Türev-3/Ekstremum Problemleri

L’HOSPİTAL KURALI
Türevin uygulamalarından biri, limit hesabında
kullanılmasıdır. Bir fonksiyonun x  a noktasındaki limiti
hesaplanırken karşımıza çıkan,
0
0

,

,    , 0. , 1

belirsizlikleri,
0
0
veya


0
, 0 , 
x 4  16
4 x3  0 4.23
32
lim
 lim


 8 olur.
2.2
4
x  2 x2  4
x  2 2x  0
0
Örnek:
belirsizliklerinden birine
dönüştürülerek, L’Hospital Kuralı yardımıyla kolayca
sonuçlandırılır.
lim
x  1
f ve g fonksiyonları ( a, b) aralığında türevlenebilir
lim
x  1
olsunlar.
2.
Her x  ( a, b) için g( x)  0 olsun.
3.
c  ( a, b) olmak üzere
Eğer,
lim f ( x )  lim g( x )  0
xc
xc
lim
x  1
f ' ( x)
f ( x)
lim
 L ise lim
 L dir.
'
g
x  c ( x)
x  c g ( x)
f ' ( x)
0
lim
 veya lim
'
x  c g ( x) 0
xc
f ' ( x)
g' ( x )
0
x2  4 x  3

x3  5 x2  6 x  2
x2  4 x  3





( 1)3  5.( 1)  6.( 1)  2
( 1)2  4.( 1)  3
0
dır.
0
lim
x  1
3 x2  10 x  6
2x  4
3.( 1)2  10.( 1)  6
2.( 1)  4
ise

1
2
Uyarı
L’Hospital Kuralında
Belirsizliği
0
x3  5 x2  6 x  2
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
yukarıdaki kural bir daha uygulanır.
A.
limitinin değerini araştıralım.

olmak üzere,
4.
x2  4 x  3
Çözüm:
Kural
1.
x3  5 x2  6 x  2
0
0
veya

belirsizliğini ortadan

kaldırmak için yapılan işlemin: payın türevini paya, paydanın
türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.
Örnek:
Örnek:
x 4  16
limitinin değerini araştıralım.
lim
x  2 x2  4
lim
x3
Çözüm:
x2  5  x2  3 x  2
limitinin değerini araştıralım.
x6 3
Çözüm:
x 4  16
24  16
0
lim
 lim
 dır.
0
x  2 x2  4
x  2 22  4
lim
x3
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x2  5  x2  3 x  2
x6 3

L’Hospital Kuralını uygulayalım.
1
0
0
dır.
lim
x3
x2  5  x2  3 x  2

3.22  12.2  12
2.2  4
x6 3
2x 

lim
x3
2x  3

0
0
dır.
Birinci uygulamamızda belirsizlik ortadan kalkmadığı için,
tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
2 x2  3 x  2
1
2. x  6
2.3 

x3  6 x2  12 x  8
lim
x2
x2  4 x  4
2.3  3
117
2. 32  3.3  2
tür.

1
4
lim
x2

lim
x2
2. 3  6

Örnek:
II.Yol
tan 8 x
lim
limitinin değerini araştıralım.
x  0 tan 2 x
lim
x2
x3  6 x2  12 x  8
x2  4 x  4

L’Hospital Kuralını uygulayalım.
8
8
2
2
tan 8 x
cos
(
8
.
0
)
lim
 lim cos 8 x 
 1  4 tür.
2
2
2
x  0 tan 2 x x  0
2
2
1
cos 2 x
cos ( 2.0)
2x  4
6 x  12
2
6.2  12
2
 0 dır.

( x  2 )3
lim
x  2 ( x  2 )2

( x  2 )3
lim
x  2 ( x  2 )2
Çözüm:
tan 8 x
tan 0 0
lim

 belirsizliği vardır.
tan 0 0
x  0 tan 2 x
3 x2  12 x  12

lim ( x  2)  0 dır.
x2
Uyarı
8
L’Hospital Kuralında belirtilen koşullar sağlandığı sürece,
kural uygulanmaya devam edilir.
Örnek:
Örnek:
lim
x2
x3  6 x2  12 x  8
x2  4 x  4
  x  1

2 
limitinin değerini araştıralım.
sin
lim
x  1 cos x  1
 
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
Çözüm:
lim
x2
x3  6 x2  12 x  8
x2  4 x  4

23  6.22  12.2  8
22  4.2  4

0
0
  x 1

2  
sin
dır.
lim
x  1 cos x  1
 
  1

2 
sin
cos   1
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
lim
x2
x3  6 x2  12 x  8
x2  4 x  4

lim
x2
3 x2  12 x  12
2x  4
2
11
1 1

0
0
dır.
  x  1

2  
lim
x  1 cos x  1
 
  x

2 

sin
. cos
2
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
lim
x  1  . sin x
 
x3  x
3 x2  1
6x
lim
 lim
 lim
x   x3  x2  2 x   3 x2  2 x x   6 x  2

cos
1
2  0 dır.
 .
2 sin 
0

Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
  x  1

2  
sin
lim
x  1 cos x  1
 




. sin
2
2
. cos 
6
lim
 1 bulunur
x6
Örnek:
x2  5 x  1
limitinin değerini araştıralım.
lim
x   x3  e x  1
Çözüm:
x 2  5 x  1 2  5  1 
dur.
lim


x   x 3  e x  1 3  e   1 
Örnek:
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x3  x
limitinin değerini araştıralım.
lim
x   x3  x2  2
x2  5 x  1
2x  5
lim
 lim
3
x
x   x  e  1 x   3 x2  e x
Çözüm:
3  


dur.
lim


x   x 3  x 2  2 3  2  2 
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x3  x
olur.

Belirsizliği
x3  x

Bu soru, limit bilgisiyle kısa yoldan sonuçlandırılabilirdi.
Ancak, konuyu örnekleme düşüncesiyle, bu yöntem
denendi.
1  1 1
1
  .  .
  tür.
2  2 1
4
B.

x3  x
3 x2  1
6x
lim
 lim
 lim
3
2
2
6
x
2
x   x  x  2 x   3x  2x x  
  




  1   2 . sin 2 x  
 lim    

x  1   2  . cosx  




Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
  



  1  cos 2 x  
lim    

x  1   2  sinx  


 1
   .
 2
6.
6.  2
2
2
lim

 0 dır.
x   6x  ex
6.  e
Örnek:
3 x2  1
lim
3.2  1
lim
 lim

x   x3  x2  2 x   3 x2  2 x 3.2  2.



x
olur.
3

2
tan 2 x
 tan x
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
Çözüm:
2
lim
x

tan 2 x
cos2 2 x 
lim
1
2



 cos 2 x
2
x
x

2 cos x
2

 tan x
lim
2
lim
x. ln x   0. dur.
lim
x. ln x  
x  0
2 cos2 x
x  0

2 cos2
2.02
2


2
 
2. cos2  2.  2. cos 
 2
0
 2

olur.
1
x  0
 0 olur.
x. ln x  
2.  1
C.
1
x  0
x


L’Hospital Kuralını uygulayalım
lim

ln x
lim
ln x
lim
1
x  0
x

x
1

x0 
x2

lim  x  0 dır.
x  0
lim
 
.0 Belirsizliği
.0  .
1




veya .0 
1
0
.0 
0
0
Örnek:
düzenlemelerinden
4

lim  x . sin  limitinin değerini araştıralım.
x
x  
biri yapılarak sonuca gidilebilir.
Örnek:
Çözüm:
1 

lim  e x .
 limitinin değerini araştıralım.
4x  3 
x  
4

lim  x . sin   .0 dır.
x
x  
Çözüm:
4

lim  x . sin   lim
x x  
x  
1 

lim  e x .
  .0 dır.
4
x
 3
x  
sin
4
x  0 olur.
1
0
x
L’Hospital Kuralını uygulayalım.

1

ex

lim  e x .

olur.
  lim
4x  3  x   4x  3 
x  

lim 
x  
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x . sin
4

x
sin
lim
x
4
x
1
x
1 
ex

lim  e x .
 lim
  dur.

4x  3  x   4
x  


Örnek:



lim x. ln x limitinin değerini araştıralım.
x  0
lim
x
4
x2
. cos

x
x
2
1
 4
lim ( 8). lim  cos . lim
x
2
xx . x
x   x  
 8.1.0  0 dır.
4
4
D.
   Belirsizliği
 
1
0

1
0

0
0

sin( .1)   cos(.1)
2
 lim


x  1 . cos(.1). cos( .1)  sin( .1). sin(.1)
2
2

düzenlemesiyle sonuca gidilir.

2

.1  .( 1)   
2
 lim
 2
  olur.

.(

1
).
0

1
.
0
0

x 1
Örnek:



 1

1
lim 

 limitinin değerini araştıralım.
sin(x )



cos( x ) 
x 1

2 

Örnek:
 1  1  limitinin değerini araştıralım.
 x  1 sin(x ) 

x  1 
Çözüm:
lim


 1

1
lim 


sin(x )


cos( x ) 
x 1 

2 
1
sin 
1

cos
Çözüm:

2
 1  1  1  1
 x  1 sin(x )  1  1 sin(.1)

x  1 
lim

1
0

1
0
    dur.



 1

1
lim 


sin(x )

cos( x ) 
x  1 

2 
 cos(  x )  sin(x ) 
 2

 lim 


x  1  sin(x ). cos( x ) 


2
1
0

1
0
    dur.
 1  1   lim  sin(x )  x  1 
 x  1 sin(x ) 


 x  1  ( x  1). sin(x ) 
x  1 
lim
0
0
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
olur.
 1  1 
 x  1 sin(x ) 

x  1 
lim
L’Hospital Kuralını uygulayalım.


 1

1
lim 


sin(x )

cos( x ) 
x  1 

2 
 cos(  x )  sin(x ) 
 2

 lim 


x  1  sin(x ). cos( x ) 


2
 sin(x )  x  1 
 ( x  1). sin(x ) 

x  1 

. cos(x )  1


 sin(x )  .( x  1). cos(x ) 

x  1 


sin( x )   cos(x )
2
2
 lim



x  1 . cos(x ). cos( x )  sin( x ). sin(x )
2
2




5
lim
lim
. cos(.1)  1
sin(.1)  .(1  1). cos(.1)
  1
00
  dur.
Örnek:

 1  1  limitinin değerini araştıralım.
lim 

x  3 x  3 ln( x  2) 

1
1
1
( 3  2 )2

  dir.
1
1
11
2

3  2 ( 3  2 )2
Çözüm:
 1  1      dur.
lim 

x  3 x  3 ln( x  2) 
E.
0
0 
0 ,  , 1 Belirsizlikleri
Bu tür belirsizliklerde, e tabanında logaritma alınarak
sonuca gidilir.
 1  1   lim  ln( x  2)  x  3 
lim 



x  3 x  3 ln( x  2)  x  3 ( x  3). ln( x  2) 
Örnek:
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
15
lim (1  5 x ) x limitinin değerini araştıralım.
x0
 1  1   lim  ln( x  2)  x  3 
lim 



x  3 x  3 ln( x  2)  x  3 ( x  3). ln( x  2) 
Çözüm:
1


1


x

2
 lim 

x  3 1. ln( x  2)  x  3 

x2

lim (1  5 x ) x  (1  5.0) 0  1 olur.
x0
15
y  (1  5 x ) x olsun.
1


 3  2 1 
 lim 

x  3 ln(3  2)  3  3 

32

11
0
0

15
15
15
15
y  (1  5 x ) x  ln y  ln(1  5 x ) x
0
 ln y 
0
15
x
. ln(1  5 x )
1
 15. ln(1  5 x)  

x

Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
lim (ln y )  lim 
x0
x  0
1


1


1
1


x

2
lim 

 lim 


x  3 x  3 ln( x  2)  x  3 1. ln( x  2)  x  3 

x2
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
0
0
 15. ln(1  5 x ) 

x

lim (ln y )  lim 
x0
x  0




2
( x  2)


 lim
1
x

2

x

3


x3
 x  2  ( x  2 )2 


1
 15. 5  15. 5


1  5.0
 lim  1  5 x  
1
1
x  0



6
 75


lim (ln y )  75  ln lim y   75
x  0 
x0
 lim y  e
x0
lim
x  0
(ln y ) 
75

15

  sin2 x 


 x. cos x 


x0 
lim
75
lim (1  5 x ) x  e tir.
x0

cos x  x. sin x
x  0
lim
x  0
x
lim
limitinin değerini araştıralım.
x  0
cos 0  0. sin 0
x  0


lim y   0


 x  0 
 lim y  e
x0
x  0
yx
x
sin x
sin x
0
sin 0
 0 olur.
(ln y )  0  ln
Çözüm:
lim
 2. sin 0. cos 0
lim
Örnek:
sin x
 2. sin x. cos x
lim

0
 0 dır.
lim
x  0
x
0
1
sin x
 1 dir.
Örnek:
olsun.
 
lim
ln y  ln x sin x  ln y  sin x. ln x olur.
x  0


 ln x 
lim (ln y )  lim sin x. ln x   lim 

1




x0
x0
x0 
 sin x 
Çözüm:
(cot x )
sin x
limitinin değerini araştıralım.


lim
x  0
(cot x )
sin x
sin x
 (cot 0)
sin 0

0
dır.
olsun.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
y  (cot x )
 1 




 ln x 
x 

lim (ln y )  lim 

lim

1
 cos x 
 x  0 
x  0
x  0 

 sin x 
 sin2 x 
ln y  ln (cot x )sin x  ln y  sin x. ln(cot x ) olur.
  sin2 x 

 lim 
 x. cos x  

x  0 
0
0
lim


(ln y ) 
lim
x  0
x  0
sin x. ln(cot) 


 ln(cot x ) 
 lim 

1

x  0 
 sin x 
olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
7


olur.


 ln(cot x ) 
lim (ln y )  lim 

1

x  0
x  0 
 sin x 
 (cot x )' 


 lim  cot x 
 cos x 
x  0 
 2 
 sin x 
 1 
 2 
 sin x 
 lim  cot x 
 cos x 
x  0 
 sin2 x 




 sin x  sin 0
 lim 

2 x  cos2 0


cos
x0
2.
Çözüm:
a6  x 6
x6  x6
0
lim

 belirsizliği vardır.
4
4
4
4
0
axa x
x x
L’Hospital Kuralını uygulayalım. Verilen ifadede a nın
değişken, x in sabit sayı olduğuna dikkat ediniz.
a6  x 6
6 a5
3 a2
3 x2
dir.
lim
 lim
 lim

2
a  x a 4  x 4 a  x 4 a3 a  x 2

0
1
 0 olur.
3.
 lim y  e
x0

lim
x  0
lim
x0
1
(cot x )
sin x
1  cos 2 x
x3
limitinin değerini bulunuz.
1  cos 2 x
x3

0
0
belirsizliği vardır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
 1 dir.
lim
x0
1  cos 2 x
x3

lim
x0
2. sin 2 x
3 x2

0
0
dır.
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1.
lim
x0
Çözüm:


lim (ln y )  0  ln lim y   0


 x  0 
x  0
0
a6  x 6
limitinin değerini bulunuz.
lim
a  x a4  x 4
lim
x0
ex  x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x   x  e10
1  cos 2 x
x3

lim
x0
 Yoktur
2. sin 2 x
3 x2

lim
x0
6x
x. ln x
lim
limitinin değeri kaçtır?
x
x    ln x
Çözüm:
4.
ex  x
e  

belirsizliği vardır.
lim



x   x  e10
  e10
Çözüm:
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x. ln x

lim

belirsizliği vardır.
x   x  ln x 
ex  x
ex  1
lim
 lim
  dur.
x   x  e10 x   1
4. cos 2 x
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x. ln x
ln x  1 
lim
 lim

  dur.
x

ln
x
1
x
x   1 1
x
8
5.
8  x3
limitinin değeri kaçtır?
lim
x  2 cos x.
4
7.
ln(cos 2 x )
limitinin değeri kaçtır?
lim
x  0 ln(cos x )
Çözüm:
Çözüm:
ln(cos 2 x ) 0
lim
 belirsizliği vardır.
0
x  0 ln(cos x )
8  x3
0
belirsizliği vardır.
lim

x
.

0
x  2 cos
4
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
 2. sin 2 x
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
ln(cos 2 x )
lim
 lim
x  0 ln(cos x )
x0
8  x3
 3 x2
 3.22
lim
 lim


2
x  2 cos x. x  2   sin x.
 . sin
4
4
4
4
4

 12

6.

4
.1

48

cos x
dir.
3x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x  3 cot x.
6
8.
0
lim
 belirsizliği vardır.
0
x  3 cot x.
6
 2 sin 2 x . cos x 
lim 

x  0 cos 2 x sin x 

 cos x . lim  2. sin 2 x 
lim 



x  0 cos 2 x  x  0 sin x 

cos 0
 2.2. sin x. cos x 
. lim 

cos(2.0) x  0
sin x

 1

x
x  0  1  e

lim
1
 limitinin değeri kaçtır?
x
Çözüm:
L’Hospital Kuralını uygulayalım
3x
lim
 lim
x  3 cot x. x  3
6

 1.4. cos 0  1.4.1  4 tür.
Çözüm:
3x
cos 2 x
 sin x
 1

x
x  0  1  e

 1

x

x  0 1 e

lim
1

6
lim
x.
 sin2
6
x.
6. sin2
6
 lim

x3
1
     dur.
x
1
  lim
x
x  0
x
x 1 e
0
x  0 dır.
x.(1  e )
L’Hospital Kuralını uygulayalım
 1

x
x  0  1  e
lim
3.
6. sin2
6  6.1  6 dir.





9
lim

1
  lim
x
x  0
1 e
x
x
x
x  0 (1  e )  e .x

x
x 1 e
x
x.(1  e )
1  e0
1  e0  e0 .0

2
0
  dur.
9.


4
lim 3 x  e 2 x x limitinin değeri kaçtır?
x0
Çözüm:
4
2
.
0

lim 3 x  e2 x x  ( 3.0  e ) 0  1 belirsizliği vardır.
x0


4
4
y  (3x  e
2x x
) olsun.
4



2
x
ln y  ln ( 3 x  e ) x   ln y 




4
x
. ln ln(3 x  e
 4.( 3 x  e2 x ) 


x

lim (ln y )  lim 
x0
x  0

0
0
2x
) olur.
olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
 4.( 3 x  e2 x ) 


x

 3  2.e2 x 
 4.

2x 

3
x

e
 lim

1
x  0




lim (ln y )  lim 
x0
x  0

4.

3  2.e
3.0  e
1
2.0
2.0
4.


32
1  20 olur.
1

lim (ln y )  20  ln lim y   20
x  0 
x0
 lim y  e
x0
20
4
2x x
20
 lim ( 3 x  e )  e dir.
x0
KONU BİTMİŞTİR
10
11