dördüncü bölüm - Google Groups

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
TÜREV
4.1.Türev Kavramı
Bağımsız değişkene bir artma verildiğinde fonksiyonun alacağı bir artma olacaktır. Fonksiyonun artmasının
değişkenin artmasına oranının artma miktarı sıfıra yaklaşırken bir limiti varsa bu limit değerine fonksiyonun türevi denmektedir.
4.1.1.Tanım (Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir fonksiyon f ,
x0  D
(1)
ve
x0
da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
lim xx0
limiti varsa f fonksiyonuna
x0
türevi adı verilir. Bu türev
f ( x0 ) ,
noktasında türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun
df( x0 )
, Df( x0 )
dx
gösterimi bazen de ikinci gösterimi kullanacağız. Buna göre
x  x0  h
dır. Eğer
yazarsak,
x  x0
x0
noktasında
sembollerinden biri ile gösterilir. Biz çoğunlukla ilk
f ( x0 )  lim xa
olması için gerek ve yeter koşul
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
h 0
olması olduğundan dolayı, (1)
deki limit
(1’)
lim h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
limitine eşittir yani
Örnek 1.
f ' ( x0 )  lim h0
f ( x)  x 2
,
f : IR  IR
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
fonksiyonu her bir
dir.
x0  IR
noktasında türevlenebilirdir. Gerçekten;
2
2
2
lim h0
f ( x0  h)  f ( x0 )
( x0  h) 2  x0
x0  2 x0 h  h 2  x0
 lim h0
 lim h0

h
h
h
lim h0
2 x0 h  h 2
 lim h0 (2 x0  h)  lim h0 2 x0  lim h0 h  2 x0  0  2 x0
h
bulunur, dolayısıyla
f ' ( x0 )  2 x0
dır.
Örnek 2. Herhangi bir sabit sayı s olmak üzere her
x0  IR
lim xx0
x  IR
f ( x)  s
olarak tanımlanan sabit fonksiyon her bir
noktasında türevlenebilirdir Gerçekten;
f ( x)  f ( x0 )
ss
0
 lim xx0
 lim xx0
 lim xx0 0  0
x  x0
x  x0
x  x0
bulunur, dolayısıyla
f ' ( x0 )  0
dır.
Örnek 3. Herhangi bir sabit pozitif tamsayı n olmak üzere her
fonksiyonu her bir
lim h0
için
x  IR
x  IR
noktasında türevlenebilirdir. Çünkü;
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) n  x n
 lim h0

h
h
için
f ( x)  x n
olarak tanımlanan f
 x   x
n
0
lim h0
n
n
1
 lim h0
 x
n
1
 x
[
n
1
 lim h0
n 1
.h 
n 1
n 1
.h
h
 x
 x
n
2
.h 
n2
 x
n
2
 x

n
2
n2
.h 2  ... 
h
n2
.h 2
h
 x.h
n
n 1
.h 2  ... 
h
 x

n
3
n 3
n 1
 x.h
n
n 1
.h 3
h

n 1
 h
n
n

n
 h
n
n
 x.h
 ... 
n
n 1
n 1
h
 xn
n

 h

n
n
 x .h   x .h  ...   x.h   h
 x  lim  x .h  ...  lim  x.h  lim  h
 lim
  x   x . lim
h  ...   x. lim
h   lim
h 
  x   x .0  ...   x.0   0   x  nx
n
=  lim h0 [ 1
n n1
h0 1
n n1
n n2
1
2
n n1
n n2
1
2
bulunur. O halde her
n1

n
2
h0
n
n1
için
n3
n
3
n2
n
h0 2
x  IR
n2
2
n
n1
n
h0 n1
n2
h0
n n1
1
n
n1
n
n
f ' ( x)  nx n1
n2
n
n
n1
n2
n
n
n
h0 n
n1
h0

h
n1
n1
n
]
]

dir.
Örnek 4.
(sin x)'  cos x
lim h0
f ( x  h)  f ( x )
sin( x  h)  sin( x)
(sin x) cosh  (cos x) sinh  sin x
 lim h0
 lim h0

h
h
h
 lim h0
dir. Gerçekten;
(sin x)[(cosh)  1]  (cos x) sinh
(cosh)  1
sinh
 lim h0 (sin x)
 lim h0 (cos x)

h
h
h
 (sin x) lim h0
(cosh)  1
sinh
 (cos x) lim h0
 (sin x).0  (cos x).1  cos x
h
h
dir. Çünkü;
(cosh)  1
lim h0
 lim h0
h
h
h
h
h
h
cos 2  sin 2  1
(1  sin 2 )  sin 2  1
 2 sin 2
2
2  lim
2
2  lim
2
h0
h0
h
h
h
h
h
h
h
h
h
sin . sin
sin . sin
sin
sin
1
2  lim ( 1 h). lim
2
2  0. lim
2 . lim
2  0.1.1  0
 lim h0 ( h) 2
h 0
h 0
h0
h0
h h
h h
h
h
2
2
.
.
2 2
2 2
2
2
dır. O halde her x reel sayısı için (sinx)’=cosx dir.
Örnek 5.
(cos x)'   sin x
lim h0
f ( x  h)  f ( x )
cos( x  h)  cos x
(cos x) cosh  (sin x). sinh  cos x
 lim h0
 lim h0

h
h
h
 lim h0
dir. Gerçekten;
(cos x)[(cosh)  1]  (sin x) sinh
(cosh)  1
sinh
 lim h0 (cos x)
 lim h0 (sin x)

h
h
h
 (cos x) lim h0
(cosh)  1
sinh
 (sin x) lim h0
 (cos x).0  (sin x).1   sin x
h
h
O halde her x reel sayısı için (cosx)’=-sinx
Örnek 6. f(x)=lnx
yeter koşul
f : IR   IR
t 
dir.
fonksiyonunu gözönüne alalım.
olması olduğundan,
t
x
h
yazarsak
h 0
olması için gerek ve
lim h0
f ( x  h)  f ( x )
ln( x  h)  ln x
 lim h0
 lim h0
h
h
x
 lim h0
ln
xh
h
h
ln( 1  )
ln( 1  )
1
x  lim
x  lim
x 
h 0
h 0
h
h
x h
x
x
1
h
1
h
1
1
1
1
1
ln( 1  ) h  . lim h0 ln( 1  ) h  . lim t 0 ln( 1  ) t  . ln e  .1 
x
x
x
x
x
t
x
x
x
(ln x)'  (log e x)' 
bulunur. O halde
1
x
dir.
4.1.2.Tanım (Soldan Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir fonksiyon f
,
x0  D
(2)
lim
x0
ve
x x 
0
da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
limiti varsa ya da (2) de
lim
(2’)
h0
x  x0  h
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
limiti varsa f fonksiyonuna
x0
soldan türevi adı verilir. Bu türev
Örnek.
lim
f ( x)  x
x x 
0
lim
x  0
x0
yazmak suretiyle elde edilen
noktasında soldan türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun
f ' ( x0 )
fonksiyonunun
x0  0
sembolü ile gösterilir.
noktasında soldan türevi -1 dir Çünkü;
x0
x
f ( x)  f ( x0 )
 lim
 lim
 lim
x  x0
x0 x  0
x0 x
(1)  1
(3)
lim
x0  D
x x 
0
lim
h0
x  0
x0
x
 lim
x  0
x0
x0
da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer
x  x0  h
yazmak suretiyle elde edilen
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
h
limiti varsa f fonksiyonuna
x

x
kümesinden reel sayılar kümesi içine bir
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
limiti varsa ya da (2) de
(3’)
ve
x
dir.
4.1.3.Tanım (Sağdan Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt
fonksiyon f ,
x 0 noktasında
x0
noktasında sağdan türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun
noktasında sağdan türevi adı verilir. Bu türev
f ' ( x0 )
sembolü ile gösterilir.
x0
f ( x)  x
Örnek.
lim
x x 
0
lim
x0  0
fonksiyonunu
noktasında sağdan türevi 1 dir Çünkü;
x0
x
f ( x)  f ( x0 )
 lim
 lim
 lim


x  x0
x0
x0
x0 x
x  0
x0
11
x
x  0
x0
x
 lim
x

x
x  0
x0
dir.
Bir fonksiyonun bir noktada bir limitinin var olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin var olması ve
biribirine eşit olması olduğundan dolayı bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için gerek ve yeter koşul o noktada soldan
ve sağdan türevlerinin var olması ve biribirine eşit olmasıdır.
f ( x)  x
Örnek.
x0  0
x0  0
fonksiyonunun
noktasında soldan ve sağdan türevleri birbirinden farklı olduğündan
noktasında türevlenemez.
f ( x)  x
fonksiyonunun
x0  0
f ( x)  x
noktasında türevlenemediğini gördük. Diğer taraftan
x0  0
fonksiyonu
noktasında süreklidir. O halde bir fonksiyon
bir noktada sürekli olabilir ancak türevlenemeyebilir. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirse sürekli olduğunu aşağıdaki
teoremde veriyoruz:
4.1.4. Teorem.
D  IR
,
x0  D
,
f : D  IR
olsun. Eğer f fonksiyonu
x0
noktasında
türevlenebilirse süreklidir.
İspat.
g : D  {x0 }  IR :
fonksiyonunu
g ( x) 
noktasında türevlenebilir olduğundan, g fonksiyonunun
x0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
şeklinde tanımlayalım. f fonksiyonu
noktasında limiti vardır ve
x0
lim xx g ( x)  f ' ( x0 )
0
dır. g(x) in eşitlik ifadesinden
f ( x)  f ( x0 )  g ( x)( x  x0 )
elde edilir. Bu son eşitlikte limite geçilirse
lim xx0 f ( x)  lim xx0 [ f ( x0 )  g ( x)( x  x0 )]  lim xx0 f ( x0 )  lim xx0 g ( x)( x  x0 ) 
 f ( x0 )  (lim xx0 g ( x)). lim xx0 ( x  x0 )  f ( x0 )  f ' ( x0 ).0  f ( x0 )
bulunur. f fonksiyonunun
x0
noktasında limiti
f ( x0 )
olarak elde edlilir ki bu da f fonksiyonunun
x0
noktasında
sürekli olması demektir. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
Örnek 1.
f ( x)  x
fonksiyonunun 0 noktasında soldan türevi –1 ve sağdan türevi +1 olduğundan 0 noktasında
soldan ve sağdan türevleri farklı olmaktadır dolayısıyla da f fonksiyonunun 0 noktasında türevi yoktur, ancak
lim x0 f ( x)  lim x0 x  0  0  f (0)
Örnek 2.
f ( x)  x  1
olduğundan f fonksiyonu 0 noktasında süreklidir.
fonksiyonu
lim x1 f ( x)  lim x1 x  1  lim x1 ( x  1)  0  0
olduğundan,
x0  1
noktasında süreklidir fakat türevlenemez. Çünkü;
lim
x  x 0
lim
x 1  1 1
x 1  0
x 1
f (x)  f (x0 )
 lim 
 lim

lim
 lim
x 1
x 0  x  1
x  x0
x 1
x  1 x  1
x 1
x x 
0
lim
x 1

x 1
(1)  1
x  1
x0
dir, dolayısıyla
lim
x  1
x0

f ' (1)  1
bulunur. Diğer taraftan,
x 1  11
x 1  0
f ( x)  f ( x0 )
 lim
 lim
 lim
x  x0
x 1
x 1
x1
x1
x 1
x  1
x0
x 1
 lim
x  1
x0
x 1

x 1
11
x  1
x0
dir, dolayısıyla
f ' (1)  1
bulunur. f fonksiyonunun 1 noktasında soldan ve sağdan türevleri biribirinden farklı
olduğundan türevlenemez.
4.1.5.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse her
x  IR
için
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
şeklinde tanımlanan f+g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve
(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)
dir. (Toplamın türevi türevler toplamına eşittir.).
İspat.
lim h0
( f  g )( x  h)  ( f  g )( x)
f ( x  h)  g ( x  h)  f ( x )  g ( x )
 lim h0

h
h
lim h0
[ f ( x  h)  f ( x)]  [ g ( x  h)  g ( x)]
f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)  g ( x )
 lim h0 [

]
h
h
h
 lim h0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
 lim h0
h
h
 f ' ( x)  g ' ( x)
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Örnek 1.
f ( x)  (sin x)  ln x
ise
f ' ( x)  ((sin x)  ln x)'  (sin x)'(ln x)'  (cos x) 
1
x
bulunur.
Örnek 2.
f ( x)  x 2  cos x
ise
f ' ( x)  ( x 2  cos x)'  ( x 2 )'(cos x)'  2 x  sin x
elde edilir.
4.1.6.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse her
x  IR
için (f.g)(x)=f(x).g(x) şeklinde
tanımlanan f.g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve
(f.g)’(x)=f’(x).g(x)+g’(x).f(x)
dir. (Çarpımın türevi birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birincidir.).
İspat.
lim h0
( f .g )( x  h)  ( f .g )( x)
f ( x  h).g ( x  h)  f ( x).g ( x)
 lim h0

h
h
 lim h0
f ( x  h).g ( x  h)  f ( x). g ( x  h)  f ( x). g ( x  h)  f ( x).g ( x)

h
 lim h0
[ f ( x  h)  f ( x)]. g ( x  h)  f ( x).[ g ( x  h)  g ( x)]

h
 lim h0 [
[ f ( x  h)  f ( x)]. g ( x  h) f ( x).[ g ( x  h)  g ( x)]

]
h
h
 lim h0
[ f ( x  h)  f ( x)]. g ( x  h)
f ( x).[ g ( x  h)  g ( x)]
 lim h0

h
h
 [lim h0
[ f ( x  h)  f ( x)]
[ g ( x  h)  g ( x)]
]. lim h0 g ( x  h)  [lim h0 f ( x)]. lim h0

h
h
 f ' ( x).g ( x)  g ' ( x). f ( x)
elde edilir. O halde (f.g)’(x)=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) dir. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
f ( x)  x 4 . sin x
Örnek 1.
ise
f ' ( x)  ( x 4 . sin x)'  ( x 4 )'.sin x  (sin x)'.x 4  4 x 3 .(sin x)  (cos x).x 4
dir.
f ( x)  x 3 . ln x
Örnek 2.
ise
1
f ' ( x)  ( x 3 . ln x)'  ( x 3 )'.(ln x)  (ln x)'.x 3  3x 2 .(ln x)  .x 3  3x 2 .(ln x)  x 2  x 2 [3(ln x)  1]
x
dir.
4.1.7.Sonuç. Bir f fonksiyonu bir x noktasında türevlenebiliyorsa herhangi bir sabit reel sayı s olmak üzere her
x  IR
için (sf)(x)=s.f(x) ile tanımlanan s.f fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve
(sf)’(x)=s.f’(x)
dir. İ
Örnek 1. f(x)=5.sinx ise
f’(x)=(5.sinx)’=5.(sinx)’=5.cosx bulunur.
f ( x)  3. ln x
Örnek 2.
ise
f ' ( x)  ( 3. ln x)'  3.(ln x)'  3.
1
3

x
x
elde edilir.
4.1.8.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse ve g fonksiyonu x noktasının belli bir
komşuluğunda sıfırdan farklı değerler alıyorsa her
x  IR
için
f
f ( x)
( )( x) 
g
g ( x)
şeklinde tanımlanan
f
g
fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve
f
f ' ( x).g ( x)  g ' ( x). f ( x)
( )' ( x) 
g
( g ( x)) 2
dir. (Bölümün türevi payın türevi çarpı payda eksi paydanın türevi çarpı pay bölü paydanın karesidir.).
İspat.
f
f
f ( x  h) f ( x )
( )( x  h)  ( )( x)

g
g
g ( x  h) g ( x )
 lim h0

h
h
lim h0
 lim h0
f ( x  h).g ( x)  f ( x).g ( x  h)
f ( x  h).g ( x)  f ( x).g ( x)  f ( x).g ( x)  f ( x).g ( x  h)
 lim h0

h.g ( x  h).g ( x)
h.g ( x  h).g ( x)
 lim h0
[ f ( x  h)  f ( x)]. g ( x)  f ( x).[ g ( x  h)  g ( x)]

h.g ( x  h).g ( x)
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
.g ( x)  f ( x).
h
h

g ( x  h).g ( x)
= lim h0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
.g ( x)  f ( x).
]
h
h

lim h0 g ( x  h). g ( x)
lim h0 [
=
lim h0
=



lim h0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
.g ( x)  lim h0 f ( x).
h
h

lim h0 g ( x  h). lim h0 g ( x)
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
. lim h0 g ( x)  lim h0 f ( x). lim h0
]
h
h

g ( x).g ( x)
(lim h0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
). g ( x)  f ( x) lim h0
h
h

( g ( x)) 2
f ' ( x). g ( x)  g ' ( x) f ( x)
( g ( x)) 2
bulunur. O halde
f
f ' ( x). g ( x)  g ' ( x) f ( x)
( )' ( x) 
g
( g ( x)) 2
Örnek 1. Pozitif sabit bir tamsayı n olmak üzere her xIR için
f ' ( x)  nx  n1
dir.
f ( x)  x  n
fonksiyonunun türevi
dir. Çünkü;
f ' ( x)  ( x n )'  (
1
1'.x n  ( x n )'.1 0.x n  nx n1 .1  nx n 1
)'



 nx n 1 x 2 n  nx n1
n
n 2
2n
2n
x
(x )
x
x
dir.
Her n pozitif tamsayısı için
( x j )'  jx j 1
( x n )'  nx n 1
olduğunu daha önce görmüştük. Her negatif j tamsayısı için
olduğunu da şimdi yukarıdaki örnekde gördük. Böylece n=0 için
olduğundan her m tamsayısı için
( x m )'  mx m 1
( x 0 )'  (1)'  0  0 x 01
eşitliği sağlanır.
dir.
Örnek 2.
(tgx)' 
1
 1  tg 2 x
2
cos x
dir. Çünkü;
sin x
(sin x)'.cos x  (cos x)'.sin x (cos x). cos x  ( sin x). sin x cos 2 x  sin 2 x
(tgx)'  (
)' 



cos x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x
1


 1  tg 2 x
2
2
cos x
cos x
dir.
Örnek 3.
(cot gx)'  
1
 (1  cot g 2 x)
2
sin x
dir. Çünkü;
cos x
(cos x)'.sin x  (sin x)'.cos x ( sin x). sin x  (cos x). cos x  sin 2 x  cos 2 x
(cot gx)'  (
)' 



sin x
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
 cos 2 x  sin 2 x  (cos 2 x  sin 2 x)
1



 (1  cot g 2 x)
2
2
2
sin x
sin x
sin x
dir.