − x 2 b1 + a1 y 2 − a 2 y 1 
− ( x3 y1 − x1 y 3 )
0




0
0
0
0


e1
e2
e3
ω1 × ω 2 = x1
y1
x2
y2
x3 = ( x 2 y3 − x3 y1 , x3 y1 − x1 y 3 , x1 y 2 − x 2 y1 )
y3
→
→
→
→
→
→
e1
e2
e3
ω1 × v 2 = x1 x 2
b1 b2
x3 = ( x 2 b3 − x3b2 , x3 b1 − x1b3 , x1b2 − x 2 b1 )
b3
e1
e2
e3
v1 × ω 2 = a1
a2
y2
a3 = ( a 2 y 3 − a3 y 2 , a 3 y1 − a1 y 3 , a1 y 2 − a 2 y1 )
y3
y1
son iki eşitlikten
→
→
→
→
ω1 × v 2 + ω1 × v 2 =( x 2 b3 − x3 b2 + a 2 y 3 − a3 y 2 , x3 b1 − x1b3 + a3 y1 − a1 y 3 ,
x1b2 − x 2 b1 + a1 y 2 − a 2 y1 )
yazılabilir ve ilk eşitlikten,
→ →
→
→
→
→
→
→
{ ω , v } = { ω1 × ω 2 , ω1 × v 2 + v1 × ω 2 } eşitliği elde edilir.
Tanım 4.1.5 : se(3) Lie cebirinin baz vektörlerinin bracket çarpımı,
6
[ Li , L j ] =
∑C
k
ij
Lk
k =1
şeklinde tanımlanır. Burada C ijk katsayılarına Lie cebirinin yapı sabitleri denir.
C ijk yapı sabitleri için, C ijk = − C kji bağıntısı vardır (Sattinger and Weaver 1993).
Yapı sabitleri hesaplandığında,
C111 = C112 = C113 = C114 = C115 = C116 = 0
C123 = 1 , C121 = C122 = C124 = C125 = C126 = 0
C132 = −1 , C131 = C133 = C134 = C135 = C136 = 0
24
C141 = C142 = C143 = C144 = C145 = C146 = 0
C156 = 1 , C151 = C152 = C153 = C154 = C155 = 0
C165 = −1 , C161 = C162 = C163 = C164 = C166 = 0
1
2
3
5
6
C 22
= C 22
= C 22
= C 224 = C 22
= C 22
=0
1
2
3
5
6
C 23
= 1 , C 23
= C 23
= C 234 = C 23
= C 23
=0
6
1
3
5
C 24
= −1 , C 24
= C 242 = C 24
= C 244 = C 24
=0
1
2
3
5
6
C 25
= C 25
= C 25
= C 254 = C 25
= C 25
=0
4
1
3
5
6
C 26
= 1 , C 26
= C 262 = C 26
= C 26
= C 26
=0
1
C 33
= C 332 = C 333 = C 334 = C 335 = C 336 = 0
1
C 354 = −1 , C 35
= C 352 = C 353 = C 355 = C 356 = 0
1
3
C 36
= C 362 = C 36
= C 364 = C 365 = C 366 = 0
1
2
3
5
6
C 44
= C 44
= C 44
= C 444 = C 44
= C 44
=0
1
2
3
5
6
C 45
= C 45
= C 45
= C 454 = C 45
= C 45
=0
1
2
3
5
6
C 46
= C 46
= C 46
= C 464 = C 46
= C 46
=0
1
C 55
= C 552 = C 553 = C 554 = C 555 = C 556 = 0
1
3
C 56
= C 562 = C 56
= C 564 = C 565 = C 566 = 0
1
3
5
6
C 66
= C 662 = C 66
= C 664 = C 66
= C 66
=0
4.2 SE(3) Lie Grubu Üzerinde İnvaryant Vektör Alanları
Bu bölümde, SE(3) Lie grubu için sol ve sağ invaryant vektör alanlar tanımlanacaktır.
Tanım 4.2.1 : SE(3) üzerindeki bir X diferensiyellenebilir vektör alanı, se(3) ün bir S
elemanının soldan ötelenmesi ile elde edilebilir. Bu durumda, X vektör alanının keyfi
bir A∈SE(3) noktasındaki değeri,
∧
X(A) = S (A) = AS
(∗ )
25
ile verilebilir. Bu eşitlikle elde edilen X vektör alanına bir sol invaryant vektör alanı
∧
denir. Burada S , S Lie cebiri elemanının soldan ötelenmesiyle elde edilen vektör
alanını göstermek için kullanılmıştır ( Zefran et al. 1999 ).
Benzer şekilde, bir Y sağ invaryant vektör alanı da, se(3) ün bir S elemanının
B∈SE(3) ile sağdan ötelenmesiyle
∧
Y(B) = S (B) = SB
şeklinde tanımlanabilir.
Tanım 4.2.2 : ( ∗ ) ifadesinden sol invaryant vektör alanların uzayı se(3) e izomorftur.
Özel olarak, T A SE (3) üzerindeki bracket çarpımı,
∧ ∧ 
 L i , L j  =
∧
6
∑C
k
ij
Lk
i =1
ile tanımlanabilir (do Carmo 1992).
{ L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , L6 } kümesi se(3) için bir baz olduğundan A ∈ SE(3) olmak üzere
∧
∧
∧
∧
∧
∧
{ L1 (A), L 2 (A), L 3 (A), L 4 (A), L 5 (A), L 6 (A) } kümesi de T A SE (3) tanjant uzayı için bir
bazdır.
Bu yüzden herhangi bir X vektör alanı,
6
X=
∑X
i
∧
Li
i =1
ile ifade edilebilir. Burada, X i katsayıları manifold üzerinde değişmektedir. Eğer bu
katsayılar sabitse, X bir sol invaryant vektör alanı olur. ω = [ X 1 , X 2 , X 3 ] T ve
→ →
v = [X 4 , X 5 , X 6 ] olarak tanımlanırsa { ω , v } vektör çifti keyfi bir X vektör alanıyla
T
eşlenebilir (Zefran et al. 1999).
26
se(3) Lie cebiri ve A ∈ SE(3) olmak üzere T A SE (3) tanjant uzayı için bazı yapısal
özellikler verildikten sonra, şimdi de SE(3) Lie grubu üzerindeki Riemann metrikleri
tanımlanacak ve invaryant olup olmadıkları araştırılacaktır.
4.3 SE(3) Lie Grubu Üzerinde Riemann Metrikleri
Tanım 4.3.1 : Bir diferensiyellenebilir manifold üzerindeki her bir noktadaki tanjant
uzayı üzerinde, pozitif tanımlı, bi-lineer ve simetrik olarak tanımlanan bir forma (iç
çarpıma ) Riemann metriği, bu manifolda da Riemann manifoldu denir
(do Carmo 1992).
Eğer bu form non-dejenere ise yani,
∀ V1 ( A) ∈ T A SE (3) için V1 ( A),V2 ( A)
A
= 0 ⇒ V2 ( A) = 0
ise, elde edilen metriğe Semi-Riemann metrik denir.
Şimdi se(3) üzerindeki iç çarpımı tanımlayalım.
Tanım 4.3.2 : S1 , S 2 ∈ se(3) olmak üzere, se(3) üzerindeki iç çarpım,
S1 , S 2
I
= s1T W s 2
ile tanımlıdır. Burada s1 , s 2 sırasıyla S1 , S 2 ye karşılık gelen 6 × 1 vektörler ve W da
pozitif tanımlı bir matristir (Zefran et al. 1999).
Tanım 4.3.3 : V1 ve V2 SE(3) ün herhangi bir noktasındaki tanjant vektörler olmak
üzere T A SE (3) tanjant uzayı üzerindeki iç çarpım,
V1 ,V2
A
= A −1V1 , A −1V2
I
…
(1)
ile tanımlanabilir.
27
Tanım 4.3.4 : Herhangi X ve Y vektör alanları ve A, B ∈ SE(3) için,
X ( B), Y ( B)
B
= AX ( B), AY ( B)
AB
ise metrik sol invaryant,
X ( B), Y ( B)
B
= X ( B) A, Y ( B ) A
BA
ise metrik sağ invaryanttır (Zefran et al. 1999).
Teorem 4.3.1 : do Carmo’ya (1992) göre ( 1 ) ile tanımlanan metrik sol invaryanttır
(Zefran et al. 1999).
.
.
İspat : A , B ∈ SE(3) olmak üzere, V1 = X 1 (0) , V2 = X 2 (0) ise,
V1 ( B),V2 ( B)
= AV1 ( B), AV2 ( B)
B
AV1 ( B), AV2 ( B)
=
(?)
= ( AB ) −1 AV1 ( B ), ( AB ) −1 AV2 ( B )
AB
B −1V1 ( B ), B −1V2 ( B )
= V1 ( B),V2 ( B)
AB
I
I
B
Dolayısıyla verilen metrik sol invaryanttır.
Teorem 4.3.2 : V1 ,V2
A
= V1 A −1 , V2 A −1
I
ile tanımlanan metrik sağ invaryanttır.
.
.
İspat : A , B ∈ SE(3) olmak üzere, V1 = X 1 (0) , V2 = X 2 (0) ise,
V1 ( B),V2 ( B)
B
= V1 ( B) A,V2 ( B ) A
V1 ( B) A,V2 ( B ) A
BA
(?)
= V1 ( B ) A( BA) −1 , V2 ( B ) A( BA) −1
= V1 ( B ) B −1 , V2 ( B ) B −1
= V1 ( B),V2 ( B)
BA
I
B
Dolayısıyla verilen metrik sağ invaryanttır.
28
I
5. LİE GRUPLARI ÜZERİNDE SOL İNVARYANT METRİKLERİN
EĞRİLİKLERİ
5.1 Kesitsel Eğrilik
Bu bölümde Milnor’un (1976) sol invaryant metriklerin eğrilikleri ile ilgili çalışmasında
elde ettiği bulgular incelenecektir.
Bir noktada bir Riemann manifoldunun eğriliği, bi-kuadratik eğrilik fonksiyonu
κ (x,y) = R xy x , y
ile tanımlanabilir. Burada x ve y verilen noktada değişen tanjant vektörler ve R de
Riemann eğrilik tensörüdür.
Önerme 5.1.1 : M bir semi-Riemann manifold ve x, y, z, v, w ∈ T p (M) ise R için
R xy = - R yx
R xy v, w = − R xy w, v
R xy z + R yz x + R zx y = 0
R xy v, w = Rvw x, y
dir( O’neill 1983 ).
R xy : T p (M) → T p (M)
z
→ R xy z = ∇ [x , y ] z - ∇ x ∇ y z + ∇ y ∇ x z dir. Burada, ∇ Riemann konneksiyonudur.
29
Verilen κ (x,y) fonksiyonu bir Riemann metriği için eğrilik fonksiyonudur.
⇔
κ (x,y), x ve y nin fonksiyonu olarak simetrik ve bi-kuadratiktir.
u ve v ortogonal birim vektörler [ u , u
v,v - u ,v
2
= 1 ] ise, Κ = κ (x,y) sayısına u
ve v tarafından gerilen 2-boyutlu tanjant düzlemin kesitsel eğriliği denir.
Sol invaryant metrikle birlikte verilmiş bir Lie grubunu çalışmanın en iyi yolu sol
invaryant vektör alanların bir e 1 ,…,e n bazını seçmektir. O halde, Lie cebiri yapısını
α i j k yapı sabitlerinin bir n × n × n dizisiyle tanımlamak mümkündür. Burada,
[e , e ] = ∑ α
i
j
ijk
ek
k
[
]
ya da α i j k = ei , e j , ek dir ve bu dizi ilk iki indise göre anti-simetriktir.
Bu durumda, κ eğrilik fonksiyonu α i j k nın bir komplike kuadratik fonksiyonu olarak
tanımlanabilir.
Lemma 5.1.1 : α i j k lar yardımıyla κ (e1 , e2 ) kesitsel eğriliği
κ (e1 , e2 ) =
1
∑ 2α
12 k
( - α12 k + α 2 k 1 + α k 12 )
k
-
1
( α 1 2 k − α 2 k 1 + α k 1 2 )( α 1 2 k + α 2 k 1 − α k 1 2 ) - α k 11α k 2 2 ) … (5.1.1)
4
şeklinde verilebilir.
Bu açık ifade gösteriyor ki; eğrilik, Lie cebiri ve onun metriği yardımıyla tamamen
hesaplanabilir. α i j k -lar sıfırken eğrilik de sıfırdır.
G bir sol invaryant metrikle birlikte verildiğinde, u da g Lie cebirinde bir vektör olsun.
30
Lemma 5.1.2 : ad(u) lineer dönüşümü skew-adjoint ise κ (u , v) ≥ 0 dir. ( ∀ v ∈ g)
İspat : Genelliği bozmadan u ve v yi ortonormal kabul edelim. e 1 = u ve e 2 = v ile
birlikte bir e 1 , e 2 ,…,e n ortonormal bazı seçildiğinde ad(e 1 ) in skew-adjoint olması,
i = 1 için α i j k dizisinin son iki terimine göre anti-simetrik olması anlamına gelir.
O halde (5.1.1) formülünden
(α 2 k 1 ) 2
κ (e1 , e2 ) = ∑
olur. Dolayısıyla, κ (e1 , e2 ) ≥ 0 dir.
4
k
Tanım 5.1.1 : G grubunun tüm elemanlarının sırasının değiştirilmesiyle oluşan, C(G)
kümesine G grubunun merkezi denir.
C(G) = {g ∈ G : g ' g = gg ' , ∀ g ' ∈ G}
dir (Avramidi 2000).
Sonuç 5.1.1 : Eğer u vektörü g Lie cebirinin merkezine aitse herhangi bir sol invaryant
metrik için, κ (u , v) ≥ 0 ( ∀ v ∈ g) sağlanır.
İspat : Eğer u, merkez elemanı ise ad(u) = 0 dır ve sıfır dönüşümü skew-adjointtir.
Sonuç 5.1.2 : Her kompakt Lie grubu bütün kesitsel eğrilikleri Κ ≥ 0 olacak şekilde bir
sol invaryant (aslında bi-invaryant) metriğe sahiptir.
Eğer yukarıdaki eşitsizlik, Κ >0 olacak biçimde kesinleştirilirse ( Κ = 0 durumu
çıkarılırsa) bu koşulu sağlayan çok az Lie grubu olur.
Yüksek boyutlu olan Lie gruplarını anlamanın en kolay yolu, flat olan bir anlamda Κ
kesitsel eğriliği özdeş olarak sıfır olan ( Κ ≡ 0 ) Riemann manifoldlarını incelemektir.
31
Bir sol invaryant metrik için flatlik şartı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
Bir Lie cebiri değişmelidir
⇔
[x , y ] = 0
[
]
g Lie cebiri değişmeli ise α i j k Lie cebiri yapı sabitleri α i j k = ei , e j , ek
eşitliğinden
sıfır olurlar. Dolayısıyla (5.1.1) eşitliğinden her sol invaryant metrik flattir.
5.2 Ricci Eğriliği
Bir Riemann manifoldunun bir noktasındaki eğriliğinin tanımı r(x) kuadratik formu ile
verilir. Bu form x tanjant vektörünün
∑ κ ( x, e )
r(x) =
i
∑
=
R( x, ei ) x, ei
formülüyle tanımlanan reel değerli bir
i
fonksiyonudur. Burada κ bi-kuadratik eğrilik fonksiyonu ve e 1 ,…,e n tanjant uzayı için
ortonormal bazdır. Eğer u bir birim vektör ise o halde r(u)-ya u yönündeki Ricci eğriliği
denir.
∧
Hesaplamalarda kolaylık sağladığı için self-adjoint r Ricci dönüşümüyle çalışmak daha
uygundur.
∧
r (x) =
∑ R (e , x ) e
i
i
i
dir.
∧
Bu durumda, r(x) ile r (x) arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir.
∧
r ( x), x =
∑ R (e , x )e , x
i
i
i
=
∑−
R ( x, ei )ei , x
(R nin ilk özeliğinden)
i
=
∑
R ( x, ei ) x, ei
(R nin ikinci özeliğinden)
i
32
=
∑ κ ( x, e )
i
i
= r(x)
şeklindedir.
∧
r nin eigen değerlerine asli Ricci eğrilikleri denir.
Lemma 5.2.1 : ad(u) lineer dönüşümü skew-adjoint ise r(u) ≥ 0 dir.
İspat : r(u) kesitsel eğriliklerin toplamı olduğundan ve Lemma 5.1.2 den r(u) ≥ 0 dir.
Lemma 5.2.2 : r(u) = 0 ⇔ ad(u) lineer dönüşümü skew-adjoint dir.
Eğer u, g nin merkezine aitse r(u) ≥ 0 dır.
Teorem 5.2.1 : G Lie grubunun Lie cebiri, [x, y ] = z olacak biçimde lineer bağımsız
vektörler içeriyorsa, r(x)<0 ve r(z)>0 olacak biçimde bir sol invaryant metrik vardır.
İspat : b 1 = x, b 2 = y, b 3 = z ile birlikte sabit bir b 1 ,…,b n bazını seçelim. Herhangi bir
ε >0 reel sayısı için e 1 = ε b 1, e 2 = ε b 2 ve e i = ε 2 b i ( i ≥ 3 ) ile tanımlanan e 1 ,…,e n
yardımcı bazını dikkate alalım. e 1 ,…,e n in ortonormal olmasını gerektiren bir sol
invaryant metrik tanımlayalım. g ε bu özel metrik ve özel ortonormal bazla verilen g Lie
[
cebirini göstersin. ei , e j
]
=
∑α
ijk
ek yapısını kurarsak α i j k yapı sabitleri açık bir
k
şekilde ε nun fonksiyonu olurlar. Şimdi ε → 0 limit durumunu dikkate alalım.
Bu durumda her bir α i j k iyi tanımlı bir limite sahip olurlar. Bu yüzden verilen metrik
ve verilen ortonormal baz ile birlikte bir g 0 limit Lie cebirini elde ederiz. Ayrıca g 0
[
]
daki bracket çarpım, [e1 , e2 ] = - [e2 , e1 ] = e 3 ile aksi takdirde ei , e j = 0 ile verilir.
33
Lemma 5.2.1 ve lemma 5.2.2 den,
r(e 1 ) < 0 < r(e 3 ) g 0 içinde sağlanır.
Yapı sabitlerini değiştirdiğimiz için bu Ricci eğrilikleri de değişecektir. Bu yüzden ε
yeterince sıfıra yakınken r(e 1 ) < 0 < r(e 3 ) elde edilir.
Teorem 5.2.2 : Aşağıdaki 3-boyutlu Lie gruplarının her biri, bir flat sol invaryant
Lorentz metriğine sahiptir.
1 ) E (2) ; 2-boyutlu Öklid uzayının katı hareketlerinin grubu
2 ) E (1,1) ; 2-boyutlu Minkowski uzayının katı hareketlerinin grubu
1 ∗ ∗
3 ) 0 1 ∗ formundaki tüm reel matrislerden oluşan Heisenberg grubu
0 0 1
(Nomizu 1979).
İspat : Öncelikle her bir Lie grubu için Lie cebirini ve bu grup üzerinde bir flat sol
invaryant Lorentz metrik tanımlı olacak biçimdeki Lorentz iç çarpımını tanımlayalım.
E(2): Bu grup,
cos θ
 sin θ

 0
− sin θ
cos θ
0
a
b 
1 
şeklindeki matrislerden oluşur.
Lie cebiri ise, [x, y ] = 0 , [z, x ] = y , [ y, z ] = x olacak biçimde,
0 0 1 
0 0 0 
0 − 1 0 




x = 0 0 0 , y = 0 0 1 , z = 1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
den oluşan bir baza sahiptir.
34
z, z = −1 , x, x = y, y = 1 , z, x = z, y = x, y = 0 olacak biçimde bir Lorentz iç
çarpımı tanımlayalım.
Bu durumda,
∇xx = ∇x y = ∇yx = ∇xz = ∇y y = ∇yz = ∇z z = 0
ve
∇ z x = y , ∇ z y = −x
olur.
Buradan,
R ( x, y ) = R ( y , z ) = R ( z , x ) = 0
elde edilir, yani metrik flattir.
E(1,1): Bu grup,
cosh t sinh t a 
 sinh t cosh t b 


0
1 
 0
şeklindeki matrislerden oluşur.
Lie cebiri ise, [x, y ] = 0 , [z, x ] = y , [z, y ] = x olacak biçimde,
0 0 1 
0 0 0 
0 1 0 




x = 0 0 0 , y = 0 0 1 , z = 1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
den oluşan bir baza sahiptir.
x, x = z , z = 1 ,
y, y = −1 ,
z, x = z, y = x, y = 0 olacak biçimde bir Lorentz iç
çarpımı tanımlayalım.
Bu durumda,
∇x = 0 , ∇ y = 0, ∇z x = y , ∇z y = x , ∇z z = 0
olur.
Buradan,
R ( x, y ) = R ( y , z ) = R ( z , x ) = 0
35
elde edilir, yani metrik flattir.
Heisenberg grubunun Lie cebiri, [x, y ] = z , [z, x ] = [z, y ] = 0 olacak biçimde,
0 1 0 
0 0 0 
0 0 1 




x = 0 0 0 , y = 0 0 1 , z = 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
den oluşan bir baza sahiptir.
Lorentz iç çarpımı,
z , z = x, x = 0 ,
z, x = −1
x, y = z , y = 0 ,
y, y = 1
şeklinde tanımlanırsa,
Bu durumda,
∇xx = y , ∇x y = z , ∇xz = 0
∇yx = ∇y y = ∇y z = ∇z x = ∇z y = ∇z z = 0
olur.
ve sonuç olarak
R ( x, y ) = R ( y , z ) = R ( z , x ) = 0
elde edilir, yani metrik flattir.
5.3 Skalar Eğrilik
Herhangi bir e 1 ,…,e n ortonormal bazı seçildiğinde, bir Riemann manifoldunun
herhangi bir noktasındaki tanjant vektörler için,
ρ = r (e1 ) + .... + r (en ) = 2∑ k (ei , e j )
i< j
reel sayısına bu noktadaki skalar eğrilik denir.
36
5.4 SO(3) Lie Grubu İçin Kesitsel Eğrilik Hesabı
 0 −c b 


Ω= c
0 − a  ∈ so(3) olmak üzere, so(3) ün standart bazı,
− b a
0 

 0 0 0   0 0 1  0 −1 0

 
 

Ω = a 0 0 − 1 + b 0 0 0  + c 1 0 0 
 0 1 0   −1 0 0  0 0 0
 


 
= ax + by + cz
⇒ so(3) = Sp{ x, y, z} dir.
 0 0 1
 0 −1 0
0 0 0 






x =  0 0 − 1, y =  0 0 0 , z =  1 0 0 
0 1 0 
 −1 0 0
 0 0 0






[x, y ] = xy − yx
0 0 0  0 1 0

 

= 1 0 0 −  0 0 0
0 0 0  0 0 0

 

0 −1 0


= 1 0 0
0 0 0


= z
[ y, z ] = yz − zy
0 0 0  0 0 0

 

= 0 0 0 −  0 0 1
0 1 0  0 0 0

 

37
0 0 0 


=  0 0 − 1
0 1 0 


= x
[z, x] = zx − xz
0 0 1  0 0 0

 

= 0 0 0 −  0 0 0
0 0 0 1 0 0

 

 0 0 1


=  0 0 0
 −1 0 0


= y
Bu durumda [x, y ] = z, [ y, z ] = x, [z, x ] = y dir. Şimdi SO(3) ün standart metriği için
kesitsel eğrilikleri hesaplayalım.
Kesitsel eğrilik fonksiyonu , κ ( x, y ) = R xy x , y şeklinde tanımlanmıştı.
R
Riemann
eğrilik
tensörü
x, y , z
tanjant
vektörleri
için,
R xy z = ∇ [x , y ] z − ∇ x ∇ y z + ∇ y ∇ x z idi.
SO(3) Lie grubu kompakt olduğundan üzerinde bir bi-invaryant metrik vardır. Bir Lie
grubu üzerinde bi-invaryant metrik bulunması durumunda y nin x yönünde kovaryant
türevinin,
∇x y =
1
[x , y ]
2
ile hesaplanabileceği 3. bölümde gösterilmişti. Bu durumda,
R xy x = ∇ [x , y ] x − ∇ x ∇ y x + ∇ y ∇ x x
38
∇xx =
1
[x, x] = 0 olduğundan,
2
R xy x = ∇ [x , y ] x − ∇ x ∇ y x
dir.
[x , y ] = z
ve ∇ y x =
1
[ y, x] olduğundan,
2
R xy x = ∇ z x − ∇ x
1
[ y, x ]
2
1
=∇z x + ∇xz
2
( [ y, x ] = − z )
=
y y
−
2 4
=
y
4
(∇xz =
1
[x , z ] = − y )
2
2
Benzer şekilde,
R yz y = ∇ [ y , z ] y − ∇ y ∇ z y
=∇x y − ∇y
1
[z, y ]
2
1
=∇x y + ∇yx
2
=
z z
z
− =
2 4
4
Benzer şekilde,
R zx z =
x
4
dir.
Bu durumda,
κ ( x, y ) = R xy x , y
39
=
y
,y
4
=
1
y, y
4
dir.
∀ Ω ∈ so(3) anti-simetrik matrisine bir ω ∈ R 3 vektörü karşılık geldiğinden,
 0 0 1


y =  0 0 0  ∈ so(3) ↔ y = (0,1,0) ∈ R 3 dür. Dolayısıyla so(3) üzerindeki norm
 −1 0 0


Öklid normu olur.
Bu yüzden,
κ ( x, y ) =
=
1
4
κ ( y, z ) =
=
1
4
κ ( z, x) =
=
1
y, y
4
1
4
1
z, z
4
( z = (0,0,1) olduğundan )
1
x, x
4
( x = (1,0,0) olduğundan )
dir.
Sonuç 5.1.2 den kompakt Lie grubu üzerindeki bir bi-invaryant metriğin bütün kesitsel
eğrilikleri κ ≥ 0 idi. Fakat burada SO(3) Lie grubu için bütün kesitsel eğriliklerin
pozitif olduğunu gördük. Çünkü κ = 0 ancak değişmeli gruplar için mevcut idi.
Ancak SO(3) Lie grubu bir matris Lie grubu olduğundan ve matris çarpımı değişmeli
olmadığından κ sıfır olamaz.
40
6. SO(3) ve SE(3) ÜZERİNDE Bİ-İNVARYANT METRİKLERİN VARLIĞININ
ARAŞTIRILMASI
6.1 SO(3) Üzerinde Bi-invaryant Metriğin Varlığı
so(3) Lie cebiri için,
 0 −c b 


Ω = c
0 − a  ∈ so(3) olmak üzere,
− b a
0 

0 0 0 
 0 0 1
 0 −1 0






Ω = ax + by + cz ; x =  0 0 − 1 , y =  0 0 0  , z =  1 0 0 
0 1 0 
 −1 0 0
 0 0 0






[x , y ] = z , [ y , z ] = x , [z , x ] = y
idi.
so(3) Lie cebiri için adjoint dönüşüm x ∈ so(3) olmak üzere,
ad x : so(3) → so(3)
y → ad x y = [x, y ]
ile tanımlıdır.
Şimdi SO(3) Lie grubu üzerinde bi-invaryant metrik olup olmadığını araştıralım.
Bir Lie grubu üzerinde bi-invaryant metrik olabilmesi için, adjoint dönüşümün skew∗
adjoint olması gerekir.( x ∈ so(3) iken ad x = −ad x )
O halde,
Ω = ax + by + cz ∈ so(3) için, adjoint dönüşümü bulalım.
ad Ω x = [Ω, x ]
= [ax + by + cz, x ]
= a[x, x ] + b[ y, x ] + c[z, x ]
= cy − bz
41
ad Ω y = [Ω, y ]
= [ax + by + cz, y ]
= a[x, y ] + b[ y, y ] + c[z, y ]
= − cx + az
ad Ω z = [Ω, z ]
= [ax + by + cz, z ]
= a[x, z ] + b[ y, z ] + c[z, z ]
= bx − ay
Bu durumda adjoint dönüşümün matris temsili ,
 0 −c b 


[ad Ω ] =  c
0 − a
− b a
0 

şeklindedir.
_
[ad Ω ]∗ = ([ad Ω ]) T olduğundan,
c − b
 0


[ ad Ω ] =  − c 0
a 
 b −a 0 


∗
 0 −c b 


= − c
0 − a
− b a
0 

= − [ad Ω ]
Bu yüzden SO(3) Lie grubu üzerinde bir bi-invaryant metrik vardır.
42
, , SO(3) üzerinde standart bi-invaryant Riemann metriği olsun. Bu takdirde θ (0) = θ1
ve θ (1) = θ 2 ile birlikte bir θ : [0,1] → SO(3) eğrisi verildiğinde,
.
.
1
θ ,θ
=
2
.
= θ −1 θ
1  −1 .  −1 . 
Tr θ θ θ θ 
2 


T
dir (Park 1995).
θ yerine Ω alıp bu eşitliği elde edelim.
Ω ∈so(3) olsun.
 0

Ω ∈so(3) ⇒ Ω =  ω 3
−ω
2

− ω3
0
− ω3
 0

⇒ ΩΩ = Ω(−Ω) =  ω 3
−ω
2

 ω 22 + ω 32

=
−

−

(
0
ω1
ω2   0

− ω1   − ω 3
0   ω 2


− 
ω12 + ω 22 
−
−
ω +ω
2
1
0 
ω1
T
ω2 

− ω1 
2
3
−
)
⇒ iz ΩΩ T = 2(ω12 + ω 22 + ω 32 )
⇒
(
)
1
iz ΩΩ T = ω
2
2
1

⇒ ω =  iz (ΩΩ T )
2

1
2
dir.
43
ω3
0
− ω1
− ω2 

ω1 
0 
Teorem 6.1.1 : A 1 ,A 2 ∈ SO(3) olmak üzere, d (A 1 ,A 2 ) = L ise
d: SO(3) × SO(3) → R
−1
( A 1 , A 2 ) → d (A 1 ,A 2 ) = L = Log ( A1 A2 )
şeklinde tanımlanan d metriği SO(3) için standart bi-invaryant metriktir.
İspat : A: [0,1] → SO(3)
t → A(t) = A 1 exp( Ωt ) , ( Ω ∈ so(3) )
A(0)=A 1 , A(1)=A 2 başlangıç koşuluyla verilen A eğrisi A 1 noktasını A 2 noktasına
bağlayan eğriler içinde uzunluğu en kısa olanıdır.
A(1) = A 1 e Ω = A 2 ⇒ e Ω = A 1−1 A 2
⇒ Ω = Log (A 1−1 A 2 )
⇒ ω = Log ( A1−1 A2
 1  −1 .  −1 .  T 
= A A =  iz  A A  A A  

 
 2 
.
A(t )
−1
.
1
2
1
1
 2
=  iz (ΩΩ T ) = ω
2

1
L = d(A 1 ,A 2 ) =
∫
0
−1
.
.
A A = AA
.
A −1 A dt =
1
∫ ω dt
(
= ω = Log A1−1 A2
0
1
−1
)
1
 2
=  iz (ΩΩ T ) olduğu açıktır. Bu durumda,
2

44
1
d(A 1 ,A 2 ) =
∫
.
A(t ) dt
0
1
=
∫
.
A −1 A dt
0
1
=
∫
.
A A −1 dt
0
1
d(TA 1 ,TA 2 ) =
.
∫ (TA) dt
(T ∈ SO(3))
0
1
=
.
∫ (TA) (TA) dt
−1
0
1
=
∫
.
A −1 A dt
0
1
d(A 1 T,A 2 T) =
∫
.
( AT ) dt (T ∈ SO(3))
0
1
=
∫
.
( AT )( AT ) −1 dt
0
1
=
∫
.
A −1 A dt
0
Bu son eşitliklerden, d(A 1 ,A 2 ) = d(TA 1 ,TA 2 ) = d(A 1 T,A 2 T) olduğu görülür.
Dolayısıyla d metriği SO(3) üzerinde standart bi-invaryant metriktir.
45
6.2 SE(3) Üzerinde Bi-invaryant Metriğin Araştırılması
 0

 ω
X = 3
− ω2

 0

X
=
− ω3
0
ω 2 v1 

− ω1 v 2 
ω1
0
0
0
v3 

0 
∈ se(3) olmak üzere,
ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L6
seklinde
yazılabilir.
L1 , L2 , L3 , L 4 , L 5 , L6 vektörleri se(3) ün standart baz vektörleridir.
Şimdi, se(3) üzerindeki adjoint dönüşümün matris temsilini bulalım.
ad X L1 = [ X , L1 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L 6 , L1 ]
= ω1 [L1 , L1 ] + ω 2 [L2 , L1 ] + ω 3 [L3 , L1 ] + v1 [L4 , L1 ] + v 2 [L5 , L1 ] + v3 [L6 , L1 ]
= 0 L1 + ω 3 L2 − ω 2 L3 + 0 L4 + v3 L5 − v 2 L6
ad X L2 = [ X , L2 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L6 , L2 ]
= ω1 [L1 , L2 ] + ω 2 [L2 , L2 ] + ω 3 [L3 , L2 ] + v1 [L4 , L2 ] + v 2 [L5 , L2 ] + v3 [L6 , L2 ]
= − ω 3 L1 + 0 L2 +ω 1 L3 − v3 L4 + 0 L5 + v1 L6
ad X L3 = [X , L3 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L 6 , L3 ]
= ω1 [L1 , L1 ] + ω 2 [L2 , L3 ] + ω 3 [L3 , L3 ] + v1 [L4 , L3 ] + v 2 [L5 , L3 ] + v3 [L6 , L3 ]
= ω 2 L1 − ω1 L2 + 0 L3 + v 2 L4 − v1 L5 + 0 L6
46
Burada
ad X L5 = [X , L4 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L 6 , L4 ]
= ω1 [L1 , L4 ] + ω 2 [L2 , L4 ] + ω 3 [L3 , L4 ] + v1 [L4 , L4 ] + v 2 [L5 , L4 ] + v3 [L6 , L4 ]
= 0 L1 + 0 L2 + 0 L3 + 0 L4 + ω 3 L5 − ω 2 L6
ad X L5 = [X , L5 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L 6 , L5 ]
= ω1 [L1 , L5 ] + ω 2 [L2 , L5 ] + ω 3 [L3 , L5 ] + v1 [L4 , L5 ] + v 2 [L5 , L5 ] + v3 [L6 , L5 ]
= 0 L1 + 0 L2 + 0 L3 − ω 3 L4 + 0 L5 + ω1 L6
ad X L6 = [ X , L6 ]
= [ω1 L1 + ω 2 L2 + ω 3 L3 + v1 L4 + v 2 L5 + v3 L 6 , L6 ]
= ω1 [L1 , L6 ] + ω 2 [L2 , L6 ] + ω 3 [L3 , L6 ] + v1 [L4 , L6 ] + v 2 [L5 , L6 ] + v3 [L6 , L6 ]
= 0 L1 + 0 L2 + 0 L3 + ω 2 L4 − ω1 L5 + 0 L6
Bu durumda adjoint dönüşümün matris temsili,
 0

 ω3
−ω
2
[ad X ] = 
 0
 v
 3
−v
 2
− ω3
0
ω2
− ω1
ω1
0
v2
− v1
0
− v3
0
v1
0
0
0
0
ω3
− ω2
0
0
0
− ω3
0
ω1





ω2 
− ω1 
0 
0
0
0
elde edilir.
Ω ve [v] ∈ R33 anti-simetrik matrisler olmak üzere [ad X ] matrisi kısaca
Ω 0

[ad X ] = 
 [v ] Ω 
47
şeklinde de gösterilebilir.
_
[ad X ]∗ = ([ad X ]) T olduğundan,
 0

 − ω3
 ω
∗
[ad X ] =  2
 0
 0

 0

ω3
− ω2
0
ω1
− ω1
0
0
0
0
0
0
0
0
− v3
v2
0
− ω3
v3
0
− v1
ω2
− ω1
ω3
0
− v2 

v1 
0 

− ω2 
ω1 
0 
elde edilir.
[ad X ] ∗ matrisi kısaca
 − Ω − [v ] 

[ad X ]∗ = 
− Ω 
 0
şeklinde de yazılabilir. Sonuç olarak,
[ad X ] ∗ ≠ −[ad X ]
olduğundan SE(3) üzerinde bi-invaryant metrik yoktur.
48
KAYNAKLAR
Adolf, K. and Novak, J. 1985. Space Kinematics and Lie groups. Gordon and Breach
Science Publishers, 422p., Montreux
Avramidi, I. 2000. Notes on Lie groups. 16 p., Usa
Belta, C.A. and Kumar, V. 2002. Euclidean metrics for motion generation on SE(3).
Journal of Mechanical Engineering Science, 216(1); 47-60
do Carmo M.P. 1992. Riemannian Geometry. Springer-Verlag, 325 p., Boston
Curtis, M.L. 1979. Matrix groups. Springer-Verlag, New York
Gallier, J. and Xu, D. 2002. Computing exponential of skew symmetric matrices and
logarithm of orthogonal matrices. International Journal of Robotics and
Automation, 17(4); 1-11
Hacısalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek diferensiyel geometriye giriş. Fırat Üniversitesi
Fen Fakültesi Yayınları, 439 s.
Milnor, J. 1976. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups. Advances In
Mathematics, 21; 293-329
Nomizu, K. 1979. Left invariant Lorentz metrics on Lie groups. Osaka J. Math, 16; 143150
O’neill, B. 1983. Semi Riemannian geometry with applications to relativity. Academic
Press, New York
Park, F.C. 1995. Distance metrics on the rigid body motions with applications to
mechanism design. Journal of Mechancal Design, 117; 48-54
49
Sattinger, D.H. and Weaver, O.L. 1993. Lie groups and algebras with
applications to phsyics, geometry and mechanics. Springer-Verlag,
215p., New-York
Zefran, M., Kumar, V. and Croke, C. 1999. Metrics and connections for
rigid-body kinematics. The International Journal of Robotics
Research, 18(2); 1-16
50
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı: Fatih DOĞAN
Doğum Yeri: Ankara
Doğum Tarihi: 01.09.1982
Medeni Hali: Bekar
Yabancı Dili: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise: Fatih Sultan Mehmet Lisesi (1999)
Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2005)
Yüksek Lisans: Gazi Üniversitesi Matematik Öğretmenliği (Tezsiz -2007)
Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi (2007-…)
51