özel ege lisesi ege bölgesi okullar arası 14.matematik yarışması 10

ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
1.
2.
3.
ifadesinin değerini bulunuz.
20.22.24.26 + 16
5
1
a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası  , −  olup
2
2

a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre, a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz.
a, b, c ∈ R
ve
P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için
x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre, P(6)’nın
değerini bulunuz.
4.
a, b, c pozitif sayılar olmak üzere;
a 2 + b 2 + 3ab = 25
b 2 + c 2 + 3bc = 16
c 2 + a 2 − ac = 9
olduğuna göre, ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz.
5.
6.
7.
2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz.
ax − 1
ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3
x−4
olduğuna göre, a kaçtır? Bulunuz.
x ∈ R olmak üzere,
x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise,
k + 3.
1
k
ifadesinin değerini bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
8.
Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm,
→
→
AB . AC = 100 − 50 3
olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir?
5
9.
HC = 10 3 cm,
10 3
Şekildeki ABC üçgeninde,
AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre, ABC
üçgeninin alanını bulunuz.
3 10
10
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
10.
[DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır.
|OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre, |AE| kaç cm dir? Bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
1.
20.22.24.26 + 16
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
t = 20 ⇒ 20.22.24.26 + 16 = t.( t + 2)( t + 4)( t + 6) + 16
= ( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16)
a = t 2 + 6t ⇒
( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16) = a(a + 8) + 16
= a 2 + 8a + 16
= (a + 4 ) 2
= a + 4 = t 2 + 6t + 4
= 20 2 + 6.20 + 4
= 400 + 120 + 4 = 524
2.
5
1
a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası  , −  olup
2
2
a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz.
Çözüm:
1
5
f ( x ) = a( x − ) 2 −
2
2
A ∈ Z için f(-1)= a-b+c =A olsun
1
5
A = a( −1 − ) 2 −
2
2
A=
9a − 10
4 A + 10
⇒a=
4
9
A= - 3 için en küçük değeri alır.
⇒ A = −3 ⇒ a = −
2
9
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
3.
a, b, c ∈ R
ve
P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için
x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre P(6)’nın değerini
bulunuz.
Çözüm:
x 2 − 10 x + 28 = ( x − 5) 2 + 3 ≤ P( x ) ≤ 3( x − 5) 2 + 3
olduğundan P(x) polinomunun
tepe noktası (5,3)’tür.
P( x ) = a( x − 5) 2 + 3 ⇒ P(10) = a.5 2 + 3 = 53
⇒ a.25 = 50
⇒a=2
P( x ) = 2( x − 5) 2 + 3
P(6) = 2.1 + 3 = 5
4. a, b, c pozitif sayılar olmak üzere
a 2 + b 2 + 3ab = 25
b 2 + c 2 + 3bc = 16
c 2 + a 2 − ac = 9
olduğuna göre ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
Çözüm:
A(DEF) =
3.4 a.b.Sin150 b.c.Sin150 a.c.Sin60
=
+
+
2
2
2
2
a.b b.c
3ac
+
+
4
4
4
⇒ ab + bc + 3ac = 24
6=
5. 2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz.
Çözüm:
2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0
⇒ (2x + y )( x − y ) − 4 x − 5 y − 6 = 0
2x+y
2
x-y
-3
⇒ (2x + y + 2)( x − y − 3) = 0
⇒ m1 = −2,
⇒ m1. m 2 = −2
m2 = 1
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
ax − 1
ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3
6. x ∈ R olmak üzere,
x−4
olduğuna göre a kaçtır? Bulunuz.
Çözüm:
f (x) =
ax − 1
4x − 1
olduğuna göre f −1( x ) =
x−4
x−a
f(x)’in görüntü kümesinde a hariç tüm reel sayılar olur.
a ve –a hariç tüm reel sayıların toplamı 0 olur. O halde a=3 dür.
7.
x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise,
k +3
1
k
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
1
= A olsun. x1+x2=8 ve x1x2=9 olduğundan k negatif olamaz.
k
k +3
k + 2. k . 3
k+6+
1
1
+ 9. = A 2
k
k
9
= A2
k
k 2 − 8k + 9 = 0
k −8+
k+
9
=0
k
9
=8
k
8 + 6 = A2
14 = A 2
14 = A
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
8.
Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm,
→
→
AB . AC = 100 − 50 3
HC = 10 3 cm,
olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir?
Çözüm:
y
a
5 (0,0)
→
AB = ( −5,−a)
→
AC = (10 3 ,−a)
− 50 3 + a 2 = 100 − 50 3
a=10
| AB | + | AC |= 5 5 + 20
10 3
x
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
9.
Şekildeki ABC üçgeninde,
AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre ABC
üçgeninin alanını bulunuz.
10
3 10
Çözüm:
DHE ve FET üçgenleri eş üçgenler olduğundan AHTE karedir.
9n 2 + n 2 = 10
10n 2 = 10
n =1
∆
Alan( A B C) =
12n.4n 12.4
=
= 24
2
2
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
10.
[DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır.
|OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre |AE| kaç cm dir? Bulunuz.
Çözüm:
Açılar yerleştirildiğinde EB = BF = 4
BAO ≈ BOE ⇒
7
4
= ⇒ 49 = 4 x + 16
x+4 7
33 =4x
33
x=
4