Matematik Bülteni / Ocak 2013 Sayfa 2

Yıl 1 , Sayı 3
Ocak 2013
köklü ifade olursa yine onu da yalnız
İkinci derece denklemler zevkli bir cebir
bırakır karesini veya küpünü alırız. Önemli
Örnek: x2  3x  10  0 denkleminin
konusudur. Denklem çözmenin ileri
olan bulduğumuz köklerden köklü ifadeyi
adımlarını göreceğiz. Öncelikle tanımımızı çözüm kümesi bir elemanlı ise m kaçtır?
tanımsız yapmayanları almak ve denklemi
Çözüm: Çözüm kümesi tek elemanlı ise bu
öğrenelim: a,b,c birer reel sayı ve a sayısı
sağlayıp sağlamadığını kontrol etmektir.
tek kök daha doğrusu eşit(aynı) iki kök var
sıfırdan farklı olsun. ax2  bx  c  0
demektir. O halde delta sıfırdır.
ifadesine x’e göre düzenlenmiş II.
Örnek: x  6  4  x denkleminin çözüm
  32  4.2.(m  1)  20
dereceden I bilinmeyenli denklem denir.
kümesini bulalım.
9  8m  8  0  m  1/ 8
Denklemi sağlayan (tabii varsa) x reel
Çözüm: Köklü ifadeyi yalnız bırakıp
Örnek: x2  (m  2) x  12  0 denkleminin kökten kurtarmak için her iki tarafın
sayılarına denklemin kökleri tüm köklerin
oluşturduğu kümeye çözüm kümesi çözüm bir kökü 4 ise diğer kökü kaçtır?
karesini alacağız:
kümesini bulmak için yapılan işleme de
Çözüm: Denklemin kökü demek denklemi
x  6  x  4  x  6  x 2  8 x  16
denklem çözme denir.
sağlayan yani yerine yazıldığında eşitliği
x 2  7 x  10  0  ( x  2)  ( x  5)  0
Denklemin Çözümü
doğru kılan değer demektir. Buradan m’yi
x1  5  x2  2
Çarpanlara Ayırma Yolu
bulup yerine yazarak II. derece denk.
Bu değerlerden -5 denklemi sağlamıyor. -2
İkinci derece denklem kolaylıkla
bulucağız:
görülebiliyorsa çarpanlara ayrılarak
42  (m  2)  4  12  0  16  4m  8  12  0 ise sağlıyor. Yani Ç.K.={-2} olur.
çözülür. İlle de çarpanlara ayrılmak
 m  1 ilk denklemde yerine yazarsak:
zorunda değil!
Örnek: 2 x  1  x  8  3 denkleminin
x2  x  12  0 Bu denklemi iki saat
Örnek: x2  3x  10  0 çözüm kümesini
çözüm kümesini bulalım.
deltadan bulmak yerine çarpanlara ayırarak
bulalım.
Çözüm: Köklü ifadelerden birini yalnız
çözmek daha kolay:  x  4    x  3  0
bırakıp kökten kurtaralım:
x2  3x  10   x  2   x  5  0 Bu
Ç.K .  {4, 3} diğer kök -3’tür.
2x  1  3  x  8
çarpanların her birini sıfır yapan değerler
II.
Dereceden
Denkleme
Dönüşebilen
denklemin kökleridir. x1  2, x2  5
2x  1  9  6  x  8  x  8
Denklemlerin Çözümü
Son denklemde yine köklü ifade karşımıza
Formül Kullanarak Denklem Çözme
Polinomların Çarpımı veya Bölümü
2
çıktığından bu ifadeyi yalnız bırakıp
  b  4ac ile denklemin reel kökleri var Şeklindeki Denklemlerin Çözümü
kökten kurtaralım:
mı yok mu öğrenebiliriz. Varsa bu
* P( x)  Q( x)  0 ise P( x)  0 veya Q( x)  0
x  6 x 8
x 2  36   x  8 
b  b 2  4ac
kökleri x1,2 
ile hesaplarız. * P( x)  0 ise P( x)  0 ve Q( x)  0
x 2  36  x  288  0  x  12    x  24   0
2a
Q( x )
*  (diskriminant veya delta) sıfırdan
x1  12 x2  24 Ç.K.  {12, 24}
Yardımcı Bilinmeyen Kullanarak
büyükse iki farklı kök vardır. Bu kökleri
Direk kökleri çözüm kümesine almamın
Denklem Çözme
yukarıdaki formül ile bulabiliriz.
Bazı denklemlerde benzer ifadeler görürüz. sebebi sizin yerinize kökleri denklemde
**Sıfıra eşitse sayısal değeri aynı olan iki
denedim ve ikisi de denklemi sağladı.
Bunları yeniden adlandırarak denklemi
kök vardır. Buna çakışık kök de diyebiliriz.
basitleştirebiliriz.
2x 1 5
Bunları da yukarıdaki formülle bulabiliriz.
3x 
 olduğuna göre x nedir?
Mesela x4  10 x2  9  0 denklemindeki
2
2
b  0 b
2
A)2 B)23/18 C)4/3 D)3/4 E)1/2
Biz bulduk: x1  x2 

x yerine başka bir değişken yazabiliriz:
2a
2a
2
4
2
2
x  t olsun.x  t olur. t  10t  9  0 Bu Mutlak Değerli Denklemler
***Sıfırdan küçükse reel kök yoktur.
Mutlak değerin içini sıfır yapan x
Örnek: x2  2 x  4  0 denkleminin çözüm t’li ifadeyi yeniden çarpanlara ayırırsak
değerlerine göre inceleme yapılarak çözüm
t  9 ve t  1 ancak aradığımız değer x
kümesini bulalım.
yaparız.(Köklerin denklemi sağlayıp
olduğundan x2  9  x1,2  3
Çözüm: Önce deltayı hesaplayalım: a=1
sağlamadığını kontrol etmek faydalıdır.)
b=-2 c=-4
2
Örnek: x  x  5  6 denkleminin çözüm
x  1  x  1 Ç.K.  {3, 1,1,3}
İKİNCİ DERECE DENKLEMLER O halde Ç.K.  {1  5,1  5} olur.
  b2  4ac  (2)2  4 1 (4)  20
x1 
b  b  4ac 2  20

 1 5
2a
2
x2 
b  b2  4ac 2  20

 1 5
2a
2
2
1,2
Köklü Denklemlerin Çözümü
Bilinmeyenin kök içinde yer aldığı
denklemlerdir. Köklü terim yalnız
bırakılarak kökten kurtarılır. Yani eşitliğin
bazen karesi bazen küpü alınır. Bu halde de
kümesini bulalım.
Çözüm: Mutlak değerin kökü x-5=0 dan
5’tir. x değerlerinin 5’ten büyük (ve eşit)
ve küçük olduğu durumlara göre
inceleyeceğiz.
Matematik Bülteni/Ocak 2013
Sayfa 2
x  5  x  5  ( x  5)  x  5
birini bulup x  10 x  m  0 denkleminde
x yerine yazarak m’yi bulacağız:
2
x( x  5)  6  x 2  5 x  6  0
x1  6  x2  1 Ç.K .  {6}
x  5  x  5  ( x  5)   x  5
x1+x2  10
 4 x2  x2  10  x2  2
x1  4 x2 
x( x  5)  6   x 2  5 x  6  0
x2  2  22  10  2  m  0  m  16
x1  3  x2  2
Kökleri Verilen Denklemi Kurmak
Kökleri x1 ve x2 olan II. Dereceden bir
Ç.K .  {2,3}
1. çözüm kümesinde x  5 olduğu için 6’yı
alırken 1’i almadık. 2. Çözüm kümesinde
x  5 olduğundan 2 ve 3’ün her ikisini
birden aldık.
II. Dereceden Bir Denklemin Kökleri ile
Katsayıları Arasındaki Bağıntı
ax2  bx  c  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 olsun.
x1+x2  

b
c
, x1  x2  , x1 -x2 
,
a
a
a
x12 +x2 2 
b 2  2ac 1 1
b
, +  ,
2
x1 x2
c
a
3
1
1
3abc  b3
+

x13 x23
c3
Bu formülleri bilmekte fayda var!
Örnek: 2 x2  4 x  m  3  0 denkleminin
kökleri x1 , x2 ve x12 +x2 2  4 ise m kaçtır?
Çözüm:
b 2  2ac (4) 2  2.2.(m  3)

a2
22
16  4m  12
4m3
22
x12 +x2 2 
denklem düzenlenirse
1 1
D) { , }
2 2
E){1}
2. a,b ve x birer pozitif tamsayı ve
2
Kökler toplamı ve farkını bulup T=6 Ç=7
x2  T  x  Ç  0 formatında yazacağız:
x2  6 x  7  0
Örnek: x2  3x  1  0 denkleminin kökleri
x1 , x2 olduğuna göre kökleri 2 x1  1 ve
2x2  1 olan ikinci dereceden denklemi
köklerinin toplamı kaçtır?
A)-2 B)-1 C)2 D)3 E)5
5. x2  m2 x  9  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dir. x1 
x2  m  4 olduğuna
göre m kaçtır?
A)-11/4 B)-7/4 C)-3/2 D)-1/2 E)-3/4
bulalım.
Çözüm: Kökleri 2 x1  1 ve 2x2  1 olan
6. 2 x2  (m  3) x  6  0 denkleminin
denklemin köklerinden biri x olsun.
x 1
x  2 x1  1  x1 
2
2
x1 sayısı x  3x  1  0 denkleminin kökü
 x1  2  x2  11 eşitliği sağlanır?
Örnek: a  R  x2  2(a  1) x  1  0 denkle ise eşitliği sağlamalı.
 x 1 
 x 1 

  3
 1  0
2


 2 
x 2  2 x  1 3x  3

1  0
4
2
2
2
2
a  2(a  1)a  1  0  a  2a  2a  1  0 x 2  8 x  3  0
3a 2  2a  1  0  a1  1/ 3  a2  1
Bulduğumuz bu iki a değeri aslında iki kök Örnek: x2  ax  b  0 denkleminin bir
anlamına geliyor. A pozitif reel sayı iken
kökü 3 , x2  cx  d  0 denkleminin bir
diğer kök istendiğinden cevap -1 olur.
kökü -5’tir. Bu iki denklemin diğer kökleri
minin köklerinden biri a ise diğer kök
nedir?
Çözüm: Denklemin kökü x yerine
yazıldığında denklemi doğru kılar.
reel sayılardaki çözüm kümesi hangisidir?
A) 
B) R  {1} C) R  {1,1}
x2  bx  a  1  0 olsun. a 2  b2 sayısı asal
x  ( x1+x2 ) x  x1 x2  0  x  T  x  Ç  0 olamaz? Gösterebilir misin?
elde edilir.
Örnek: Katsayıları rasyonel olan ikinci
4
3. x  2 
 5 denkleminin kökler
dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin
x2
köklerinden birisi x1  3  2 ‘dir. Bu
çarpımı kaçtır?
denklemi bulalım.
A)12 B)20 C)27 D)45 E)54
Çözüm: x1  3  2 diğer kök
4. x  3  x  x  3 denkleminin reel
x  3  2 olur.
2
2
1
1
b  2ac 3 3 3abc  b
+ 2 
, x1 +x2 
,
2
x1 x2
c2
a3
2
bilinmeyenli denklemler
( x  x1 )( x  x2 )  0 biçimindedir. Bu
ALIŞTIRMALAR
3x
3x
1.
1
 0 denkleminin
x 1
1  x   1  x 
2
eşit olduğuna göre a-c kaçtır? ÖYS 1981
Örnek: x2  10 x  m  0 denkleminin
Çözüm: Ortak kök m olsun. İki denklemin
kökleri arasında x1  4 x2 bağıntısı varsa m kökler toplamını ayrı ayrı yazalım. İlk
kökler toplamlı denklemi eksi ile çarpıp
nedir?
diğer denklemler toplayalım:
Çözüm: Kökler toplamı ile sorudaki
m  3  a   m  3  a
x1  4 x2 eşitliği ile iki bilinmeyenli
a  c  8 olur.

m  5  c
denklem oluşturacağız. Buradan köklerden m  5  c 
kökleri x1 ve x2 dir. m’nin hangi değeri için
A)-13/2 B)-4 C)-7/2 D)-2 E)1/2
7. x2  4 x  m  7  0 denkleminin
köklerinin aritmetik ortalaması geometrik
ortalamasına eşit olduğuna göre m kaçtır?
A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1
8. x 2 


3  1 x  p  2  0 denkleminin
bir kökü 2  3 olduğuna göre p kaçtır?
A)8B) 3 C) 8  3 3 D) 8  3 3 E) 4  3 3
9.
2 x 2  4 xy  9 y 2
 3 eşitliğini sağlayan
y2
x’in y cinsinden alabileceği değerler
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A)y/3 B)y/2 C)y D)2y E)3y
9. 3x2  5kx  2  0 denkleminin kökleri a
ve b’dir.
Matematik Bülteni/Ocak 2013
4
olduğuna göre k kaçtır?
3b
A)- B)-1 C)1 D)2 E)3
KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI
Sıralı İkili: İki elemanın ki bunlar a ve b
olsun (a,b) şeklinde yazılmasıyla sıralı
ikililer oluşur. Kısaca ikili de diyebiliriz.
Üç elemanı yazarsak üçlü oluşacağını
bilmem söylememe gerek var mı? Sıralı
ikililerde sıra önemlidir. Yani (a,b) ile (b,a)
aynı şey değildir. Buradaki a’ya 1. Bileşen
a2 
b’ye 2. Bileşen diyoruz. Yani  a, b    b, a 
ve  a, b    c, d   a  b  c  d dir.
Örnek:  x  1, 2   3, y  8  x  y  ?
Çözüm: Bileşenlerin eşitliğinden;
x  1  3  2  y  8 Buradan da
x  y  20 olur.
Kartezyen Çarpım: A ve B boş olmayan
iki küme olmak üzere 1. Bileşeni A
kümesinden 2. Bileşeni B kümesinden
alınarak elde edilen bütün sıralı ikililerin
kümesine A ile B kümesinin Kartezyen
Çarpımı denir. AxB ile gösterilir. Bu
ifadeyi matematiksel olarak şöyle
gösteririz: A  B  {( x, y) : x  A  x  B}
A={1,2} ve B={a,b} için
A  B  {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b)} olur. Peki
B  A bu sonuçla aynı mıdır? Hayır!
B  A  {(a,1),(a, 2),(b,1),(b, 2)}
Kartezyen çarpımın aşağıdaki
özelliklerini ispatlamak kolaydır:
1.Değişme özelliği yoktur:
A  B  B  A (A=B durumu hariç)
2.Birleşme özelliği vardır:
A B  C   A B  C  A  B  C 
3. s  A  B   s  B  A  s( A)  s( B)
4.Kartezyen çarpımın kesişim, birleşim ve
fark üzerine dağılma özelliği vardır:
A  B  C    A B   A C 
A  B  C    A B   A C 
A  B  C    A B   A C 
5. A  A  A2 A  A  A  A3
Kartezyen çarpımın grafiğini liste
yöntemiyle, şema yöntemiyle veya grafik
ile gösterebiliriz. Liste yöntemi önceki
örnekteki gibi elemanlarını küme
parantezine içine yazdığımız yöntemdir.
Şema yöntemi elemanları kapalı bir şekil
içinde yazmamızdır. Ancak şema
yönteminde bazen A  A gibi aynı kümenin
Sayfa 3
çarpımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. Bu
gösterimde A’nın elemanlarının 1 ve 2
olduğunu A  A 'nın {(1,1),(1,2),(2,2),
(2,1)} olduğunu görebildiniz mi?
Grafik yönteminde ise koordinat düzlemi
gibi bir grafik çizer ilk kümenin
elemanlarını yatay ikinci kümenin
elemanlarını düşey eksene yerleştirip sıralı
ikilileri birer nokta halinde gösteririz.
Örneğin yanda A={1,2} ve
B={1,2,3} kümelerinin
Kartezyen çarpımının
grafik yöntemi ile
gösterilmiştir. Eğer burada
A kümesi 1 ile 2
arasındaki tüm reel sayılar olsaydı grafik
 gibi birbirine paralel çizgilerden
oluşacaktı. Yok B kümesi 1 ile 3
arasındaki tüm reel sayılar olsaydı o zaman
da gibi birbirine paralel çizgilerden
oluşacaktı. Eğer hem A hem de B tüm bir
aralıktaki reel sayılar olursa o zaman
grafiğimiz bir dikdörtgen olurdu. (Kare de
bir dikdörtgendir.) Genelde de bu son
kısım sorularda yer alır ve grafiğin alanı
sorulur.
Örnek: A  {x : 1  x  3 ve x  R}
Örnek: Aşağıdakilerden hangi(si)leri
A  {a, b} kümesinde bir bağıntıdır?
1  {} 2  {(a, a)}
3  {(a, a),(a, b),(a, c)} 4  {(a, b)}
5  {(a, b),(b, a)}
Çözüm: A  A  {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}
kümesinin alt kümeleri birer bağıntıdır.
Toplamda 24  16 tane bağıntı yazılabilir.
 3 ’teki (a, c)  A  A olduğundan  3 bu
16 bağıntı arasında yoktur! 1 , 2 , 4 , 5
Bağıntının gösterimini ise genelde şema ile
veya analitik düzlemde gösteririz. Son
örnekteki 5  {(a, b),(b, a)} çizelim:
Sağdaki grafikte  5 kapalı bir eğri içine
alsak iyi olurdu!
Örnek: R’de   {( x, y) : x  ay  9}
şeklinde tanımlanan bir bağıntı için
(1, 2)   ise a kaçtır?
B  {x : 1  x  1ve x  R} olduğuna göre
Çözüm: (1,1)   ile x=1 ve y=2
AxB’nin oluşturduğu kapalı şeklin alanını
bulunuz.
Çözüm:
Oluşan
dikdörtgenin
kısa kenarı 2
birim uzun
kenarı 4
olduğundan
alan 2.4=8 olur.
verdiğimizde bağıntının x  ay  9 denk-
Bağıntı
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere
AxB ‘nin her bir alt kümesine A’dan B’ye
bir bağıntı diyoruz. Genelde  : A  B ile
31  {(a, a),(b, a),(c, a)} olacaktır. Grafik
lemini sağlamalı. 1  a  2  9  a  4'tür.
Bağıntının Tersi:  bağıntısının oluşturan
sıralı ikililerin bileşenlerinin yerleri
değiştirildiğinde  ’nın tersini bulmuş
oluruz. Bunu matematiksel olarak
  {( x, y) : x  A ve y  B } için
 1  {( y, x) :( x, y)   } şeklindedir.
Mesela 3  {(a, a),(a, b),(a, c)} için
çizimini yaparsanız bir simetri görürsünüz!
Bağıntının özellikleri:
1-Yansıma Özelliği: Verilen kümenin tüm
gösteriyoruz. BxA’ nın ve AxA’nın her bir elemanları için (x,x) lerin bağıntıda olursa
alt kümesine de sırayla B’den A’ya bir
bağıntı yansıyandır. Mesela A={a,b,c}
bağıntı ve A’dan A’ya (kısaca A’da)
kümesinde 8 tane bağıntı tanımlayabiliriz.
bağıntı denir.   A  B Yani  ’ların
Bunlardan (a,a) (b,b) ve (c,c) elemanlarının
üçünü de içine alan bağıntılar yansıyandır.
sayısı alt küme sayısı kadardır. O halde
Aşağıdaki iki bağıntı yansıyan sonraki
s( A)  a ve s( B)  b olmak üzere A’dan
değildir. (Çünkü (c,c) elemanı yok)
B’ye 2a.b tane bağıntı yazabiliriz. Şimdi bir
1  {(a, a),(b, b),(c, c)}
A kümesi üzerinde birkaç bağıntı yazalım:
2  {(a, a),(b, b),(c, c),(a, c)}
Matematik Bülteni/Ocak 2013
Sayfa 4
3  {(a, a),(b, b)} Yansıyan bağıntıların
(a, a ),( a , c)  (a, c)
grafikleri çizildiğinde esas köşegen de
dediğimiz y=x doğrusu üzerindeki
elemanların bağıntıya ait olduğunu görürüz
(c, a ),( a , c)  (c, c)
(c, a ),( a , c)  (c, c)
(a, c ),( c , a)  (a, a)
2. Simetri Özelliği: Bir bağıntının tüm
Oluşan elemanların hepsi 1 ’in elemanı
elemanlarının bileşenlerinin yerleri
ise geçişken diyeceğiz. Ama değil!
değiştirildiğinde elde edilen elemanlar da
(c, c)  1 olduğundan geçişken değildir.
bağıntıda yer alıyorsa bağıntımız
Görüldüğü üzere geçişken olduğunu
simetriktir. Yani ( x, y)   için ( y, x)  
kontrol etmek uzun sürüyor. Onun yerine
ise  simetriktir. Örneğin A={a,b,c} de
biz geçişken olmadığını yani geçişkenliğin
tanımlı aşağıdaki bağıntılardan ilk ikisi
bozulduğuna bakarız. Yansıma-simetri ve
simetrik diğeri simetrik değildir.
geçişme özelliği olan bağıntılara Denklik
1  {(a, a),(c, a),(a, c)}
Bağıntısı , Yansıma-Ters Simetri ve
Geçişme özelliği olan bağıntılara Sıralama
2  {(a, b),(b, a),(a, c),(c, a)}
Bağıntısı denir.
  {(a, c),(c, a),(a, b)} Simetrik
3
bağıntıların analitik düzlemde y=x
doğrusuna göre simetrik olduğu görülür.
3.Ters Simetri Özelliği: Aynı bileşenli
sıralı ikililer yani (x,x)’ler hariç (x,y)
elemanları için (y,x)’ler bağıntının elemanı
değil ise bağıntımız ters simetriktir. Yani
x  y iken (x,y)   için (x,y)   ise 
ters simetriktir. Mesela A={a,b,c} de
tanımlı aşağıdaki bağıntılardan ilk ikisi ters
simetrik diğeri ters simetrik değildir.
1  {(a, b),(a, c)}
2  {(a, b),(a, a),(a, c)} (a,a) bozmuyor!
3  {(a, c),(c, a),(a, b)}
Genelde öğrenciler simetrik olan
bağıntıların ters simetrik olamayacağını
veya tersini düşünüyor. Oysa bu düşünce
yanlış! Bir bağıntı hem simetrik hem de
ters simetrik olabilir! İşte örnek:
A={a,b,c} de   {(a, a),(b, b)}
Hatta hem simetri hem de ters simetri
özelliği olmayan bir bağıntı yazabiliriz:
  {(a, b),(b, a),(a, c)}
Ters simetrik bağıntıların grafikleri esas
köşegen üzerindeki elemanlar hariç (ki
bunlar (x,x)’ler) simetrik değildir.
4.Geçişme Özelliği:
(x,y)   ve (y,z)    için (x,z)   ise
 bağıntısı geçişkendir. Geçişme özelliği
diğerlerine göre uzun uzun araştırma ister.
Mesela A={a,b,c} de tanımlı
1  {(a, a),(c, a),(a, c)} bağıntısı;
*Yansıyan bağıntılarda köşegen üzerindeki
elemanların bağıntıda olması gerekir.Bu elemanların
sayısı kümenin eleman sayısı ile aynıdır.Kümelerdeki
“x elemanı bulunur?” soru tarzlarını
hatırlayınız.Benzer şekilde bağıntıda n elemanın
bulunacağı bağıntı sayısı 2n n ile hesaplanır.
*Simetri bağıntı sayısında noktaların simetrilerinin
olacağını düşündüğümüzde elde edeceğimiz nokta
sayısı 1+2+3+..+n olacaktır. Bunun alt küme sayısı
2
yani bağıntı sayısı 2123..n  2
n n1
2
bulunur.
*Ters simetri bağıntı sayında köşegen üzerindeki
elemanlar bağıntı sayısını bozmaz: 2 n Köşegen
üzerinde olmayan elemanların sayısı ise
n2  n tanedir.Bunların bağıntıyla ilgili üç durumu
(biri elemanı,diğeri elemanı,ikisi de elemanı
değil,ikisi de elemanı)olduğundan 3
n2 n
2
halde ters simetri bağıntı sayısı 2n  3
elde edilir.O
n2 n
2
elde edilir.
Örnek: A={1,2,3,4} kümesinde tanımlı
  {( x, y) : x  y  3k , k  , x, y  A} ba
olur. Görüldüğü gibi yansıma ters simetri
ve geçişme özelliği var. Simetri öz. yoktur.
ALIŞTIRMALAR
1. "İnsanlar arasındaki kardeşlik bağıntısı"
yansıma simetri ters simetri ve geçişme
özelliklerinden hangilerini sağlar?
2.Sayma sayılar kümesinde
  {( x, y) : 3x  7 y  13} bağıntısı için
 1 bir elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
A)(2,3) B)(2,1) C)(1,2) D)(3,2) E)(1,3)
3.   {( x, y) : (k  1)  x  (2k  3)  y  1} ba
ğıntısı veriliyor.  1, 2    ise k=?
4.
A  B  {(0,1),(0, 2),(1,1),(1, 2)}
B  C  {(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3)}
ise s  A  C    A  B   ?
5. A={-1,0,1} B={-2,-1,0,1} için AXB
kümesinin hiçbir noktasını dışarıda
bırakmayacak olan en küçük dikdörtgenin
köşegen uzunluğu nedir?
6.   {( x, y) : x2  y 2  20 ve x, y  Z}
bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
7. A kümesinde tanımlı bir  bağıntısı için
s     n  5 ve s   1   2n  7 olduğuna
göre A kümesinin eleman sayısı en az
kaçtır?
8. Boş küme (bağıntısı) yansıma, simetri,
ters simetri ve geçişme özelliklerinden
hangilerini sağlar?
LOGARİTMA SORULAR
1. log 2  0, 2009 olduğuna göre 5100 sayısı
kaç basamaklıdır?
2. x2 log2 x  8 nin köklerinin toplamı kaçtır?
3.
log 2 x  log 2 x  1/ 2 ise x=?
ğıntısının özelliklerini inceleyelim.
4. loga (3a)  log2 a  log3a b  log2 7 ise b=?
Çözüm: Bağıntıda geçen x  y  3k ifadesi 5. log  2 x   2.log x ise log 125 =?
x2 1
1. Bileşen ile 2. Bileşen arasındaki farkı
2
2
6. log  x  y   1  log13
3’ün katı olan ikilileri işaret ediyor.
  {(1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4),(1, 4),(4,1)}
log  x  y   log  x  y   3  log 2
Burada 1-1=0 ve 0’ın da üçün katı
olduğunu hatırlatayım.
Yansıma,simetri ve geçişme özelliği var
ters simetri özelliği yoktur.
Örnek: A={1,2,3} kümesinde tanımlı
  {( x, y) : x  y ve x, y  A} bağıntısının
olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır?
özelliklerini inceleyelim.
Çözüm:
  {(1,1),(1, 2),(1,3),(2, 2),(2,3),(3,3)}
9. f  ln  ex    x.ln x  1  f (2)  ?
7. log x  16  log x x x  log x x  ?
8. loga b  2  logb a  3 ise b’nin a
cinsinden alabileceği değerler çarpımı
nedir? Cevap:a3
10. a  log 7
3
5
b  log 2
3
1
c  log 2 1
2
olduğuna göre a,b,c sayılarını sıralayınız.