BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı

BĞANTI - FONKSİYON
1. Sıralı İkili :
(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2 .
bileşen denir.
! (x1,x2,x3,x4,.......xn) : sıralı n’li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı üçlüdür.
1.1. Sıralı İkili Özellikleri
i. (a,b) = (x,y)
ii. (a,b) = (b,a)


a=x;b=y
[a  b]
2. Kartezyen Çarpım
A ve B boş olmayan iki küme olmak şartıyla 1. bileşen A’ dan , 2. bileşen
B’ den yazılarak oluşturulan tüm sıralı ikililere A kartezyen çarpım B
kümesi denir ve A X B şeklinde gösterilir.
2.1. Kartezyen Çarpım Özellikleri
i.
A X B =  (A,B)  aA , bB 
ii. A X B  B X A
iii. A X B X C = (A X B) X C = A X (B X C)
iv. A X  = 
v. s(A X B) = s(B X A) = s(A) . s(B)
vi. A X A = A2
A X A X A = A3
R X R = R2
R X R X R = R3
(Analitik düzlem)
Www.tuncaycalhan.org
(öklid uzayı)
3. Bağıntı
A ve B boş olmayan iki küme olsun.A X B kümesinin yazılabilecek tüm alt
kümelerinin her birine A’ dan B’ ye bir bağıntı denir ve  ile gösterilir.
3.1. Ters Bağıntı
β = {(x,y) | xA , yB} (β  A X B) olmak üzere
β-1 = {(y,x) : (x,y)β}
(β-1  A X B) şeklindeki bağantıya β
bağantısının ters bağantısı denir ve β-1 şeklinde gösterilir.
3.1. Bağıntının Özellikleri
i.
 = (x,y) (x,y)  A X B
ii. A’ dan B’ ye yada B’ den A’ ya bağıntı sayısı 2s(A X B) dir.
iii. A’ dan A’ ya bağıntıya A’ da bağıntı denir.
iv.  =  de bir bağıntıdır.
v. β ve β-1’lerin analitik düzlemde gösterimi köşegene göre simetriktir.
3.1.1. Bağıntının Diğer özellikleri
i. Yansıma Özelliği
x  A için (x,x)  β ise β yansıyandır.
Analitik düzlemde ( = köşegen)   β ise β yansıyandır.
ii. Simetri Özelliği
(x,y)  β için (y,x)  β ise β simetriktir.
Analitik düzlemde β simetrik ise β ve β-1 aynı kümededir.
Analitik düzlemde β ; ’ e göre simetrik ise β simetriktir.
iii. Ters Simetri Özelliği
x ≠ y ve (x,y)  β için (y,x)  β-1 ise β ters-simetriktir.
β simetrik değilse ters – simetriktir denilemez.
iv. Geçişken Özelliği
(x,y)  β ve (y,z)  β iken (x,z)  β ise β geçişkendir.
NOT : Eğer β yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse β’ya
denklik bağıntısı ; eğer β yansıma, ters-simetri ve geçişme özelliklerine
sahipse β’ ya sıralama bağıntısı denir.
Www.tuncaycalhan.org
4. Fonksiyonlar
A   ve B  olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.A nın
her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa
bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
 x A ve y  B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A  B ya da
x  f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)} biçiminde de gösterilebilir.
4.1. Fonksiyonların Özellikleri
i. Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
ii. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
iii. s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
•
•
•
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
2m . n – nm dir.
iv. Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y
eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride
en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir
fonksiyondur.
Www.tuncaycalhan.org
Fonksiyon Çeşitleri
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire
birdir.
 x1, x2  A için, f(x1) = f(x2) iken x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
s(A) = m ve s(B) = n (n  m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir.
f : A  B olmak üzere f(A) = B ise, f örtendir.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten
fonksiyonların sayısı m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların
sayısı mm – m! Dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR  IR olmak üzere f(x) = x birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
Www.tuncaycalhan.org
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
x  A ve c  B için
f : A B olmak üzere f(x) = c fonksiyonu sabit fonksiyondur.
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
7. Permütasyon Fonksiyonu
f : A  A olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)} fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
Www.tuncaycalhan.org
8. Ters Fonksiyon
f fonksiyonu bire bir ve örten olmak üzere, f
denir.
–1
' e f fonsiyonunun tersi
8.1. Ters Fonksiyonun Özellikleri
i. Uygun koşullarda, f(a) = b  f – 1(b) = a dır.
ii. f : IRIR, f(x) = ax + b ise, f
(x) =
–1
dır.
iii.
iv. (f
v. (f
–1
–1
)
–1
(x))
= f dir.
–1
f(x) tir.
vi. y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x
doğrusuna göre simetriktir.
vii. B IR olmak üzere,
Www.tuncaycalhan.org
viii. B  IR olmak üzere,
9. Bileşke Fonksiyon
f:AB
g : B  C olmak üzere, gof : A  C ifade edilen fonksiyonuna f ile g nin
bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
9.1. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i. (gof)(x) = g[f(x)] tir.
ii. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog gof 'dir. Ancak bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir, ancak olay bu
bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
İii. Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iv. foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır.
v. fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f –1 dir.
Www.tuncaycalhan.org
Fonksiyonlarda Dört İşlem
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A  IR
g : B  IR olmak üzere,
i. f ± g: A  B  IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii. f . g: A Ç B  IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Www.tuncaycalhan.org