POLİNOMLAR

POLİNOMLAR
Reel sayılar kümesi,sayı eksenindeki noktalar ile eşlenen en geniş kümedir.
x, hiçbir koşula bağlı olmayan, x belirsizi adı verilen ve reel sayı da olabilen bir eleman
olsun.x elemanının kendisi ile n  N n  Z defa çarpımı x n biçiminde gösterilsin.
x 0  1 , x 1  x ve a  R olmak üzere , a ile x n nin çarpımı da a. x n olsun.
(Reel sayılar kümesinde cisminden ve x eklenince halka olmasından bahsedilebilir)
a 0 , a 1 , a 2 ,......, a n reel sayılar , n dopal sayı ve x bir belirsiz olmak üzere;
a 0  a 1 .x  ......  a n x n biçimindeki ifadelere x in reel katsayılı polinomları denir.Belirsizi x
olan polinomlar P(x),Q(x),T(x),…. gibi sembollerle gösterilir.
Örneğin: P(x)  2x 3  5x  1 x’in reel katsayılı bir polinomudur.
a k  0, k  N, k  N olmak üzere, P(x)= a 0  a 1 .x  ......  a n x n polinomunu oluşturan a k x k
biçimindeki ifadelerden her birine P(x) polinomunun terimleri denir. a k reel sayısına bu
terimin kat sayısı ,k doğal sayısına bu terimin derecesi, a 0  0 ise a 0 reel sayısına P(x)
polinomunun sabit terimi denir.En yüksek dereceli terimin katsayısına başkatsayı ve
derecesine de polinomun derecesi denir.P(x) polinomunun derecesi der[P(x)] biçimde
gösterilir.
Polinomlarla-fonksiyonlar arasında bir ilişkilendirme yapabilir mi?(öğrenciye yöneltilecek)
(Eğer x belirsizi reel sayı varsayılırsa,reel sayılar kümesinde çarpma ve toplama işleminin
kapalılık özelliği gereğince,P(x) ifadesinin bir reel sayı olduğu gerçektir.Bu
nedenle, P( x )  a 0  a 1 x  ........  a n x n denklemi ile reel sayılardan reel sayılara bir
fonksiyonu tanımlanmış olur.
Fonksiyon
Polinom
Polinomun Başkatsayı Sabit terim Polinom
mu?
derecesi
katsayılar
toplamı
3
f ( x )  2 x  5x  1
1
f (x)  2x 4  x  5
2
1
f(x)= 
2
f (x)  x
1
2
1
f (x)  2 x 
x
f(x)= (1  3 ) x 5  4
3
Tablo öğrenciler tarafından doldurulacak.
ÖRNEKLER:
1)P(x)=  5  x  5x 2  6x 3  4x 5 polinomunu x in azalan kuvvetlerine göre
yazınız.Polinomun derecesini ve başkatsayısını bulunuz.Polinomun katsayılar toplamı
bulunuz.Polinomun sabit terimini bulunuz.(öğrencinin sabit terimi ve katsayılar toplamını
veren kuralları bulmaları istenecek)
2) P( x)  2x m2  3x m  x 2 m 4 ifadesinin bir polinom olduğu bilinmektedir.Bu polinomu
bulunuz.
3) P(x)  (2m  1)x 3m2  (m  2)x  m1  2x m ifadesinin bir polinom olduğu bilinmektedir.Bu
polinomu bulunuz.
8
4) P(x)  x 3  x m1  x m5  3 ifadesi bir polinom olduğuna göre m kaçtır?
Tanım: P( x )  a 0  a 1 x  ........  a n x n polinomunda;
a 0  0 ve a 1  a 2  ......  a n  0 ise , polinoma sabit polinom a 0  a 1  ....  a n  0 ise
polinoma sıfır polinomu denir.
ÖRNEKLER:
1) P(x )  (m  1)x 4  (n  2) x 2  5 polinomunun sabit polinom olması için m ve n nin alacağı
değerleri bulunuz.
2) P(x)  (a  1)x 2  (b  2) x  c  4 polinomunun sıfır polinomu olması için a,b,c nedir?
İki Polinomun Eşitliği
Tanım: P( x )  a 0  a 1 x  ........  a n x n ve
Q( x )  b 0  b1x  ..........  b m x m polinomları verilsin.
P(x)=Q(x) olması için derecelerinin aynı ve aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması
gerekir ve yeter.
P(x)=Q(x)  m=n  a 0  b 0  a1  b1  a 2  b 2  ........  a n  b m olmalıdır.
Örnek: P(x)  (a  2)x 3  (b  3)x 2  c ve Q(x)  2x 2  (d  1)x  4 polinomları
veriliyor.P(x)=Q(x) olduğuna göre a+b+c+d toplamı neye eşittir?
Örnek: P(x)  x m1  (4n  1)x 3  px 2  3 ve Q(x)  x 5  3x 3  4x 2  3
veriliyor.P(x)=Q(x) olduğuna göre m,n,p nedir?
Çok Değişkenli (Belirsizli) Polinomlar
Değişken sayısı birden fazla olan polinomlara çok değişkenli polinom denir.Değişkeni x,y ise
P(x,y) biçiminde gösterilir.
Örnek: P(x,y)= 4x 4  3y 2  6axy 3  xy  2x 2 y 3  3
Örnek: P(x, y, z)  3x 4  2xy  4z 2 y
Bu tür polinomlarda terimlerin her birinin derecesi x ve y nin dereceleri toplamına
eşittir.Polinomun derecesi ise polinomu oluşturun terimlerin derecelerinin en büyüğüdür.
Örnek: P(x)  2x 2 y3  3x  5y  2 iki değişkenli polinomda;
x e göre derecesi, 2x 2 y 3 teriminin derecesi olan 2
y e göre derecesi 2x 2 y 3 teriminin derecei olan 3
P(x,y) nın derecesi 2+3=5 dir.
Örnek: P(x, y, z)  5x 3 y 2 z  4x 2 yz 3  6xy 5 z 4  yz  1 polinomu veriliyor;
a)Polinomun her bir temrinin x e göre
b)Polinomunun her bir teriminin y e göre
c)Polinomunun her bir teriminin z e göre
d)Polinomunun her bir teriminin x,y ve z ye göre derecesini söyleyiniz.
NOT:Polinom-Fonksiyon ilişkisi hatırlatılacak.
Örnekler:
1) P(x)  x 5  2x 4  x 2  2 polinomu veriliyor.
a)d[P(x)] =?
b)Polinomun katsayıları toplamı kaçtır?
c)x=1 için polinomun değerini bulunuz.
2) P(x)  2(x  2) 2  (x  3) polinomu veriliyor.
a)d[P(x)] =?
b)Polinomun katsayıları toplamı kaçtır?
c)x=1 için polinomun değerini bulunuz.
NOT: P( x )  a 0  a 1 x  ........  a n x n polinomunun katsayılar toplamını P(1)=katsayılar
toplamıdır.
3) P(x)  (x 2  2x  2)( x 2  4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
4) P(x  2)  5x 7  4x 6  2x 3  x 2  2x  1 polinomunun çift kuvvetli terimlerin katsayılar
toplamı kaçtır?
NOT(öğrencinin çözmesi bekleniyor): P(x)  a 0  a1x  a 2 x 2  .....  a n x n polinomu
veriliyor.Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulunuz.
P(1)  a 0  a 1  a 2  a 3  .....  a n (1) n
P(1)  a 0  a 1  a 2  ......  a n
P(1)  P(1)  2(a 0  a 2  ....)
P(1)  P(1)
 a 0  a 2  a 4  .....
2
bulunur.
Ödev: Tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı
P(1)  P(1)
olduğu bulunacak.
2
Örnek: P(x)  x 2  2x  5 polinomu veriliyor.
a)P(-2)
b) P(1  2 )
c)P(x+1)
d) P( x 3 )
Örnek: P(2x  1)  3x 2  4x  2 polinomu veriliyor.P(x) polinomunu bulunuz.
Örnek. P(x  3)  x 2  5x  3 olduğuna göre P(2x+1) polinomunu bulunuz.
Polinomlarda İşlemler
Polinomlarda Toplama ve Çıkartma
P( x)  a n x n  ......  a1x  a 0 ve
Q( x )  b m x m  ...........  b1x  b 0
ve n  m
olmak üzere, bu iki polinomun toplamı,
P(x)  Q( x)  (a 0  b 0 )  ......(a n  b n ) x n  b n 1x n 1  .....  b n biçiminde tanımlanır.
Örnekler:
1) P(x)  2x 4  3x 2  5x  7 ve Q(x)  5x 3  4x  2 polinomlarının toplamı kaçtır?
2) P(x)  4x 2  3x , Q(x)  x 2  2x  6 ve K ( x )  2x  5 ise P(x)+Q(x)+K(x) toplamını
bulunuz.
3) P(x)  5  3xy  y 2  4xy 3 ve Q(x)  2  xy  5y 2  3xy 3 ise P(x)-Q(x) farkını bulunuz.
NOT:Toplam ve fark polinomlarının derecelerini bulmaları öğrenciden istenecek ve genel
kuralı oluşturmaları istenecek.


NOT:Toplama işleminin özellikleri sorularak, R ( x ) , matematik sisteminin değişmeli grup
olduğu paylaşılacak.
Polinomlarda Çarpma
P(x) ve Q(x) gibi iki polinomu çarpmak için, P(x) in her terimi Q(x) in her bir terimi ile
çarpılır.
Örnekler:
1) P(x)=3x+2 ve Q(x)= 2x 2  x  1 ise P(x).Q(x) bulunuz.
2)P(x)=5 ve Q(x)= x 2  4x ise P(x).Q(x) bulunuz.
3)P(x)= x 2  x  1 ve Q(x)  x 3  x 2  2x  3 ise P(x).Q(x) bulunuz.
NOT:Her bir örnek için çarpımın derecesi öğrenciye sorulacak genel kuralı bulmaları
istenecek.
Örnek: P(x)  2x 3  3x 2  1 ve Q(x)  x 2  5x ise
a)3P(x)-Q(x)=?
b)P(x)-xQ(x)=?
c)der[2Q(x)-P2(x)]}=?
d)der[3P(x)+2xQ(x2)]=?
NOT:Çarpma işleminin özellikleri sorulacak ve polinomlar halkasına sözedilecektir.
Polinomlar Halkası
R [ x ] polinomlar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin;


1) R ( x ) , sistemi değişmeli grup.
2) R [ x ] kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3) R [ x ] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.Öyleyse
R ( x ) ,, sistemi bir halkadır.
ALIŞTIRMALAR:
1) A(x) , B(x) , C(x) polinomları için A(x).B(x)= 2x 3  x 2  4x  2 ,
A(x).C(x)= 2x 3  3x 2  6x  9 olduğuna göre A(x).(B(x)-C(x)) polinomunu bulunuz.
2) P(x)  x 5  (x  1)( x 4  x 3  x  1) polinomu ,kaçıncı dereceden bir polinomdur?
3)P(x) polinomu için (2x  1)P(x)  6x 2  x  c dir.P(x) polinomunu ve c yi bulunuz.
4) P(x)  (x 3  ax 2  4)( x 2  3x  a  2) dir.P(x) polinomunun sabit terimi -12 ise ,derecesi
3 olan teriminin katsayısı kaçtır?
5) P(x, y)  x 2  2x 3 y3  x 4  6 ise P(x 2 , y 3 )
ın derecesi kaçtır?
6) P(x  1)  P(x  1)  4x 2  6x  12 olduğuna göre a+b+c nin toplamı kaçtır?
Polinomlarda Bölme
Q( x )  0 dir der[Q(x)]  der[P(x)] ve der[K(x)]  der[Q(x)] olmak üzere ,
P(x)=Q(x).B(x)+K(x) eşitliğini sağlayan P(x) polinomuna bölünen Q(x) polinomuna
bölen,B(x) polinomuna bölüm ve K(x) polinomuna da kalan adı verilir.Bölümü bulma
işleminede bölme işlemi denir.
Bir bölmede K(x)=0 ise buna tam bölünme denir.
Örnekler:
1) P( x )  x 2  4x  3 polinomunu Q( x )  x  1 polinomuna bölünmesinden elde edilen
bölüm ve kalanı bulunuz.
2) P(x)  2x 4  3x 2  4x  1 polinomunu Q(x)  x 2  3 polinomuna bölünmesinden elde
edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
3) P(x)  6x 4  x 3  4x 2  5x polinomunu Q( x )  3x  2 polinomuna bölelim.Bölüm ve
kalan kaçtır?
NOT:Bölümün derecesi her bir örnek için bulunup,kural bulunması istenecek.
ALIŞTIRMA:
 P( x ) 
1) der[P(x).Q(x)]=10 ve der 
  6 ise der[P(x)+Q(x)] kaçtır?
 Q( x ) 
 P 2 (x) 
2) der[P(x).Q3(x)]=17 ve der 
  6 ise der[P(x)-Q(x)] kaçtır?
 Q( x ) 
3) der[P(x).Q(x)]=8 ve derP(Q(x))  15 ise derecesi küçük olan polinomun derecesi kaçtır?
4) P(x)  Q(x)  x 2  6x  5 ve
P( x )
 x  1 ise P(x 2 ).Q(x 3 ) çarpımının derecesi kaçtır?
Q( x )
Horner Yöntemi İle Bölme(Sentetik Bölme)
1) P(x)  5x 4  4x 2  2x  3 polinomu Q( x )  x  1 polinomuna bölünmesinden elde edilen
bölüm ve kalanı bulunuz.
2) P(x)  2x 3  5x 2  4x  1 polinomu Q( x )  2 x  1 polinomuna bölünmesinden elde edilen
bölüm ve kalanı bulunuz.
3) P(x)  x 3  2x 2  5x  3 polinomu Q(x)= ( x  1)( x  2) polinomuna bölünmesinden elde
edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
NOT:Sırayla (x-a) ve (x-b) ile bölümünden kalan k1 ve k2 ise kalan=(x-a)k2+k1.
Bir Polinomun x-a , x+a, ax+b ile bölümünden kalanı bulmak:
P(x)
x-a
Q(x)
K(x)
P(x)=(x-a)Q(x)+K(x) bölme eşitliğinde x yerine a yazılırsa;
P(a)=(a-a).Q(x)+K
P(a)=0.Q(x)+K
P(a)=K elde edilir.
Örnek: P( x )  x 3  5x 2  2x  3 polinomunun x-2 ile bölünmesinde elde edilen kalanı
bulunuz.
Örnek:P(x) polinomu ax+b ile bölümünden elde edilen kalanı bulma yolu öğrencilere
sorulacak,ispatlamaları istenecek.
Örnek: P(x)  4x 2  2x  1 polinomunun 2x-1 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.
UYGULAMALAR:
1) P( x )  x 4  ax 3  3x  1 polinomu x-1 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, a kaçtır?
2) P( x )  2x 3  3x 2  mx  5 polinomunun x-2 ile bölümünden kalan -3 olduğuna göre , x+2
ile bölümünden kalan kaçtır?
3)P(x) polinomu için P(x  1)  x 3  x 2  4x tir.P(x) polinomu x+2 ile bölündüğünde kalan
kaç olur?
4) P(x)  5x 3  7x  8 polinomu veriliyor.P(x+2) polinomu x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?
5) P(x  2)  2x 3  7x 2  5x  1 polinomu veriliyor.P(x+2) polinomu x-1 ile bölümünden
kalan kaçtır?
6) P(x  3)  x 2  2x  5 polinomu veriliyor.P(2x-1) polinomunun x+1 ile bölümünden kalanı
bulunuz.
7) P(x)  x 5  7x 2  8x  1 ifadesinin x 2  1 ile bölümünden kalan kaçtır?
8) P(x)  x 18  3x 15  2 polinomunun x 3  1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
9)Bir P(x) polinomu x+1 ile bölümünden kalan 6 , x-2 ile bölümünden kalan -3 tür.P(x)
polinomunun (x+1)(x-2) çarpımı ile bölümünden kalan nedir?
10) P(x)  2x 4  11x 3  19x 2  10x  2 polinomunun , x 2  3x ile bölümünden elde edilen
kalanı bulunuz.
11) P(x)  x 3  2x 2  mx  2  0 denkleminin köklerinden biri -1 ise P(x) in (x+1) ile
bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.
12) P(x)  x m
2
12
 3 m polinomunun x-3 ile kalansız bölünebilmesi için m ne olmalıdır?
13)P(x) polinomu ( x  2) 2 ile bölümünden kalan 4x-3 olduğuna göre bu polinomun (x+2) ile
bölümünden kalan ne olur?
14)P(x) polinomunun x+1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 5, Q(x) polinomunun x+1 ile
bölünmesinden elde edilen kalan 7 ise x.P(x)+P(x).Q(x) polinomunun x+1 ile bölümünden
elde edilen kalanı bulunuz.
15) P(x)  2x 4  x 3  mx 2  nx  p polinomunun x 3  2 ile bölümünden elde edilen kalan
x 2  3x  5 ise m,n ve p değerini bulunuz.
16) P( x)  x 3  2x 2  mx  nx 2  2x  3 polinomunun x 2  2 x  3
ile tam olarak bölünüyorsa, m ve n değerlerini bulunuz.
17)Bir P(x) polinomunun (x-2) ve ( x 2  5) bölümünden kalanlar sırasıyla -17 ve (-2x-4)
tür.P(x) in ( x  2)( x 2  5) ile bölümünden kalan ne olur?
18) P(x  2)  (x 2  2x).Q(x  1)  4 polinomu veriliyor.Q(x) polinomunun (x-4) ile
bölümünden kalan 4 tür.Buna göre P(x) polinomu (x-1) ile bölümünden kalan ne olur?
19) P(x)  x 4  4x 3  4x 2  16x  16 polinomunun karakökünu bulunuz.
20) P(x )  x 4  2x 3  mx 2  nx  9 polinomu tam kara ise m ve n ‘in değerlerini bulunuz.
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomlar halkasının çarpma işlemine göre kapalı olduğu hatırlayın.Bir polinomu,iki yada
daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazmaya ,bu polinomu çarpanlarına ayırma denir.
Örneğim;
1) x.(4x  3)  4x 2  3x olduğundan , x ile 4x-3 polinomları 4x 2  3x polinomunun
çarpanlarıdır.
2) P( x)  3x 3  3x 2 polinomunu, P(x )  3x 2 ( x  1) biçiminde yazarak, 3x 2 ve (x-1)
polinomlarının 3x 3  3x 2 polinomunun çarpanları denir.
Tanım:Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan
polinomlara İNDİRGENEMEYEN POLİNOMLAR denir.Baş katsayısı 1 olan
indirgenemeyen polinomlara da asal polinomlar denir.
Örnek: P( x )  x 2  4 , Q( x )  2x 2  1 , R ( x )  3x  1 , K ( x )   x  7 indirgenemeyen
polinom örnektir.
Hangilerinin asal polinom olduğu öğrenciye sorulur?
Tanım: Bir P(x) polinomunun çarpanlarından her biri asal polinom yada bir asal polinomun
kuvveti biçiminde ise , bu polinomlara P(x) asal çarpanları denir.
Uyarı:P(x)=Q(x).R(x) biçinde yazdığımızda R(x) ve Q(x) asal polinomlar ise Q(x) ve R(x) e
P(x) in asal çarpanları denir.
R(x) ve Q(x) polinomları asal yada indirgenemeyen polinomlar ise Q(x) ve R(x) e P(x) in
çarpanları denir.
Örnek:
1) P( x )  x 3  x polinomu, P(x)=x(x-1)(x+1) asal çarpanlarına ayrılmıştır.
2) P(x)  6x 2  2x polinomu, P(x)=2x.(3x-1) asal çarpanlarına ayrılmıştır.
ÖZDEŞLİKLER
Tanım: İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin her değeri için sağlanan eşitsizliklere
ÖZDEŞLİK denir.
a)Tam Kare Özdeşliği:
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2  a 2  b 2  (a  b) 2  2ab
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
 a 2  b 2  (a  b) 2  2ab
(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc
Örnekler:
1) (x  2y) 2  ?
2) ( 3a  2b ) 2  ?
y

3)  3x    ?
2

4)x+y+z=10 ve xy+xz+yz=3 olduğuna göre x 2  y 2  z 2  ?
5) 2x 
1
1
 4 ise 4x 2  2  ?
x
x
6) x 2  y 2  34 ve x-y=8 olduğuna göre x+y=?
b)İki Kare Farkı Özdeşliği:
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
Örnekler:
1) (2x  3 )( 2x  3 )  ?
2
2
2) ( xy  3 )( xy  3 )  ?
3
3
3) (x m  2y n )( x m  2y n )  ?
c)İki Terimin Toplamı veya Farkının Küpü:
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
Örnekler:
1) (5x  y) 3  ?
 a 3  b 3  (a  b) 3  3ab(a  b)
1
2) ( 2 x  ) 2  ?
2
3) (x  y) 3  ?
4) (1  3x ) 3  ?
2
5) (2m  n ) 3  ?
3
6) a  b  7 , a.b  12 ise a 3  b 3  ?
7)a-b=5 ve a.b=7 ise a 3  b 3  ?
8) a 
1
1
 4 ise a 3  3  ?
a
a
d)İki Küp Toplamı veya Farkı:
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
Örnekler:
1) 27  8a 3  ?
2) 64 
n3
?
8
3) x 6  y 3  ?
4) ( x 2  5)( x 4  5x 2  25)  ?
5) (3 10 x  3 2 )(3 100 x 2  3 20x  3 4 )  ?
6) m 
1
1
 6 ise m 3  3  ?
m
m
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
1)Ortak Çarpan Parantezine Alma: Bir polinomun her teriminde aynı çarpan,yani ortakdan
bir çarpan varsa,bu çarpanın parentesine alınarak verilen ifade çarpanlara ayrılır.
Örnekler:
1) ax 2 y  3xy  ?
2) 4x 2 m  8x 3m  ?
3) ( x  2)(1  2b)  y(2b  1)  ?
4) 2(m  n ) 2  3(n  m)  ?
5) a (2a  3)  2a  3  ?
2)Gruplandırma Yöntemi
Polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan yoksa,ortak çarpanı olan terimler yan
yana getirilecek gruplanır.Bu gruplar ortak çarpan parantezine alınarak,ortak bir çarpan elde
edilirse,yeniden ortak çarpan parantezine alınır.
Örnekler:
1) ax  3a  bx  3b  ?
2) aex  bey  afx  byf  ce  cf  ?
3) b(2a 2  3)  a (b 2  6)  ?
4) ab(c2  d 2 )  cd(a 2  b 2 )  ?
5) ac 2  3c  bc  2ac  6  2b  ?
6) mn (z 2  y 2 )  zy (m 2  n 2 )  ?
3)Tam kare Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)  a 2  2ab  b 2
Özdeşliklerinden yararlanırız.
Örnekler:
1) 4a 2  12a  9 ifadesini çarpanlara ayırınız.
2) x 2  10x  25 ifadesini çarpanlara ayırınız.
3)
a 4 a 2b b2
ifadesini çarpanlara ayırınız.


9
3
4
4) a 2 b 3  2ab 4  b 5 ifadesini çarpanlara ayırnızı.
5) x 2  x 
1
ifadesinin çarpanlara ayırınız.
4
6) 16x 4 y 2  24x 2 y  9 ifadesinin çarpanlara ayırınız.
4)İki kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:
a 2  b 2  (a  b)(a  b) özdeşliğinden yaralanırız.
Örnekler:
1) (m  n) 2  (m  n) 2 ifadesini çarpanlara ayırınız.
2) 25m 2  10m  1  36n 2 ifadesini çarpanlara ayırınız.
3) 75  3(x  1) 2 ifadesini çarpanlara ayırınız.
4) x 2  12x  36  4y 2 ifadesini çarpanlara ayırınız.
5) x 4  y 4 ifadesini çarpanlara ayırınız.
5)İki Küp Toplamı veya Farkından Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
özdeşliklerinden yararlanırız.
Örnekler:
1) 27  64 y 3  ?
2) (x  1) 3  8  ?
3) 27(m  n)  (m  n) 4  ?
4) 8x 3  0,08  ?
5) x12  y12  ?
6) x 2  bx  c Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayırması:
x 2  bx  c üç terimlisini c sabit teriminden yararlanarak çarpanlarına ayıralım.c=m.n ve
b=m+n
x 2  bx  c =(x+m)(x+n) biçiminde çarpanlara ayırınız.
Örnekler:
1) x 2  8x  15  ?
2) x 2  x  6  ?
3) (x  y) 2  6(x  y)  72  ?
7) ax 2  bx  c Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlarına Ayırılması:
ax 2  bx  c üç terimlilerini çarpanlarına ayırırken, a ve c nin çarpanlarına bakarız.a=m.n ve
c=p.q olsun şayet;
ax 2  bx  c
m
p
n
q
=m.q+n.p=b ise ax 2  bx  c =(mx+p)(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır.
Örnekler:
1) 3x 2  10 x  36 polinomunu çarpanlarına ayırınız.
2) x 2  17 x  14 polinomunu çarpanlarına ayırnız.
3) 4x 2  x  14 polinomunu çarpanlarına ayırnız.
NOT: İkinci dereceden bir bilinmeyenli ax 2  bx  c üç terimlilerinde b 2  4a.c0 ise , üç
terimli çarpanlarına ayrılmaz.
Örneğin; x 2  2x  4 ifadesi çarpanlarına ayrılmaz.
8)Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:
Verilen üç terimli ise orta teriminin katsayısının yarısının karesini ekleyip çıkararak tam
kareye tamamlanır,iki kare farkına dönüştürürüz.( ax 2  bx  c ise önce a parantezine
aldıktan sonra aynı işlem)
Örnekler:
2
7 7
1) x  7 x  6  x  7 x  6      
2 2
49
49
 x 2  7x 
6
4
4
2
2
2
2
7
25

 x   
2
4

7 5 
7 5

  x    x   
2 2 
2 2

2) x 4  x 2 y 2  y 4 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
3) 16a 4  4a 2 b 2  b 4 ifadesini çarpanlara ayırınız.
4) x 4  4 ifadesini çarpanlara ayırınız.
5) x 4  8x 2 b 2  4b 2 ifadesini çarpanlara ayırnız.
6) 4x 4  13x 2 y 2  y 4 ifadesini çarpanlara ayırnız.
Polinomlarda E.K.O.K ve E.B.O.B
En az birinci dereceden,iki yada daha çok polinomun hepsine de tam olarak
bölünebilen en küçük dereceli polinoma bu polinomların EKOK u denir.
En az birinci dereceden,iki yada daha çok polinomun hepsine de tam olarak bölen en
büyük dereceli polinoma ise bu polinomların EBOB u denir.
Örnekler:
1)
P( x )  x 2  3x  2
Q( x )  ( x  2) 2 .x
polinomlarının EKOK ve EBOB’ini bulunuz.
P( x )  (3x 2  3x )( x  2)
2) Q( x )  (9 x 3  18x 2 )( x  1) 3
polinomlarının EKOK ve EBOB ‘ini
R ( x )  (27 x 5  54 x 4 )( x 2  2 x  1)( x 2  4 x  4)
bulunuz
P( x )  4 x 3  4 y 3
3) Q( x )  2 x 3  4 x 2 y  2 xy 2 polinomlarının EKOK ve EBOB’ini bulunuz.
R ( x )  12 x 2  12 xy  12 y 2
NOT: P(x) ve Q(x) polinomlarının sabit polinom dışında ortak böleni yoksa,P(x) ve Q(x)
polinomlarına aralarında asal polinomlar adı verilir.
4)
P( x )  4x 2 ( x 2  x  2)
Q( x )  ( x  1)( x 2  2x  15)
polinomlarının EKOK ve EBOB’ini bulunuz.
RASYONEL İFADELER
P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q( x )  0 için
ifadeler denir.
P( x )
biçimindeki ifadelere rasyonel
Q( x )
P ( x , y)
, Q( x, y)  0 olmak üzere rasyonel ifadedir.
Q( x , y )
Örnekler:
1)
x2
=?
x2  9
x2  x  6
2)
?
x 2 1
3)
3
?
x5
4)
x 3  y3
?
xy  x
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi:
P( x )
rasyonel ifadesi sadeleştirmek için P(x) ve Q(x) polinomları çarpanlarına ayrılır.Pay ve
Q( x )
paydada ortak çarpanlar varsa pay ve payda bu ortak çarpanlara bölünerek rasyonel ifade
sadeleştirilir.
Örnekler:
1)
a 3  6a  a 2
ifadesini sadeleştiriniz
a 3  a 2  2a
2)
2 x ( x  1)  4 x ( x  1)
rasyonel ifadesini sadeleştirelim.
x 3  x 2  4x  4
3)
x 2  6x  c
ifadesini sadeleştirelim.
x2
4)
4x 3  9x 2 y
ifadesini sadeleştiriniz.
3x 3 y  x 2 y 2  2xy 3
a 2  2a  1  b 2
5) 2
ifadesini sadeleştirniz.
a  b2  a  b
6)x=17 için
x 4  16
rasyonel ifadesinin sayı değeri nedir?
x 3  2x 2  4x  8
Rasyonel İfadelerin İşlemleri
Toplama ve Çıkartma
P( x )
R (x)
ve
rasyonel ifadeleri verilsin;
Q( x )
S( x )
P( x )
R ( x ) P( x ).S( x )  R ( x )Q( x )
=
ifadesine bu iki rasyonel ifadenin toplamı ve farkı

Q( x ).S( x )
Q( x )
S( x )
denir.
NOT:İfadeler çarpanlara ayrılarak en sade biçime getirilir.Paydalar eşitlenir (EKOK
bulunarak) işlem yapılır tekrar sadeleştirilir.
Örnekler:
1)
x
1

?
x 1 x 1
2)
a2
a

?
2
a 1 a 1
3)
xy xy

?
xy xy
4)
4
1
 2
?
x  1 x  2x  3
5)
8x  12
2ax
5x
 2
 2
işlemini yapınız,sonucu en sade biçimde yazınız.
4x  12x  9 4x  9 2x  3x
6)
2x  3
2x  1
 2
işlemini yapınız ,sonucu en sade biçimde yazınız.
4x  12x  9 6x  x  2
7)
x 2  3x  2 x 2  3x  2
işlemini yapınız,sonucu en sade biçimde yazınız.

x 2  2x  1
x2  4
8)
x  13
A
B


ise A ve B değerleri kaçtır?
x x 6 x 3 x 2
2
2
2
2
x 1
rasyonel ifadesini paydaları birinci dereceden olan iki rasyonel ifadenin toplamı
x2  x
biçimde yazınız.
9)
Çarpma Ve Bölme
P(x),Q(x),T(x) ve S(x) polinomları için Q( x )  0 ve S( x )  0 olmak koşuluyla;
P( x ) T( x ) P( x ).T( x )
rasyonel ifadesi iki rasyonel ifadenin çarpımı
.

Q( x ) S( x ) Q( x ).S( x )
P( x ) T( x ) P( x ) S( x )
ii)
ifadesine iki rasyonel ifadenin bölümü denir.
:

.
Q( x ) S( x ) Q( x ) T( x )
i)
Örnekler:
x 1 x2
1)
çarpma işlemini yapınız.
.
x x2 1
4x 2
2x
2) 2
bölme işlemini yapınız.
:
x 4 x2
3)
x 2  4x
x 2 1
=?
. 2
x  1 x  5x  4
4)
m2  n 2
m 2  2mn  n 2
:
?
2a 2  2ab  2b 2
a 3  b3
1 2

x x 2 işlemini yapınız.
5)
3 5
2  2
x x
1
 x 2 1
x 2  9  x 2  3x
 : 3
6)  2
rasyonel ifadesini en sade biçime getiriniz
. 2
 x  3x  2 x  2x  3  x  8
 x 2  y 2  2y  1 x 2  x 
x
 : 2
7) x-y=4 ise 
ifadesinin değeri nedir?
.
3
x  y 1 x  x  1
x 1

 x 2  y2  z2 
xyz
 :
8) 1 
ifadesinin en sade şeklini bulunuz.
2
2
2xy

 ( y  z)  ( y  z)
Polinom Denklemler
(Öğrenci ile konuşulur)
x  R için P(x) polinomunun R  R ye bir fonksiyon olduğu ve buna bağlı olarak
P(x)= x 2  2 x  3 polinomunda x e bazı değerler vererek sonuçlar üzerinde konuşulur.
P(1)=0
P(-1)=-4
P(0)=-3
P(-3)=0
1 ve -3 reel sayıları için P: R  R fonksiyonu sıfıra eşitlendiği görülür.Sıfırdan farklı bir
P(x) polinomunun x in hangi değerleri için sıfıra eşit sonuçlar verdiğini bulmak için P(x)=0
denklemini çözmek gerekir.
Tanım:Sıfırdan farklı bir P(x) polinomu için P(x)=0 koşulunu gerçekleyen bir x reel sayısı
versa, bu x sayısına P(x) polinomunun bir kökü P(x)=0 ifadesine de bir Polinom Denklemi adı
verilir.Denklemin köklerini bulabilmek için yapılan işleme denklemin çözümü ,köklerden
oluşan kümeye de Çözüm Kümesi denir.
Tanım: a , b  R ve a  0 olmak üzere, ax+b=0 denklemine bilinmeyeni x olan birinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Örnekler:
1)2x(x+2)-5(x+2)=0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2)2(1-x)-3x=5-3(x-2) denkleminin çözüm kümesi nedir?
3)
x
x x
 3    4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
3 6
4) ax 2  a 2  ax  3  2x  2a denkleminde bilinmeyen x ,a gerçel sayısına bağlı olarak
denklemin çözüm kümesi nedir?
Rasyonel Denklemler
P(x) ve Q(x) polinomlarında x  R
ve Q( x )  0 olmak üzere
denklemler,rasyonel denklemdir.
P( x )
 0  P( x )  0 ve Q( x )  0 dir.
Q( x )
Örnekler:
x 2  2x  3
1)
 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
x 2 1
2)
x 1 x
   2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2 3 3
3)
1  2x
1
1


denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
x 1 x 1 x 1
P( x )
 0 biçimindeki
Q( x )
4)
x3
4
3x  1
 2
 2
denkleminin çözüm kümesi nedir?
x  x  6 x  4x  3 3x  3x  6
2
x2
2
5)
denkleminin çözüm kümesi nedir?

2( x  2) x  2
6)
1
1
1
1  

denkleminin çözüm kümesi nedir?
x  2 x 1
x  3x  2
2
x
7)
1
2
1
1
x 1
 x  2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
8)
x
5 2x  5
 
denkleminin çözüm kümesi nedir?
x 3 6
x
9)
1
3
1
 2

denkleminin çözüm kümesi nedir?
2 x  5x  3 4 x  9 3  x  2 x 2
2
Bir Rasyonel İfadenin Basit Rasyonel İfadelerin Toplamı Biçimde Yazılışı:
Payı sabit bir reel sayı,paydası birinci dereceden bir polinomun kuvvetleri olan
m
m
m
,
,
,......... gibi rasyonel ifadeler basit rasyonel ifadelerdir
2
ax  b (ax  b) (ax  b) 3
Örnek:
5
5
5
,
,
,...... ikinci dereceden ax 2  bx  c polinomu çarpanlara
2
3
x  2 ( x  2) ( x  2)
ayrılmıyorsa,
m
mx  t
mx  t
, 2
,
,...... basit rasyonel ifadeler.
2
ax  bx  c ax  bx  c (ax  bx  c) 2
2
Örnek:
1
x
2x  1
, 2
, 2
ifadeleri birer basit rasyonel ifadedir.
x  5 x  5 x  x 1
2
Örnekler:
1)
5x  4
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x 2  2x
2)
x 1
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
( x  2 x )( x  1)
3)
x 1
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x3  x
4)
3x  2
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x2  x3
5)
x4
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x  4x 2  4x
2
3
6)
2x 2  3
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x 4  2x  1
7)
2x 3  3x 2  x  1
rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.
x4  x2