özel tanımlı fonksiyonlar

2006
MAT 2
TÜREV
f   x0   lim
h 0
1. f   x0    f   x0   ise f fonksiyonu x 0
noktasında türevlidir.
2. f fonksiyonu x 0 noktasında türevli ise x 0 noktasında süreklidir.
3. f fonksiyonu x 0 noktasında sürekli olduğu
halde, x 0 noktasında türevli olmayabilir.
Türev Alma Kuralları
1. Sabit Fonksiyonun Türevi:
f : R  R, f ( x )  c (c  R )
Bir Aralıkta Türevli Fonksiyon:
f :  a, b   R fonksiyonunda (a,b) aralığının her
noktasında türevi varsa, f fonksiyonu (a,b)
aralığında türevlidir denir.
 f ( x )  c  0 dır.
2. Kuvvetin Türevi:
f : R  R, f ( x )  x n
Sağdan ve Soldan Türev:
f :  a, b  R ve
x 0   a, b  için lim
 f ( x)  n.x n 1 dir.
f  x   f  x0 
x  x0
x  x0
3. İki Fonksiyonun Farkının veya Toplamının
Türevi:
limiti reel
f : R  R , g : R  R türevlenebilen
sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun x 0
noktasındaki sağdam türevi denir ve
f   x0    lim
x x0
iki fonksiyon ise,
 f ( x)
f  x   f  x0 
x  x0
lim
x  x 0
x  x0
f : R  R ve c  R olmak üzere,
 c. f ( x)  c. f ( x)
limiti varsa, bu limite f
fonksiyonunun x 0 noktasındaki soldan türevi denir
ve
f   x0

g ( x)   f ( x) g ( x) dir.
4. Bir Sayı İle Bir Fonksiyonun Çarpımının
Türevi:
biçiminde gösterilir.Benzer şekilde,
f  x   f  x0 

Sonuç:
olur.
h
Yücel
biçiminde gösterilir. f fonksiyonunun x 0
noktasındaki sağdan ve soldan türevi var ve eşitse,
f fonksiyonunun x 0 noktasında türevi vardır,aksi
halde türevi yoktur.
Tanım:
a, b  R olmak üzere f :  a, b  R fonksiyonu
verilmiş olsun.
f  x   f  x0 
x 0   a, b  için lim
limiti reel sayı
x x0
x  x0
ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevi denir ve
df
dy
f   x0  ,  x0  ya da
 x0  biçiminde gösterilir.
dx
dx
f  x   f  x0 
Buna göre, f   x0   lim
dır.
x x0
x  x0
Bu ifadede,
x - x0  h alınırsa x  x0 için h  0 olur.
Bu durumda,
f  x0  h   f  x0 
Baran

lim
x  x 0
dir.
5. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
f  x   f  x0 
f : R  R, g : R  R türevlenebilen
x  x0
iki fonksiyon ise,
 f ( x).g ( x) 
1
f ( x ).g ( x )  g ( x ). f ( x ) dir.
2006
MAT 2
TÜREV
f : R  R, g : R  R türevlenebilen
 Türev yok , g ( x )   ise
f ( x )  
 f ( x)  f ( x).g ( x)  g ( x). f ( x)
dir.
 g ( x)  
g 2 ( x)


0
, g ( x )   ise

biçiminde ifade edilir.
Çünkü g ( x )   ise genellikle fonksiyon bu x
değerlerinde süreksiz olur. Süreksiz olduğu
noktalarda türevsiz olur.
Özel Durum :
b
c
d
 a.d - b.c
olmak üzere,
10. Bileşke Fonksiyonunun Türevi:
a
b
f ( x) 
ax  b
c
d
ise, f ( x ) 
dir.
2
cx  d
 cx  d 
f ( x) 
ax  bx  c
ise,
dx 2  ex  f
2.

f ( x )  g ( x ) ise,
iki fonksiyon ve g ( x)  0 ise,
a
Yücel
9. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi:
6. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi:
1.
Baran
f , x0 noktasında türevlenebilen, g fonksiyonu
f  x0  da türevlenebilen birer fonksiyon ise,
h  g f fonksiyonu da x0 noktasında
türevlenebilir. Buna göre ,
h( x0 )   g f  ( x0 ) ise,
2
f ( x ) 
a
b
d
e
.x 2 
 dx
2
a
c
d
f
.2 x 
 ex  f

b
c
e
f
2
h( x0 )   g f  ( x0 )   g   f ( x0 )  . f ( x0 ) dır.
dir.
Sonuç :
y  f (t ), t  g ( z ), z  h( x ) ise,
Özel Tanımlı Fonksiyonların Türevi:
dy dy dt dz

 
dx dt dz dx
7. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi:
 - f ( x ), f ( x ) 0 ise
y  f ( x ) ise, y= 
 f ( x ), f ( x ) 0 ise
dir.
Bu kurala türevde zincir kuralı denir.
11. Köklü Fonksiyonun Türevi:
dir.
f ( x) 
Mutlak değerin içini sıfır yapan ( çift katlı
kökler dışındaki) x değerleri için türev yoktur.
Örneğin, y  x 2 fonksiyonunda , x=0 için
n
 g ( x)
m
f ( x)   g ( x) n
m
ise,
yazılarak türev alınır.
x 2  0 olduğu halde, y(0)  0 dır.Çünkü,
Buna göre, f ( x) 
y  x2  x2
olarak bulunur.
dir.
m
m
1
  g ( x)  n  g ( x)
n
Sonuç :
8. İşaret Fonksiyonunun Türevi:
f ( x )  sgn  g ( x )  ise,
n
 Türev yok , g ( x )  0 ise
f ( x )  
0
, g ( x )  0 ise

biçiminde ifade edilir.
2
g ( x ) ise, f ( x) 
g ( x )
n
n
 g ( x)
n 1
dir.
2006
MAT 2
TÜREV
12. Logaritma Fonksiyonunun Türevi:
 f ( x )  tan x ise, f ( x)  1  tan 2 x
 sec 2 x 
dir.
1
cos 2 x
 f ( x )  cot x ise, f ( x)   1  cot 2 x 
Sonuç :
  cos ec 2 x  
u , x bağlı türevlenebilen bir fonksiyon
olmak üzere,
u
1. f ( x)  ln u
ise, f ( x) 
u
u
2. f ( x )  log a u ise, f ( x)   log a e dir.
u
 f ( x )  sin u ise, f ( x)  u   cos u
 f ( x )  cos u ise, f ( x)  u   sin u
 f ( x )  tan u ise,
f ( x )  u   1  tan 2 u   u   sec 2 u 
Tanımlı olduğu aralıkta,
f ( x)  e x ise, f   x   e x  ln e  e x dir.
u
sin 2 u
 f ( x )  sec u ise,
f ( x)  u   tan u.sec u
 f ( x )  cos ecu ise, f ( x)  u   cot u.cos ecu
f ( x )  u   1  cot 2 u   u   cos ec 2u  
dır.
Sonuç :
15. Ters Fonksiyonların Türevi:
u , x bağlı türevlenebilen bir fonksiyon
olmak üzere,
1. f ( x)  a u ise, f ( x)  u   a u .ln a
f ( x)  u   eu
u
cos 2 u
 f ( x )  cot u ise,
Ayrıca,
f ( x)  a x ise , f   x   a x  ln a
1
sin 2 x
u , x bağlı türevlenebilen bir fonksiyon
olmak üzere,
13. Üstel Fonksiyonların Türevi:
2. f ( x)  eu ise,

 f ( x )  sin x ise, f ( x)  cos x
 f ( x )  cos x ise, f ( x)   sin x
1
f ( x )  log a x ise, f   x    log a e dir.
x
Ayrıca,
f ( x )  ln x
Yücel
14. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi:
Tanımlı olduğu aralıkta,
1
ise , f   x  
x
Baran
A, B  R ve f : A  B fonksiyonların tersi,
f -1 : B  A olsun. y  f ( x) olmak üzere
x  A için, f ( x) mevcut ve f ( x)  0 ise,
dur.
 f  ( y) 
-1
3
1
dir.
f ( x)
2006
MAT 2
TÜREV
16. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi:
Baran
Yücel

19. Ardışık Türevler:
y  f ( x ) fonksiyonu verilsin.
u , x bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak
üzere,
u
 f ( x )  arcsin u ise, f ( x) 
1 u2
u 
 f ( x )  arccos u ise, f ( x) 
1 u2
u
 f ( x )  arctan u ise, f ( x) 
1 u2
u
 f ( x )  arc cot u ise, f ( x)  
dir.
1 u2
dy
f 'in birinci mertebeden,
dx
d2y
f   2 f 'in ikinci mertebeden,
dx
d3y
f   3 f 'in üçüncü mertebeden türevidir.
dx
Benzer şekilde, f 'in n. mertebeden türevi,
f
fn 
17. Parametrik Fonksiyonların Türevi:
dny
dx n
ile gösterilir.
20. Logaritmik Türevler:
t  R olmak üzere t 'ye bağlı,
Bir üstel fonksiyonda taban ve kuvvet x ‘e bağlı
birer fonksiyon ise logaritmik türev alınır. Yani,
x  f (t ) , y  g (t )
Denklemleri ile belirli fonksiyona parametrik
fonksiyon denir. Parametrik fonksiyonların
türevi bulunurken zincir kuralı kullanılır.Yani,
f ( x)   g  x  
h x 
ise türev alınırken her iki
tarafın e tabanına göre logaritması alınır.
Türevin Limit Problemlerine Uygulanması:
dy
dy dy dt dt y

 =
=
dür.
dx dt dx dx x 
dt
lim
xa
f  x
g  x
ifadesi
0

ya da
belirsizliği
0

şeklinde ise L'Hospital kuralı kullanılır.
Parametrik fonksiyonların ikinci türevi,
L’Hospital Kuralı :
 d y 
 
d 2 y  dx 

şeklindedir.
dx 2
dx
f ve g türevlenebilen fonksiyonlar olsun.
f  x
0

lim
ifadesi ya da
ise
xa g  x 
0

18. Kapalı Fonksiyonların Türevi:
F  x, y   0 denkleminden y=f(x) gibi en az bir
lim
xa
Fonksiyon elde edilebiliyorsa, F  x, y   0
fonksiyonuna kapalı fonksiyon denir.
Kapalı fonksiyonun türevi,
F
dy
y 
  x dir.
dx
Fy
f  x
g  x
 lim
xa
f  x
dir.
g x
Eğer kural birinci defa uygulandıktan sonra
belirsizlik hali devam ediyorsa, kural tekrar
uygulanır.
Fx : x e göre türev (x değişken,y sabit)
Fy : y ye göre türev (y değişken,x sabit)
4
2006
MAT 2
TÜREV
Türevin Geometrik Anlamı
Baran
Yücel

Artan ve Azalan Fonksiyonlar:
B  A  R, f : A  R bir fonksiyon olsun.
x1 , x2  B için,
1. x1  x2 iken f  x1   f  x2  ise f fonksiyonu B
üzerinde artandır.
2. x1  x2 iken f  x1  f  x2  ise f fonksiyonu B
üzerinde azalandır.
3. x1  x2 iken f  x1   f  x2  ise f fonksiyonu B
üzerinde sabitdir.
Şekildeki y=f(x) fonksiyonuna üzerindeki A( x1 , y1 )
Noktasından çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o
noktadaki birinci türevine eşittir.
f(x) fonksiyonu A( x1 , y1 ) noktasında sürekli değilse,
bu noktada teğetten söz edilemez.
Teğetin eğimi : mT  f ( x1 ) dir.
Normalin eğimi : mN  
1
dir.
f ( x1 )
Çünkü A( x1 , y1 ) noktasında teğet ile normal
birbirine diktir. Birbirine dik doğruların eğimleri
çarpımı (-1) dir. Yani ,
1
mT .mN  1 ise, mN  
dir.
mT
f(x) fonksiyonuna A( x1 , y1 ) noktasından çizilen
teğetin ve normalin denklemleri,
Teğetin denklemi : y - y1  f   x    x  x1 
Normalin denklemi : y - y1  
1
  x  x1 
f  x
Türevin Fiziksel Anlamı :
Bir hareketlinin t zamanında aldığı yol s(t) olsun.
Yol denkleminin birinci türevi hızı,
İkinci türevi ivmeyi verir. Yani ,
Vt  s  t  , at  s  t  dir.
Fonksiyonların artan ya da azalan olduğu
aralıkları birinci türevi kullanarak bulabiliriz.
5
2006
MAT 2
TÜREV
Baran
Yücel

Sonuç:
İkinci Türevin Geometrik Anlamı :
f : A  B fonksiyonu  a, b  A olmak üzere (a,b)
aralığında türevlenebilen bir fonksiyon olsun.
x   a, b  için,
1. Bir f(x) fonksiyonunun ikinci türevini sıfır yapan
x değerleri dönüm(büküm) noktasıdır.
f ( x)  0 ise x dönüm noktasıdır.
1. f   x  0 ise f fonksiyonu (a,b) aralığında
azalandır.
2. f   x  0 ise f fonksiyonu (a,b) aralığında
artandır.
3. f   x   0 ise f fonksiyonu (a,b) aralığında
sabitdir
Ekstremum Noktaları:
(Yerel Maksimum ve Yerel Minimum)
Şekilde görüldüğü gibi eğriliğin değiştiği nokta
dönüm noktasıdır.
Bir f(x) fonksiyonunun birinci türevini sıfır yapan x
değerlerine ekstremum noktaları denir.
2.  a, b aralığında f ( x)  0 ise f nin grafiği
olan eğride bükülme yukarıya doğrudur.Yani bu
aralıkta eğri konveks(iç bükey) dir.
Min
3.  a, b aralığında f ( x)  0 ise f nin grafiği
olan eğride bükülme aşağıya doğrudur.Yani bu
aralıkta eğri konkav (dış bükey) dir.
f   b   0 ve f   d   0 olduğundan b ile d
ekstremum noktalarıdır. Türevin (+) dan (-) ye
işaret değiştirdiği noktaya maksimum, (-) den (+)
ya işaret değiştirdiği noktaya minimum denir.
Buna göre, b noktası yerel maksimum ve d noktası
yerel minimum noktasıdır.
Sonuç:
1. Yerel maksimum noktasında
f   x   0 ve f ( x)  0 dır.
2. Yerel minimum noktasında
f   x   0 ve f (x )  0 dır.
Maksimum ve Minimum Problemleri :
Bu tür problemlerde bir çokluğun alabileceği en
büyük(maksimum) değer ya da en küçük (minimum)
değer bulunmak istenir.
İstenen çokluk, bir değişkene bağlı olarak yazılır.
Daha sonra bu ifadenin birinci türevi alınarak soru
çözülür.
6
2006
MAT 2
TÜREV
Baran
Yücel

d. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 veya
daha fazla büyük ise eğri asimptot vardır.
Grafik Çizimi:
Bir fonksiyonun kuralı verilip, grafiği istendiğinde
aşağıdaki yol izlenir.
1. Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur.
2. x   için fonksiyonun limiti bulunur.
3. Varsa asimptotları bulunur.
4. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar bulunur. x=0
için y eksenini y=0 için x eksenini kestiği noktalar
elde edilir.
5. Fonksiyonun türevi bulunur. Türevin işareti
incelenerek, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu
aralıklar ve ekstremum noktalar incelenir.
6. Gerekirse ikinci türev alınarak dönüm noktaları
ve eğrinin çukurluk yönü tespit edilir.
7. Değişim tablosu yapılır.
8. Değişim tablosundaki bilgiler kullanılarak grafik
çizilir.
2. Düşey Asimptot:
P( x)
ifadesinde Q( x)  0 denkleminin
Q( x)
kökleri fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.
y
Uyarı:
1. Fonksiyonun grafiği düşey asimptotu kesmez.
ax  b
cx  d
eğrisinin yatay ve düşey asimptotlarının kesim
noktası
 d a
dır.
 , 
 c c
Bu nokta eğrinin simetri merkezidir.
2.
Polinom Fonksiyonlarının Grafiği:
f : R  R ye
y
3. Grafikleri kolayca görebilmek için aşağıdakileri
kullanırız.
P( x)
a. y 
fonksiyonunda P(x) in tek katlı
Q( x)
köklerinde Ox eksenini keser, çift katlı köklerinde
Ox eksenine teğettir. Yani,
y  f ( x )  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
Biçimindeki fonksiyonlardır.
Uyarı:
f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d şeklindeki 3. derecedem
polinom fonksiyonlarının simetri merkezi, dönüm
noktasıdır.
 x  2  .  x  1
y
Q  x
2
Eğrisinde, eğri x eksenini x  1 de keser, x  2
noktasında Ox eksenine teğettir.
Rasyonel Fonksiyonlarının Grafiği:
Rasyonel fonksiyonların grafiği çizilirken
asimptotlar bulunur.
b. Eğri paydanın çift katlı köklerinde baca
P  x
y
oluşturur.
2n
 x  a Q  x
1. Yatay Asimptot:
ise
lim f ( x)  b ise y  b doğrusuna f(x) in yatay
x 
P( x)
ifadesinde;
Q( x)
a. Pay ile paydanın dereceleri eşitse en büyük
dereceli terimlerin katsayıları oranı yatay
asimptottur.
b. Paydanın derecesi payın derecesinden
büyük ise, y=0 yatay asimptottur.
c. Payın derecesi paydanın derecesinden 1
fazla ise eğik asimptot vardır.
asimptotu denir. f ( x) 
7
x  a da baca oluşturur. Yani,
2006
MAT 2
TÜREV
Paydanın tek katlı köklerinde görüntü aşağıdaki
şekillere benzer.
İrrasyonel Fonksiyonlarının Grafiği:
y  ax 2  bx  c fonksiyonu için ax2  bx  c  0
tanım kümesi
b
y  a x
eğik asimptottur.
2a
8
Baran
Yücel
