polinomlar

Sunum ve Sistematik
1. BÖLÜM: POLİNOMLAR
ALIŞTIRMALAR
Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde
öğrencilerle işlenmesi öngörülmüştür.
1. BÖLÜM: POLİNOMLAR
UYGULAMALI SORULAR
Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez
yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
1.BÖLÜM: POLİNOMLAR
KONU KAVRAMA TESTİ
Polinomlar – 1
TEST - 1
Bu başlıkla üniteler alt bölümlere ayrılmış, her bölümün içerdiği kazanım ve
alt başlıklar dikkate alınarak testler oluşturulmuştur.
POLİNOMLAR
ÜNİTE YAZILI SORULARI
Bu başlık altında resmi ve özel okul yönetmeliklerinde öngörülen formatlar
ile ünitenin tamamını kapsayan yazılı soruları konulmuştur. Bu uygulamanın
amacı, öğrenciyi okuldaki yazılılara hazırlamak ve öğrencinin okul başarısını
arttırmaktır.
POLİNOMLAR
ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ
Bu başlık altında ünitenin geneli sorularla taranmış, öğrencinin bu ünite ile
ilgili sınava hazır bulunulmuşluğu ölçme yoluna gidilmiştir. Bu başlık, ünitenin
finali niteliğindedir.
POLİNOMLAR
ALIŞTIRMALAR
1. BÖLÜM
POLİNOMLAR
POLİNOMLAR
Kazanım -1.1.1 : Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinom kavramını örneklerle açıklar, polinomun derecesini baş katsayısını,
sabit terimini açıklar.
Temel Alıştırma
Temel Alıştırma
P(x) = 4x3 – 3x2 – 2 polinomunun
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin polinom olduğunu
bulunuz.
a. P(x) =
a. Derecesini
b. Baş katsayısını
c. Sabit terimini bulunuz.
2
1 4
x − 2x
3
1
b. Q(x) = 2x5 – x 4
Çözüm
Çözüm
a. Polinomu oluşturan terimler içerisinde değişkenin kuvveti
en büyük olan terimin kuvvetine polinomun derecesi denir
ve der(P(x)) ile gösterilir.
Buna göre, der(P(x)) = 3 tür.
Verilen bir fonksiyonun polinom olması için katsayıları gerçek
sayı ve değişkenin (x) üsleri birer doğal sayı olmalıdır.
Buna göre,
b. Polinomda kuvveti en büyük olan terimin katsayısına baş
katsayı denir. P(x) in baş katsayısı 4 dür.
1 4
1
x – 2 .x2 fonksiyonunun katsayıları olan,
ve
3
3
– 2 sayıları gerçek sayılar, x in üsleri olan 4 ve 2 birer doğal sayı olduğundan P(x) polinomdur.
1
b. Q(x) = 2x5 – x1/4 fonksiyonunda
doğal sayı olmadığı için
4
Q(x) polinom değildir.
a. P(x) =
1.
c. Buna göre değişkenin sıfırıncı kuvveti bulunan terime sabit
terim denir.
P(x) in sabit terimi – 2 dir.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin polinom olduğunu bulunuz.
1 3 1 4
x – x
3
4
1.
Aşağıda verilen polinomların derecelerini bulunuz.
a. P(x) = x4 +
b. P(x) = 7x2 + 5x9
a. P(x) =
b. Q(x) = x6 – 2x–4
2.
c. A(x) = 3
1 6
x
3
a. 6, b. 9
P(x) = – 5x4 + 4x6 – 7
polinomunun baş katsayısını bulunuz.
4
a. polinom, b. polinom değil, c. polinom
11
10. Sınıf Matematik
POLİNOMLAR
NOKTA,
DOĞRU, DOĞRU PARÇASI, IŞIN VE UZAY
Temel Alıştırma
6
3
ALIŞTIRMALAR
Kazanım -1.1.2 : Sabit polinomu, sıfır polinomu, iki
polinomun eşitliğini örneklerle açıklar.
2
P(x) = x – 3x + 5x + 3x – 4 polinomu veriliyor.
P(x) polinomunun;
a. Sabit terimini
Temel Alıştırma
b. Katsayılar toplamını bulunuz.
P(x)= (a – 3)x3 + (b + 2)x2 – (c + 1)x + d – 4 polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c + d toplamını bulunuz.
Çözüm
a. P(x) = anxn + an–1 xn–1 + ... + a1x + x0 polinomunda;
P(0) sabit terimdir.
O halde P(x) polinomunda x = 0 için bulunan P(0) = – 4
sabit terimdir.
Çözüm
P(x) = anxn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 polinomunun sıfır polinomu olması için
b. P(x) = anxn + an–1xn–1 + .... + a1x + a0 polinomunda x = 1
için bulunan P(1) katsayılar toplamıdır. Buna göre,
an = an–1 = ... = a1 = a0 = 0 olmalıdır.
Sıfır polinomunun derecesi yoktur.
P(1) = 16 – 3.13 + 5.12 + 3.1 – 4
x = 1 için
P(1) = 1 – 3 + 5 + 3 – 4
P(1) = 2 dir.
Buna göre, a – 3 = 0 ⇒ a = 3
Püf Noktası
b + 2 = 0 ⇒ b = –2
c + 1 = 0 ⇒ c = –1
d–4=0⇒d=4
a + b + c + d = 3 – 2 – 1 + 4 = 4 bulunur.
P(x) polinomunda çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı
Ç, tek terimlerin katsayılar toplamı T ile gösterilir.
1.
P(x) = ax2 + (2b – 1) x + c + 1
x = 1 için bulunan P(1) = Ç + T dir.
x = –1 için bulunan P(–1) = Ç – T dir. Buna göre,
Ç=
1.
P (1) + P (− 1)
2
ve T =
P (1) − P (− 1)
2
dir.
P(x) = x4 – 2x2 + m – 4
polinomunun sabit terimi 6 olduğuna göre, katsayılar
toplamını bulunuz.
1
5
2.
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + 4b + c toplamını bulunuz.
P(x) = ax5 + bx4 + cx4 – 4x + 3
2.
P(x) = (2a – 3)x5 + (3b – 4)x4 – a.b + c
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, c’yi bulunuz.
polinomunun katsayılar toplamı 7 olduğuna göre,
a + b + c toplamını bulunuz.
2
8
10. Sınıf Matematik
12
İŞ-GÜÇ ve ENERJİ
POLİNOMLAR
1.
UYGULAMALI SORULAR
Polinom
Fonksiyon
4.
Aşağıdaki tablodaki boşlukları örnekde gösterildiği gibi
doldurunuz.
Evet
Hayır
f(x) = 5x6–x3 +1
Polinomun Elemanları
a. P(x) = 3x6 – 4x5 + 6x – 4 polinomunun derecesi 3 tür.
Baş
Sabit Katsayılar
Derecesi Katsayısı
Terimi Toplamı
E
6
5
1
Aşağıdaki ifadelerin karşılarındaki kutuları doğru (D) ya
da yanlış (Y) şeklinde doldurunuz.
b. P(x) = 3x6 – 4x5 + 6x – 4 polinomunun baş katsayısı 3 tür.
5
f(x) = x 4 – 1 x3–2
2
c. P(x) = 3x6 – 4x5 + 6x – 4 polinomunun sabit terimi –4 tür.
f(x) = 3
d. P(x) = 3x6 – 4x5 + 6x – 4 polinomunun katsayılar toplamı 1 dir.
f(x) = 0
f(x) = 4x2 – x –2
e. Her fonksiyon bir polinomdur.
f. Her polinom bir fonksiyondur.
2.
5
6
g. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.
P(x) = 3x – 4x + 5x – 8
polinomu ile ilgili noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
h. Sıfır polinomunun derecesi yoktur.
a. P(x) in …………………………………………… –4 tür.
j.
b. P(x) in …………………………………………… –8 dir.
c. P(x) in ……………………………………………. 6 tir.
d. P(x) in …………………………………………… –4 tür.
e. P(1) = …………………………………..………… tür.
3.
i.
5.
Aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri uygun ifadelerle doldurunuz.
a. Bir polinomu oluşturan terimlerdeki değişkenlerin üsleri
………… sayılardır.
b. ……………… polinomunun derecesi sıfırdır.
c. Bir polinomda derecesi en büyük olan terimin katsayısına
……………… denir.
d. ……………… eşit ve aynı dereceli tüm terimlerinin
katsayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.
e. Sıfır polinomunun derecesi ……………….
f. Bir polinomu oluşturan terimlerden bir değişkenle çarpım
halinde bulunmayan terime ………………. terim denir.
10. Sınıf Matematik
P(x) = Q(x) polinomları eşit olduğuna göre, aynı
dereceli terimlerinin katsayıları eşittir.
P(x) polinomunda x = 1 için bulunan P(1) değeri
katsayılar toplamıdır.
Aşağıdaki polinomlarda istenenleri bularak sonuçları
son sütunundaki sayılar ile eşleştiriniz.
2
3
5
a. P(x) = 4x + 2.x + 2.x + 3 polinomunun baş
katsayısını bulunuz.
11
2
3
5
b. P(x) = 4x + 2.x + 2.x + 3 polinomunun
derecesini bulunuz.
2
c. P(x) = 4x2 + 2.x3 + 2.x5 + 3 polinomunun sabit
terimini bulunuz.
5
2
3
5
d. P(x) = 4x + 2.x + 2.x + 3 polinomunun
katsayılar toplamını bulunuz.
3
e. P(x) = (a – 2)x2 + (b + 3)x – a.b + 1 polinomu
sabit polinom olduğuna göre, P(2) yi bulunuz.
10
f. P(x) = 2.xn–3 – 4x5 + 3x6 – 2 polinomunun
baş katsayısı 3 olduğuna göre, n doğal sayısı
en çok kaç olabilir?
9
g. P(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1 polinomu için P(3) ün
değerini bulunuz.
8
4
5
h. P(x) = (a – 2)x + (b – 3)x + (c + 4) x polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b – c
toplamını bulunuz.
14
7
POLİNOMLAR
KONU KAVRAMA TESTİ
TEST - 1
Polinomlar –1
1.
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi gerçek katsayılı
bir polinomdur?
2
polinomunun baş katsayısı 9 olduğuna göre, sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
6.
–1
I. P(x) = x – 1 – x
II. Q(x) = x2 + x
III. R(x) = (x + 5)2 + 4
IV. H(x) = x3 + x1/2 + 3
V. K(x) = 4x2 –
1
x
B) 2
2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
+4
A) 1
2.
C) 3
D) 4
polinomu gerçek katsayılı ikinci dereceden bir polinomdur.
Buna göre, P(x) polinomunun baş katsayısı kaçtır?
A) –4
C) –1
D) 1
P(x) = 3x3 + 2x2 – 14x – 12
Q(x) = (x – 2) (3x2 + 8x +2) + k
polinomları veriliyor.
P(x) = Q(x) olduğuna göre, k kaçtır?
E) 5
P(x) = (3 – m)x3 + (m – 4)x2 – 4x + 5
B) –2
P(x) = (2n + 1)x4 – 3x + n + 3
5.
A) –22
7.
B) –16
C) –12
D) –8
E) –2
E) 3
P(x) = (3m – n)x5 – (n – 6)x4 + m + n – k – 5
3.
P(x) = x6 + 3x4–n + x2 + 5
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, k kaçtır?
ifadesi bir polinom belirtmektedir.
A) 1
Buna göre, n nin alabileceği doğal sayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
A) 5
8.
4.
B) 6
C) 7
D) 8
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 10
P(x) = (a – 3)x5 – (b + 4)x3 + a + b – 5
P(x) = 3.x5–n + 6.xn–4 + 2n – 3
polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(3) kaçtır?
polinomunun sabit terimi en fazla kaç olabilir?
A) –6
A) 3
B) –5
C) –4
D) 3
E) 7
15
B) 4
C) 6
D) 10
E) 11
10. Sınıf Matematik
ÜNİTE YAZILI SORULARI
POLİNOMLAR
1.
P ^xh =
10
xn – 2 –
2x
n–4
3.
+ 2x + 3
ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği
tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden
kalanı bulunuz.
4.
2.
P(x) polinomunun derecesi 3 tür. Q(x) polinomunun derecesi 5 tir. 6
4
3
Buna göre, P(x ) – x Q(2x ) polinomunun derecesini bulunuz.
83
P(x + 3) = 4x4 – x3 + 5x + 6 P ^x + 1h – P ^x – 1h
2
= 3x – 5x + 9 2Q ^x + 1 h
eşitliği veriliyor.
P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar
toplamı 3 olduğuna göre, Q(x) polinomunun katsayılar
toplamını bulunuz.
10. Sınıf Matematik
ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ - 2
POLİNOMLAR
1.
P(x) = x5 – 27x2 + (m – 1) x – 1
polinomunun x – 3 ile bölümünden elde edilen kalan 8
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 3, x + 4 ile bölümünden kalan –7 dir.
P(x) polinomunun x2 + 3x – 4 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 1
B) 2x – 1
D) x – 5
2.
P(x) = 5x2 – (m + 1)x + nx – m – 3n
polinomu x2 – x ile tam bölünebildiğine göre, m + n kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
E) 2
E) 3x + 3
6.
P(x) polinomunun x3 – 64 ile bölümünden kalan x2 + 7x + 9
dir.
P(x) polinomu x2 + 4x + 16 ile bölündüğünde kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3x – 3 B) 3x + 3
D) 3x + 7
3.
P(x + 1) = x3 + 3x + 9
olduğuna göre, P(x – 1) polinomunun x– 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
7.
4.
P(x) = (x – 2)2 . Q(x + 2) + 3x – 14
x – 3y = 4 olduğuna göre,
x2 + 9y2 – 6xy – 3y + x – 18
A) –10
D) 12
E) 16
87
Buna göre, P(x + 7) polinomu aşağıdakilerden hangisi
ile tam bölünebilir?
8.
C) –8
P(3x + 1) polinomu x + 2 ile tam bölünebiliyor.
A) x + 2
P(x + 5) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
C) 2x – 7
E) 3x – 7
polinomu veriliyor.
B) –9
C) x + 1
B) x + 5
C) x + 10
D) x + 12 E) x + 14
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. Sınıf Matematik
9.
2
2
2
2
x − y + 8y – 16
13.
x – y = 2 olduğuna göre,
x – y – 4x + 4y
A) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
B) 2
y
x
+
ifadesinin değeri kaçtır?
y
–
1
x
–1
C) 3
D) 4
A) 4
10.
6
3
a +a –a –1
ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünemez?
A) a2 – 1
A) m +
x
–a
–x
a –1
2
2
2
B) a
C) b
D) b – a
E) a – b
E) a4 + a2 + 1
ax + a–x = m olduğuna göre,
2x
E) –3
a b – ab + a – ab
ab + a
A) a + b
a
D) –2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
15.
11.
C) 1
C) a3 + 1
B) a + 1
D) a2 + 1
B) 2
E) 5
14.
9
x + y = 2 olduğuna göre,
2
3x – bx + c
2
3x + 4x – 4
x+1
ifadesinin sadeleşmiş biçimi
olduğuna göre, c
x+2
kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
B) m + 1
2
C) m – 1
D) 2m
E) 2m + 1
16. x = a2 – 4a + 9 ve y = –a2 – 6a – 15 ifadeleri veriliyor.
6
3
12.
5 – 10 + 16 ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 121
B) 123
C) 125
D) 127
1. D
2. E
3. E
10. Sınıf Matematik
4. C
5. A
6. E
E) 129
7. D
8. B
9. C
88
Buna göre, x in en küçük değeri ile y nin en büyük değerinin toplamı kaçtır?
A) –3
10. D
B) –2
11. B
C) –1
12. A
13. D
D) 0
14. E
E) 1
15. B
16. C