PowerPoint Sunusu - matematikkurtlari

BELİRLİ İNTEGRAL
HAZIRLAYAN
12 - A SINIFI MATEMATİK
KURTLARI GRUBU
Tanım:f fonksiyonu [a,b] aralığında
tanımlı ve integrallenebilen fonksiyon
ise;
b

b
f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a)
a
*Özellikleri
*İntegral Türevi
*Özel tanımlı Fonk. İntegrali
a
*Eğri Altında Kalan Alan Hesabı
*İki Eğri Arasında Kalan Alan
*Dönel Cisimlerin Alanı
ÖZELLİKLERİ
b
a
b
2)  f ( x )dx    f (X)dx
a
b
a
b
3)  cf ( x )dx  c  f ( x )dx
a
b
b
a
a
a
4)  f ( x )  g( x )d   f ( x )dx   g( x )dx
1)  f ( x )dx  0
b
b
a
5)a  c  b
b
c
b
a
a
c
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
b
b
a
a
6)  f ( x )dx   f ( x ) dx
(a  b)
7)a  b ve f(x)  g(x) ise,
b
b
a
a
 f ( x )dx   g( x )dx
8)f(x) çift fonksiyon ise f(-x)  f(x)
a
a
a
0
 f ( x )dx   f ( x )dx
9) f(x) tek fonksiyon ise
a
 f(x)dx
-a
0
n
 (2 x  3)dx  6
Ör 
ise n  ?
1
2x 2
Çözüm  f(x) 
 3x
f(n) - f(1)  6
2
f(n )  10 
n 2  3n  10  n  2
0  x 1
x,

Ör  f(x)  

cos , 1  x  2

2

1
Çözüm   f(x)dx 
0
x2

2
1
0
2

 sin
x

2
2
 f ( x )dx  ?
0
2
1
2
1
0
1
 f(x)dx   x dx   cos
2

1



ise 


x dx
2
1
2

1
2
 (sin   sin )  
2 
2
2 
2
Ör   4  x 2 dx  ?
1
Çözüm  x  2sinu
2
dx  2cosu
2
2

4 - 4sin u  2 cos u du  4  cos u du  2  1  cos 2u
1
1
 2( u 
2
2
1
2
sin 2u 1 2u  sin 2u
2
x 1 
x2 
1
2
1
1

u
2
6

2  2sinu  sinu  1  u 
2
1  sin2u  sinu 
 2u  sin 2u

2

6
  3  sin

2
3
   sin  

3
3
2
İNTEGRAL TÜREVİ
x
1)
d
f ( t )dt  f ( x )

dx a
d
2)
dx
g(x)
 f (t )dt  f g( x )g' (x )
a
g(x)
d
f ( t )dt  f g ( x ) g ' ( x )  f h ( x )h ' ( x )
3)

dx h ( x )
Ör 
d
du
3u 2
 cos 4xdx  ?
0
Çözüm  cos 4(3u 2 )  6u  6u cos12u 2
2x
d2
Ör  2 (  sin udu )  ?
dx 3
Çözüm 
d
sin 2x  2  2  2  cos 2x  4 cos 2x
dx
ln x 2
Ör 

1
1
dy
e dt   (2 t  1)dt  0 ise
?
dx
y
2t
d
Çözüm 
dx
ln x 2

1
y
d
2t
e dx   (2 t  1)dt  0
dx 1
2x
dy
dy
lnx4 2
e
 2  (2 y  1)
 0  e   (2 y  1)
x
dx
x
dx
3
dy
2x
dy
3
2 x  (2 y  1)


dx
2y - 1 dx
2 ln x 2
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
3
Ör    x  1  2  x dx  ?
x
1
1
3
3
1
1
2
1
2
x 1
1- x
x -1
x -1
2-x
2-x
2-x
x -2
x -1  2  x
3 - 2x
1
2x - 3
Çözüm   (2 x  3)dx   dx   (2x  3)dx  23

Ör   (sin x  sin x )dx  ?

0


0
x
-

0
x
-x
x
sin x
sin(-x9  -sinx
sinx
sinx
-

sinx
- sinx
sinx
sin x  sin x
- 2sinx
2sinx
Çözüm    2 sin xdx   2 sin xdx  8
4
Ör   Sgn ( x 2  5x  6)dx  ?
1
2
3
4
1
2
3
x
1
2
3
4
x 2 - 5x  6

-

Sgn
1
-1
1
Çözüm   dx   dx   dx  1
3
Ör   ( x  sgn( x  1)dx  ?
1
x
-1
x
-x
-x
x
x 1
-

-
1
1
sgn(x  1) - 1
- x -1
0
3
1
0
0
Çözüm   (x  1)dx   ( x  1)dx  5
- x 1
x 1
2
Ör   3x  4 dx  ?
3x
3
3
3
4
3
4
5
3
5
6
3
6
3x - 4
-1
0
1
2
x
1
3x - 4
4
3
6
3
1
5
3
Çözüm    dx   dx  0
-1
0
1
9
Ör : 
0
x
dx  ?
4
8
9
4
8
x
x
4
x
4
Çözüm :  dx   2dx  6
0
4
8
12
0
1
2
3
0
1
2
2
Ör :   x  1  x  1 dx  ? x
0
0
x -1
x 1
x 1
x 1  x 1
1
2
0
1
Çözüm :  2 - x dx   x  1dx  4
1
1- x
1
2
x -1
2
1
2-x
3
2
x 1
3
Ör :  sgn x dx  ?
-1
x
x
sgn x
0
3
-1
1
Çözüm :  - dx   dx  1
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
-1
0
1
1
2
Ör :  sgn sinx dx  ?

2
2
Çözüm :
 - dx  -
x
sinx
 2

1
3 2
0
sinx
0
sgn sinx
0
2
-1
-1
0
-1
-1
2
Ör :
 cosx  cos x dx  ?
x

cosx
-1
Çözüm :
 cos x dx  1
2
0
1
cosx
-1
0
cosx
- cosx
cosx
cosx
0
cosx  cos x
3 2
3 2
EĞRİ ALTINDA KALAN ALANIN HESABI
1)
y
y=f(x)
A1
a
c
b
x
A2
b
c
b
a
a
c
A  A1  A2   f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx
2)
y
y=f(x)
a
b
b
b
a
a
A   f ( x)dx   ydx
x
3)
y
a
b
x
y=f(x)
b
A   f ( x)dx
a
4)
y
b
x=f(y)
A1
x
A2
a
A  A1  A2
b

a
b
c
c
a
f ( y) dy   f ( y )dy   f ( y )dy
5)
y
b
x
a
x=f(y)
b
b
a
a
A   f ( y)dy   xdy
6)
y
b
x
a
x=f(y)
b
A    f ( y )dy
a
Ör : y  2x - x 2 eğğris ile x ekseni arasıras kalan
bölgenin alanı nedir?
y
0
y  x(2  x)
2
2
x
x0
2
3
2
x
x
4
S   2x - x 2 dx 
  br 2
2
3 3
0
x2
Ör : x  2 doğoğrus x  -1, x  2 doğoğrula ve x ekseni
arasıras kalan alan kaç br 2 ' dir ?
y
2
-2
-1
2
2
2
x
A   f ( x)dx   ( x  2)dx   2 x
1
1
2
1
 22
  1  15 2
   2  2     2   br
x
2
 2  2
2
2
Ör: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
y

x2 
1 x3
A    2  dx  2 x  
2
2 
2 3

2
2
2
3



2 
 2 
  2  2    2   2  

6 
6 
x

4
4 16 2
 4   4   br
3
3 3
3
-2
2
2
İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y
f(x)
a
b
c
g(x)
b
S   f ( x)  g ( x) dx
a
x
y
f(x)
S
g(x)
a
b
x
b
S   f ( x)  g ( x) dx
a
*Üstteki eğriden alttaki eğri çıkartılır!
y
b
g(y)
f(y)
x
a
b
S   f ( y )  g ( y ) dy
a
*Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkartılır!
ÖR:y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM:
y2=y+6
y2-y-6=0
(y+2) (y-3)=0
y=-2 , y=3
y
y=x-6
x
-2
y2=x
y  6  y dy  y2
2
3
3
y
2
3 2
27   4
8 9
8
9
   18      12     9  10 
3  2
3 2
3
2
9 8
11 125 2
 19    19  
br ' dir
2 3
6
6
A
3
3
2
 6y 
DÖNEL CİSİMLERİN ALANI
y
y=f(x)
a
b
b
x
b
Vx     f ( x) dx    y dx
2
a
2
a
y
b
x=f(y)
x
a
b
b
Vy     f ( y) dy    x dy
2
a
2
a
Ör : y  1  x 2 parabolüyl e ox ekseni arasıras kalan bölgenin ox ekseni
etrafinda 3600 döndürülme siyle elde edilen cismin hacmi nedir?
1
y


Vx    1  x dx
2
1
1


Vx    1  2 x  x dx
-1
1
x
1
16
Vx  
15
2
4
BELİRLİ İNTEGRAL VE
ÖZELLİKLERİNİ İÇİNE ALAN
KONUMUZ BURADA SONA
ERMİŞTİR.
DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR
EDERİZ.