MAT121 ANALİZ I Problemler 2

MAT121 ANALİZ I
Problemler 2
22 Ekim 2015
Aşağıdaki soruları reel sayıların tamlık aksiyomunu kullanarak yanıtlayınız. Bir soruyu
yanıtlarken, sınıfta ispatladığımız teoremleri veya o sorudan önceki soruların ifadelerini kullanabilirsiniz.
1. TANIM: Reel sayılarn boş ol mayan A ve B alt kümeleri için A + B, A − B ve A · B
kümeleri
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}
A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}
ifadeleriyle tanımlansın.
Aşağıdaki şıklarda verilen A ve B kümeleri için A + B, A − B ve A · B kümelerini
hesaplayınız.
(a) A = {1, 2, 3}, B = {−1, −2, −1/2, 1/2}
(b) A = B = [0, 1]
2. Reel sayıların boş olmayan bir A alt kümesi verilsin. Aşağıdaki durumlar her zaman
doğru mudur? Değilse karşıt örnek veriniz.
(a) A + A = {2} · A ;
(b) A − A = {0} ;
(c) Her x ∈ A · A için x ≥ 0 dır.
3. Aşağıdaki her bir şıkta, A ve B reel sayıların boş olmayan alt kümeleridir.
(a) A kümesi alttan sınırlı olsun, B = {x : −x ∈ A} olsun. Gösteriniz ki B üstten
sınırlıdır.
(b) A ve B kümeleri bir önceki şıkta verilen kümeler olsun. Gösteriniz ki A kümesi
infimuma sahiptir ve inf A = − sup B ’dir.
(c) (infimum yaklaşım özelliği) Eğer A kümesi alttan sınırlıysa ve i = inf A ise, gösteriniz ki, her ε > 0 sayısı için bir a ∈ A bulmak mümkündür; öyle ki, bu a elemanı
i≤x<i+
özelliğine sahiptir.
(d) A üstten sınırlı olsun ve B alttan sınırlı olsun. Bu durumda gösteriniz ki
sup(A − B) = sup A − inf B
dir.
(e) Eğer A ve B alttan sınırlıysa gösteriniz ki inf(A + B) = inf A + inf B ’dir.
(f) Eğer A ve B üstten sınırlıysa sup(A + B) = sup A + sup B eşitliği sağlanmalı mıdır?
Neden?
(g) Eğer A ve B kümeleri üstten sınırlıysa sup(A · B) = sup A · sup B eşitliği sağlanmalı
mıdır? Neden?
(h) Eğer A ve B kümeleri negatif olmayan sayılardan oluşuyorsa ve üstten sınırlıysa,
gösteriniz ki sup(A · B) = sup A · sup B eşitliği sağlanır.
4. Tamsayıların her üstten sınırlı alt kümesinin supremumu kümeye aittir. Gösteriniz.
5. Tamsayıların alttan sınırlı herhangi bir alt kümesi, en küçük elemana (minimuma) sahiptir. Gösteriniz.
6. (a) Gösteriniz ki r2 = 3 eşitliğini sağlayan bir r ∈ Q yoktur.
(b) Gösteriniz ki, E = {x ∈ R : x2 < 3} kümesi için, sup E = s olmak üzere s2 = 3
eşitliği sağlanır.
7. Gösteriniz ki,
(−1, 1) = {x ∈ R : −1 < x < 1}
kümesi için
(a) sup(−1, 1) = 1 ’dir.
(b) inf(−1, 1) = −1 ’dir.
8. {1 − 1/n : n ∈ N} kümesinin supremumunu ve infimumunu (varsa) bulunuz.
9. Reel sayıların A ve B ⊂ R kümeleri verilsin; öyle ki her a ∈ A, b ∈ B için a ≤ b olsun.
Bu durumda aşağıdaki ifadelerin birbirlerine denk olduklarını gösteriniz.
(i) Her a ∈ A ve her b ∈ B için Bir m reel sayısı bulmak mümkündür; öyle ki, bu m
sayısı a ≤ m ≤ b şartını sağlayan biricik reel sayıdır.
(ii) sup A = inf B.
(iii) Verilen her ε > 0 sayısı için b − a < ε olacak şekilde a ∈ A ve b ∈ B sayıları bulmak
mümkündür.
10. Verilen A ve B kümeleri reel sayıların boş olmayan iki alt kümesi olsun. Aşağıdaki
iddiaları doğru ise kenıtlayınız, yanlış ise karşıt örnek vererek çürütünüz.
(i) Eğer A ⊆ B ise ve B üstten sınırlıysa, bu durumda A da üstten sınırlıdır.
(ii) Eğer A ⊆ B ise ve B alttan sınırlıysa, bu durumda A da alttan sınırlıdır.
(iii) Eğer B ’nin her elemanı, A için bir üst sınırsa, o zaman A ’nın her elemanı B için
bir alt sınırdır.
(iv) A kümesinin üstten sınırlı olabilmesi için gerek ve yeter koşul A ∩ Z ’nin üstten
sınırlı olmasıdır.
11. S ve T , R’nin boş kümeden farklı ve sınırlı alt kümeleri olsun. S ⊆ T ise inf T ≤ inf S ≤
sup S ≤ sup T olduğunu gösteriniz.
12. sup(S ∪ T ) = max(sup S, sup T ) olduğunu gösteriniz.
13. A ve B reel sayılar kümesinin boş kümeden farklı, sınırlı alt kümeleri olsun. A ∩ B 6= ∅
ise sup(S ∩ T ) ≤ sup A olduğunu gösteriniz.