VEKTÖR NORMLU UZAYLAR Funda Sezen BİRCAN YÜKSEK

VEKTÖR NORMLU UZAYLAR
Funda Sezen BİRCAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2010
ANKARA
Funda Sezen Bircan tarafından hazırlanan VEKTÖR NORMLU UZAYLAR
adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Bahri TURAN
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında
Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Şafak ALPAY
Matematik, Ortadoğu Teknik Üniversitesi
Prof. Dr. Bahri TURAN
Matematik, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Ayşe UYAR
Matematik, Gazi Üniversitesi
Tarih:
18/01/2010
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans
derecesini onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde
elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak
hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin
kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Funda Sezen BİRCAN
iv
VEKTÖR NORMLU UZAYLAR
(Yüksek Lisans Tezi)
Funda Sezen BİRCAN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2010
ÖZET
E projeksiyon özelliğine sahip Riesz uzayı olsun. E ‘nin bandları ile E
üzerindeki
sıra
projeksiyonlarının
arasındaki
izomorfik
ilişki
iyi
bilinmektedir. Bizde bu tezde önce A. G. Kusraev tarafından yayınlanan
Dominated Operators isimli kitabında yer alan vektör normlu uzaylarda
bandlar ile projeksiyonlar arasındaki izomorfik yapıyı inceledik. Sonra
vektör normlu uzaylarda merkez operatörlerini tanımladık ardından
bunlar ile Riesz uzayının merkezi arasındaki ilişkiyi inceledik.
Bilim Kodu
: 204.1.055
Anahtar Kelimeler : Riesz uzayı, band, projeksiyon,
Sayfa Adedi
: 55
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Bahri TURAN
v
VECTOR NORMED SPACES
(M.Sc. Thesis)
Funda Sezen Bircan
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
January 2010
ABSTRACT
Let E be a Riesz Space with projection property. Relationship
between bands and projections of E are well known. In this thesis
firstly we have studied the izomorphic relationship between bands
and projections of vector normed spaces which are placed on the
book named Dominared Operators introduced by A. G. Kusraev.
Then we defined center operators of vector normed spaces
afterwards we studied relationship between center of vector normed
spaces and center of Riesz Spaces.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 204.1.055
: Riesz Space, band, projection
: 55
: Prof. Dr. Bahri TURAN
vi
TEŞEKKÜR
Bu çalışmamda beni tez öğrencisi olarak kabul eden, tezin her aşamasında
büyük katkıları olan, kaynaklarını, değerli bilgilerini ve tecrübesini paylaşan,
Sayın Hocam Prof. Dr. Bahri TURAN ’a en içten teşekkürlerimi sunarım.
Tez çalışmamda desteğinden dolayı Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma
Kurumu‘na teşekkür ederim.
Ayrıca her zaman olduğu gibi tez çalışmamda da maddi manevi desteğini
esirgemeyen anneme, aileme ve arkadaşlarıma çok teşekkür ederim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .............................................................................................................iv
ABSTRACT....................................................................................................v
TEŞEKKÜR................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ...............................................................................................vii
SİMGELER VE KISALTMALAR…….…………………………………………...viii
1. GİRİŞ ......................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIMLAR VE ÖNERMELER ...................................................... 4
3. VEKTÖR NORMLU UZAYLAR ................................................................ 15
4. MERKEZ OPERATÖRLER ......................................................................44
KAYNAKLAR ...............................................................................................54
ÖZGEÇMŞ…………………………………………………………………………55
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
A ⊕B
İki bandin direkt toplamı
A ⊥B
Dik kümeler
Ad
A kümesinin dik tümleyeni
A↑
Yukarı yönlendirilmiş küme
Bx
x tarafından üretilen band
(E) 
E Riesz uzayının bandlerinin kümesi
E+
E uzayının pozitif kısmı
Ix
x tarafından üretilen ideal
(E) 
E Riesz uzayının projeksiyonlarının kümesi
x∧y
x ile y ’nin infimumu
x∨y
x ile y ’nin supremumu
x+
x ’in pozitif kısmı
x−
x ’in negatif kısmı
x
x ’in modülü (mutlak değeri)
x⊥y
Birbirine dik elemanlar
xα ↑ a
Yukarı yönlendirilmiş vesupremumuaolanağ
a xb
x ’in vektör normu
1
1.GİRİŞ
İlk bölümde gerekli temel tanım ve teoremler verilmiştir. Burada E Riesz
uzayı olmak üzere idealleri, bandleri , projeksiyonları incelenmiş ve E
üzerindeki
band
projeksiyonlarla
bandler
arasındaki
izomorfik
ilişki
anlatılmıştır.
Vektör normlu uzaylar bölümünde, A. G. Kusraev ’in Dominated Operators
isimli kitabından yararlanarak X vektör uzayı olmak üzere vektör normu
yardımıyla vektör normlu uzay tanımını verdik. Vektör normlu X uzayı
üzerinde ideal, band tanımı verilerek X ‘deki bandler ile X ‘in vektör normu
altındaki görüntüsünün E Riesz uzayında ürettiği band arasındaki izomorfik
ilişkiyi gösterdik. Daha sonra projeksiyon bandleri tanımlayarak bu
izomorfizma yardımıyla X deki projeksiyon bandleri inceledik ve bandlerle bu
band projeksiyonlar arasındaki izomorfik ilişkiyi verdik. Sonuç olarak X ‘in
vektör normu altındaki görüntüsünün E Riesz uzayında ürettiği bandin
projeksiyonları ile X vektör uzayının projeksiyonları arasında bir izomorfik
dönüşüm elde ettik.
Merkez operatörler bölümünde E Riesz uzayındaki merkez operatörlerin
tanımını verdik ve vektör normu yardımıyla X vektör uzayında merkez
operatörü tanımladık. Daha sonra E Riesz uzayındaki Freudenthal Spektral
teoremini kullanarak X ‘in vektör normu altındaki görüntüsünün E Riesz
uzayında ürettiği bandin merkez operatörleri ile X vektör uzayının arasındaki
ilişkiyi elde ettik. Son olarak da Freudenthal Spektral Teoremini X vektör
normlu uzayı için elde ettik.
2
2. TEMEL TANIMLAR VE ÖNERMELER
Bu bölümde bazı temel tanımları vererek önermeleri özetliyoruz.
2.1. Tanım
E boştan farklı bir küme olsun. E üzerinde tanımlı " ≤ " bağıntısı aşağıdaki
özellikleri sağlıyorsa, " ≤ " bağıntısına sıralama bağıntısı, (E, ≤ ) ikilisine de
sıralı küme denir.
i) Her x∈ E için x ≤ x
ii) Her x, y ∈ E için x ≤ y, y ≤ x iken x= y
iii) Her x, y, z ∈ E için x ≤ y, y ≤ z iken x ≤ z
2.2. Tanım
(E, ≤ ) sıralı küme, her x, y ∈ E için x ≤ y veya y ≤ x ise E ' ye tam sıralı küme
denir.
2.3. Tanım
E≠ ∅ , ≤ bir bağıntı olmak üzere
i) Her x ∈ E için x ≤ x
ii) Her x, y, z ∈ E için x ≤ y, y ≤ z iken x ≤ z
iii) Her x, y ∈ E için x ≤ z ve y ≤ z olacak şekilde z ∈ E vardır
3
koşulları sağlanırsa E kümesine yukarı yönlendirilmiş küme denir. E ↑
gösterilir.Yukarı yönlendirilmiş bir kümeden herhangi bir X kümesine tanımlı
her fonksiyona X üzerinde bir ağ(net) denir.
( xα ) E
Riesz uzayında bir net olsun ; her
sıralamaya göre
( xα ) , ( xβ )
( xα ) ≤ ( xλ ) ve ( xβ ) ≤ ( xλ ) olacak
∈ ( xα ) için E 'deki
şekilde bir
( xλ ) ∈ ( xα )
varsa ( xα ) neti yukarı yönlendirilmiştir denir ve ( xα ) ile gösterilir. ( xα ) ↑ ve
sup ( xα ) = a olacak şekilde a ∈ E varsa ( xα ) ↑ a ile gösterilir. Benzer şekilde
her ( xα ) , ( xβ ) ∈ ( xα ) için E 'deki sıralamaya göre ( xλ ) ≤ ( xα ) ve ( xλ ) ≤ ( xβ )
olacak şekilde bir
( xλ ) ∈ ( xα )
varsa ( xα ) neti aşağı yönlendirilmiştir denir
ve ( xα ) ↓ ile gösterilir ( xα ) ↓ ve inf ( xα ) = b olacak şekilde b ∈ E varsa ( xα ) ↓ b
ile gösterilir.
( xα ) ∈
E neti yerine herhangi bir A ⊆ E alt kümesi alındığında A ↑ ve supA
=a olacak şekilde a ∈ E varsa A ↑ a, A ↓ ve infA =b olacak şekilde b ∈ E
varsa A ↓ b şeklinde gösterilir.
2.4. Tanım
(A, ≤ ) sıralı küme, B ⊆ A olmak üzere;
i) Her x ∈ B için x ≤ a
ii) Her x ∈ B , b ∈ A için x ≤ b iken a ≤ b
şartlarını sağlayacak şekilde a ∈ A varsa buna B kümesinin üst sınırlarının en
küçüğü ya da supremumu denir, sup B =a ile gösterilir.
i)Her x ∈ B için a ≤ x
4
ii) Her x ∈ B, b ∈ A için b ≤ x iken b ≤ a
şartlarını sağlayacak şekilde a ∈ A varsa buna B kümesinin alt sınırlarının en
büyüğü ya da infimumu denir, inf B=a ile gösterilir.
B kümesi yerine iki elemanlı {x,y} kümesini alırsak sup{x,y}=x ∨ y
İnf {x,y}=x ∧ y şeklinde göstereceğiz.
2.5. Tanım
(E, ≤ ) sıralı bir küme, her x,y ∈ E için sup {x,y}, inf {x.y} ∈ E ise (E, ≤ ) ikilisine
latis denir.
2.6. Tanım
(E, ≤ ) latis, her x, y, z ∈ E için x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) sağlanırsa (E,
≤ ) ikilisine dağılmalı latis denir.
2.1. Teorem:
X latis olsun. X ‘in dağılmalı olması için gerekli ve yeterli koşul x, y1 , y 2 ,
z ∈ X olmak üzere x ∧ y1 ≤ z ve x ∧ y 2 ≤ z iken x ∧ ( y1 ∨ y 2 ) ≤ z olmasıdır [2].
2.7. Tanım
(E, ≤ ) latis, a,b ∈ E olmak üzere {x ∈ E:a ≤ x ≤ b} kümesine sıralı aralık denir,
[a,b] ile gösterilir.
5
2.8. Tanım
(E, ≤ ) latis olmak üzere, varsa E 'nin en küçük elemanına en küçük eleman,
en büyük elemanına birim eleman denir, sırasıyla θ ve I ile gösterilir.
2.9. Tanım
(E, ≤ ) latis ve x ∈ E olmak üzere x ∧ x′= θ , x ∨ x′=I olacak şekilde x′
elemanı varsa x′ elemanına x 'in tamlayanı denir.
2.10. Tanım
(E, ≤ ) dağılmalı latis olsun. E 'deki her elemanının tamlayanı, E 'nin en küçük
ve birim elemanı varsa E 'ye ≤ sıralaması ile Boole Cebiri denir.
2.11. Tanım
A, B Boole Cebiri, T:A→B fonksiyon olsun.
i) Her x, y ∈ A için T(x ∨ y)=T(x) ∨ T(y) ve T(x ∧ y)=T(x) ∧ T(y)
ii)Her x ∈ A için T(x′)=[T(x)]′
iii)T birebir ve örten fonksiyon
koşulları sağlanıyorsa T fonksiyonuna Boole Cebir izomorfizmi denir.
2.12. Tanım
(E, ≤ ) latis olsun. Eğer E 'nin alttan sınırlı her alt kümesinin infimumu ve
üstten sınırlı her alt kümesinin supremumu varsa E 'ye Dedekind tam latis
denir.
6
2.13. Tanım
E vektör uzayı , " ≤ " sıralama bağıntısı olmak üzere
i) Her x, y, z ∈ E için x ≤ y iken x+z ≤ y+z
ii)Her λ ∈ ℝ⁺ için x ≤ y iken λx ≤ λy ise E 'ye sıralı vektör uzayı denir.
2.14. Tanım
E sıralı vektör uzayı ve θ E 'nin sıfırı olsun. E 'nin θ ≤ x koşulunu sağlayan
elemanlarına pozitif eleman denir.
2.15. Tanım
E, F sıralı vektör uzayı, θ1 ve θ2 sırasıyla E ve F 'nin sıfırları olsun. T:E→F
lineer dönüşüm olmak üzere her x ∈ E için θ1 ≤ x iken θ2 ≤ T(x) sağlanıyorsa T
'ye pozitif operatör denir.
2.16. Tanım:
E,F sıralı vektör uzayı, T:E→F lineer dönüşüm olmak üzere her x,y ∈ E için
x ≤ y iken T(x) ≤ T(y) ise T 'ye sıra koruyan operatör denir.
2.2. Teorem
E,F sıralı vektör uzayı, T:E→F lineer dönüşüm olmak üzere T ‘nin pozitif
operatör olması için gerekli ve yeterli koşul T ‘nin sıra koruyan operatör
olmasıdır [1].
2.17. Tanım
7
E sıralı vektör uzayı olmak üzere her x,y ∈ E için inf{x,y}, sup{x,y} ∈ E ise
E' ye vektör latis ya da Riesz uzayı denir.
2.18. Tanım
E Riesz uzayı, x ∈ E olsun.
i) x ∨ 0 elemanına x 'in pozitif kısmı denir x
+
ii) -x ∨ 0 elemanına x 'in negatif kısmı denir x
ile gösterilir.
−
ile gösterilir
iii) -x ∨ x elemanına x 'in modülü (mutlak kısmı) denir, x ile gösterilir.
2.3. Teorem:
E Riesz uzayı, x ∈ E olsun.
+
−
i) x= x - x
+
ii) x = x + x
+
−
−
iii) x ∧ x = 0 dır [1].
2.19. Tanım
E Riesz uzayı, her x ∈ E , n ∈ ℕ⁺ için (1/n)x ↓ 0 ise E 'ye Arşimedyan Riesz
+
uzayı denir.
2.20. Tanım
8
E Riesz uzayı, V ⊆ E alt vektör uzayı olmak üzere her x, y ∈ V için x ∧ y ∈ V
ise V 'ye E 'nin Riesz alt uzayı denir.
2.21. Tanım
E Riesz uzayı, x,y ∈ E olmak üzere x ∧ y =0 ise x y 'ye diktir denir ve x ⊥ y
ile gösterilir.
2.4. Teorem (Riesz Ayrıştırma Özelliği)
E Riesz uzayı, x , y1 , y 2 , .... , y n ∈ E olsun. Eğer x ≤ y1 + y 2 + ... + y n ise
x= x1 + x 2 + .. + xn ve xi ≤ yi olacak şekilde x1, x 2 ,.., xn ∈ E vardır [1].
2.22. Tanım:
E Riesz uzayı, A ⊆ E olsun.Her x ∈ A ve y ∈ E için |y| ≤ |x| iken y ∈ A ise A 'ya
katı denir. Katı alt uzaya ideal denir.
2.23. Tanım
E Riesz uzayı, A,B ⊆ E ve A, B katı olsun. A+B={a+b:a ∈ A, b ∈ B} kümesine A
ile B 'nin cebirsel toplamı denir. Ayrıca A ∩ B= ∅
ise buna direkt toplam
denir ve A ⊕ B şeklinde gösterilir.
2.5. Teorem
E Riesz uzayı, A, B ⊆ E olmak üzere A ve B ideal ise A ∩ B de idealdir [1].
2.6. Teorem
9
E Riesz uzayı, A, B ⊆ E olmak üzere A ve B ideal ise A+B de idealdir [1].
2.24. Tanım
E Riesz uzayı, G E 'nin Riesz alt uzayı olsun. Eğer her 0 < x ∈ E için 0 < y ≤ x
olacak şekilde y ∈ G varsa G 'ye E içinde sıra yoğundur denir.
2.7. Teorem
E Arşimedyan Riesz uzayı, G E 'nin Riesz alt uzayı olsun. G nin sıra yoğun
olması için gerek ve yeter şart her x ∈ E + için
{y ∈ G:0 ≤ y ≤ x}↑x olmasıdır, ya da net tanımı gereğince denk olarak her x ∈ E
için en az bir
( xα ) ⊆
+
G vardır öyle ki ( xα ) ↑x [1].
2.25. Tanım
E Riesz uzayı, ∅ ≠G ⊆ E olsun. x ∈ E olmak üzere her y ∈ G için x ⊥ y koşulunu
sağlayan tüm x elemanlarının kümesine G 'nin diki denir. Gd ile gösterilir.
Yani Gd ={x : her y ∈ G için x ⊥ y}
2.26. Tanım
E Riesz uzayı, A ideal olmak üzere ( xα ) ⊆ A ve 0 ≤
'ya band denir.
2.8. Teorem
E Riesz uzayı, ∅ ≠A ⊆ E ise A d banddir [1].
2.9. Teorem
( xα ) ↑x iken x∈ A ise A
10
E Riesz uzayı, A ⊆ E ideal olsun. A 'nın E 'de sıra yoğun olması için gerek ve
yeter şart A d = {0} olmasıdır [1].
2.10. Teorem
E Riesz uzayı, A ⊆ E ideal olsun. A ideali A dd içinde sıra yoğundur [1].
2.27. Tanım
E Riesz uzayı, A ⊆ E olsun. A 'yı kapsayan en küçük ideale (bande) A 'nın
ürettiği ideal (band) denir.
A ⊆ E alt kümesinin ürettiği ideal:
n
⎧
⎫
IA = ⎨ y ∈ E : x1, x2 ..., xn ∈ A, λ1, λ2 ...λn ∈ \ + , y ≤ ∑ λi xi , n ∈ ` ⎬ dır.
i=1
⎩
⎭
E Riesz uzayındaki herhangi bir x elemanının ürettiği ideal ise
Ix ={y∈E: λ∈ ℝ⁺ , |y| ≤ λ |x|} olur.
A ⊆ E alt kümesinin ürettiği band
B A ={y∈E: ∃ ( xα ) ⊆ A ∋ 0 ≤
( xα ) ↑|y| } biçiminde elde edilir.
Dolayısıyla E Riesz uzayında herhangi x elemanının ürettiği band
B x ={y ∈ E:|y| ∧ n|x|↑|y|} dir [1].
11
2.11. Teorem
E Arşimedyan Riesz uzayı, A≠ ∅ , A ⊆ E olmak üzere A 'nın ürettiği band A dd
dir, dolayısıyla eğer A band ise A= A dd dir [1].
2.12. Teorem
E Riesz uzayı, E 'deki herhangi A ideali için A dd , her 0≠x∈B için en az bir
0≠y ∈ A öyle ki; |y| ≤ |x| koşulunu sağlayan B ideallerinin en büyüğüdür [2].
2.13. Teorem
A ve B E Riesz uzayında iki ideal olsun. Bu durumda
( A ∩ B)
dd
= A dd ∩ Bdd dir
[2].
2.14. Teorem
A ve B E Riesz uzayında iki band olsun. Bu durumda ( A+B ) = A d ∩ Bd dir.
d
2.15. Teorem
E Arşimedyan Riesz uzayı, B(E) E 'deki tüm bandlerin kümesi ve
A={D:D ⊆ E , D = Ddd } olmak üzere A= B(E) dir [2].
2.16. Teorem
E Riesz uzayı, B(E) E 'deki tüm bandlerin kümesi olmak üzere (B(E) , ⊆ )
Boole Cebridir [2].
12
2.28. Tanım
E vektör uzayı, P:E→E lineer dönüşüm olsun. Eğer P=P² ise P 'ye
projeksiyon denir.P, E Riesz uzayı üzerinde projeksiyon ve pozitif operatör
ise, P 'ye "pozitif projeksiyon" denir.
2.29. Tanım
E Riesz uzayında bir B bandı için E=B ⊕ Bd ise B 'ye projeksiyon band denir.
2.30. Tanım
E Riesz uzayındaki her B bandi projeksiyon band ise E'ye projeksiyon
özelliğine sahip Riesz uzayı denir.
Sonuç
Eğer E Dedekind tam Riesz uzayı ise her B ⊆ E bandi için E = B ⊕ Bd
sağlanır.
B ⊆ E
projeksiyon band olsun. Bu durumda E = B ⊕ Bd ve her x ∈ E
için x = x1 + x 2 ; x1 ∈ B, x 2 ∈ Bd dir.
PB : E→E PB ( x ) = x1 biçiminde tanımlayalım.
PB 2 ( x ) =
PB (PB ( x ) ) = PB ( x1 ) = PB ( x1 + 0 ) = x1 = PB ( x )
olduğundan
PB
projeksiyondur.
x≥0 iken x1 ∈ B , x 2 ∈ Bd olmak üzere x = x1 + x 2 , 0 ≤ x1 , 0 ≤ x 2 yazılışı tek
türlüdür. Ayrıca PB ( x ) = x1 ≥ 0 olduğundan PB pozitiftir. Benzer şekilde
13
PB d :E→E ; PB d ( x ) = x 2 tanımlanırsa PB d 'in de pozitif projeksiyon olduğu
görülür.
Bu şekilde tanımlanan PB projeksiyonuna "sıra projeksiyon" ya da "band
projeksiyon" denir.
2.17. Teorem
E Riesz uzayı, T:E→F operatör olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:
1) T sıra projeksiyondur.
2) I :E→E birim operatör olmak üzere T projeksiyon ve 0 ≤ T ≤ I 'dir.
3) T ve I -T 'nin görüntüleri diktir. Yani her x,y ∈ E için Tx ⊥ y-Ty 'dir [1].
2.18. Teorem
E Riesz uzayı olmak üzere A, B ⊆ E, projeksiyon band iseler A d , A ∩ B,
A+B projeksiyon banddir ve aşağıdakiler sağlanır:
i) PA d = I - PA
ii) PA ∩B = PA ⋅ PB = PB ⋅ PA
iii) PA +B = PA + PB - PA ∩B [1].
2.19. Teorem
14
E Riesz uzayı ve A,B ⊆ E projeksiyon band olmak üzere, aşağıdaki önermeler
birbirine denktir:
i) A ⊆ B
ii) PA PB = PB PA = PA
iii) PA ≤ PB [1].
2.31. Tanım
E Riesz uzayı ve x ∈ E olmak üzere, x 'in ürettiği band olan B x projeksiyon
band ise x 'e projeksiyon eleman, ürettiği bande principal band denir. Bir
Riesz uzayında her eleman projeksiyon eleman ise bu uzaya principal
projeksiyon özelliğine sahiptir denir.
2.20. Teorem
E Dedekind tam Riesz uzayı, P(E) ={ PB :B E 'de band} olmak üzere (P (E), ≤ )
Boole cebiridir [2].
2.21. Teorem
E Dedekind tam Riesz uzayı olmak üzere;
ψ :B(E)→ P (E):
izomorfizmidir.
A ∈ B(E) ,
ψ (A)= PA
dönüşümü Boole cebir
15
3. VEKTÖR NORMLU UZAYLAR
Bu bölümde vektör normu tanımını vererek bir vektör uzayındaki bandleri
projeksiyonları ve bunların Riesz uzayındakilerle ilişkisini inceleyeceğiz.
3.1. Tanım
X vektör uzayı, E latis ve
a b: X → E
+
bir fonksiyon olsun.
( 1) a x b = θ ⇔ x =θ
( 2) Her λ ∈ \, x ∈ X için aλ x b = λ a x b
( 3) Her x,y ∈ X için
a x+y b ≤ a x b + a y b
(4) Her e1,e 2 ∈ E+ ve x ∈ X için a x b = e1 + e2 ise x = x1 + x 2 ve
ax b = e
2
2
ax b = e ,
1
1
olacak şekilde x1 , x 2 ∈ X vardır.
koşullarından ilk üçü sağlanırsa bu fonksiyona vektör normu denir. Bu
koşulların dördü de sağlanırsa bu vektör normuna Kantorovich normu, X
uzayına da ayrılabilir vektör uzayı ya da latis normlu uzay denir ve
( X, a b, E )
ile gösterilir. (4) koşulu sadece birbirine dik e1 , e2
için
sağlanıyorsa X ‘e d-ayrılabilir vektör uzayı denir.
3.1. Örnek
X vektör uzayı, E = \ alınırsa daha önceden bildiğimiz herhangi bir
: X → \ normunun bir Kantorovich normu olduğu görülür..
Bu normun vektör normu koşullarını sağladığı açıktır. (4) koşulunu
sağladığını görelim:
16
Her e1,e2 ∈ E+ ve x ∈ X için x = e1 + e2
iken x = x1 + x 2
ve
x1 = e1 ,
x 2 = e 2 olacak şekilde x1 , x 2 ∈ X olduğunu göstermeliyiz.
x = 0 ⇒ e1 = e2 = 0 olur .
x ≠ 0 olsun.
i)
x = 1 durumunu inceleyelim:
x = 1 ⇒ 1 = e1 + e2
x1 = e1x = (1 − e2 ) x , x 2 = e2 x olarak tanımlayalım. Bu durumda;
x = x1 + x 2 , x 1 , x 2 ∈ X ve , x1 = e1 , x 2 = e2 sağlanır.
ii) x ≠ 1 durumunuinceleyelim
x = e1 + e2
e1,e2 ∈ E+
x
x
x
= y dersek; 1=
=
x
x
x
= y =1=
e1
e
+ 2 olur.
x
x
(i) den ;
y = y1 + y 2 ve y1 =
y=
e1
e
, y 2 = 2 olacak şekilde y1,y 2 ∈ X vardır.
x
x
x
⇒ x=y ⋅ x = ( y1 + y 2 ) ⋅ x = y1 ⋅ x + y 2 ⋅ x olur.
x
O halde;
x1 = y1 ⋅ x , x 2 = y 2 ⋅ x diyelim. x = x1 + x 2 ∋ x1, x 2 ∈ X ve x1 = e1 , x 2 = e2
sağlanır.
Sonuç:
Her norm bir Kantorovich normudur.
17
3.2. Örnek
X vektör uzayı, E Riesz uzayı olmak üzere E = X alınırsa
a b: X → E
x → axb = x
bildiğimiz anlamda x ‘in modülü olarak alınırsa bu bir Kantorovich normudur.
3.2. Tanım:
( X, a b, E )
latis normlu uzay olsun. x , y ∈ X için a x b ∧ a y b = 0 ise x ile y
a b − diktir denir,
x ⊥ y ile gösterilir.
3.3. Tanım:
( X, a b, E ) latis normlu uzay olsun.M ≠ ∅, M ⊆ X
M⊥ = {x ∈ X : ∀y ∈ M için x ⊥ y} kümesine
bandlerin kümesi B(X) ile gösterilir.
Sonuç:
{
}
B(X)= B : ∃∅ ≠ M ⊆ X ∋ M⊥ = B
3.1.
Teorem:
A, B ⊆ X , A ⊆ B olsun.B⊥ ⊆ A ⊥ dir.
İspat:
olmak üzere
a b − band
denir. X ‘deki tüm
18
x ∈ B⊥ alalım. Her y ∈ B için x ⊥ y dir. Hipotezden her y ∈ A için x ⊥ y olur.
Buradan x ∈ A ⊥ elde edilir.
3.3. Tanım:
( X, a b, E )
latis normlu uzay, A ⊆ X alt uzay olsun. Her x ∈ X ve a ∈ A için
a x b ≤ aab iken
x ∈ A ise A ’ya
a b -ideal denir.
Sonuç:
Her
a b − band a b -idealdir.
İspat:
B ∈ B(X) alalım. B ∈ B(X) ise B=M⊥ olacak şekilde M ⊆ X kümesi vardır.
B nin alt uzay olduğunu görelim:
(a) x, y ∈ B=M⊥ ⇒ x+y ∈ M⊥ (?)
x ∈ B=M⊥ ⇒ Her u∈ M için x ⊥ u ⇒ Her u ∈ M için a x b ∧ aub = 0
y∈B=M⊥ ⇒ Her u∈M için y ⊥ u ⇒ Her u∈M için a y b ∧ aub = 0
Her u∈M için
a x + y b ≤ a x b + a y b olduğu düşünülürse
0 ≤ a x + y b ∧ aub ≤ (a x b + a y b) ∧ aub ≤ (a x b ∧ aub) + (a y b ∧ aub) =0
olduğundan
(a x b + a y b) ∧ aub = 0 dır. Buradan x+y ⊥ u elde edilir.
Yani x+y∈ M⊥ = B dir.
(b) λ ∈ \, her x ∈ M⊥ için λ ⋅ x ∈ M⊥ (?)
x∈
M⊥
ise
her u ∈ M için a x b ∧ aub = 0
dır.
Böylece
her
u∈M
0 ≤ aλ ⋅ x b ∧ aub = λ ⋅ a x b ∧ aub ≤ ( λ + 1) ⋅ (a x b ∧ aub) = 0 olur. Buradan da
için
19
aλ ⋅ x b ∧ aub = 0
elde edilir.. Yani λ ⋅ x ∈ M⊥ dir.
(a) ve (b) den B X ‘in alt uzayıdır.
B ‘nin
a b -ideal olduğunu görelim:
Her x ∈ B ve y ∈ X için a y b ≤ a x b iken y∈B mi?
x ∈ B=M⊥ ⇒ Her u∈ M için x ⊥ u
⇒ Her u∈M için a x b ∧ aub = 0
⇒ a y b ∧ aub ≤ a x b ∧ aub = 0
⇒ a y b ∧ aub = 0
⇒ y∈B=M⊥ .
Sonuç olarak B idealdir.
3.2. Teorem:
A, B ⊆ X , A ve B
a b -ideal ise A+B de a b -idealdir.
İspat:
A, B X ‘in alt uzayı olduğundan A+B de X ‘in alt uzayıdır.
A+B
a b -ideal mi bakalım.
ab ab
Her y ∈ A + B ve x ∈ X için x ≤ y iken x ∈ A+B olduğunu göstereceğiz.
y ∈ A + B ⇒ y=a+b olacak şekilde a ∈ A ve b ∈ B vardır. Ayrıca,
a x b ≤ a y b = aa + bb ≤ aab + abb dir.
Burada Riesz ayrıştırma özelliğini kullanırsak:
axb = e
1
+ e2 , e1 ≤ aa b ve e2 ≤ abb olacak şekilde e1,e2 ∈ E vardır. Vektör
normunun (4) özelliğinden x = x1 + x 2 ,
şekilde x1, x 2 ∈ X vardır.
ax b = e
1
1
ve
ax b = e
2
2
olacak
20
x1 ∈ A
x 2 ∈ B olduğunu görelim:
0 ≤ a x1 b = e1 ≤ aa b, a ∈ A
ve
a b -ideal
0 ≤ a x 2 b = e2 ≤ ab b, b ∈ B ve B
a b -ideal olduğundan x
A
olduğundan x1 ∈ A
2
ve
∈ B olur.
Sonuç olarak A+B idealdir.
3.3. Teorem:
( X, a b, E )
latis
normlu
{
üzere A = B(X) dir.
İspat:
Öncelikle herhangi birM ⊆ X için M⊥ =M⊥⊥⊥ olduğunu görelim:
i) M⊥⊥⊥ ⊆ M⊥ dir. Gerçekten;
Her x ∈ M için ;
x ∈ M ⇒ ∀y ∈ M⊥ için x ⊥ y
⇒ x ∈ M⊥⊥
⇒ M ⊆ M⊥⊥
⇒ M⊥⊥⊥ ⊆ M⊥
İİ) M⊥ ⊆ M⊥⊥⊥ dir. Gerçekten;
x ∈ M⊥ alalım. Her y ∈ M⊥⊥ için x ⊥ y dir. O halde x ∈ M⊥⊥⊥ olur.
⇒ M⊥ ⊆ M⊥⊥⊥
⊥
(i) ve (ii) den M = M⊥⊥⊥
A = B(X)olduğunu görelim.
A ∈ B(X) ⇒ ∃∅ ≠ M ⊆ X : A=M⊥ = M⊥⊥⊥ = (M⊥ )
A ∈ A ⇒ A=A ⊥⊥ = ( A ⊥ ) = M⊥
⊥
(M = A
}
olsun.A = A : A ⊆ X ∋ A=A ⊥⊥ olmak
uzay
⊥
⊆X
)
⊥⊥
= A ⊥⊥ ⇒ A ∈ A
21
⇒ A ∈ B(X)
Sonuç olarak A = B(X) dir.
3.4. Teorem:
A,B ⊆ X olmak üzere, eğer A ve B X ‘de
a b − band
ise A ∩ B de
a b − banddir.
İspat:
A,
∈ B(X)
B
ise A=M⊥ ve B=N⊥
olacak
şekilde
Önce (M ∪ N) = M⊥ ∩ N⊥ olduğunu görelim:
⊥
i) (M ∪ N) ⊆ M⊥ ∩ N⊥ dir.Gerçekten;
⊥
M ⊆ M ∪ N ⇒ (M ∪ N) ⊆ M⊥
⊥
N ⊆ M ∪ N ⇒ (M ∪ N) ⊆ N⊥
⊥
olduğundan (M ∪ N) ⊆ M⊥ ∩ N⊥ dir.
⊥
ii) (M ∪ N) ⊇ M⊥ ∩ N⊥ dir. Gerçekten:
⊥
Keyfi bir x ∈ M⊥ ∩ N⊥ alalım.
x ∈ M⊥ ∩ N⊥ ⇒ x ∈ M⊥ ve x ∈ N⊥
⇒ ∀ u ∈ M için x ⊥ u ve ∀ v ∈ N için x ⊥ v
⇒ ∀ y ∈ M ∪ N için x ⊥ y
⇒ x ∈ (M ∪ N) olur ki bu
⊥
(M ∪ N)
⊥
⊇ M⊥ ∩ N⊥ demektir.
(İ) ve (ii) den (M ∪ N) = M⊥ ∩ N⊥ olur. Dolayısıyla;
⊥
M,
N⊆ X
vardır.
22
A ∩ B = M⊥ ∩ N⊥ = (M ∪ N) = L⊥ (L ⊆ X)
⊥
A ∩ B ∈ B(X) dir.
3.5. Teorem:
( X, a b, E )
kümeden
ayrılabilir latis normlu uzay olsun. X ‘deki herhangi bir boş
farklı
a b−
A
0 ≠ b ∈ B için en az bir 0 ≠ a ∈ A,
ideali
aab ≤ abb
için
koşulunu
A ⊥⊥ ,
her
sağlayan
B
a b − ideallerinin en büyüğüdür.
İspat:
Öncelikle A ⊥⊥ in bu koşulu sağladığını görelim:
0 ≠ b ∈ A ⊥⊥ alalım. Olmayana ergi yöntemini kullanalım;
aab ≤ abb koşulunu
sağlayan 0 ≠ a ∈ A bulunmasın. Bu durumda her h ∈ A
için abb ∧ ahb = 0 dır. Gerçekten;
g 0 = abb ∧ ahb ≠ 0 ise en az bir h0 ∈ A var dır öyle ki 0 ≤ g0 ≤ ah0 b dır.
ah b = (ah b − g ) + g
0
0
0
0
yazarsak normun (4) özelliğinden:
h0 = h1 + h2 ve ah1 b = ah0 b − g0 , ah2 b = g0 olacak şekilde h1, h2 ∈ X vardır. O
halde 0 ≤ g0 = ah2 b ≤ ah0 b elde edilir, ayrıca h0 ∈ A ve A ideal olduğundan
h 2∈ A olur. Diğer yandan
özelliğinden
g0 = ah2 b
, g 0 ≠ 0 olduğundan normun (1)
h 2 ≠ 0 olur.Yani; g0 = ah2 b ≤ ab b olacak
şekilde
0 ≠ h2 ∈ A bulunur. Bu ise kabulümüz ile çelişir. Dolayısıyla abb ∧ ahb = 0 dır.
Buradan b ∈ A ⊥ ve b ∈ A ⊥⊥ elde edilir. Sonuç olarak b=0 bulunur. Bu da
hipotezle çelişir.
A ⊥⊥ istenilen koşulu sağlar.
Son olarak B ⊆ A ⊥⊥ olduğunu görelim:
23
Olmayana ergi yöntemini kullanalım;
B ⊆ A ⊥⊥ olmasın.
B ⊆ A ⊥⊥ ⇒ ∃ 0 ≠ u ∈ B : u ∉ A ⊥⊥
⇒ ∃ 0 ≠ u ∈ B , ∀ h ∈ A ⊥ iç in u ⊥ h
⇒ ∃ 0 ≠ u ∈ B , ∀h ∈ A ⊥ için aub ∧ ahb ≠ 0
⇒ ∃ 0 ≠ u ∈ B , ∀h ∈ A ⊥ için ∃k = aub ∧ ahb ≠ 0
⇒ ∃ 0 ≠ u ∈ B , ∀h ∈ A ⊥ için ∃k : 0 ≤ k ≤ ahb
ahb = ahb − k + k
denirse normun (4) özelliğinden ;
h = h1 + h2 , ah1 b = ahb − k ve ah2 b = k olacak şekilde h1, h2 ∈ X vardır.
A ⊥ideal ve ah2 b ≤ ahb olduğundan h2 ∈ A ⊥ olur.
Ayrıca
infimum
tanımından
ah b ≤ aub ve B ideal olduğundan h
2
2
∈ B dir.
Sonuç olarak h2 ∈ A ⊥ ∩ B dir. Hipotezden en az bir 0 ≠ a ∈ A vardır öyle ki;
aab ≤ ah b
2
dir. A ⊥ ideal olduğundan a ∈ A ⊥ ve a ∈ A bulunur.Buradan a=0
olduğu görülür. Bu ise çelişkidir.
Sonuç olarak B ⊆ A ⊥⊥ dir.
3.6. Teorem:
A,B ⊆ X olmak üzere, eğer A ve B X ‘de
a b − ideal ise ( A ∩ B )
⊥⊥
= A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥
dir.
İspat:
i) A ∩ B ⊆ A ⇒ ( A ∩ B )
⊥⊥
⊆ A ⊥⊥
Benzer şekilde ;
A ∩ B ⊆ B ⇒ ( A ∩ B)
⊥⊥
⊆ B⊥⊥ dir. Buradan ( A ∩ B )
⊥⊥
⊆ A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥ elde edilir.
24
0 ≠ u ∈ A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥ alalım. Buradan u ∈ A ⊥⊥ ve u ∈ B⊥⊥
ii)
olur. Bir önceki
teoremden A ⊥⊥ in sağladığı koşulu kullanırsak en az bir 0 ≠ h ∈ A vardır öyle
ki ahb ≤ aub dır. Diğer yandan u ∈ B⊥⊥ ve B⊥⊥ ideal olduğundan h ∈ B⊥⊥ olur.
Benzer şekilde bir önceki teoremden B⊥⊥ in sağladığı koşulu kullanalım.
En az bir 0 ≠ g ∈ B vardır öyle ki
agb ≤ ahb dır.
Ayrıca h ∈ A ve A ideal
olduğundan g ∈ A olur. Sonuç olarak en az bir 0 ≠ g ∈ A ∩ B var ve agb ≤ ahb
dir. Yani A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥ bir önceki teoremdeki koşulu A ∩ B için sağlar. Yine aynı
teoreme göre bu koşulu A ∩ B için sağlayan ideallerin en büyüğü ( A ∩ B )
dir. Yani A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥ ⊆ ( A ∩ B )
(i) ve (ii) den ( A ∩ B )
⊥⊥
⊥⊥
⊥⊥
elde edilir.
= A ⊥⊥ ∩ B⊥⊥ dir.
3.7. Teorem:
A,B ⊆ X olmak üzere, eğer A ve B X ‘de
a b − band ise ( A + B )
⊥
= A ⊥ ∩ B⊥
dir.
İspat:
i) A ⊆ A + B
⇒
( A+B )
B ⊆ A +B
⇒
( A+B )
⊥
⊆ A⊥
⊥
⊆ B⊥
olduğundan ( A + B ) ⊆ A ⊥ ∩ B⊥ dir.
⊥
ii) Her x için
x ∈ A ⊥ ∩ B⊥ ⇒ x ∈ A ⊥ ve x ∈ B⊥
⇒ her y ∈ A için x ⊥ y , her z ∈ B için x ⊥ z
u=y+z olmak üzere her u ∈ A+B için y+z ⊥ x olduğunu göstermeliyiz. Üçgen
eşitsizliğinden;
25
0 ≤ a y + z b ∧ a x b ≤ (a y b ∧ a x b) + (a z b ∧ a x b) = 0
teoreminden
yazılabilir.
Sıkıştırma
a y + zb ∧ a x b =0 olduğu görülür. Buradan x∈ ( A + B )
⊥
elde edilir.
Sonuç olarak ( A + B ) ⊇ A ⊥ ∩ B ⊥ dir.
⊥
(i) ve (ii) den ( A + B ) = A ⊥ ∩ B⊥
⊥
3.8. Teorem:
( B(X),⊆ )
Boole cebiridir.
İspat:
B(X) in latis olduğunu görelim.
A, B ∈ B(X) olmak üzere
A ∧ B = A ∩ B ∈ B(X) olduğunu göstermeliyiz.
A ∩ B ⊆ A ve A ∩ B ⊆ B olduğundan A ∩ B
A ve B için bir alt sınırdır.
A ∩ B‘nin alt sınırların en büyüğü olduğunu göstermek için başka bir alt sınır
C alalım. Bu durumda C ⊆ A ve C ⊆ B olur. Buradan C ⊆ A ∩ B elde edilir.
Aldığımız başka alt sınır A ∩ B den küçük kaldığına göre A ∧ B = A ∩ B dir.
A ∩ B ∈ B(X) daha önce gösterilmişti.
A, B ∈B(X) olmak üzere A ∨ B= ( A + B )
⊥⊥
∈ B(X) olduğunu göstermeliyiz.
Öncelikle ( A + B ) ∈ B(X) olduğunu görelim:
⊥⊥
( A + B)
⊥⊥
= ( A ⊥ ∩ B⊥ )
⊥
, A ⊥ ∩ B⊥ ⊆ X ⇒ ( A ⊥ ∩ B⊥ ) = ( A + B )
⊥
⊥⊥
∈ B(X) dir.
26
A ∨ B= ( A + B )
⊥⊥
olduğunu görelim.
A ⊆ A + B ⊆ ( A + B)
⊥⊥
B ⊆ A + B ⊆ ( A + B)
⊥⊥
olduğundan ( A + B )
⊥⊥
A ve B için bir üst sınırdır. ( A + B )
⊥⊥
‘nin üst sınırlarının
en büyüğü olduğunu göstermek için başka bir üst sınır C alalım. Bu durumda
A ⊆ C ve B ⊆ C olur. C⊥ ⊆ A ⊥ ve C⊥ ⊆ B⊥ elde edilir. Buradan C⊥ ⊆ A ⊥ ∩ B⊥
olur.
(
C⊥ ⊆ A ⊥ ∩ B ⊥ ⇒ A ⊥ ∩ B ⊥
⇒
( A+B )
⊥⊥
)
⊥
⊆ C⊥⊥ =C
⊆C
elde edilir. Aldığımız üst sınır
( A + B)
⊥⊥
’den
büyük kaldığına göre
A ∨ B = ( A + B ) dir.
⊥⊥
Her A ∈ B(X) için {0} ⊆ A olduğundan {0} en küçük elemandır.
Her A ∈ B(X) için A ⊆ X ve X = X⊥⊥ olduğundan X ∈ B(X) dir.
elemandır.
B(X) ‘deki her elemanın tamlayanı olduğunu göstermeliyiz.
Her A ∈ B(X) için A ⊥ ‘in A ‘nın tamlayanı olduğunu görelim:
A ∧ A ⊥ = A ∩ A ⊥ = {0}
X birim
27
A ∨ A ⊥ = ( A + A ⊥ ) = ( A ⊥ ∩ A ⊥⊥ ) = ({0} ) =X
⊥⊥
⊥
⊥
B(X) in dağılmalı olduğunu gösterelim.
Yardımcı teorem olarak teorem 2.1 i kullanırsak;
B1 ,
A,
C ∈ B(X)
B2 ,
A ∩ (B1 + B2 )
⊥⊥
olmak
üzere
A ∩ B1 ⊆ C
ve
A ∩ B2 ⊆ C
iken
⊆ C olduğunu göstermeliyiz.
Önce A ∩ (B1 + B2 ) ⊆ C olduğunu görelim:
A ∩ B1 ⊆ C ve A ∩ B2 ⊆ C olsun,
f ∈ A ∩ (B1 + B2 ) ⇒ f ∈ A ve f ∈ (B1 + B2 )
⇒ f ∈ A ve f = f1 + f2 olacak biçimde f1 ∈ B1 , f2 ∈ B2 vardır.
af b = af
1
+ f2 b ≤ a f1 b + a f2 b
Riesz ayrıştırma özelliğinden:
af b = e
1
+ e2 ve e1 ≤ a f1 b , e2 ≤ a f2 b olacak şekilde e1,e2 ∈ E+ vardır.
Normun (4) özelliğinden:
f = x1 + x 2 ve a x1 b = e1 , a x 2 b = e2 olacak şekilde x1, x 2 ∈ X vardır.
a x b ≤ af b ve a x b ≤ af b , f ∈ B
1
1
2
2
1
1
ve f2 ∈ B2 elde edilir. B1 ve B2 ideal
olduğundan x1 ∈ B1 ve x 2 ∈ B2 bulunur.
Ayrıca a x1 b = e1 ≤ a f b ve A ideal olduğundan x1 ∈ A
a x b = e ≤ af b ve A ideal olduğundan x
2
2
2
∈ A dır.
28
Sonuç olarak x1 ∈ A ∩ B1 ve x 2 ∈ A ∩ B2 elde edilir.
f = x1 + x 2 , A ∩ B1 ⊆ C ve A ∩ B2 ⊆ C olduğundan f ∈ C olur.
Buradan A ∩ (B1 + B2 ) ⊆ C bulunur.
A ∩ (B1 + B2 ) ⊆ C ⇒ ⎡⎣ A ∩ (B1 + B2 ) ⎤⎦
⊥⊥
⊆ C⊥⊥ dir.
Son olarak A ∩ (B1 + B2 ) = A ⊥⊥ ∩ (B1 + B2 )
⊥⊥
⊥⊥
⊆ C⊥⊥ =C elde edilerek ispat
tamamlanır.
B(X) dağılmalı latistir. Sonuç olarak ( B(X),⊆ ) Boole cebridir.
3.9. Teorem:
( X, a b, E ) latis normlu uzay , E = a Xb
⊥⊥
0
ax b ∈ B
0
olmak üzere E0 ‘ın her B bandi için
⊥⊥
olacak biçimde 0 ≠ x 0 ∈ X var olsun. B(X) ile B( a Xb ) Boole
izomorfiktir [3].
İspat:
İzomorfizma olacak şekilde bir h fonksiyonu tanımlayalım.
⊥⊥
h : B( a Xb ) → B(X)
B
→ h(B)= {x ∈ X : a x b ∈ B}
h ‘ın fonksiyon olduğunu görelim:
h ‘ın iyi tanımlığı tanımından açıktır. h ‘ın anlamlılığına bakalım;
29
⊥⊥
B ∈ B( a Xb ) ⇒ h(B) ∈ B(X) olduğunu görelim.
Öncelikle h (B⊥ ) = [h(B)] olduğunu görmeliyiz.
⊥
( )
y ∈ h B ⊥ alalım.
( )
y∈ h B⊥ ⇒
ayb ∈ B
⊥
⇒ her u ∈ B için u ⊥ a y b
Her z ∈ h(B) için
azb ∈ B
olduğundan
azb ⊥ a y b
dir. Buradan
azb ∧ a y b = 0
olur. y ∈ [h(B)] elde edilir.
⊥
Tersine 0 ≠ x ∈ [h(B)] alalım.
⊥
x ∈ [h(B)] ⇒ her z ∈ h(B) için x ⊥ z
⊥
⇒ a z b ∈ B ve a z b ∧ a x b = 0
(*)
Olmayana ergi yöntemini kullanalım;
x ∉ h(B⊥ ) ⇒
axb ∉ B
⊥
⇒ ∃ y ∈ B için a x b ∧ y ≠ 0
axb ∧ y = e
diyelim. Bu durumda infimum tanımından 0 ≤ e ≤ a x b olur. Keyfi
0 ≤ k ∈ Ie alalım.
k ∈ Ie ise k ≤ λ e olacak şekilde
λ ∈ \ + vardır. Ayrıca e ≤ a x b olduğundan
k ≤ λ e ≤ λ a x b dır. Diğer yandan u ∈ X için aub = aub + k − k yazılabileceğinden
ayrılabilirlik özelliğinden u=v+m ,
amb = k
olacak şekilde en az bir m ∈ X
30
vardır. Ie ⊆ B ve B band olduğundan amb = k ∈ B olur. (*) dan amb ∧ a x b =0
elde edilir.
amb ∧ a x b =0 ⇒ amb ∧ λ a x b =0
⇒ amb =0
⇒ k=0
Ayrıca k ∈ {e}
α için
⊥⊥
ise en az bir ( kα ) ⊆ {Ie } vardır öyle ki kα ↑ k dır. O halde her
(kα ) =0 olacağından k=0 elde edilir..
( )
Bu ise çelişkidir. Sonuç olarak x ∈ h B⊥ elde edilir. .
(
)
Son olarak her B için h (B ) = h B⊥⊥ = ⎡⎣h (B ) ⎤⎦
⊥⊥
olduğundan h (B ) ∈ B(X) dir.
Sonuç olarak h anlamlıdır.
h ‘ın latis işlemlerini koruduğunu görelim
Her A, B ∈ B( a Xb ) için h ( A ∧ B ) = h(A) ∧ h(B) olduğunu gösterelim.
⊥⊥
h ( A ∧ B ) = h(A ∩ B) = {x ∈ X : a x b ∈ A ∩ B}
= {x ∈ X : a x b ∈ A} ∩ {x ∈ X : a x b ∈ B}
= h(A) ∩ h(B)
= h(A) ∧ h(B)
h ( A ∨ B ) =h(A) ∨ h(B) olduğunu gösterelim.
⊥⊥
h ( A ∨ B ) = h ⎡( A + B ) ⎤
⎣
⎦
⊥
= h ⎡( A ⊥ ∩ B ⊥ ) ⎤
⎥⎦
⎣⎢
= ⎡⎣h ( A ⊥ ∩ B⊥ ) ⎤⎦
⊥
31
= ⎡⎣h ( A ⊥ ) ∩ h (B⊥ ) ⎤⎦
⊥
⊥
⊥
= ⎡h ( A ) ∩ h (B ) ⎤
⎣
⎦
⊥
= ⎡⎣h ( A ) + h (B ) ⎤⎦
⊥⊥
= h(A) ∨ h(B)
h ‘ın birebirliğini görelim:
B1, B2 ∈ B( a Xb ) için h (B1 ) =h (B2 ) iken
⊥⊥
B1 = B2 olduğunu göstermemiz
yeterlidir.
B1, B2 ∈ B( a Xb ) için h (B1 ) =h olsun. Herhangi bir x ∈ B1 pozitif elemanını
⊥⊥
alalım.
⊥⊥
x ∈ B1 ⊆ a Xb
ve
⊥⊥
a Xb
a Xb
‘in ürettiği band olduğundan x α ↑ x olacak
şekilde en az bir ( x α ) ⊆ a Xb vardır. O halde aux b = x α her α için en az bir
ux ∈ X vardır. Ayrıca B1 band olduğundan idealdir ve x α ≤ x olduğundan
x α ∈ B1 dir. Buradan aux b ∈ B1 elde edilir.
au b ∈ B
x
1
⇒ ux ∈ h (B1 ) = h (B2 )
⇒ ux ∈ h (B2 )
⇒ aux b ∈ B2
⇒ x α ∈ B2
B2 band ve x α ↑ x olduğundan x ∈ B2 olur. B1 ⊆ B2 bulunur.
32
Keyfi x ∈ B1 için x= x + − x − ve 0< x + , x − olduğundan x + , x − ∈ B2 olur.
Dolayısıyla x ∈ B2 elde edilir.
Benzer şekilde B2 ⊆ B1 olduğu kolayca görülür.
B1 = B2 sonucuna varılır.
Sonuç olarak h birebir fonksiyondur.
h ‘ın örtenliğini görelim:
⊥⊥
Her A ∈ B(X) için h(B)=A olacak şekilde en az bir B ∈ B( a Xb ) varlığını
⊥⊥
göstermeliyiz. Keyfi bir A ∈ B(X) alalım. B= a A b
⊆ E0 olarak tanımlayalım. B
banddir.
h(B)=A olduğunu göstermek için öncelikle h (a A b) = A olduğunu görelim.
h (a A b) = {x ∈ X : a x b ∈ a A b}
Her y ∈A için a y b ∈ a A b olduğundan y ∈ h (a A b) dır. A ⊆ h (a A b)
Diğer yandan her y ∈ h (a A b) için;
y ∈ h (a A b) ⇒ a y b ∈ a A b
⇒ ∃u ∈ A : aub = a y b
⇒ ∃u ∈ A : a y b ≤ aub
A ideal olduğundan y ∈ A olur. h (a A b) ⊆ A
h (a A b) = A olduğu görüldü.
(
⊥⊥
h(B)= h a A b
) = ⎡⎣h (aA b)⎤⎦
⊥⊥
= A ⊥⊥ =A
Sonuç olarak h örten fonksiyondur.
33
h Boole cebir izomorfizmidir.
3.10. Teorem:
X, y ∈X olmak üzere x ⊥ y ise a x + y b = a x b + a y b dir [3].
İspat:
Vektör normunun tanımından a x + y b ≤ a x b + a y b dır.
(1)
x ⊥ y olduğundan a x b ∧ a y b =0 dır
Ayrıca;
a xb = a x + y − y b ≤ a x + y b + a−y b
= a x + y b + −1 ⋅ a y b
= ax + yb + ayb
Buradan,
a x b ∧ a x b ≤ ⎡⎣a x + y b + a y b⎤⎦ ∧ a x b
≤ ⎡⎣a x + y b ∧ a x b⎤⎦ + a x b ∧ a y b elde edilir.
⇒ a x b ≤ ⎡⎣a x + y b ∧ a x b⎤⎦ ≤ a x + y b
⇒ axb ≤ ax + yb
Benzer şekilde a y b ≤ ⎡⎣a x + y b ∧ a x b⎤⎦ ≤ a x + y b elde edilir.
O halde;
a x b ∨ a y b ≤ a x + y b bulunur.
a x b ∨ a y b = a x b + a y b - a x b ∧ a y b göz önüne alınırsa,
a x b + a y b ≤ a x + y b olduğu görülür.
(1) ve (2) den a x + y b = a x b + a y b dir.
(2)
34
3.11. Teorem:
e1 , e2 ∈ E
x = x1 + x 2 ,
e1 ⊥ e2 olmak üzere
ve
ax b = e
1
1
ve
ax b = e
2
2
axb = e + e
1
2
olsun. Bu durumda
olacak şekilde x1, x 2 ∈ X varsa tektir [3].
İspat:
e1 , e2 ∈ E
x = x1 + x 2 ,
ax b = e
1
ax b = ay b = e
1
1
e1 ⊥ e2 olmak üzere
ve
1
,
1
ve
ax b = e
2
2
ax b = ay b = e
2
2
2
axb = e + e
1
2
olsun. Bu durumda
olacak şekilde x1, x 2 ∈ X vardır.
ve
x = x1 + x 2 = y1 + y 2
olduğunu
varsayalım. Buradan ( x1 − y1 ) + ( x 2 − y 2 ) = 0 yazılabilir. Üçgen eşitsizliğinden
ax
1
− y1 b ≤ a x1 b + a y1 b = 2 ⋅ e1 , a x 2 − y 2 b ≤ a x 2 b + a y 2 b = 2 ⋅ e2
⇒
0 ≤ a x1 − y1 b ∧ a x 2 − y 2 b ≤ 2e1 ∧ 2e2 = ≤ 2 ( e1 ∧ e2 ) =0
⇒
ax
⇒
x1 − y1 ⊥ x 2 − y 2
1
− y1 b ∧ a x 2 − y 2 b = 0
⇒ 0= ce( x1 − y1 ) + ( x 2 − y 2 )fh = ce( x1 − y1 )fh + ce( x 2 − y 2 )fh =0
⇒
ax
⇒
x1 = y1 , x 2 = y 2
1
− y1 b = 0 ve a x 2 − y 2 b = 0
Dolayısıyla x1, x 2 ∈ X tektir.
3.4. Tanım:
K ∈ B(X) olmak üzere X = K ⊕ K ⊥ ise K ‘ya projeksiyon band denir.
35
3.5. Tanım:
Her K ∈B(X) projeksiyon band ise X ‘e projeksiyon özelliğine sahiptir denir.
3.12. Teorem:
B1, B2 ∈B( E0 ),
h
daha
önce
tanımlanan
izomorfizma
olmak
üzere
h (B1 + B2 ) = h (B1 ) + h (B2 ) dir.
İspat:
Her z için,
z ∈h (B1 + B2 ) ⇒ a z b ∈ B1+B2
⇒ a z b = e1 + e2 : e1 ∈B1 , e2 ∈B2
⇒ ∃ x1, x 2 ∈ X : z= x1+ x 2 ve a x1 b = e1 , a x 2 b = e2
⇒ ∃ x1, x 2 ∈ X :
azb = a x b + a x b , a x b ∈ B , a x b ∈ B
⇒ ∃ x1, x 2 ∈ X :
azb = a x b + a x b ,
1
1
2
2
1
1
2
2
x1 ∈ h (B1 ) , x 2 ∈ h (B2 )
⇒ z ∈h (B1 ) + h (B2 )
Her z için,
z ∈h (B1 ) + h (B2 ) ⇒ z= x1+ x 2 : x1 ∈ h (B1 ) , x 2 ∈ h (B2 )
⇒ a z b = a x1 + x 2 b ≤ a x1 b + a x 2 b ve
B1 ve B2 ideal olduğundan
1
1
B1 + B2 de idealdir. Buradan
edilir.h ‘ın tanımından z ∈h (B1 + B2 ) bulunur.
3.13. Teorem:
ax b ∈ B , ax b ∈ B
2
2
azb ∈B +B
1
2
elde
36
⊥⊥
E0 = a X b
projeksiyon özelliğine sahip ise X de projeksiyon özelliğine sahiptir
[3].
İspat:
Her K ∈B(X) için X= K ⊕ K ⊥ olduğunu göstermeliyiz.
K ∈ B(X) alalım. h ‘ın örtenliğinden h(B)=K olacak şekilde en az bir B ∈ B( E0 )
vardır. E0 projeksiyon özelliğine sahip olduğundan E0 =B ⊕ B ⊥ olduğu göz
önüne alınırsa:
( )
⊥
X = h ( E0 ) = h (B+B ⊥ ) = h (B ) + h B⊥ ⊆ h (B ) + ⎡⎣h (B ) ⎤⎦ =K+K ⊥
X ⊆ K+K ⊥ ve K ∩ K ⊥ = {0} olduğundan X ⊆ K ⊕ K ⊥
Diğer yandan K ⊕ K ⊥ ⊆ X açıktır. Sonuç olarak X= K ⊕ K ⊥ elde edilir.
3.14. Teorem:
X projeksiyon özelliğine sahip olsun. K ∈B(X) için
πK : X → K
x= x1+ x 2 → πK ( x ) = x1
πK ⊥ : X → K ⊥
x= x1+ x 2 → πK ⊥ ( x ) = x 2
biçiminde tanımlı πK ve πK ⊥ band projeksiyondur ve πK ⊥ =I - πK dır.
İspat:
πK tanımından anlamlı , hipotezden x= x1+ x 2 yazılışı tek olduğundan iyi
tanımlıdır, dolayısıyla fonksiyondur.
37
πK ‘nın lineerliğini görelim.
Her x, y ∈ X için πK ( x + y ) = πK ( x ) + πK ( y ) olduğunu göstermeliyiz.
x, y ∈ X ise x = x1+ x 2 ve y= y1 + y 2 olacak şekilde x1, y1 ∈ K ve x 2 , y 2 ∈ K ⊥
vardır.
πK ( x + y ) = πK ( x1+ x 2 + y1+y 2 ) = πK ( x1 + y1 + x 2 +y 2 ) = x1 + y1 = πK ( x ) + πK ( y )
πK ’nın projeksiyon olduğunu görelim:
πK 2 = πK olduğunu göstermeliyiz.
πK 2 ( x ) = πK ( πK ( x ) ) = πK ( x1 ) = x1 = πK ( x )
πK ⊥ =I - πK olduğunu görelim:
Her x ∈ X için x= x1+ x 2 , x1 ∈ K , x 2 ∈ K ⊥
⇒ x 2 =x- x1
⇒ πK ⊥ ( x ) = x 2 = x- x1 =I ( x ) - πK ( x )
⇒ πK ⊥ ( x ) = (I − πK )( x )
⇒ πK ⊥ =I - πK
3.15. Teorem:
X projeksiyon özelliğine sahip olsun , K1 , K 2 ∈ B(X) için
i) K1 ∩ K 2 ve K1 + K 2 projeksiyon banddir.
ii) πK1∩K 2 = πK1 D πK 2 = πK 2 D πK1
iii) πK1+K 2 = πK1 + πK 2 - πK1∩K 2 dir.
38
İspat:
i) K1 , K 2 ∈ B(X) için K1 ∩ K 2 ∈ B(X) ve X projeksiyon özelliğine sahip
olduğundan K1 ∩ K 2 projeksiyon banddir.
K1 , K 2 ∈ B(X) için K1 + K 2 nin projeksiyon band olduğunu görelim.
K1 , K 2 ∈ B(X) alalım, h ‘ın örtenliğinden h( B1 )= K1 ve h( B2 )= K 2 olacak şekilde
B1, B2 ∈ B( E0 ) vardır. Ayrıca E0 projeksiyon özelliğine sahip olduğundan
B1+B2 projeksiyon banddir.
K1 + K 2 = h( B1 )+h( B2 )= h (B1 + B2 )
h ’ın anlamlılığından h (B1 + B2 ) X ‘de banddir. X projeksiyon özelliğine sahip
olduğundan h (B1 + B2 ) projeksiyon banddir. Sonuç olarak K1 + K 2 projeksiyon
banddir.
ii)
K1 ,
K 2 ∈ B(X)
için
K1 ∩ K 2
projeksiyon
band
olduğundan
X= K1 ∩ K 2 ⊕ (K1 ∩ K 2 ) yazılabilir.
⊥
Her x için
x ∈ X ise x = x1+ x 2 olacak biçimde x1 ∈ K1 ∩ K 2 , x 2 ∈ (K1 ∩ K 2 )
durumda x= x1+ x 2 , x1 ∈ K1 ve x1 ∈ K 2 , x 2 ∈ (K1 ∩ K 2 ) olur.
⊥
Her x için ;
πK1∩K 2 ( x ) = x1
(
)
πK1 D πK 2 ( x ) = πK1 πK 2 ( x ) = πK1 ( x1 ) = x1
olduğundan πK1∩K 2 = πK1 D πK 2 dır.
⊥
vardır. Bu
39
(
)
πK 2 D πK1 ( x ) = πK 2 πK1 ( x ) = πK 2 ( x1 ) = x1
iii) K1 + K 2 ‘in projeksiyon band olduğunu gördük.
K1 ⊥ K 2 olsun.
Her x için
x ∈ X ise x = x1+ x 2 olacak biçimde x1 ∈ K1 + K 2 , x 2 ∈ (K1 + K 2 ) vardır.
⊥
Buradan
x= x1+ x 2
,
x1 = u1 + u2
yazılabilir öyle ki
u1 ∈ K1 , u2 ∈ K 2 ve
x 2 ∈ (K1 + K 2 ) dir
⊥
⇒ x= u1 + u2 + x 2 : u1 ∈ K1 , x 2 ∈ (K1 + K 2 )
⊥
Ayrıca;
K1 ⊆ K1 + K 2 ⇒ (K1 + K 2 ) ⊆ K1⊥ olduğundan x 2 ∈ K1⊥ = K 2 ⊆ K1 + K 2
⊥
O halde
x= u1 + u2 + x 2 : u1 ∈ K1 , u2 + x 2 ∈ K 2 elde edilir.
πK1+K 2 ( x ) = x1 + x 2 = u1 + u2 + x 2
πK1 + πK 2 ( x ) = πK1 ( x ) + πK 2 ( x ) = u1 + u2 + x 2
Dolayısıyla πK1+K 2 = πK1 + πK 2 dır.
Keyfi K1 , K 2 ∈ B(X) için
(
)
(
)
K1 + K 2 = K1 ∩ K 2 ⊥ + K 2 ve K1 ∩ K 2 ⊥ ⊥ K 2 olduğu göz önüne alınırsa
πK1+K 2 = π
(K1∩K2⊥ )+K2
=π
(K1∩K2⊥ )
= πK1 D πK
(
+ πK 2
2
⊥
+πK 2
)
= πK1 I − πK 2 +πK2
40
= πK1 - πK1 D πK2 +πK2
= πK1 + πK2 - πK1∩K 2
3.16. Teorem:
P(X)
=
{πK : K X'de projeksiyon band}
kümesi
K1 ,
K 2 ∈ B(X)
için
πK1 ≤ πK2 ⇔ K1 ⊆ K 2 sıralamasıyla bir Boole cebiridir.
İspat:
P(X) ‘in latis olduğunu görelim.
K1 , K 2 ∈ B(X) için
πK1 ∧ πK 2 = πK1∩K 2 olduğunu gösterelim:
K1 ∩K 2 ⊆ K1 ⇒ πK1∩K 2 ≤ πK1
K1 ∩K 2 ⊆ K 2 ⇒ πK1∩K 2 ≤ πK 2
olduğundan πK1∩K 2 , πK1 ve πK2 için bir alt sınırdır. Alt sınırların en büyüğü
olduğunu görmek için başka bir alt sınır πC alalım. Bu durumda;
πC ≤ πK1 ⇒ C ⊆ K1
πC ≤ πK 2 ⇒ C ⊆ K 2 olur. Buradan C ⊆ K1 ∩K 2 elde edilir.
C ⊆ K1 ∩K 2 ⇒ πC ≤ πK1∩K 2
⇒ πK1 ∧ πK 2 = πK1∩K 2
πK1 ∨ πK 2 = πK1+K2 olduğunu görelim:
K1 ⊆ K1 + K 2 ⇒ πK1 ≤ πK1+K2
K 2 ⊆ K1 + K 2 ⇒ πK 2 ≤ πK1+K2
41
olduğundan πK1+K2 , πK1 ve πK2 için bir üst sınırdır. Üst sınırların en küçüğü
olduğunu görmek için başka bir üst sınır πC alalım.
πK1 ≤ πC ⇒ K1 ⊆ C
πK 2 ≤ πC ⇒ K 2 ⊆ C olur. Buradan K1 ve K 2 alt uzay olduğundan K1 + K 2 ⊆ C
elde edilir.
K1 + K 2 ⊆ C ⇒ πK1+K2 ≤ πC
⇒ πK1 ∨ πK 2 = πK1+K2
P(X) ‘ in dağılmalı latis olduğunu görelim:
π A , πB , πC ∈ P(X) için
π A ∧ ( πB ∨ πC ) = π A ∧ πB+C
= π A D ( πB + πC − πB∩C )
= ( π A D πB ) + ( π A D πC ) - π A D πB∩C
= ( π A D πB ) + ( π A D πC ) - π A ∩B∩C
Diğer yandan;
( πA ∧ πB ) ∨ ( πA ∧ πC ) = ( πA D πB ) + ( πA D πC ) - πA D πB D πA D πC
= ( π A D πB ) + ( π A D πC ) - π A ∩B∩C
olduğundan P(X) dağılmalı latistir.
{θ} , X∈ B(X) ve
πθ , π X ∈ P(X) olmak üzere;
Her A için πθ ≤ π A olduğundan πθ en küçük elemandır.
Her A için π A ≤ π X olduğundan π X birim elemandır.
Her K ∈ B(X) için π
K⊥
= πK ⊥ dir.
πK ⊥ πK nın tamlayanıdır. Gerçekten;
42
π
∧ πK = π
= πθ
π
∨ πK = π
+ πK - π
K⊥
K⊥
K ⊥ ∩K
K⊥
K ⊥ ∩K
=π
K⊥ + K
= πX
Sonuç olarak P(X) Boole cebridir.
3.17. Teorem:
ϕ : B(X) → P(X)
K → ϕ (K ) = πK dönüşümü Boole cebiri izomorfizmasıdır.
İspat:
ϕ ‘nin fonksiyon olduğunu göstermiştik, şimdi sırasıyla birebir ve örten
olduğunu gösterelim.
K1 , K 2 ∈ B(X) için ϕ (K1 ) = ϕ (K 2 ) olsun.
ϕ (K1 ) = ϕ (K 2 ) ⇒ πK1 = πK 2
⇒ πK1 ≤ πK2 ve πK 2 ≤ πK1
⇒ K1 ⊆ K 2 ve K 2 ⊆ K1
⇒ K1 = K 2
O halde ϕ birebirdir.
ϕ ‘nin tanımından örten olduğu açıktır.
ϕ ‘nin latis işlemlerini koruduğunu görelim.
K1 , K 2 ∈ B(X) için
ϕ (K 1 ∧ K 2 ) = ϕ (K 1 ) ∧ ϕ (K 2 )
ϕ (K1 ∧ K 2 ) = πK1∧K2
= πK1∩K 2
olduğunu göstermeliyiz.
43
= πK1 D πK 2
= πK1 ∧ πK 2
= ϕ (K 1 ) ∧ ϕ (K 2 )
ϕ (K 1 ∨ K 2 ) = ϕ (K 1 ) ∨ ϕ (K 2 )
olduğunu göstermeliyiz.
K1 , K 2 ∈ B(X) ve X projeksiyon özelliğine sahip olduğundan K1 + K 2
projeksiyon banddir. Dolayısıyla K1 + K 2 = (K1 + K 2 )
ϕ (K 1 ∨ K 2 ) = π
(K1 +K 2 )⊥⊥
= πK1+K2
= πK1 ∨ πK 2
= ϕ (K 1 ) ∨ ϕ (K 2 )
Son olarak , K ∈ B(X) için
( )
ϕ K ⊥ = ⎡⎣ ϕ (K ) ⎤⎦
⊥
olduğunu göstermeliyiz.
( )
ϕ K ⊥ = πK ⊥
= πK ⊥
= ⎡⎣ ϕ (K ) ⎤⎦
⊥
Sonuç olarak ϕ Boole cebri izomorfizmidir.
Sonuç:
h
B( E0 ) ←⎯→ B(X)
7ψ
7ϕ
P( E0 )
^
h
←⎯→ P(X)
⊥⊥
dir. Buradan
44
^
şekilde gösterilen dönüşümlerle h : ψ D ϕ izomorfizmi elde edilir. Yani P( E0 )
ile P(X) Boole izomorfiktir.
3.18. Teorem:
E0 projeksiyon özelliğine sahip. X ayrılabilir olsun. π ∈ P( E0 ) olmak üzere
^
h ( π )= π ' ∈ P(X) olsun. Bu durumda her x ∈ X için π (a x b) = a π '(x)b
dir [3].
İspat:
π ∈ P(E) ve R( E0 ) ≅ B( E0 ) olduğundan πB = π olacak şekilde bir B bandi
vardır. E0 projeksiyon özelliğine sahip olduğundan E0 = B ⊕ B⊥ olarak
yazılabilir. Şimdi her x ∈ X için
axb ∈ E
0
olacağından
axb = e + e
1
2
, e1 ∈ B,
e2 ∈ B⊥ olacak şekilde e1 , e2 vardır. X ayrılabilir olduğundan x = x1 + x 2 ve
ax b = e
1
1
,
ax b = e
2
2
olacak şekilde x1 , x 2 ∈ X vardır.
Bu durumda
π( a x b )= a x1 b = e1 , π⊥ ( a x b )= a x 2 b = e2 =0 olur.
Diğer yandan E0 projeksiyon özelliğine sahip olduğundan X de projeksiyon
özelliğine sahiptir. Dolayısıyla B ∈ B( E0 ) için h(B)=K ∈ B(X) ve X=K ⊕ K ⊥ dir.
^
Ayrıca h ( π ) (x) = π ' (x) ∈ K = h(B) = h( π ( E0 )) olduğundan h ‘ın tanımından
c^
f
d
g
dh( π)(x)g ∈ π ( E0 ) olur.
d
g
ed
hg
45
c^
f
c^
f
d
g
d
g
Buradan π ( ddh( π)(x)gg ) = 0 ve π ( ddh( π)(x)gg ) =
de
gh
de
gh
⊥
π( a x b ) = π( a x1 b + a x 2 b )
f
c^
f c^
g
d
g d
⊥
= π( ddh( π)(x)gg + ddh( π) (x)gg )
gh
de
gh de
c^
f
c^
f
d
g
d
g
⊥
= π( ddh( π)(x)gg ) + π( ddh( π) (x)gg )
de
gh
de
gh
= π( a π '(x)b + π ( ced( π ')⊥ (x)fhg )
= π( a π '(x)b + π ( a x 2 b )
= π( a π '(x)b )+ 0
= π( a π '(x)b )
= a π '(x)b
c^
f
d
g
dh( π)(x)g elde edilir.
d
g
de
gh
46
4. MERKEZ OPERATÖRLER
Bu bölümde vektör normlu X uzayı için merkez operatörler tanımı verilerek X
vektör normlu uzayı için Freudenthal Spektral Teoremi elde edilmiştir.
4.1. Tanım:
e ∈ E + olmak üzere x ∧ (e – x) = 0 olacak şekilde x ∈ E + varsa x ‘e e’nin
komponenti denir.
4.2. Tanım:
E Riesz uzayı, 0<x ∈ E
n
x = ∑ xi
ve
i=1
αi ∈ \ +
x1 , x 2 ,
xn x ‘in ikişer dik komponentleri olsun.
olmak üzere
n
s = ∑ αi xi ∈E elemanına x-adım
i=1
fonksiyonu denir.
4.3. Tanım:
E Riesz uzayı, T: E → E operatör olmak üzere her x ∈ E için Tx ≤ λ x olacak
şekilde bir λ ∈ \ + varsa T ‘ye merkez operatörü denir. Merkez operatörlerin
kümesi Z(E) ile gösterilir.
4.4. Tanım:
X ayrılabilir vektör uzayı, T: X → X operatör olmak üzere her x∈X ve bir
λ ∈ \ + için aT(x)b ≤ λ a x b oluyorsa T ‘ye
a b - merkez operatörü denir. a b -
merkez operatörlerin kümesi Z(X) ile gösterilir.
47
4.5. Tanım
e ∈ E+ alalım. Her ε >0 için α ε ≤ α iken
ax
α
b
− x ≤ ε ⋅ e olacak şekilde α ε
varsa x α neti x ‘e br yakınsaktır denir ve x= br − lim x α ile gösterilir.
α
4.6. Tanım
Eğer ( x α − xβ ) sıfıra br-yakınsak ise x α netine br-Cauchy denir.
X br-tam , E Dedekind tam Riesz Uzayı olsun.
h
B( E0 ) ←⎯→ B(X)
7ψ
7ϕ
P( E0 )
^
h
←⎯→ P(X)
diyagramını oluşturmuştuk. Şimdi bunun yardımıyla
Z( E0 ) ile
Z(X)
arasındaki ilişkiyi oluşturacağız.
4.1. Freudenthal Spectral Teorem:
E Dedekind tam Riesz Uzayı olsun. 0<x ∈ E olmak üzere her y ∈ IX için
0 ≤ y − un ≤
1
x ve un ↑ y olacak şekilde un x –adım fonksiyonu vardır.
n
4.2. Teorem
X vektör normlu uzay, E Dedekind tam Riesz uzayı olmak üzere
F : Z ( E0 ) → Z(X) fonksiyonu vardır.
48
İspat:
E Dedekind tam olduğundan Lb (E) Riesz uzayıdır ve I birim dönüşümünün
ürettiği ideal Z(E) dir. Dolayısıyla Freudenthal Spectral Teoreminden her
0 ≤ π∈ Z (E )
1
0 ≤ π − πn ≤ I ,
n
için
πn ↑ π
olacak şekilde πn I - adım
fonksiyonları vardır.
πn I-adım fonksiyonu ise Pi ler I birim operatörünün ikişer dik komponentleri ,
λi ∈ \ + ,
k
∑P = I
i=1
i
k
olmak üzere πn = ∑ λiPi olarak yazılabilir. Burada
i=1
k
∑P = I
i=1
i
olduğundan Pi ∈ P( E0 ) olur.
k
k
i=1
i=1
ϕ fonksiyonu yardımıyla πn ' = ∑ λiϕ(Pi ) = ∑ λiPi '
, Pi ' ∈ P(X) olmak üzere
πn ' elde edilir.
Diğer yandan Pi ' ∈
P(X) , Pi ∈ P( E0 ) olmak üzere her x∈X için
aP '(x)b = P(a x b) ≤ a x b
olduğundan
i
i
olduğundan
n
∑λP ' = π
i=1
i i
n
Pi ' ∈
Z(X) dir. Z(X) vektör uzayı
' ∈ Z(X) dir.
Şimdi π ' : X → X
x → π '(x) = br − lim( πn ') tanımlayalım.
π ' nin anlamlılığını gösterelim.
Öncelikle m<n için 0 ≤ πn − πm ≤ π − πm ≤
Ayrıca her x ∈ X için
1
I olduğunu söyleyelim.
m
49
a
k
c k
f k
πn '(x) = dd ∑ λiPi '(x)gg = ∑ λi Pi '(x) = ∑ λ iP(
x ) = πn x dir.
i
i=1
ed i=1
hg i=1
b
a
b
ab
ab
O halde her x ∈ X için
aπ
n
'(x) − πm '(x)b = a( πn '− πm ')(x)b = ( πn − πm )a x b ≤
1
a x b dir. Bu da πn '(x) in
m
br-Cauchy olduğunu gösterir. X br-tam olduğundan br − lim( πn ') vardır. π '
anlamlıdır.
Limitin özelliklerinden π ' nün iyi tanımlı ve lineerdir.
Bu tanımladığımız π ' Z(X) ‘in elemanıdır.
Gerçekten;
aπ '(x)b = alim π
n
'(x)b = lim a πn '(x)b ≤ lim(λ ⋅ a x b) = λ ⋅ a x b dir.
O halde π ' ∈Z(X) dir.
Bulunan bu π ' elemanı seçilen diziden bağımsızdır.
1
1
0 ≤ π − πn ≤ I , πn ↑ π ve 0 ≤ π − sn ≤ I sn ↑ π olacak şekilde ( πn ) ve ( sn )
n
n
I - adım fonksiyonlarının dizisini alalım.
a π '(x) − s '(x)b = a(π '− s ')(x)b
≤ π − s axb
≤ π − π axb + π − s axb
n
n
n
n
n
n
n
≤
1
1
x +
x
n
n
=
2
x
n
n
ab ab
ab
olduğundan br-lim ( πn '(x) − sn '(x) )=0 bulunur. Bu ise
br-lim ( πn '(x) )= br-lim ( sn '(x) ) olmasını verir.
50
Keyfi π ∈ Z ( E0 ) için π = π+ − π− biçiminde tek türlü yazılabilir.
Şimdi
F: Z ( E0 ) → Z(X)
π
→ F( π ) = ( π+ )'− ( π− )'
biçiminde tanımlayalım. F nin
anlamlılığı Z(X) in vektör uzayı olmasından, iyi tanımlılığı ise seçilen diziden
π ' nün bağımsız olmasından kolayca elde edilir.
4.6. Tanım:
x ∈ X , a x b > 0 olmak üzere a y b ∧ ( a x b – a y b ) = 0 olacak şekilde y ∈ X varsa y
‘ye x’nin
a b − komponenti denir.
4.7. Tanım:
E Riesz uzayı, 0< a x b ∈E , x1 , x 2 ,
xn x ‘in ikişer dik komponentleri olsun.
n
n
i=1
i=1
x = ∑ xi ve αi ∈ \ + olmak üzere a z b = ∑ αi a xi b sağlayan z ∈X elemanına
x-adım fonksiyonu denir.
4.3. Teorem:
x∈X , (an ) ⊆ E + artan bir dizi, (an ) ≤ a x b (n∈ ` ) olmak üzere her n∈ ` ve
n<m için 1) a x n b = aan b
2) a x − xn b = a x b − an
3) a xm − xn b = an − am olacak biçimde (xn ) ⊆ X vardır.
İspat
(an ) ⊆ E + artan bir dizi, (an ) ≤ a x b (n ∈ ` ) olsun.
51
ab
ab
1) bn = x − an , b0 = x olarak tanımlayalım.
ab
n=1 ⇒ b1 = x − a1
ab
⇒ b1 + a1 = x
au b = a , a v b = b olacak şekilde u ,v ∈ X vardır.
b = b − b + b yazalım. Bu durumda a v b = b − b + b olur.
a v b = b − b + b ⇒ v = u + v , au b = b − b , a v b = b olacak şekilde
⇒ x = u1 + v1 ve
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
u2 ,v 2 ∈ X var.
b2 = b2 − b3 + b3 yazılırsa;
av b = b
2
− b3 + b3 ⇒ v 2 = u3 + v 3 ,
2
au b = b
3
2
− b3 ,
av b = b
3
3
olacak şekilde
u3 ,v 3 ∈ X
Benzer şekilde parçalanma yapılırsa ;
v n = un+1 + v n+1 ,
au b = b
n +1
n
− bn+1 ,
av b = b
n +1
n +1
olacak şekilde un+1,v n+1 ∈ X
olduğu görülür. O halde
n
x = u1 + v1 = u1 + u2 + v 2 = ∑ uk + v n olur.
k =1
n
xn = ∑ uk seçelim. Bu durumda x= xn + v n olur. (*)
k =1
n
n
c n f
xn = dd ∑ uk gg ≤ ∑ uk = ∑ ( bk −1 − bk ) = b0 − bn = an
de k =1 gh k =1
k =1
a b
a b
Ayrıca
a xb = a x
n
b a b a b
ab
teoreminden a x b + a v b = a x b = a
+ v n ≤ xn + v n ≤ an + bn = x dir.
Sıkıştırma
n
n
n
+ bn
elde edilir. Buradan
a x b = aa b elde edilir.
n
n
a
b a
2) (*) dan x − x n = x n + v n − xn
b = av b
n
ab
= bn = x − an bulunur.
52
3) n<m için
a
m
m
c m
f
x m − x n = dd ∑ uk gg ≤ ∑ uk = ∑ ( bk −1 − bk )
de k =n+1 gh k =n+1
k =n +1
a b
b
= b 0 − bm + bn − b 0 =
= am − an
a b a b a
b
a x − x b = a − a elde edilir.
= xm − xn ≤ xm − xn
sıkıştırma teoreminden
m
n
m
n
4.4 Teorem:
X ayrılabilir vektör uzayı, x∈X , 0< a x b ∈E olmak üzere her y ∈ Ix için X içinde
{zn }
br
x-adım fonksiyonu vardır öyle ki; zn ⎯⎯
→y.
İspat:
y ∈ Ix ⇒ a y b ≤ λ ⋅ a x b
⇒ a y b ∈ Iax b
Freudenthal Spectral teoreminden en az bir un
öyle ki;
0 ≤ a y b − un ≤
a x b -adım
fonsiyonu vardır
1
a x b ve un ↑ a y b dir.
n
un a x b -adım fonsiyonu ise e1 , e2 , …, ek ∈ E a x b ‘in ikişer dik komponentleri,
k
a x b = e1 + e2 + ... + ek , αi ∈ \ + olmak üzere un = ∑ αiei dir. X ayrılabilir
i=1
olduğundan x = x1 + x 2 + ... + xk ve
vardır.
ax b = e
i
i
olacak şekilde x1,x 2 ,...,xk ∈ X
53
Sonuç olarak;
k
k
i=1
i=1
un = ∑ αiei = ∑ αi a xi b , xi ler x ’in komponenti ve 0 ≤ un ≤ a y b bulunur.
Buradan yardımcı teoremden
az b = u
n
n
ve
ay − z b = ayb − u
zn ∈ X vardır. O halde 0 ≤ a y − zn b = a y b − un ≤
br
zn ⎯⎯
→ y dir.
n
n
olacak şekilde
1
a x b elde edilir.
n
Yani
54
KAYNAKLAR
1. Aliprantis, C.D., Burkinshaw, O., “Positive Operators”, Academic Press,
Orlando, 3-13, 29-36 (1985).
2. Luxemburg, W.A,J.,Zaanen, A.C., “Riesz Spaces I”, North-Holland,
Amsterdam, 3-5, 12-15, 105-107, 116-119 , 171- 175 (1971).
3. Kusraev, A.G, “Dominated Operators”, Kluwer Academic , Netherlands,
45-47, 49 (2000).
55
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: Bircan, Funda Sezen
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 19.01.1986 Ankara
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (312) 250 73 74
e-mail
: [email protected].
Eğitim
Derece
Lisans
Eğitim Birimi
Ankara Üniversitesi/ Matematik Bölümü
Mezuniyet tarihi
2007
Lise
Fethiye Kemal Mumcu Anadolu Lisesi
2003
Yabancı Dil
İngilizce