Document

BEKLENEN DEĞER ve VARYANS
Tanım 1
i)
X bir rasgele değişken ve g : R ® R bir fonksiyon olmak üzere,
X kesikli ve
 g  x  f  x    olduğunda,
xDX
E  g  X  
 g  x f  x
xDX

ii)
X sürekli ve
 g  x  f  x  dx   olduğunda,


E  g  X  
 g  x  f  x  dx

sayısına g  X  in beklenen değeri denir.
Tanım 2 X bir rasgele değişken, c R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
k
a) E  X  c   değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti,


k 

b) E  X  değerine X ‘in k ‘inci momenti,
c)
d)
e)
E  X  değerine X ‘in beklenen değeri,
2
E  X  EX   değerine X ‘in varyansı,


E  X  X  1 X  2   X  k  1  değerine X ‘in k ‘inci çarpımsal momenti
denir.
Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri  X veya sadece  
varyansı ise Var  X    X2 veya sadece  2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne
standart sapma denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması  X veya sadece  ile
gösterilmektedir.
Örnek 1
X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3x 4  x  1

f  x  
 0
 d  y

olsun.


3 x 2
 x f ( x)dx 1 x3x dx  2

olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve

4


1

3

2
3x 2
E  X    xf ( x)dx   x3x dx 
2

1

4

1
3
2



dır.   3 için
x 3x 4 dx integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den

büyük olan momentleri yoktur.
Teorem 1
a b  R olmak üzere,
a ) E  aX  b   aE  X   b
b) Var  aX  b   a 2Var  X 
c) Var  X   E  X 2    E ( X ) 
2
İspat: a) Kesikli halde,
E (a + bX ) =
å
x
(a + bx) f ( x) = a å f ( x) + b å xf ( x) = a + bE ( X )
x 42 44
x 42 4443
144
43
144
1
E( X )
sürekli halde,
¥
E (a + bX ) =
¥
¥
ò (a + bx) f ( x)dx = a ò
f ( x)dx + b ò xf ( x)dx = a + bE ( X )
-14442
¥
-1444
¥ 42 44443
4443
- ¥
1
E( X )
dır.
b)
2
2
Var (aX + b) = E (aX + b - E (aX + b)) = E (aX + b - aE ( X ) - b )
2
2
= E (aX - aE ( X )) = a 2 E (X - E ( X )) = a 2Var ( X )
c)

Var  X   E  X  E ( X )   E X 2  2 XE ( X )   E ( X ) 
2
 E  X 2    E ( X ) 
Örnek 2
2
E
2

X 


 2E ( X ) E ( X )   E ( X ) 
2
X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
f  x 
1
 x  2 1 01 2 3
6
olsun.
3
EX  
1
1
1
1
1
1
1
 xf  x   (2)  6  (1)  6  0  6  1 6  2  6  3 6  2
x 2
EX2 
EX3 
3
 x f  x   (2)
2
2
x 2
3
 x f  x   (2)
3
x 2
3
1
1
1
1
1
1 19
  (1) 2   02   12   22   32  
6
6
6
6
6
6 6
1
1
1
1
1
1 27
  (1)3   03   13   23   33  
6
6
6
6
6
6 6
Var ( X ) = E ( X 2 ) - ( E ( X )) 2 =
dır.
19 1 2 35
- ( ) =
6
2
12
2
Örnek 3
X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3x 4  x  1

f  x  
 0
 d  y

olsun.


3 x 2
 x f ( x)dx 1 x3x dx  2

olduğundan, X in beklenen değeri vardır ve


4


1
3

2
3x 2
E  X    xf ( x)dx   x3x dx 
2

1
dır.   3 için



4

1
3
2

x 3x 4 dx integrali ıraksak olduğundan X rasgele değişkenin 3 ve 3 den

büyük olan momentleri yoktur.



3x 1
E  X    x f ( x)dx   x 3x dx 
3

1

1
1
olmak üzere, X rasgele değişkenin varyansı,
3
25
Var ( X ) = E ( X 2 ) - ( E ( X )) 2 = 32 - ( ) 2 =
2
36
dır. Bir rasgele değişkenin varyansının ve olması için ikinci momentinin var olması yeterlidir.
2
Örnek 4
2
2
4
X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2 x 3  x  1

f  x  
 0
 d  y

olduğunda X in birinci momenti (beklenen değeri) var ve



2 x 1
E  X    xf ( x)dx   x 2 x dx 
2
1 1

1
3
olup, ikinci momenti, dolayısı ile varyansı yoktur.
Örnek 5
X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
f  x 
¥
olsun.
å
x= 0
x
e   x
 x  01 2… (  0)
x
e- l l x
< ¥ olduğundan X in bütün momentleri vardır.
x!
X in beklenen değeri,
¥
¥
e- l l x
e- l l x
E( X ) = å x
=å x
= l e- l
x
!
x
!
x= 0
x= 1
2
dır. X  X  X 1  X ifadesinden faydalanarak,
¥
l x- 1
åx= 1 ( x - 1)! = l e- l
¥
ln
ån= 0 n! = l
E  X 2   E  X  X  1   E  X 


x  x  1 e    x
x
x 0


x  x  1 e    x
x
x2

  2e 
x2
 x2
 x  2



 2  
elde edilir. Buradan,
Var  X   E  X 2    EX   
2
bulunur.
Örnek 6
X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 x/5
 x0
5 e

f  x  
 0
 d  y


olsun.



1 x

E  X    xf ( x)dx   x e 5 dx  uv 0   vdu
5

0
0
u
dv
¥
x ¥
5
= - xe
¥
-
E  X 2  
x

-
x
5
)dx = ò e dx =
0

e
-
x
5
1
5
=5
0

x

5
1

f ( x)dx   x 2 e dx  uv 0   vdu
5
0
0
u
x ¥
2
5
=- xe
0
ve
ò (- e
¥
0
0

x
5
¥
-
dv
¥
¥
x
x
1 - 5x
5
5
(
e
)2
xdx
=
2
e
xdx
=
10
ò
ò
ò 5 e xdx = 50
0
0
0
Var  X   E  X 2    EX   50  52  25
2
elde edilir. Demek ki, 7.Ders Örnek 7 deki elektronik parçalar için dayanma süresinin
ortalaması (dayanma süresinin beklenen değeri) 5 yıl, varyansı 25 ve standart sapması 5 yıl
dır.
Örnek 7 Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği
parçaların sayısı X olsun. X in olasılık fonksiyonunun
x
5 x
 5 4   1 
f  x         x  01 2 3 4 5
 x 5   5 
x
 5 4   1 
f  x       
 x 5   5 
x
0
1
3125
5 x
1
20
3125
2
160
3125
3
640
3125
4
1280
3125
5
1024
3125
olduğu bilinsin.
5
E( X ) =
å
xf ( x) = 0´
x= 0
1
20
160
640
1280
1024
+ 1´
+ 2´
+ 3´
+ 4´
+ 5´
= 4
3125
3125
3125
3125
3125
3125
5
Var ( X ) = E (( X - 4) 2 ) =
å
( x - 4) 2 f ( x)
x= 0
2
= (0 - 4) ´
1
3125
2
+ (1 - 4) ´
20
2
+ (2 - 4) ´
3125
160
2
+ (3 - 4) ´
3125
640
3125
2
+ (4 - 4) ´
1280
3125
2
+ (5 - 4) ´
1024
3125
=
4
= 0.8
5
İşlenmemiş parçanın alış değeri a , işleme masrafı b , kusurlu işlenmiş parçanın hurda
değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük kazancın beklenen
değeri nedir?
K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere,
K  5  a  b    5  X  c  Xd  5(c  a  b)  (d  c) X
olarak ifade edilebilir.
E ( K )  E  5(c  a  b)  (d  c) X   5(c  a  b)  (d  c) E ( X )
Var ( X )  Var  5(c  a  b)  (d  c) X   (d  c) 2Var ( X )
olmak üzere, örneğin işlenmemiş parçanın alış değeri a =100 TL, işleme masrafı b =100 TL,
kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c =10 TL ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri
d =310 TL olduğunda,
K  5(c  a  b)  (d  c) X  950  300 X
E ( K )  950  300 E ( X )  950  300  4  250
Var ( X )  3002Var ( X )  3002 
4
 72000
5
 X  72000  268.3
Günlük kazancın beklenen değeri, başka bir ifade ile ortalama günlük kazanç 250 TL dir.
Günlük kazancın olasılık dağılımı,
x
P( X  x)
k  950  300x
P( K  k )
0
1
3125
-950
1
3125
1
20
3125
-650
20
3125
2
160
3125
-350
160
3125
3
640
3125
-50
640
3125
4
1280
3125
250
1280
3125
5
1024
3125
550
1024
3125
olmak üzere, bazı günlerde 550 TL kazanç olduğu gibi, 950, 650 ya da 350 TL kayıp söz
konusu olabilir.
Tanım 3
X bir rasgele değişken olmak üzere (var olması halinde),
M X (t )  E (etX )   h  t  h (h  0)
fonksiyonuna X in moment üreten fonksiyonu denir.
Örnek 8
X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e x  x  0
f ( x)  
 0  d  y
olsun.

0 e
tx

e dx   e(t 1) x dx
x
0
integrali t  1 için yakınsak olduğundan, X in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu
vardır ve


0
0
M X (t )   etx e  x dx   e(t 1) x dx
e( t 1) x

t 1


x 0
1
 (1  t ) 1 , t  1
1 t
dır.
X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
e   x
f ( x) 
 x  01 2…
x
olsun.  t  R için
Örnek 9

 etx
x 0
(  0)
e   x
x!
serisi yakınsak olduğundan, X in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu vardır ve

M X (t )   etx
x 0


t
e  x
e   (e t  ) x
(et  ) x

 e 
 e   ee 
x!
x!
x!
x 0
x 0
 e ( e 1)  t  R
dır. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,

t
etx
M X (t )  e(e 1)  
x 0 x
ise X in olasılık fonksiyonu
e1
f ( x) 
 x  01 2…
x
dır.
t
Teorem 2 Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,
dn
M X (t )  E ( X n )  n  1 2…
n
dt
t 0
dır.
İspat: E ile t ye göre türev alma işlemlerinin yer değiştirebileceği varsayımı altında,
d
d
 d tX 
M X (t ) 
E (etX )  E 
e   E  XetX 
dt
dt
 dt

 d 2 tX
d2
d2
tX
M
(
t
)

E
(
e
)

E
 2e
X
dt 2
dt 2
 dt

2 tX
  EX e 

 d 3 tX 
d3
d3
tX
M X (t )  3 E (e )  E  3 e   E  X 3etX 
3
dt
dt
 dt

ve genel olarak,
 d k tX 
dk
dk
tX
k tX
M
(
t
)

E
(
e
)

E
 k e   E  X e  , k=1,2,3,...
X
k
k
dt
dt
 dt

olmak üzere,
dk
M X (t )  E  X k etX   E ( X k ) , k=1,2,3,...
k
t 0
dt
t 0
dır.
Örnek 10
M X (t )  e ( e 1)  t R olmak üzere
t
E( X ) 
dM X (t )
t 0  et e (t 1) t 0  
dt
d 2 M X (t )
E( X ) 
t 0
dt 2
2
 [ et e (e 1)  ( et )2 e (e 1) ] t 0
t
t
   2
elde edilir.
Not: Bir rasgele değişkenin beklenen değeri (ortalaması) dağılımın merkezi, varyansı ya da
standart sapması beklenen değer etrafında yayılımın büyüklüğü hakkında fikir vermektedir.
PROBLEMLER
1. Olasılık fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü momentlerini,
beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz.
a) f  x   15  x  2 1 0 1 2
b)
f  x   15  x  01 2 3 4
c)
f  x 
1  4 
 x  01 2 3 4
16  x 
x
4 x
e)
1 3
f  x        x  01 2 3 4
4 4
f  x   1 6  x  1, 2,3, 4,5,6
f)
f  x   110  x  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10
d)
 
4
x
 
g) f  x   1n  x  1,2,3,..., n
2. Olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların birinci, ikinci, üçüncü
momentlerini, beklenen değerlerini ve varyanslarını bulunuz.
1 4  2  x  2

a) f  x   
0 
d  y

1 4  0  x  4

b) f  x   
0 
d  y

c)
1
4 2  x 

f  x  

0



2  x  2

d  y
1
4 2  x  2   0  x  4

d) f  x   

0

d  y


1
 4 x  2  x  2

e) f  x   
 0

d  y


1
 8  x  2   2  x  2

f) f  x   
 0

d  y


1
 8   x  2   2  x  2

g)
f  x  

0

d  y


3. 1 2 3 4 5 rakamları birer kağıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın. Kavanozdan aynı
anda üç tane kağıt parçası alındığında:
X  gelen sayılar arasında en küçüğü,
Y  gelen sayılar arasında en büyüğü,
U  gelen sayılar arasında ortancası,
V  gelen sayıların toplamı,
W  gelen sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark
olmak üzere, E  X   E Y   E U   E V   E W  değerlerini bulunuz.
4. Olasılık (yoğunluk) fonksiyonları aşağıda verilen dağılımlar için M X (t ) fonksiyonunu
bulunuz ve ilk iki dereceden momentleri hesaplayınız.
x
a)
1
f ( x)     x  1 2…
2
 
n
 x
 
x
1
   x  01 2… n
2
b)
f ( x) 
c)
 xe  x

f ( x)  
 0


x0

d  y
5. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu M X (t ) olmak üzere
a) M X (0)  1
b) M aX (t )  M X (at ) a  0
c) M aX b (t )  ebt M X (at )
olduğunu gösteriniz.
6. X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu





4
1 1 
M X (t )   et 
2 2 
olsun. X in olasılık fonksiyonunu bulunuz. (Problem 4 ün b şıkkından faydalanınız.)
7.
1
1
ve P ( X  m) 
olan m
2
2
’in olasılık dağılımının medyanı (ortancası) denir. P( X  x )   ve
Sürekli bir X rasgele değişkeni için P ( X  m) 
sayısına X
P( X  x )  1   olan xa sayısına X ’in olasılık dağılımının (1- a ) ‘inci yüzdeliği denir.
Buna göre m = x0.50 dır. x0.25 , x0.50 , x0.75 sayılarına dağılımın 1.Çeyrekliği, 2.Çeyrekliği ve
3.Çeyrekliği denir. Olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıda verilen dağılımların
çeyrekliklerini bulunuz.
a)
1 4

f  x  
0


2  x  2

d  y
1
 4  2  x   2  x  2

b) f  x   

0

d  y


1
 8  x  2   2  x  2

c) f  x   
 0

d  y


x
e , x  0
d) f ( x)  
0 , d . y.
8. Her sabah aynı büyüklükte 5 adet doğum günü pastası hazır bulunduran bir tatlıcının
günlük satışlarının sayısının olasılık fonksiyonu
f  x 
1 
2
x  01 2 3 4 5
 30  x  x  

140 
dır. Bir pastanın maliyeti 8 TL olmak ve satılmayan pastalar imha edilmek üzere, pasta
satışından beklenen günlük kazancın 20 TL olması için bir pastanın satış fiyatı ne olmalıdır?
Kazancın olasılık dağılımı nedir?
9. Belli bir şehrin günlük su tüketimi (milyon litre olarak) olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2 xe  x2  x  0

f  x  
 0
 d  y

olan bir rasgele değişkendir. Günlük su tüketiminin beklenen değeri (ortalaması) ve varyansı
nedir? Belli bir gün için tüketilen su miktarının ortalamanın üstünde olması olasılığı nedir?
10. Bir atıcı yarıçapı 10 birim olan dairesel bir hedefe atışlar yapmaktadır. Atış sonucunun
dairenin merkezine uzaklığı X olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonunun,
10  x

0  x  10
 50

f  x  
 0
 diger yerlerde


olduğu bilinsin.
a) E ( X ) ve Var ( X ) değerlerini hesaplayınız.
b) Y = 10 - §X ¨ olmak üzere, E (Y ) ve Var (Y ) değerlerini hesaplayınız.
Atıcının hedefe yaptığı atışların “hedefsizce", “öylesine rasgele” olması durumunda ne olur?