Derece Kavramı

www.mustafayagci.com.tr, 2011
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Derece Kavramı
Birinci dereceden x’e bağlı bir polinom hayal edin. Şimdi x yerine 2x yazın. N’oldu? Yine birinci dereceden değil mi? Sadece katsayılar değişti yani. Anlayacağınız:
a, b, n birer doğal sayı, c, d, e birer reel sayı, der P(x) =
a, der Q(x) = b ve a > b olsun.
cx  d
der P(
)=a
e
der [P(x)Q(x)] = a + b
P ( x)
der (
)=a–b
Q( x)
der [P(x) + Q(x)] = a
der [P(x) – Q(x)] = a
der P(xn) = na
der Pn(x) = na
der [P(Q(x)] = ab olur.
Bir polinomda x yerine dereceyi değiştirmemek üzere
başka bir şey yazılırsa derece değişmez.
Örneğin, der P(x) = der P(2x) = der P(3x + 2).
Bir de x3 yazın bakalım. Şimdi de üçüncü dereceden oldu
değil mi? Yani 3 katına çıktı. Polinomun kübünü alsaydık da derecesi 3 katına çıkacaktı.
Genelleyelim: Bir polinomda x yerine xn yazılırsa veya
polinomun n’ninci kuvveti alınırsa derecesi n katına çıkar.
Şimdi bunlarla alakalı aşağıdaki şu örnekleri bir güzel
inceleyin. der P(x) = 4 ve der Q(x) = 3 olsun. Aşağıdaki
polinomların derecelerini tayin edelim. P(x) = x4 ve Q(x)
= x3’müş gibi düşünebilirsiniz.
Örneğin, der P(xn) = der Pn(x) = n·der P(x).
Bununla birlikte,
İki polinom çarpılırsa dereceleri toplanır, bölününce de
çıkarılır.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Aynı üslü sayılardaki gibi yani... E zaten öyle!
Örneğin, der[P(xn)·Qn(x)] = n·der P(x) + n·der Q(x).
Peki, iki polinom toplanırsa veya çıkarılırsa n’olur? x ile
x2’yi toplayınca n’oluyor ki? x2 + 2x gibi ikinci dereceden bir denklem oluyor yani büyük olanın derecesinden
oluyor.
vii)
viii)
ix)
x)
xi)
Kuralı belirleyelim:
Farklı dereceden iki polinom toplanır veya çıkarılırsa,
büyük dereceli polinomun derecesinden bir polinom elde
edilir.
Örneğin,
der [P(x).Q(x)] = 7 olur.
P ( x)
der (
) = 1 olur.
Q( x)
der [P(x) + Q(x)] = 4 olur.
der [P(x) – Q(x)] = 4 olur.
der P(2x – 11) = 4 olur.
der Q(3x + 1) = 3 olur.
x
der [x2P( )] = 6 olur.
2
der P3(x + 35) = 12 olur.
der Q(5x4 – 3) = 12 olur.
der P4(2x5 + 3) = 80 olur.
der P(Q(x + 1)) = 12 olur.
Örnek. P(x) ve Q(x) gibi iki polinom için;
P 2 ( x)
der [P(2x + 3)Q(x – 2)] = 5 ve der
=2
Q( x 2 )
olduğuna göre der [P(x) + Q(x)] kaçtır?
der (x4 + x3) = der (x4) = 4,
der (x4 − x3) = der (x4) = 4.
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Çözüm: der P(x) = a ve der Q(x) = b olsun. a + b = 5 ve
2a – 2b = 2 denklemleri ortak çözülürse a = 3 ve b = 2
bulunur. Bu iki polinom toplandığında ortaya çıkan
polinomun derecesi büyük olanın derecesi olacağından
cevap 3 olmalıdır.
Doğru cevap: C.
Yalnız bu kural, aynı dereceden iki polinomun toplanması veya çıkarılması için sağlanmayabilir. Örneğin x2 +
2x + 5 gibi ikinci dereceden bir polinomla −x2 + x – 7 gibi ikinci dereceden bir polinom toplanırsa x2’ler sadeleşeceğinden sonuç 3x – 2 gibi birinci dereceden bir
polinom çıkacaktır.
555
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
x3  Q( x)
] = 7 olduP ( x)
ğuna göre P(x) + Q(x) toplamının derecesi kaç olur?
2
Örnek. P(x, y) = x n yn + xy3 – 7 polinomunun derecesi
6 olduğuna göre P(–2, 2) kaçtır?
Örnek. der [P(x)Q(x)] = 8 ve der [
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Polinomların Derecesi
A) 37
E) 8
B) 38
C) 39
D) 40
E) 41
2
Çözüm: x n y n teriminin derecesi n2 + n, xy3 teriminin
derecesi 4 ve -7 teriminin derecesi 0 olduğuna göre
polinomun derecesinin 6 olması ancak n2 + n toplamının
6 olmasıyla mümkündür.
n2 + n = 6
2
n +n–6=0
(n + 3)(n – 2) = 0
ve n bir doğal sayı olduğundan n = 2’dir. Şu durumda
P(x, y) = x4y2 + xy3 – 7
olarak bulunduğundan
Çözüm: P(x) polinomunun derecesi p, Q(x)
polinomunun derecesi de q olsun.
der [P(x)Q(x)] = p + q = 8
x3  Q( x)
der [
]=3+q–p=7
P ( x)
eşitlikleri ortak çözülürse p = 2 ve q = 6 bulunur. İki
poli-nom toplandığında büyük dereceli polinomun derecesinden bir polinom elde edildiğinden der (P(x) + Q(x))
= 6’dır.
Doğru cevap: D.
P(-2, 2) = (-2)422 + (-2)23 – 7 = 41
bulunur.
Doğru cevap: E.
Örnek. P(x) + P(x + 1) = 2x2 + 6x olduğuna göre P(2)
kaçtır?
A)
13
2
B)
13
4
C)
12
5
D)
12
7
Sıfır Polinomunun Derecesi. Çoğu kişi sıfır polinomunu bir sabit polinom gibi düşünerek, derecesine 0 der
ama bu yanlıştır. Neden yanlış olduğunu da söyleyelim:
İki polinom çarpıldığında ortaya çıkan polinomun derecesi, çarpılan polinomların dereceleri toplamına eşit olmalıydı ya, oysa sıfır polinomuyla hangi polinomu çarparsak çarpalım sonuç 0 çıkacağından kural sağlanmaz.
E) 1
Çözüm: P(x) ile P(x + 1) polinomlarının aynı dereceden
olduğunu biliyoruz. İkisini toplayınca derecenin değişmeyeceğini de biliyoruz (Çıkarsaydık değişebilirdi ama,
nedenini bir düşünün). O halde bu polinomlar 2’nci derecedendir.
O halde sıfır polinomunun derecesi 0 değildir.
Sıfır polinomunun derecesi şimdilik a olsun o zaman.
Bunu n’ninci dereceden bir polinomla çarpalım.
0·xn = 0
olacağından dereceler için
a+n=a
eşitliğinin sağlanmasını bekliyoruz. n’nin bir doğal sayı
olduğunu düşünürsek bu eşitliği sağlayan herhangi bir
doğal sayı hatta reel sayı bile yoktur.
P(x) = ax2 + bx + c olsun diyerek P(x + 1)’i tayin edelim.
ax2 + bx + c + a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 2x2 + 6x
2ax2 + (2a + 2b)x + a + b + 2c = 2x2 + 6x
3
olduğundan a = 1, b = 2 ve c = – ’dir.
2
3
13
Buradan P(2) = 22 + 22 – =
olur.
2
2
Doğru cevap: A.
Fakat, reel sayıların da üstüne çıkarsak, n bir doğal sayıyken
(+∞) + n = (+∞)
ve
(−∞) + n = (−∞)
eşitliklerinden bahsedebiliriz.
Örnek. P(3x – 1) + P(5) = 7x + 2 olduğuna göre P(8)
kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
Şu durumda sıfır polinomunun derecesi için karşımızda
iki aday oluştu. Çarpım durumunda oluşan polinomun
derecesinin çarpılan polinomlardan büyük dereceli olanınkinin derecesi olması gerektiğinden sıfır polinomunun derecesi çoğu zaman −∞ alınır.
der (0) = −∞.
E) 16
Çözüm: P(5) bir reel sayı olduğundan P(3x – 1) birinci
dereceden bir polinomdur. P(x) = ax + b olsun diye çözüme başlayabiliriz ama biz kafamızı çalıştırıp şöyle yapacağız:
Tabii 10’uncu sınıf seviyesinde öğrencilere +∞ ve −∞
sayıları tanımlandığından, herhangi bir 10’uncu sınıf matematik kitabında sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır
yazar. Bu satırları okuyan kişi cevabını hangi sınıfta
okuduğuna bakarak karar versin. 
x = 2 için P(5) + P(5) = 16 olacağından P(5) = 8’dir. O
halde x = 3 için P(8) + 8 = 73 + 2 eşitliğinden P(8) = 15
bulunur.
Doğru cevap: D.
556
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
CEVAPLI TEST 1
6.
x 2  P( x)
]=5
Q( x)
olduğuna göre P(x) polinomu kaçıncı derecedendir?
der [P(x)Q(x)] = 7 ve der[
1.
P(x) = xm3 + 2x3 – (n + 4)x5 – 1
polinomunun derecesi 4 olduğuna göre m + n toplamı
kaçtır?
A) 3
Polinomların Derecesi
B) 4
C) 4
D) 5
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
E) 6
7.
P( x)
]=1
x  Q( x)
olduğuna göre Q(x) polinomunun derecesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
2.
der [P(x)Q(x)] = 8 ve der [
n 10
4
+ xn3 + x + 2
P(x) = x
polinomunun derecesi olabilecek en küçük iken P(–2)
kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
A) 1
E) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8.
3x  1
) = Q(x)Q(x2)
2
olduğuna göre P(x + 1) polinomunun derecesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
3.
P(
P(x) = (x2 + 3)3
Q(x) = (x3 – x2)2
2
iken R(x) = P (x) – Q(x) olduğuna göre der R(x) kaçtır?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
A) 10
C) 5
D) 6
D) 13
E) 14
9.
P(x) polinomu 6’ncı dereceden bir polinoma bölündüğünde bölüm ve kalan polinomların dereceleri eşit olmaktadır.
P(x) polinomunun derecesi en çok kaç olabilir?
der [P(x)Q(x)] = 9
veriliyor.
x2Q(x) polinomu P(x)’e bölündüğünde bölüm beşinci
dereceden olduğuna göre der [P(x) + Q(x)] kaç olur?
B) 4
C) 12
E) 2
4.
A) 3
B) 11
A) 6
B) 9
C) 11
D) 14
E) 15
E) 8
10.
a, b, c  ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere
P (x) = ax2m + bx3m  8 + c
polinomunun başkatsayısı a’dır.
Bu polinomun derecesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı nedir?
5.
der [P(x)  Q(x)]  12
der [Q3(x)]  der [P(x)]
olduğuna göre der [Q(x)] kaç bulunur?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
A) 25
B) 30
C) 40
D) 45
E) 50
1. A 2. A 3. A 4. D 5. B 6. B 7. C 8. C 9. C 10. E
E) 8
557
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
7.
CEVAPLI TEST 2
P(x – 1) + P(2x) = 5x2 + 7x + 6
olduğuna göre P(2) kaç olur?
1.
P(x) = (x2 + 5)n / 3(x3 + 7)12 / n
polinomunun derecesi en çok kaç olabilir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
A) 11
B) 2
C) 3
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
E) 16
8.
c bir reel sayı olmak üzere
P(x) + xP(x + 1) = 2x2 + cx – 1
eşitliğine göre P(–1) kaçtır?
2.
P(x) polinomunun derecesi d(P(x)) ile gösterilmektedir.
d(P(x)) = d(Q(x)) = 5 olduğuna göre
I.
d(P(x) + Q(x)) = 10
II.
d(P(x)  Q(x)) = 5
III.
d(P(x)Q(x)) = 10
IV.
d(P(Q(x))) = 25
V.
d(Q(P(x))) = 25
ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur?
A) 1
Polinomların Derecesi
D) 4
A) −3
B) −4
C) −5
D) −6
E) −7
9.
P(x) negatif başkatsayılıdır.
P[P(x)] = 4x + 5
olduğuna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
E) 5
A) −5
B) −1
C) 0
D) 1
E) 10
3.
P(x, y, z) = x3y2z + x4y + z3
polinomunun derecesi neye eşittir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
10.
P(P(x + 1)) = 16x + 41
olduğuna göre P(1)’in alabileceği en büyük değer
kaç olur?
4.
P(x)  P(2x)  10x2  6
bağıntısı veriliyor.
P(x) polinomunun x  3 ile bölümünden kalan nedir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 14
A) −1
B) 1
C) 4
D) 9
E) 20
E) 15
11.
5.
P(x) + P(2x  1) = x3 + x2  4
ise P(x  2) polinomunun x  3, x  4 ve x  5 ile bölümünden elde edilen kalanların toplamı kaçtır?
P(x – 1) + P(x + 3) = 4x + 8
olduğuna göre P(x) aşağıdakilerden hangisi olur?
A) 7
A) x + 2
B) 2x
C) 2x + 1
D) 2x + 2
45
4
C)
23
2
D)
47
4
D) 4
E) 3
12.
P(x + 1)  P(x) = 4x2 + 2m + 6
P(x) + P(x + 1) = 4x2  2m
olduğuna göre P(2) + P(3) toplamı hangisidir?
P(x – 2) + P(x + 1) = 3x + 12
olduğuna göre P(3) kaça eşittir?
B)
C) 5
E) 4x
6.
A) 11
B) 6
A) 18
E) 12
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
1.C 2.C 3.B 4.E 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.D 11.A 12.E
558