ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE
POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2012
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL
SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez ……/……/2012 Tarihinde Aşağıdaki
Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir.
…….……………………
Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN
DANIŞMAN
…………………………
Prof. Dr. Naime EKİCİ
ÜYE
Jüri
Üyeleri
Tarafından
….…………………………
Yrd.Doç. Dr. Cennet ESKAL
ÜYE
Bu tez Enstitümüz Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. M.Rifat ULUSOY
Enstitü Müdürü
Bu Çalışma TÜBİTAK-BİDEB Tarafından Desteklenmiştir.
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL
SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman: Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN
Yılı: 2012, Sayfa:65
Jüri
:Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN
: Prof. Dr. Naime EKİCİ
: Yrd.Doç. Dr. Cennet ESKAL
Bu çalışma
bir serbest Lie cebiri olmak üzere
nin alt merkezi ve
polisentral serilerinin terimlerinin arakesitlerinin belirlenmesi ile ilgilidir. Gruplar
için T. C. Hurley tarafından elde edilen sonuçlar kullanılarak benzer sonuçlar
serbest Lie cebirleri için de elde edilmiştir. Bazı durumlar için örnekler yapılmıştır.
birleşmeli bir cebir ve alt merkezi serisi 0 ( ) = , ( ) =
Ayrıca
( )
[ , −1 ( )] olarak tanımlı iken ( ) =
bölüm cebiri ele alınarak
+1 ( )
bir
serbest cebiri için
bir baz elde edilmiştir.
(
) cebirinin yapısı üzerinde çalışılmış ve
2(
Anahtar Kelimeler: Alt merkezi seriler, birleşmeli cebir, polisentral seriler.
I
) için
ABSTRACT
MSc. THESIS
INTERSECTIONS OF TERMS OF POLYCENTRAL SERIES AND LOWER
CENTRAL SERIES OF FREE LİE ALGEBRAS
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor : Assist. Prof. Dr. Ela AYDIN
Year: 2012, Pages:65
Jury
: Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN
: Prof. Dr. Naime Ekici
: Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL
This study is concerned with the identification the intersections of terms of
polycentral series with the lower central series of a free group. The results from the
group case which derivation by T. C. Hurley are used to derive analogous results for
the free Lie algebra. Examples were made for some cases.
is an associative algebra and define its lower central series ( ) = ,
( )
( )=[ ,
( )], and the corresponding quotients ( ) =
( ). We
study the structure of
(
) for a free algebra
. We construct a basis for
Keywords:Lower central series, Associative algebra, polycentral series.
II
(
).
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan,
her aşamasında yardımlarını ve desteğini esirgemeyen, değerli zamanını ayırarak
çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygı değer
danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN’ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca sonsuz desteği, sevgisi ve güveniyle daima arkamda duran sevgili
babam Zübeyir KÜÇÜKAKÇALI ve sevgili annem Sevgi KÜÇÜKAKÇALI’ ya,
sevgili aileme, nişanlım Resul TUNÇ’ a, sevgili dostum İpek BALIKÇI’ ya, Ç. Ü.
Matematik bölümünün saygıdeğer öğretim üyelerine ve araştırma görevlilerine
yardım ve desteklerinden dolayı teşekkür ederim.
Son olarak da yüksek lisans yaptığım süre içerisinde aldığım burstan dolayı
TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ…………………………………………………………………………………......I
ABSTRACT……………………………………………………………………….....II
TEŞEKKÜR…………………………………………………………………...…….III
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………….......IV
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER ........................................................................ 3
2.1. Lie Cebiri......................................................................................................... 3
2.2. Serbest Lie Cebirleri........................................................................................ 4
2.3. Serbest Lie Cebirlerinin Hall Bazı .................................................................. 5
2.4. Alt Merkezi Seri ve Nilpotent Lie Cebirleri .................................................... 6
2.5. Polisentral Seri ve Polinilpotent Lie Cebirleri ................................................ 9
2.6. Genel Lineer Lie Cebiri................................................................................. 11
2.7. Representasyon(Temsil) Teorisi ................................................................... 12
2.8. Formlar .......................................................................................................... 13
2.9. Young diyagramı ........................................................................................... 18
3. HAZIRLIK TANIM VE LEMMALARI ............................................................... 21
4. BAZLAR ................................................................................................................ 31
5. 2, 2 ve 3, 2 nin YAPISI ..................................................................................... 39
5.1. Bazı Notasyonlar ........................................................................................... 39
5.2. 2, 2[ ] için Baz ............................................................................................ 39
5.3.
= 3 Durumu ............................................................................................... 41
6. n DURUMUNDA Bn, 2 nin YAPISI ..................................................................... 43
6.1.
, 2 Hakkındaki Ana Teorem...................................................................... 43
6.2. Feigin - Shoikhet İzomorfizmi ...................................................................... 43
6.3. Lemma 6.2.1 in ispatı .................................................................................... 44
6.4. Lemma 6.2.2 nin ispatı .................................................................................. 45
6.5. Sonlu Sıralı Durumunda ................................................................................ 48
7. 2,
[ , 1] ve 2,
7.1. 2,
[ , 2 ]nin YAPISI.................................................................. 51
[ , 1] in Yapısı ..................................................................................... 51
IV
7.2. 2,
8. 2,
[ , 2] in Yapısı ..................................................................................... 53
deki Ƒ , 2 ve Ƒ , 1 in KATLILIKLARI ...................................................... 59
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 63
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 65
V
1.GİRİŞ
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
1. GİRİŞ
Bu çalışma T. C. Hurley (1979) ile Glyna Dobrovolska, John Kim ile
Xiaoguang Ma (2007) tarafından yazılan makalelerin Türkçe çevirisi olup örnekler
ve temel tanımlar ile genişletilmiştir. Ayrıca T. C. Hurley tarafından serbest gruplar
için verilen ispatlar serbest Lie cebirleri için de gerçeklenmiştir.
Serbest polinilpotent gruplar üzerinde geniş çalışmalar yapan ve her
asalı için
rezidülü sonlu -grup olduklarını gösteren kişi Gruenberg K. W. (1957) dir. Smelkin
A. L. (1969) de polinilpotent grupların alt merkezi faktörlerini belirlemiş ve serbest
polinilpotent Lie cebirlerinin toplam gruplarının bazını elde etmiştir. Bunun
sonuçları da Ward M. A. (1969) tarafından verilmiştir.
Bir birleşmeli
cebiri verilsin. [ , ] = . − .
cebiri olarak düşünebiliriz.
olarak tanımlanır.
( )=
nın alt merkezi serisi,
( )
komütatörü ile biz onu Lie
( )= ,
( )=[ ,
( ) bölüm cebiri olmak üzere
üzerindeki çalışmalar, C üzerinde n eleman tarafından üretilen
=
( )]
( ) cebiri
serbest
birleşmeli cebirini düşünen Feigin B. ve Shoikhet B. (2007) tarafından başlatıldı.
Onların ana sonuçları > 1 iken
Lie cebirinin temsili olması ve
(
(
) in n değişkenli polinom vektör uzayının
) in
-modül olarak pozitif çift dereceli
üzerindeki kapalı (yada tam) polinom diferansiyel formuna izomorf olmasıdır. Biz bu
çalışmamızda
(
) in yapısı çalışmalarını inceleyeceğiz.
Tezin ikinci bölümünde çalışmamızın kaynağını oluşturan temel tanım ve
teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde arakesitleri belirlememiz için gerekli olan bazı tanımları ve
lemmaları verdik.
Dördüncü bölümde bazları tanımlayarak polisentral seriler ve alt merkezi
serilerin terimlerinin arakesitlerinin neye eşit olduğunu elde ettik.
Beşinci bölümde Feigin B. ve Shoikhet B. (2007) nin sonuçlarının bir yeni
basit ispatını
= 2,3 durumları için
(
) in yapısını belirlemede verdik.
1
1.GİRİŞ
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Altıncı bölümde
> 3 durumu için bazı genelleyeceğiz.
= 0 bağıntılarının kümesi R olsun.
edilen bazı
(
=
olarak tanımlayalım. Bu elde
) nin yapısına karar vermede kullanacağız.
Yedinci ve sekizinci bölümlerde
modül olarak
bazı bilgiler elde edeceğiz.
2
> 0 olmak üzere
(
) nin yapısı hakkında
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER
2.1. Lie Cebiri
Tanım 2.1.1:
bir cisim ve
de
üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer
üzerinde
aşağıdaki koşullar sağlanacak şekilde bir
[ , ]: ∗
→
denir.
1) Her
bilineer fonksiyonu tanımlı ise
∈
için [ , ] = 0
2) Her , , ∈
için [ , ],
+ [ , ],
ye
cismi üzerinde bir Lie cebiri
+ [ , ],
= 0 (Jacobi özdeşliği)
[ , ] çarpımına Lie çarpımı ya da braket çarpımı denir.
Lie çarpımının bilineer oluşu:
Her , , ∈
ve ,
∈
için
[ +
[ , +
, ]=[ , ]+ [ , ]
]=[ , ]+ [ , ]
1) koşulu aşağıdaki koşulu da gerektirir.
Her ,
∈
için[ + , + ] = 0
[ , ]+[ , ]+[ , ]+[ , ]=0
[ , ] = 0 ve [ , ] = 0 olduğundan [ , ] + [ , ] = 0 olur. Buradan [ , ] =
−[ , ] dir.
Her ,
∈
1) koşulu
için [ , ] = −[ , ] ile
1’) koşulunu gerektirdiği halde
= 2 ise
gerektirmez. Örneğin
her ,
∈
1′) koşulu
1′) koşulu
için [ , ] = −[ , ] dir. Özel olarak
olup 2[ , ] = 0 dır. Buradan
Ancak
1′) koşulunu gösterelim.
≠ 2 iken
Tanım 2.1.2: Her ,
1′) varsa
∈
1) koşulunu her zaman
1) koşulunu gerektirmez. Çünkü
=
alındığında [ , ] = −[ , ]
= 2 ise [ , ] ≠ 0 olabilir ve 1) sağlanmaz.
1) de vardır.
için eğer [ , ] = 0 ise
3
abelyendir.
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Tanım 2.1.3:
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
nin bir alt cebiri her ,
bir Lie cebiri olsun.
olacak şekildeki bir
Tanım 2.1.4:
alt vektör uzayıdır.
bir Lie cebiri olsun.
nin bir
∈
ideli, her
[ , ] ∈ koşulunu sağlayan bir alt vektör uzayıdır.
için [ , ] ∈
∈
ve her
∈
için
de [ , ] = −[ , ] (anti komütatiflik) olduğundan bir ideal için sağ sol ideal
ayrımı yapılmaz.
,
Tanım 2.1.5:
lineer ise yani her ,
i)
ise
iki Lie cebiri ve :
ii) Her ,
∈
ve
bir fonksiyon olsun. Eğer
∈
için (
için [ , ] = [ ( ), ( )]
∈
+ )=
( )+ ( )
ye bir Lie cebiri homomorfizmi denir.
)
Teorem 2.1.6:
,
zaman
,
Lie cebirleri ve
,
in bir ideali,
) ve
bir
Lie cebirinin
≅
⊆
:
→
bir homomorfizm olsun. O
≅
nin bir alt cebiri ve
+
) ve bir Lie cebirinin idealleri ise
olup
→
≅
∩ dir.
olacak şekilde idealleri ise
,
dir.
nın bir ideali
dir.
2.2. Serbest Lie Cebirleri
Tanım 2.2.1:
cebiri ve her
:
≠ ∅,
→
bir Lie cebiri ve :
dönüşümü için
homomorfizmi varsa ( , ) ikilisine
≠ ∅ kümesi verildiğinde
=
→
bir dönüşüm olsun. Eğer her
olacak şekilde bir tek :
üzerinde bir serbest Lie cebiri denir.
→
Lie
Lie
üzerinde bir serbest Lie cebirinin inşası şöyle yapılır:
, pozitif bir tamsayı olmak üzere
kümelerini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
4
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
,
=
× ,….,
Herhangi bir ,
,
=
∈
vardır.
∈
=⋃
( ) için
∈
(
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
×
olsun. Bu durumda ( , ) ∈
+
ise ( , ) ∈
∈
ve
×
olan kanonik injeksiyon altındaki görüntüsünü (
×
=
( , )→(
,
Her
,
∈
∈
( ) için (
sayısına
∈
( )=⋃
) ve
×
( ) in elemanlarının
önüne alalım. Yani
×
→
→
) olsun.
) = ( ) + ( ) dir. Her
üzerinde bazı
olacak şekilde
) ile gösterelim. Yani
) çarpımını tanımlamış olduk.
herhangi bir cisim olsun.
×
olup ( , ) nin
elemanının uzunluğu denir ve ( ) =
( ) için (
olsun.
∈
∈
olacak şekildeki
ile gösterilir.
için ( ) = 1 dir.
( ) kümesi olan vektör uzayını göz
-lineer kombinasyonlarını alıp
deki çarpımı tüm vektör uzayına genişletelim. Böylece
( )
cismi üzerinde birleşmeli
olmayan ve sonlu boyutlu olmayan bir serbest Lie cebiri elde ederiz. Buna
diyelim.
( )
, ( )’in aşağıdaki elemanlar tarafından doğurulan ideali olsun.
a)
b)
( )=(
)
( , , )=(
Bu durumda ( ) =
) +(
( )
,
) +(
)
üzerinde bir serbest Lie cebiridir.
e ( ) için bir
serbest üreteç kümesi denir. ( ) in inşa edildiği küme belli ise ( ) yerine kısaca
yazarız.
2.3. Serbest Lie Cebirlerinin Hall Bazı
Tanım 2.3.1: Bir
i)
⊆
⊆
olup
( ) Hall kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanır:
e bir tam sıralama verilsin.
5
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
ii)
∩
( ) kümesinde
∩
( ) tanımlanmış ve sıralanmış olsun.(
<
meydana gelir ve
iii)
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
∈
,
∈
için (
) formundaki elemanlardan
olacak şekildedir.
( ) olduğu zaman ( ) < ( ) ise
( )= ( )
≥ 3 olması durumunda
∩
<
= 1,2, … , − 1). Yani
olarak alacağız. Eğer
( ) olarak yazarsak
tanımlarız. Hall kümesini böylece tanımlamış olduk. Verilen bir
=⋃
olarak
kümesi üzerinde
farklı Hall kümeleri tanımlanabilir ve her bir Hall kümesi üzerindeki sıralama ile
bellidir.
=
.
={
∶ ,
> }
= (
) ∶ , , ,
∈⋃
=⋃
dir.
∈ ,
.
.
Hall kümesidir ve
,
> ,
≤ ,
>
(
)
=
Bundan sonra Hall kümesindeki sıralama aşağıdaki gibi olacaktır.
i)
ii)
keyfi sıralanmış olsun.
,
( ) < ( ) ise
( ) = ( ) ise
∈
=
ve
<
,
dir.
<
↔
<
=
veya
şeklinde iki eleman olsun.
=
ve
<
dir.
2.4. Alt Merkezi Seri ve Nilpotent Lie Cebirleri
Tanım 2.4.1:
bir
cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun.
=
⊇
=[ , ]⊇⋯⊇
olarak tanımlayalım.
6
=[
nin alt merkezi serisini
, ]⊇⋯
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
∈
Eğer bir
+
için
nilpotent Lie cebiri denir.
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
≠ {0} fakat
= {0} oluyorsa
⊲
nin alt merkezi serisinin terimleri
zinciri meydana getirir. Bu durumda
Teorem 2.4.2: [
= 1 için [
İspat:
=
,
[
, ]=
faktörlerinden bahsedebiliriz.
ve
olduğunu biliyoruz.
,
]⊆
olsun.
+ 1 için doğru olduğunu gösterelim.
],
,
]=
,[
=[
, ] =−
]+[
,
Tümevarım hipotezinden [
,[ ,
] −
,[
de
İspat:
,
] = [ ,
]+[
,
, ]⊆
serbest abelyen Lie cebiridir ve bazı
olsun.
[ , ]=[
Böylece (
) =[
≥ 1 için 2 ≥
,
,
]⊆
+ 1 olup
+
elde edilir.
uzunluklu elamanlardan meydana gelir.
=
],
, ]
Teorem 2.4.3: Bir serbest Lie cebirinde
da
olacak şekilde idealler
dir.
için doğru olsun. Yani [
=
[
]⊆
,
⊲⋯⊲
ye q-inci dereceden
⊆
]=
(
)
dir. Dolayısıyla
7
⊆
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
(
[ , ]=
de uzunluğu ≥
deki elemanlar
olmak üzere
için ( ) =
1≤ ≤
)
= {0}
⊆
serbest abelyendir.
elde edilir. Buradan
( )≥
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
=
=
ve >
+
+
olan elemanların toplamı olarak yazılır. Yani
+ ⋯ + ⋯ olarak yazılabilir.
için ( ) >
+ ⋯+
olsun. O zaman
+
+⋯
+⋯
olup
+⋯
+⋯ ∈
Tanım 2.4.4: ,
≅
=
olduğundan
{
} olur.
üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer bir n pozitif tamsayısı için
olacak şekilde
üzerinde bir
serbest Lie cebiri varsa
ye n-inci
dereceden serbest nilpotent Lie cebiri denir.
Teorem 2.4.5: Bir
serbest nilpotent Lie cebirinde
nilpotent Lie cebiridir.
İspat:
serbest nilpotent Lie cebiri olsun.
Buradan
=
dır.
=[
, ]=
,
=
8
=
dır.
serbest abelyen
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
=
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
3. İzomorfizm teoreminden
≅
olur.
= {0} olur.
,
Buradan
serbest abelyen Lie cebiridir.
2.5. Polisentral Seri ve Polinilpotent Lie Cebirleri
Tanım 2.5.1:
bir
merkezi serisi, {
cismi üzerinde bir Lie Cebiri,
,
,…,
⊇
,
,…}
⊇⋯⊇
∈
için {
≥ 1 tamsayıların bir dizisi olsun.
,
,…,
⊇
,
,…,
,
⊇⋯
Polisentral serisi aşağıdaki şekilde tanımlanır.
nin alt merkezi serisinin n1-inci terimi
.
in alt merkezi serisinin n2-inci terimi
,
.
.
,
,…,
,
ise
,
,…,
in alt merkezi serisinin nk-inci terimi dir.
9
}
nin alt
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Tanım 2.5.2: Eğer
,
,…,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
= {0} ve
,
lerin hiçbirisi bu eşitlik sağlanacak
ye {
şekilde daha küçük tamsayılarla değiştirilemiyorsa
polinilpotent Lie cebiri denir.
≠ {0} iken
, ,
,
} dizisine göre
,… ,
= {0} ise {3, 4, 5, 7} dizisine göre polinilpotenttir. {3, 4, 2, 7}
, , ,
dizisine göre olmamalıdır. (Yani 5 yerine ondan küçük olan 2 yazılınca olmamalıdır.)
= {0} olur. Çünkü {3, 4, 5, 7} dizisine göre polinilpotentse 8 > 7 olduğundan
, , ,
zaten polinilpotent olur. Çünkü
, ,
=
≤
olsun.
oluyor.
Polinilpotent serinin terimleri bir idealler zinciri oluşturur.
⊇
⊲
,
⊇
,
⊲ L vardır.
Tanım 2.5.3:
şekilde
⊇⋯⊇
,
,
… ise … ⊲
,…,
üzerinde serbest bir
,
,
ve
,…,
,…,
üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer
Lie cebiri varsa
serbest polinilpotent Lie cebiri denir.
Biz
,
,…,
,
idealler zinciri yardımıyla bahsedebiliriz.
Teorem 2.5.4: Bir
,…,
ye {
,
,
≅
,… ,
serbest polinilpotent Lie cebirinde
serbest polinilpotent Lie cebiri olsun.
Buradan
=
,
,…,
dır.
10
,
,
,…,
,…,
⊲
olacak
} dizisine göre
bölüm cebirlerinden elde edilen
,
serbest abelyen
polinilpotent Lie cebiridir.
İspat:
⊲
=
,
,…,
dır.
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
=[
, ]=
,
,
=
,…,
,
,
,…,
,…,
=
,
,…,
3. İzomorfizm teoreminden
,
≅
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
,…,
olur.
= {0} olur.
,
Buradan
serbest abelyen Lie cebiridir.
Tanım 2.5.5:
Lie cebirler sınıfında bir özellik olsun. ∀ 0 ≠ ∈
özelliğine sahip olacak şekilde
cebiri denir. Burada
nin
ideali varsa
için ∉ ve
,
ye residually(rezidülü)- Lie
özelliği nilpotentlik, serbestlik v.s. olabilir.
2.6. Genel Lineer Lie Cebiri
Tanım 2.6.1: ,
cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
→
ye olan tüm lineer
dönüşümlerin kümesi bileşke işlemiyle bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı üzerinde
[ , ]= o − o
çarpımı ile bir Lie cebiridir. Bu Lie cebiri
Bu cebire genel lineer Lie cebiri denir.
( , ) ile F cismi üzerindeki
∗
( ) ile gösterilir.
matrislerin vektör uzayını gösterelim.
( , ) [ , ] = . − . ile bir Lie cebirdir.
11
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
2.7. Representasyon(Temsil) Teorisi
Tanım 2.7.1: ,
cismi üzerinde bir Lie cebiri ve
de
üzerinde sonlu boyutlu bir
vektör uzayı olsun. Bir
: →
homomorfizmine
( )
nin bir temsili denir. Burada
ye,
nin temsil uzayı denir.
Not: 1. Lie cebirlerinin temsilleri o cebirin yapısının anlaşılmasında önemli rol
oynarlar.
2. Eğer
bir
Lie cebirinin bir temsil uzayı ise
ye olan lineer dönüşümleri de
nin bir bazını sabit tutup
den
nin elemanları ile belli olan matrisler olarak
düşünebiliriz. Aynı zamanda bir
( , ) homomorfizmi tanımlayarak bir
→
temsil elde edebiliriz. Bu şekilde elde edilen bir temsile ise matris temsili denir.
3.
: →
çekirdeği ise
( ) temsilini düşünelim.
nin idealidir.
Tanım 2.7.2: : →
Örnek 2.7.3:
Her
∈
nin görüntüsü
∶
için
( ) temsilinin çekirdeği sıfır ise
→
→
( ) nin bir alt cebiri,
ye, faithful temsil denir.
( )
( ) = [ , ] olarak tanımlanan homomorfizm bir Lie cebiri
homomorfizmi olup “
” dönüşümü
nin bir temsilidir. Burada temsil uzayı
Bu temsile adjoint temsil denir. Adjoint temsilin çekirdeği,
dir.
Eğer ( ) = 0 ise, “
nin
” temsili faithful temsildir.
12
dir.
nin merkezi olan ( )
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Örnek 2.7.4:
( )=
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
( ) nin bir Lie alt cebiri olsun.
,
: →
olarak tanımlanan dönüşüm bir homomorfizmdir.
( ) her
ye
∈
için
nin doğal temsili
denir. Doğal temsil her zaman faithful dur.
Örnek 2.7.5: Her Lie cebiri aşikar temsile sahiptir. Bu temsili tanımlamak için
=
∈
alıp her
Tanım 2.7.6: Bir
boyutu denir.
için ( ) = 0 tanımlaması yapılması yeterlidir.
: →
( ) temsilinin temsil uzayının boyutuna
temsilinin
2.8. Formlar
Tanım 2.8.1:
de 0-Formlar
de 0-formlar, n değişkenli reel değerli ve her mertebeden sürekli kısmi türevlere
sahip fonksiyonlardır.
de 0-formları
(
=
ü
)
Örnek 2.8.2:
(
(
) ile göstereceğiz.
ǀ :
ö ℎ
ğş
→ ,
= ( , , )=
= ( ,…,
ü
)
ı
olmak üzere
∈
ü
(
ℎ
) tür.
); 0-formların toplamı ve 0-formların reel sayılarla çarpımı işlemleri ile bir
vektör uzayı (sonsuz boyutlu) oluşturur.
Tanım 2.8.3:
de 1-Formlar
de 1-formlar, her bir terimi
sonlu toplamlardan oluşur.
= (1, … , ) olmak üzere
de 1-formların kümesini
13
(
∈
(
) olan
) ile göstereceğiz.
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
(
)=
=
Örnek 2.8.4:
+
∈
=∑
(
( + )
ǀ
+
Bir formlar toplanabilirdir.
=∑
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
(
∈
+
olmak üzere
=∑
) ve
∈
(
), = 1, … ,
∈
) dir.
(
∈
(
) tür.
) ise
0-formlarla 1-formlar çarpılabilir.
∈
(
=∑
∗
(
) ve
( ∗
=∑
)∈
(
∈
(
) dir.
) olmak üzere
) bu işlemlerle (sonsuz boyutlu) bir vektör uzayıdır.
ler arasında ᴧ ile göstereceğimiz aşağıdaki gibi bir çarpma işlemi
Tanım 2.8.5:
tanımlayalım. Bu ᴧ işlemine dış çarpım denir.
ile
nin dış çarpımı
dir.
Bu çarpım şu özellikleri sağlar:
i ) ᴧ birleşmeli
(
ᴧ
)ᴧ
=
ᴧ
ᴧ
=
ii ) ᴧ işaret değişmeli
ᴧ
ii ) den dolayı
2
ᴧ
ᴧ
= 0 olup
=−
ᴧ
=−
ᴧ
= 0 olur.
14
ᴧ
ᴧ
ᴧ
ᴧ
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
i) ve ii ) den dolayı (
(−
ᴧ
)ᴧ
ᴧ
= 0 olur.
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
)ᴧ
=
ᴧ
ᴧ
=
ᴧ −
ᴧ
=
O halde eğer tekrar eden bir indis varsa
= 0 olur.
ᴧ…ᴧ
Tanım 2.8.6:
de 2-Formlar
de 2-formlar, her bir terimi
(
de 2-formların kümesini
(
)=
=(
Örnek 2.8.7:
2-formlar toplanabilirler:
=∑,
+
=∑,
,
(
Tanım 2.8.8:
ᴧ
,
+
ve
+
,
)
,
ᴧ
=∑,
ᴧ
∈
,
) ile göstereceğiz.
ᴧ
,
,
)
;
ᴧ
∈
ǀ
+(
,
) olan sonlu toplamlardır.
(
∈
)
ᴧ
(
,
(
ᴧ
)
(
∈
iken
) olur.
olmak üzere
) şeklindedir.
de k-Formlar
de k-formlar, her bir terimi
toplamlardır.
∈
(
) olmak üzere
(
de k-formların kümesini
(
)=
,…,
,…,
ᴧ…ᴧ
dir.
15
ᴧ…ᴧ
olan sonlu
) ile göstereceğiz.
ǀ
,…,
∈
(
)
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
k-formlar toplanabilirler:
=∑
=∑
,…,
ᴧ…ᴧ
,…,
,…,
+
=∑
∈
(
,…,
(
,…,
,…,
) iken,
+
=∑
(
Bu işlemlerle
ᴧ…ᴧ
∈
(
)
ᴧ…ᴧ
∈
)
ᴧ…ᴧ
∈
,…,
( .
,…,
) ve
(
) olmak üzere
,…,
(
) şeklindedir.
∈
(
) olur.
) sonsuz boyutlu bir vektör uzayı olur.
=
ᴧ…ᴧ
∈
(
) (tek terimli)
=
ᴧ…ᴧ
∈
(
) (tek terimli)
ve
olmak üzere bu iki formun dış çarpımını şu şekilde tanımlarız:
ᴧ =
ᴧ…ᴧ
ᴧ
ᴧ…ᴧ
(
∈
) dir.
Genel olarak
=
=
+⋯
+⋯+
. =(
=∑
;
+⋯
∑
;
∈
∈
)(
ᴧ
(
(
) tek terimli ve
) tek terimli olmak üzere
+ ⋯+
∈
(
)=
+
+ ⋯+
) olarak tanımlanır.
O halde
16
+⋯+
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
(
ᴧ:
)∗
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
(
( , )→
)→
(
ᴧ
)
olarak tanımlıdır.
Tanım 2.8.9: Formların dış türevi
:
:
=
(
)→
(
için
(
( ,…,
)→
)→
(
)
=
Genel durum
(
:
)→
) şeklinde operatörler tanımlayacağız.
(
)
=
w tek terimli olsun.
=
ᴧ
olur.
ᴧ…ᴧ
Bu tanım ile
(
(
+
)=
)=
+⋯+
ᴧ…ᴧ
Önerme 2.8.10:
)
) ise
olarak tanımlanır. Dış çarpımdan dolayı
+
∈
(
∈
;
,
operatörü lineerdir. Yani
dir.
(
∈
∈
(
),
∈
∈
(
)
olmak üzere
ve
(
) ve
∈
( ᴧ )=
(
) olsun. O zaman
ᴧ + (−1)
ᴧ
olur.
İspat: http://fen.ege.edu.tr/~ismetkaraca/GeometrikTopolojison.pdf Önerme 3.3.1 i)
ye bakınız.
17
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
(
∈
Teorem 2.8.11:
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
) olsun. Bu durumda
= (
) = 0 dır.
İspat: http://fen.ege.edu.tr/~ismetkaraca/GeometrikTopolojison.pdf Önerme 3.3.1 ii)
ye bakınız.
Tanım 2.8.12:
∈
(
) olsun.
Tanım 2.8.13:
∈
(
) alalım. Eğer
varsa
ya tam form denir.
= 0 ise w ya kapalı form denir.
Not: Her tam form kapalıdır. Çünkü
Tanım 2.8.14:
kompleksi denir.
(
)→
⏞
(
)→
⏞ …→
⏞
(
)→
⏞
=
olacak şekilde bir
= 0 dır.
(
)→
⏞
(
∈
(
)
)→
⏞ … zincirine de Rham
(
)→
⏞
(
)
(
)→
⏞
(
) olur. Buradan
dir.
(
ö
=
denir.
Ç
)→
⏞
ö
(
(
(
)→
⏞
)→
⏞
) ⊂Ç
(
(
)
)
+ 1. De Rham kohomoloji grubu
bölüm grubuna
Lemma 2.8.15: (Poincar ̀ Lemma):
=
,
0,
=0
≠0
olur.
2.9. Young diyagramı
Tanım 2.9.1: Bir Young diyagram satırları ya aynı yada daha kısa olan sola
dayanmış hücreler ya da kutular topluluğudur. Her satırdaki hücre sayısı λ ve
18
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
diyagramdaki kutuların toplam sayısı
ile gösterilir. Young diyagramın gösterimi ile
ilgili iki eğilim vardır.
(5, 4, 1) İngiliz Gösterimi
(5, 4, 1) Fransız Gösterimi
Her kolondaki kutuların sayısının listesini yazarak diyagramın konjugesi(transpozu)
elde edilir.
Bir Young tablo Young diyagrama sıralı kümelerin alfabesinin alınmasıyla
doldurulan Young diyagramdan oluşur. Genelde sayı kümeleri kullanılır. Eğer bir
Young tabloda satırlardaki ve sütunlardaki girdiler artıyorsa bu tabloya standart
Young tablo denir.
1
2
4
7
3
5
6
9
8
10
Standart Young Diyagramı
Eğer her satır boyunca girdiler artan sütundaki girdiler ise aşağı doğru kesin artan ise
bu tabloya yarı standart tablo denir.
Temsil teorisinde
boyutlu standart Young tablolar k harf üzerinden simetrik grubun
indirgenemez temsillerinin bazlarını tanımlar. Genel lineer grup olan
nin bir
sonlu boyutlu indirgenemez temsilindeki standart monomial bazı {1,2, … , } alfabesi
üzerindeki bir sabit şekilli yarı standart Young tablonun kümesi tarafından
parametrize edilir.
19
2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
20
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
3. HAZIRLIK TANIM VE LEMMALARI
Tanım 3.1: Herhangi bir
≥ 0 olacak şekilde
Lie cebiri ve
≥ 2 için
+ ⋯+
=
eşitliğinde
( ∈ ) nin tüm parçalanışlarından sıra gözetmeksizin farklı
olanları ile
,…,
( , ; )=
eşitliği tanımlansın.
Eğer
= 1 ise ( , 1; ) =
olarak tanımlanır.
Buradan açık ki ( , ; 0) =
( , ; 0) = ∑
,…,
,
dir. Gösterelim.
+ ⋯+
olup
=
= 0 dır. O zaman tüm
negatif olmayan tamsayılar olduğundan 0 olmak zorundadır.
∑
=[
,…,
=
=(
[
,…,
,
) =
],
]
,
,…,
elde edilir.
Örnek 3.2: ( , ; ) = ∑
= 3,
+
= 2 ve
=4
= 4 alalım.
4=4+0
→
[ ,
]
4=2+2
→
[ ,
]
4=3+1
4=1+3
4=0+4
→
→
→
[ ,
[ ,
[ ,
,…,
olup
]
]
]
21
ler
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Lie cebirlerinde anti komütatiflik olduğundan
(3, 2; 4) = ∑
= 2,
Örnek 3.3:
+
+
=[ ,
,
=3
3=3+0+0
3=2+1+0
= 3 ve
[ ,
→
3=2+0+1
[ ,
→
3=1+2+0
[ ,
→
3=1+0+2
[ ,
→
3=1+1+1
[ ,
→
3=0+3+0
[ ,
→
3=0+0+3
[ ,
→
3=0+1+2
[ ,
→
3=0+2+1
[ ,
→
]+[ ,
] dir.
= 3 alalım.
[ ,
→
]+[ ,
],
],
],
],
],
],
],
],
],
],
O zaman
(2, 3; 3) =
,
= [ ,
,
olur.
= 2,
Örnek 3.4:
+
+
=4
4=4+0+0
4=3+1+0
= 3 ve
→
→
[ ,
[ ,
= 4 alalım.
],
],
22
],
+ [ ,
],
+ [ ,
],
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
4=3+0+1
[ ,
→
4=2+2+0
4=2+0+2
],
[ ,
→
4=1+1+2
],
[ ,
→
4=1+0+3
],
[ ,
→
4=1+3+0
],
[ ,
→
4=2+1+1
],
[ ,
→
],
[ ,
→
],
4=1+2+1
→
[ ,
],
4=0+0+4
→
[ ,
],
4=0+4+0
[ ,
→
4=0+1+3
4=0+3+1
],
[ ,
→
4=0+2+2
],
[ ,
→
],
[ ,
→
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
],
O zaman
(2, 3; 4) = ∑
= [ ,
,
,
],
+ [ ,
],
+ [ ,
],
+ [ ,
],
olarak elde edilir.
Teorem 3.5:
,
∩
=
de gösterildi.
=∑
Tanım 3.6:
ağırlığına sahip
,
∩
[
(m, n; r) dir.
,
] özel durumu Ward M. A. 1969 Teorem 17.2
braket düzenlemesi
ve braket çarpımla aşağıdaki şekilde tanımlanır.
= 1, 2, … için yıldız dizileri
Bir ağırlığına sahip sadece 1 tane braket düzenlemesi vardır.
23
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
(∗) = (∗)
> 1 ağırlığına sahip
ve
braket düzenlemesi
=(
braket düzenlemeleri ile
,
+ =
için
ve
ağırlığına sahip
) olarak elde edilir.
Bu tanıma göre 2 ağırlığına sahip tek braket düzenlemesi vardır ve [(∗), (∗)] dır. 3
ağırlığına sahip tek braket düzenlemesi vardır ve [[(∗), (∗)], (∗)] dır.
Kolaylık olması açısından (∗) ifadesindeki parantezler kaldırılarak alışılmış yazım
kullanılabilir. Yani
∗
1 ağırlığına sahip braket düzenlemesi için
[∗,∗]
2 ağırlığına sahip braket düzenlemesi için
[[∗,∗],∗]
3 ağırlığına sahip braket düzenlemesi için
yazılır.
Tanım 3.7: Bir
sahip
,
,…,
=(
,
Lie cebiri onun
braket düzenlemesi verilsin.
sonlu elemanları dizisi ve
nin
şekilde tanımlanır.
( )=
ve eğer
> 1 ve
( ,
ağırlığına
,…,
) elemanları aşağıdaki
(
,…,
)
olduğundan
( ,
)=[
,…,
( ,
,…,
,
)]
olur.
Buna
ağırlığının
çarpımı(komütatörü) denir.
,
,…,
elemanlarından
24
oluşan
bir
braket
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Tanım 3.8:
( ,
( ,…,
,…,
nin
,…,
)
,…,
düzenlemesi ve 1, … ,
permütasyonlar
idealleri, s ağırlığına sahip
(
tanımlıdır.
( ), … ,
( ))
⊆∑ [
braket
( )
,…,
nin tüm
( )]
olarak
permütasyonunu birim permütasyon olarak varsayabiliriz.
= 2 olsun.
1
=(
1
= 2 iken 2! = 2 tane permütasyon vardır. Bunlar
( ),
∑
ağırlığının bir
nin bir (sabit) ρ permütasyonu verilsin. 1, … ,
üzerinden
için
nin bir idealidir ve
bileşenleri ile oluşan
,…,
Lie cebirinin
= 1, … ,
;
nin bir alt cebirini üretir. Bu alt cebir de
braket çarpımı denir.
İspat:
∈
idealleri verilsin.
) ile gösterilir. Buna
Lemma 3.9:
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
( ),
( )
( )
( , ) = [ , ] olur.
=
( ),
=
( )
+
( ),
2
)ve
2
1
=(
2
2
) dir.
1
= [ , ] + [ , ] dir.
( )
[ , ], [ , ] + [ , ] nin lineer toplamı olduğundan istenen sağlanır.
= 3 için de aynı şekilde yapılır.
> 3 ve varsayalım ki
( ,…, ) = [
=
∗
( , … , ),
(
Tümevarım hipotezinden
( ,…, ) ⊆ ∑ [
Bu yüzden
( ), … ,
( )
yeterlidir. (1)
≥
,
( ),…,
), … ,
(
varsayıp ispatı
iken
( )]
( )
, … , )] olsun.
ve
,…, ) ⊆ ∑ [
(
⊆∑
( ), … ,
(
),…,
( )]
olduğunu
( )
dir.
göstermek
üzerinden tümevarımla yapabiliriz.
= 1 olsun.
( ), … ,
( )
,
(
)
=
( ), … ,
( )
25
,
(
)
⊆∑
( ), … ,
( ),
(
)
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
olup ispat biter. Çünkü bir elemanın tek permütasyonu vardır. Ρ yerine
da yazsak
farketmez.
> 1 ise
Eğer
( ), … ,
=
ifadesinde
( ), … ,
( )
,
=
( ),
), … ,
(
), … ,
(
(
, [ , ] yazalım. O zaman ifademiz yerine
,[ , ] = − ,[ , ] −
=−
( ),
,[ , ]
( ), … ,
−
(
( ),
(
), … ,
), … ,
(
),
(
),
ve
)
(
( ),
( )
)
=
( ), … ,
( )
alıp yerine
( )
Eşitliğin sağ tarafına uygulanan tümevarım hipotezinden istenilen elde edilir.
Not: ( , ; ) nin tanımında geçen ∑[
üstünden çarpımı belirttiği için ∑
( , ; ) = ∑[
,…,
,…,
kullanalım. Yani
] ifadesindeki ∑ yerine
] yerine ( , ; ) = ∑ [
Bu bizi yapacağımız ispatlarda karışıklıklardan kurtaracaktır.
Lemma 3.10:
i) ( , ; ) ⊆ ( , ; − 1) ( ≥ 1).
ii) [ ( , ; ), ( , ; )] ⊆ ( , + ; + ).
iii) [ ( , ; ), ( , ; )] ⊆ ( , ; + + 1).
iv) ( , + 1; ) ⊆ ( , ; + 1).
İspat:
i)
= 1 iken ( , 1; ) =
⊆
idi.
( , 1; − 1) olup istenilen sağlanır.
26
,…,
] yazalım.
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
> 1 için doğru olduğunu gösterelim.
( , ; )=
,…,
=∑
⊆
,…,
,…,
= ( , ; − 1)
olur.
ii) [ ( , ; ), ( , ; )] = ∑
= 1 ve
,∑
,…,
= 1 ise
( , 1; ) =
,…,
dir. Eğer
ve ( , 1; ) =
olur.
,…,
,
=[
,…,
,
]
dir.
[
]⊆
,
[
] = ( , 2; + )
,
olup istenen sağlanır.
,
> 1 iken ispatı yapalım.
[ ( , ; ), ( , ; )] = ∑
dan
⊆∑
,
,∑
,…,
,…,
,
27
,…,
,…,
Lemma 3.9
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
⊆∑
=∑
,
,…,
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
,…,
,…,
= ( , + ; + )
,…,
,
olur.
iii)
= 1 için ( , 1; ) =
ve ( , 1; ) =
[ ( , 1; ), ( , 1; )] = [
,
⊆
⊆
]
dir.
= ( , 1; + + 1)
dir.
> 1 iken ispat edelim.
,…,
⊆
,
,…,
⊆
,
,…,
ve
dir.
Böylece
[ ( , ; ), ( , ; )] ⊆ ∑
⊆∑
=∑
⊆∑
=
,
,
,
,
( , ; + + 1)
,…,
,
,…,
,
,…,
,
,
,…,
,…,
,
,…,
,…,
olur.
iv)
∑
= 1 için ( , 2; ) = ∑
,
⊆
⊆
,
= ( , 1;
28
+
+ 1)
,
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
= ( , 1; + 1) olur.
> 1 için yapalım.
( , + 1; ) = ∑
,…,
=∑
Lemma 3.11:
, ∈
Lie cebirinin
olsun. O zaman
[ , ],
+ [ , ],
[ , ], [ , ] .
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
,…,
, ,
+ [ , ],
⊆∑
,…,
= ( , ; + 1) dir.
idealleri verilsin. Varsayalım ki
≡ 0 modülo
∈ ,
∈
[ , ], [ , ] + [ , ], [ , ] +
İspat: Burada
[ , ],
[ , ],
[ , ],
∈ [ , ], [ , ]
∈ [ , ], [ , ]
∈ [ , ], [ , ]
dir.
Lie cebirinin her elemanı için bu toplam 0 ı vereceğinden bu özel durum içinde
doğru kalacaktır. İspat aşikar.
Sonuç 3.12: Varsayalım ki
zaman
[ , ],
+ [ , ],
∈ ( , ; ),
+ [ , ],
∈ ( , ; ),
≡ 0 modülo ( , +
dir.
29
∈ ( , ; ) olsun. O
+ ; + + + 1)
3. HAZIRLIK TANIM ve LEMMALARI
İspat:
3.10 dan
=
( , ; ),
= ( , ; ) ve
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
=
( , ; ) verilsin. O zaman Lemma
[ , ], [ , ] = [ ( , ; ), ( , ; ) ], [ ( , ; ), ( , ; )]
⊆ [ ( , + ; + ), ( , + ; + )]
=
⊆
⊆
⊆[ ( , +
∑
+
+ ; + + + )]
 Lm + r , … , Lm + r , … , Lm + r ,… , Lm + r ,… , Lm+ r

1
n
n+ p
n + p +n
n + p + p +q 

r + s + r +t
∑
r + s + t +1
 Lm + r −1 , … , Lm + r −1 , … , Lm + r ,… , Lm+ r , … , Lm + r ,… , Lm+ r

1
r −1
n
n+ p
n + p +n
n + p +n +q 

∑
 Lm + r −1+ r , … , Lm + r + r , Lm + r , … , Lm + r , Lm+ r
, … , Lm+ rn + p +n +q 
1
n + p +1
n
n + p +n
n +1
n+ p
n + p +n +1

r + s + t +1
= ( , +
+ ; + + + 1)
elde edilir.
Benzer şekilde [ , ], [ , ] ve [ , ], [ , ] için de yapılır.
Buradan
[ , ], [ , ] + [ , ], [ , ] + [ , ], [ , ] ⊆ ( , +
olup istenilen elde edilir.
30
+ ; + + + 1)
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
4. BAZLAR
,
Tanım 4.1: Bazlar:
temel komütatörleri için
komütatör olacak şekilde verilsin.
içerilmesi için gerek ve yeter koşul
bütün 1 ≤ <
için
nin ( , 1; ) =
∈
] ile
bir temel
nin içinde yapısal olarak
olmasıdır. Varsayalım ki bütün
ler ve
( , ; ) nin içinde yapısal olarak içerilmesinin ne
nin
anlama geldiği tanımlanmış olsun. O zaman
içerilmesi için gerek ve yeter koşul
( , ; ) içinde
nin yapısal olarak
in ( , ; ) içinde yapısal olarak içerilmesi
nin ( , ; ) içinde yapısal olarak içerilmesidir. Öyle ki bazı , ≥ 1 ve bazı
ve
,
=[ ,
≥ 0 ve
+ = ,
olur. Çünkü [ ,
∈
Bir
temel bazı için
∈
+
=
olmalıdır. Eğer
] temel bazdır.
≥ 2 ise otomatik olarak
( , ; ) olması için gerek ve yeter koşul
nin yapısal
olarak ( , ; ) tarafından içerilmesidir.
Böylece aşağıdaki lemmalar kolayca elde edilir.
Lemma 4.2: Eğer
İspat:
∈
∈
( , ; ) ise
( , ; ) ise
olsun. O zaman
∈ ( , ; ) dir.
yapısal olarak ( , ; ) tarafından içerilir.
∈
( , ; ) ve
∈
( , ; ) ise
∈
( , ; ) olur. Bu şekilde
kadar yapısal olarak içerilme tanımı ve tümden gelim uygulanarak
olduğu elde edilir.
Lemma 4.3: Eğer
i)
ii)
∈
( , − 1; +
)
∈ ( , ; − 1) dir.
İspat:
i)
∈
∈
( , ; ) olsun.
( , ; )=∑
,…,
,
31
ve
=[ ,
]
1 olana
∈ ( , ; )
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
⊆∑
,…,
=∑
= ( , − 1; +
,…,
)
Buradan
( , − 1; +
∈
)
olur.
∈ ( , ; ) olsun.
ii)
( , ; )⊆
biliyoruz. O zaman
( , ; − 1) olduğunu Lemma 3.10 dan
( , ; − 1)
∈
olur.
Örnek 4.4: ( , ; ) içinde nin yapısal olarak içerilmesi için gerek ve yeter koşul
, ≥ 1 ve
,
≥ 0 iken
+ = ,
+
içinde yapısal olarak içerilmesi ve
=
nin
içerilmesidir.
= 3,
= 2 ve
= 1,
= 2,
=[ ,
= 3 için (3,2; 3) = [ ,
in
( , ; )
( , ; ) içinde yapısal olarak
]+[ ,
] tür.
] olmak üzere (3,2; 3) içinde yapısal olarak içerilsin. O zaman
= 1 olmak üzere
yapısal olarak içerilsin.
= 1 olduğu için
∈
,
,
O zaman
=[ ,
=
dir.
] ∈ (3,2; 3) olur.
ve parçalanışını
(3,1; 2) içinde ve
,
= 1,
(3,1; 1) içinde
(3,1; 2) içinde yapısal olarak içeriliyorsa biliyoruz ki
içeriliyorsa biliyoruz ki = 1 olduğu için
Not :
olacak şekilde
= 1,
= 1,
32
∈
,
= 3,
(3,1; 1) içinde yapısal olarak
=
tür.
= 0 olarak da alabilirdik.
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
( , ; ) ve
∈
Lemma 4.5: Varsayalım ki
( , ; ) + =
∈
ve +
=
olacak şekilde baz elemanı olsunlar. O zaman [ , ] herbiri yapısal olarak ( , ; )
tarafından içerilen temel komütatörlerin bir toplamına modülo ( , ; + 1) e göre
kongruenttir.
İspat:
ve
sadece
nin üreteçlerinin bir sonlu sırasını içerdiği için
yi sonlu
doğurulmuş varsayabiliriz.
>
Varsayalım ki
nin bir üreteci ise açık olarak [ , ] bir temel
olsun. Eğer
=[ ,
komütatördür. Eğer
] ve
ise tekrar [ , ] bir temel komütatör olur
≤
ve burada gösterilecek bir şey yoktur.
Bir komütatörün farklılık numarasını [ , ] de ,
temel komütatör ve
aşağıdaki yolla tanımlayalım.
uzunluklu
≤
verilsin ve uzunluğu
olduğunu varsayalım.
ve . . [ , ] =
−
de uzunluğu
+
,
=[ ,
(3)
Şimdi
∈
∈
];
ve
≥ 1 ve ,
[ , ]= [ ,
],
>
temel komütatör ve
ve sonuç olarak
≥ 2 varsayabiliriz ve
= ( ,
( ,
∈
∈
≥ 0) yazarız.
≡ − [ , ],
olur.
; ),
− [ ,
],
∈
( ,
ü
olsun. O zaman
; );
+
=
( , ; + 1).
. . [ , ] < . . [ , ] olup tümevarım hipotezi gereği her i için
( ,
+ ;
[ , ]≡∝
+ ) olacak şekilde temel komütatörler ve ∝ ∈
+ ⋯ +∝
modülo
( ,
+ ;
+
+ 1).
olmak üzere
[ + , ] = [ , ] + [ , ] olduğundan Lemma 3.10 ve Lemma 3.11 den
(4)
<
olan bir temel komütatör olsun. Sonra
olsun.
( ) ≥ ( ) dir. Ve
Böylece biz
iken
olacak şekilde bir temel komütatör
Şimdi . . [ , ] üzerinden tümevarım kullanalım.
Varsayalım ki
>
[ , ],
≡∑
∝
,
modülo ( , ; + 1) dir.
33
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Şimdi her bir 1 ≤ ≤
için ( ) ≥ ( ) dir. Ayrıca
. . [ , ] dir. Böylece her bir
tümevarımdan
>
için ve sonuç olarak [ , ],
,
için
( , ; ) tarafından yapısal olarak içerilen temel komütatörlerin bir
toplamına modülo ( , ; + 1) e göre kongruenttir yazılabilir.
. . [ , ] < . . [ , ] olduğundan her i için
Ayrıca
. .[ , ] <
olup
∈
olacak şekilde temel komütatörler ve
[ , ]≡
olmak üzere
modülo ( ,
+ ⋯+
∈
+ ;
( ,
+
+ ;
+ )
+ 1)
e göre kongruenttir.
Belirli bir
≥
için 2 İhtimal vardır. Ya
durumda da
[ , ],
(5)
≡∑
<
ya da
dir. Yukarıdaki her bir
modülo ( , ; + 1) dir.
,
Şimdi 2 durumu da inceleyelim.
≥
Durum 1:
. .
,
< . . [ , ] olur.
Durum 2:
ler için
olsun. Şimdi
<
>
( ) ≤ ( ) ve ayrıca
olsun. ( ) ≤ ( ) ve ayrıca
olup . .
,
>
>
olup
den daha büyük uzunluğa sahip
< . . [ , ] olur.
,
Böylece tümevarım hipotezinden her bir
( , ; ) tarafından yapısal olarak
içerilen temel komütatörlerin bir toplamına modülo ( , ; + 1) e göre kongruent
olur. Ve böylece (5) den [ , ],
de olur. Böylece
[ , ],
ve [ , ],
modülo ( , ; + 1) e göre bir toplamdır ve (3) den istenilen elde edilmiş olur.
Teorem 4.6:
olmak üzere
( , ; )
( , ; + 1) serbest abelyendir. Ve
∈
+ uzunluklu temel komütatörleri tarafından üretilir.
34
( , ; )
4. BAZLAR
( , ; )
=
İspat:
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
( , ; + 1) alalım.
( , ; )
[ , ]=
( , ; )
=
( , ; )
( , ; + 1) ,
( , ; + 1) ⊆
=0
( , ; + 1)
( , ; + 1)
( , ; + 1)
olur.
( , ; )
Buradan
( , ; + 1) serbest abelyen olur.
Ayrıca ( , ; ) ⊆
Şimdi temel komütatörlerin
=1
dir.
+ uzunluklu olduğunu göstermeliyiz.
( , 1; ) =
iken
( , 1; + 1) =
ve
olup
elde edilir ki bunun temel komütatörlerinin uzunluğunun
+ olduğunu biliyoruz.
ise
ve ( , ; + 1) ⊆
;
= [ ,…,
toplamıdır.
]
> 1 iken tümevarım uygulayalım. Eğer
∈
Tümevarım hipotezinden [ , … ,
+ ⋯+
ve
] ( , − 1; −
içerilen temel komütatörlerin bir toplamına modülo
kongruent olur. Ve
=
ise
olacak şekilde
) tarafından yapısal olarak
( , − 1; −
e göre kongruent olur.
Şimdi Lemma 3.10 den
( , − 1; −
lerin
+ 1) e göre
tarafından yapısal olarak içerilen temel
komütatörlerin bir toplamına modülo
( , − 1; −
∈ ( , ; )
+ 1),
),
35
⊆
⊆
( , ; + 1)
( , ; + 1)
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
∈ ( , − 1; −
olur. Böylece problem
biri
) ve
∈ ( , 1; ) iken [ , ]; her
( , ; ) tarafından yapısal olarak içerilen
komütatörlerin bir toplamına modülo
+
uzunluklu temel
( , ; + 1) e göre kongruenttir durumunu
göstermeye indirgenir. Bunu da Lemma 4.4 de yapmıştık.
Sonuç 4.7: Bir
temel komütatörü verilsin. O zaman
( , ; ) dir.
İspat: →) Lemma 4.2 de yapıldı.
←) Varsayalım ki
∩
∩
∈ ( , ; ) olsun.
∈ ( , ; )⇔
∈
≠ 0 ve bir temel komütatör iken
∉
∉
olur. Çünkü serbest Lie cebirleri rezidülü nilpotenttir. Böylece
≥
( , ; ) olur ve varsayalım ki
ve Teorem 4.5 den
modülo
∈ ( , ; ),
( , ; + 1) e göre
∉ ( , ; + 1) olsun.
( , ; ) tarafından
yapısal olarak içerilen temel komütatörlerin bir toplamıdır. Böylece
komütatör olduğundan bu tek toplam tam olarak
⋶ ( , ; ).
olduğunu verir ve böylece
Teorem 4.8:
,
olur ve bu bize
in her elemanı
iken mod ( , ; ) e göre
∈ ,
<⋯<
+⋯+
de temel
⋶ ( , ; )
temel komütatörlerin bir sırası
olacak şekilde
,…,
,
tarafından
+ den küçük olacak şekilde temel
yapısal olarak içerilen uzunluğu
komütatörler olmak üzere tek türlü yazılabilir.
İspat: Teorem 4.5 den açık.
Teorem 3.5:
,
∩
= ( , ; ).
İspat: İspatı r üzerinden tümevarımla yapalım.
( , ; )⊆
olsun.
,
∩
= 0 durumu açıktır.
olduğu açıkça bellidir.
> 0 varsayalım ve
∈
∈ ( , ; − 1) iken tümevarım hipotezi ve Teorem 4.5 den
( , ; ) ye göre
,
∩
mod
+ − 1 uzunluğa sahip temel komütatörlerin bir toplamıdır.
36
4. BAZLAR
Ayrıca
∈
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
ise bu toplam 0 olmak zorunda kalır ve böylece
dir. Böylece
,
∩
⊆ ( , ; )
,
∩
= ( , ; )
olur. Buradan
elde edilmiş olur.
37
∈ ( , ; )
4. BAZLAR
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
38
5. 2,2 ve 3,2 nin YAPISI
5.
ve
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
nin YAPISI
,
5.1. Bazı Notasyonlar
,…,
C üzerinde
1, … , için
> 0 iken
(
tanımlayalım.
Her bir
) yi
,
(
ile ve
) yi de
ile gösterelim.
( , … , ) çoklu-derecesine sahiptir diyeceğiz.
,
∈
,
=
nun her monomialinde
= ( , … , ) derecelendirmelerinin kümesi
ki bütün
,
,
=
serbest cebiri verilsin.
= 0 bağıntılarının kümesi R olsun.
nin derecesini 1 olarak alalım.
∈
varsa
tarafından üretilen n üreteçli
olarak
üreteci
,
kez
daki bütün
[ ] ile gösterilsin. Şuna dikkat edin
lar bir çok-dereceye sahip olmayacak. Fakat
daki
,
monomialler ve monomiallerin braket çarpımı bir çoklu-dereceye sahip olacaktır.
nun derecesine
elemanların kümesini
5.2.
,
=
diyelim ve
+⋯+
verilsin.
[ ] ile gösterelim.
,
daki
dereceli bütün
şeklinde
− 1 elemandan
,
[ ] için Baz
Bu bölümde
[ ] için baz bulacağız.
,
Önerme 5.2.1:
oluşan küme
,
≥ 2 ve
= 1, … , − 1 için
[ ] yi geren bir kümedir.
İspat: Öncelikle unutmayınız ki
monomialler iken [ ,
]
[ ,
,
[ ] nin her elemanı a ve b derecesi en az 1 olan
] braketlerinin bir lineer kombinasyonu olarak
ifade edilebilir. Bunu görmek için
olarak yazılabilir.
≥ 2 ve
[ ,
…
düşünün. Bu braket
…
]=[
,
,
ler
,
[ ] deki monomiallerin keyfi braketlerini
ya da
]+[
…
39
yi göstermek üzere [ ,
,
]+⋯+[
…
…
,
]
]
5. 2,2 ve 3,2 nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
elde ederiz.
,
[ ] nin her elemanı monomiallerin braketlerinin bir lineer kombinasyonu ve her
bir monomialin braketi istenilen formun braketlerinin bir toplamı olduğundan
nin her elemanı istenilen formun braketlerinin bir lineer kombinasyonudur.
[ ,
] düşünelim.
[ ,
]=∑
,
elde ederiz.
Dikkat edin ki toplamdaki bütün terimler
≠ 1 ise
[]
yazalım.
[ ] de denktir. Çünkü braketin terimleri
,
çevrimsel olarak değiştirilir. Bu yüzden [
Eğer
=
ile başlamak ya da 1 e denk olmak üzere
,
]=
,
[ ,
ile başlamak üzere ya da 1 e eşitken
] olur.
olarak
yazılabilir. Benzer şekilde
[ ,
]=[
,
Bu yönteme devam edilerek
]=[
,
] nin de
[ ] nin her elemanı [ ,
]
,
,
=−
[ ,
,
] nin bir lineer kombinasyonu olup ispat biter.
bulmuştuk.
böylece
,
,
,
,
Unutmayın ki
,
],
sadece ya
sahip ya
[ ] nin
formundaki − 1 tane eleman
,
[( , )] = .
,
[ ] için
,
olur.
− 1 tane üreteç
− 1 olmak zorunda olduğu sonucuna varacağız ve
[ ] yi geren küme baz olacaktır.
İddia edelim ki [
[
,
[ ] ≥ − 1 olduğunu göstereceğiz.
,
] in 1
nin sabit katı olduğu gösterilir.
[ ] için bir baz oluşturur, böylece her , ≥ 1 için
İspat:
] olur.
,
nin sabit katı olduğu gösterilir. Böylece
Teorem 5.2.2: ≥ 2 ve = 1, … , − 1 için
,
[
in bütün kuvvetleri braketin sağına taşınır. [ ,
den − 1 e kadar her i için
Benzer şekilde [ ,
]=
,
] sıfır olmasın. Örneğin [
,
de
,
] [
,
],
monomialler olmak üzere
de olmasın.
[
],
,
formundaki elemanlar tarafından gerilir ve bu formdaki braketler
,
,
ya da
ya da
eşittir. Bu nedenle [
,
,
i içerir. Bu braketlerde
,
=−
,
ve
,
formuna
in katsayıları
] deki bu braketlerin hiçbir lineer kombinasyonu
40
5. 2,2 ve 3,2 nin YAPISI
ve
değildir.
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
için karşıt işaret vermez. Böylece [
,
] elemanı, [
],
,
de
(2, ) Lie cebirini düşünelim. O { , } üreteçleri üzerinde doğal etkiye sahip
olduğu için
,
[ ] üzerinde bir etkiye sahiptir. Doğrudan hesaplamalarla [
(2, ) nin temsil teoreminden bu vektör
(2, ) nin
indirgenemez temsilini üretir.
Böylece dim
=
,
≥ 2 ve
+
+
kombinasyonu olarak ifade edilebilir.
sadece
ve
,
=
,
[ ,
,
,
ve
] ve [ ,
,
,
,
,
], [ ,
,
,
ve
toplamı olarak yazarız.
ve
− 1 boyutlu
], [ ,
[ ] yi gerer.
,
, ,
derecesi 1 den az
] braketlerinin bir lineer
,
sadece
ve
in bir sabit katıdır,
=
,
,
için işlem yaparsak
nin bir lineer kombinasyonu olur.
] içinde aynı işlemler yapılarak
,
ve
,
in
,
in
yazabiliriz. Belirtelim
nin bir lineer kombinasyonu olur. Sonuç olarak [ ,
,
,
lerin çarpımı
formlarının braketleri ile
,
ve
i
,
ve
lerin bir çarpımı olmak üzere bu
sabit katsayılı formu olarak yazılabilir.
olmak üzere
,
için
nin her elemanı
,
olmayan monomialler olmak üzere [ ,
] düşünelim.
=
− 1 tane elemandan oluşan küme
İspat: Öncekine benzer bilgilerle
ki
[]
Durumu
formundaki 0 olmayan
,
,
[ ] ≥ − 1 ve ispatın başında verilen bilgilerden sonuç elde edilir.
Önerme 5.3.1:
[ ,
]
(2, ) için ( − 1,1)ağırlıkla en yüksek ağırlıklı vektör olduğu görülür.
nin
5.3.
,
,
,
] de
nin her elemanının
in bir lineer kombinasyonu olarak elde
41
5. 2,2 ve 3,2 nin YAPISI
edilebilir. Belirtelim ki
,
nin her elemanı
,
ve
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
,
,
+
,
+
= 0 dır, böylece
ün bir lineer kombinasyonu olarak elde edilir.
2 durumunda yapılanlar kullanılarak
(3, ) nin etkisi düşünebilir ve [
,
]
elemenı ( iki durumunu düşünürken 0 olmadığını gösterdiğimiz ) ( − 1,1,1) en
yüksek ağırlıklı vektör olduğunu bulabiliriz.
vektör
− 1 boyutlu bir temsil üretir ve böylece
(3, ) nin temsil teoreminden bu
,
[ ] nin boyu en azından
olur. Önerme 5.3.1 ile birleştirerek aşağıdaki ifadeyi söyleyebiliriz.
Teorem 5.3.2: Her = ( , , ) ∈ (
için bir baz oluşturur.
) için
42
,
ve
,
−1
,
[]
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
6. n DURUMUNDA
6.1.
,
(i,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
nin YAPISI
,
Hakkındaki Ana Teorem
j)
ikilisi
permütasyon
(2,3) (3,4) …
belirtmek
( − 1, )
( )
( )
…
Özellikle dim
(
,
(
[]=2
,
)
,
Uyarı: Belirtelim ki bazı
( )
in
) olarak alalım.
[ ] nin baz elemanları
)
1, 2, … ,
formundaki tüm permütasyonları kümesi
olsun. Bundan sonra = ( , , … , ) ∈ (
Teorem 6.1.1:
üzere
( )
∈
olmak üzere
formundaki 2
braket tarafından oluşur.
olduğu elde edilir.
ler 0 ise daha az sayıdaki değişkenler için
bazı Teorem 6.1.1 den verilir. Böylece Teorem 6.1.1 herhangi bir
bir bazını temin eder ve böylece
,
için
,
,
[ ] nin
[ ] nin
nin bir homojen bazı elde edilir. Bu bazın ilginç
bir özelliği monomialler nonredundant (diğer bir deyişle her harf sadece bir kez
görülecek) olacak şekilde elemanlar içermesidir.
Teorem 6.1.1 in ispatı gelecek üç alt bölüm sonra verilecektir.
6.2. Feigin - Shoikhet İzomorfizmi
,
ve
ç
(
) ( pozitif dereceli kapalı çift diferansiyel form) arasındaki
izomorfizmi ana teoremi ispatlamak için kullanacağız. Ф cebir homomorfizmi
Ф :
→
→
ç
(
)
iken
Ф
=
∗
=
43
+
ᴧ
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
olarak tanımlayalım.
Feigin B. ve Shoikhet B. (2007) Ф
in Ф :
olduğunu ispatladı.
∈
(
) p-form verilsin. Eğer
,
→
ç
(
nun her monomialinde
) bir izomorfizm
kez varsa
, gibi
bir çoklu dereceye sahiptir deriz.
(
)[ ] yi çoklu dereceli tüm formların uzayı olarak tanımlayalım.
Ana teorem aşağıdaki 2 lemmanın bir sonucudur.
ç
Lemma 6.2.1:
(
)[ ] = 2
dir.
Lemma 6.2.2: Ana teoremde tanımlı 2
braket lineer bağımsızdır.
6.3. Lemma 6.2.1 in ispatı
Lemma 6.2.1 den önce aşağıdaki Lemmayı ispatlayacağız.
(
Lemma 6.3.1:
)[ ] =
dir.
İspat: Poincare lemma dan de Rham diferansiyel bir izomorfizm tanımlar. Bu
izomorfizm
:
(
)[ ]
Böylece eğer ( ) =
( ) =
→
(
)[ ]
(
)[ ] ise
(
)[ ] dir.
− ( − 1) ve (0) = 0
bağıntılarına sahip oluruz.
44
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Şimdi ispatı tümevarımla yapalım.
− ( − 1) =
( ) =
k için doğru olsun. Yani
k+1 için doğru olduğunu gösterelim.
( + 1) =
− ( )=
=
=
=
−
(
)…(
)
(
)…(
)
[(
…
)…(
)](
!
(
)…(
[(
)…(
−
!
…(
)
olsun.
)
)
)]
=
olarak elde edilir ve ispat tamamlanır.
Lemma 6.2.1 basit kombinatorik işlemlerden elde edilir.
ç
(
)[ ] =
=∑
(
=2
)[ ]
olur.
6.4. Lemma 6.2.2 nin ispatı
Ana teoremde verilen formdaki braketlerin Ф dönüşümü altındaki görüntülerini
bulmayla başlayalım.
Lemma 6.4.1: Wedge çarpımdaki indeksler artan sırada olmak üzere
Ф
…
=
…
∑
⊂{ ,…, } ᴧ ∈
| |ç
dır.
45
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
İspat: İspatı tümevarımla yapalım.
= 1 için Ф
Ф
=
=
…
=(
Ф
dir. n için doğru olsun. O zaman
…
∑
…
∗
⊂{ ,…, } ᴧ ∈
| |ç
)∗
olur.
Unutmayınız ki son ifadenin genişlemesinde
[(2 − 2) −
]ᴧ
İlk terim d
içermeyen 2 −
den 2 −
lu toplamlar gelir.
unun tamamını verir. Bu formlar
{1, … , + 1} in S alt
içeren 2 −
+2 −
ᴧ
unun tamamını, aynı şekilde ikinci terim d
kümesine karşılık gelir ve tam 2 elemandan oluşur. Bu formların katsayılarının
lemmadakiler olduğunu görmek zor değildir.
Bazı işlemlerle aşağıdaki sonucu elde ederiz.
Sonuç 6.4.2:
zaman , … ,
⊂ {1, … , } için
( ,…,
)=2
…
ᴧ
∈
verilsin. O
> 0 için wedge çarpımdaki indeksler artan sırada olmak üzere
Ф
…
,
için
ve
=
⊂{ ,…, }
| |ç
( ,…,
)
dir.
Dikkat edelim ki
olmak üzere
(
∈
)
Фn  x1i1 … xnin−−11 , xnin  =
nin seçimine bağlı olarak ( , ) = +1, −1
∑
ò ( S , p ) ws ( x p (1) , …, x p ( n ) )
p ( n )∈S ⊂{1,…, n}
S çift
olur.
46
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
( ), … ,
ile gösterelim. Şimdi lemma 6.2.2 yi ispatlayalım.
yi,
( )
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Lemma 6.2.2 nin ispatı: Değişken sayısı üzerinden tümevarım uygulayalım. Bölüm
2 deki sonuçlardan
doğru varsayalım.
( , + 1) (örneğin
+ 1 değişken için doğruluğunu gösterelim.
= 1ile) i içeren permütasyonların kümesi
in tümleyeni olsun. Yani
içinde
2
= 2,3 için kolayca lemmanın doğruluğu görülür.
=∑
form olan
olduğunu göstermede ∅
Herhangi bir
∈
Dahası
)∈ ⊂{ ,…,
dir.
∈( , )
}ǀ ǀç
lerin lineer bağımsız
°( , + 1) =
içermeyen
için
ler lineer bağımsızdır.
∈
için
olacak şekilde
içinde görünen n
nin bileşenleri tam formlardır. Böylece
içinde görünen her form
içerdiği için
lerin lineer bağımsız olduğunu göstermeye ihtiyacımız vardır.
∑
= { ⊂ {1, … , + 1}ǀ 1, + 1 ∈
2
∈
∈( , )
ᴧ
;
ve
izomorfizm uygulamak yeterlidir.
için
değişken durumunda
∈
(
∪
=
≥ 3 için
} verilsin. Herhangi bir
ǀ ǀç
∈
iken
∈
için
içeren çift formların bir lineer kombinasyonudur. Bu
toplamın lineer bağımsız olduğunu göstermemiz yeterlidir.
Satırları
∈
olan braketleri gösteren sütunları
∈ ( , ) ler olan 2
∗2
∈
formu gösteren ve girdileri
tipindeki tersinir matrisler ispat için yeterlidir. Satırlar
için birim permütasyonlar başlayan yinelemeli düzeni seçeriz. İlk 2 eleman verilsin,
sonraki 2 eleman ( + 2, + 3) ile birleşme tarafından verilsin.
Sütunlar için ( , … ,
) m-li sırası ile
ᴧ…ᴧ
formuyla gösterelim. Tekrar
(1, + 1) ile başlayan yinelemeli düzeni seçelim. Önce 2 kolon verilsin. Sonraki
2 kolon ilk 2
ile
sütuna
+ 2, + 3 eklenmesiyle ve sonraki 2
+ 2 nin yer değiştirilmesiyle elde edilsin.
n üzerinden tümevarımla bu matrisin tersinirliğini hesaplayalım.
1 1 

 ile verilir ve bunun tersinirliği açıktır.
1 −1
eşit parçaya bölelim. Alt matrislere
değişken durumunda
,
,
kolonda
+3
= 3 iken matris
≥ 3 olduğunu varsayalım. Matrisi 4
ve
diyelim. Unutmayın ki n
matristir. Her bir alt matrisi de 4 eşit parçaya bölelim.
47
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
,
Onlara da
,
=
,
ve
,
,
,
=
,
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
diyelim.
durumunda
eşitliklerini elde ederiz.
,
=
,
,
=
,
Permütasyonda n nin durumunun değişmesi n içermeyen formların üzerinde etkisi
olmadığından
=
olur (ve
=
dir). Ayrıca
,
=
,
ve
,
=
,
olur çünkü permütasyondaki bu satırlarda n-1 ayrılır n sabittir. Permütasyonların
benzer hesabıyla matrisin şu forma sahip olduğunu gösteririz.
αn
γ
 n
Son 2
satır ilk 2
 α n −1 β n −1 α n −1 β n −1 


*
β n −1 
β n   α n −1 δ n−1
=
.
δ n   α n −1 β n −1 −α n −1 β n −1 


*
δ n−1 
 α n −1 δ n−1
satırdan çıkarılırsa
 α n−1 β n −1 α n −1

*
 α n−1 δ n−1
 0
0 2α n −1

0
*
 0
β n−1 

β n−1 

0

β n−1 − δ n −1 
elde edilir.
,
ve
−
in tersinir olduğu göstermeye devam edilir.
,
tümevarımdan tersinirdir.
 α n −1
= 
 γ n−1
−
β n−1 
tersinir matrisinde son yarı satır ilk yarı satırlardan çıkarılırsa
δ n −1 
in tersinir olduğu görülür.
6.5. Sonlu Sıralı Durumunda
Teorem 6.5.1: Herhangi bir = ( , … , ) ∈ (
48
) için
6.
, 2 nin YAPISI
DURUMUNDA
,
0
, [ ]
[]=
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
ü
ı
ç
≥
<
ç
dir.
İspat: Eğer tüm s ler için
<
o zaman bağıntılar hiçbir etkiye sahip değildir.
Bu yüzden teoremin ifadesi sağlanır. Şimdi bazı s ler için
zaman Teorem 6.1.1 den
elemanlar
,
,
≥
varsayalım. O
deki bütün baz elemanlarının görüntüsü 0 dır. fakat bu
[ ] yi gerer ki bu uzay 0 olur. Böylece istenen olacaktır.
Uyarı: Bu ispatta baz elemanlarının nonredundant (diğer bir deyişle her harf sadece
bir kez görülecek) monomialler içermesi önemlidir.
49
6.
DURUMUNDA
, 2 nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
50
[ , 1] ve 2,
7. 2,
7.
,
[ , ] ve
;
[ , 2] nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
[ , ] nin YAPISI
,
üzerindeki polinom vektör cisminin Lie cebiri olarak verilsin. Feigin B. ve
Shoikhet B. (2007)
,
üzerinde
in durumunu tanımladı.
Artık , tarafından üretilen serbest cebir
çoklu derecesi ile
nin (ve
,
=
=
ve
in
kopyası ve
monomiallerden oluşsun. Bu bölümün amacı bize
ve
daha sonraki bölümlerde daha genel m durumu için
,
[ , 1] ve
,
[ , ])
nin kopyasından oluşan
,
,
[ , ] (ve
) elemanları uzayının
tarafından oluştuğunu gösterelim. Yani
bulmaya yardımcı olacak
( ) verilsin. Biz ( , )
,
ün
-modül yapısını
[ , 2] nin bazlarını hesaplatmaktır. Ve
,
bilgiler elde edeceğiz.
nin yapısı hakkında bazı
= [ , ] olarak tanımlayalım. Sonra aşağıdaki elemanları tanımlayalım.
()
, ,
Dikkat edilirse
()
, ,
=
()
,
=
,
°
°
°
( )
( )
[ + + , + 1] in bir elemanı ve
bir elemanıdır. Basitlik için = 1 iken
7.1.
°
()
, ,
yerine
, ,
ve
()
,
()
,
yerine
[ , ] in Yapısı
Teorem 7.1.1:
≥ 2 için
,
[ , 1] =
0
.
≤
≥
,
olur.
Önce aşağıdaki iki lemmayı ispatlamalıyız.
51
−2
−1
[ + , ] nın
,
yazalım.
7. 2,
[ , 1] ve 2,
Lemma 7.1.2:
dönüşüm örtendir.
İspat:
S
[ , 2] nin YAPISI
≥ 1 ve
üzerinden
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
≥ 0 için
tümevarım
monomial olmak üzere 0 ≤
hipotezinden bir tane
=0
=
=
>0
açık.
− 1, − 1] deki bir
=
dir.
=
polinomu vardır öyleki
> 0 varsayalım. Tümevarımdan
olur.
olur.
için
formuna sahiptir. Tümevarım
polinomu vardır öyleki
polinomu vardır öyleki
Lemma 7.1.3:
[ −
≤ − 1 için
Şimdi a üzerinden tümevarım gereği bir
= 0 ise
[ − 1, ] ye olan lineer
uygulayalım.
[ − 1, ] deki her monomial
varsayalım.
Eğer
[ , ]→
:
=
dir. O zaman
−
dır.
[ , ] de bir
çözüme sahip
: [ , 1] → [ − 1,1] dönüşümünün çekirdeği .
,
dir.
İspat: Lemma 7.1.2 den
[ , 1] −
=
[ − 1,1] = ( + 1) − = dir.
,
in çekirdeğindedir ve 0 değildir. Böylece ispat biter.
elemanı
Şimdi teoremi ispatlayalım.
≤
Teorem 7.1.1 in ispatı. Önce
+ 1 için
,
[ , 1] =
olduğunu gösterelim. Bunu r üzerinden tümevarımla yapalım.
{[ , ]} dir.
≤
> 1 varsayalım. Bu durumun
varsayalım.
∈
,
[ , 1] için
hipotezinden bazı sabit c ler için
verilsin. Lemma 7.1.3 den
−
∈
= .
⊆
,
olur. Böylece bu durum tümevarımdan ispatlanır.
52
∈
=
,
= 1 için
,
,
[1,1] =
+ 1 için doğruluğu açıktır.
[ − 1,1] olur. Tümevarım
olur.
dir.
≤
=
için
=
,
∈
,
[ , 1] ve 2,
7. 2,
≤
Bu nedenle
olur. ∑
için
≤
7.2.
,
[ , 2] nin YAPISI
+ 1 için
[ , 1] =
,
+ 1 için
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
[ , 1] ≤ 1 ve
[ , 1] =
>
+1
+ 1 ve
[ , 1] = 1 olduğu
,
[ , 1] = 1 elde ederiz.
,
[ , 1] = 0
,
[ , ] in Yapısı
Teorem 7.2.1:
≥ 2 için
,
−1
+1
2
[ , 2] =
≤
=
+1
+2
dir.
≤
+ 1 için
− 1 elaman ve
[ , 2]nin bazı + =
,
( )
− 3 için
tarafından verilir.
,
şeklindeki
, ,
İspata başlamadan önce birkaç Lemma ispatlayalım.
Lemma 7.2.2:
İspat: İlk olarak
iddia açık.
=
, ,
ǀ + =
− 1, ç
[ , 2] nin bir bazıdır.
kümesi,
= 1 için
deki elemanların lineer bağımsız olduğunu gösterelim.
− 1 için doğru olduğunu varsayalım. Eğer
çift iken bu elemanlar
,
, ,
çift ise + = − 2 ve j
formuna sahiptir. Tümevarım hipotezinden bu
elemanlar lineer bağımsızdır. Çünkü ∑
en yüksek dereceli monomiali olan
,
için
,
=
, ,
,∑
,
∑
, ,
,
, ,
in
en yüksek dereceli monomialine
sahiptir.
Eğer r tek ise çift durumuna benzer iddialarla sadece
diğerlerinden bağımsız olduğunu göstermeliyiz.
,
,
2
,
,
elemanının
monomialini içeren
tek eleman olduğundan varsayılan baz elemanları lineer bağımsızdır.
Şimdi
,
,
deki elemanların
∈[ ,
[ , 2] yi gerdiğini gösterelim. Bunun için r çift iken
] olduğunu göstermek yeterlidir. Jacobi özdeşliğini tekrarlayarak
53
7. 2,
,
,
[ , 1] ve 2,
[ , 2] nin YAPISI
[ , ],
,[ ,…,[ , ]…] + [ ,
=
=⋯=
[ , ], … ,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
]
,[ ,…[ , ]…] + [ ,
]
elde edilir. Bu ifade de ilk ve ikinci temel braketteki son eleman
sahip olur.
Fakat bu eleman 0 dır. Bu yüzden
,
aittir.
=
Lemma 7.2.3:
bazıdır. Özellikle
∪
−
,
, ,
,
ǀ + = −2 ∪
[ , 2] nin bazıdır.
İspat: Öncelikle r üzerinden tümevarımla
olduğunu gösterelim.
r çift ise
deki
,
,
temel elemanı, [ ,
,
( )
in eşit i tekrarına
,
] ye
[ , 2] nin bir
kümesi,
nün elemanlarının lineer bağımsız
= 1 için kolayca görülür.
> 1 varsayalım.
elemanı hariç tüm elemanlar
[ − 1,2] nin bazı olan
deki b lerden oluşan [ , ]formuna sahip olacaktır. Lemma 7.2.2 ün ispatındaki gibi
,
,
nin diğerlerinden bağımsız olduğunu göstermeye ihtiyacımız vardır. Onun en
yüksek dereceli monomiali diğerlerinde olmayan 2
olduğundan
deki
elemanlar bağımsızdır.
r tek ise
ve
,
,
∈
dir.
olup
,
,
in
deki elemanlar [ , ] gibidir ve diğer 2 eleman ise
deki diğer elemanların sahip olmadığı 2
dereceli monomialine sahip olduğunu görürüz ve bu nedenle
bağımsızdır.
,
,
,
,
,
,
= (2 − 1)
=2
=0
+ (−2 + 3 )
+ (−2 + 2)
+2
+0
−4
54
+0
+⋯
+⋯
,
en yüksek
,
diğerlerinden
= 2 + 1 verilsin. Doğrudan hesaplamalarla
,
,
+⋯
[ , 1] ve 2,
7. 2,
Bu monomialler
[ , 2] nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
nün diğer elemanları içinde olmadığından
,
elemanının
,
diğer elemanlardan bağımsız olduğunu elde ederiz. Böylece tümevarımla tüm
elemanların bağımsız olduğunu elde ederiz.
Şimdi r üzerinde tüme varımla
− 1 durumunda
doğrudur.
[ , 1] =
,
,
∈
için
olduğu için biz sadece
,
= 1 için
nün geren küme olduğunu gösterelim.
[ − 1,2] =
,
,
,
,
{[ , ]} dir.
in
nün geren
uzayında olduğunu göstermeliyiz. Jacobi özdeşliğini ard arda uygularsak
,
,
= [
,
=
, ], [ , … [ , ] … ] +
[
=⋯=
, ],
Lemma 7.2.4:
[ , 2] dir.
:
,[ ,…[ , ]…] +
[… [
[ , 2] =
Böylece
,
{
, ], ], … ,
,
[ , 1]
,
+
[ − 1,2] +
,
,
[ − 1,2] +
[ , 1]
[ , 1]
,
} olur ve ispat biter.
[ , 2] →
[ − 1,2] lineer dönüşüm iken
∩[ , ]⊆
İspat: Lemma 7.2.2 ve 7.2.3 den
,
[ , 2] =
ve
[ , 2] =
,
elde edilir.
ǀ
Lineer dönüşümün kısıtlaması olan
dönüşümü örtendir. Çünkü
dim
ǀ
,
[ , ]
=
, ,
,
=2
, ,
[ , 2] −
dir.
55
,
[ , ]
∶
dir. Böylece
,
,
[ , 2] →
[ − 1,2] =
−
[ − 1,2]
,
=
7. 2,
[ , 1] ve 2,
:
Ayrıca
,
Eğer r tek ise 2
2
=
[ , 2] nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
[ , 2] → 0, bu yüzden dim (
=
+ 1 olur böylece
ǀ
dir. Bu durumda
,
[ , ]
=
[ , 2]) = 2
∩
⊆
[ , 2] dir. Eğer r çift ise
[ , 2] →
,
.
,
[ − 1,2] dönüşümünü
düşünelim. Bu uzaylar devirli kelimelerin uzaylarıdır. Böylece r çift iken
dim
ǀ
,
≥
[ , ]
Böylece r çift iken
,
[ , 2] −
in 1-boyutlu altuzayı
,
∩[ , ]⊆
[ , 2] =
,
−
= 1.
içindedir. Sonuç olarak
[ , 2]
olur.
Şimdi Teorem 7.2.1 i ispatlayalım.
Teorem 7.2.1 nin ispatı.
[ , 2] nin herhangi bir w elemanının varsayılan baz
,
elemanlarının bir lineer kombinasyonu olduğunu gösterelim. Bunu r üzerinden
tümevarımla yapalım.
= 1 ise [ ,
] ve
, [ , ] nin her ikisi de baz elemanlarıdır.
derecesi − 1 olacak şekilde
=∑
=
−
Böylece Lemma 7.2.4 ten
≤ )
=
,
,
+3
( − ) = 0 olur.
alalım. O zaman
(
ya sahibiz. Böylece tümevarımdan
−
∈
, ,
, ,
+
+
−
( )
,
+2
∩[ , ]⊆
> 1 ise x in
.
( )
,
olur. Böylece
de
dir. Ve p baz elemanlarının bir lineer kombinasyonudur. Bu nedenle
gerekli elemanlar
,
[ , 2] yi gerer. Ve (2 ≤
56
≤ ) için
,
≤
− 1 olur.
7. 2,
[ , 1] ve 2,
Biliyoruz ki
,
[ , 2] nin YAPISI
=
− 1 dir. Fakat bu sayılar
Böylece (2 ≤
,
≤ ) için
[ , 2] için baz olur.
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
=
,
[ , 2] =
,
≤
57
(
)(
ve (2 ≤
)
≤ ) için
,
≤
nin toplamı olmak zorundadır.
− 1 ve gerdiği bulunan elemanlar
7. 2,
[ , 1] ve 2,
[ , 2] nin YAPISI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
58
8. 2,
8.
deki Ƒ , 2 ve Ƒ , 1 in KATLILIKLARI
deki Ƒ
,
=∑
ve Ƒ
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
in KATLILIKLARI
,
Euler vektör cismi üzerindeki
-modülleri sonlu boyutlu öz
uzaylarla ve alttan sınırlı öz değerlerle yarı basit olarak düşünebiliriz. Orjinde
olmayan
( (
Ƒ =
),
verilsin.
) D birden çok kolona sahip Young diyagram iken bir
( , )-modulden eş-indüklenen bir indirgenemez modül olsun.
ile
≥
vektör cisminin alt cebiri
olacak şekilde pozitif tamsayılardan oluşan ( , ) ilk satırda p kutuları ikinci
satırda k kutularıyla 2 satırlı Young diyagramı göstersin.
Bu bölümde şunları ispatlayacağız.
≥ 3 için
Teorem 8.1:
modülün 1 kopyasına, Ƒ(
sahiptir.
geri kalanı
,
,
Jordan-Hölder serilerinde Ƒ(
kopyasına ve Ƒ(
nin
nin Jordan-Hölder serilerinin içindeki indirgenemez
-modüllerin
,
, )
bir Ƒ(
, )
formundadır.
, )
,
deki Ƒ(
,
, )
, )
formundadır.
modül içeriyorsa o zaman
)
[ , 0] = 0 olması ile çelişir. Benzer olarak
İlk olarak
, )
kopyasına
içermez. Bu nedenle
iken Ƒ(
,
nin
≥ 3 için Ƒ(
İspat: Eğer
-modül
deki indirgenemez tüm
,
Ƒ( ) [ , 0] = 1 olması
tam 1-formların modülünü
-modüller
≥ 1 iken Ƒ(
modüllerin katlılıklarını bulalım. Dikkat edilirse
modülleri için Ƒ(
, )[
Ƒ(
, 1] = 0 dır. Ayrıca
, )[
, 1] =
0,
1,
≤
, )
≥2
−1
≥
dir.
Teorem 7.1.1 ile karşılaştırırsak
elde ederiz ve
≠
,
− 1 iken diğer Ƒ(
nin Ƒ(
, )
, )
in bir kopyasına sahip olduğunu
modüllerin hiçbirinin kopyasını içermez.
59
8. 2,
deki Ƒ , 2 ve Ƒ , 1 in KATLILIKLARI
Şimdi
Ƒ(
, )[
deki Ƒ(
,
, )
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
≥ 3 iken Ƒ(
modülleri katlılığını bulalım.
, 2] = 0 dır. Dikkat edilirse
Ƒ(
, )[
, 2] =
0,
1,
≤
−1
≥
, )
modülleri için
(1)
dir.
Ayrıca
Ƒ(
,
0,
[
) , 2] = 1,
2,
≤
=
≥
−3
−2
−1
dir.
Teorem 7.2.1 den
[ , 2] −
,
, )[
Ƒ(
, 2] =
0,
≤
−3
−3
, = −2
2
− 3, ≥ − 1
olur.
Formül (1) den
Ƒ(
, )
nin
Son olarak
içinde
,
,
[ , 2] nin boyutlarından dolayı Ƒ(
,
kopyasına Ƒ(
[ , 2] ve
≥ 3 iken Ƒ(
, )
,
, )
nin
, )
modülle birlikte
kopyasına sahip olur.
[ , 1] yapıları yardımıyla belirleyemediğimiz
modüllerinin bazı kopyaları olabilir.
,
Teoremin bu durumunu aşağıda daha kesin yapabileceğiz.
Önerme 8.2: Ƒ(
Örneğin
,
↠ Ƒ(
, )
modül,
, )
,
nin Jordan-Hölder serisinin son terimidir.
iz düşüm dönüşümü vardır.
60
8. 2,
deki Ƒ , 2 ve Ƒ , 1 in KATLILIKLARI
≥4
İspat:
,[ ,…[ ,
=
alt modülleridir. Çünkü
⁄(
+
İddia
+ ⋯+
edelim
ki
,[ ,…,[
0≤ ≤
için
]…] ⁄
derivasyonlarla
polinomları mod
olarak
,
°
,,
(
,
,…
] … ] ifadesindeki
,
,
=
bir
yi ya x ya da
ve
i ya x
deki bağıntılarla ve permütasyonları
≤
− 2 iken
yi sıralayabiliriz.
,…,
=
,…,
nin elemanları için
,
) notasyonunu kullanalım. Önceki düşüncelerden
ǀ0 ≤
≤
[ ] 1≤ ≤
−2
°
(
1≤ ≤ −
− 1)( −
− 1 için
tarafından gerilir. Dikkat edersek
=
,
nin
,
deki bağıntılarla
-
elemanlarının her birini ya x ya da y yapabiliriz. Dahası
bu geren elemanlarının sayısı (
Özellikle
olsun.
, )
,[ ,…,[
permütasyonları kullanarak 0 ≤
°
nin
,
ye göre yer değiştirebilir. Böyle permütasyonlarla
,…,
olacak şekilde
,
nin
-modüldür.
≅ Ƒ(
,
ya da y olarak alabiliriz. Benzer olarak
,
,
üzerine etkir. Böylece
,
) bölüm uzayı bir
-modül
iken
alt uzaylarını düşünelim. Onlar
y varsayabiliriz. Dikkat edelim ki
kullanarak
−4
] … ] elemanını alalım.
,
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
,
=
de
,
, ,
− 1 elde ederiz.
− 1) dir.
,
, ,
) = ( − 1)
tipindeki
,
, ,
,
, ,,
,
=
=
[]=
nin
− 1 eleman
= ( − 1)
olur.
Dikkat edilirse A içinde
≠ 0 dir. Çünkü (−1)
≠ 0 katsayıları ile
içinde (1,
yüksek dereceli monomialine sahiptir. Ayrıca dikkat edelim ki
1) çoklu dereceye sahip ve 0 ≤ ≤
takiben
,…,
− 4 için
[ ]=
ler türetiriz. Çünkü 1 ≤ ≤
(
)
(∑
− 1 için eğer
+
)=
61
≠0
−
[ ] = 0 dır. Bunları
bölüm uzayında da 0 değildir. Böylelikle
,
en
≠ 0 ise
(2)
,
de bağımsız
8. 2,
deki Ƒ , 2 ve Ƒ , 1 in KATLILIKLARI
Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
dır.
Böylece
Şimdi
,
,…,
,
nin bir bazıdır.
-modülün indirgenemez olduğunu gösterelim. Olmadığını varsayalım.
O zaman 1 tane S
alt modüle sahiptir. Çünkü
,
derece m ile başlıyor, S de en
az derece m ile başlamak zorundadır. Dikkat edelim ki
nin Jordan-Hölder
,
serileri içerisinde bulunan ve derecesi m ile başlayan indirgenemez modüller derecesi
−1=
iken onların boyutlarının toplamı
sahiptir. Bu nedenle derece >
1) olacaktır. Fakat biz zaten
Böylece
,
,
[ ] e eşittir özelliğine
de onların boyutlarının toplamı (
,
[]≤(
− 1)( −
+ 1) olduğunu gösterdik.
,
[ ] nin
tarafından üretilen
,
modülüne ait olduğunu gösterir.
,
+
nin Jordan-Hölder serisindeki indirgenemez tüm modüller derece m ile
başlar. Fakat (2) eşitliği
Böylece
− 1)( −
m derece ile başlayan indirgenemez bir
derecede boyutu m-1 dir. Böylece bu modül
= ( , ) iken Ƒ olur. Bu ise Ƒ(
, ).
+
Böylece de
62
nin bir tek
alt
-modüle izomorf olur ve bu
=
,
ve
↠ Ƒ(
−
, )
=
− 2 ile
sağlanacaktır.
KAYNAKLAR
BOTT, R., and TU, W. L., 1982. Differential Forms in Algebraic Topology.
Springer. 331 s.
CUNTZ, J., and QUILLEN D., 1995. Algebra Extensions and Nonsingularity. J.
Amer. Math. Soc. 8: 251
251-289.
DOBROVOLSKA, G., KIM, J., and MA, X., 2007. On the Lower Central Series of
an Associative Algebra. Journal of Algebra: 11-14.
ERDMANN, K., and WILDON, M. J., 2006. Introduction to Lie Algebras.
University of Oxford, 251s.
FEIGIN, B., and SHOIKHET B., 2007.On
and on a
-
action on the Consecutive Commutators of Free Associative Algebra. Math.
QA/0610410v2.
GRUENBERG, K. W., 1957. Residual Prope
Properties
rties of Infinite Soluble Groups. Proc.
London Math. Soc., (3) 7. 29
29-62.
HALL,
M.,
1959.
The
Theory
of
Groups.
Macmillan,
New
York.
434s.http://fen.ege.edu.tr/~ismetkaraca/GeometrikTopolojison.pdf
HURLEY, T. C., 1979. Intersections of Terms of Polycentral Series of Free Groups
and Free Lie Algebras. Pacific Journal of Mathematics. Vol. 82, No. 1:1051:105
116.
MAGNUS, W., KARRASS A., and SOLITAR D., 1976. Combinatorial Group
Theory. New York. 444s.
O’NEIL, B., 2006. Elementary Differential Geometry. Academic Pr
Press.
ess. 503s.
SMELKIN, A. L., 1966. Amer. Math. Soc. Transl., (2) 55. 270
270-304.
WARD, M. A., 1969. Basic Commutators. Phil. Trans. Royal Soc. of London, Ser,
A, 264. 343-412.
63
64
ÖZGEÇMİŞ
13.03.1988 yılında Fatsa’ da doğdu. İlkokul öğrenimini İstanbul’da, ortaokul
ve lise öğrenimini Adana’da tamamladı. Liseyi 3. olarak bitirdi. 2006 yılında
Çukurova Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’ne başladı. 3,54
ortalama ile mezun oldu. 2010 yılında lisans öğrenimini tamamladı. Aynı yıl Ç. Ü.
Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dalında TÜBİTAK burslusu olarak
yüksek lisansa başladı.
65