Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen seçme sınavı

VEKTÖR UZAYLARI
Tanım(vektör uzayı) F bir cisim (F,+, . ,1F,0F) V (V(+,0V) )de toplamsal bir grup olsun.
(.) : FxV V
(k,v) k.v olarak bir ikili işlem tanımlansın.
Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa V ye F cismi üzerinde bir vektör uzayı V nin her bir
elemanına bir vektör denir.
1F.v = v ve 0F v=0V
k1,k2 F için (k1+k2).v= k1.v+k2.v
k1,k2 F için (k1.k2).v= k1.(k2.v)
k F ve v1,v2 V için k(v1 + v2)=k.v1+k.v2
Alıştırmalar.
a) F=IR gerçel sayılar cismi ve V=IR3 =IRxIRxIR olmak üzere
IR3 ün IR cismi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
(yol haritası ikili işlemi k.v=k(v1,v2,v3) = (k.v1,k.v2,k.v3) olarak tanımlayınız.)
b) F=IR gerçel sayılar cismi ve V={f| f :IR IR ye sürekli fonksiyon} olmak üzere
V nin IR cismi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
(yol haritası ikili işlemi k.f :IR IR
x (k.f)(x)=k.f(x) olarak tanımlayınız.
Tanım: (alt uzay) V F üzerinde bir vektör uzayı olsun. W V için W de F üzerinde bir
vektör uzayı ise W ye V vektör uzayının bir alt uzayı denir.
Örneğin, W={(x,y,0)| x+y=0 x,y IR} IR3 W kümesi IR3 ün bir alt uzayıdır.
Tanım : (lineer bağımsız küme) V , F üzerinde bir vektör uzayı olsun.
U={v1,v2,…,vn } V için
k1.v1+ k2.v2+ k3.v3+…+ kn.vn=0V iken k1=k2=k3=…=kn=0F oluyorsa U kümesine lineer
bağımsız küme denir. En az sıfırdan farklı bir ki F varsa o zaman U ya lineer bağımlıdır
denir.
Teorem: {0V}=U V U kümesi V de lineer bağımlıdır.(ispatlayınız)
Teorem: 0V U V U kümesi V de lineer bağımlıdır.(ispatlayınız)
ÖRNEKLER:
1) Yukarıda (a) da verilen alıştırmada IR3ün bir alt kümesi olan {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
kümesinin lineer bağımsız olduğunu gösteriniz.
2) IR[x]={p(x)| p(x)=a0+a1x+a3.x2}ile tanımlanan polinomların kümesinin IR üzerinde bir
vektör uzayı olduğunu göstererek {1,x,x2} kümesinin IR[x] te lineer bağımsız olduğunu
gösteriniz.
3) IR[x]={p(x)| p(x)=a0+a1x+a3.x2} te {1,x, x2+2, x2+x}=U kümesi IR[x] te lineer bağımlı
olduğunu gösteriniz.
TANIM: U , V de lineer bağımsız bir küme olsun.
Eğer V nin her elemanı U nun elemanlarının lineer bileşimi (doğrusal bileşimi) olarak
yazılabiliyorsa U kümesine V nin bir bazı (temeli) denir.
TANIM: U , V de bir baz ve |U|=n ise V nin boyutu n dir denir ve boy(V) = n ile gösterilir.
örneğin alıştırma (a) da verilen IR3 ün boyutu 3 tür. (neden?) Yine alıştırma (b) de verilen
vektör uzayı için bir baz bulunabilir mi? (Bulunamaz ise neden? )
TANIM: U, V de lineer bağımsız bir küme olsun.U nun tüm lineer bileşimlerinin kümesi W
ise W ye U nun ürettiği alt uzay denir. W, V de bir alt uzay olup boyutu boy(V) dir.
TEOREM: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. Eğer boy(V)=n ise V de n+1 elemanlı
her küme lineer bağımlıdır.
n
n
Örneğin IR , IR de bir vektör uzayı olup boy(IR )=n dir. Burada alınan her n+1 elemanlı alt
küme lineer bağımlıdır. Akla şu soru geliyor! n’ye eşit veya n den küçük elemanlı sıfırı
içermeyen her alt küme lineer bağımsızmıdır?(Neden? )
Yukarıda anlatıldığı kadarıyla aşağıdaki alıştırmaları yapınız.
Alıştırmalar: Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri belirtikleri kümler üzerinde bir vektör
uzayı belirtir.
F cismi
IR
IR
Q
Q
IR
Zp
V toplamsal grup
IRn
IRn[x]={p(x)|p(x) n. derceden polinom}
Q( 2 )={a+b 2 |a,b Q}
V={(a,b)| a+b=0 a,b Q}
V={(a,b)| a=0 a,b IR}
V= Zp
n
V vektör uzayıdır.
EVET
………
……….
……….
………..
…….
n
boy(V)
n
…
…
…
…
…
Aşağıda verilen U IR kümelerinin IR te bir baz olup olmadığını nedeniyle birlikte yazıınız.
Eğer U bir baz değilse ürettiği alt uzayı W yi bularak boy(W) yi belirleyiniz
U
{(1,0,1),(0,0,1),(1,1,1)}
{(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)}
{(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)}
{(1,0,1,2),(0,0,1,1),(1,1,0,1)}
{(1,0),(0,2),(1,1)}
{(0,0,0)}
U bir bazdır.
EVET
………
……….
……….
………..
…….
boy(W)
3
…
…
…
…
…