13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım

13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13.1 Karakteristik kökler
1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu
olan
( )
|
|
|
|
şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik polinomu denir.
[
]
karakteristik matrisi.
2.Tanım: A matrisin karakteristik polinomunun sıfıra eşitlemekle elde edilen
( ) |
|
denklemine karakteristik denklemi denir.
3.Tanım: A matrisin karakteristik denkleminin köklerine A matrisin karakteristik
kökleri veya özdeğerleri denir.
4.Tanım: A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen
denklemin aşikar olmayan çözüm vektörüne
vektörü veya değişmez vektörü denir.
1.Ö.:
[
karakteristik köküne karşılık gelen öz
] natrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen
değişmez uzayı bulunuz.
Ç.: A matrisinin karaktetistik köklerini bulmak için önce
polinomonu elde edelim.
( )
|
|
|
|
olup karakteristik kökleri
Şimdi A matrisinin
değişmez uzaylarını bulalım.
( ) karakteristik
(
)(
)(
)
karakteristik köklerine karşılık gelen
[
lineer denklem sisteminin genel çözümü
1
]
olur. Yani,
{[
]}.
[
]
lineer denklem sisteminin genel çözümü
olur. Yani,
{[
]}.
[
]
lineer denklem sisteminin genel çözümü
olur. Yani,
{[
]}.
13.2 Temel teoremler
1.Teorem: (Cayley-Hamilton) Her kare matrisi karakteristik denklemin köküdür.
|
İspat: A bir kare matris ve ( ) |
bu
matrisin karakteristik polinomu olsun.
karakteristik matrisinin adjointini
( ) ile gösterelim. ( ) matrisinin elemanları
matrisinin kofaktörü
olduğundan parametrisinin ençok (n-1). dereceden polinomlardır. Bu durumda
değişkeni ihtiva etmeyen n-kare matrisler olmak üzere
( )
yazabiliriz.
Böylece adjoint matris hakkındaki temel teoremden,
(
)(
)
(
)
eşitliğine sahip oluruz. Eşitlğin her iki tarafını açıp, bir matris polinomu olarak
düzenledikten sonra aynı dereceden
parametrelerinin katsayılarını eşitlediğimiz
zaman matris denklemlerinden ibaret
2
{
sistemini elde ederiz. Bu sistemdeki denklemleri, sırasıyla,
çarptıktan sonra topladığımızda
ile
matris denklemini elde ederiz. Yani, ( )
denklemine ulaşırız. Demek ki keyfi
aldığımız A matrisi, kendi karakteristik denklemini sağlamaktadır.
Bu teorem singuler olmayan matrisin tersini bulmakta ve benzer işlemlerde oldukça
kullanışlıdır.
2.Ö.:
[
] matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak
bulunuz.
Ç.: | |=3 olduğundan A matrisinin tersi mencuttur. A matrisinin karakteristik
polinomu
( ) |
|
olup, C-H Teorem dolaysıyla
( )
matris denklemi geçerlidir. B denklemi
ters matris ile çarpar ve sonucu
düzenlersek,
ters matrisini
(
)
[
]
olarak elde ederiz.
lar bir A matrisinin farklı karakteristik kökleri ve sırası ile
vektörleri de bu köklere karşılık gelen özvektörler ise, bu durumda
{
} kümesi lineer bağımsızdır.
İspat: Teoremi k ya göre tümevarım ile ispat edelim. k=1 için { } kümesi lineer
bağımsız olduğundan teoremin geçerliği aşikardır. k>1 alalım. Bu durumda,
{
} için, vektörlerinin
lar skalar olmak üzere
(1)
{
} için,
vektör denklemine A matrisini uygulayalım. Böylece,
olduğunu da aklımızda tutarak,
(
)
(2)
elde ederiz.
(1) eşitiğini
çarpıp, (2) eşitliğinden çıkardığımızda
(
)
(
)
(
)
elde ederiz.
2.Teorem:
3
{
Burada hipotezden dolayı
olduğundan her bir terim sıfır yapılmakla
} için,
ve
çıkar ki bu da {
ve dolaysıyla (1) eşitliğinde
bağımsız olması demektir.
} kümesinin lineer
matrislerinin karakteristik kökleri aynıdır.
matrislerinin asli minörleri aynı olduğundan teorem elde edilir.
3.Teorem:
İspat:
4.Teorem:
ler bir n-kare A matrisinin karakteristik kökleri ise
bir
skalar olmak üzere
ler de
matrisinin karakteristik kökleridir.
İspat:
ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri olduklarından,
( ) |
| (
)(
) (
)
denklemi sağlanır.
matrisinin karakteristik denklemi ise
|
|
| (
)|
|
|
olduğundan
( ) |
|
şeklindedir.
Böylece karakteristik denklemlerin karşılaşmasından
( )
( )
olduğu anlaşılır. Böylece,
( )
( )
(
)(
)
(
)
denkleminden
elde edilir ki buradan
sonuçları okunur.
5.Teorem:
kökleri ise
kökleridir.
İspat:
bir skalar olmak üzere,
lar
ler n-kare A matrisinin karakteristik
da
matrisinin karakteristik
ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri olduklarından
( ) |
| (
)(
) (
)
denklemi sağlanır.
matrisinin karakteristik denklemi ise
( ) |
(
)| |(
)
|
şeklinde olup, böylece
( )
(
)
eşitliğine sahip oluruz. Buradan
4
( )
(
denklemine ulaşılır. Artık
)
(
)(
)
(
)
eşitliğinden aradığımız
sonucu elde edilir.
ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri ise
ler de
matrisinin karakteristik kökleridir.
İspat: n-kare A matrisinin bir karakteristik kökü ise o zaman
eşitliğini
sağlayan bir
sıfır olmayan vektörü vardır. Böylece
olacağından
da
matrisinin bir karakteristik köküdür. Şimdi,
|
| (
)(
) (
) (3)
karakteristik polinomunda yerine – koymakla elde edilen
|
| (
)(
) (
) (4)
eşitliğini göz önüne alalım. (3) ve (4) eşitliklerini çarpıp,
koyarak
|
| (
)(
) (
)
elde ederiz. Bu ise istenendir.
6.Teorem:
7.Teorem: Singuler olmayan A matrisinin bir karakteristik kökü ise o zaman | |
da
matrisinin bir karakteristik köküdür.
İspat: singuler olmayan A matrisinin bir karakteristik kökü ve de bu köke karşılık
gelen özvektör olsun. O zaman
matris denklemini soldan
elde ederiz.
Burada
(
| |)
ile çarparak
olduğunu aklımızda tutarak eşitliği düzenlediğimizde
| |
(
)
eşitliğine sahip oluruz ki bu da
gösterir.
| |
nın
matrisinin bir karakteristi kökü olduğunu
3.Ö.: Bir A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen özvektörü bir birim vektör
ise, o zaman
olduğunu gösteriniz.
Ç.: A matrisinin bir karakteristik kökü, de karakteristik köküne karşılık gelen bir
özvektör ve üstelik ‖ ‖
olsun. Bu durumda
olduğunu aklımızda tutarak
( )
(
)
( )
‖ ‖
sonucuna kolayca ulaşırız.
5
4.Ö.: p-indeksli bir nilpotent matrisin karakteristik köklerinin sıfır olduğunu
gösteriniz.
Ç.: p-indeksli bir nilpotent matrisi ise
olur. A matrisinin bir karakteristik
kökü ise
eşitliği geçerlidir. Bu eşitlik soldan A ile çarpıldığından
işlem p defa tekrarlandığı zaman
bulunur. Burada
alındığında
elde edilir. Böylece,
olduğundan
bulunur.
elde edilir. Bu
kabulü dikkate
ve dolaysıyla
5.Ö.: İdempotent bir matrisin karakteristik köklerinin 0 veya 1 olduğunu gösteriniz.
Ç.: idempotent matrisi ise
olur. O zaman A matrisinin bir karakteristik kökü
ise
matris denklemi geçerlidir.
Bu denklemi soldan A ile çarparak
elde edilir. Böylece,
bulunur.
anlaşılır.
olduğu hesaba katılarak
olduğundan
elde edilir. Buradan
olduğu
veya
6.Ö.: Bir köşegen matrisin karakteristik kökleri, matrisin köşegen elemanları ve bu
köklere karşılık gelen özvektörlerin de , yani, standart ortonormal bazın vektörler
olduğunu gösteriniz.
Ç.: Bu durumda
( )
|
|
|
|
(
)(
) (
)=0
olduğundan A matrisinin karakteristik kökleri,
Şimdi,
{
} için,
bulunur.
- i. bileşen
[ ]
vektörünün
görelim.
karakteristik köküne karşılık gelen bir özvektör olduğunu
6
olmak üzere
[
homojen
]
sistemin çözüm vektörü
bulunur.
[ ]
7
olduğundan istediğimiz alınır.
13.KONU: Ödevler
1.
[
] matrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen
değişmez uzayı bulunuz.
2.
[
] matrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen
değişmez uzayı bulunuz.
3.
[
4.
[
5.
[
] matrisinin karakterisrik köklerini bulunuz.
] matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak bulunuz.
] matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak bulunuz.
6. p-indeksli bir nilpotent matrisin karakteristik köklerinin sıfır olduğunu gösteriniz.
7. İdempotent bir matrisin karakteristik köklerinin 0 veya 1 olduğunu gösteriniz.
8. Bir A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen özvektörü bir birim vektör
ise, o zaman
olduğunu gösteriniz.
9. A ve B, n-kare matrisler ve A singuler değilse
ve
matrislerinin aynı
karakteristik köklerine sahip olduklarını gösteriniz.
10. A ve B, n-kare matrisler olmak üzere
ve
matrislerinin aynı karakteristik
köklerine sahip olduklarını gösteriniz.
8