fonksiyon

Ders: Matematik
Ders Süresi: 10 Ders Saati
Tarih:
Okulun Adı:
Sınıf: 9
Öğrenme Alanı: Cebir
Alt Öğrenme Alanı: Fonksiyon
Beceriler: Matematiksel düşünme, akıl yürütme, ilişkilendirme, problem çözme, iletişim
kurma.
Kazanımlar:
1. Fonksiyonu şema ile göstererek fonksiyonun tanım, değer ve görüntü kümelerini
belirtir.
2. Grafiği verilen bağıntılardan fonksiyon olanların tanım ve görüntü kümelerini
belirler.
3. Bire bir fonksiyonu, örten fonksiyonu, içine fonksiyonu, özdeşlik (birim)
fonksiyonunu, sabit fonksiyonu ve doğrusal fonksiyonu açıklar.
Araç ve Gereçler : Matematik dersi için hazırlanmış araç gereçler
ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECi
FONKSİYON

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere f ; A’dan B’ ye bir bağıntı olsun.

f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için
1. x  A için y  B ve (x,y)  f olmalıdır.Yani A kümesinde (=tanım
kümesinde) açıkta eleman kalmamalıdır ama B kümesinde açıkta eleman
kalabilir.
2. (x,y)  f ve (x,z)  f ise y = z olmalıdır. Yani A kümesinin her elemanı B
kümesinde yalnız bir elemana gidebilir.
A
B
.1
.2
.3
.4
Tanım kümesi
.a
.b
.c
.d
Görüntü kümesi
Değer kümesi
NOT : Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için gerekli şartları akılda tutmak için aşağıdaki
yöntem düşünülebilir.
Çocuklar
.a
.b
.c
Anneler
.1
.2
.3
1. Bir çocuğun iki annesi olamaz.
(a ; aynı anda hem 1’e hem 3’e gidemez.)
2. Annesiz çocuk olmaz.
(Yani kısacası çocuklar kümesinde açıkta eleman
kalmamalı)
NOT:
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i.
ii.
iii.
A dan B ye n.m tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya m.n tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – n.m dir.
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel
doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
 x1, x2  A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
s(A) = m ve s(B) = n (n  m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f:AB
f(A) = B ise, f örtendir.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR  IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona
sabit fonksiyon denir.
x  A ve c  B için
f : A B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f:AB
g:AB
x  A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f:AA
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon
denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
Fonksiyon Sayısı İle İlgili Özet Formül Tablosu:




S(A) = m
s(B) = n
A’ dan B’ ye yazılabilen bağıntı sayısı 2m.n
A’ dan B’ ye yazılabilen fonksiyon sayısı nm
A’ dan B’ ye yazılabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı 2m.n – nm
n!
A’ dan B’ ye yazılabilen 1 – 1 fonksiyon sayısı n ≥ m
dir.


A’ dan B’ ye yazılabilen sabit fonksiyon sayısı n’ dir.
A’ nın permütasyonlarının sayısı(A’ dan A’ ya 1 – 1 ve örten fonksiyon sayısı) m! dir

(n – m)!
Etkinlikler:
ı Girdileri x ile, fonksiyonu f ile, çıktıları da y ile gösterilen bir fonksiyon makinesi için
fonksiyon çizelgesi oluşturulur. Fonksiyon çizelgesinin kuralı buldurulur. Buldurulan bu
kurala dayalı olarak fonksiyon yazdırılır.
Örneğin;
fonksiyon makinelerindeki fonksiyonun kuralının
keşfettirilir.
f ( x)  x 2  1
şeklinde ifade edileceği
f Aşağıdaki bağıntılar liste yöntemi ile yazdırılır. Bu bağıntıların tanım ve değer kümeleri
buldurulur ve şema ile göstertilir. Hangisinin fonksiyon olduğu grafik üzerinde yorumlatılır.
h Basit fonksiyon makineleri kurdurularak sabit fonksiyon ve özdeşlik fonksiyonu fark
ettirilir. Örneğin; f ( x)  x fonksiyonunda x in alabileceği
-2, -1, 0, 1, 2, 3 değerleri
için fonksiyonun alacağı değerler buldurulur.
f x sınıftaki her bir öğrenciyi, y ise bu öğrencinin T.C. kimlik numarasını göstermek
üzere,  x, y  sıralı ikililerinden oluşan fonksiyonun bire bir ve örten olduğu fark ettirilir.
f Sınıftaki öğrencilerin kümesi A ile kan grupları kümesi de B ile gösterilsin. A dan B ye
tanımlanan f fonksiyonu, A daki her öğrenciyi B de kendi kan grubuna eşlesin. Bu
fonksiyonun bire bir, örten ve içine olma özellikleri inceletilir.
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
1. A  {3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,5} ve B  {1, 0,1, 4,8,9,16, 25, 27} kümeleri veriliyor. Buna
göre aşağıdaki bağıntıların fonksiyon olup olmadığını inceleyiniz
a. 1 : A  B , 1  {(3,0),(2, 4),(1,1),(4,9)}
b. 2 : A  B , 2 ( x)  x 2
c. 3 : A  B , 3 ( x)  x3  1
2. A  {3, 2, 1, 0,1, 2,3} , f : A  Z , f ( x)  x 2  2 olarak veriliyor. Buna göre f ( A)
kümesini bulunuz.
Matematik Öğretmeni