ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI − 4 − 9x2 < 0 eşitsizliğinin sağlanması için ; a nın bulunduğu x 2 + 4ax − 4a + 2 en geniş reel sayı aralığını bulunuz. 1) ∀x ∈ R için, 2) Tepe noktası T(3,8) olan parabol ile y=x-1 doğrusunun teğet olabilmesi için, bu parabol fonksiyonunun katsayılar toplamını bulunuz. 3.) x, y, z pozitif reel sayılardır. 1 3 4 + + = 16 ise x.y 3 .z 4 çarpımının en küçük x y z değerini bulunuz. 4) ∀ n ∈ Z + için; 5 12n − 3 12n ifadesinin 28 ile bölünebileceğini gösteriniz. 4b2 + a2 = 0 ikinci derece denkleminin köklerinden biri -2 ise a.b 4 çarpımının değerini bulunuz. 5) x 2 + 2 ab .x + 6) E A B F . D Yukarıdaki verilere göre; ABCD paralelkenar , [DE] ⊥ [FC], DA = DF = FC EA = EB veriliyor. C AB DE oranını ve DAE nın ölçüsünü bulunuz. ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI 7) Hileli bir zarda herhangi bir sayının üst yüzde gelme olasılığı , bu sayının 3 katı ile 5 orantılıdır. Hileli bir parada yazı gelme olasılığı dır. Bu para ve zar bir kez beraber 6 atıldığında zarın üst yüzünde tek sayı veya paranın tura gelme olasılığını bulunuz. 8) Bir ABC üçgeninin çevrel çemberini A, B, C açılarına ait iç açıortay doğruları sırasıyla P, Q, R noktalarında kesiyor. [AP] ⊥ [RQ] olduğunu gösteriniz. 9) y B( 4,7) A(1,5) 0 C( x,0) x ABC üçgeninin çevresi en küçük değer aldığında alanının kaç br 2 olduğunu bulunuz. 1 1 1 1 + + = x y z x+y+z ispatlayınız. 10) ise ve n tek sayı için; 1 1 1 1 + n+ n= n olduğunu n x y z x + yn + zn ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI − 4 − 9x2 < 0 eşitsizliğinin sağlanması için ; a nın bulunduğu x 2 + 4ax − 4a + 2 en geniş reel sayı aralığını bulunuz. ÇÖZÜM: − 4 − 9x2 < 0 ise x 2 + 4ax − 4a + 2 >0 olmalıdır. Bunun için ∆ <0 2 x + 4ax − 4a + 2 olmalıdır..Öyleyse 16a2 − 4( −4a + 2) <0 ise 16a2 + 16a − 8 < 0 ise 2a2 + 2a − 1 < 0 olmalıdır. ∆=4-4.(-1).2=12 ve − 2 − 2 3 − 1− 3 − 2 + 2 3 − 1+ 3 = = bulunur. a1 = , a2 = 4 2 4 2 1) ∀x ∈ R için, − 1+ 3 2 − 1− 3 2 Öyleyse çözüm kümesi 2a + 2a − 1 2 + − + ( − 1− 3 − 1+ 3 , ) dir. 2 2 2) Tepe noktası T(3,8) olan parabol ile y=x-1 doğrusunun teğet olabilmesi için, bu parabol fonksiyonunun katsayılar toplamını bulunuz. ÇÖZÜM: −b Parabolün denklemi ax 2 + bx + c = y olsun. T(r,k) için r= =3 ise b=-6a olur. 2a f(3)=8 ise 9a+3b+c=8 , 9a+-18a+c=8 ise c=8+9a dır. O halde parabol y= ax 2 + ( −6a)x + 9a + 8 olur. Teğet ise x-1= ax 2 + ( −6a)x + 9a + 8 0= ax 2 + ( −6a − 1)x + 9a + 9 ise ∆=0 olmalı . ( −6a − 1) 2 − 4a(9a + 9) = 0 1 6 49 9 a= bulunur. Buna göre b=, c= dır. + 8 dir. Öyleyse a+b+c= 24 24 6 24 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI 3) x, y, z pozitif reel sayılardır. 1 3 4 + + = 16 ise x.y 3 .z 4 çarpımının en küçük x y z değerini bulunuz. ÇÖZÜM: Aritmetik ortalama geometrik ortalamadan büyük veya eşit ise 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 x y y y z z z z ≥8 . . . . . . . 8 x y y y z z z z 16 1 1 1 ≥8 . 3. 4 8 x y z 2≥8 1 1 1 . . x y3 z4 1 1 dır. ≤ xy 3 z 4 bulunur. Öyleyse en küçük 256 256 4) ∀ n ∈ Z + için; 5 12n − 3 12n ifadesinin 28 ile bölünebileceğini gösteriniz. ÇÖZÜM: 5 12n − 3 12n ifadesi 28 ile bölünebiliyorsa 4 ve 7 e de bölünür. 5 12n − 3 12n ≡ (1)12n − (− 1) 12n ( ) 3 4n ( ) ≡ 1 − 1 ≡ 0 (mod 4 ) doğrudur. 3 4n 512n − 312n ≡ 5 − 3 ≡ 6 4n − 6 4n ≡ 0 (mod 7) doğrudur. Öyleyse 5 12n − 3 12n ifadesi 28 ile bölünebilir. 4b2 + a2 = 0 ikinci derece denkleminin köklerinden biri -2 ise a.b 4 çarpımının değerini bulunuz. 5) x 2 + 2 ab .x + ÇÖZÜM: 4b2 + a2 x + 2 ab .x + = 0 ise ∆ ≥ 0 olmalıdır. Öyleyse 4 4b 2 + a 2 2 4ab-4( ) ≥ 0 ise − (2b - a ) ≥ 0 ise 2b-a=0 ise 2b=a dır. 4 x=-2 için 4 − 4 2 .b + 2b 2 = 0 olur 2 b2 − 2 2 b + 2 = 0 ( b>0 için b − 2 ) 2 =0 b= 2 Öyleyse a.b= 4 olur. b2 + 2 2 b + 2 = 0 ( b<0 için b + 2 ) 2 b=− 2 =0 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI 6) E A ABCD paralelkenar , [DE] ⊥ [FC], DA = DF = FC B F . EA = EB veriliyor. C D Yukarıdaki verilere göre; AB oranını ve DAE nın ölçüsünü bulunuz. DE ÇÖZÜM: 30o 2y 2y E A F . 2y 2y B 2y 2y o 30 60o 45o D 2y 45o 2 2y C K ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI DF = FC = 2y , DC = 2y 2 , AE = EB = y 2 KEB~KDC ve EB DC = KB KC KFC dik üçgeninde FC = 2 2 3 +1 = 6− 2= AB = 1 2 KC 2 o halde K açısının ölçüsü 30 0 olur. dir. DE 7) Hileli bir zarda herhangi bir sayının üst yüzde gelme olasılığı , bu sayının 3 katı ile 5 orantılıdır. Hileli bir parada yazı gelme olasılığı dır. Bu para ve zar bir kez beraber 6 atıldığında zarın üst yüzünde tek sayı veya paranın tura gelme olasılığını bulunuz. ÇÖZÜM: 1 2 3 4 5 6 3k 6k 9k 12k 15k 18k tek sayı olma durumu A tura gelme olayı B P( A ∪ B) = P( A ) + P(B) − P( A ∩ B) ise 27 1 27 1 11 . = + − dir. = 63 6 63 6 21 8) Bir ABC üçgeninin çevrel çemberini A, B, C açılarına ait iç açıortay doğruları sırasıyla P, Q, R noktalarında kesiyor. [AP] ⊥ [RQ] olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: A K R Q I B C P ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI m(KQI)= m(RQB)=m(RCB)= m(Ĉ) 2 m(KIQ)=180 - m(KIB) = 180 –(180- m( Â ) m(B̂) ) − 2 2 m( Â ) m(B̂) 1 = (180 – m( Ĉ )) + 2 2 2 m(Ĉ) = 90 2 m(IKQ)=180 – [m(KQI)+ m(KIQ)] =90 derece bulunur. = 9) y B( 4,7) A(1,5) x C( x,0) 0 ABC üçgeninin çevresi en küçük değer aldığında alanının kaç br 2 olduğunu bulunuz. ÇÖZÜM: y y−7 x−4 9 = ise y=0 için x= 5 + 7 4 −1 4 B( 4,7) A(1,5) 0 1 Alan(ACB)= P( 4,0 ) x C( x,0) (5 + 7).3 − ⎛ 5 .5. 1 + 7 .7. 1 ⎞ = 35 br 2 2 ⎜ ⎝4 2 4 ⎟ 2⎠ 4 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL CEVAPLARI 1 1 1 1 + + = x y z x+y+z ispatlayınız. ÇÖZÜM: 10) ise ve n tek sayı için; 1 1 1 1 + n+ n= n olduğunu n x y z x + yn + zn x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0 ve x+y+z ≠ 0 olmak üzere 1 1 1 1 + + = x y z x+y+z 1 1 1 1 + = − x y x+y+z z x+y − (x + y) = x.y z.( x + y + z) z.(x+y)(x+y+z) = -x.y.(x+y) z.(x+y)(x+y+z) +x.y.(x+y) = 0 (x+y)[z.(x+y+z)+x.y]=0 (x+y).[x.z+y.z+z 2 +x.y]=0 (x+y)(x+z)(y+z)=0 x=-y veya y=-z veya x=-z x=-y ise x+y+z =-y+y+z x+y+z =z 1 1 x n = -y n (n tek ise) öyle ise n = − n x y 1 1 1 1 1 1 + n+ n= n eşitliğinde n = n kalır.. Diğer iki durum için de eşitliğin n n n x y z x +y +z z z sağlandığı görülür.