ab - Google Groups

KARTEZYEN
ÇARPIM
mD
İÇİNDEKİLER
2
1.

SIRALI İKİLİ
a ve b gibi elemanı, aralarında bir sıra gözeterek
(a, b) şeklinde yazmakla elde
edilen elemana sıralı ikili denir.
( a , b)
1.Bileşen

2.Bİleşen
Sıralı ikilide sıra önemli olduğundan farklı a ve b elemanları için
(a, b)  (b, a)
dır.

Sıralı ikililerin eşitliği,
(a, b)  (c, d )  a  c  b  d biçiminde ifade edilir.
Örnek-1
Örnek-1
( x Örnek-1
 2,8)  (6, 2 y )
olduğuna göer
x y
kaçtır?
Çözüm
x  4 ve y  3 bulunur. x  y  1
Örnek-2
Örnek-2
a 1
1
( , )  ( , 2)
6 b
3
ise
ab
kaçtır?
Çözüm
ab 
5
2
Örnek-3
Örnek-3
(2n ,125)  (16,5m1 )
ise
m  n kaçtır?
Çözüm
mn  8
3
2.
KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B boş olmayan iki farklı küme olsun. Birinci bileşeni A 'dan, ikinci bileşeni B
'den olan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir. Yaptığımız işleme
de A ile B nin kartezyen çarpımı denir. A  B şeklinde gösterilir.

A  B  ( x, y) x  A  y  B

s
( A)  m
Örnek-3
Örnek-4
A  1, 2
ve
dir.
ve s ( B)  n iken s ( A  B)  m . n dir.
B   x, y, z
ise
A B
ve
B A
kümelerini yazınız.
Çözüm
A  B  (1, x),(1, y),(1, z),(2, x),(2, y),(2, z)
B  A  ( x,1),( x,2),( y,1),( y,2),( z,1),( z,2)
s
( A  B)  2.3  6
s
( B  A)  3.2  6
Örnek-4
Örnek-4
A  x  2  x  3, x  Z 
ve
B B  x  1  x  1, x  Z 
ise s ( A  B) kaçtır?
Çözüm
s
( A  B)  4.3  12
Örnek-5
Örnek-5
s
( A)  s ( B)  6
s
( A  A)  s ( B  A)  18
olduğuna göre s ( A) kaçtır?
Çözüm
s
( A)  3
Örnek-6
Örnek-6
A  B  (2,3),(3,3),(4,3)
B  C  (3, p),(3, q),(3, r )
olduğuna göre
( A  C)
Çözüm
s
( A)  3 ve s (C )  3
s
( A  C )  3.3  9
4
kaçtır?
2.1
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
A , B ve C boş kümeden farklı olmak üzere;

A  A  A2
A  A  A  A3
A  A  A  A  A4
..................
..................

A B  B  A

A    A  

A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C)
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C)
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)

A  B    A   veya B  
dir.
Örnek-7
Örnek-7
s
( A)  3
ve s ( B  C )  7 olduğuna göre s (( A  B)  ( A  C )) kaçtır?
Çözüm
s
( A  ( B  C ))  3.7  21
Örnek-8
Örnek-8
A ve B eşit iki kümedir. s (( A  C )  ( A  B))  48
s
( A  B  C)
kaçtır?
Çözüm
s
( A). s ( B). s (C)  12.12.4  576
5
s
( A)  3.s (C )
olduğuna göre
Örnek-9
Örnek-9
A 

ve
B  a, b
kümeleri veriliyor.
Buna göre
A B
yi ve
B A
yı
bulunuz.
Çözüm
A  B     a, b  

B  A  a, b      
2.2
Kartezyen Çarpımın Grafikleri
A B
gibi iki kümenin elemanları
( x, y)
gibi sıralı ikililer olup, sıralı ikililerin
görüntüleri de analitik düzlemde birer nokta olduğundan, A  B
olan sıralı ikililerin görüntülerini işaretlediğimizde grafik belirir.
kümesinin elemanları
Örnek-10
Örnek-10
A  x 2  x  5, x  N ve B   y 1  y  4, y  N 
olduğuna göre
A B
bulunuz.
Çözüm
Örnek-11
Örnek-11
A  1,2 ve B  1,2,3
ise
A B
yi yazıp analitik düzlemde gösteriniz.
Çözüm
6
yi
Örnek-12
Örnek-12
A   1,3 ve B  1,4
ise
A B
yi ve
B A
yı çiziniz.
Çözüm
Örnek-13
Örnek-13
Şekilde
Çözüm
kümesinin
A B
A  B yi bulunuz.
verilen
grafiğine göre
A   2,4 ve B   1,3 olduğundan A  B  ...
Örnek-14
Örnek-14
A   2,3 ve B   1,5
ise
A B
nin oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanını
bulunuz.
Çözüm
7
Örnek-15
Örnek-15
A  1, 2,3
olmak üzere
A A
kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en
küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir?
Çözüm
AC  AB  BC
2
2
2

 AC  22  22
2
AC  8
2
AC  2 2 birimdir
2
3.

A B
BAĞINTI
kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B ye bağıntı denir.
bağıntısı A dan B ye bir bağıntı ise

  ( A  B)

olarak ifade edilir.
  ( x, y) x  A ve x  B
Örnek-15
Örnek-16
A  1,2
ve
B  3,4
olsun. O halde
A  B  (1,3),(1,4),(2,3),(2,4)
göre bu 4 elemanlı A  B kümesinin
olur. Tanıma
her alt kümesine A dan B ye
bir bağıntı denir. Dört elemanlı bir kümenin 16 tane alt kümesi olduğundan A
dan B ye 16 tane bağıntı yazılabilir.
1  
5  (2,4)
2  (1,3)
5  (1,3),(1,4)
3  (1,4)
5  (1,3),(2,3)
4  (2,3)
.........
16  (1,3),(1,4),(2,3),(2,4)
8
Boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan A  B kümesinin de bir alt
kümesidir. Dolayısıyla  , A dan B ye bir bağıntıdır.
A dan B ye bağıntı sayısı
A A
2 s ( AB )  2 s ( A). s ( B )
kümesinin alt kümelerine de A dan A ya bir bağıntı denir. s ( A)  a
ise A dan A ya
2 s ( A A)  2a
2
tane bağıntı yazılabilir.
Örnek-16
Örnek-16
A  1,2,3,4
ve
B  3,4,5
olmak üzere, aşağıdakilerden hangileri A dan B
ye bir bağıntıdır?
1  (1,3),(4,5)
 2  (1,1),(2,3),(3, 4)
3  (3, 4),(4,5),(5,1)
 4  (3,3),(4, 4),(3, 4),(1,5)
5  
Örnek-17
Örnek-17
A  1,2,3,4
ve
B  1,2,3,4,5,6
,
  ( A  B)


x
2
ve


  ( x, y) xtek ise y  2 x , x çift ise y  , x  A , y  B 
veriliyor.
a)
b)
c)



bağıntısını liste biçiminde yazınız.
bağıntısını venn şemasında göster.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
a)
  (1,2),(2,1),(3,6),(4,2)
9
bağıntısı
b)
c)
Örnek-18
Örnek-18
Yandaki şekle göre A , B kümelerini ve

yı liste
biçiminde yazınız.
Çözüm
A  1,2,4,5
B  a, b, c, ç
  (1, a),(2, c),(4, b),(4, ç),(5, a)
olur.
Örnek-19
Örnek-19
Yanda verilen

bağıntısını liste biçiminde yazınız.
Çözüm
  (1, a),(2, b),(3, b)
olur.
Örnek-20
Örnek-20
A  1,2,3,4
kümesinde tanımlı,
  ( x, y) x  y  4
bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
6
10
Örnek-21
Örnek-21
s
 A  4
ve
s
B C  5
olduğuna göre,
s
 ( A  B)  ( A  C ) 
kaçtır?
Çözüm
20
Örnek-22
Örnek-22
A  1,2,3 ve B  1,2 ise A dan
tanesinde (1,2) eleman olarak bulunur.
B ye tanımlanan bağıntılardan kaç
Çözüm
25  32
Örnek-23
Örnek-23
A  a, b, c, d 
ve
B  a, b
ise A dan B ye tanımlı;
a) Kaç bağıntı vardır?
b) 3 elemanlı kaç bağıntı vardır?
Çözüm
a)
b)
3.1
24.2  28  256
 8  8.7.6
 56
 
 3  3.2.1
Bir Bağıntının Tersi

Bir bağıntının elemanları olan sıralı ikililerin yer değiştirmesiyle elde edilen yeni
bağıntıya eski bağıntının tersi denir.

  ( x, y) x  A ve x  B
 1  ( y, x) ( x, y)   
Örnek-24
Örnek-24
  (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)
bağıntısının tersini bulunuz.
11
Örnek-25
Örnek-25
A  x :1  x  12, x  N 
kümesinde tanımlı
  ( x, y): x  2 y  16
bağıntısını ve bu bağıntının tersini liste yöntemi ile yazınız.
Çözüm
 1  (7,2),(6,4),(5,6),(4,8),(3,10)
Örnek-26
Örnek-26
  ( x, y)R2 : 2 x  y  6
ise
   1
nedir?
Çözüm
(6,6)
Örnek-27
Örnek-27
A  1,2,3,4,5,6,7,8,9

1
  ( x, y): x  3 y ve x , y  A
,
ise
 1
i bulup

in grafiğini çiziniz.
Çözüm
Görüldüğü gibi

ve
 1
bağıntıları
Bir bağıntının tersinin tersi kendisidir.
12
yx
doğrusuna göre simetriktir.
(  1 )1  
dır.
ve
Örnek-28
Örnek-28
Yandaki grafikte

3.2
1

bağıntısının grafiği verilmiştir.
in grafiğini çiziniz.
Bağıntının Özellikleri

Yansıma Özelliği

, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
x  A
s
( A)  n
için
( x, x)  
ise

bağıntısı yansıyandır denir.
ise A kümesindeki yansıyan bağıntı sayısı
2n
2
n
ile bulunur.
Örnek-29
Örnek-28
A  1,2,3
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır?
  (1,1),(2,2),(1,3)
  (1,1),(2,3),(3,3)
  (1,2),(2,2),(3,3)
  (1,1),(2,2),(3,2)
  (1,1),(2,2),(3,3),(2,3)
Çözüm
E
13
Örnek-30
Örnek-30
A  0,1,2
kümesinde tanımlı
  ( x, y): x  y
bağıntısının yansıma
özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm
  (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)
Örnek-31
Örnek-30
A  1,2,3
olduğuna göre A dan A ya kaç farklı yansıyan bağıntı yazılabilir?
Çözüm
23 3  26  64
2

Simetri Özelliği

, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
( x, y)  
s ( A)  n
iken
( y , x)  
oluyorsa

bağıntısına simetrik bağıntı denir.
ise A kümesindeki yansıyan bağıntı sayısı
2
n2  n
2
dir.
Örnek-32
Örnek-32
A  1,2,3
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri simetirktir?
1  (1,1),(2, 2),(1, 2),(2,1)
 2  (1,1),(1, 2),(1,3),(2,1)
3  (1,1),(2, 2),(3,3)
 4  (2,1),(1, 2),(3, 2),(2,3),(3,1)
Örnek-33
Örnek-33
Sayma sayıları kümesinde tanımlanmış
  ( x, y): 2 böler ( x  y)
bağıntısı simetrik midir? Neden?
Çözüm
Simetriktir
14

Ters Simetri Özelliği
 , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
( x, y)  
iken
( y , x)  
oluyorsa

bağıntısına ters simetrik bağıntı
denir.
Örnek-34
Örnek-34
A  a, b, c
kümesi üzerinde tanımlı
  (a, b),(b, c),(c, c)
bağıntısı ters simetrik midir?
Çözüm
Örnek-35
Örnek-35
A  a, b, c
kümesi üzerinde tanımlı
  (a, a),(a, b),(b, a),(a, c)
bağıntısının simetri ve ters simetri özelliklerini
inceleyiniz.
Çözüm

Geçişme Özelliği
 , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
( x, y)  
ve
( y, z )  
iken
( x, z)  
oluyorsa,

bağıntısına geçişken
bağıntı denir.
Örnek-36
Örnek-36
A  1,2,3
kümesinde tanımlı
  (1,3),(2,2),(3,2)
bağıntısı geçişken midir? Neden?
Çözüm
Örnek-37
Örnek-37
A  1,2,3
kümesinde tanımlı
  (1,2),(1,3),(2,2),(3,2)
bağıntısı geçişken midir? Neden?
Çözüm
15
Örnek-38
Örnek-38
A  1,2,3,4
kümesinde tanımlı
  (4,4),(2,4),(3,1),(4,2)
bağıntısının yansıma, simetri, ter simetri
ve geçişme özelliklerini inceleyiniz.
Çözüm
Yansıyan değildir.
Simetrik değildir.
Ters simetriktir.
Geçişken değildir.
Örnek-39
Örnek-38
s
( A)  3
olmak üzere A kümesinde tanımlı bağıntılardan;
a) Kaç tanesi yansıyandır?
b) Kaç tanesi yansıyan değildir?
c) Kaç tanesi simetriktir?
Çözüm
a) 64
b) 448
c) 64
Örnek-40
Örnek-40
A  a, b, c kümesi üzerinde yansıyan ve ters simetrik olan en az elemanlı bir
 bağıntısı yazınız.
Çözüm
  (a, a),(b, b),(c, c)
olabilir.
Örnek-41
Örnek-41
A  1,3,6,9
kümesinde tanımlı
  ( x, y) x böler y ve x, y  A
bağıntısının yansıma, simetri, ters simetri
ve geçişme özelliklerini inceleyiniz.
Çözüm
  (1,1),(3,3),(6,6),(9,9),(1,3),(1,6),(1,9),(3,6),(3,9)
Yansınadır, simetrik değildir, ters simetriktir, geçişkendir.
16
Örnek-42
Örnek-42
A  1,2,3
kümesinde tanımlı,
  (1,1),(2,2),(2,3),(3,1)
bağıntısına hangi elemanlar eklenirse bağıntı
yansıyan ve geçişken olur?
Çözüm
Örnek-43
Örnek-43
A  1,2,3
kümesinde tanımlı
  (1, x),(2,2),(3,3),(2,3),(3, y)
göre,
x y
bağıntısını yansıyan ve simetrik olduğuna
kaçtır?
Çözüm
x 1
y2
ve
,
x  y  2 1  3
Örnek-44
Örnek-44
A  a, b, c, d , e
( a, a )
ve
(b, c)
olmak üzere A dan A ya tanımlı bağıntılardan kaç tanesinde
eleman olarak bulunur.
Çözüm
223
Örnek-45
Örnek-45
A  a, b, c, d , e
olmak üzere A dan A ya 8 elemanlı kaç tane yansıyan bağıntı
vardır?
Çözüm
 20 
 
3 
Örnek-46
Örnek-46
A  1, 2,3, 4,5
olmak üzere
simetrik değildir. Buna göre,

A da tanımlı

bağıntısı yansıyan fakat
bağıntısı en az ve en çok kaç elemanlı olabilir?
Çözüm
6 ve 24
17