12.Dik tümleyenler 12.1. Dik tümleyenler 1.Tanım: iççarpım uzayının

12.Dik tümleyenler
12.1. Dik tümleyenler
1.Tanım:
iççarpım uzayının bir altuzayı olsun. ’deki bir u vektörü, ’
deki her vektöre dik ise ’ye de diktir denir.
2.Tanım:
iççarpım uzayının bir altuzayı olsun.
ye dik olan ’deki tüm
vektörlerin kümesine ’ nin deki dik tümleyeni denir ve
ile gösterilir.
1.Ö.:
ün
[
] vektörünün bütün katlarından oluşan, bir alt uzayı olsun.
{ }, bir boyutlu alt uzayıdır.
Yani,
deki vir vektörü
e ait olması için
gerek ve yeter şart herhangi bir skalar olmak üzere nun
ya dik olmasıdır.
Böylece, geometrik olarak,
normalı olan bir düzlemdir. Bu
olacak şekildeki tüm P(x,y,z) noktaların cümlesi olarak ifade
edilebilir.
1.Teorem:
iç çarpım uzayının bir altuzayı olsun. Bu durumda
i.
de V’nin bir altuzayıdır.
{ } dır.
ii.
İspat:
i.
de iki vektör olsun. Bu durumda
W’deki her bir
vektörüne diktir.
(
) (
) (
)
olduğundan
in elemanıdır. Buna ilaveten bir ,
de bir
vektör ve bir skalar olsun. Bu durumda W’ daki herhangi bir w vektörü için
(
)
(
)
olup
vektörü
in elemanıdır. Bu ise,
nın vektör toplamı ve skalar
ile çarpımı altında kapalı olmasını gerekirir ve böylece,
V’nin bir
altuzayıdır.
ii.
de bir vektör olsun. Bu durumda u hem W nun, hem de
in
elemanıdır. Dolayısı ile (
)
olur. Tanıma göre
olduğu görülür.
) ∫ ( ) ( ) iç çarpımını tanımlayalım. ün
2.Ö.: Öklid uzayında (
} olsun.
altuzayı olan W nun bir bazı {
nin bir bazını bulunuz.
Çözüm:
nin bir elemanı ( )
olsun. W nun verilen bazındaki her
bir vektöre, p(t)’nin dik olması gerektiğinden
1
(
(
( ))
)
∫(
( ))
)
∫(
{
homojen denklem sistemin çözümünden
elde edilir. Buradan
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
alınır.
Bundan dolayı
ve
vektörleri
uzayını gerer.
Burada biri değerinin bir katı olmadığından bu vektörler lineer bağımsızdır ve böylece
nın bir bazını oluşturur.
2.Teorem:
taktirde
iç çarpım uzayının sonlu-boyutlu bir altuzayı olsun. Bu
dir.
İspat:
olsun. Bu durumda , m tane vektörden oluşan bir baza sahiptir.
Gram-Schmidt metodu ile bu bazı bir ortogonal baza dönüştürebiliriz.
nun
bir ortonormal bazı
{
} olsun. de bir vektör olmak üzere
(
)
(
)
(
)
ve
olsun.
S deki vektörlerin bir lineer birleşimi olduğundan W ya aittir. Şimdi W nun bir bazı
olan S deki her bir vektöre nun dik olduğunu gösterirsek nun
de olduğunu
göstermiş oluruz.
(
) (
) (
) (
) (
)
)
(
)
(
)
) (
)(
)
.
((
) (
)
Zira
için (
ve
için (
dir. Böylece
daki
)
her vektöre dik ve bundan dolayı
nın elemanıdır.
{ }
Bu da
olduğunu ifade eder. 1.Teoreme göre
olduğundan
elde edilir.
2
3.Teorem:
iç çarpım uzayının sonlu-boyutlu bir altuzayı ise, o zaman
(
)
dir.
İspat:
vektör da herhangi bir vektör ise, bu taktirde ,
deki, her vektörüne diktir.
(
) da bir keyfi bir vektör olsun.
Böylece
nin elemanıdır. Tersine,
2.teoremden
nun elemanı olmak ve da
nin elemanı olmak üzere
şeklinde yazılabilir. ,
da olduğundan
(
) (
) (
) (
) (
)
veya (
olur. Bu ise
olduğunu gösterir. Buradan
)
böylece (
dir.
)
ve
12.2 Bir matrise karşılık gelen temel vektör uzayları arasındaki ilişkiler
[
], mxn tipinde keyfi bir matris olsun.
3.Tanım: A nın satırları
de vektör olarak gözönüne alındığında
altuzayına A’nın satır uzayı denir.
4.Tanım: A nın sütunları
de vektör olarak gözönüne alındığında
bir altuzayına A’nın sütun uzayı denir.
nin gerdiği bir
nin gerdiği
4.Teorem:
mxn tipinde satırca (sütunca) denk olan matrisler ise o zaman
A ve B satır (sütun) uzayları eşittir.
İspat:
A ve B satırca denk ise o zaman A nın satırlarına bir sonlu sayıda elementer
işlemler ile B nin satırları elde edilir. Buradan B nin her bir satırı A nın
satırlarının bir lineer birleşimidir. O halde A nın satır uzayı B nin satır uzayını
kapsar. B matrisine ters elementer işlemleri uygulanırsa A yı elde ederiz.
Dolaysıyla B nin satır uzayı A nın satır uzayını kapsar. Böylece A ve B nin satır
uzayları özdeştir.
Sütun uzayları için ispat benzerdir.
5.Tanım: A nın satır uzayının boyutuna A nın satır rankı denir.
6.Tanım: A nın sütun uzayının boyutuna A nın sütun rankı denir.
7.Tanım: A nın Ax=0 çözüm uzayının boyutuna A nın sıfırlığı denir. sıfırlıkA
biçiminde gösterilir.
3
[
5.Teorem: mxn tipinde herhangi bir
birbirine eşittir.
3.Ö.:
[
] matrisin satır rankı ve sütun rankı
]. rankA=?
Ç.: A nın satırca indirgenmiş formu:
[
A nın satır uzayı
rankA=2
]
de iki boyutlu altuzaydır.
6.Teorem:A mxn tipinde bir matris ise o zaman
. rankA=? sıfırlıkA=?
4.Ö.:
[
]
Ç.: Satırca indirgenmiş eşeleon forma dönüştürelim:
. Ax=0 sistemin genel çözümü
[
]
[
]
[
]
sıfırlıkA=2 rankA=5-2=3
7.Teorem:Eğer A mxn tipinde verilen bir matris ise bu taktirde
i. A nın sıfır uzayı A nın sütun uzayının dik tümleyenidir
ii.
nın sıfır uzayı, A nın sütun uzayının dik tümleyenidir.
[
[
[
[
[
vektörleri tarafından
5.Ö.:
]
]
]
]
]
in W altuzayının dik tümleyenlerinin bir bazını bulunuz.
Ç.:
[
]
Ax=0 homojen sistemini çözerek çözüm uzayının bazını
4
[
]
⁄
⁄
[
]
{[
]
}
elde ederiz. Bu vektörler yatay olarak alındığında
6.Ö.:
[
in bir bazı elde edilir.
]
A nın satırca indirgenmiş formu:
[
]
A nın satır uzayı
de iki boyutlu altuzaydır.
A nın sıfır uzayı
ün {[
]} bazına sahip 1-boyutlu altuzaydır. Bu baz vektörü
yukarıda verilen A nın satır uzayının iki baz vektörüne de dik olduğundan, A nın sıfır
uzayı, A nın sütun uzayına diktir. Yani A nın sıfır uzayı A nın satır uzayının dik
tümleyenidir.
Şimdi
yi satırca indirgenmiş eşelon forma dönüştürerek
[
]
matrisin elde ederis.
Buradan {[
nin sıfır uzayı
]} in
nin sıfır uzayı için bir baz olduğu görülür. Bundan dolayı
nin sütun uzayının dik tümleyeni olduğunu elde ederiz.
12.3 İzdüşümler ve uygulamalar
Eğer W dik bazı {
} olan, bir iççarpım uzayının sonlu-boyutlu altuzayı
ve de nin herhangi bir vektörü ise, bu durumda
olacak şekilde
da bir tek ve
te bir tek vektörü vardır. Ayrıca
(
)
(
)
(
)
olup, bu nin üzerindeki izdüşümü olarak adlandırılır ve
ile gösterilir.
Genelde eğer, {
} , W nun bir bazı ise bu durumda
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
olur.
5
3.Ö.:
ün 2-boyutlu altuzayı W ve W nun ortanormal bazı {
} olsun.
√
[
[√ ]
]
[ ] vektörün W daki izdüşümünü ve W
deki standart iççarpımı kullanarak
daki her bir vektöre dik olan u vektörü bulunuz.
Ç.:
(
)
(
)
√
[ ]
[
6
]
12.KONU: Ödevler
1.
[
te
] vektörü tarafından gerilen bir altuzay olsun.
nin bir bazını
bulunuz.
2.
{[ ] [
te
3.
]} olsun.
nin bir bazını bulunuz.
te
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
vektörleri tarafından gerilen bir altuzay olsun. W altuzayının dik tümleyenlerinin
bir bazını bulunuz.
4. W,
deki
düzlemi olsun.
nin bir bazını bulunuz.
{
} tarafından gerilen bir altuzayı olsun.
5.
Öklid uzayınında
nin bir bazını bulunuz.
{ } tarafından gerilen bir altuzayı olsun.
6.
Öklid uzayınında
nin bir
bazını bulunuz.
√
[ ]
Öklid uzayı, W da
7.
[
√
√
] vektörlerini baz kabul eden bir
√
altuzay olsun. Aşağıdaki vektörlerin W üzerindeki izdüşümünü bulunuz:
[
i)
] ii)
[ ]
8.
de
verilen altuzay olsun. Aşağıdaki
vektörlerin W üzerindeki izdüşümünü bulunuz:
[
i)
9.
[
] ii)
[ ]
] matrisinin rankını, sıfırlığını ve satır uzayının dik
tümleyenlerinin bir bazını bulunuz.
10.
[
] matrisinin rankını, sıfırlığını ve satır uzayının dik
tümleyenlerinin bir bazını bulunuz.
7