2.1- Vektör Uzayı Kavramı 25 2. VEKTÖR UZAYLARI 2.1− VEKTÖR UZAYI KAVRAMI √ 1. V = a + b 2 : a ∈ Q, b ∈ Q eşitliğiyle verilen V kümesinin Q rasyonel sayılar cismi üstünde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin tümünün doğru olduğunu gösteriniz. ––––––––––––––––— 2. R2 uzayında u = (3, −2) , v = (−1, 3) , w = (2, 1) olduğuna göre (3u − v) − (u + 2w) vektörünün bileşenlerini bulunuz. Cevap: (3u − v) − (u + 2w) = (3, −9) ––––––––––––––––— 3. n ∈ N olmak üzere R cismi üstünde derecesi n sayısından büyük olmayan bütün polinomların kümesi V olsun. Başka bir anlatımla V = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn : a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R olsun. V nin R cismi üstünde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin tümünün doğru olduğunu gösteriniz. ––––––––––––––––— 4. R2 kümesinde toplama işlemi, (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere λ (x1 , x2 ) = (x1 , λx2 ) eşitliğiyle tanımlanıyor. R2 kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz. Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız. Her a, b ∈ R ve her u ∈ R2 için (a + b)u = au + bu önermesinin doğru olmadığını göreceksiniz. Buna göre R2 kümesi burada verilen işlemlere göre bir vektör uzayı değildir. ––––––––––––––––— 5. R2 kümesinde toplama işlemi, (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 ) Mat 201 Lineer Cebir Çalışma Soruları 26 eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere 2 λ (x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ) eşitliğiyle tanımlanıyor. R kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz. Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız. En az birinin doğru olmadığını göreceksiniz. ––––––––––––––––— 6. V = {xey : x, y ∈ R ve x = 0} olsun. V kümesinde toplama işlemi, (x1 ey1 ) ⊕ (x2 ey2 ) = x1 x2 ey1 +y2 eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere λ (xey ) = xeλy eşitliğiyle tanımlanıyor. V kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz. Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız. En az birinin doğru olmadığını göreceksiniz. ––––––––––––––––— Kaynaklar: “Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Lineer Cebir ”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık. “Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Çözümlü Lineer Cebir Alıştırmaları”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık. “Elementary Linear Algebra”, Kolman, Bernard and Hill, R, David. Prentice-Hall, inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 2008. “Elementary Linear Algebra”, Anton, Howard and Rorres, Chris. John Wiley & Sons, New York, Chicherter, Brisbane, Toronto, Singapore, 2005.