Genel Enerji Denklemi Genel Enerji Denklemi

KÜTLE, BERNOULLI VE ENERJİ
DENKLEMLERİ
BU KONU TAMAMLANDIĞINDA;
-BİR AKIŞ SİSTEMİNDE GİREN VE ÇIKAN DEBİLERİ DENGELEYEBİLMEK İÇİN
KÜTLE DENKLEMİNİ UYGULAYABİLMELİSİNİZ
-MEKANİK ENERJİNİN FARKLI FORMLARINI TANIYABİLMELİ VE ENERJİ
DÖNÜŞÜM VERİMLERİYLE İLGİLİ İŞLEMLERİ YAPABİLMELİSİNİZ
-BERNOULLİ DENKLEMİNİN KULLANIMINI VE SINIRLAMALARINI
ANLAYABİLMELİ VE BU DENKLEMİ FARKLI TÜRLERDEKİ AKIŞ
PROBLEMLERİNİ ÇÖZMEDE KULLANABİLMELİSİNİZ
-YÜKLER CİNSİNDEN İFADE EDİLEN ENERJİ DENKLEMİYLE ÇALIŞABİLMELİ
VE BU DENKLEMİ TÜRBİN ÇIKIŞ GÜCÜNÜ VE GEREKLİ POMPALAMA
GÜCÜNÜ HESAPLAMADA KULLANABİLMELİSİNİZ
Kontrol Hacmi İçin Kütle ve
Enerjinin Korunumu
mgiren - mçıkan
Kütle korunumu:
dmKH
=
dt
Enerjinin korunumu:
Egiren - Eçıkan
Isı,İş ve Kütleile
birim zamanda transfer edilen
net enerji
=
dEKH
dt
İç,Kinetik,Potansiyel, vb
enerjilerinin toplmanın birim
zamandaki değişimi
KÜTLESEL VE HACİMSEL DEBİ, ORTALAMA HIZ
Kütlesel debi:
m=
ò dm = ò r Vn dAc
Ac
Ortalama hız:
kg/s
Ac
Vort
1
=
Ac
ò Vn dAc
Ac
Hacimsel debi:
V =
ò r Vn Ac = Vort Ac = VAc
Ac
Ortalama hız cinsinden kütlesel debi:
m = r Vort Ac = rV
m3 /s
dm = r Vn dAc
KÜTLENİN KORUNUMU DENKLEMİ
Kütlenin korunumu yasası, Reynolds
transport teoremindeki B değişkenini kütle m
ile, b değişkenini de 1 (birim kütle için
kütle=m/m=1) ile yer değiştirerek elde edilir.
d
r dV +
ò
dt KH
ò r (V ×n)dA = 0
KY
Üniform giriş ve çıkış hızları söz konusu ise ,
dmKH
dt
å
giriş
m+
å
çıkış
m= 0
Hareket eden veya şekil değiştiren kontrol hacmi:
d
r dV +
ò
dt KH
ò r (Vb ×n)dA = 0
KY
Vb = V - VKY
Daimi akış:
å
m=
giren
Bir giriş bir çıkış varsa:
å
m
çıkan
m = r 1V1 A1 = r 2V2 A2
Bu ifadeye SÜREKLİLİK DENKLEMİ denir.
Sıkıştırılamaz akış halinde yoğunluk değişmediğinden, SÜREKLİLİK DENKLEMİ:
å
V =
giren
å
V ®
Tek akımlı:
çıkan
V1 = V2 ® V1 A1 = V2 A2
ÖRNEK 5-1
Ağzına fıskiye takılmış bir bahçe hortumu 10 galon’luk (37.854 L) bir
kovayı suyla doldurmak için kullanılıyor. Borunun iç çapı 2 cm olup fıskiye
çıkışında çap 0.8 cm’ye düşüyor (Şekil 5-12). Kovayı suyla doldurmak 50 s
aldığına göre; (a) hortumdan geçen suyun kütlesel ve hacimsel debilerini
ve (b) fıskiye çıkışında suyun ortalama hızını hesaplayınız.
V =
V
37.854
=
= 0.757L/s
Dt
50s
m = rV = (1kg/L)(0.757 L/s) = 0.757 kg/s
2
Aç = p rç2 = p (0.4cm) = 0.5027cm2 = 0.5027x10- 4 m2
æ 1m3 ÷
ö
V
0.757 L/s
ç
÷
ç
Vç =
=
=
= 15.1m/s
÷
ç
- 4
2
÷
çè1000L ø
Aç 0.5027x10 m
ÖRNEK 5-2
0.914 m çapında, 1.219 m yüksekliğinde ve üst yüzeyi atmosfere
açık silindirik bir tank başlangıçta suyla doludur. Tankın taban
kenarında bulunan boşaltma tapası çekiliyor ve su 1.27 cm çapındaki
bir su jeti ile dışarı fışkırıyor (Şekil 5-13). Su jetinin ortalama hızı
V=
2 gh
bağıntısıyla verilmektedir. Burada, h tank içindeki suyun delik
merkezinden olan yüksekliği (değişken), g ise yerçekimi ivmesidir.
Tank içindeki su seviyesinin tabandan itibaren 0.609 m yüksekliğe
düşmesi için geçecek olan süreyi hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Tankın iç hacmini KH olarak seçelim. Bu durumda KH sabit ve şekil
değiştirmeyen bir KH olur. Ancak suyun boşalmasından ötürü KH
içerisindeki su zamanla değişir. Kütlenin korunumu yasası:
mgiren - mçıkan =
dmKH
dt
mçıkan = (r VA)çıkan = r 2 ghAjet
(
)
2
mKH = rV = r Atank h = r p Dtank
/4 h
- r 2 gh Ajet =
ò0 dt = -
t=
dt
(
/4 =
dt = -
2
Dtank
2
Djet
- r 2 gh
t
d (r Atank h)
2
Dtank
2
Djet
2
p Djet
1
)
h2
ò
2 g h0
(
)
2
r p Dtank
/ 4 dh
dt
dh
2 gh
dh
h
Þ t=
2
æ
ö
h0 - h2 ç Dtank ÷
÷
çç
÷
÷
g 2 çè Djet ÷
ø
2
æ
ö
1.219 m - 0.609 m ç91.4cm ÷
÷
= 757s = 12.6dakika
çç
÷
÷
è1.27 cm ø
9.81 m/s2 / 2
İrdemele: h2 = 0 alınarak tankın tankın tamamının boşalması için gerekli süre hesaplanabilir. Bu
yapılırsa t = 43.1 dakika olarak bulunur. Viskoz etkiler ihmal edildiğinden gerçek süre burada
hesaplananlardan daha yüksek olacaktır.
Uyarı: Burada yapılan hesaplamada tank kesiti sabittir. Kesit alanı
yükseklikle değişen tanklarda kesit alanının yüksekliğe bağlı ifade
edilmesi koşuluyla aynı analiz değişken kesitli tanklarda da yapılabilir.
Değişken kesite örnekler.
MEKANİK ENERJİ VE VERİM
Mekanik enerji, ideal türbin gibi ideal mekanik makinalar ile tamamen ve
doğrudan mekanik işe dönüştürülebilen enerji formu olarak tanımlanabilir
Akmakta olan akışkanın mekanik enerjisi
emek
P V2
= +
+ gz J/kg
r
2
Mekanik enerji değişimi:
D emek
P2 - P1 V22 - V12
=
+
+ g ( z2 - z1 ) kJ/kg
r
2
Isı (veya termal) enerji doğrudan ve tamamen mekanik
işe dönüştürülemediğinden mekanik enerji DEĞİLDİR.
BİR TÜRBİNDEN ELDE EDİLEBİLECEK MAKSİMUM İŞ
Atmosferik basınç
D emek
P2 - P1 V22 - V12
=
+
+ g ( z2 - z1 ) kJ/kg
r
2
giriş-çıkış
kesitleri aynı
Giriş-çıkış yükseklik
değişimi önemsiz
Bu denklemden sonuç negatif çıkar, neden?
SONUÇ:
Akış hızında ve yükseklikte herhangi bir değişiklik olmaması
halinde, ideal bir hidrolik türbinde üretilen güç türbindeki
basınç düşüşü ile orantılıdır.
BİR DEPODAKİ SUYUN MEKANİK ENERJİSİ
Bir deponun tabanındaki suyun mekanik enerjisi, deponun serbest
yüzeyi de dahil olmak üzere herhangi bir derinlikteki mekanik enerjisine
eşittir.
MEKANİK VERİM TANIMI
hmek
Emek, kayıp
Emek, alınan
Alınan mekanik enerji
=
=
= 1Verilen mekanik enerji Emek, verilen
Emek, verilen
Bir fanın mekanik verimi, havanın fan
çıkışındaki kinetik enerjisinin verilen
mekanik enerjiye oranıdır.
BİR POMPANIN VERİMİ
hpompa
Akışkanın mekanik enerjisindeki artış D Emek,akışkan Wpompa, f
=
=
=
Verilen mekanik enerji
Wmil, giren
Wpompa
D Emek, akışkan = Emek, çıkan - Emek, giren
BİR TÜRBİNİN VERİMİ
htürbin
Wmil, çıkan
Wtürbin
Alınan mekanik enerji
=
=
=
Akışkanın mekanik enerjisindeki azalma
Wtürbin, ç
D Emek, akışkan
D Emek, akışkan = Emek, giren - Emek, çıkan
MEKANİK VERİM ile MOTOR/JENERATÖR VERİMİ karıştırılmamalıdır.
ELEKTRİK MOTORUNUN VERİMİ
hmotor
Wmil, çıkan
Alınan mekanik güç
=
=
Verilen elektriksel güç Welekt, giren
JENERATÖR VERİMİ
h jeneratör
Alınan elektriksel güç Welekt, çıkan
=
=
Verilen mekanik güç
Wmil, giren
MAKİNA GRUPLARININ VERİMİ, AYRI AYRI
VERİMLERİN ÇARPIMINA EŞİTTİR.
POMPA-MOTOR GRUBUNUN VERİMİ:
hpompa-motor = hpompa hmotor =
Wpompa, f
Welekt, giren
=
D Emek, akışkan
Welekt, giren
TÜRBİN-JENERATÖR GRUBUNUN VERİMİ:
htürbin-jen = htürbin h jen =
Welekt, çıkan
Wtürbin, ç
=
Welekt, çıkan
D Emek, akışkan
Türbin-jeneratör grubunun toplam verimi, türbin verimi ile jeneratör
veriminin çarpımıdır ve akışkanın mekanik enerjisinin elektrik
enerjisine dönüşüm oranını gösterir.
ÖRNEK 5-3
Büyük bir göldeki su, bir hidrolik türbin-jeneratör düzeneğini Şekil 5-18’de
gösterildiği gibi su derinliğinin 50 m olduğu bir yere yerleştirmek suretiyle
elektrik üretmek için kullanılacaktır. Su, türbine 5000 kg/s’lik bir kütlesel debi
ile girmektedir. Üretilen elektrik gücü 1862 kW olarak ölçüldüğüne ve
jeneratör verimi yüzde 95 olduğuna göre (a) türbin-jeneratör düzeneğinin
toplam verimini, (b) türbinin mekanik verimini, (c) türbinden jeneratöre verilen
mil gücünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM 5-3
Kabuller 1 Göldeki su seviyesi değişmemektedir.
2 Türbin çıkışındaki suyun mekanik enerjisi ihmal edilebilir
Referans düzlemi gölün tabanı alındığında türbinin girişi ile
çıkışı arasında suyun mekanik enerjisindeki değişim:
emek,giren - emek,çıkan
æ 1kJ/kg ö
P
÷
2
÷
= - 0 = gh = 9.81m/s (50 )ççç
= 0.491 kJ/kg
÷
2
2
÷
ç
r
è1000 m /s ø
(
)
Bu durumda, akışkandan türbine aktarılan mekanik enerji ve
toplam verim,
D Emek,akışkan = m (emek, giren - emek,çıkan ) = (5000 kg/s)(0.491kJ/kg) = 2455 kW
htoplam = htürbin-jen =
Welekt, çıkan
D Emek, akışkan
1862 kW
=
= 0.76
2455 kW
b) Toplam verimi ve jeneratör verimini bildiğimizden,
türbinin mekanik verimi:
htürbin-jen = htürbin h jen ® htürbin =
htürbin-jen
h jeneratör
0.76
=
= 0.80
0.95
c) Alınan mil gücü ise mekanik verim tanımından hesaplanabilir:
Welekt, çıkan = htürbin D Emek, akışkan = (0.80)(2455kW) = 1964 kW
Enerjinin sadece mekanik formlarını ve mil işi transferini içeren
sistemler için, enerjinin korunumu ilkesi:
Emek, giren - Emek, çıkan = D Emek, sistem + Emek, kayıp
Emek, kayıp Þ
sürtünme gibi
tersinmezliklerden
kaynaklanan mekanik
enerjinin ısıl enerjiye
dönüşümünü gösterir.
Daimi halde çalışan bir sistem için
mekanik enerji dengesi:
Emek, giren - Emek, çıkan = Emek, kayıp
GENEL ENERJİ DENKLEMİ


Temel yasaların en önemlilerinden biri de
Termodinamiğin Birinci Yasası veya Enerjinin Korunumu
yasasıdır.
Bu yasaya göre enerji vardan yok yoktan var edilemez,
sadece biçim değiştirir.
Düşen bir kaya PE-KE
dönüşümü yoluyla hız
kazanır
Hava direnci yoksa
PE + KE = sabit olmalıdır
Genel Enerji Denklemi


Kapalı bir sistemin enerjisi iki şekilde
değişebilir; ısı transferi Q ve iş W
Kapalı bir sistemin birim zamandaki
enerji değişimi şu şekilde verilir:
Qnet , giren  Wnet , giren 

dEsis
dt
Sisteme birim zamanda geçen NET
ısı:
Qnet , giren  Qgiren  Qçıkan

Birim zamandaki NET iş ise:
Wnet , giren  Wgiren  Wçıkan
Genel Enerji Denklemi

RTT şu şekilde verilmişti:


dBsis d
   bdV   b Vb n dA
KY
dt
dt KH

B = E ve b=e alınırsa;


dEsis
d
 Qnet , giren  Wnet , giren    edV    e Vb n dA
KY
dt
dt KH

İş terimi; basınç işi ile mil işinin toplamı olarak yazılabilir:
 
Wnet , giren  Wmil ,net , giren  Wbasınç ,net , giren  Wmil ,net , giren   P V n dA
A
Genel Enerji Denklemi



Mil işi nereden kaynaklanıyor?
Piston aşağı doğru, F=PA kuvvetinin
etkisiyle ds mesafe kadar itildiğinde, sistem
üzerinde dWsınır=PAds. kadar iş yapılır.
Her iki taraf dt ye bölünerek:
d Wbasınç  d Wsınır  PA

ds
 PAV piston
dt
Genel kontrol hacimleri için:
d Wbasınç   PdAVn   PdA V  n 
V ve n vektörleri zıt yönlü olduğundan skaler
çarpımları negatiftir. İşin negatif çıkması,
sistem üzerine yapıldığını da güvence
altına alır.
Genel Enerji Denklemi
 Böylece
enerji denklemi şu şekilde elde
edilir:
P 
d
Qnet , giren  Wmil ,net , giren    edV     e  e Vb  n dA
dt KH
 
KY 


görülen P/ akış işi olup
birim kütle başına akışkanı KH içerisine
sürmek için yapılan işi temsil eder.
 Denklemde
Genel Enerji Denklemi

Kütle korunumu denkleminde olduğu gibi,
pratikte genellikle giriş/çıkışlar üniform olarak
düşünülür. Bu durumda denklem:
Qnet , giren  Wmil ,net , giren 
m
  V  n  dA
P

P

d

edV

m

e

m

e


  


dt KH
çıkan

 giren 

c
AC

Öte yandan e=u+ke+pe = u+V2/2+gz
olduğundan
P

P

d
V2
V2
Qnet , giren  Wmil ,net , giren    edV   m   u   gz    m   u   gz 
dt KH
2
2
çıkan  
 giren  

DAİMİ (SÜREKLİ REJİMDE) ÇALIŞAN
SİSTEMLER
Qnet , giren  Wmil ,net , giren




V2
V2
  m h 
 gz    m  h 
 gz 
2
2
çıkan

 giren 

Daimi akışta KH içeriğinde hiçbir değişiklik yoktur.
Tek giriş ve çıkışın bulunduğu durumlarda;
V22  V12
qnet , giren  wmil ,net , giren  h2  h1 
 g  z2  z1 
2
P1 V12
P2 V22
wmil ,net ,in  
 gz1 

 gz2   u2  u1  qnet , giren 
1 2
2 2
V12
P2 V22

 gz1  wpompa 

 gz2  wtürbin  emek ,kayıp
1 2
2 2
P1
Birim kütle başına yazıldığında birim
kJ/kg olur, güç birimi (W) ortadan kalkar
Daimi akışların enerji analizi

Enerji denkleminin tüm terimleri g ye bölünürse
P1 V12
P2 V22

 z1  hpompa 

 z2  htürbin  hK
1 g 2 g
2 g 2 g
Bu durumda her bir terim eşdeğer akışkan sütunu
yüksekliği cinsinden ifade edilmiş olur. Bu terimlere YÜK
adı verilir.
P
V

 z  Basınç Yükü  Hız Yükü  Po tan siyel Yük  HİDROLİK YÜK H
 g 2g
BERNOULLI DENKLEMİ

Enerji denkleminden iş, ısı ve kayıp terimlerini atarsak,
elde ettiğimiz denkleme Bernoulli Denklemi denir.
P1 V12
P2 V22

 z1 

 z2  sabit  H
1 g 2 g
2 g 2 g

Bu denklem bir akım çizgisi boyunca hareket eden bir
akışkan parçacığına Newton’un İkinci yasası
uygulanarak da bulunabilir (Bkz sayfa 186-187)
Statik, Dinamik ve Durma
Basınçları
Bernoulli Denklemi, her bir terim basınç biriminde olacak şekilde de ifade
edilebilir. Bu durumda terimler şu isimleri alır:
P
Statik Basınç

V2

2

 gz
Hidrostatik Basınç

PT
Toplam Basınç
Dinamik Basınç
DURMA BASINCI , Pdurma
Bernoulli Denklemi, her bir terim basınç biriminde olacak şekilde de ifade
edilebilir. Bu durumda terimler şu isimleri alır:
PİTOT TÜPÜ ile hız ölçümü
Statik, Dinamik ve Durma basınçları yandaki
gibi bir düzenekle ölçülebilir. Bu şekilde
durma basıncının ölçülmesi, kanal veya
borudaki hızın hesaplanmasına olanak verir.
Bu esasa göre çalışan ölçüm aygıtlarına
PİTOT TÜPÜ adı verilir.

P
Statik Basınç
V2

2
 Pdurma
Dinamik Basınç
V
2  Pdurma  Pstatik 

Hidrolik Eğim Çizgisi (HEÇ)
Enerji Eğim Çizgisi (EEÇ)
Akışkanın mekanik
enerjisini yükseklikler
cinsinden çizmek
çoğu zaman kolaylık
sağlar.
 HEÇ

P
HEÇ 
z
g

EEÇ
2
P V
EEÇ 

z
 g 2g
Hidrolik Eğim Çizgisi (HEÇ)
Enerji Eğim Çizgisi (EEÇ)
İdeal Bernoulli akışında EEÇ yatay bir
doğrudur. Ancak akış kesiti değişiyorsa
HEÇ için aynı şeyi söyleyemeyiz.
 Gerçek viskoz akışta EEÇ akış
yönünde düşme gösterir.



Akışkana enerji verildiğinde EEÇ dik bir
yükseliş, akışkandan enerji çekildiğinde
ise dik bir düşüş sergiler.
HEÇ’in akışkanla kesiştiği noktalarda
etkin basınç SIFIR olur. Bu kesişim
noktalarının üzerinde vakum meydana
gelir.