ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARI 1) (abc) üç; (bc) ve (a0) iki basamaklı sayılardır. (abc) – 19(bc) = (a0) eşitliğini gerçekleyen en büyük (abc) sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır? 2) Resim, müzik ve spor etkinliklerinden en çok ikisinin yapıldığı 40 kişilik bir sınıfta yalnız iki etkinliğe katılanların sayısı, yalnız bir etkinliğe katılanların sayısının 2 katıdır. Resim ve spor etkinliğine 6, müzik ve spor etkinliğine 8 öğrenci katıldığına göre, resim ve müzik etkinliğine katılan öğrenci sayısı en çok kaçtır? ⎛ ax + 3 ⎞ 3) f : R − {5} → R − {1} tanımlı f (x ) = ⎜ ⎟ fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde ⎝ x −b ⎠ koordinatları tamsayı olan ve koordinat sisteminin 1. bölgesinde yer alan kaç farklı nokta vardır? 4) 12 − 20 5 − 15 − 3 + 3 işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız. 5) 3y2 = 3x2+2x-2 eşitliğini sağlayan (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz. 6) R’de tanımlı f ve g fonksiyonları 5g(x)=f(x+2)+2 ve f(x)=5g(x+2)-1 eşitliklerini sağlıyor. f(1)-g(21)=42 olduğuna göre, f(21)-g(1) kaçtır? 7) A={0,1,2,3,4} kümesinde Δ işlemi x Δy ={x+y toplamının 5 ile bölümünden kalan} şeklinde tanımlanıyor. 22009 Δ 32009 işleminin sonucu kaçtır? (Not: xn= xΔxΔ.......Δx dir ) n tane ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARI 8) a, b, c reel sayılar, a2+b2+c2-ab-bc-c+ 3 =0 8 eşitliğini sağlayan a değerini bulunuz. 9) Yukarıdaki şekilde: [BC] ⊥ [CD], [BA] ⊥ [AD] AE = 1cm, CF = 3cm, FD = 2cm ve BF = AD olduğuna göre, BE = X kaç cm’dir? 10) ABCD dikdörtgen, BE açıortay [DF] ise alan(EFG) alan(BCG) oranı kaçtır? [FC], [EB] // [DF], AB = 12br, AD = 8br ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 1) (abc) üç; (bc) ve (a0) iki basamaklı sayılardır. (abc) – 19(bc) = (a0) eşitliğini gerçekleyen en büyük (abc) sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözümü: (abc)-19(bc)=(a0) 100a+bc-19(bc)=10a 90a-18(bc)=0 5 90a=18(bc) 5a=(bc) 5.9=45 a bc ise (abc)=945 dir . Öyleyse 945’in 4 ile bölümünden kalan “1” olur. 2) Resim, müzik ve spor etkinliklerinden en çok ikisinin yapıldığı 40 kişilik bir sınıfta yalnız iki etkinliğe katılanların sayısı, yalnız bir etkinliğe katılanların sayısının 2 katıdır. Resim ve spor etkinliğine 6, müzik ve spor etkinliğine 8 öğrenci katıldığına göre, resim ve müzik etkinliğine katılan öğrenci sayısı en çok kaçtır? Çözümü: M R y b a z=8 x=6 t c S a+b+c+x+y+z+t=40 y+x+z=2(a+b+c) y+14=2(a+b+c) y + 14 +14+y+t=40 2 3(y+14)=40-2t (t=1) y+14=26 y=12 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI ⎛ ax + 3 ⎞ 3) f : R − {5} → R − {1} tanımlı f (x ) = ⎜ ⎟ fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde ⎝ x −b ⎠ koordinatları tamsayı olan ve koordinat sisteminin 1. bölgesinde yer alan kaç farklı nokta vardır? Çözümü: ax + 3 bx + 3 ise f-1(x)= olur. a= 1 ve b=5 dir. x −b x−a x+3 5x + 3 8 olur. ve f-1(x)= =5+ f(x)= x−5 x −1 x −1 x= m 2 , m 3 , m 5 veya m 9 ise noktalar {(2,13), (3,9), (5,7), (9,6)} olmak üzere 4 tanedir. f (x) = 4) 12 − 20 5 − 15 − 3 + 3 işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız. Çözümü: 12 − 20 5 − 15 − 3 + 3 = 2 3 −2 5 ( ) ( 2( 3 − 5 ) = (1 − 3 )( 5 − 3 ) 5 1− 3 − 3 1− 3 = ( − 2 1+ 3 1− 3 = 1+ 3 ) ) ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 5) 3y2 = 3x2+2x-2 eşitliğini sağlayan (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz. Çözümü: 3y2=3x2+2x-2 9y2=9x2+6x-6 9y2=9x2+6x+1-7 9y2=(3x+1)2-7 (3x+1)2-9y2=7 (3x+1+3y)(3x+1-3y)=7 ise Buradan 3x+3y+1=+1 3x-3y+1=+7 6x+2 =8 x=1 7=1.7 ya da y=-1 Buradan sağlayan tam sayı ikilileri veya 7=(-1).(-7) olur. 3x+3y+1=7 3x-3y+1 =1 6x+2 =8 {(1,1),(1,-1)} dir. x=1 y=1 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 6) R’de tanımlı f ve g fonksiyonları 5g(x)=f(x+2)+2 ve f(x)=5g(x+2)-1 eşitliklerini sağlıyor. f(1)-g(21)=42 olduğuna göre, f(21)-g(1) kaçtır? Çözümü: f(x)=5g(x+2)-1 5g(x) = f(x+2)+2 ise f(x+2)-5g(x+4)= -1 + 5g(x) – f(x+2) =2 denklem sisteminden 5g(x)-5g(x+4)=1 elde edilir. x=1 ⇒ 5g(1) -5g(5)=1 x=5 ⇒ 5g(5) -5g(9)=1 x=9 ⇒ 5g(9) -5g(13)=1 x=13 ⇒ 5g(13)-5g(17)=1 x=17 ⇒ 5g(17)-5g(21)=1 x=19 ⇒ 5g(19)-5g(21)=5 + g(1)-g(21)=1……………..(1) f(x)-5g(x+2)= -1 + 5g(x+2)-f(x+4)=2 denklem sisteminden f(x)-f(x+4)=1 elde edilir. x=1 ⇒ f(1)-f(5)=1 x=5 ⇒ f(5)-f(9)=1 x=9 ⇒ f(9)-f(13)=1 x=13 ⇒ f(13)-f(17)=1 x=17 ⇒ f(17)-f(21)=1 + f(1)-f(21)=5……………..(2) (1) ve (2) den g(1)-g(21)+f(1)-f(21)=6 ise g(1)-f(21)+42=6 ise f(21)-g(1)=36 dir. ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 7) A={0,1,2,3,4} kümesinde Δ işlemi x Δy ={x+y toplamının 5 ile bölümünden kalan} şeklinde tanımlanıyor. 22009 Δ 32009 işleminin sonucu kaçtır? (Not: xn= xΔxΔ.......Δx dir ) n tane Çözümü: 1. Çözümü: 22009 = 2 Δ2Δ2......Δ2 32009 = 3Δ3Δ3......Δ3 2009.2=4018 2009.3=6027 4018 ≡ 3(mod 5) 6027 ≡ 2(mod 5) 22009 Δ 32009 ≡ 3+2 ≡ 0 (mod 5) 2. Çözümü: 3 ≡ -2 (mod 5) olduğundan 22009 Δ (-2)2009 ≡ 22009 + (-2)2009 ≡ 0 (mod 5) ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 8) a, b, c reel sayılar, a2+b2+c2-ab-bc-c+ 3 =0 8 eşitliğini sağlayan a değerini bulunuz. Çözümü: 3 a2+b2+c2-ab-bc-c+ =0 ifadesi 8 2 2 2 b ⎞ ⎛⎜ c 3b ⎞⎟ ⎛⎜ 2c 3 ⎞⎟ ⎛ a − − + − = 0 biçiminde yazılır. ⎜ ⎟ +⎜ 2⎠ ⎝ 3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 2 ⎟⎠ ⎝ 2c 3 b c 3b Buradan a = = dir. , = , 2 2 3 2 2 3 3 2c c= olduğundan b = 4 3 3 2. 1 b= 4 = bulunur. 3 2 1 b 1 olduğundan bulunur. a= 2 , a= a= 2 2 4 ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 9) y y y2 − 9 Yukarıdaki şekilde: [BC] ⊥ [CD], [BA] ⊥ [AD] AE = 1cm, CF = 3cm, FD = 2cm ve BF = AD olduğuna göre, BE = x kaç cm’dir? Çözümü: 2 ABD de BD = y 2 + ( x + 1) 2 BCD de BD = 5 2 + y 2 − 9 eşitliklerinden 2 y2+(x+1)2=25+y2-9 yazılır. (x+1)2=16 x+1=4 x=3 cm bulunur. ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI 10) ABCD dikdörtgen, BE açıortay [DF] ise Alan(EFG) [FC], [EB] // [DF], AB = 12br, AD = 8br oranı kaçtır? Alan(BCG) Çözümü: CEG ~ CDF (A.A benzerlik teoremine göre) CE EG CE CG 2 8 2 ise olur. = = = = = CD DF 12 3 CD CF 3 GF = k ise Δ Alan(EFG) Δ Alan(BCG) 2k.k 1 = 2 = bulunur. 2k.2k 2 2