LİMİT I. TANIM: f, a yakınındaki x değerleri için tanımlı bir fonksiyon olsun. Alınan ε>0 sayısına karşılık |f(x)-L| < ε olacak şekilde |x-a| < δ koşulunu sağlayan δ > 0 sayısı bulunabiliyorsa ; x , a’ya yaklaşırken f(x) , L ye yaklaşır denir. lim f(x) = L yazılır. x a II. TANIM: Terimleri A-{a} kümesinde bulunan ve a sayısına yakınsayan her (xn) dizisi için elde edilen (f(xn)) dizileri aynı bir L sayısına yakınsıyorsa , bu L sayısına x , a ya yaklaştığında f(x) in limiti denir. III. TANIM: x’ i a’nın yeterince küçük bir komşuluğu içinde aldığımızda, f(x)’in olabildiğince yaklaşabileceği sayıya ‘’x , a ya giderken f(x) in limiti’’ denir. a, c R için; lim x a x a lim c c x a dir. dır. lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a lim (cf ( x)) c lim f ( x) x a x a lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x) x a x a lim f ( x) f ( x) lim x a g ( x) lim g ( x) x a x a lim g ( x) 0 x a x a lim x n a n x a 134 ÖRNEK: lim (3x 2 2 x 1) 3.2 2 2.2 1 9 x 2 f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinom fonksiyonlar için ; ( a R ) lim f ( x) f (a) dır. şeklindeki x a ÖRNEK: ( x 2 3x 2) (1) 2 3(1) 2 x 2 3x 2 xlim 6 1 lim 3 3 3 x 1 2 x x 4 7 lim (2 x x 4) 2(1) (1) 4 x 1 lim f ( x) f (1) x 1 6 7 ÖRNEK: ( x 3 x 2 4 x 3) x 3 x 2 4 x 3 lim x 2 lim x 2 x 2 3x 6 lim ( x 2 3x 6) x2 2 2 4(2) 3 1 2 4 2 3(2) 6 3 2 lim f ( x) f (2) x 2 f ( x) P( x) Q( x) 1 4 şeklindeki Rasyonel fonksiyonlar için; a tanım kümesinin bir elemanı ise lim f ( x) f (a) dır. x a ÖRNEK: lim x 2 x2 ? x x2 2 lim ( x 2 x 2) 2 2 2 2 0 x 2 lim x 2 lim ( x 2) 2 2 0 x 2 x2 x2 1 1 lim lim x 2 x 2 ( x 1)( x 2) x 1 3 x x2 2 135 ÖRNEK: x 2 4x 3 ? x 1 2 x 2 x 1 lim lim ( x 2 4 x 3) (1) 2 4(1) 3 0 x 1 lim (2 x 2 x 1) 2(1) 2 (1) 1 0 x 1 x 2 4x 3 ( x 1)( x 3) x3 2 lim lim 2 x 1 2 x x 1 x 1 ( x 1)(2 x 1) x 1 2 x 1 3 lim ÖRNEK: x3 x 2 2x lim 2 ? x 2 x x 6 lim ( x 3 x 2 2 x) 2 3 2 2 2(2) 0 x 2 lim ( x 2 x 6) 2 2 2 6 0 x 2 lim x 2 x 3 x 2 2x x( x 2)( x 1) x( x 1) 6 lim lim 2 x 2 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 5 x x6 ÖRNEK: 3x 2 2 x 1 ? 1 3x 1 x lim 3 lim (3x 2 2 x 1) 0 x 1 3 lim (3x 1) 0 x 1 3 3x 2 2 x 1 (3x 1)( x 1) 4 lim lim ( x 1) 1 1 1 3x 1 3x 1 3 x x x lim 3 ÖRNEK: 3 lim t 1 3 t 2 2t 1 1 ? t 1 t 2 t 2 2t 1 1 t 2 (1 2t t 2 ) (t 1) 2 lim 1 2 lim lim lim (t 1) 0 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t t t 2 (t 1) 136 x( x 1) 3 3000 19 2x 2 1 ÖRNEK: lim ÖRNEK: lim ( x 2 1) 23 10 23 ÖRNEK: lim 17 x 3 23x 2 9 7 x 3 x 3 x 1 lim g ( x) b ve b , f ’in tanım kümesinde ise ; x a dir. lim f ( g ( x)) f (lim g ( x)) x a n N x a ve a , tanım kümesinde ise ; için : f ( x) n x lim f ( x) lim n x n a dır. lim n g ( x) n lim g ( x) dir. x a x a x a x a ÖRNEK: lim x 2 3x lim ( x 2 3x) 10 ÖRNEK: lim (t 5t 1) lim (t 5t 1) ÖRNEK: x 2 x 2 2 3 3 t 1 3 t 1 x 4 x 4 3 2 lim (2 x 3x 5) lim (2 x 3x 5) x 1 5 2 3 lim 4 x 3 2 x 4 lim ( x 3 2 x) 4 56 ÖRNEK: 2 2 3 2 x 1 137 1 3 2 4 1 3 2 8 ÖRNEK: 3 lim x 4 x 2 3x 3 x 2x 3 3 4 2 3(4) 3 4 2(4) 3 1 4 ÖRNEK: x2 1 1 x2 1 1 x2 1 1 lim x 0 x 0 x2 x2 x2 1 1 x2 1 1 lim lim 2 2 x 0 2 x 0 x ( x 1 1) x 1 1 2 lim ÖRNEK: 3x 4 2 3x 4 2 3x 4 2 lim x 0 x 0 x x 3x 4 2 3 3 lim x 0 3x 4 2 4 lim ÖRNEK: lim x 4 x 2 x 2 lim x 4 x 4 x4 g ( x) f ( x) h( x) lim f ( x) L x a ÖRNEK: ve x 2 x 2 x 4 1 x 2 lim g ( x) lim h( x) L x a x a 1 4 ise; dir. 1 lim x 2 sin( ) ? x 0 x 1 ( x 0 için ) 1 sin( ) 1 x 1 x 2 x 2 sin( ) x 2 x 2 g ( x) x h( x) x 2 dersek ve lim g ( x) lim h( x) 0 olduğundan ; x 0 lim x 0 1 lim x 2 sin( ) 0 x 0 x dır. 138 g ( x) f ( x) h( x) lim sin x 0 x 0 dir. lim cos x 1 x 0 sin x 1 x 0 x dir. lim ÖRNEK: 1 2 sin 2 x 1 2 cos x 1 lim x 0 x 0 x x x x sin sin x 2 ) lim ( sin x ) lim 2 0.1 0 lim ( sin x 0 x 0 x 0 x 2 x 2 2 2 lim ÖRNEK: lim x 0 sin 4 x sin 4 x 4 lim 4(1) 4 x 0 x 4x x x sin 5 1 lim 5 1 x 5 x 0 x 5 5 sin ÖRNEK: lim ÖRNEK: lim ÖRNEK: lim ÖRNEK: lim ÖRNEK: lim x 0 x 0 sin 99 x sin 99 x 99 lim 99 x 0 x 99 x x 1 1 lim x 0 sin 99 x x 0 sin 99 x 99 x tan x sin x 1 lim 1.1 1 x 0 x 0 x x cos x x 0 tan 7 x tan 7 x 7 lim 7.1 7 x 0 x 7x 139 ÖRNEK: sin 4 x sin 4 x 4 sin 4 x 4 x 4 lim lim lim x lim x 0 sin 6 x x 0 sin 6 x x 0 sin 6 x 6 x0 6 x 6x sin 4 x 4x 2 sin 6 x 3 6x ÖRNEK: sin 5 x sin 5 x 5 sin 5 x 5 x 5 lim lim lim x lim x 0 sin 3 x x 0 sin 3 x x 0 sin 3x 3 x0 3 x 3x sin 5 x 5x 5 sin 3x 3 3x ÖRNEK: x x sin sin 1 x 5 5 sin x x 1 x 5 5 sin 5 x 5 5 lim 5 1 lim lim lim x 0 sin 3 x x 0 sin 3 x x 0 sin 3x 3 x0 sin 3x 15 3 x 3x 3x ÖRNEK: tan 8 x tan 8 x tan 8 x 8 tan 8 x 8 x 8 lim 8 x 2 lim lim x lim x 0 tan 4 x x 0 tan 4 x x 0 tan 4 x 4 x0 tan 4 x 4 x 4x 4x lim f ( x) lim f ( x) L lim f ( x) L x a x a x a ÖRNEK: f(x) = x2 ; x 2 x3 ; x>2 lim f ( x) ? x 2 lim f ( x) lim x 2 2 2 4 x 2 lim f ( x) lim x 3 2 3 8 x 2 x 2 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x 2 x 2 x 2 140 YOK x 2 ÖRNEK: f(x) = 6x2-3x+1 ; x < -1 3-3x2-2x3 ; x 1 lim f ( x) ? x 1 lim f ( x) lim (6 x 2 3x 1) lim (6(1) 2 3(1) 1) 10 x 1 x 1 x 1 lim f ( x) lim (3 3x 2 x ) lim (3 3(1) 2 2(1) 3 ) 2 2 x 1 3 x 1 x 1 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK x 1 x 1 x 1 ÖRNEK: f(x)= x2-2x 1-2x3 7x-1 ; x 2 ; -2 < x 1 ; x>1 lim f ( x) ? lim f ( x) ? x 2 x 1 lim f ( x) lim ( x 2 2 x) lim ((2) 2 2(2)) 8 x 2 x 2 x 2 lim f ( x) lim (1 2 x ) lim (1 2(2) 3 ) 17 3 x 2 x 2 x 2 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x 2 x 2 x 2 YOK lim f ( x) lim (1 2 x 3 ) lim (1 2(1) 3 ) 1 x 1 x 1 x 1 lim f ( x) lim (7 x 1) lim (7(1) 1) 6 x 1 x 1 x 1 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK x 1 x 1 x 1 a R için ; lim x a x a dır. 141 () () a () () () a () a 0 a() a 0 a() a 0 a() a 0 a() a0 a , 0 a 0 a 0 a , 0 a 0 a 0 BELİRSİZ () () BELİRSİZ 0.() 0 0 ÖRNEK: ÖRNEK: ÖRNEK: BELİRSİZ BELİRSİZ lim x 1 x 1 0 lim x2 x 3 1 1 x 0 x 1 x 1 lim 1 x ( ) 2 1 1 2x 1 0 142 ÖRNEK: ÖRNEK: lim x 1 1 2 6 x x 0 lim x 1 ? ( x 2)( x 3) x 2 x 3 x 1 2 x 3 ( x 2)( x 3) 0 x 1 2 lim x 3 ( x 2)( x 3) 0 lim lim x 3 x 1 ( x 2)( x 3) ÖRNEK: YOK lim 2 x 2 3x 5 lim (2 x 2 3x 5) 6 6 x 1 x 1 t 6 ÖRNEK: lim t 4 2t 1 ÖRNEK: lim 1 x2 ÖRNEK: lim sin x 0 x 0 1 x lim t 4 t 6 2t 1 2 3 YOK ÖRNEK: f(x) = x ; x 2 x2 ; x > 2 lim f ( x) ? x 2 lim f ( x) lim x 2 x 2 lim f ( x) lim x 2 4 x 2 x 2 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x 2 x 2 x 2 143 YOK x 2 ÖRNEK: lim (2 x 5) 2(3) 5 6 5 11 ÖRNEK: lim (6 x 1) 6(1) 1 5 ÖRNEK: x 3 x 1 lim (3x 1) 3(1) 1 4 x 1 2 32 x) 5 5 ÖRNEK: lim (7 ÖRNEK: lim (5 x 2) 8 ÖRNEK: 3 x 2 x 2 lim (4 6 x) 22 x 3 lim (mx b) ma b x a ÖRNEK: lim x 2 25 ÖRNEK: lim x 2 ÖRNEK: lim x 5 x 4 x 2 x2 x2 1 1 lim lim x 2 x 2 ( x 2)( x 1) x 1 3 x x2 2 f(x) , a’nın çıkartılmış komşuluğunda sınırlı bir fonksiyon ve lim g(x) = 0 iken ; x a lim f(x).g(x) = 0 dır. x a ÖRNEK: 1 lim (x.sin ) = 0 dır. x 0 x 144 lim x 0 sin x =1 x , lim x 0 tan x =1 x Eğer lim f(x) = L ve g(x), L de sürekli ise x a lim g[f(x)] = g(L) dir. x a ÖRNEK: lim cos(sin x) = 1 x 0 ∞ ; n çift lim x 0 1 1 =∞ , lim n = n x 0 x x -∞ ; n tek lim x 1 =0 xn , m çift lim x x m n = ∞ , lim x x m n = - , m,n tek L () L () L() (L 0) L 0 () () ()() L 0 0 145 ÖRNEK: 1 lim (cos x + ) = x 0 x 2 5 lim ( x 3 x 3 ) = x sin x x2 lim x 0 a >0 olmak üzere ; lim x 00 , b dır. 2a ax 2 bx c a lim x x 0 , 1 BELİRSİZDİR. ÖRNEK: lim 2 x 3 128 x 2 x 4 lim 2.4 3 128 2 x 3 128 x4 x 2 4 2 lim x 4 0 0 olduğundan; 2( x 4)( x 2 4 x 16)( x 2) ( x 2)( x 2) lim 2( x 2 4 x 16)( x 2) 384 x4 146 lim [f(x)]g(x) = c şeklindeki ifadelerde; x a lim f(x) = A ve x a lim g(x) = B ise ; x a c=AB dir. lim f(x) = 1 ve lim g(x) = ise ; x a x a lim p(x)=0 koşulu ile f(x)=1+p(x) değişkeni kullanılarak x a c= lim 1 p( x) p ( x ) x a 1 p ( x ). g ( x ) e lim[ f ( x ) 1]. g ( x ) lim [f(x)]g(x) = lim eg(x).lnf(x) = eL dir. x a x a ÖRNEK: lim xx = lim ex.ln x = e0 = 1 x 0 x 0 1 1 lim x x = lim e x x ln x x e0 1 1 lim 1 x x = lim e x 1 x 0 ln(1 x ) x 0 e x 1 1 lim 1 = lim 1 t t = e x t 0 x r lim p.1 x x t.x p.e r .t lim a x 1 ln a x lim x 1 1 ln x x 0 x 1 , lim x 0 147 ex 1 1 x SÜREKLİLİK: f(x) , x=a da tanımlı , lim f(x) limiti var ve x a lim f(x) = f(a) ise f , x=a da süreklidir denir. x a ÖRNEK: f(x) = x2 , x 0 ise 17 , x = 0 ise fonksiyonu ; lim f ( x) 4 f (2) olduğundan x=2 için sürekli , lim f ( x) 0 f (0) olduğundan x=0 için sürekli değildir. x 2 x 0 ÖRNEK: -2 sin x f(x) = ; x< a sin x + b ; cos x 2 ; x> ise 2 x ise 2 ise 2 fonksiyonu x R için sürekli ise a=? ve b=? ÇÖZÜM: f( 2 ) = a.sin( 2 )+b=-a+b lim (-2.sin x) = 2 x ( ) 2 -a+b = 2 f( lim (a.sin x + b) = -a+b x ( ) 2 (1) ) = a.sin( )+b=a+b 2 2 lim (a.sin x + b) = a+b x ( ) 2 a+b = 0 (2) lim (cos x) = 0 x ( ) 2 (1) ve (2) den 148 a=-1 ve b=1 bulunur. ÖRNEK: lim f ( x) ? -1 lim f ( x) ? YOK lim f ( x) ? 0 lim f ( x) ? -2 lim f ( x) ? -2 lim f ( x) ? 0 lim f ( x) ? 2 lim f ( x) ? YOK x 4 x 4 x 2 x 0 x 0 x 2 x 4 x 4 lim f ( x) ? 2 lim f ( x) ? 0 lim f ( x) ? 0 lim f ( x) ? -2 lim f ( x) ? -2 lim f ( x) ? YOK lim f ( x) ? -2 f (4) ? -1 x 4 x 2 x 2 x 0 x 2 x 2 x 4 f (2) ? 0 f (0) ? -2 f (2) ? 0 f (4) ? -1 ÖRNEK: lim x ? 0 lim x ? lim x ? 2 x 1 x x 0 x x 1 x lim x 1 x ? 1 x lim x ? 0 lim x ? 1 x 0 x 1 x x ÖRNEK: lim x 1 1 x 1 x 3 ? 3/2 lim x 1 149 x x 2 2 1 10 2x 1 5 ? 210 Aşağıdaki limitleri (varsa) bulunuz? x 1 a > 0 için lim x x k lim 1 ? x x 1 3 25 x 2 lim ? x 5 x 5 1 lim x cos ? x 0 x x 9 lim x 4 9 x x 3 x 43 4 x ? ? x 5 x 2 10 x 25 lim x 2 7 x 10 ? x2 4 x 0 lim x 0 x x sin x ? x 1 ? lim x 3 ? x 0 3 lim x 0 x 0 1 1 3 8 ? lim x x2 x 2 x 0 x 2 12 12 ? 3 x 3 27 lim ? lim e 2 x ? lim x 0 x 2 3 1 1 lim ? x 0 x 5 x 5 x 3x 15 x2 lim 5 x lim ? x 25 25 x lim x xn ? n n! lim a x ? ln x lim ? x x lim lim a x ? -1 < a < 1 için lim x x ? lim x 1 9 x 3 ? x lim x 150 x3 8 2 ? x3 x2 x 2 5x 4 ? 4x 2 2 ? 3x 1 lim 4 x 2 7 x 2 x ? x lim x 4x 2 2 ? 3x 1 YANITLAR : 1) 1 2) 0 15) -6/25 16) 0 3) 1 4) 0 17) YOK 18) 0 k 5) 0 6) e 19) 1 20) 1/12 7) 0 8) -10 21) -3/16 22) + 9) -6 10) 4 3 23) -1/6 24) 2/3 11) 0 12) -3/4 25) 7/4 26) -2/3 13) 1/10 14) 27 Yukarıda grafikleri verilen f ve g fonksiyonları için aşağıdaki limit değerlerini (varsa) bulunuz? 1. lim f ( x) ? x 1 lim f ( x) ? x 1 lim f ( x) ? x 1 f (1) ? 2. lim f ( x) ? x 0 lim f ( x) ? x 0 3. lim f ( x) ? x 11 lim f ( x) ? x 0 f (0) ? lim f ( x) ? x 1 f (1) ? 4. lim g ( x) ? x 0 lim g ( x) ? x 0 5. lim g ( x) ? x 2 lim g ( x) ? x 2 lim g ( x) ? x 0 g (0) ? lim g ( x) ? x 2 g (2) ? 151 lim f ( x) ? x 1 6. lim f ( x 2) ? lim f x 2 ? x 1 x 0 7. lim f g x ? x 1 lim g f x ? x 2 8. lim f x g x ? x 1 lim 2 f ( x) 3g ( x) ? lim f x .g x ? x 2 x 0 YANITLAR: 1) 2 ; 2 ; 2 ; 3 2) 2 ; 2 ; 2 ; 2 3) 2 ; 1 ; YOK ; 3 4) 1 ; 1 ; 1 ; 2 5) 1 ; 0 ; YOK ; 0 6) 1 ; 2 7) 1 ; 1 8) 4 ; YOK ; 7 ALIŞTIRMALAR: 1. Yukarıda grafiği verilen f ve g fonksiyonları x’in hangi değerleri için sürekli değildir? x 1 x3 x 2 ; x 1 için 2. f(x) = -2 fonksiyonu ; x=1 için x = 1 de süreklimidir? 1 x ; 0 ; x=0 için x 0 içn 3. f(x) = fonksiyonu x = 0 da süreklimidir? 152 x ; 0 x 1 için 4. f(x) = x ; x > 1 için 0 ; x = 1 için fonksiyonu x = 1 de süreklimidir? 5. f fonksiyonu için ; f(1) = 1 , f(2x) = 4f(x)+6 ve f(x+2) = f(x)+12x+12 f(6) = ? 6. f(x) = x2+6x+2 fonksiyonu için ; YANITLAR: 1) f fonksiyonu x=-1 ve x=1 de g fonksiyonu x=0 ve x=2 de 2) SÜREKLĠDĠR. 3) DEĞĠLDĠR. 4) DEĞĠLDĠR. 5) 106 Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz: 5x 1. lim x 3 2 3x 2. lim x 2 2 3. lim x 3 8 x 13 x2 5 x 10 x2 4 x 4 81 2 x 2 5x 3 153 f f 1 x ? 6) 2 ? ise 4. 1 1 x 2 lim x 2 x 3 8 3 5. lim x 4 x5 x4 x 27 6. xlim 1 27 x3 3 7. lim x 1 1 3 x 1 1 x 4 1 sin 5 x 8. lim x 0 3x cos 2 x 1 9. lim x 0 cos x 1 x3 7x x3 10. lim 11. lim 12. x3 1 lim x 1 ( x 1) 2 13. lim x 0 x 0 x 2 x 4 5x 3 2 x2 4 tan 2 x x 2 154 14. f(x) = 1 x2 ; x < -1 ise 2 ; -1 x < 1 ise 3 ; x = 1 ise x+1 ; 1 < x 2 ise 1 ; x > 2 ise ( x 2) 2 lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1 lim _ f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x2 lim f ( x) x 1 x 1 x2 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1 x 3 x5 fonksiyonu için ; x2 lim f ( x) x1, 5 değerlerini bulunuz. 15. f(x) = a + bx ; x > 2 ise 3 ; x = 2 ise b – ax2 ; x < 2 ise fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olması için a ve b kaç olmalıdır? 155 ÇÖZÜMLER : 1. 5 x 2 8 x 13 5.32 8.3 13 8 = lim 2 x 3 4 x2 5 32 5 x 10 3.2 2 2 10 0 = 0 22 4 x2 4 ( x 2)(3x 5) 3x 5 3.2 5 11 lim lim x 2 ( x 2)( x 2) x 2 x 2 22 4 3x 2. lim x 2 2 x 4 81 3 4 81 0 = 2 2 2 x 5 x 3 2.3 5.3 3 0 3. lim x 3 ( x 3)( x 3)( x 2 9) ( x 3)( x 2 9) lim x 3 x 3 ( x 3)(2 x 1) 2x 1 lim 4. (3 3)(3 2 9) 108 2.3 1 7 1 1 1 1 0 lim x 2 = 2 3 2 x 2 x 3 8 (2) 8 0 x2 1 lim 2 2 x 2 2 x( x 2)( x 2 x 4) 2 x( x 2 x 4) 1 1 2 2.(2)((2) 2.(2) 4) 48 lim x 2 3 5. lim x 4 x5 4 45 0 = x4 44 0 lim (3 x 5 )(3 x 5 ) 4 x lim x4 ( x 4)(3 x 5 ) ( x 4)(3 x 5 ) 1 1 1 lim x4 6 3 x 5 3 45 x 4 x 27 27 27 6. xlim = 1 1 27 x3 3 27 3 3 1 3 lim 2 3 1 3 0 0 ( x 3)( x 3x 9) 1 3 x 27 x 3 2 3 2 3 1 3 lim ( x 3x 9) x 27 1 3 27 3.27 9 9 3.3 9 27 156 7. lim x 1 1 3 x 1 1 4 x 1 1 1 = 1 4 x 1 1 1 1 lim 1 3 2 1 1 1 ( x 3 1)( x 3 x 3 1)( x 4 1)( x 2 1) 1 1 2 1 1 ( x 4 1)( x 4 1)( x 2 1)( x 3 x 3 1) 1 lim 1 1 ( x 1)( x 4 1)( x 2 1) 2 3 x 1 0 0 1 3 lim x 1 ( x 1)( x x 1) 1 4 1 2 (1 1)(1 1) 2 3 1 3 1 1 1 sin 5 x sin 0 8. lim = x 0 1 ( x 4 1)( x 2 1) 2 3 1 3 x x 1 4 3 0 3x 0 0 5 sin 5 x 5 sin 5 x sinh lim . lim . lim 1 x 0 5 x 0 3 h 0 h 3x 5x 5 tür. 3 cos 2 x 1 cos 0 1 9. lim = x 0 cos x 1 cos 0 1 0 0 cos 2 x 2 cos x 1 2 2 cos 2 x 2 2(cos x 1)(cos x 1) lim x 0 x 0 cos x 1 cos x 1 lim 2(cos x 1) 2(cos 0 1) 2(1 1) 4 lim x o x3 7x 0 = 3 x 0 0 x 7 7 lim 1 2 1 1 x 0 x 0 10. lim 11. lim x 0 x 4 5x 3 2 x2 4 = 3 0 157 12. x3 1 = lim x 1 ( x 1) 2 0 0 ( x 1)( x 2 x 1) x2 x 1 lim BULUNAMAZ... x 1 x 1 x 1 ( x 1) 2 lim ÇÜNKÜ : 13. h x 3 0 lim x 2 3 dur. 0 tan 2 x x = 0 0 2 dersek ; 2 tan(2h ) 1 tan 2h tan tan 2h lim lim . lim 2 h 0 h 0 h 1 tan 2h. tan h 0 h h 14. f(x) = 1 x2 ; x < -1 ise 2 ; -1 x < 1 ise 3 ; x = 1 ise x+1 ; 1 < x 2 ise 1 ; x > 2 ise ( x 2) 2 lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1 lim _ f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x2 lim f ( x) x 1 x 1 x2 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1 x 3 x5 x2 lim f ( x) x1, 5 değerlerini bulunuz. lim f ( x) lim 2 2 x 1 x 1 1 lim _ f ( x) lim 2 1 x 1 x x 1 lim f ( x) BULUNAM AZ x 1 158 fonksiyonu için ; lim f ( x) lim ( x 1) 2 x 1 x 1 lim f ( x) lim 2 2 x 1 x 1 lim f ( x) 2 x 1 1 1 lim f ( x) lim 2 x2 x2 ( x 2) 0 lim f ( x) lim_ ( x 1) 3 x2 x2 lim f ( x) BULUNAM AZ x 2 1 1 lim f ( x) lim 2 x 3 x 3 x 9 1 lim f ( x) lim x 5 x 5 ( x 2) 2 1 9 lim f ( x) lim ( x 1) 2,5 x 1, 5 x 1, 5 Fonksiyonun grafiği aşağıdadır. Bulunan limit değerleri grafikten de görülebilir. 1 1 lim f ( x) lim 2 0 x x x 1 lim f ( x) lim x x ( x 2) 2 1 0 159 15. f(x) = a + bx ; x > 2 ise 3 ; x = 2 ise b – ax2 ; x < 2 ise fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olması için a ve b kaç olmalıdır? lim f ( x) lim (a bx) a 2b x 2 x 2 lim f ( x) lim (b ax 2 ) b 4a x 2 x 2 f (2) 3 x=2 de sürekli olması için lim f ( x) lim f ( x) f (2) olmalıdır. x 2 x 2 a + 2b = 3 b - 4a = 3 a 1 3 denklem sisteminden ve b 5 bulunur. 3 NOT: 14. Sorudaki fonksiyon ; x=-1 , x=1 ve x=2 noktalarında sürekli DEĞĠLDĠR. 160 Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz. 1. 2. 3. 4. 100 x2 5 lim x lim x 7 x 20 3 lim (3x 3 1000 x 2 ) x lim ( x 4 5 x 2 1) x 5. lim ( x 5 x 2 x 10) 6. x7 x 3 x 5 7. 7 x 2 x 100 lim x 2 x 2 5x 8. lim x 2 3x 7 x 3 10 x 4 9. lim 7 x 2 x 11 4 x 10. lim x3 7x 4x3 5 x lim x x x 161 11. 12. 13. 14. lim x x 2 7 x lim x x 2 7 x x3 lim x 9 x 2 5x lim x x3 9 x 2 5x x 6 500 x 6 500 15. lim log 16. x 3 lim arccos 2 x 2 x 10 17. lim x x ex 4 5e 3 x 5x x 3 x 2 x 18. lim 19. lim 3 x 3 2 x x 1 x 162 ÇÖZÜMLER : 1. lim 2. lim 100 100 0 2 x 5 x x 3. 7 7 0 x 20 3 lim (3x 3 1000 x 2 ) x UYARI : 0 dır. lim x 2 (3x 1000) . x 4. lim ( x 4 5x 2 1) x 5. lim ( x 5 x 2 x 10) x lim x 2 ( x 3 1) ( x 10) . x 6. x7 x 3 x 5 lim x1 lim x x 3 7 1 x lm 5 x 3 x 7 x 1 0 1 5 30 3 x 7 x 2 x 100 2 x 2 x 5x 1 100 1 100 x2 7 2 7 2 x x x x 700 7 lim lim x x 5 5 20 2 2 x2 2 x x 7. lim UYARI : 6 ve 7. sorularda pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan limit değeri ; En büyük dereceli terimlerin katsayıları oranıdır. 163 x 2 3x 7 8. lim x x 3 10 x 4 7 1 3 1 3 7 x3 2 3 2 3 x x x x 000 0 0 lim lim x x x x 10 4 1 0 0 1 10 4 1 2 3 x 3 1 2 3 x x x x 7 x 2 x 11 9. lim x 4 x 1 11 1 11 x2 7 2 7 2 x x x x 700 7 lim lim x x 4 1 0 0 4 1 x2 2 2 x x x x 10. x3 7x 4x3 5 lim x lim x3 7x x3 7x lim 3 x 4 x 5 4x 3 5 11. lim x x 2 7 x lim x x x lim x 12. x2 7 x x2 7 x 7 x x2 7 x2 7 1 1 4 2 7 7 0 lim x x 2 7 x UYARI : lim lim x x x 2 ax b lim x x a dır. 2 7 lim x x lim 2 x lim x x 2 7 lim x x lim 0 0 m x x x2 x x x 164 13. lim x x3 9 x 2 5x 3 3 x1 1 x lim x 1 0 1 lim x x 3 5 5 90 x 9 9 x x 14. lim x x3 9 x 5x 2 3 3 x 1 1 x x 1 0 1 lim lim (1) x x 3 5 5 90 x 9 9 x x 15. lim log x x 6 500 log 6 x 500 x 6 500 x 6 500 log(1) 0 lim log 6 log lim 6 x x 500 x x 500 16. x 3 lim arccos 2 x 2 x 10 3 = arccos 3 x 3 3 3 arccos 0 arccos arccos lim 2 x x 10 2 2 2 6 17. ex 0 lim 0 x 4 5e 3 x 4 5.0 UYARI : lim e x e x 1 1 0 e lim e x e x 165 5x 18. lim x x x 3 2 x 5 x 1 lim x 5 x x 3 00 2 5x 5x 19. x lim 3 x 3 x lim 3 x 3 2 x 1 x 0 1 1 x lim 3 2 x x 1 x 3 1 2x x 1 1 x lim 3 . x 1 9.(0 1) 0 9 x 3 2 Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup olmadıklarını belirtiniz? 1. f ( x) x 2 4 x=0 2. f (x) x2 x 2 x 2 3x 2 3 3. ; x2 ; x=2 x=2 x 1 x 1 ; x 1 f (x) x=1 0 ; x=1 4. ; x2 x 3 f (x) x=-3 -3 ; x 3 166 5. 2|x| x 2 ; f (x) x=-2 2x ; x < -2 6. f ( x) x3 1 x 1 x=1 7. f ( x) x x x=1 8. f ( x) 2x x x 1 x=0 9. 2 2x ; x<1 f (x) x=1 x+1 ; x>1 10. f (x) 1 x 0 11. x3 x0 ; x=0 ; x=0 x 1 ; f (x) x=1 -1 ; x=1 x ; 0 x 1 12. f (x) x ; x>1 0 ; x=1 x=1 167 13. f (x) x 1 x3 x 2 x=1 -2 ; x=1 1 x 1 14. f ( x) x=1 15. f ( x) 3 x 1 16. f (x) x 1 ; |x+2| ; -1 ; x=0 x 1 x=-1 x=-1 17. x2 1 1 ; x0 x2 f (x) 1 2 ; x=0 x=0 18. x4 2 ; x>0 x f (x) x-0,25 19. f ( x) ; x=0 x0 1 x 1 x=-1 20. f (x) x 1 ; x 1 x=1 x ; x<1 168 21. f ( x) x 2 25 x5 x=5 22. 1 ; x0 x sin f (x) 0 23. f ( x) x=0 ; x=0 cos x x 24. f ( x) tan x=1 x x=1 2 25. sin 2 x cos 2 x ; x > 1 f (x) x=1 x 1 1 ; 26. arctan f (x) x 1 ; x>0 x x0 ; 2 x=0 27. sin( x 2 2 x 1) x 12 ; x 1 f (x) x=1 0 ; x=1 28. sin x x f (x) ; x0 x=0 0 ; x=0 169 29. x 2 3 e ; x2 f (x) x=2 e x 1 ; x<2 30. 1 ln x ;x> e 2 f (x) x= e 0 ; x e 31. f (x) e ln x x=0 ex 32. f (x) x=0 ex 33. x ; e x 1 x 1 f (x) x=-1 e 1 ; x=-1 34. f (x) e 1 x 0 ; ; x0 x=0 x=0 35. ln x ln x ; x>0 f (x) x=0 1 ; x0 170 36. f ( x) ln ln x 37. x=1 e x ln x ; x > 1 f (x) ex ; x<1 1 ; x=1 x=1 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz : 25 x 2 64 1. lim x 1.6 5x 8 2. lim x 2 2x 3 x 2 2x 1 3. lim x 3 64 x4 x 0 x 4 x3 2x 2 4x 8 4. lim 4 x 2 x 8 x 2 16 5. lim x 0 (1 x)(1 2 x)(1 3x) 1 x (1 x) 5 (1 5 x) 6. lim x 0 x2 x5 7. lim cos 3 x sin 3 x x 8. lim x 0 sin 2 x x 171 ÇÖZÜMLER: Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup olmadıklarını belirtiniz? 1. f ( x) x 2 4 f(0)= 4 R x=0 tanımlı değildir. Sürekli değildir. 2. f (x) x2 x 2 x 2 3x 2 3 ; x2 x=2 ; x=2 x2 x 2 0 belirsizliği var. 2 x 2 x 3 x 2 0 ( x 2)( x 1) x 1 lim lim 3 x 2 ( x 2)( x 1) x 2 x 1 f(2) = lim f ( x) 3 Süreklidir. lim x 2 3. x 1 x 1 ; x 1 f (x) x=1 0 ; x=1 x 1 x 1 lim lim (1) 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) x 1 x 1 x 1 lim lim lim (1) 1 x1 x 1 x1 x 1 x1 lim* lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1 lim f ( x) bulunamaz. x1 Sürekli değildir. 172 4. ; x2 x 3 f (x) x=-3 -3 x 3 ; lim (3) 3 lim x 3 x 3 lim f ( x) lim f ( x) x 3 x 2 lim x 3 x 3 lim f ( x) bulunamaz. x 3 x 3 Sürekli değildir. 5. 2|x| ; x 2 f (x) x=-2 2x ; x < -2 lim (2 x) 4 x 2 lim (2 | x |) lim (2 x) 4 x 2 x 2 lim f ( x) lim f ( x) x 2 x 2 lim f ( x) bulunamaz. x 2 Sürekli değildir. 6. f ( x) f (1) x3 1 x 1 Tanımlı değil. x=1 (payda 0 oluyor.) Sürekli değildir. 7. f ( x) x x x=1 x x lim lim (1) 1 lim lim (1) 1 lim f ( x) 1 x 1 x 1 x 1 x x1 x x1 f (1) lim f ( x) 1 Süreklidir. x 1 2x x=0 x x 1 lim f ( x) f (0) 0 Süreklidir. 8. f ( x) 2 x 0 173 9. 2x ; x<1 f (x) x=1 x+1 ; x>1 f (1) Tanımlı değil. Sürekli değildir. 10. 1 x f (x) x0 ; x=0 0 ; x=0 1 1 , lim x 0 x x lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) bulunamaz. lim x 0 x 0 x 0 x0 Sürekli değildir. 11. x3 x 1 ; f (x) x=1 -1 lim x 3 1 ; x=1 f (1) 1 x 1 lim f ( x) f (1) Sürekli değildir. x 1 12. ; x f (x) 0 x 1 x ; x>1 0 ; x=1 x=1 lim x 1 , lim x 1 lim f ( x) 1 x 1 x 1 x 1 f (1) 0 f (1) lim f ( x) x1 Sürekli değildir. 174 13. x 1 f (x) x 1 lim x 1 x=1 -2 lim ; x3 x 2 ; x 1 x=1 0 belirsizliği var. 0 x3 x 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) f (1) lim f ( x) 2 x 1 lim x 1 x 1 lim f ( x) f (1) x 1 x 2 2 Süreklidir. 1 x 1 14. f ( x) x 1 x=1 1 2 Süreklidir. 15. f ( x) 3 x 1 x=0 lim f ( x) f (0) 1 Süreklidir. x 0 16. f (x) |x+2| ; -1 ; x 1 x=-1 x=-1 lim x 2 1 f (1) 1 lim f ( x) f (1) Sürekli değildir. x 1 x 1 17. x2 1 1 ; x0 x2 f (x) 1 2 x=0 ; x=0 x2 1 1 0 belirsizliği var. x 0 0 x2 ( x 2 1 1)( x 2 1 1) lim lim x 0 x 0 x 2 ( x 2 1 1) 1 Süreklidir. f (0) lim f ( x) x 0 2 lim 175 1 x2 1 1 1 2 18. x4 2 ; x>0 x f (x) x-0,25 x=0 x0 ; lim ( x 0,25) 0,25 x 0 lim x 0 lim x4 2 0 x 0 ( x 4 2)( x 4 2) 1 lim x 0 x4 2 x( x 4 2) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK. x 0 x 0 x 0 x 0 Sürekli değildir. 19. f ( x) 1 x 1 x=-1 1 1 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 Süreklidir. f (1) lim f ( x) x 1 2 lim 20. x 1 ; x 1 f (x) x=1 x ; x<1 Soldan ve sağdan limitleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. x 2 25 21. f ( x) x5 x=5 f(5) Tanımlı değil. Sürekli değildir. 22. sin f (x) 1 ; x0 x x=0 0 ; x=0 1 lim sin bulunamaz. x 0 x Sürekli değildir. 176 1 0,25 4 23. f ( x) Süreklidir. cos x x 24. f ( x) tan x=1 x x=1 2 f(1) Tanımlı değil. Sürekli değildir. 25. sin 2 x cos 2 x ; x > 1 f (x) x=1 x 1 1 ; Süreklidir. 26. arctan f (x) x Süreklidir. 1 ; x>0 x x0 ; 2 x=0 27. sin( x 2 2 x 1) x 12 ; x 1 f (x) x=1 0 ; x=1 lim f ( x) f (1) x 1 Sürekli değildir. 28. sin x x f (x) ; x0 x=0 0 ; x=0 Süreklidir. 177 29. x 2 3 e ; x2 f (x) x=2 e x 1 ; x<2 Süreklidir. 30. 1 ln x f (x) ; x> e 2 x= e x e 0 ; Soldan ve sağdan limitler eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 31. f (x) e ln x x=0 f(0) tanımlı değil. Sürekli değildir. ex 32. f (x) x=0 ex Süreklidir. 33. x ; e x 1 x 1 f (x) x=-1 e 1 ; x=-1 Soldan ve sağdan limitleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 34. f (x) e 1 x ; x0 x=0 0 ; x=0 Soldan ve sağdan limitleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 178 35. ln x ln x ; x>0 f (x) x=0 x0 1 ; soldan ve sağdan limitleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 36. f ( x) ln ln x x=1 f(1) tanımlı değil. Sürekli değildir. 37. e x ln x ; x > 1 f (x) ex ; x<1 1 ; x=1 x=1 f (1) lim f ( x) x1 Sürekli değildir. 179 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz : 1. lim 25 x 2 64 5x 8 16 2. lim x 2 2x 3 x 2 2x 1 -3 x 1.6 x 0 x 3 64 3. lim x 4 x 4 48 4. lim x3 2x 2 4x 8 x 4 8 x 2 16 1/4 5. lim x 0 (1 x)(1 2 x)(1 3x) 1 x 6 6. lim (1 x) 5 (1 5 x) x2 x5 10 x 2 x 0 7. lim cos 3 x sin 3 x -1 sin 2 x x 0 x 8. lim x 0 180