9. Ders

9. Ders
Mahir Bilen Can
Mayıs 19, 2016
1
Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı
Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi
üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz.
g yarıbasit bir Lie cebiri olsun. Soyut Jordan ayrışımı var olduğundan, g üstelsıfır değilse,
sadece yarıbasit elemanlardan oluşan bir Lie altcebiri h ⊆ g vardır. İddia ediyoruz ki böyle
bir cebir (sadece yarıbasit elemanlardan oluşan) değişmelidir:
x, y ∈ h sıfırdan farklı iki eleman olsun. ad x köşegenleştirilebilir olduğundan, ad x’in
bütün özdeğerlerinin sıfır olduğunu göstermek yeterli. İddiamızın aksine [x, y] = a sıfırdan
farklı olacak şekilde bir y ∈ h olduğunu varsayalım.
Dikkat ediniz ki −ay = [y, x], ad y’nin özdeğeri 0 olan bir özvektörüdür. y köşegenleştirilebilir olduğundan x’i ad y’nin özvektörlerinin doğrusal bileşimi olarak yazabiliriz. Bu
sebeple, ad y’yi x’e uyguladığımızda elimizde y’nin özdeğerleri sıfırdan farklı olan özvektörlerinin doğrusal bileşimi kalıyor. Ancak bu −ay = adh y(x)’nin, y’nin 0 özuzayına ait olduğu
gerçeğiyle çelişmektedir.
1
2
Kök Uzayı Ayrışımı
Sadece yarıbasit elemanlardan oluşan bir Lie cebirine simitsel denir. Az önce ispatladığımız
iddiayı kısaca simitsel altcebirler değişmelidir diye ifade edebiliriz. h, g’nin maksimal simitsel
bir alt cebiri olsun.
h’nin, g üzerindeki eşlek etkisi eşanlı köşegenleştirilebilirdir:
g = ⊕χ∈h∗ V ss (χ),
(2.1)
burada V ss (χ)’lar h’deki değişmeli operatörlerin ortak özuzaylarıdır,
V ss (χ) = {x ∈ g : her h ∈ h için [h, x] = χ(h)x }.
Açıklama 2.2. h’yi simetrik cebirinin (ileriki derslerde tanımlanacak) içinde olarak düşünüyoruz ve χ : h → k bir k-cebir homomorfizmasi olsun. O zaman χ’ın çekirdeği (mχ ile
gösterdiğimiz bir maksimal ideal), x − χ(x)1 ve x ∈ h ile gerilir. Bu yüzden V ss (χ)’yı, V ’nin
mχ ’yı yok eden altuzayı diye düşünebiliriz:
V ss (χ) = {v ∈ V : mχ · v = 0}.
Sadeleştirmek adına asağıdaki notasyonu kullanacağız:
gχ := V ss (χ) = {x ∈ g : her h ∈ h için [h, x] = χ(h)x }.
(2.1)’deki bileşenlerden bir tanesi sabit 0 karaktere (özfonksiyonel) karşılık gelir. Karşılık
gelen özuzay g0 , h’nin g’deki merkezleyicisi Cg (h)’den başka bir şey değildir. h değişmeli
olduğundan h ⊆ Cg (h) olur. Ayrıca, gχ 6= 0 olacak şekilde sadece sonlu sayıda karakter
χ ∈ h∗ vardır. gχ 6= 0 olacak şekilde sıfırdan farklı χ ∈ h∗ ’ların kümesini Φ ile gösteriyoruz.
Bu yüzden
g = Cg (h) ⊕
M
χ∈Φ
olur.
2
gχ
(2.3)
Sonuçlar:
1. h∗ ’deki her χ ve β için
[gχ , gβ ] ⊆ gχ+β
olur çünkü h ∈ h, x ∈ gχ y ∈ gβ için,
ad h([x, y]) = [h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y]]
= χ(h)[x, y] + β(h)[x, y]
= (χ + β)(h)[x, y]
olur. Bu gözlemin başka bir sonucu da eğer χ 6= 0 ve x ∈ gχ ise ad x’in üstelsıfır
olmasidir: her n ∈ N için [gχ , g(n−1)χ ] ⊂ gnχ olur ve sadece sonlu sayıda sıfırdan farklı
gβ vardır.
2. Eğer χ, β ∈ h∗ ve χ + β 6= 0 ise
Killing forma göre gχ ⊥ gβ
olur.
Gerçekten, h ∈ h’yi öyle seçelim ki (χ + β)(h) 6= 0 olsun.
Her x ∈ gχ , y ∈ gβ , ve h ∈ h için B([h, x], y) = −B(x, [h, y])
olduğundan, χ(h)B(x, y) = −β(h)B(x, y), veya (χ + β)(h)B(x, y) = 0 olur. Bu da
iddiamızı ispatlar.
3. Önceki gözlemin bir sonucu olarak, görüyoruz ki Killing formun merkezleyiciye g0 =
Cg (h) kısıtlanışı dejenere değildir. Aksi takdirde, öyle bir eleman z ∈ g0 olurdu ki
bütün g’ye dik olurdu, dolayısıyla B dejenere olurdu.
4. h’nin merkezleyicisi kendisine eşittir:
h = Cg (h).
Bu iddiayı ispatlarken kullanılan ana argümanlar su şekildedir:
3
(a) Cg (h) elemanlarının yarıbasit ve üstelsıfır kısımlarını da içerir.
(b) Killing formun h’ye kısıtlanışı dejenere değildir.
(c) Cg (h) üstelsıfırdır.
(d) Cg (h) değişmelidir.
B(·, ·)’nin h’ye kısıtlanışının dejenere olmadığını bildiğimize göre, her χ ∈ h∗ için öyle tek
bir tχ ∈ h vardır ki
χ(h) = B(tχ , h) for all h ∈ h
olur.
Sırada, kökler, kök uzayları ve kök uzay ayrışımının bazı genel gerçeklerini listeliyoruz.
1. Φ, h∗ ’ı gerer. Gerçekten, eğer h∗ ’ı germiyorsa, o zaman her χ ∈ Φ için χ(h) = 0 olacak
şekilde bir h ∈ h vardır. Denk olarak, her χ ∈ Φ için [h, gχ ] = 0 olur. h ∈ h = Cg (h)
olduğundan, [h, g] = 0 olacağı sonucuna varırız, diğer bir deyişle h ∈ Z(g) (merkez)
olur. Ancak yarıbasit bir Lie cebirinde Z(g) = 0 olur.
2. Eğer χ ∈ Φ ise, −χ ∈ Φ olur. Bunu görmek için hatırlayınız ki keyfi seçilen karakterler
χ ve β için χ+β 6= 0 olduğunda ağırlık uzayı gχ , gβ ’ya diktir. B dejenere olmadığından,
gχ , g−χ ’ya dik olamaz. Bu yüzden g−χ 6= 0 olur.
3. χ ∈ Φ, x ∈ gχ , y ∈ g−χ için [x, y] = B(x, y)tχ olur. Gerçekten h ∈ h için
B(h, [x, y]) = B([h, x], y)
= χ(h)B(x, y)
= B(tχ , h)B(x, y)
= B(h, B(x, y)tχ )
olur. Diğer bir deyişle B(h, [x, y] − B(x, y)tχ ) = 0 olur. B dejenere olmadığından,
[x, y] = B(x, y)tχ olmalıdır.
4. Önceki maddeden açıkça görülüyor ki her χ ∈ Φ için [gχ , g−χ ] bir boyutludur.
4
5. Her χ ∈ Φ için χ(tχ ) = B(tχ , tχ ) 6= 0 olur. Aksi takdirde, x ∈ gχ ve y ∈ g−χ öyle
seçelim ki B(x, y) = 1 olsun. Önceki maddelerden dolayı [x, y] = tχ olduğundan, x, y
ve tχ ile gerilen 3 boyutlu bir Lie altcebir S tanımlayabiliriz. Bu cebir çözülebilirdir.
(Cartan’ın kriterini kullanarak gösterilebilir.) Bu yüzden, her s ∈ [S, S] için, adg s
üstelsıfır bir özyapı dönüşümü olur. Özel olarak, ad tχ üstelsıfırdır. Ancak aynı zamanda yaribasittir. Bundan dolayı ad tχ = 0 ve tχ ∈ Z(g) olur. Bu da g’nin yarıbasit
olmasıyla çelişir.
6. Sıfırdan farklı herhangi bir x ∈ gχ , χ ∈ Φ için, öyle bir y ∈ g−χ vardır ki x, y ve
h := [x, y] 3 boyutlu, basit, sl2 ’ye izomorf bir Lie cebiri S’yi gerer. İzomorfizma
!
!
!
0 1
0 0
1 0
x 7→
, y 7→
, h 7→
0 0
1 0
0 −1
ile verilir. Gerçekten, x ∈ gχ verildiğinde y ∈ g−χ ’yi, B(x, y) = 2/B(tχ , tχ ) olacak
şekilde seçeriz. Sonra hχ = 2tχ /B(tχ , tχ ) olarak tanımlarız. Direkt bir hesaplama
gösterir ki x, y ve h; sl2 ’yi tanımlayan matrislerin sağladığı ilişkileri sağlar.
7. Eğer hχ = 2tχ /B(tχ , tχ ) ise hχ = −h−χ olur. Bu tχ = −t−χ olmasından ileri gelir.
References
[1] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
5