İçindekiler 3. Türev

İçindekiler
3. Türev………………………………………………………………………….………….….…………….………..…..
3.1 Türev kavramı………………………………………………………….…………………………………………. 001
3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi………………………………….………………………………………… 003
.
Alıştırmalar 3  1 ……………………………………………………………………………………………...…. 005
3.3 Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi…..……….……………………………………….…. 006
3.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişki………………………………. 007
3.5 Bir Aralıkta Türevlenebilme ….…………………………………………………………………………….…… 008
Alıştırmalar 3  2 ……………………………………………………………………………………………..…. 009
3.6 Türev alma kuralları ………………………………………………….…………………………………………… 011
3.6.1 Sabit Fonksiyonun Türevi…..……………………………………………………………………….…… 011
3.6.2 Polinom Fonksiyonun Türevi ……………………………………………………………………….…… 011
3.6.3 Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi…………………………………………………...…… 012
3.6.4 İki Fonksiyonun Toplamının Türevi…………………..…………………………………………….…… 012
3.6.5 İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi..……………………………………………………………….…… 012
3.6.6 İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi………………………………………………………………………014
Alıştırmalar 3  3 …………………………………………………………………………………..…….. 015
3.7 Bir ifadenin differensiyeli…………………………………………….……………………………………..……. 016
3.8 Parçalı ve mutlak değer fonksiyonunun bir noktadaki türevi…….…………………………………….…….. 017
3. 8.1 Parçalı fonksiyonun bir noktadaki türevi …..………………………………………………….…….…017
3. 8.2 Mutlak değer fonksiyonunun bir noktadaki türevi …..………………………………………….…..… 017
Alıştırmalar 3  4 ……………………………………………………………………………………..….
019
3.9 Bir Fonksiyonun Grafiğinin Bir Noktasındaki Teğetinin ve Normalinin Denklemi ..………………….……. 020
Alıştırmalar 3  5 …………………………………………………………………………………………….…. 023
3.10 Doğrusal Hareketle Türevin İlişkisi……………….…………….……………………………………………... 026
Alıştırmalar 3  6 ………………………………………………………………………………………………. 028
3.11 Fonksiyonların türevi……………………………………………….……………………………………………..
3. 11.1 Bileşke fonksiyonun türevi ...……………………………………………………………………..……029
3. 11.2 Parametrik fonksiyonların türevi……………………………………………………………….……… 032
Alıştırmalar 3  7 ………………………………………………………………………………………. 034
3. 11.3 Kapalı fonksiyonların türevi ..………………………………………………………………….………. 036
Alıştırmalar 3  8 ………………………………………………………………………………………. 037
3. 11.4 Ters fonksiyonun türevi ...…..……………………………………………………………………….… 039
Alıştırmalar 3  9 ………………………………………………………………………………………. 040
3. 11.5 Rasyonel Üslü Fonksiyonların Türevi ….………………………………………………………..…… 042
3. 11.6 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi ………………………………………………………….……… 044
Alıştırmalar 3  10 …………………………………………………………………………………..…. 046
3. 11.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi…….……………………………………………….…..… 048
3. 11.8 Logaritma Fonksiyonunun Türevi ……………………………………………………………….….… 050
Alıştırmalar 3  11 ……………………………………………………………………………….…….. 051
3. 11.9 Üstel Fonksiyonunun Türevi .………………………………………………………………….…….…052
3.12 Logaritmik Türev Alma …….……………………………………….………………………………………..… 054
Alıştırmalar 3  12 ……………………………………………………………………………………………... 055
3.13 Yüksek Basamaktan Türevler …………………………………….…………………………………………... 056
Alıştırmalar 3  13 ……………………………………………………………………………………………... 058
3.14 Türevin Uygulamaları……………………………………………….………………………………………….. 059
3.14.1 Bir Fonksiyonun Artan ve Azalan Aralıklarıyla Türevin İlişkisi..……………………………….….… 059
Alıştırmalar 3  14 ………………………………………………………………………………………. 062
3.14.2 Yerel Ekstremum Noktalar …….….……………………………………………………………….……063
3.14.3 Ekstremum Noktalar ile Birinci Türevin İlişkisi ………………………………………………….…… 063
3.14.4 Ekstremum Noktalar ile İkinci Türevin İlişkisi …………………………………………………..…… 066
Alıştırmalar 3  15 …………………………………………………………………………………..…. 067
3.14.5 Mutlak Ekstremum Noktalar ……….….………………………………………….……………….…… 069
Alıştırmalar 3  16 ……………………………………………………………………………………... 073
İçindekiler
.
3.14.6 Bükeylik Kavramı ve Türevle İlişkisi………………………………………..…………………….…… 074
3.14.7 Bir Fonksiyonun Dönüm Noktası ve Türevle İlişkisi ……………………………………………….…075
Alıştırmalar 3  17 ……………………………………………………………………………………... 078
3.14.8 Polinom Fonksiyonların Grafikleri………………………………………………………..……….….…079
Alıştırmalar 3  18 ……………………………………………………………………………………... 080
3.14.9 Düşey asimptot ………………………………………………..………………………………….….… 081
3.14.10 Yatay asimptot ……………………………………………………………………………………..…… 082
3.14.11 Eğik ve eğri asimptot ……………….………………………………………………………….………. 082
Alıştırmalar 3  19 ……………………………………………………………………………………… 084
3.14.12 Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri…..………………………………………………………….…..… 085
Alıştırmalar 3  20 ……………………………………………………………………………………… 090
3.14.13 İrrasyonel Fonksiyonların Grafikleri..…..……………………………………………………….……... 093
Alıştırmalar 3  21 ……………………………………………………………………………………… 096
3.14.14 Maksimum Minimum Problemleri ……………………………………………………………….…..… 097
Alıştırmalar 3  22 ……………………………………………………………………………………... 103
3.14.15 Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri Arasındaki İlişki ….…………………………………..…… 107
3.15 Limit Hesaplarında Belirsizlik Durumlarının Türev yardımı ile giderilmesi…………………………….... 108
3.15.1 L’Hospital (Lopital) Kuralı……………….………………………………………………………….…… 108
3.15.2 0/0 belirsizliği ……………………………………………………………………………………….…… 108
3.15.3 ∞/∞ belirsizliği ……………………………….…………………………………………………….…… 109
3.15.4 0.∞ belirsizliği ………………………….……………………………………………………….…...… 109
3.15.5 ∞-∞ belirsizliği ………………………….…………………………………………………………..…… 110
0
0
3.15.6 0 , 1∞, ∞ Belirsizlikleri …………………………….……………………………………………..….. 110
Alıştırmalar 3  23 ………………………………………………………………………………………. 111
Test No
TÜREV KONU KAVRAMA TESTLERİ
BİR FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ TÜREVİ………………………………………………………………….01-01………………… 119
BİR FONKSİYONUN SÜREKLİLİĞİ İLE TÜREVLENEBİLİRLİĞİ ARASINDAKİ İLİŞKİ…………….02-02………………… 121
TÜREV ALMA KURALLARI……………………………………………………………………………………………...03-04………………… 123
BİR FONKSİYONUN BİR NOKTASINDAKİ TEĞETİNİN VE NORMALİNİN DENKLEMİ…….……05-07…………………. 127
TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI…………………………………………………………………………………………...08-09………………… 133
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ……………………………………………………………………………………10-10…………………. 137
PARAMETRİK VE KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ……………………………………………………..11-11…………………. 139
BİR FONKSİYONUN ARTAN VE AZALAN ARALIKLARIYLA TÜREVİN İLİŞKİSİ…………………...12-12…………………. 141
YEREL EKSTREMUM NOKTALAR……………………………………………………………………………………13-13…………………. 143
BİR FONKSİYONUN DÖNÜM NOKTASI VE TÜREVLE İLİŞKİSİ ………………………………………….14-14…………………. 145
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ…………………………………………………………………..…15-16………………… 147
DÜŞEY, EĞİK VE EĞRİ ASİMPTOT…………………………………………………………………………………...17-17…………………. 151
RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ…………………………………………………………………...18-20…………………. 153
MAKSİMUM MİNİMUM PROBLEMLERİ…………………………………………………………………………...21-24………………… 159
BİR POLİNOMUN KATLI KÖKLERİ İLE TÜREVLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ………………….……….25-25………………… 167
BELİRSİZLİK DURUMLARININ TÜREV YARDIMI İLE GİDERİLMESİ …………………………………26-33…………………. 169
TÜREV - KONU TARAMA TESTLERİ………………………………………………………………………………..34-42…………………. 185
Konu anlatımlı, örnek çözümlü ve 1600 sorudan oluşan bu kitap
LYS ve ÖABT
sınavlarına hazırlanan yarışmacılara, 12.sınıf öğrencilerine ve
Matematik olimpiyatlarına hazırlanan herkese tavsiye olunur
44
3. 11.6
ELEMENTLER
12.CİLT
A.Yazıcı
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri Trigonometrik Özdeşlikler ve Türev tanımı kullanılarak bulunur.

 rnek
3 68
Türev tanımını kullanarak
f ( x)  sin x fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm :
Bunu daha önce türev tanımında bir kez yapmıştık.
f ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x)
f ( x  x)  f ( x)
 lim
tanımını kullanarak,

x

0
h
x
 2 x  x   x 
2 cos 
 sin  
sin( x  x)  sin x
2   2 


f   x    sin x   lim
 lim
x  0
x 0
x
x
 2 x  x   x 
cos 
 sin  
2   2 

 lim
x  0
x
2
 x 
sin  
 2 x  x 
 2   lim cos  2 x  x  1  cos x
 lim cos 
 lim



x  0
x  0
 2  x 0 x
 2 
2
O hâlde,
y  f ( x)  sin x ise y  f ( x)  cos x bulunur.

 rnek
3 69
Türev tanımını kullanarak ,
f ( x)  cos x fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm:

  
 sin x  h sin h
f ( x  h)  f ( x)
cos( x  h)  cos x 0
2
2   sin x bulunur.
f ( x)  lim
 lim
  lim
h 0
h 0
h
h
h
0 h 0
2
O hâlde,
y  f ( x)  cos x ise, y  f ( x)   sin x bulunur.

 rnek
3 70
f ( x)  tan x fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm:
f ( x)  tan x 
sin x
ifadesine bir bölümün türevi uygulanırsa,
cos x
2
2
1
 sin x  cos x.cos x  sin x.sin x cos x  sin x
f ( x)   tan x   



 1  tan 2 x

2
2
2
cos
x
cos
x
cos
x
cos
x


O hâlde,
y  f ( x)  tan x ise y  f ( x) 
1
 1  tan 2 x bulunur.
2
cos x
85
Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri
3.14.12.
Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri
Rasyonel fonksiyonların grafiklerinin çiziminde, polinom fonksiyonların grafikleri için yaptıklarımıza ek olarak
sadece asimptotları varsa bulunur.

 rnek
f ( x) 
3 136
x 1
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x3
Çözüm :
   3  tür.
1. Fonksiyonun en geniş tanım kümesi
2.
lim f ( x)  1 ve lim f ( x)  1 olduğundan grafik y  1 doğrusuna yaklaşmaktadır. O halde y  1 doğrusu
x 
x 
lim
yatay asimptot,
x2
x 1
  , olduğundan x  3 doğrusu düşey asimptottur.
x3
3. Grafiğin koordinat eksenleri ile kesim noktaları;
nokta
 0,  13 
ve
1
x  0  y   , y  0  x  1 olup y eksenini kestiği
3
x eksenini kestiği nokta  1, 0  dır.
4. Birinci türevini inceleyelim:
f  x 
1.  x  3  1.  x  1
 x  3
2

4
 x  3
2
 birinci türevin kökü yoktur.
x     3  için f   x   0 olduğundan grafik her yerde azalandır ve fonksiyonun yerel maksimum ya da yerel
minimum noktası yoktur.
5. İkinci türevini inceleyelim.
f   x  
6.
8
 x  3
f ( x) 
3
olduğundan ikinci türevi sıfır yapan değer yoktur.
x 1 x 1

 f (  x )  f ( x ) ve f (  x )   f ( x ) olduğundan fonksiyon tek veya çift değildir.
x  3 x  3
.7. Fonksiyonun değişim tablosunu yapalım.
x
f  ( x)
1


f ( x)
f ( x) 1
y

3
0








0

1
3
 
1
1
1
Tablodaki bilgileri analitik düzleme aktarırsak yandaki grafik
bulunur.
1
3
0
3
x
Test 3 37
5
20 m/sn.
1
A
191
TÜREV - KONU TARAMA TESTLERİ
10 m / sn.
40 m

y
y  x2  x  2
B

x
Yandaki şekilde, aralarındaki uzaklık 40 metre olan
bir bisikletli ile bir koşucu ok yönünde doğrusal olarak
harekete başlıyorlar. B noktasından hareket eden
bisikletlinin hızı 10 m / sn ve A noktasından hareket
0
y   x 2  3x
eden koşucunun hızı 20 m / sn dir.
Buna göre, bisikletli ile koşucu arasındaki uzaklık en
az kaç metre olur?
A)
5
B) 9
C)
16 5
D)
5 3
Şekildeki, İki parabole de teğet olan doğrunun değme
noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?
E) 36
A)
B)
2
C) 3
D)
4
E) 5
6
2
f :  
x y  y x  xy denklemi ile verilen y  f  x 
f  x   ax 3  x 2  3ax  4a  9
hangisidir?
x
x
2
B)
x
2x
C)
x
2x2
D)
x
4x2
E)
2 x
x2
3
Fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden
hangisidir?
D)
B)
b , a 
C)
E)
 a , b 

1
 b, a 


 1, a 
4
Pozitif reel sayılarda tanımlı
f  x   ex
fonksiyonu veriliyor.Buna göre,
2 3 x
 f  1 in değeri
1
aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) 
15
1
B) 
12
1
C)
15
fonksiyonu daima azalan olduğuna göre
aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A)
a
1
3
B)

1
a0
2
D) a  3
E)
a
C)
a
1
3
1
3
7
ba0
f  x   2ax3  3  ab  1 x 2  6bx  8
1

A)  , b 
a

Ahmet YAZICI
d2y
fonksiyonunun
türevi aşağıdakilerden
dx 2
A)
1
1
D)
3
x ve y pozitif reel sayılar ve x  y  1 olduğuna
1 9
göre, 
toplamının alabileceği en küçük tamsayı
x y
değeri kaçtır?
A)
1
B)
C) 9
D) 16
E)
24
8
Bir kare dik prizmanın taban kenarlarından her biri
2 cm / sn , yükseklikleri ise 4 cm / sn hızla
büyümektedir. Taban kenar uzunluğu
yüksekliği
E) 3
1
12 cm olduğu anda, prizmanın hacminin
büyüme hızı kaç
A) 120
cm3 / sn dır?
B) 196
C
10 cm ,
C
C) 208
A
D

D) 216
D
A
E) 256
D C
192
ELEMENTLER
9
12.CİLT
13
C
O
R

R
D
A
C
A
B
Şekildeki ABCD dik yamuğunda,
R yarıçaptı bir daireden  merkez açılı bir dilim
kesilerek, kıvrılıp Tabansız ve içi boş bir dik koni elde
ediliyor. Bu koninin hacminin en büyük değerde
olması için  kaç radyan olmalıdır?
2
3
A)
B)

C)
2
3
D)
2 6
3
E)
olduğuna göre, taralı bölgenin alanının maksimum
değeri kaç
2 2
3
A) 120
en uzak noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 5
C) 3
D)
4
E) 7
Ahmet YAZICI
4 x 2  9 y 2  40 elipsinin 2 x  y  7  0 doğrusuna
BC  4 x  4 br ,
AD  2 x br , BE  x br ve AB  12 br
10
A) 7
B
E
br 2 dir?
B) 128
C) 140
D) 145
E) 160
14
Duvara dayalı
10 m boyundaki bir merdivenin ayağı ,
kayarak duvardan 2 m / sn. hızla uzaklaşıyorsa
merdivenin yüksekliği 6 m olduğunda merdivenin
tepe noktasının iniş hızı kaç m / sn. dır?
A)

8
3
B)

7
3
C)
2
D) 3
E)
3, 24
11
f  x    x  2   x  a  fonksiyonunun yerel
15
2
ekstremum noktalarından biri düşey eksen üzerinde
olduğuna göre,bu fonksiyonun yerel ekstremum
noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
5
A)
B) 3
C)
2 5
D)
5 3
 1

lim  2
log 3  x 2  8   limitinin değeri kaçtır?
x 3 x  3 x



1
2
B)
2
ln 3
C)
1
2
D) ln 3
x2
A)

1
2
B)
1
C) 3
D)
2
E)
4
E) 6
12
A)
lim  ln  3 x  5  cot  x   limitinin değeri kaçtır?
E)
4
16
 
2
3
n 
sin  sin
 sin
   sin


n  n
n
n
n
n 

lim
limitinin değeri kaçtır?
A) 0
B)
D C
2
C)
C
B

D) 3

D
A C
E) 
B
Test 3 40
197
TÜREV - KONU TARAMA TESTLERİ
1
5
x  12 x  k eğrisinin y  0 doğrusunu 3 noktada
kesmesi için k ’nın alabileceği kaç farklı tamsayı
noktası yerel maksimum ve
f  x   ax3  bx 2  cx  d fonksiyonunun  1,12 
3
vardır?
A)
24
1,16 
dönüm noktası
a ’nın alabileceği değer kaçtır?
1
B)
C) 1
D) 2
E) 3
2
olduğuna göre,
B) 27
C) 29
D) 31
E) 33
A)
2

1
4
6
 
0, 2  aralığında tanımlı f  x   sin x fonksiyonu
 
f    f  0
2
için, f   u  
olduğuna göre, u

2
x  0 , 
x  x  
x   x  x 2
x tan e
eşitliğinin her iki tarafının türevini alırsak;
1
 1
 1
  
1  2 x  x.1  2  1 dır.
x tan e
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda 2  1 eşitliğinin ispatı için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?

A) arccos
2
A) Yapılan işlemlerin tümü doğrudur.
B) Toplama işlemi yanlış yapılmıştır
C) Sadeleştirme işlemi yanlış yapılmıştır
2
2
B) arccos
C) arcsin



2
2
D)  arcsin
E) 4 arccos
4


Ahmet YAZICI

x  2 yx  x 2  2 y 2 bağıntısı ile verilen
2
y  x 1
eğrisinin asimptotlarının kesim
xm
noktası  2, n  ise m  n değeri kaçtır?
B)
2
C)
1
D) 3
E)
f  x, y   0 fonksiyonunun  2, 1 noktasındaki
türevinin değeri kaçtır?
4
A)
4
y  x 2  ax  6 eğrisinin x eksenini kestiği
noktalardan çizilen teğetlerinin birbirine dik olması için
a ’nın alabileceği negatif değer kaçtır?
A) 6
2
7
3
A) 8
D) x   ise f ( x )  x türevlenemez
E) Eşitliğin her iki tarafının türevi alınamaz
B) 5
C)
4
D) 3
E)
2
1
4
B)
1
2
C)
1
D)

3
8
E)
4
8
Bir bisiklet üreticisi tanesi 700 liradan yılda 8000 adet
bisiklet satıyor. Bisiklet birim fiyatında yapılacak her
bir 50 liralık indirim için yılda 2000 bisiklet daha fazla
satıldığına göre, yıllık en büyük kazancı sağlayacak
bisiklet fiyatı kaç liradır?
A) 300
B) 450
A
B
C
C) 600
B

B
D) 950
D D
E) 980
B
198
ELEMENTLER
9
13
f  x  x  2
A  2,3 noktasından y  x 2 parabolüne çizilen
2
g  x    x2  1
teğetler arasındaki dar açının tanjantı aşağıdakilerden
hangisidir?
Parabollerinin her ikisine de birden teğet olan kaç
doğru çizilebilir?
A) 0
B)
1
C)
2
D) 3
E)
A)
y  x  k parabolüne çizilen teğetler orijinde dik
kesiştiklerine göre k sayısı nedir?
1
2
C)
1
D)
5
6
C)
1
D)
4
13
E)
7
4
y  x3  3x  3 fonksiyonu üzerindeki A  1, k 
noktasından çizilen teğeti eğriyi bir başka B
noktasında kestiğine göre B noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
E) 3
A)
1
4
1
2
B)
C)
1
D)
5
6
E)
4
Ahmet YAZICI
B)
3
4
B)
14
2
1
4
1
4
4
10
A)
12.CİLT
11


lim tan x.ln  tan x  limitinin değeri kaçtır?
x 0
A) 0
2
4
B)
2
C)
4
D) 8
E)
12
15
x 2  kx
f  x  2
fonksiyonu , k ’nın kaç tam
x  9 x  14
sayı değeri için azalandır?
A) 0
B)
1
C)
2
D) 3
E)
4
12
16


dy
x  u 2  u  olduğuna göre,
değeri kaçtır?
dt
t

0

u  et

fonksiyonunun ekstremum noktası yoktur.Buna göre,
a nın alabileceği değerlerden oluşan en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
y  x3
A)
24
B) 27
C) 29
D) 31
E) 36
f :    , f  x    2 x  2   x 2  ax  1  8
A)
 1, 2
B)
D)
C
1, 2 
A
A
 1,5 
E)
E

C)
 1, 4
 1, 4 
D C
E
A