ARA SINAVLAR HAZIRLIK PROBLEMLERİ Problem. 2.7 (Hibbeler) Çelik konstrüksiyon bir binada A ve B yapı elemanlarına 3 ve 2 kN kuvvetler etki ediyor. Toplam kuvvetin u ekseninde ortaya çıkması için ϴ açısı ve büyüklüğü ne kadar olmalıdır. ÇÖZÜM Üçgen metoduna göre poblemin grafik çizimi yandaki gibidir. Sinüs teoremini uygularsak a b c SinA SinB SinC 2 3 3 * sin 30 sin sin 30 sin 2 48.6o Üçgenin iç açılar toplamından giderek β açısı bulunur. β=180-30-48.6 β=101.4 θ=180-β θ=180-101.4 θ=78.6 Son olarak yine sinüs teoreminden FT değeri bulunur FT 2 2 * sin 101.4 FT sin sin 30 sin 30 FT 3.92kN Problem. 2.54 (Hibbeler) Bir halkaya resimdeki kuvvetler etki etmektedir. Toplam kuvvetin 50 lb olarak u ekseni yönünde oluşması için F2 kuvveti ne olmalıdır. Cözüm Önce bütün kuvvetler kartezyen koordinatlarda yazılır. F1=80i F2= F2x i+F2y j F3=52*(5/13)i + 52*(12/13)j F3=20i +48j FT= 50*cos25 i – 50*sin25 j FT = 45.32i-21.13 j Sonra eksen bileşenleri toplamı toplam kuvvetin bileşenleri ile eşitlenir FT Fx i F y j 45.32 i - 21.13 j = 80 i + (F2x i+F2y j) + (20i+48j) 45.32 i =(80 +F2x + 20) F2x = -54.68 lb -21.13 j = 0+F2y +48 F2=-54.68i-69.13j F2y = -69.13 lb F2 F22x F22y F2 (54.68) 2 (69.13) 2 F2 88.14lb Bir önceki problemde bulunan F2 kuvvetinin u ekseni ile olan açısı ϴ ne olur Çözüm. Önce F2 kuvveti grafiksel olarak çizilir tan 1 F2 y F2 x tan 1 51.60 ϴ=180-γ-25 ϴ=103.4o 69.13 54.68 Problem. 2.78 (Hibbeler) Çelik konstrüksiyon bir binada bir bağlantı elemanında F1 ve F2 kuvvetleri etki etmektedir. Toplam kuvvetin sadece y ekseni doğrultusunda ortaya çıkması için F2 kuvvetinin α, β, ve γ açıları ne olmalıdır. Ve ortaya çıkacak toplam kuvvet ne kadar olur. Not: β<90o ÇÖZÜM 3 Kuvvetleri kartezyen koordinatlarda yazarsak F’1 = F1*cos30 F’1= 600*cos30 = 519.61N F1x=F’1*sin30 F1x= 519.6*sin30 = 259.8 N F1y=F’1*cos30 F1y= 519.6*cos30 =450 N F1 ile z ekseni arasındaki açı = 90+30=120o F1z=F1*cos120 F1z= 600*cos120 = -300 N F1=259.8i+450j-300k F2=F2x i+F2y j+ F2z k F2=500*cosα i + 500*cosβ j + 500*cosγk FT= 0i+ FTy j+ 0k 0 i = (259.8 + (500*cosα))i cosα=(-259.8/500) α=121.30 0 k = (-300 + (500*cosγ))k cosγ=(300/500) γ=53.13o Kuvvetin eksenlerle olan iki açısı biliniyorsa üçüncüsü hesaplanabilir FTy j=(F1y+F2y)j cos 2 cos 2 cos 2 1 FTy= 450+(500*cos52.5)=754.3 cos 2 121 cos 2 cos 2 53.1 1 Toplam kuvvet sadece y ekseninde etkili olduğu için cos 1 0.27 0.36 0.61 FTy= FT= 754N β=52.5 veya 1270 β <90 β=52.5o Problem. 2.94 (Hibbeler) Bir avize tavana üç zincir ile asılıyor. Avizenin ağırlığı 130 Lb olduğuna göre zincirlerin her birine ne kadar kuvvet gelir. Çözüm Problemi konumlanmış kuvvet vektörü yolu ile çözelim. Önce koordinatları belirleyelim. A(4*cos30, -4*sin30, -6) A(3.46 , -2, -6) B(-4*cos30, -4*sin30, -6) B(-3.46 , -2, -6) C(0, 4, -6) A(0, 4, -6) Konum vektörlerini yazalım rA= 3,46i, -2j, -6k rB= -3,46i, -2j, -6k rC= 0 i + 4 j + -6k Zincir boyları r x 2 y2 z2 rA 3.46 2 (2) 2 (6) 2 rA 7.21ft Zincir boyları eşit oduğundan rA =rB = rc=7.21ft Birim vektörleri bulalım r 3.46i 2 j 6k u uA 0.48i 0.28 j 0.83k r 7.21 3.46i 2 j 6k 0.48i 0.28 j 0.83k 7.21 0i 4 j 6k uC 0i 0.56 j 0.83k 7.21 uB Konumlanmış kuvvet vektörlerini bulalım F F * u FA FA * u A FA FA * (0.48i 0.28 j 0.83k) FB FB * (0.48i 0.28 j 0.83k) FC FC * (0i 0.56 j 0.83k ) FT 130 * (0i 0 j 1k) FT 0i 0 j 130k Konumlanmış vektörleri toplam vektör ile eşitleyelim FT FA FB FC 0i 0 j 130k FA (0.48i 0.28 j 0.83k) FB (0.48i 0.28 j 0.83k) FC (0i 0.56 j 0.83k) 0i (0.48FA 0.48FB )i 0.48FA 0.48FB FA FB 0 j (0.28FA 0.28FB 0.56FC ) j 130k (0.83FA 0.83FB 0.83FC )k 0.56FC 0.28FA 0.28FA FA FB FC 130 3 * (0.83FA ) FA FB FC 52.1N Problem. 2.129 (Hibbeler) Resimde gözüken boruya bağlı AB ve AC halatları arasındaki açıyı bulunuz Çözüm Halatların konum vektörlerini bulmak için önce koordinatlarını belirleyelim. A (15 ,0, 0) B (0, 3, 8) C(0, -8, 12) Konum vektörlerini yazalım rAB= (0-15)i+(3-0)j+((8-0)k rAB= -15i +3j +8k rAC= (0-15)i+(-8-0)j+(12-0)k rAC= -15i-8j+12k rAB (15) 2 32 82 rAB 17.26ft rAC (15) 2 (8) 2 12 2 rAC 20.8ft rAB rAC (15 * (15)) (3 * (8)) (8 *12) rAB rAC 225 24 96 297 cos 1 ( rAB rAC 297 ) cos 1 rAB * rAC 17.26 * 20.8 34.18o Problem. 2.130 (Hibbeler) Bir önceki problemde verilen AB halatı FAB =55 lb kuvvetle çekilse bu kuvvetin AC halatı üzerine düşen paralel ve dik bileşkeleri ne olur Önce F kuvvetini kartezyen koordinatlarda yazalım FAB FAB * u AB u AB rAB 15i 3 j 8k rAB 17.26 u AB 0.87i 0.17 j 0.46k FAB 55 * (0.87i 0.17 j 0.46k) FAB 47.85i 9.35 j 25.36k Fp FAB * u AC u Ac rAC 15i 8 j 12k rAC 20.8 u AC 0.72i 0.38 j 0.58k FP (47.85i 9.35 j 25.36k) * (0.72i 0.38 j 0.58k) FP (47.85 * (0.72)) (9.35 * (0.38)) (25.36 * 0.58) FP 34.45 3.55 14.7 FP FAC 45.7lb Pisagor teoreminden gidilerek dik kuvvet bulunur. FAB2 =FP2+FD2 552=45.72+FD2FD=31 lb Problem 2-120 (hibbeler) Resimdeki kule iki halat ile aşağıdan belirtilen yönlerde çekiliyor. Kule boyunca (z ekseninde) oluşan toplam kuvvet ne kadar olur . ÇÖZÜM Önce koordinatlar belirlenir. A(0, 0, 36) B(18, -12, 0) C(12*sin30, 12*cos30, 0) C(6, 10.4, 0) rAB (18 0)i (12 0) j (0 36)k rAB 18i 12 j 36k rAB 182 (12) 2 (36) 2 rAB 42ft u AB rAB 18i 12 j 36k rAB 42 FAB FAB * u AB u AB 0.43i 0.286 j 0.857k FAB 700 * (0.43i 0.286 j 0.857k) FAB 300i 200 j 600k rAC (6 0)i (10.4 0) j (0 36)k rAC 6i 10.4 j 36k rAC 6 2 10.4 2 (36) 2 rAC 37.95ft u AC rAC 6i 10.4 j 36k u AC 0.158i 0.274 j 0.95k rAC 37.95 FAC FAC * u AC FAC 600 * (0.158i 0.274 j 0.95k) FAC 94.8i 164.4 j 570k FT FAB FAC (300i 200 j 600k) (94.8i 164.4 j 570k) FT 394.8i 35.6 j 1170k Toplam kuvvet bileşkelerinden k notasyonlu değer z ekseninde etkin olan bileşendir Fz 1170lb Problem 2-126 (Hibbeler) Bir boru iki ayrı halat ile belirtilen açılarda 400 N değerinde kuvvetler ile çekiliyor. F1 kuvvetinin F2 doğrultusuna yansıyan bileşkesi ne kadar olur. ÇÖZÜM: Önce F1 ve F2 kartezyen notasyonları ile yazılır. F’1 = F1*sin 35 F’1 =400*sin35=229.4N F1x= F’1*cos20 F1x= 229.4*cos20= 215.6N F1y = -F’1 *sin20 F1y = 229.4*sin20= -78.46N F1z = F1 *cos35 F1z = 400*cos35= 327.66N F1=215.6i-78.46j+327.66k F2=F2*cos45 i +F2*cos60j + F2* cos 120 k F2=400*cos45i+400*cos60j + 400*cos120 k F2= 282,8i+200j-200k F1 kuvvetinin F2 doğrultusundaki bileşkesi için F2 birim vektör olarak yazılmalıdır. F2= 282,8i+200j-200k u2 F2 F2 u2 282.8i 200 j 200k 400 u 2 0.707i 0.5 j 0.5k F1 kuvvetinin F2 üzerindeki bileşkesi Fp F1 * u 2 F1=215.6i-78.46j+327.66k Fp (215.6i 78.46 j 327.66k ) * (0.707i 0.5 j 0.5k ) Fp (215.6 * 0.707) (78.46 * 0.5) (327.66 * (0.5)) Fp 50.6 N Problem 2-127 (Hibbeler) Problem 126 daki halatlar arasındaki ϴ açısı kaç derecedir. ÇÖZÜM: F1 ve F2 vektörlerinin nokta çarpımı bulunur. F1 F2 F1 * F2 * cos F1 F2 (215.6i 78.46 j 327.66k) * (282.84i 200 j 200k) F1 F2 (215.6 * 282.84) (78.46 * 200) (327.66 * (200) F1 F2 20246N 20246N 400 * 400 * cos cos 20246 0.13 400 * 400 cos 1 (0.13) 97.27 o