PowerPoint Sunusu

KONUNUN AŞAMALARI
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR
FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
a
b
 
 
   
x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn
P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn }
[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
xk= xk –xk-1 sayısı
[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
x1= x1 –x0
x2= x2 –x1
x3= x3 –x2
....................
Alt aralıkların
uzunlukları olmak
üzere
xn= xn –xn-1
[a.b] aralığının uzunluğu
b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
x1= x1 –x0
x2= x2 –x1
x3= x3 –x2
....................
Alt aralıklarının
uzunlukları
birbirine eşitse
xn= xn –xn-1
P bölüntüsüne
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
P düzgün bir bölüntü ise;
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsünün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölüntüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.
ba
xk=
= P
n
ÖRNEK:
[2,7] ARALIĞI İÇİN
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir
bölüntüdür.
11
5
2
x1=
3
3
16 11 5
x2=  
3 3 3
72 5
P 

3
3
16 5
x3= 7  
3 3
y
y=f(x)
m1 m2
m3
x1 x2 x3
m4
xk
mn
xn
a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b x
0
ALT TOPLAM
n
A(f , P )  m k .Δxk  m1 .Δx1  m2 .Δx2  ......  mn .Δxn
k 1
y
y=f(x)
M1 M 2
M3
x1 x2 x3
MK Mn
xk
xn
a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b x
0
ÜST TOPLAM
n
Ü(f , P)  M k .Δxk  M1 .Δx1  M2 .Δx2  ......  Mn .Δxn
k 1
y
y=f(x)
f(t1) f(t2)
0
f(tk)
a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn
x1
x
x
2
k
RİEMANN
TOPLAMI
n
f(tn)
x
x
n
R(f , P )  f ( t k ).Δxk  f (t1 ).Δx1  f (t 2 ).Δx2  ......  f (tn ).Δxn
k 1
Bu toplamlar arasındaki sıralama
n
m
k 1
n
n
k .Δx k 
Alt Toplam
 f (t
k 1
k
).Δxk 
Rieman Toplamı
M
k 1
k
.Δxk
Üst Toplam
ÖRNEK:
f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;
Alt toplamını
Üst toplamını
Riemann toplamını bulalım:
P, düzgün bir bölüntü olduğundan
ba 20 1


x1= x2= x3= x4=
4
4
2
P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}
Alt toplamı
n
A(f , P ) 
y
m
k 1
k
.Δx k
y=x2
0
1/2 1
3/2 2
x
m1=f(0)=0
m2=f(1/2)=1/4
m3=f(1)=1
m4=f(3/2)=9/4
n
A(f , P )   m k .Δxk  m1 .Δx1  m2 .Δx2  m3 .Δx3  m4 .Δx4
k 1
7
1 1 1
1 9 1

 0    1  
4
2 4 2
2 4 2
Üst toplamı
n
Ü(f , P)  Mk .Δx k
y
k 1
y=x2
M1=f(1/2)=1/4
0
1/2 1
3/2 2
x
M3=f(3/2)=9/4
n
M2=f(1)=1/4
M4=f(2)=4
Ü(f , P)  Mk .Δx k  M1 .Δx 1  M2 .Δx 2  M3 .Δx 3  M4 .Δx 4
k 1
15
1 1
1 9 1
1

  1    4
4
4 2
2 4 2
2
Riemann toplamı:
n
R(f , P)   f (t k ).Δx k
y
k 1
y=x2
1/2
0
1
4
t1 
1
21
2
4
0
1
3
4
3/2
5
4
2
x k 1  x k
f (t k ) 
2
x
7
4
1
1
3
t2  2

2
4
t3 
3
2 5
2
4
1
3
2
7
t4  2

2
4
n
Ü(f , P)   Mk .Δx k  M1 .Δx 1  M2 .Δx 2  M3 .Δx 3  M4 .Δx 4
k 1
1
3
5
7
Ü(f , P)  f ( ). Δ 1  f ( ). Δx 2  f ( ). Δx 3  f ( ). Δx 4 
4
4
4
4
1 1 9 1 25 1 49 1

 
 
 
 
16 2 16 2 16 2 16 2
21
8
f:[a,b]  R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir
bölüntüsü P olsun.
lim A(f , P)  lim Ü(f , P)  s
P 0
P 0
ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyonunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.
b
 f (x ).dx  s
a
P  0 olması ne demektir?
[a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunluklarının SIFIRA yaklaşması demektir.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dikdörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı
ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
P parçalanması, düzgün bir
parçalanma olduğundan;
P 0 n
b


lim  f (t k ). Δx k    f (x ).dx
n
 k 1
 a
n
ÖRNEK:
3
2
x
 dx belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:
0
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;
k{0,1,2,....,n} için,
ba 30 3
P  Δx k 


n
n
n
t k  a  k.Δx k olarak seçilirse;
3 3k
tk  0  k . 
n
n
3
n

3k 3 
2
  f (
).  
0 x dx  lim
P 
n n
 k 1
 n 9k 2 3 
 27 n 2 
lim   2    lim  3   k 
P 
n  P  n k 1 
 k 1 n
 27 n.(n  1).(2n  1) 
lim  3 

P 0 n
6


 27.(2n3  3n2  n) 

lim

3

n
6n


27.2
9
6
3
x
0
2
dx  9
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
f: [a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b]  R fonksiyonu
(a,b) aralığında türevli ve  x(a,b) için, F’(x)=f(x)
ise,
b
 f (x)dx  F(x)
a
b
a
 F(b)  F(a) dır .
ÖRNEK:
2
 (3x  4)dx
belirli int egralini bulalım :
1
3x 2
 (3x  4)dx  2  4x  c
3.2 2
F( 2 ) 
 4.2  14
2
2
3.12
11
F(1) 
 4.1 
2
2
11 17
1 (3x  4)dx  F(2)  F(1)  14  2  2
f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;
b
b
b
a
a
a
 [f (x)  g( x)]dx   f (x)dx   g(x)dx
π
π
π
π /2
π /2
π /2
 (3. sin x  cos x)dx =  3. sin xdx +  cos xdx
=

3(-cosx) +


sinx


3(-cosx) +

-3.[(cos - cos(/2)] +

sinx

[sin  - sin (/2)]
[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)
2
b
 c. f ( x)dx
a
b
 c.  f ( x)dx
a
8
8
3
3
  4.ln x.dx  4. ln x.dx
5
5
1
1
3
3
5
.
x
.
dx

5
.
x

 .dx
6

2
3 .dx

x
6
dx
3 .
x
2
a
 f ( x)dx
 0
a
3
 ln x.dx  0
3
1
3
x
 .dx  0
1
2
dx
2 x  0
b
 f ( x)dx
a

a
 f ( x)dx
b
5
1
1
5
2
2
3
x
dx


3
x

 dx
x3
3.
3
5
 5 3  13  125  1  124
1
x3
 3.
3
1
5
 (13  5 3 )  (1  125)  (124)  124
[a,c] aralığında integrallenebilir bir f
fonksiyonu için, a<b<c ise;
c
 f (x)dx
a
b
  f ( x )dx 
a
c
 f (x)dx
b