Cebir Notları

www.mustafayagci.com, 2003
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Bağıntı
(a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan
ne oldukları değil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadığı ikililere sadece ‘’ikili’’ deriz.
İkilinin birinci sıradaki elemanına birinci bileşen,
ikinci sıradaki elemanına ikinci bileşen denir. Örneğin, (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileşeni a,
ikinci bileşeni b’dir.
Örnek 2. (x2, |y|) = (4, 5) eşitliğini sağlayan kaç
farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir?
Çözüm: (x2, |y|) = (4, 5) ⇔ (x2 = 4 ve |y| = 5) olmalıdır.
x2 = 4 ise x = 2 veya x = –2’dir.
|y| = 5 ise y = 5 veya y = –5’tir.
Bu durumda (2, 5), (2, –5), (–2, 5), (–2, –5) olmak
üzere 4 farklı sıralı ikili yazılabilir.
Alıştırmalar 1
Uyarı. Sıralı ikilide (adından da anlaşılacağı
üzere) sıra önemli olduğundan farklı a ve b elemanları için (a, b) ≠ (b, a)’dır. Genel olarak (a,
b) = (c, d) olması için a = c ve b = d olmalıdır.
Tersi de doğrudur!
Sıralı ikilileri bir nevi, analitik düzlemdeki noktalar olarak düşünebilirsiniz. Nasıl ki; A(1, 3) noktası ile B(3, 1) noktası farklı noktalardır, onun gibi
yani. Aynı nokta olmaları için hem apsisleri hem
ordinatları eşit olmalıdır. Böyle düşünmeniz kolaylık sağlar.
Bu arada (a, b, c) gibi üçlüler de sıra önemli ise
sıralı üçlü adını alırlar. Geometride hatırlarsanız
benzer bir üçlüden bahsetmiştik. a2 + b2 = c2 eşitliğini sağlayan pozitif a, b, c tamsayıları için (a, b,
c) üçlülerine Pisagor üçlüleri demiştik. Bileşen
sayısına göre sıralı dörtlü, sıralı beşliden, genel
olarak sıralı n’liden de bahsedilebilir.
Örnek 1. (x + 2, 8) = (6, 2y) olduğuna göre x – y
farkı kaçtır?
Çözüm: İki sıralı ikili eşit verildiğine göre her
ikisinin hem ilk bileşenleri hem de ikinci bileşenleri eşit olmalıdır.
(x + 2, 8) = (6, 2y) ⇔ (x + 2 = 6 ve 8 = 2y)
olduğundan x = 4 ve y = 3 bulunur. O halde bize
sorulan x – y = 4 – 3 = 1’dir.
1.
(9x-3, 2) = (27,
kaçtır?
3
y ) olduğuna göre x + y toplamı
2.
(x2 – y2, 2) = (8, x – y) olduğuna göre x⋅⋅y çarpımı
kaçtır?
3.
(x2, |y|, z ) = (4, 3, 2) eşitliğini sağlayan kaç
farklı sıralı üçlü yazılabilir?
4.
Bir Pisagor üçlüsünün herhangi bir bileşeni en az
kaç olabilir?
5.
a3 + b3 = c3 + d3 eşitliğini sağlayan bir (a, b, c, d)
sıralı dörtlüsünde bileşenler birer pozitif tamsayı
ise a = 12, b = 1 için c + d toplamı kaçtır?
Kartezyen Çarpım. İsminden dolayı, bildiğimiz
manada bir çarpma yapacağımız aklınıza gelmesin. Belki bir çarpma yapılacak ama bu kümeler
arasında olacak ve farklı kurallarla yapılacak. Nasıl ki iki sayı çarpıldığında sonuç bir sayı çıkıyordu, iki harf (değişken) çarpıldığında da sonuç harf
çıkıyordu bu sefer de sonuç başka bir küme çıka-
Mustafa Yağcı
Bağıntı
cak. Bu kümenin elemanları da çarpılan kümelerin
elemanlarından oluşturulmuş sıralı ikililer olacak.
Tam karşılığı şöyle:
Teorem. s(A) = m ve s(B) = n ise s(A×B) = s(B×A)
= m⋅n’dir.
Kanıt: A ile B’nin kartezyen çarpımında A kümesinin her elemanı B kümesinin her bir elemanı ile
eşlenecek. B kümesinde n tane eleman olduğundan A kümesinin her bir elemanı n tane eleman ile
eşlenecek. A kümesinde m tane eleman olduğundan bu olay m kere yaşanacak. Çarpmanın temel
ilkesine göre toplam m⋅n tane eşleme yani sıralı
ikili yapılabilir. B ile A’nın kartezyen çarpımında
ise bu durum n⋅m tanedir. m⋅n = n⋅m olduğundan
s(A×B) = s(B×A) = m⋅n’dir.
A ve B boş olmayan iki farklı iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinin elemanlarından, ikinci
bileşeni de B kümesinin elemanlarından olacak
şekilde elde edilebilecek tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A kartezyen B kümesi denir.
Yaptığımız işleme de A ile B’nin kartezyen çarpımı adı verilir ve A×B şeklinde gösterilir. Eğer
birinci bileşenler B kümesinin elemanlarından,
ikinci bileşenler de A kümesinin elemanlarından
seçilerek sıralı ikililer yapılsaydı, bu sıralı ikililerin oluşturdukları kümeye de B×A kümesi denirdi.
Örnek 5. A = {x : x < 5, x bir rakam}
B = {y: |y| < 3, y∈ +}
olduğuna göre s(A×B) = ?
Çözüm: A kümesinin elemanları 5’ten küçük olan
rakamlarmış. O halde A = {0, 1, 2, 3, 4} olduğundan s(A) = 5’tir. B kümesinin elemanları da mutlak değerleri 3’ten küçük olan pozitif tamsayılarmış. B = {1, 2} olduğundan s(B) = 2’dir.
O halde s(A×B) = s(A)⋅s(B) = 5⋅2 = 10.
A×B = {(x, y) : x∈A ve y∈B}
B×A = {(x, y) : x∈B ve y∈A}
Örnek 3. A = {1, 2} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için
A×B ve B×A kümelerini yazınız.
Çözüm: A×B ve B×A birer küme olduklarından,
diğer kümeler kaç değişik şekilde gösterilebiliyorlarsa bunlar da o kadar farklı şekilde gösterilebilirler. Biz liste yöntemi ve Venn Şeması ile göstereceğiz.
s(A) + s(B) = 6
s(A×A) + s(B×A) = 18
olduğuna göre s(A) kaçtır?
Çözüm: s(A) = a ve s(B) = b olsun.
s(A×A) = a2 ve s(B×A) = a⋅b olur. Bize verilen
denklemleri tekrar yazarsak;
a + b = 6 ve a2 + ab = 18 olur.
a2 + ab = a⋅(a + b) = a⋅6 = 18 eşitliğinden a = s(A)
= 3 bulunur.
Örnek 6.
A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
Kartezyen Çarpımın Özelikleri.
i) A×(B×C) = (A×B)×C
ii) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
iii) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
iv) A×(B – C) = (A×B) – (A×C)
v) A×A = A2, A×A×A = A3, …
Örnek 4. A×B ve B×A kümeleri eşit midir, denk
midir?
Çözüm: Bir önceki sorudaki A ve B kümelerini
ele alalım.
A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
idi. Fakat (1, 3) ≠ (3, 1), …, (2, 5) ≠ (5, 2) olduğundan A×B ≠ B×A. Bu yüzden bu kümelere eşit
diyemeyiz. Fakat eleman sayıları eşit olduğundan
A×B ve B×A kümeleri denktirler.
Sadece burada denk oldular sanmayın. Bu durumu
genelleştirebiliriz:
Örnek 7. s(A) = 3 ve s(B∪C) = 7 olduğuna göre
s((A×B)∪(A×C)) = ?
Çözüm: (A×B)∪(A×C) = A×(B∪C) olduğundan
s((A×B)∪(A×C)) = s(A×(B∪C))
olur ve s(A×(B∪C)) = s(A)⋅s(B∪C) = 3⋅7 = 21.
Örnek 8. A×B = {(2, 3), (2, 4), (5, 3), (5, 4)} ise
A∪B ve A∩B kümelerini bulunuz.
Çözüm: A×B kümesinin elemanları olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A’nın, ikinci bileşenleri
ise B’nin elemanlarıdır.
2
Mustafa Yağcı
Bağıntı
Örnek 13. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri
için A×B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaçtır?
Çözüm: A×B kümesinin grafiği yanda görüldüğü
üzere 9 noktadan oluşmaktadır. Bu 9 noktanın hiçbirini
dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı ise bu
9 noktanın oluşturduğu bir
kenarı 2 br olan karenin köşegeninin yarısıdır. Yani 2 .
A = {2, 5} ve B = {3, 4} olması gerektiğinden
A∪B = {2, 3, 4, 5} ve A∩B = ∅ olur.
Örnek 9. A = {2, 5} ve B = {3, 4} için A×B ve
B×A’nın grafiklerini çiziniz.
Çözüm:
Örnek 14. A×B = {(2, 3), (3, 3), (4, 3)}
B×C = {(3, p), (3, q), (3, r)}
olduğuna göre s(A×C) = ?
Çözüm: A×B = {(2, 3), (3, 3), (4, 3)} eşitliğinden
A = {2, 3, 4} ve B = {3}bulunur.
B×C = {(3, p), (3, q), (3, r)} eşitliğinden de C =
{p, q, r} bulunur.
Anlayacağınız s(A) = 3, s(B) = 1 ve s(C) = 3’tür.
s(A×C) = s(A)⋅s(C) = 3⋅3 = 9 olur.
Örnek 10. A = {2, 5} ve B = [3, 4) için A×B ve
B×A’nın grafiklerini çiziniz.
Çözüm:
Alıştırmalar 2
Örnek 11. A = [2, 5) ve B = [3, 4) için A×B ve
B×A’nın grafiklerini çiziniz.
Çözüm:
1.
A = {x: |x – 2| < 3, x∈
+
}
B = {y: |y + 1| < 2, y∈ }
olduğuna göre s(A×B) kaçtır?
2.
A = {◊, ∆, 3, λ, {3, 1}}
B = {1, λ, 3, ∆}
olduğuna göre s((A – B)×A) kaçtır?
3.
Örnek 12. A = [1, 3] ve B = [2, 5] için A×B kümesinin belirttiği dikdörtgensel bölgenin alanı kaçtır?
Çözüm: Bir önceki soruda
yaptığımız gibi A×B’nin
grafiğini çizelim.
Uzun kenarı 3 br ve kısa
kenarı 2 br olan bir dikdörtgensel bölge elde ederiz ki
alanı 6 br2 olur.
s ( A)
s (C )
= s( B) =
2
3
ve s(A×B×B×C) = 96 ise s(B) kaçtır?
4.
A×B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)}
B×C = {(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
olduğuna göre s(A∪
∪B∪
∪C) kaçtır?
5.
A ve B iki eşit kümedir.
s((A×C)∩(B×C)) = 48
s(A) = 3⋅s(C)
3
Mustafa Yağcı
Bağıntı
olduğuna göre s(A×B×C) kaçtır?
α10 = {(1, 4), (2, 4)}
α11 = {(2, 3), (2, 4)}
α12 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}
α13 = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}
α14 = {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}
α15 = {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}
α16 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
6.
Alıştırma 1’in grafiğini çiziniz.
7.
A ve B kümeleri için s(A – B) = 9, s(A∩B) = 6 ve
s(B×(B – A)) = 16 olduğuna göre s(A∪
∪B) kaçtır?
Uyarı 1. Boş küme her kümenin bir alt kümesi
olduğundan, A×B kümesinin de bir alt kümesidir, dolayısıyla ∅, A’dan B’ye bir bağın-tıdır.
Uyarı 2. A×B kümesinin 2s(AxB) tane alt kümesi
olduğundan ve her alt kümesine A’dan B’ye bir
bağıntı dendiğinden A’dan B’ye 2s(AxB) tane bağıntı yazılabilir.
s(A×B) = s(B×A) = s(A)⋅s(B) olduğundan B’den
A’ya yazılabilecek bağıntı sayısı da aynı.
8.
Sağdaki grafik A×B kümesine
aitse A ve B kümelerini bulunuz.
9.
Sağdaki grafik B×A kümesine
aitse A ve B kümelerini bulunuz.
Bağıntılar yukarda liste yöntemi ile gösterilmişlerdir. Biz yine bir tanesini Venn şeması ile gösterip ayrıca grafiğini de çizelim.
α6’yi örnek alalım:
10.
A = {x:
x
5
− 1 ≤ , x∈ } olduğuna göre s(A×A)
2
2
kaçtır?
BAĞINTI
A ve B boş olmayan iki farklı küme olsun.
A×B’nin her bir altkümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir.
Doğal olarak, B×A’nın her bir alt kümesine de
B’den A’ya bir bağıntı denir.
Örnek 15. A = {1, 2, 4, 8} kümesinde tanımlı β =
{(x, y): x⋅y = 8} bağıntısını liste yöntemi ile gösteriniz.
Çözüm: İlk olarak ‘’A kümesinde tanımlı’’ demek, ‘’A×A’nın alt kümesidir’’ demektir. Verilen
β bağıntısından da anlaşılması gereken şudur: β
öyle bir bağıntıymış ki; elemanları olan sıralı ikililerin bileşenlerinin çarpımı 8’miş. Ayrıca bileşenler A kümesinin elemanları olmak zorundaymış. O
halde;
β = {(1, 8), (8, 1), (2, 4), (4, 2)}’dir.
Örneğin; A = {1, 2} ve B = {3, 4} olsun. O halde
A×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} olur. Tanıma
göre bu dört elemanlı A×B kümesinin her alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir.
Dört elemanlı bir kümenin de 16 tane altkümesi
olduğundan A’dan B’ye 16 tane bağıntı yazılabilir.
Bu bağıntılar aşağıdadır:
Uyarı 3. A×A’nın alt kümelerine de A’dan A’ya
bir bağıntı denir.
2
s(A) = a ise A’dan A’ya 2 ( a ) tane bağıntı yazılabilir.
α1= ∅
α2 = {(1, 3)}
α3 = {(1, 4)}
α4 = {(2, 3)}
α5 = {(2, 4)}
α6 = {(1, 3), (1, 4)}
α7 = {(1, 3), (2, 3)}
α8 = {(1, 3), (2, 4)}
α9 = {(1, 4), (2, 3)}
Örnek 16. A = {x: 3 < x < 9, x∈ } olduğuna göre
A’dan A’ya kaç bağıntı yazılabilir?
4
Mustafa Yağcı
Bağıntı
Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} olduğundan s(A) = 5,
dolayısıyla s(A×A) = 25’tir. Bundan dolayı A’dan
A’ya yazılabilecek bağıntı sayısı 225’tir.
Çözüm: x ve y sayıları, β bağıntısının sıralı ikililerinin elemanı ve β bağıntısı da A kümesinde tanımlı olduğundan, x ve y sayılarına sadece A kümesinin elemanlarından değerler verebiliriz. Yani
her ikisi de doğal sayıdır. 2y sayısı çift olduğundan x sayısı da çift olmalıdır.
x = 2 için y = 7
x = 4 için y = 6
x = 6 için y = 5
x = 8 için y = 4
x = 10 için y = 3
olduğundan;
β = {(2, 7), (4, 6), (6, 5), (8, 4), (10, 3)}
ve dolayısıyla;
β-1 = {(7, 2), (6, 4), (5, 6), (4, 8), (3, 10)}.
Örnek 17. A = {x: 3 < x < 9, x∈ }
B = {y: |y| ≤ 1, y∈ }
olduğuna göre, A’dan B’ye kaç farklı bağıntı yazılabilir?
Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} ve B = {–1, 0, 1} olduğundan s(A) = 5 ve s(B) = 3’tür. O halde s(A×B)
= 15’tir. Sonuç olarak A’dan B’ye yazılabilecek
bağıntı sayısı 215 olur.
Örnek 18. Yukarıdaki
şemada gösterilen α bağıntısı A×B’nin,
β bağıntısı ise B×C’nin
alt kümesidir.
Buna göre α∩β kümesi kaç elemanlıdır?
Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (2, 2), (2, 3) ve
β = {(2, 2), (2, 3), (4, 1)} olduğundan
α∩β = {(2,2), (2,3)}
olur. O halde cevap 2 olmalıdır.
Örnek 22. Yukarıdaki
şemada gösterilen α
bağıntısı A×B’nin,
β bağıntısı ise
B×C’nin alt kümesidir.
Buna göre α∩β-1 kümesi kaç elemanlıdır?
Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (2, 2), (2, 3) ve
β = {(2, 2), (2, 3), (4, 1)} olduğunu hemen yazalım. O halde β-1 = {(2, 2), (3, 2), (1, 4)} olduğundan α∩β-1 = {(1, 4)} olur. Böylelikle cevap 1 bulunur.
Bir bağıntının tersi. Bir bağıntının elemanları
olan sıralı ikililerin bileşenlerinin yer değiştirmesi ile elde edilen yeni bağıntıya eski bağıntının tersi denir.
β = {(x, y): x∈A ve y∈B} ise
β-1 = {(y, x): (x, y)∈β}
Bağıntının özellikleri.
β, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
1) Yansıma Özelliği.
∀x∈A için (x, x)∈β ise β bağıntısı yansıyandır denir.
2) Simetri Özelliği.
∀(x, y)∈β için (y, x)∈β ise β bağıntısı simetriktir denir.
3) Ters Simetri Özelliği.
x ≠ y olmak üzere ∀(x, y)∈β için (y, x)∉β
ise β bağıntısı ters simetriktir denir.
4) Geçişme Özelliği.
∀(x, y)∈β ve (y, z)∈β için (x, z)∈β oluyorsa, β bağıntısı geçişkendir veya geçişmelidir denir.
Örnek 19. Aşağıda liste yöntemi ile verilen
β = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
bağıntısının tersini bulunuz.
Çözüm: Yukardaki tanıma göre;
β-1 = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
olur.
Örnek 20. β = {(x, y): x + y = 3, (x, y)∈ 2}
bağıntısının tersinin kendisine eşit olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm: β = {(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)} ve
β-1 = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)} olduğundan sav
doğrudur. Bunu y + x = x + y = 3 eşitliğinden de
görebilirdiniz.
Örnek 23. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı
β = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3)}
bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme
özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar?
Örnek 21. A = { x: 1 < x < 12, x∈ } kümesinde
tanımlı β = {(x, y): x + 2y = 16} bağıntısını ve bu
bağıntının tersini liste yöntemi ile yazınız.
5
Mustafa Yağcı
Bağıntı
Örnek. n elemanlı A kümesinde kaç farklı simetrik bağıntı tanımlanabilir?
Çözüm: Bağıntımız A×A’nın alt kümesi olduğundan önce A×A’nın eleman sayısını bulalım.
s(A×A) = n⋅n = n2’dir.
Bu n2 elemanın n tanesi (a, a) şeklindedir, yani bileşenleri eşittir, n2 − n tanesinin de bileşenleri
farklıdır. Hatta, a ile b’yi farklı kabul edersek,
n2 − n
n2 − n
tanesi (a, b) şeklinde, diğer
tanesi
2
2
de (b, a) şeklindedir.
Simetrik bağıntının içinde herhangi bir (a, a) ikilisi sorun teşkil etmez ama (a, b) varsa (b, a) da
olmak zorunda olduğundan, her bir (a, b) ile (b,
a)’yı bir eleman gibi kabul etmeliyiz. Biri varsa
diğeri de olmalı, biri yoksa diğeri de olmamalı diye yani.
n2 − n
n2 + n
O halde, n +
=
elemanlı bu küme2
2
nin her alt kümesi bir simetrik bağıntıdır. Böyle
Çözüm: (1, 1)∈β ve (2, 2)∈β fakat (3, 3)∉β olduğundan β yansıyan değildir. Çünkü tanımında
her x için bunun sağlanması gerektiği söyleniyor.
Yine aynı sebepten, β simetrik de değildir, çünkü
(1, 3)∈β ama (3, 1)∉β.
Diğer yandan (1, 2)∈β ve aynı zamanda (2, 1)∈β
olduğundan β bağıntı ters-simetrik de değildir.
Buradan çıkardığımız ders şu olmalı:
Simetrik olmayan bir bağıntıya ters-simetrik, terssimetrik olmayan bir bağıntıya da simetrik demeyeceğiz.
Bir bağıntı, ne simetrik ne ters-simetrik de olabilir, hem simetrik hem ters-simetrik de olabilir.
Bunlara ilerde örnekler göstereceğiz.
Son olarak, (2, 1)∈β ve (1, 3)∈β iken (2,
3)∉β olduğundan β bağıntısı geçişken de değildir.
Denklik bağıntısı.
Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bir bağıntıya denklik bağıntısı denir.
Sıralama bağıntısı.
Yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini
sağlayan bir bağıntıya sıralama bağıntısı denir.
düşününce cevap 2
n2 +n
2
bulunur.
Alıştırmalar 3
Örnek 24. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı
β = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme
özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar?
Çözüm: (1, 1)∈β, (2, 2)∈β ve (3, 3)∈β olduğundan β bağıntısı yansıyandır.
(1, 2)∈β ve aynı zamanda (2, 1)∈β olduğundan
bağıntısı simetriktir.
Aynı sebepten dolayı ters-simetrik değildir.
Peki, geçişken mi? (1, 2)∈β ve (2, 1)∈β iken
(1,1)∈β olduğundan geçişkendir.
Dolayısıyla β denklik bağıntısıdır.
1.
A kümesinde 16 tane bağıntı tanımlanabildiğine
göre s(A×A×A) kaçtır?
2.
A = {1, 2, 3} ve B = {4, 5} ise A’dan B’ye tanımlı üç elemanlı bağıntıların sayısı kaçtır?
3.
Tamsayılar kümesinde tanımlı
α = {(x, y): x2 + y2 = 9, (x, y)∈
bağıntısının elemanı sayısı kaçtır?
Örnek 25. A = {1, 2, 3} olduğuna göre A’dan
A’ya kaç farklı yansıyan bağıntı yazılabilir?
Çözüm: s(A×A) = 9 olduğunu bir kenara yazalım. Bağıntımız yansıyan olacaksa içinde el mecbur (1, 1), (2, 2), (3, 3) olmalıdır. Yani bu 9 elemanın 3’ü garanti. Diğer 6 elemandan 26 = 64 tane
farklı bağıntı yazılabileceğinden bunların hepsi
diğer 3 eleman ile birleştirilir ve bağıntılar yansıyan olur.
2
}
4.
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı
α = {(x, y): (x – y)(x + y – 5) = 0}
bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
5.
A = {0, 1, 2} kümesinde tanımlı
α = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 0)}
bağıntısının sıralama bağıntısı olması için bu bağıntıya hangi eleman eklenmelidir?
6
Mustafa Yağcı
Bağıntı
6.
A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinde tanımlı
α = {(x, y): y = 2x + 1, (x, y)∈A2}
olduğuna göre s(α
α ∪ α−1) kaçtır??
7.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı
α = {(x, y): x böler y, (x, y)∈A2}
bağıntısının eleman sayısı kaçtır??
8.
A = {5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanımlı
α = {(x, y): y = 2x – 3, (x, y)∈A2}
ise α−1 bağıntısını liste yöntemi ile yazınız..
9.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı bir β bağıntısı yansıyan ve simetriktir. β ters-simetrik değilse eleman sayısı en az kaç olabilir?
10.
Herhangi bir bağıntı ile bu bağıntının tersinin grafikleri, birbirlerinin neye göre simetrikleridir?
7