kartezyen çarpım, bağıntı

KARTEZYEN ÇARPIM, BAĞINTI
Sıralı İkili
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
Herhangi iki nesne belli bir öncelik sırasına göre bir eleman
gibi düşünülürse bu elemana sıralı ikili veya ikili denir.
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere birinci bileşen A
dan, ikinci bileşen B den alınarak elde edilen tüm sıralı
ikililerden oluşan kümeye A ile B kümelerinin kartezyen
çarpımı denir ve A  B biçiminde gösterilir.
Birinci bileşeni x, ikinci bileşeni y olan sıralı ikili x, y 
şeklinde yazılır.
Bu durumda
İkili de sıra önemli olduğu için x, y   y , x  tir.


A  B  ( x, y ) x  A ve y  B dir.
Kural
Örnek:
x, y  ve a, b  gibi iki sıralı ikili olmak üzere
 
 
A  1, 2 ve B  3, 5 ise A  B kümesini liste
yöntemiyle yazalım.
x, y   a, b  ise x  a ve y  b dir.
Çözüm:
Örnek:




A  B  ( x, y ) x  A ve y  B olduğundan,
x, 4  5, y  ise x  y kaçtır?
A  B  (1, 3), (1, 5), ( 2, 3), ( 2, 5) dir.
Çözüm:
Örnek:
x, 4  5, y  ise tanım gereği birinci bileşenler birbirine
 
ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmak zorundadır.
 
A  1, 2 ve B  3, 5 ise B  A kümesini liste
yöntemiyle yazalım.
Bu durumda x  5 ve y  4 olup, x  y  5  4  9 dur.
Çözüm:
Örnek:


B  A  ( x, y ) x  B ve y  A olduğundan,
x  4, 8  5, y  5 ise x ve y kaçtır?


B  A  ( 3,1), ( 3,2), ( 5,1), ( 5,2) dir.
Çözüm:
x  4  5  x  1 ve y  5  8  y  3 bulunur.
Sonuç
Örnek:
A ve B gibi birbirinden farklı ve boş olmayan iki kümenin
kartezyen çarpımları için A  B  B  A dir.
11, 2x  3y   3x  y, 12 ise x, y  sıralı ikilisi nedir?
Örnek:
Çözüm:

 sistemi çözülürse,
2 x  3 y  12 
3 x  y  11
 


H  1, 2 ve J  5, 7, 9 kümeleri için H  J kartezyen
çarpım kümesini üç farklı yöntemle gösterelim.
x  3 ve y  2 olur.
Çözüm:
Liste yöntemiyle gösterimi,
1


H  J  (1, 5), (1, 7), (1, 9), ( 2, 5), ( 2, 7), ( 2, 9) olur.
B nin elemanları sayılabilir, A nın elemanları sayılamaz
çoklukta olduğundan B  A nın grafiği y eksenine paralel
doğrulardır.
Örnek:

Örnek:

A  B  (1, a), (1, b), ( 2, a), ( 2, b), ( 3, b), ( 3, b) kümesi için A ve


B  x / x  R, - 2  x  3 kümeleri için A  B nin
B kümelerini bulunuz.
A  x / x  R, - 1  x  2 ve
Çözüm:
grafiğini çizelim.
A  B kartezyen çarpımında sıralı ikililerin birinci bileşenleri
A ya, ikinci bileşenleri B ye ait olduğundan
 
Çözüm:

 
  
dikdörtgensel bölgedir.
x  2 doğrusu üzerindeki
noktalar A’ya ait olmadığından,
y  2 doğrusu üzerindeki
noktalar B’ye ait olmadığından
kesikli çizgilerle gösterilmiştir.
Her iki kümenin elemanları da
sayılamaz (sonsuz) çoklukta
olduğundan A  B nin grafiği
bir alan oluşturur.
Uyarı
A ve B kümeleri verildiğinde;
a.
Her iki kümenin elemanları da sayılamaz (sonsuz)
çoklukta ise A  B ve B  A nın grafiği bir alan
oluşturur.
b.
A nın elemanları sayılamaz, B nin elemanları sayılabilir
çoklukta ise A  B nin grafiği x eksenine paralel
doğrulardır.
Örnek:
A nın elemanları sayılabilir, B nin elemanları sayılamaz
çoklukta ise A  B nin grafiği y eksenine paralel
doğrulardır.


B  x / x  R, - 2  x  3 kümeleri için B  A nın
c.
A  x / x  R, - 1  x  2 ve
grafiğini çizelim.
Çözüm:
Örnek:


A  B nin grafiği köşeleri  1,2 , 2,2 , 2,3 ,  1,3 olan
A  1, 2, 3 ve B  a, b dir.



A  x / x  R, 1  x  3 ve B  - 1,1,2 kümeleri için
x  2 doğrusu üzerindeki
noktalar B’ye ait olmadığından,
y  2 doğrusu üzerindeki
noktalar A’ya ait olmadığından
kesikli çizgilerle gösterilmiştir.
Her iki kümenin elemanları da
sayılamaz (sonsuz) çoklukta
olduğundan B  A nın grafiği
A  B ve B  A nın grafiğini çizelim.
Çözüm:
A nın elemanları sayılamaz, B nin elemanları sayılabilir
çoklukta olduğundan A  B nin grafiği x eksenine paralel
doğrulardır.
bir alan oluşturur.
2
Örnek:
Kartezyen Çarpım İşleminin Özellikleri
 
 
A  1, 2,3 ve B   1,1 olmak üzere A  B kümesinin
noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin
düzlemde gösterelim.
Çözüm:
A  B kümesinin noktalarını
dışarıda bırakmayan en
küçük çemberin yanda
gösterilmiştir.
1.
A  (B  C)  ( A  B)  C
2.
A  (B  C)  ( A  B)  ( A  C)
3.
(B  C)  A  (B  A )  ( C  A )
4.
A  (B  C)  ( A  B)  ( A  C)
5.
(B  C)  A  (B  A )  ( C  A )
Örnek:
s( A )  4 ve s(B  C)  7 olduğuna göre ( A  B)  ( A  C)
kümesinin eleman sayısını bulalım.
Çözüm:
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

  
s ( A  B)  ( A  C)  s Ax B  C
A ve B gibi boş olmayan iki küme, s( A )  n ve s(B)  m
olmak üzere



 s A .s B  C  4.7  28
s( A  B)  s( A )  s(B) ve s(B  A )  s(B)  s( A ) dır.
Örnek:
Örnek :






A  1, b, c,4 , B  b, c,4, e, f, g, k, l , C  c,4, e, r kümeleri
A  1, 2 ve B  a, b, c kümeleri için A  B kümesinin
eleman sayısı kaçtır?
veriliyor. Buna göre ( A  B)  ( A  C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
A  B bulunursa

s( A )  5 tir.

 


A  B  (1, a), (1, b), (1, c ), ( 2, a), ( 2, a), ( 2, b), ( 2, c ) elde edilir.
B  C  c ,4,3 olup s B  C  3 olduğundan,
A  B elemanlarını sayarsak 6 olduğunu görürüz. Bu
durumda eleman sayısı, yani s( A  B)  2.3  6 olur.
s ( A  B)  ( A  C)  s A  B  C

  



 s A .s B  C  4.3  12
Örnek:




A  1, 2, 3, 4, 5 ve B  a, b, c , d ise s( A  B) kaçtır?
Bağıntı
Çözüm:
Birbirinden farklı A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere;
A  B nin her alt kümesine, A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntılar , , ,     gibi semboller ile gösterilir.
s( A )  5 ve s(B)  4 olduğundan
s( A  B)  s( A )  s(B)  5  4 bulunur.
3
Örnek:
 
 
A  1, 3 ve B  a, b kümeleri için


A  B  (1, a), (1, b), ( 3, a), ( 3, b) olur.
Kartezyen çarpımın her bir alt kümesi A dan B ye bir
bağıntıdır. A  B nin eleman sayısı 4 ve 4 elemanlı bir
  1,3 , 2,3 , 3,3  tür. 13 , 23 , 33 olup 
bağıntısının şema ve grafiği yukarıda verilmiştir.
4
kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2  16 olduğu için A
dan B ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir. Bunlardan bir kaçı




1  (1, a), ( 3, b)
Örnek:

 2  (1, b), (1, a)


 
  ( x, y ) x ,y  R  R, x  2 ve y  1 bağıntısının
grafiğini analitik düzlemde gösteriniz.

 3  (1, a), ( 3, a), ( 3, b) dır.

Çözüm:

 4  (1, a), (1, b), ( 3, 1), ( 3, a), ( 3, b) bağıntısı A  B nin bir alt


 
  ( x, y ) x ,y  R  R, x  2 ve y  1 bağıntısının
kümesi değildir. Çünkü  4 bağıntısının ( 3, 1) elemanı
A  B nin elemanı değildir.
elemanları R  R nin alt kümesi olan
ikililerden oluştuğuna göre,
Yani  4  (1, a), (1, b), ( 3, 1), ( 3, a), ( 3, b)  A  B dir.  4 bir
bağıntı değildir.
x, y  şeklindeki sıralı
x  2  x  2 veya x  2 dir.
y  1  1  y  1 dir.
Uyarı


 
  ( x, y ) x ,y  R  R, x  2 ve y  1 olmak
A ve B kümeleri için A dan B ye tanımlanan  bağıntısı

 B
varsa  : A  B veya A 
üzere  bağıntısının grafiği y
eksenine paralel doğru doğrulardan
oluşur.
biçiminde gösterilir.
x, y    ise xy veya x   y şeklinde gösterilir.
Örnek:
Örnek:
 
bağıntısı


A  1, 3 ve B  a, b, c olmak üzere  : A  B
 
 
  ( x, y ) x ,y   A  B ve x  y şeklinde
A  1, 2,3 ve B   1,3 olmak üzere,  : A  B
bağıntısı   (1, a), (1, c ), ( 3, b), 3, c  şeklinde tanımlanan
 bağıntısının grafiğini çiziniz.
tanımlanıyor. Buna göre  bağıntısının elemanlarını
yazarak grafiğini çizelim.
Çözüm:

    olup, bu
sıralı ikililerden (1, a), (1, c ), ( 3, b), 3, c  ikilileri 
Çözüm:
A  B  (1, a), (1, b), (1, c ), ( 3, a), 3, b , 3, c
A  B  (1, - 1), (1,3), ( 2,1), ( 2,3), 3,1, 3,3 olup, bu sıralı
ikililerden birinci terimi ikinci teriminden küçük olanlar 
bağıntısının elemanları olurlar. Buna göre,
bağıntısının elemanlarıdır.
4
Örnek:
Buna göre,  nın grafiği yanda
verilmiştir.
s( A )  3 ve s(B)  4 olduğuna göre A dan B ye
tanımlanacak tüm bağıntılardan kaç tanesi 3 elemanlıdır?
Çözüm:
s( A )  3 ve s(B)  4 ise s( A  B)  3.4  12 dir.
A dan B ye tanımlanacak 3 elemanlı bağıntıların sayısı
A  B kümesinin 3 elemanlı alt kümeleri sayısına eşittir.
Buna göre 12 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümeleri
sayısı,
Örnek:

A  x : x  Z, x
B
2

 10 ve
 x : x  Z  , 15

x



 
 k, k  Z  kümeleri veriliyor. A dan
C 12,3 
B ye tanımlanabilen bütün bağıntıların sayısı kaçtır?
Çözüm:

A  x : x  Z, x
2

12.11.10
6
 220 dir.
A  A nın her alt kümesine ise A dan A ya bir bağıntı veya
kısaca A da bir bağıntı denir.
 10 olduğu için karesi 10 dan küçük
Buna göre, A   - 3,-2,-1,0, 1,2,3 ve sA   7 dir.
 x : x  Z  , 15

x

12  3!.3!

Tanım
olan x tamsayıları,  3,2,1,0,1,2,3 tür.
B
12!
Örnek:
 
A  2,3,4 kümesi veriliyor. A da tanımlı


 k, k  Z  olduğu için 15 i tam bölen


  ( x, y ) x  y bağıntısını liste şeklinde yazarak şema
pozitif x tam sayıları, 1,3,5,15 tir.
ve grafiğini çiziniz.
Buna göre, B  1,3,5,15 ve sB   4 tür.
Çözüm:
 bağıntısı A da tanımlı olduğundan A  A kümesinin
A dan B ye tanımlanabilen bütün bağıntıların sayısı, A  B
kümesinin bütün alt kümeleri sayısına eşittir.
elemanlarından birinci bileşenleri ikinci bileşenlerine eşit
veya birinci bileşenleri ikinci bileşenlerinden küçük olan
ikililer  bağıntısının elemanı olurlar. Buna göre,
s( A  B)  s( A )  s(B)  7.4  28 olup

    dır.
  ( 2,2), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,3), 3,4 , 4,4
A dan B ye tanımlanabilen bütün bağıntıların sayısı,
2
   2 28 tanedir.
s Ax B
Sonuç
s( A )  m ve s(B)  n olmak üzere A dan B ye
tanımlanabilen bütün bağıntıların sayısı, 2
m.n
dir.
Örnek:
Bağıntının Tersi (Ters Bağıntı)
s( A )  3 ve s(B)  2 olmak üzere A dan B ye
tanımlanabilen bütün bağıntıların sayısı, 2
3.2
Bir bağıntının tersi, bağıntının sıralı ikililerinin birinci ve ikinci
bileşenlerinin yer değiştirmesi ile elde edilir.
 64 tür.
5
Boş olmayan A ve B kümeleri için A dan B ye verilen

Çözüm:


  ( x, y ) x  A ve y  B bağıntısının B den A ya

1



 ( y , x ) x  A ve y  B bağıntısına  bağıntısının

 x  y ise 
1
1
1


 ( y , x ) 3x  2y  11

  ( x, y ) x  y  4 olduğuna göre 
1
  yı bulmak
için 3x  2y  11 ve x  y  4 denklemlerini birlikte
çözmeliyiz.
tersi veya ters bağıntısı denir.
 : A  B ise 

  ( x, y ) 3x  2y  11 ise 
: B  A dır.
3 x  2 y  11


xy 4
y   x tir.

1
 
x  3 ve y  1 bulunur.
1,3 tür.
Örnek:
 
 
  (1, a), (1, b), ( 3, a), ( 5, b) bağıntısının tersini bulunuz.
Bağıntının Özellikleri
Çözüm:
Şimdiye kadar A dan B ye veya A da tanımlanan bağıntıları
inceledik. Şimdi A da tanımlanan bağıntılara ait özellikleri
inceleyeceğiz.
A  1, 3, 5 ve B  a, b kümeleri için A dan B ye;


  ( x, y ) x  A ve y  B nın tersi

1


1.

için x, x    ise  bağıntısının yansıma özelliği vardır,
diğer bir ifade ile  yansıyandır denir.
 ( y, x ) ( x , y)   olacağından;

 bağıntısı A da tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer her x  A
  (1, a), (1, b), ( 3, a), ( 5, b) bağıntısının tersi

1

Yansıma Özelliği

 ( a, 1), (b, 1), ( a, 3), (b, 5) olacaktır.
Örnek:
Örnek :
 
A  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan
Tanımlı kümeler A ve B için A dan B ye bir bağıntı
  (1,2), ( 3,4), ( 5,6), ( 7,8), ( 9,10) ise  bağıntısının tersini
bulunuz.

 
1  A için 1,1   ,
Çözüm:

 
2  A için 2,2   ,

  (1, 2), ( 3, 4), ( 5, 6), ( 7, 8), ( 9, 10) bağıntısının tersi

1

 
3  A için 3,3   olduğundan yansıyandır.

 ( 2, 1), ( 4, 3), ( 6, 5), ( 8, 7), (10, 9) olur.
Örnek:
Örnek :




1

A  a, b, c , d kümesinde tanımlanan

  ( x, y ) 3x  2y  11 ve   ( x, y ) x  y  4
olduğuna göre 

  (1, 1), (1,2), ( 2, 2), ( 2,3), ( 3, 3) bağıntısı,


  ( a, c ), (a, a), ( c , d, ), (b, d), ( c , c ) bağıntısı,
  yı bulunuz.
6
 
 
Örnek:
b  A için b, b   ve d  A için d, d   olduğundan
yansıyan değildir.
 
K  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan  bağıntısı yansıyandır
fakat simetrik değildir. Buna göre  nın eleman sayısının en
küçük değerini bulalım.
Örnek:
 
Çözüm:
A  3,7,9 kümesinde tanımlı  bağıntısı yansıyandır.
Buna göre, kaç farklı  bağıntısı tanımlanabilir?


K  K  (1,1), ( 2,2), ( 3,3), (1,2), (1,3),... dır.
Çözüm:

 yansıyan ise  da (1,1), ( 2,2), ( 3,3) kesinlikle olmalıdır.

A  A  ( 3,3), ( 7,7), ( 9,9), ( 3,7), ( 3, 9),... olmak üzere

(1,1), (2, 2), (3, 3) bağıntısı hem yansıyandır. Hem

s A  A  3.3  9 dur.
simetriktir.
Yazılacak olan  da bu 9 elemandan (3,3), (7,7), ( 9,9)
kesinlikle olmalıdır. Geriye kalan 9  3  6 elemanla
değildir.
2
6
(1,1), (2, 2), (3, 3), 1,3 bağıntısı yansıyandır. Fakat simetrik
 64 tane bağıntı (alt küme) yazılır.
Buna göre K kümesinde tanımlı, yansıyandır fakat simetrik
olmayan bir bağıntının eleman sayısı en az 4 tür.
Bu 64 tane bağıntının her birine (3,3), (7,7), ( 9,9) elemanları
yazılırsa 64 tane bağıntının her biri yansıyan olur.
3.
 bağıntısı A da tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer x  y iken
her ( x, y )   için ( y, x )   ise  bağıntısının ters simetri
özeliği vardır, diğer bir ifade ile  ters simetriktir.
Sonuç

s A  n olmak üzere A kümesinde yazılabilecek tüm
yansıyan bağıntıların sayısı 2
2.
n2  n
Ters Simetri Özelliği
 bağıntısında ( x, x ) şeklindeki elemanların olması 
bağıntısının ters simetri özeliğini bozmaz.
tanedir.
Simetri Özelliği
Örnek:
 bağıntısı A da tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer her
( x, y )   için ( y , x )   ise  bağıntısının simetri özeliği
vardır, diğer bir ifade ile  simetriktir.
 
  (1, 1), ( 2, 2), ( 3, 3),   (1, 1), ( 2, 2), ( 3, 3), ( 3, 2)
  (1, 1), ( 2, 2), (1, 3), ( 3, 2), 3,1 bağıntılardan hangileri için
A  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan
Örnek:
 
ters simetri özeliğine sahiptir?


Çözüm:
A  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan   (1, 1), ( 2, 2), (1, 3)
bağıntısı simetrik değildir. Çünkü (1,2)   olduğu halde
( 3,1)   dır.
Ters simetri özeliği için her ( x, y )   iken ( y, x )   olması
gerekir. Ayrıca  bağıntısında ( x, x ) şeklindeki elemanların
olması  bağıntısının ters simetri özeliğini bozmaz.
Örnek:
Buna göre verilen bağıntılardan,
 
  ( 2, 1), ( 2, 2), (1,2), 1,3 , 3,1 bağıntısı yansıyan değildir
A  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan
Her ( x, y )   için ( y, x )   olduğundan  ters simetriktir.
Her ( x, y )   için ( y , x)   olduğundan  ters simetriktir.
ama simetriktir.
7
Örnek :
Fakat (1, 3)   iken ( 3, 1)   olduğundan  ters simetrik
değildir.


  (1, 2), ( 2, 3), (1, 3), ( 4, 5) bağıntısı geçişken midir?
A  1, 2, 3, 4, 5 kümesi üzerinde tanımlanan
Örnek:




Çözüm:
A  a, b, c kümesinde tanımlanan   ( a, b), (b, a), ( c , c )
bağıntısı ters simetrik değildir.


  (1, 2), ( 2, 3), (1, 3), ( 4, 5) bağıntısı geçişken bağıntıdır.
Çünkü,
Çünkü ( a, b)   iken (b, a)   dır.
(1, 2)   ve (2, 3)   için (1, 3)   .
Örnek:
 

(2, 3)   için 3 ile başlayan sıralı ikili yok.

A  1, 2, 3 kümesinde tanımlanan   ( 3,3), ( 2,1), (1, 3)
(1, 3)   için 3 ile başlayan sıralı ikili yok.
bağıntısı ters simetriktir.
(4, 5)   için 5 ile başlayan sıralı ikili yok.
Örnek:




Örnek :
A  a, b, c kümesinde tanımlanan   ( a, a), (b, b), ( c , c )
bağıntısı yansıma, simetri, ters simetri özelliklerine sahiptir.
A  1, 2, 3, 4, 5 kümesi üzerinde tanımlanan   (1, 2)
bağıntısı geçişken midir?
Örnek:
Çözüm:
 
  ( a, a), ( a, c ), (b, a), c , a 
A  a, b, c kümesinde tanımlanan
(1, 2)   için 2 ile başlayan sıralı ikili olmadığından
geçişkendir.
bağıntısı,
simetrik değildir. Çünkü (b, a)   iken ( a, b)   dır.
Örnek :
Ters simetrik değildir. Çünkü ( a, c )   iken ( c , a)   dır.


  (1, 3), (3, 4), (1, 4), (2, 3) bağıntısı geçişken midir?
A  1, 2, 3, 4, 5 kümesi üzerinde tanımlanan
4.
Geçişme Özelliği
 bağıntısı A da tanımlı bir bağıntı olsun.
Çözüm:
Her ( x, y )   ve ( y, z)   iken ( x, z )   ise 
bağıntısının geçişme özelliği vardır, diğer bir ifade ile 
geçişken bir bağıntıdır.
(2, 3)   ve (3, 4)   için (2, 4)   dir.
O halde  bağıntısı geçişken bağıntı değildir.
Örnek :
 
Örnek :


bağıntısı geçişken değildir.
 
  (2,2), (4,4), (6,6), (8,8) bağıntısı yansıma, simetri, ters
Çünkü (1,3)   ve ( 3,5)   iken (1,5)   dır.
simetri, geçişme özelliklerinin hepsini sağlar.
A  1, 3, 5 kümesinde tanımlanan   (1, 3), ( 3,5), ( 3, 3)
A  2,4,6,8 kümesi üzerinde tanımlanan
8
Örnek :
 bağıntısının sıralama bağıntısı olması için yansıma, terssimetri ve geçişme özeliklerinin olması gerekmektedir. Bu
durumda;
Reel sayılar kümesinde tanımlanan   (x ,y) / x  1  y
bağıntısını inceleyelim:

Yansıma özeliği:

  (x ,y) / x  1  y ise,  bağıntısındaki ikililerin birinci
bileşenlerinin 1 fazlası ikinci bileşene eşittir.
Her x  A için x  x olduğundan ( x, x)   dır. 
bağıntısı yansıyan bağıntıdır.
 daki ikililerden bazıları (-2,-1), (-1,0), (0,1), (1,2) dir.
Ters simetri özeliği:
 bağıntısı yansıyan değildir.
Her ( x, y )   için ( y , x)   olduğundan  bağıntısı terssimetrik bağıntıdır.
Çünkü her x  A için (x ,x )   dır.
Geçişme özeliği:
 bağıntısı simetrik değildir.
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için x  y ve y  z olup x  z
olacağından ( x, z )   olup  bağıntısı geçişken bağıntıdır.
Çünkü her ( x, y )   için ( y, x )   dır.
 bağıntısı ters simetriktir.
 bağıntısı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini
sağladığından,A da tanımlı  bağıntısı bir sıralama
bağıntısıdır.
Çünkü x  y iken her ( x, y )   için ( y, x )   dır.
 bağıntısı geçişken değildir.
Örnek:
Çünkü her ( x, y )   ve ( y, z)   iken ( x, z )   dır.




A  1, 2, 4 da tanımlı   (x ,y)
Bağıntı Çeşitleri
x


 n ve n, x ,y  Z 
bağıntısının sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Sıralama Bağıntısı
 bağıntısına ait ( x, y ) ikilisindeki x sayısı y sayısını tam
 bağıntısı A da tanımlı bir bağıntı olsun.  bağıntısının
yansıma, ters simetri ve geçişme özelikleri varsa 
böldüğüne ve A  1, 2, 4 olduğuna göre
bağıntısına, A üzerinde bir sıralama bağıntısı denir.

  (1, 1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (4,4)
 olur.
Yansıma özeliği:
Örnek:

y



sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.
Her x  A için ( x, x)   dır.  bağıntısı yansıyan
bağıntıdır.
Çözüm:
Ters simetri özeliği:
A  1, 2, 3, 4, 5 da tanımlı   (x ,y) x  y bağıntısının
Her ( x, y )   için ( y , x)   olduğundan  bağıntısı terssimetrik bağıntıdır.
 bağıntısı elamanları ile yazılırsa:
(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), 

 olur.
(4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)

Geçişme özeliği:
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olup  bağıntısı
geçişken bağıntıdır.
9
 bağıntısı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini
sağladığından, A da tanımlı  bağıntısı bir sıralama
bağıntısıdır.
Örnek:




A  1, 2, 3, 4 da tanımlı   (x ,y) : x y bağıntısının kısmi
sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.
Örnek:
Çözüm:

 

A  1, 5,7 da tanımlı   (1,1), (1,5), (5,5), (7,7) bağıntısı ,
yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini sağladığından,
A da tanımlı  bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.
 nın sıralama bağıntısı olduğunu göstermek gerekir, 
liste şeklinde yazılırsa:


  (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4) dır.
Tam Sıralama Bağıntısı
Yansıma özeliği:
 bağıntısı A da tanımlı bir sıralama bağıntısı olsun. A nın
her elemanı birbirine  bağıntısı ile bağlı ise, bağıntıya tam
Her x  A için x x olduğundan ( x, x)   dır. 
sıralama bağıntısı denir.
yansıyandır.
Ters-simetri özeliği:
Örnek:




A  1, 2, 3, 4, 5 da tanımlı   (x ,y) x  y bağıntısının
Her ( x, y )   için ( y , x)   olduğundan  bağıntısı terssimetriktir.
tam sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.
Geçişme özeliği:
Çözüm:
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için x y ve y z ise x z olup
A da tanımlı  bağıntısının sıralama bağıntısı olduğunu
göstermiştik.  bağıntısının tam sıralama bağıntısı
olabilmesi için elemanların birbirine bağlı olması
gerekmektedir.
( x, z )   olacağından  geçişken bağıntıdır.
A da tanımlı  bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.
Burada A nın elemanlarına bakılırsa;
Burada A nın elemanlarına bakılırsa;
1  2, 2  4, 3  3 ve 4  4 fakat 2 ile 3 elemanları
arasında bir bağlantı yoktur.
5  4, 4  3, 3  2 ve 2  1 elemanları x  y
Bu durumda bağıntı kısmi sıralama bağıntısı olur.
bağıntısı ile bağlıdır.
Dolayısıyla A kümesinin elemanları birbirine,
5  4  3  2  1 biçiminde bağlanabiliyor.
A da tanımlı  bağıntısı, tam sıralama bağıntısıdır.
Denklik Bağıntısı
, A da tanımlı bir bağıntı olmak üzere,  bağıntısının
yansıma, simetri ve geçişme özelikleri varsa  bağıntısına,
A üzerinde bir denklik bağıntısı denir.
Kısmi Sıralama Bağıntısı
Denklik,  sembolü ile gösterilir. (a, b)   için  denklik
bağıntısı ise a  b dır. Bu a  b , “a denk b” diye okunur.
 bağıntısı A da tanımlı bir sıralama bağıntısı olsun. A nın
bazı elemanları birbirine  bağıntısı ile bağlı değilse,
bağıntıya kısmi sıralama bağıntısı denir.
Örnek:
 


A  1, 5,7 da tanımlı   (1,1), (1,5), (5,5), (7,7) , ( 5,1)
bağıntısını yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini
sağladığından  , A da denklik bağıntısıdır.
10
Örnek:
Geçişme özeliği:
Üçgenler kümesinde tanımlanan eşlik bağıntısının, bir
denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.
x, y , z  A için 4 ( x  y ) ve 4 ( y  z ) ise ( x, y )   ve
Çözüm:
( y , z )   dır.
( x, y )   ve ( y , z )   ise x  y  4k ve y  z  4m
Bağıntının denklik bağıntısı olabilmesi için yansıma, simetri
ve geçişme özeliği olması gerekir.
 ( x  y )  ( y  z)  4k  4m
Yansıma özeliği:
 x  y  y  z  4(k  m)


ABC ~ ABC dir. Her üçgen kendisine benzer. Yansıma
 x  z  4n  ( x , z )  
özeliği vardır.
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olup 
geçişkendir.
Simetri özeliği:




ABC ~ DEF ise DEF ~ ABC dir. Simetri özeliği vardır.
Geçişme özeliği:
Örnek:






ABC ~ DEF ve DEF ~ KLM ise ABC ~ KLM dir.
Geçişme özeliği vardır.

Çözüm:
 bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özeliğinin
olduğunu göstermek gerekmektedir.
Örnek:

A  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kümesinde tanımlı


Tamsayılar kümesinde tanımlanan   (x ,y) : 5 ( x  y )
bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.
O halde üçgenler kümesinde tanımlanan eşlik bağıntısının,
bir denklik bağıntısıdır.

 , A da yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı
olduğundan denklik bağıntısıdır.

Yansıma özeliği:
gösteriniz.
Her x  A için x  x  0 , sıfır (0), 5 ile bölündüğünden
(x ,x )   dır.  yansıyandır.
Çözüm:
Simetri özeliği:
A da tanımlanan  bağıntısının yansıma, simetri ve
geçişme özeliğinin olduğunu göstermek gerekmektedir.
Her x, y  A için x  y , 5 ile bölünürse; y  x de 5 ile
bölünür.
Yansıma özeliği:
k  Z olmak üzere x  y  5k ise y  x  5k dır.
Her x  A için x  x  0 , sıfır (0), 4 ile bölündüğünden
(x, x)   dır.  yansıyandır.
Her ( x, y )   için ( y , x)   dır.  simetriktir.
  (x ,y) : 4 ( x  y ) bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu
Geçişme özeliği:
Simetri özeliği:
Her x, y  A için x  y , 4 ile bölünürse; y  x de 4 ile
bölünür.
k  Z olmak üzere x  y  4k ise y  x  4k dır.
x, y , z  A için 5 ( x  y ) ve 5 ( y  z ) ise ( x, y )   ve
( y , z )   dır.
( x, y )   ve ( y , z )   ise x  y  5k ve y  z  5m
Her ( x, y )   için ( y , x)   dır.  simetriktir.
11
 ( x  y )  ( y  z)  5k  5m
Geçişme özeliği:
 x  y  y  z  5(k  m)
x, y , z  A için 3 ( x  y ) ve 3 ( y  z ) ise ( x, y )   ve
( y , z )   dır.
 x  z  5n  ( x, z)  
( x, y )   ve ( y , z )   ise x  y  3k ve y  z  3m
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olup 
geçişkendir.
 ( x  y )  ( y  z)  3k  3m
 , yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı olduğundan
denklik bağıntısıdır.
 x  y  y  z  3(k  m)
 x  z  3n  ( x, z)  
Denklik Sınıfları
 , A da bir denklik bağıntısı olmak üzere;  , A nın bir x
elemanına denk olan tüm y elemanlarının kümesine x in
denklik sınıfları denir ve x biçiminde gösterilir.

Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olup 
geçişkendir.
Böylece  nın denklik bağıntısı olduğu gösterilmiş oldu.
Denklik sınıflarını bulalım.

x  y y  A, (x ,y)   dır.
 
0 a bağlı elemanlar: 0 ve 3 olup 0  0, 3 tür.
Örnek:




 
1 e bağlı elemanlar: 1 ve 4 olup 1  1, 4 tür.
A  0, 1, 2, 3, 4 de tanımlanan   ( x, y ) : 3 ( x  y )
bağıntısı denklik bağıntısı ise denklik sınıflarını bulunuz.
Çözüm:

2 ye bağlı elemanlar: 2 olup 2  2 dir.
 
3 e bağlı elemanlar: 3 ve 0 olup 3  3, 0 dır.
 nın denklik bağıntısı olabilmesi için yansıma, simetri ve
geçişme özeliklerinin olması gerekir.
 
4 e bağlı elemanlar: 4 ve 1 olup 4  4, 1 dir.
 elemanlarıyla yazılırsa:
0  3 ve 1  4 olduklarına dikkat
ediniz. Bu durumda denklik sınıfları
(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), 


(0, 3), (1, 4), (3, 0), (4, 1)

0, 1 ve 2 dir. Bu denklik sınıfları
şema ile gösterilirse, aşağıdaki gibi
olur.
Yansıma özelliği.
Her x  A için x  x  0 , sıfır (0), 3 ile bölündüğünden
(x ,x )   dır.  yansıyandır.
Örnek:
Simetri özeliği:
A  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kümesinde tanımlı
Her x, y  A için x  y , 3 ile bölünürse; y  x de 3 ile
bölünür.
k  Z olmak üzere x  y  3k ise y  x  3k dır.
Her ( x, y )   için ( y , x)   dır.  simetriktir.




  (x ,y) : 4 ( x  y ) bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu
gösterip oluşan denklik sınıflarını yazınız..
Çözüm:
A da tanımlanan  bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu
daha önceki örneklerde göstermiştik.
12
Oluşan denklik sınıfları,

Çözüm:

 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
A   2,3 ve B  2,5 olmak üzere A  B kümesini
0  0, 4,8 , 1  1,5,9 , 2  2,6 , 3  3,7 ,
oluşturan noktalar yandaki
şekilde taralı bölgedir.
Şekildeki taralı alan
4  0,4,8 , 5  1,5,9 , 6  2,6 , 7  3,7 ,
2
3.5  15 br olduğuna göre
A  B kümesinin analitik
8  0,4,8 , 9  1,5,9 dur.
düzlemdeki görüntüsünün
2
belirttiği alan 15 br dir.
0  4  8, 1 5  9, 2  6,
3  7 olup A kümesi yandaki
gibi denklik sınıflarına ayrılmış
olur.


4. A   1,2,3 ve B  x x  R, - 2  x  1 kümeleri
veriliyor. B  A kümesinin grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Çözümlü Sorular
1.
2x, 8  6, x  y  ise y
B  A kartezyen çarpımında B
kümesinin elemanları sayılamaz
çoklukta, A kümesinin elemanları
sayılabilir çoklukta olduğundan
B  A nın grafiği x eksenine
paralel doğrulardan oluşur.
kaçtır?
Çözüm:
2x, 8  6, x  y  ise 2x  6
ve x  y  8 dir.
 
5. A  1,2 ve B   1,5 olmak üzere B  A kümesinin
grafiğini çiziniz.
 x  3 ve 3  y  8  y  8 - 3  5 bulunur.




2. A  x x  Z, x  3 ve B  x x  Z, - 2  x  1
Çözüm:
olmak üzere A  B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B  A kümesinin grafiği
çizilirken B kümesinin
elemanları x değerlerini, A
kümesinin elemanları y
değerlerini oluşturur.
Çözüm:

 

A  x x  Z, x  3  x x  Z, - 3  x  3


  3,2,1,0,1,2,3 tür.

 

İki kümenin de elemanları
sayılamaz çoklukta olduğundan
B  x x  Z, - 2  x  1   2,1,0 dır.
grafik alan belirtir.
s( A  B)  s( A ).s(B)  7.3  21 bulunur.
Grafik çizilirken x  1 ile x  3 ve y  1 ile y  2
doğruları çizilir. ( y  1 doğrusu kesik noktalı çizilir. Çünkü 1,
A kümesinin sınırı, fakat elemanı değildir.)

B  x

2  x  5 olduğuna göre A  B
3. A  x x  R, - 2  x  3 ve
x  R,
Meydana gelen dikdörtgenin alanı bize B  A kümesinin
grafiğini verir.
kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsünün belirttiği
alan kaç birim karedir?
13
6. A  1,2 , B  2,3 , C  1,5 olduğuna göre,
B  ( A  C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
9. A  a, b, c ve B  d, e, f kümeleri veriliyor. A dan B
ye tanımlanabilen tüm bağıntı sayısı kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:

 
s( A  B)  s( A ).s(B)  3.3  9 olup A dan B ye bağıntı
sayısı demek A  B nin alt küme sayısı demektir.
A  C  1 ve B  2,3 olduğuna göre,


s B  ( A  C)  s( A ).s(B  C)  1.2  2 dir.
Buna göre, A dan B ye tanımlanabilen tüm bağıntı sayısı,
7. A   2,1,0 ve B  1,2,3 olduğuna göre A  B
kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük
çemberin yarıçapı kaç birimdir?
2
s ( A  B)
2
9
 512 dir.
10. A  3,5 kümesi veriliyor. A dan B ye tanımlana bilen
bağıntı sayısı 64 olduğuna göre B kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
Çözüm:
A  B nin grafiği yanda çizilmiştir.
Bu 9 noktayı dışarıda bırakmayan
en küçük çember çizilmiştir.
çemberin yarıçapı
(2,3) ile (0,1) noktaları veya
(2,1) ile (0,3) noktaları
arasındaki uzaklığın yarısıdır.
(2,3) ile (0,1) noktalarının uzaklığının yarısı,
2
2
( 2  0)  (1  3)
2

O halde çemberin yarıçapı
44
2

2 2
2
Çözüm:
A dan B ye bağıntı sayısı demek A  B nin alt küme sayısı
demektir. Buna göre, A dan B ye tanımlanabilen tüm bağıntı
sayısı,
2
s ( A  B)
 64  2
s( A ). s(B)
2
6
olup,
s( A ).s(B)  6  2.s(B)  6  s(B)  3 bulunur.

2 dir.
11.   (3,7), (2,8), (-1,1), (2,0), (4,3) bağıntısının ters
2 birimdir.
bağıntısı olan 
1
bağıntısının elemanlarını yazınız.
Çözüm:
8.
A  B nin grafiği yanda
verilmiştir.
Buna göre A kümesinin
elemanlarını yazınız.

1



  (x ,y) x, y  R, 3y  x  2 bağıntıları veriliyor.
2
12.   (x ,y) x, y  R, x  y  10 ve
1
 
1
2
Çözüm:
A  B nin elemanları ( x, y ) şeklindeki ikililerdir.
A kümesinin elemanları x ekseninde gösterilir.

A   2,1,1 dir. Ayrıca grafikte verilen doğrular A x
eksenine dik olduğundan A kümesi sonlu elemanlıdır.
1
yi bulunuz.
Çözüm:

Buna göre x ekseninde verilen değerler  2,1,1 olup


 ( 7,3), ( 8,2), (1,1), ( 0,2), ( 3,4) tür.

14
2

1
2

 (x ,y) x, y  R, 3y  x  2 ise


 (x ,y) x, y  R, 3 x  y  2 dir.
 
1
2
1
yi bulmak için x  y  10 ve 3x  y  2


15. A  1,3,5,7 kümesinde tanımlı   (x ,y) y  x
bağıntısı hangi özelliklere sahiptir?
denklemlerinin ortak çözümü yapılır.
Çözüm:
x  y  10 
 x  3 ve y  7 olup
 
1
2
3x  y  2
1
 
 ( 3,7)


  (1,3), (1,5), (1,7), (3,5), (3,7), (5,7) bağıntısı,
Her x  A için ( x, x )   dır.  bağıntısı yansıyan değildir.
bulunur.
Her ( x, y )   için ( y, x )   dır.  simetrik değildir.
13. s(B  C)  15 , s( A  B)  20 ve


s ( A  B)  ( A  C)  60 olduğuna göre, s(B) kaçtır?
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olduğundan 
geçişken bağıntıdır.
Çözüm:
( A  B)  ( A  C)  A  (B  C) ve s(B  C)  15 olduğu
16.
için,

 
 
A  2,3,4 kümesinde tanımlanan

s ( A  B)  ( A  C)  s A  (B  C)  s( A ). s(B  C)
 bağıntısının şeması yanda
verilmiştir. Buna göre  bağıntısı
60  s( A ). 15  s( A )  4 tür.
yansıma, simetri, ters simetri,
geçişme özelliklerinden hangisi yada
hangilerini sağlar?
s( A  B)  20  s( A ).s(B)  20  4.s(B)  20
 s(B)  5 bulunur.
14. A  B  ( a,2), (b,1), ( 3,2), (b,2), ( 3,1), ( a,1) ve


B  C  (1, a), ( 2,1), ( 2, a), (1,1) olduğuna göre
( A  B)  (B  C) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözüm:


A  B  ( a,2), (b,1), ( 3,2), (b,2), ( 3,1), ( a,1) ise,


 
A  a, b,3 ve B  1,2 dir.

Çözüm:
Verilen şemaya göre

Her x  A için ( x, x)   dır.  bağıntısı yansıyandır.
Her ( x, y )   için ( y , x)   dır.  simetrik değildir.
Her ( x, y )   için ( y, x )   dır.  ters simetriktir.
Her ( x, y )   ve ( y, z)   için ( x, z )   olduğu

 
B  C  (1, a), ( 2,1), ( 2, a), (1,1) ise, C  a,1 dir.
gösterilemediği için  geçişken bağıntıdır.
Buna göre, A  C  b,3 olup s( A  C)  2 dir.

 

  ( 2,2), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,3), ( 4,4) tür.

17. ( 3
s ( A  B)  (B  C)  s ( A  C)  B
 s( A  C).s(B)  2.2  4 bulunur.
1
x 1 y 1
,2
)  (1, ) olduğuna göre x  y kaçtır?
2
Çözüm:
(3
15
1
y 1 1
x 1 y 1
x 1
,2
)  (1, ) ise 3
 1 ve 2

2
2
3
2
x 1
y 1
13

1
2
x-1
2
3
y 1
0
2
 x  1  0  x  1 dir.
1
 y  1  1  y  2 dir.
Çözüm:
N den M ye tanımlanan bağıntı demek N  M nin alt
kümeleri sayısı demektir.
s(N  M)  s(N).s(M)  2.3  6 olup N  M nin alt kümeleri
Buna göre, x  y  1  ( 2)  3 bulunur.
18. A  B  (1,2), (1,3), ( 2,2), ( 2,3) ve


B  C  ( 2,5), ( 2,6), ( 3,5), ( 3,6) olduğuna göre A  C
6
sayısı, 2  64 olduğundan N den M ye tanımlanabilen
tüm bağıntıların sayısı 64 tür.
21. A  1,2,3,4 , B  1,2,3 ve

kümesini bulunuz.

  (x ,y) x  A ve y  B, x  2y - 1 olduğuna göre 
bağıntısının tersini bulunuz.
Çözüm:

Çözüm:

A  B  (1,2), (1,3), ( 2,2), ( 2,3) ise
 

 


 
B  C  ( 2,5), ( 2,6), ( 3,5), ( 3,6) ise C  5,6 dır.
 
 
A  1,2 ve C  5,6 ise


  (1,1), (3,2) olup 
A  1,2 ve B  2,3 tür.

A  C  (1,5), (1,6), ( 2,5), ( 2,6) olur.
1


 (1,1), (2,3) tür.
24. A  0,1,2 kümesinde    (0,2), (1,5), (2,7) bağıntısı
tanımlanmıştır. Buna göre ( 0)  ( 2) toplamı kaçtır?
Çözüm:


  (0,2), (1,5), (2,7) olduğuna göre,

19. R   3,1 ve A   2,2 olmak üzere R  A
kümesinin grafiğini çiziniz.
( 0,2)    ( 0)  2 dir.
( 2,7)    ( 2)  7 dir.
Çözüm:
R  A kümesinin grafiği
çizilirken R kümesinin
elemanları x değerlerini, A
kümesinin elemanları da y
değerlerini oluşturur.
Grafik çizilirken x  3 ile
x  1 doğruları ve y  2 ile
y  2 doğruları çizilir. Oluşan dikdörtgenin alanı istenen
grafiktir.
Burada x  1 ve y  2 doğruları çizilirken doğru kesikli
çizgi şeklinde çizilir. Çünkü 1 R ve  2  A dır.
20. M   2,1,0 ve N  a, b olduğuna göre N den M
ye tanımlanabilen tüm bağıntıların sayısı kaçtır?
( 0)  ( 2)  2  7  9 bulunur.
25. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,


  (x ,y) (x - y).(x  y) - x  y  0 , x ,y  R bağıntısı
bir denklik bağıntısıdır. Buna göre 5 in denklik sınıfını
bulunuz.
Çözüm:


5 in denklik sınıfı 5  y y  R ve (5, y)   olur.


  (x ,y) (x - y).(x  y) - x  y  0 , x ,y  R olmak üzere
x  5 ise,
(5  y ).( 5  y )  5  y  0  ( 5  y ).( 5  y )  ( 5  y )  0
 ( 5  y ).( 5  y  1)  0  ( 5  y ).( 4  y )  0
16
 y  5 veya y  4 tür.
26. A  1,2,3,4,5 kümesinde tanımlı  bağıntısı
yansıyandır; ancak simetrik ve ters simetrik değildir.
Buna göre  bağıntısı en az kaç elemanlıdır?
Buna göre 5   - 4,5 tir.
Çözüm:
 5  y  0 veya 4  y  0

22. A  0,1,2,3,8 kümesinde   (x ,y) y  2 , x ,y  A
x
bağıntısı tanımlanıyor. Buna göre 
yazınız.
1

bağıntısını


A  1,2,3,4,5 kümesinde tanımlı  bağıntısı yansıyan ise
(1,1), ( 2,2), ( 3,3), ( 4,4), ( 5,5) ikilileri  bağıntısının
elemanlarıdır.
Bu bağıntının simetrik olmaması için herhangi bir ikilinin
eklenmesi gerekir. Örneğin (1,3) ikilisini ekleyelim bu
durumda (1,1), ( 2,2), ( 3,3), ( 4,4), ( 5,5), (1,3) ikilileri 
bağıntısının elemanları olur.
Çözüm:


x
A  0,1,2,3,8 olmak üzere y  2 , x ,y  A ise,
x  0 ise y  2
0
Bu bağıntı simetri özelliğini sağlamaz, fakat ters simetri
özelliğini sağlar. Buna göre ters simetri özelliğinin
sağlanmaması için ( 3,1) ikilisi de  bağıntısına
eklenmelidir.
 1 A ,
Bu durumda (1,1), ( 2,2), ( 3,3), ( 4,4), ( 5,5), (1,3), ( 3,1) ikilileri 
bağıntısının elemanları olur.
1
x  1 ise y  2  2  A
x  3 ise y  2
3
 8  A olup

Bu durumda simetri özelliği sağlanacağından yeni bir ikilinin
daha eklenmesi gerekir. Örneğin ( 4,5) ikilisini ekleyelim.

  (0,1), (1,2), (3,8) dir. Buna göre
Buna göre oluşan

1


 (1,0), (2,1), (8,3) tür.
23. A  1,3,4 ve B  2,3,4 kümeleri veriliyor. Buna
göre A dan A ya tanımlanan bağıntılardan kaçı, B den
B ye tanımlanan bağıntılara eşittir?
Çözüm:
A  A kümesinin her alt kümesine A dan A ya bağıntı denir.

(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,3), (3,1), (4,5) bağıntısı yansıma
özelliğine sahip fakat hem simetri, hem de ters simetri
özelliğine sahip değildir.
Buna göre, 5 elemanlı A kümesinde tanımlanan yansıyan;
ancak simetrik ve ters simetrik olmayan bir bağıntı en az 8
elemanlı olmalıdır.
KONU BİTMİŞTİR…

A  A  (1,1), (1,3), (1,4), ( 3,1), ( 3,3), ( 3,4), ( 4,1), ( 4,3), ( 4,4)
B  B kümesinin her alt kümesine B den B ye bağıntı denir.


B  B  ( 2,2), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,2), ( 3,3), ( 3,4), ( 4,2), ( 4,3), ( 4,4)


( A  A )  (B  B)  ( 3,3), ( 3,4), ( 4,3), ( 4,4)


s ( A  A )  (B  B)  4 olduğuna göre A dan A ya
4
tanımlanan bağıntılardan 2  16 tanesi, B den B ye
tanımlanan bağıntılara eşittir.
17