Teorem 4.28 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Eğer A kümesi lineer bağımsız ise A nın her alt kümesi de lineer bağımsızdır. Sonuç 4.29 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Eğer A kümesi lineer bağımlı ise V nin A yı kapsayan her sonlu alt kümesi de lineer bağımlıdır. Önerme 4.30 Bir vektör uzayında sıfır vektörünü içeren her sonlu alt küme lineer bağımlıdır. Önerme 4.31 V bir F ‐ vektör uzayı ve v V 0V olsun. Bu durumda, v kümesi lineer bağımsızdır, başka bir ifadeyle sıfır vektöründen farklı bir vektör tek başına lineer bağımsızdır. Teorem 4.32 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. A kümesinin F ‐ lineer bağımlı olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul v1 , v2 ,..., vn vektörlerinden birisinin diğerlerinin bir F ‐ lineer birleşimi biçiminde yazılabilmesidir. Örnek 4.33 V 3 vektör uzayında A 1,1, 1 , 2,3,1 , 4,5, 1 kümesi ‐ lineer bağımlıdır. Sonuç 4.34 V bir F ‐ vektör uzayı ve v, w V olsun. v, w vektörlerinin F ‐ lineer bağımlı olması için gerekli ve yeterli koşul v w veya w v olacak biçimde F elemanının bulunmasıdır(yani birinin diğerinin bir skaler katı olmasıdır) Örnek 4.35 Katsayıları reel sayı tüm tek değişkenli polinomların oluşturduğu küme [ x] olmak üzere, V : [ x] kümesi polinomların toplanması ve aşağıdaki gibi tanımlanan bir polinomla bir skalerin çarpılması işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayı oluşturur: Her , her f ( x ) a0 a1 x an x n [ x] için a0 , a1 ,..., an . f ( x) : a0 a1 x an x n İspat. Ödev Bir vektör uzayında sonlu bir kümenin lineer bağımsızlığını ve lineer birleşimini tanımlamıştık. Şimdi de bu kavramları sonlu olması gerekmeyen kümeler için tanımlayalım: Tanım 4.36 V bir F ‐ vektör uzayı ve A V olsun. Bu durumda A kümesinin bir sonlu alt kümesinin bir lineer birleşimine A nın bir F ‐ lineer birleşimi denir. Örnek 4.37 V [ x] kümesinin üzerinde oluşturduğu vektör uzayının A x 2 k : k x 2 , x 4 x 6 ,... alt kümesinin bir lineer birleşimi f ( x ) 3 x 2 4 x 4 5 x10 dur. Tanım 4.38 V bir F ‐ vektör uzayı ve A, V nin sonsuz elemanlı bir alt kümesi olsun. Eğer A kümesinin her sonlu alt kümesi F ‐ lineer bağımsızsa A kümesi F ‐ lineer bağımsızdır denir. Aksi takdirde, yani A kümesinin F ‐ lineer bağımlı olan bir sonlu alt kümesi varsa A kümesine F lineer bağımlıdır denir. Örnek 4.39 V [ x] kümesinin üzerinde oluşturduğu vektör uzayında A x k : 0 k 1, x, x 2 , x3 ,... kümesi ‐ lineer bağımsızdır. Teorem 4.40 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Bu durumda A kümesinin tüm F ‐ lineer birleşimlerinden oluşan küme yani W : 1v1 2 v2 n vn : 1 , 2 ,..., n kümesi V nin, A v1 , v2 ,..., vn kümesini kapsayan bir alt F ‐ vektör uzayıdır. Ayrıca A U ve U , V nin bir alt vektör uzayı ise W U dur. Başka bir ifadeyle W : 1v1 2 v2 n vn : 1 , 2 ,..., n , V nin A kümesini kapsayan en küçük alt vektör uzayıdır. İspat. Tanım 4.41 Teorem 4.34 ün notasyonu geçerli olmak üzere, V nin 1v1 2 v2 n vn : 1 , 2 ,..., n alt vektör uzayına v1 , v2 ,..., vn vektörlerinin (veya A v1 , v2 ,..., vn kümesinin) gerdiği (veya ürettiği) alt uzay denir ve bu alt uzay v1 , v2 ,..., vn veya Sp v1 , v2 ,..., vn ile gösterilir. Not 4.42 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Bu durumda, v1 , v2 ,..., vn ile ilgili şunlar geçerlidir: i) v1 , v2 ,..., vn , V nin bir alt vektör uzayıdır. ii) A v1 , v2 ,..., vn v1 , v2 ,..., vn iii) A U ve U , V nin bir alt vektör uzayı ise v1 , v2 ,..., vn U dur. Teorem 4.43 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Eğer, vn v1 ,..., vn 1 ise v1 ,..., vn 1 v1 ,..., vn 1 , vn Örnek 4.44 V 3 vektör uzayında A 1,0,0 , 0,1,0 kümesinin gerdiği alt uzayı bulunuz. Örnek 4.45 V 3 vektör uzayında A 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 kümesinin gerdiği alt uzayı bulunuz. Çözüm. 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 a 1,0,0 b 0,1,0 c 0,0,1 : a, b, c a, b, c : a, b, c 3 dür yani A 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 kümesi 3 ü gerer. Örnek 4.46 V 2 uzayını geren bir küme bulunuz. Çözüm. Örnek 4.47 V [ x] vektör uzayında A 1, x, x 2 kümesi hangi alt vektör uzayını gerer? Tanım 4.48 V bir F ‐ vektör uzayı ve B V olsun. Eğer aşağıdaki iki koşul gerçeklenirse B kümesine V nin bir F ‐ tabanı denir. i) ii) V nin her elemanı B kümesinin bir F ‐ lineer birleşimi olarak yazılabilir. B kümesi F ‐ lineer bağımsızdır. Not 4.49 V bir F ‐ vektör uzayı ve B v1 , v2 ,..., vn V olsun. Bu durumda, yani B nin sonlu olması durumunda, taban olmanın koşulları aşağıdaki gibidir: i) V v1 , v2 ,..., vn dir yani B v1 , v2 ,..., vn kümesi V yi gerer. ii) B v1 , v2 ,..., vn kümesi F ‐ lineer bağımsızdır. Örnek 4.50 B 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 kümesi V 3 vektör uzayının bir ‐ tabanıdır. Uyarı 4.51 Bir vektör uzayının tabanı 1 den fazla olabilir. Mesela, B 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1 kümesi de V 3 vektör uzayının bir ‐ tabanıdır. Örnek 4.52 Her i 1,..., n için n de i. bileşeni 1 diğer bileşenleri sıfır olan vektör ei olmak üzere, B e1 ,..., en kümesi V n vektör uzayının bir ‐ tabanıdır. Örnek 4.53 B x k : 0 k 1, x, x 2 , x 3 ,... kümesi , V [ x] vektör uzayının bir ‐ tabanıdır. 1 0 0 1 0 0 0 0 Örnek 4.54 B , , , kümesi , V Mat 2, vektör uzayının bir ‐ 0 0 0 0 1 0 0 1 tabanıdır. Teorem 4.55 V bir F ‐ vektör uzayı ve B v1 , v2 ,..., vn V olsun. Bu durumda, B kümesinin V nin bir F ‐ tabanı olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul her v V için v 1v1 2 v2 n vn olacak biçimde tek türlü bir yazılışın var olmasıdır. Teorem 4.56 V bir F ‐ vektör uzayı ve B v1 , v2 ,..., vm kümesi V nin bir F ‐ tabanı olsun. m n olmak üzere, V nin n elemanlı her alt kümesi lineer bağımlıdır. İspat. w1 ,..., wn V olsun. Amacımız bu kümenin lineer bağımlı olduğunu göstermektir. B v1 , v2 ,..., vm kümesi V nin bir F ‐ tabanı olduğundan V nin her elemanı B v1 , v2 ,..., vm kümesinin F ‐ lineer birleşimi olarak yazılabilir. Özel olarak w1 ,..., wn elemanları da bu şekilde yazılabilir. O halde, w1 c11v1 c21v2 cm1vm w2 c12 v1 c22 v2 cm 2 vm wn c1n v1 c2 n v2 cmn vm olacak biçimde cij F i 1,..., m; 1 , 2 ,..., n F olmak üzere n w i 1 i i j 1,..., n elemanları vardır. n w w w i 1 i i 1 1 2 2 n wn toplamına bakalım: 1 c11v1 c21v2 cm1vm 2 c12 v1 c22 v2 cm 2 vm n c1n v1 c2 n v2 cmn vm 1c11v1 1c21v2 1cm1vm 2 c12 v1 2 c22 v2 2 cm 2 vm n c1n v1 n c2 n v2 n cmn vm 1c11 2 c12 n c1n v1 1c21 2 c22 n c2 n v2 1cm1 2 cm 2 n cmn vm dir. B v1 , v2 ,..., vm kümesinin lineer bağımsız olduğu da göz önüne alındığında n w w w i 1 i i 1 1 2 2 n wn 0V olması için gerekli ve yeterli koşulun 1c11 2 c12 n c1n 0 F 1c21 2 c22 n c2 n 0 F 1cm1 2 cm 2 n cmn 0 F olduğu anlaşılır. Bu ise 1 , 2 ,..., n F n nin n bilinmeyen ve m denklemden oluşan c11 x1 c12 x2 c1n xn 0 F c21 x1 c22 x2 c2 n xn 0 F cm1 x1 cm 2 x1 cmn xn 0 F lineer homojen denklem sisteminin bir çözümü olması anlamına gelir. Bu lineer denklem sisteminin katsayılar matrisinin rankı r olmak üzere r m n olduğundan sistemin 0 F ,...,0 F dışında başka çözümleri de vardır. O halde w1 ,..., wn kümesi lineer bağımlıdır. Sonuç 4.57. V bir F ‐ vektör uzayı ve B v1 , v2 ,..., vm kümesi V nin bir F ‐ tabanı olsun. Bu durumda, V nin lineer bağımsız bir alt kümesinin eleman sayısı en fazla m olabilir. Sonuç 4.58 V bir F ‐ vektör uzayı ve B v1 , v2 ,..., vm kümesi V nin bir F ‐ tabanı olsun. Bu durumda, V nin her F ‐ tabanında tam m tane eleman vardır. Sonuç 4.59 V bir F ‐ vektör uzayı ve B kümesi V nin sosuz elemanlı bir F ‐ tabanı olsun. Bu durumda, V nin her F ‐ tabanında sonsuz sayıda eleman vardır. Tanım 4.60 V bir F ‐ vektör uzayı olsun. Eğer V nin her sonsuz elemanlı alt kümesi lineer bağımlı ise V ye bir sonlu boyutlu vektör uzayı denir. Örnek 4.61 V x vektör uzayı sonlu boyutlu değildir. Önerme 4.62 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn , V nin bir lineer bağımsız alt kümesi ve vn 1 V olsun. Eğer vn 1 v1 , v2 ,..., vn ise v1 , v2 ,..., vn , vn 1 kümesi de lineer bağımsızdır. Teorem 4.63 V 0V bir sonlu boyutlu F ‐ vektör uzayı olsun. Bu durumda, V nin en az bir F ‐ tabanı vardır ve bu taban zorunlu olarak sonlu elemanlıdır. İspat. V nin hiç F ‐ tabanının bulunmadığını varsayalım. Bu varsayım altında tümevarımla şu önermeyi ispat edelim: Her n pozitif tam sayısı için V nin n s ( An ) koşuluna uyan bir An lineer bağımsız alt kümesi vardır. … Tanım 4.64 V bir F ‐ vektör uzayı ve B kümesi V nin bir F ‐ tabanı olsun. Bu durumda, B (veya dim F V ) kümesinin eleman sayısına V nin F ‐ üzerindeki boyutu denir ve bu boyut boyFV ile gösterilir. Sadece sıfır vektöründen oluşan vektör uzayının boyutu ise sıfır olarak tanımlanır. Örnek 4.65 boy 2 ?, boy 3 ?, boy n ?, boy Mat 2, ?, boy Mat n, ?, boy Mat 2, ?, boy [ x] ? Not 4.66. Boyut kavramı iyi tanımlıdır. Örnek 4.67 V [ x] vektör uzayının W a bx cx 2 alt vektör uzayı için boyW ? Örnek 4.68 V 3 vektör uzayının W 1, 2,3 , 2,1, 4 , 4,5,10 alt vektör uzayı için boyW ? Teorem 4.69 V bir F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn V olsun. Eğer, V v1 , v2 ,..., vn ise V nin A v1 , v2 ,..., vn tarafından kapsanan bir F ‐ tabanı vardır ve dolayısıyla boyF V n dir. Teorem 4.70 V bir sonlu boyutlu F ‐ vektör uzayı ve A v1 , v2 ,..., vn , V nin bir lineer bağımsız alt kümesi olsun. Bu durumda, V nin A kümesini kapsayan bir F ‐ tabanı vardır. Teorem 4.71 Sonlu boyutlu bir vektör uzayının her alt vektör uzayı da sonlu boyutludur. Teorem 4.72 V bir F ‐ vektör uzayı ve W da V nin bir alt vektör uzayı olsun. Bu durumda, boyF W boyFV dir. Başka bir ifadeyle alt vektör uzayının boyutu üst vektör uzayının boyutunu geçemez.