Lineer Cebir Jeoloji Müh. 2013

A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin
bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1).
mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin aij
öğesinin minörü denir ve aij öğesinin minörü Mij ile gösterilir.
Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin,
aij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:
27.04.2014
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji Muh.
Minör nedir?
1
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji Muh.
27.04.2014
Minör nedir?
2
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji Muh.
27.04.2014
Minör Örneği
3
A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin
minörü olan Mij nin (-1)i+j ile çarpılmasıyla elde edilen sayıya, aij
öğesinin kofaktörü (eşçarpanı) denir ve aij nin kofaktörü Aij ile
gösterilir.
Örnek?
27.04.2014
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji Muh.
Kofaktör (Eşçarpan) nedir?
4
n ≥2, A = (aij) nxn kare matrisi için, 1 ≤i≤n olmak üzere,
seçildikten sonra sabit kalan
olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i.
satıra göre açılımı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir
sütunun kofaktörlerine göre de hesaplanabilir. 1 ≤j ≤n olmak
üzere, j. sütuna göre açılım
27.04.2014
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji Muh.
Determinant nedir?
5
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Determinant Örneği (3x3
matris)
6
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Determinant Örneği (4x4
matris)
7
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Determinant Örneği (4x4
matris)
8
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Determinant Örneği (5x5
matris)
9
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Determinant Örneği (5x5
matris)
10
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Saruss Kuralı
11
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Saruss Kuralı
12
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Saruss Kuralı Örneği
13
• Bir önceki örnekte 𝐴 =
0 3
buna göre B = 1 −1
1 1
1
0
1
4
2
5
−1 2
3 4 det(A)=1 bulunmuştu
1 5
için det(B)=-1 olarak elde ederiz.
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi
iki satırı yer değiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(B) = det(A) dır.
• Örnek?
27.04.2014
Determinant Özellikleri
14
• Bir önceki örnekte 𝐴 =
1
0
1
2
8
5
−1 2
3 4 det(A)=1 bulunmuştu
1 5
1 −1
buna göre B = 0 6
için det(B)=2 olarak elde ederiz.
1 1
3 −3 6
C = 0 9 12 için det(C)= 33 det(A)=27 olarak buluruz.
3 3 15
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi
bir satırındaki tüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde
edilen matris B ise det(B) = r det(A) dır. Bu özelliğin bir sonucu
olarak, A = (aij) nxn olmak üzere, det(r A) = 𝑟 𝑛 det(A)dır.
Örnek?
27.04.2014
Determinant Özellikleri
15
Örnek?
1 −1 2
• 𝐴 = 1 −1 2 ise det(A)=0 dır.
1 1 5
1 −1 2
B = 0 6 8 için det(B)=0 olarak elde ederiz.
0 3 4
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise
det(A) = 0 dır.
27.04.2014
Determinant Özellikleri
16
1
• 𝐴= 0
1
3 2
0 0
4 5
ise det(A)=0 dır.
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise
det(A) = 0 dır.
Örnek?
27.04.2014
Determinant Özellikleri
17
Örnek?
1 −1 2
• Bir önceki örnekte 𝐴 = 0 3 4 det(A)=1 bulunmuştu. A
1 1 5
matrisinin 1.satırı -1 ile çarpıp 3.satıra eklediğimizde elde
1 −1 2
ettiğimiz matris B= 0 3 4 olmak üzere
0 2 3
det(B)=det(A)=1 olarak buluruz.
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı 𝑟 gibi bir sayıyla
çarpılıp, başka bir satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise
det(B) = det(A) dır.
27.04.2014
Determinant Özellikleri
18
Örnek?
1 −1 2
• 𝐴 = 0 3 4 için det(A)=1*3*5=15 dir.
0 0 5
1
0 0 0
12 −2 0 0
𝐵=
için det(B)=1*(-2)*7*(-1)=14 dır.
3
5 7 0
4
2 1 −1
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı
köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir.
27.04.2014
Determinant Özellikleri
19
1 −1 2
• Bir önceki örnekte 𝐴 = 0 3 4 det(A)=1 bulunmuştu.
1 1 5
1 0 1
Buna göre 𝐴𝑡 = −1 3 1 için det(𝐴𝑡 ) =1 dir.
2 4 5
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A
matrisinin determi-nantına eşittir. Yani det(A) = det(𝐴𝑡 ) dir.
Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır
yerine sütun yazıldığında sonuçlar yine doğru olur.
Örnek?
27.04.2014
Determinant Özellikleri
20
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
 A ve B n. mertebeden iki matris ise det(AB) = det(A) det(B) dir.
Örnek?
27.04.2014
Determinant Özellikleri
21
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Ek Matris Nedir?
22
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Ek Matris Örneği
23
A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) ≠0 ise A ya regüler matris,
det (A) =0 ise A ya singüler matris denir.
A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve
yeter koşul regüler matris olmasıdır

Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* =
A*A= det(A)In dir.
27.04.2014
Regüler-Singüler Matris Nedir?
24
𝐴11 = −1 2 12
= 12
𝐴12 = −1 3 −3
=3
𝐴13 = −1 4 −2
= −2
𝐴21 = −1 3 0 = 0
𝐴22 = −1 4 3 = 3
𝐴23 = −1 5 2
= −2
𝐴31 = −1 4 0 = 0
𝐴32 = −1 5 0 = 0
𝐴33 = −1 6 4 = 4
,
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
1 0 0
𝐴 = −1 4 0 alt üçgensel matrisi için det(A)=12 dir.
0 2 3
Şimdi sırayla kofaktörlerini bulalım:
27.04.2014
Ters Matrisin Bulunması
25
Ters Matrisin Bulunması
3 −2
3 −2 ve bu matrisin transpozesini alırsak ek matrisi:
0 4
12 0 0
𝐴∗ = 3
3 0 olarak buluruz. Böylece
−2 −2 4
𝐴−1 =
1
12
12
3
−2
0
3
−2
0
0 olarak buluruz.
4
,
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
12
0
0
27.04.2014
 Böylece kofaktörlerinden oluşan matris :
26
,
Lineer Cebir - Arzu Erdem - Jeoloji
Muh.
27.04.2014
Ters Matris Özellikleri
•
27