DERS: ÜNİTE: KONU: MATEMATİK I TÜREV ve UYGULAMALARI MAT101(09) A. TÜREV 1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak s = s (t ) = 10t + t 2 ile verilsin. a) Bu cisim ilk 2 sn’de kaç m yol alır? b) Bu cisim ilk 6 sn’de kaç m yol alır? c) Bu cisim 2. sn ile 6. sn arasında kaç m yol alır? d) Bu cisimin 2. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m / sn dir? e) Bu hareketlinin 3. sn deki anlık hızı kaç m / sn dir? Bir f fonksiyonunun x apsisli noktasındaki y değişim oranı: f(x+∆x) ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x ∆y f(x) x+∆x x x ya da ∆x sembolü yerine h kullanılırsa ∆y f ( x + h) − f ( x) = ∆x h ∆x ile verilir. Örnek: f : R → R , f ( x) = 2 x + 1 fonksiyonu veriliyor. a) x = 2 için tabloyu tamamlayınız. ∆y limitini hesaplayınız. Sonra lim ∆x → 0 ∆x b) Herhangi bir x için lim ∆x → 0 hesaplayınız. ∆y limitini ∆x ∆x ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y ∆x 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 -0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 -0,2 Örnek: Yukarıdaki örneği bu kez g : R → R , g ( x) = x 2 fonksiyonu ve x = 1 için çözünüz. 2. TÜREVİN TANIMI Tanım: A ⊂ R , a ∈ A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer lim x→a f ( x) − f (a) x−a limiti veya x = a + h koymakla elde edilen lim h →0 f ( a + h) − f ( a ) h limiti varsa*; f fonksiyonu, a noktasında türevlenebilirdir veya diferensiyellenebilirdir denir. Bu limitin değerine f fonksiyonunun x = a daki 1 mertebeden türevi adı verilir ve f / (a ) , df dx , Df (a ) x=a sembollerinden birisi ile gösterilir. * Tanımda sözedilen limitin varlığı için lim− f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a ) = lim− h →0 x−a h sol taraflı türev lim+ f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a ) = lim+ h →0 x−a h sağ taraflı türev x→a x→a adı verilen limitlerin araştırılması gerekir. Teorem: f in x = a da türevli olması için gerek ve yeter şart sağ ve sol türevlerin var ve birbirine eşit olmasıdır. Örnek: f : R → R, f ( x) = x fonksiyonu veriliyor. a) Türevin tanımından f in x = 0 daki sol ve sağ taraflı türevlerini hesaplayınız. b) f fonksiyonunun x = 0 da türevli midir? c) f fonksiyonu x = 0 da sürekli midir? Teorem: A ⊂ R , a ∈ A ve f , A üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu x = a da türevli ise süreklidir. Sonuç: Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse türevli de değildir. O zaman bir f fonksiyonunun x = a da türevli olması için f in x = a da sürekli olması gerek şarttır. 2 Örnek: Grafikten yararlanarak a) f fonksiyonunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. b) f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. c) f fonksiyonu hangi noktalarda türevli değildir? d) f fonksiyonunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? e) lim f ( x) = ? , f (a3 ) = ? , f ′(a3 ) = ? x → a3 y = f ( x) a1 c5 c4 c3 c2 a2 c1 a3 a4 a5 Örnek: g : R → R, g ( x) = x 3 fonksiyonu verilsin. Türevin tanımından hareketle g / (2) , değerini hesaplayınız. g / ( x) fonksiyonunu bulunuz. Örnek: v0 = 98 m/sn başlangıç hızı ile yerden havaya fırlatılan bir topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulunuz. (Yol Gösterme: Bir cisim t = 0 sn anında y 0 m yükseklikten v 0 m/sn ilk hızı ile yukarı doğru (dikey) fırlatılırsa herhangi bir t anında yerden yüksekliği m cinsinden y (t ) = − 12 gt 2 + v0 t + y 0 ile verilir. Temel Fizikten hatırlayınız.) 3 3. TÜREV ALMADA GENEL KURALLAR 1) c ∈ R bir sabit olmak üzere c / = 0 . 2) n ∈ Q olmak üzere ( x n ) / = nx n −1 . 3) (cf ( x)) / = cf / ( x) 4) f ve g , x noktasında türevlenebilen fonksiyonlar ve a, b ∈ R sabitler olmak üzere af + bg , fg , f / g ( g ( x) ≠ 0 şartıyla) fonksiyonları da x de türevlenebilirdir ve (af ( x) + bg ( x) )/ = af / ( x) + bg / ( x) ( f ( x ) g ( x ) )/ = f / ( x ) g ( x ) + f ( x ) g / ( x ) / ⎛ f ( x) ⎞ f / ( x) g ( x) − f ( x) g / ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ = , ( g(x) ≠ 0 ) ( g ( x ) )2 ⎝ g ( x) ⎠ Teorem: f : A → B fonksiyonu x apsisli noktasında ve g : B → C fonksiyonu f (x) apsisli noktasında türevli ise g o f : A → C fonksiyonu da x apsisli noktasında türevli olup (g o f )/ ( x) = [ g ( f ( x) ) ]/ = g ′( f ( x) ) f ′( x) . Örnek: Küre şeklinde bir balon hava ile şişirilmektedir. r = 10 cm olduğu anda balonun yarıçapı (r ) ; zamana bağlı olarak 0,3 cm / sn hızla artmaktadır. Bu anda balonun hacmi hangi hızla artar? Örnek: Uygun koşullar altında u = y2 − y +1⎫ ⎪ x ⎪ y= 2 ⎬ x +1 ⎪ x = 3t + 1 ⎪⎭ ile tanımlanan u fonksiyonu için du dt =? t =1 4 Teorem: A, B ⊂ R , f : A → B fonksiyonu 1-1 ve örten olsun. f , x0 ∈ A da türevlenebilir ve f ′( x0 ) ≠ 0 ise f −1 : B → A fonksiyonu da y 0 = f ( x0 ) da türevlenebilirdir ve ( f )′ ( y ) = −1 0 1 . f ′( x0 ) ( )′ (2) = ? Örnek: f ( x) = x 5 + x eşitliği ile tanımlanan f : R → R fonksiyonu veriliyor. f −1 ÖDEVLER M. BALCI, Genel Matematik Cilt I Sayfa 124-125 problemler C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I Sayfa 104-110 Değişim Oranları başlıklı konuyu okuyunuz. Sayfa 111-113 problemler 1-29, 36-52. Sayfa 113-114 3.1. Proje: Bir Şehrin Nüfus Artışı Sayfa 122-124 problemler 1-40, 51-53 Sayfa 125 3.2. Proje: Bir Litre Soğuk Su Sayfa 125-131 ZİNCİR KURALI başlıklı konuyu okuyunuz. Sayfa 132-133 problemler 1-64. Sayfa 138-140 problemler 1-56. 5 4. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ sin : R → [−1, 1 ] , cos : R → [−1, 1 ] , tan : R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z } → R , cot : R − {kπ : k ∈ Z } → R , sec : R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z } → R − (−1, 1) , cosec : R − {kπ : k ∈ Z } → R − (−1, 1) trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her x de türevlenebilirler ve açık olarak (sin x )′ = cos x , (cos x )′ = − sin x , (tan x )′ = 1 + tan 2 x = sec 2 x = 1 , cos 2 x (cot x )′ = −(1 + cot 2 x) = − cos ec 2 x = − 1 , sin 2 x (sec x )′ = sec x tan x , (cos ecx)′ = −cosecx cot x formülleri verilebilir. Örnek: y = sin 3 (πx) + cos 4 ( x 2 + 1) ⇒ y ′ = ? Örnek: Bir roket kızaktan dikey olarak fırlatılıyor ve fırlatma yerinden 5 km uzağa yerleştirilmiş bir radar istasyonu ile izleniyor. Roketin θ yükselme açısı, θ = 60° olduğu anda saniyede 3° artıyor. Roketin bu anda hızı kaç km/saat dir? y θ 5 km 6 5. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ ⎡ π π ⎤ Arc sin : [−1, 1] → ⎢− , ⎥ , ⎣ 2 2 ⎦ Arccos : [−1, 1] → [0, π ] , ⎛ π π⎞ Arctan : R → ⎜ − , ⎟ , ⎝ 2 2⎠ Arccot : R → (0, π ) , ters trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her x de türevlenebilirler ve açık olarak ′ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⎜ arcsin x ⎟ = ; = = = 424 3⎟ ⎜1 2 ′ y (sin y ) cos y 1 − sin y 1 − x 2 ⎝ ⎠ (arccos x )′ = − (arctan x )′ = 1 1− x2 ( x < 1) ; ( x < 1) 1 ; (x ∈ R ) 1+ x2 (arc cot x )′ = − 1 ; (x ∈ R ) 1+ x2 dir. Ayrıca x > 1 koşulunu sağlayan her x için (arcsecx )′ = 1 x x −1 Örnek: f ( x) = arctan 2 1 ⇒ x ve (arccosecx )′ = − 1 x x2 −1 . f ′(1) = ? 1 Örnek: f ( x) = 1 − x 2 − arcsin x ⇒ f ′( ) = ? 2 7 6. LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Logaritmik fonksiyonlar tanım kümelerinde türevlenebilirdir, açıkça x ∈ R + için (log a x )′ = 1 log a e ve x (ln x )′ = 1 . x Ayrıca uygun koşullar altında u = u (x) olmak üzere ′ log a e . u (log a u )′ = u π Örnek: f ( x) = ln(sin x) için f ′( ) = ? 6 Üstel fonksiyonlar her x ∈ R için türevlenebilirdir ve (e )′ = e x x ′ ve (a x ) = a x ln a . Ayrıca uygun koşullar altında u = u ( x) olmak üzere (a )′ = a u Örnek: f ( x) = 3sin( e x ) u u ′ ln a . ise f ′( x) = ? Logaritmik Türev Alma Şimdiye kadar ya u (x) fonksiyonunun sabit olması ya da v(x) fonksiyonunun sabit olması durumunda; uygun koşullar altında tanımlanan y = u ( x) v ( x ) in türevini hesaplamıştık. Şimdi, hem u ( x) hem de v( x) in değişken olması durumunda y = u ( x) v ( x ) fonksiyonunun türevini hesaplayacağız. Bunun için önce y = u ( x) v ( x ) ifadesinin her iki tarafına ln fonksiyonunu uygulayın, sonra her iki tarafın türevini alın. ( Örnek: y = 1 + x 2 ) x ⇒ y′ = ? π Örnek: f ( x) = x sin x ise f ′( ) = ? 2 8 7. HİPERBOLİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Hiperbolik fonksiyonlar ve tersleri de tanım kümelerinde türevli olup bu fonksiyonların türevleri için aşağıdakiler verilebilir. (cosh x )′ = sinh x , (sinh x )′ = cosh x , (tanh x )′ = sec h 2 x , (coth x )′ = −cosech (sechx )′ = −sechx tanh x , (cschx )′ = −cschx coth x , (arccoshx )′ = (arctanhx )′ = 2 1 x −1 2 1 x −1 (arcsechx )′ = − ( 2 1 x 1− x 2 (x > 1) , (arcsinhx )′ = x < 1 ), (arccothx )′ = ( 0 < x <1 ) , 2 x, 1 x2 +1 1 1− x2 (arccschx )′ = − (x ∈ R ) , (x > 1) , 1 x 1+ x2 (x > 0) , Örnek: y = arcsinh(tan x) ⇒ y ′ = ? 9 8. PARAMETRİK DENKLEMLERİ VERİLEN FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Genelde fonksiyonları f : A → B , y = f (x) biçiminde tanımlarız. Burada adı üzerinde y bağımlı değişkeni; x bağımsız değişkenine bağlıdır. Ancak birbirlerine bağlı değişkenleri her zaman bu şekilde ifade edemeyebiliriz. Örneğin şekildeki 2 br yarıçaplı çember Ox − ekseni boyunca yuvarlanıyor. Çember üzerinde seçilen bir P ( x, y ) noktasının düzlemde çizdiği eğri; hangi fonksiyonun grafiğidir. Bu fonksiyonu bulalım. y P(x,y) M r = 2 br O x 6π A Başlangıçta çemberi, x 2 + ( y − 2) 2 = 4 denklemli çember ve P ( x, y ) noktasını da orijin olarak seçelim. Bu eğrinin denklemi x = 2(t − sin t ) ⎫ ⎬ y = 2(1 − cos t )⎭ olarak bulunur. Şimdi bu fonksiyon için y nin x bağımsız değişkenine göre birinci mertebeden türevini hesaplayalım, yani dy =? dx dy 2 sin t dy sin t = dt = = dx dx 2 (1 − cos t ) 1 − cos t dt olarak hesaplanır. Genel olarak bir f : A → R , y = f ( x) fonksiyonu t ∈ I ⊂ R parametresine bağlı olarak x = u (t )⎫ ⎬ y = v(t )⎭ ile verilebilir. Bu durumda y nin x bağımsız değişkenine göre birinci mertebeden türevi: dy dy dt y& = = . dx dx x& dt 10 9. KAPALI BİÇİMDE TANIMLANAN FONKSİYONUN TÜREVLERİ F ( x, y ) = 0 denklemi; bir ya da birden fazla sayıda f : A → R, y = f ( x) fonksiyonunu ifade edebilir. Hatta bu fonksiyonları F ( x, y ) = 0 denkleminden y = f (x) tarzında elde etmek mümkün olmayabilir. Bu durumda; söz konusu f fonksiyonlarının türevini bulmak için ( y nin x bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu akılda tutarak) F ( x, y ) = 0 denkleminin her iki tarafının x bağımsız değişkenine göre türevini alırız. Örnek: x 2 + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5 = 0 denklemleriyle tanımlanan fonksiyonun (ya da fonksiyonların) x = 0 daki türevinin değerini hesaplayınız. d d 2 ( x + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5) = (0) , dx dx 2 x + 2 yy′ − 3 y − 3xy′ + 2 − 4 y′ = 0 ⇒ y′ = 3y − 2x − 2 . 2 y − 3x − 4 Ayrıca x = 0 için y 2 − 4 y − 5 = 0 denklemi elde edilir ki buradan y1 = −1 , y 2 = 5 bulunur. Gerçekten bu denklem iki farklı fonksiyonu içerir ve bu fonksiyonlara f ve g denirse f (0) = −1 ve g (0) = 5 dir. Sonuç olarak f fonksiyonunun x = 0 daki birinci mertebeden türevinin değeri; y′ x = 0 , y = −1 = 5 6 ve g fonksiyonunun x = 0 daki birinci mertebeden türevinin değeri; y′ x = 0, y =5 = 13 6 olarak bulunur. Ayrıca F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5 iki değişkenli fonksiyonu ele alınarak istenen türevler kısmi türevlerden yararlanarak da hesaplanabilir. Gerçekten y′ = − 2x − 3y + 2 3y − 2x − 2 Fx =− = 2 y − 3x − 4 2 y − 3x − 4 Fy elde edilir ki burada Fx , x değişkenine göre kısmi türevi ve Fy , y değişkenine göre kısmi türevi gösterir. 11 10. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER Bir f : A → R , y = f (x) fonksiyonunun birinci mertebeden türevi bir g fonksiyonu olsun, yani g ( x) = f ′( x) diyelim. Eğer türevlenebilir ise g fonksiyonunun birinci metebeden türevine f fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve f ′′(x) ile gösterilir. f fonksiyonunun 1., 2., ... , n. mertebelerden türevlerini alternatif semboller ile gösterebiliriz. y = f (x) fonksiyonunun 1. mertebeden türevi: y ′ = dy = f ′( x) = D x f , dx 2. mertebeden türevi: y ′′ = d2y = f ′′( x) = D x2 f , 2 dx 3. mertebeden türevi: y ′′′ = d3y = f ′′′( x) = D x3 f , 3 dx 4. mertebeden türevi: y ( 4 ) = d4y = f ( 4) ( x) = D x4 f , 4 dx ... n. mertebeden türevi: y ( n ) = dny = f ( n ) ( x) = D xn f n dx sembolleri ile gösterilir. Örnek: f : R → R , f ( x) = x 6 − 5 x 4 + 3x 3 + x 2 − x + 5 ise f ( 4 ) ( x) = ? ve f ( 4 ) (1) = ? Örnek: 1 , sin x, cos x fonksiyonlarının n . mertebeden türevlerini, n doğal sayısına bağlı x olarak veren formüller bulunuz. Gerçekten f ( x) = 1 n! için bu formül f ( n ) ( x) = (−1) n n +1 dir. x x Örnek: x 2 + y 2 − 3 xy + 2 x − 4 y + 5 = 0 denklemi ile verilen fonksiyon (ya da fonksiyonların) ikici mertebeden türevlerini bulunuz.. 12 Bir t ∈ I ⊂ R parametresine bağlı olarak x = u (t )⎫ ⎬ y = v(t )⎭ ile verilen fonksiyonun ikinci mertebeden türevi d ⎛ y& ⎞ &y&x& − &x&y& dy ′ ⎜ ⎟ 2 &y&x& − &x&y& d y d ⎛ dy ⎞ d ( x& ) dt ⎝ x& ⎠ dt ′ (y ) = = = ⎜ ⎟= = = 2 dx dx ⎝ dx ⎠ dx x& x& dx (x& )3 dt 2 biçiminde hesaplanabilir. Örnek: t ∈ [0, 2π ] parametresine bağlı olarak x = 4 cos t ⎫ ⎬ y = 3 sin t ⎭ ile verilen fonksiyon için d2y dx 2 t= π =? 4 ÖDEVLER M. BALCI, Genel Matematik Cilt I Sayfa 147-149 problemler C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I Sayfa 168-169 Örnek 7-12 inceleyiniz. Sayfa 170-173 problemler 1-60, 71-72, 74-77, 87-88 Sayfa 179-182 problemler 1-14, 36-68. Sayfa 195-198 problemler 1-35. KAYNAKLAR M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003. C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I, (çev.ed. Ömer AKIN), Palme Y., Ankara, 2001. 13