04.12.2010 1 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA

BAĞINTI
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
1
BAĞINTI
A ve B boş kümeden farklı birer küme olsun. AxB nin her bir
alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
A kümesine bağıntının tanım kümesi, B kümesine de değer
kümesi denir.
Bağıntıları genellikle

,

A dan B ye bir bağıntı ise:
  A B
bağıntının
tanım kümesi
04.12.2010
ile adlandıracağız.
dir.
bağıntının
değer kümesi
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2

,
A dan B ye bir bağıntı ise:
  A B
ve
  {( x, y) : ( x, y)  A B}
dir.
Örnek1)
A  {a, b}
B  {1,2,3}
olduğuna göre, A dan B ye tanımlanabilecek bazı bağıntılar
yazalım.
Çözüm1)
A B  {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
Bu kartezyen çarpımın her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
1  {(a,1),(b,1),(b,3)}
3  {(b,2),(b,3)}
2  {(a,3)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
3
A ve B boş kümeden farklı kümeler olmak üzere;
  A B
ise

A dan B ye bağıntıdır.
  B A
ise

B den A ya bağıntıdır.
  A A
ise

A dan A ya bağıntıdır.
(A dan A ya olan bağıntılara kısaca A da bağıntıdır denir.)
  B B
04.12.2010
ise

B de bağıntıdır.
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
4
Örnek2)
A  {1,2,3}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri A da bağıntıdır.
1  {(1,3),(2,1)}
2  {(1,1),(2,2),(3,3)}
3  {(1,3),(3,1),(4,1)}
3  {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
4  {}
Çözüm2)
A A  {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Bu kartezyen çarpımın her bir alt kümesi A da bağıntıdır.
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
5
Örnek3)
A  {a, b}
olduğuna göre, A da birbirinden farklı 3 bağıntı yazınız.
Çözüm3)
A da bağıntı olmanın tek şartı AxA nın alt kümesi olmasıdır.
O halde;
A A  {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}
1  {(a, a),(a, b)}
2  {(a, a),(a, b),(b, a)}
3  {(b, b)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
6
Aklın üç ilkesi,
iyi düşünmek,
iyi söylemek,
iyi yapmaktır...
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
7
Bağıntının Şema ve Grafikle Gösterilmesi:
Örnek4)
A  {1,2,3,4,5}
  {(1,3),(2,5),(3,1)}
,
A da bir bağıntı olduğuna göre , bu bağıntıyı şema ve
grafikle gösteriniz.
Çözüm4)
Şema ile

5
A
A .1
.2
.3
.4
.1
.2
.3
.4
.5
.5
4
3
A


2
100.Yıl Lisesi


1
1
04.12.2010

Grafik ile
İbrahim KOCA
2
3
4
5
A
8
Bağıntının Tersi:
A dan B ye bir  bağıntısı verilsin.  bağıntısındaki tüm
ikililerin bileşenlerinin yer değiştirilmesiyle elde edilen
bağıntıya,  bağıntısının tersi denir ve  1 ile gösterilir.
  A B
 1  B  A
 1  {( y, x) : ( x, y)  }
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
9
Örnek5)
Aşağıda verilen bağıntıların ters bağıntılarını bulunuz.
  {(a,2),(a,3),(b,5),(5,5)}
  {(2, a),(3, a),(5, b),(5,5)}
1
  {(1,4),(3,3),(2,8)}
 1  {(4,1),(3,3),(8,2)}
  {(4,1),(1,4),(3,2),(1,3)}
  {(1,4),(4,1),(2,3),(3,1)}
1
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
10
Başarının anahtarı çalışmaktır...
Başarının anahtarı çalışmaktır...
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
11
Örnek6)
A  {2,3,4} kümesinde,
  {( x, y): x  y} bağıntısı tanımlanıyor.
1

ve
bağıntılarını liste biçiminde yazınız.

Çözüm6)
  {(2,3),(2,4),(3,4)}
 1  {(3,2),(4,2),(4,3)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
12
Örnek7)
A  {1,2,3} kümesinde,
  {( x, y): x  y} bağıntısı tanımlanıyor.
1

ve
bağıntılarını liste biçiminde yazınız.

Çözüm7)
  {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
 1  {(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,2),(3,3)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
13
Örnek8)
Doğal sayılar kümesinde tanımlı,
  {( x, y): x  y  4} bağıntısı veriliyor.
 bağıntısını liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm8)
  NN
  {(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
14
Örnek9)
Doğal sayılar kümesinde tanımlı,
  {( x, y): x  y  3} bağıntısı veriliyor.
 bağıntısını liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm9)
  NN
  {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
15
Örnek10)
Doğal sayılar kümesinde tanımlı,
  {( x, y): 2x  y  7} bağıntısı veriliyor.
 bağıntısını liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm10)
  NN
(0,7)  
2.1  y  7
0 y  7
y  72
y  7 N
y  5 N
(1,5)  
x=2 için
2.2  y  7
y  74
y  3 N
(2,3)  
x=3 için
2.3  y  7
y  76
y  1 N
(3,1)  
x=4 için
2.4  y  7
y  7 8
y  1 N
(4, 1)  
x=0 için
2.0  y  7
x=1 için
  {(0,7),(1,5),(2,3),(3,1)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
16
BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ:
1. Yansıma Özelliği:
 , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A nın her x
elemanı için ( x, x)   oluyorsa  bağıntısının yansıma
özelliği vardır veya  yansıyandır denir.
Örnek11)
A  {1,2,3}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır?
1  {(1,1),(2,2),(3,2)}
2  {(1,1),(2,2),(1,3),(3,3)}
3  {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
17
Uyarı:
  A A
ve
  {( x, y) : x  A, y  A}
bağıntısının yansıyan olup olmadığını anlamak için, bağıntıda
y yerine x yazılır. Elde edilen bağıntı A kümesinde daima doğru
ise  bağıntısı yansıyandır.
Örnek12)
A  {1,3,5,7} kümesinde,
  {( x, y) : x  y} bağıntısı tanımlanıyor.
 bağıntısının yansıyan olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm12)
x  x olur.
y yerine x yazalım,
Bu ifade daima doğru olduğundan  yansıyandır.
x y
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
18
2. Simetri Özelliği:
 A da tanımlı bir bağıntı olsun.
Eğer her ( x, y)   için ( y, x)   ise  bağıntısının
simetri özelliği vardır veya  simetriktir denir.
Örnek13)
A  {2,4,6,8}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisileri simetriktir?
1  {(2,4),(4,2)}
2  {(2,2),(4,4),(6,6)}
3  {(2,4),(4,2),(2,6)}
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
19
Uyarı:
1-)
2-)

bağıntısı simetrik ise,    1
  A A
ve
  {( x, y) : ( x, y)  A A}
bağıntısının simetrik olup olmadığını anlamak için, bağıntıda
x ile y nin yerleri değiştirilir. Elde edilen bağıntı verilen bağıntı
ile aynı ise  simetriktir.
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
20
Örnek14)
Sayma sayıları kümesinde tanımlı,
x y
  {( x, y):
 Z}
3
bağıntısının simetrik olduğunu gösteriniz.
Çözüm14)
x y
Z
3
x ile y yi yer değiştiriyoruz,
x y yx

Z
3
3
04.12.2010
yx
Z
3
olduğundan
100.Yıl Lisesi

simetriktir.
İbrahim KOCA
21
3. Ters Simetri Özelliği:
 A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun,
Her ( x, y)   için ( y, x)   iken x  y oluyorsa,
 x  y iken her ( x, y)   için ( y, x)   ise

 bağıntısının ters simetri özelliği vardır veya  ters simetriktir
denir.
Uyarı:
( x, x) biçiminde bir ikilinin  da olması ters simetri özelliğini
bozmaz.
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
22
Örnek15)
A  {0,1,2,3}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisileri ters
simetriktir?
1  {(1,3)}
ters simetriktir
2  {(1,1),(2,2),(1,0)}
ters simetriktir
3  {(0,0),(1,2),(1,3),(2,1)}
ters simetrik değildir
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
23
Örnek16)
A  {2,4,6,8}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların, yansıma, simetrik ve ters
simetrik özelliklerini inceleyiniz.
1  {(2,2),(4,4),(6,6),(8,8)}
2  {(2,4),(2,2),(4,2),(4,6)}
3  {(2,4),(4,2)}
4  
04.12.2010
yansıyandır, simetriktir, ters simetriktir
yansıyan değil, simetrik değil, ters simetrik değil
yansıyan değil, simetriktir, ters simetrik değil
yansıyan değil, simetriktir, ters simetriktir
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
24
4. Geçişme Özelliği:
 A da tanımlı bir bağıntı olsun
Her ( x, y)    ( y, z)    için ( x, z)   oluyorsa
 bağıntısının geçişme özelliği vardır denir. Kısaca
geçişkendir denir.
Örnek17)
A  {0,2,4,6} kümesinde tanımlı
1  {(2,4),(4,6),(2,6)}
2  {(6,4)}
1  {(2,4),(2,6),(4,0),(4,6)}
bağıntılarından hangileri geçişkendir?
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
25
Örnek17)
A  {2,4,6,8} kümesinde tanımlı
  {( x, y) : y  x}
Bağıntısı için yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerini
inceleyiniz.
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
26
BAĞINTI SAYISI
s( A)  m
s(B)  n
olsun
A dan B ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı:
m.n
2
dir.
Örnek18)
A  {,4,6, a}
B  {1,3,4}
olduğuna göre, A dan B ye bağıntı sayısı kaçtır?
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
27
Örnek18)
A  {a, b, c}
B  {2,3} C  {7,8, c, d}
ise. Aşağıda verilen kümeler arasındaki bağıntı sayısını bulunuz.
1-) A dan B ye:
2-) A dan C ye:
3-) A da:
4-) B den C ye:
5-) C de:
04.12.2010
100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
28