.. J x3 +ı

olur. x = a alınırsa r'Ca)
An-ı; bu şekilde devamla (Tl
türevalınır ve burada x = a yazılırsa r(n-ı}(a) = (n - 1)111 i CICI
pratik metot, paydadaki ifade birinci dereceden bir tek terimin ku
yazılması durumunda geçerlidir.
..
3
i
x
+ ı dx
•
\A
integra umı. hesap iayınız.
o için 6 = A bulunur. x = - 1 için C = 9 olarak bulunur. x e,
huricinde, herhangi bir değer veririz ve elde edilen denklemden B yi
i
ı alınırsa
5 + 20 + 6 =
A
B
C
D
x3 + ı = A(x - ı)3 + B(x - ı? + C(x - ı) + D
=
alınırsa C
x6
= lnl--Ix+ı
2 bulunur. Türev alırsak
= 3 bulunur.
=
ı alınırsa 6 = 2B :::}B
= 3 bulunur.
'I't. /
J
x3+1
(x - 1)4 dx =
J
=
1
+3
3
J
x+2
1
(x _ 1)2 dx
+3
J
1
(x _ 1)3 dx
3
2
= In ix - 11- (x _ 1) - 2(x _ 1)2 - 3(x _ 1)3
+2
J
A
B
C
--,--,---,= - + -2 + -x2(x + 1)
X
x
X+1
1
(x _ i)
+C
linde basit kesirlere ayrılır. Buradan
2
x + 2 = Ax(x + ı) + B(x + 1) + Cx
ılır. x = O için B = 2 ve x = - ı için C = 1 bulunur. A yı bulmak için
ı alınırsa (B = 2 ve C = ı olduğunu biliyoruz)
elde edilir.
2
.. J5X +20X+6
3 2 2 d·
x + x +x
ll.
x + 2 ) d'x ıntegra i'ını. h esap iayınız.
2(
x x+ ı
üzüm: Bu da ii şıktakine benzer bir durumdur. O halde
ı bulunur. Dolayısıyla
(x _ 1) d»
+c
Tekrar türev alırsak
6=6A
olur. Buradan da A
9
-x+ı
Tekrar türev alınırsa
6x = 6A( x - ı) + 2B
olur. x
+ 9/ ~
(x+ı)2
9
(x+ı)
+c
=6lnlxl-lnlx+ıl-
3x = 3A(x - ı? + 2B(x - ı) + C
=ı
B = - ı
5X2 + 20x + 6 dx = 6/ dx - /
dx
x(x+ı)2
x
(x+ı)
2
olur. x
=}
!
.
şeklinde basit kesirlere ayrılır. Buradan
ı için D
4A + 2B + C
Ilöylece
-:-(x---ı-)4= (x - ı) + (x - ı)2 + (x - ı)3 + (x - ır
=
-1-(x+ı)2
iIII'i it kesirlere ayrılır. Buradan da
Paym derecesi paydanın derecesinden küçük olduğumlun
x3+ı
yazılır. x
IJ
(:ı:+ı)
.ı:(x+ı)2-=;
ii
çözüm:
yapılmaz.
+6
5x2 + 20x + 6 = A(x + ı)2 + Bx(x + ı) + Cx
J
4.6.5. Ornek: i.
S.c:.! i 203;
X
ıntegra lini
ını h esap iayınız.
3 = 2A
+4 + ı
=}
A = -
ı
çözüm: x3 + 2x2 + X = x(x + ı)2 dir. Bu ne birinci nede ikinci dururu
ile ilgilidir. Ancak her iki durumu beraber bulundurur. Dolayısıyla
290
291
1 2
x +
d xx2 (x + ı)
-
-
= -
1 -+ 21-+ 1
dx
x
In
dx
x2
·I
I·
.1·:1 -i- ~1;2 i .ı; -t 2
(.1'41)(x2+2)dx=.
(Ü
x i i
=
2
ixl- -x + In ix + 11-1
j'
ılr
arctan z
xd»
x2+2
i i i
J':'!
1
+ 21n Ix2 + 21 + c
elde edilir.
3. q(x), birbirinden farklı ve çarpanlara
polinomların çarpımı olarak yazılırsa, yani
(6.i =
q(x)
=
bL -
4aiCi
r(x)
q(x)
-=
ayrılamayan
+ bıx + cı)(a2x2 + b2x + C2)"
(aıx2
~d» integralini hesaplayınız .
ikinet
•1'
·(anx2
+ bl/.I' I,
< O) ise
Aıx + Bı
(aıx2 + bço: + cı)
+
A2x + B2
+ ... + 2A"T i~U
(a2x2 + b2x + C2)
(anx -ı b,,;ı, i
şeklinde basit kesirlere ayrılır. Katsayılar bulunduktan sonra integral Iı
4 . 6 ..6 O..rne:k'
çözüm:
x
4
1
3
x
I.
2
+
x +2 X + 2 d'X
4
x + 3x + 2
+ 3x + 2 =
2
(x + 2)(x2
2
ıntgera I·mı. h esap iayını,
+ ı) olduğundan
2
3
(x2+ı)(x2+2)
x2+ı
(A
+ x) (4 +
x2)
2- 2
= --
A
B
Cx+D
+-- +-- 2
+x
x
4
+x
./')(4
I(~I,
+ x2) + B(2
+ x2) + Cx(4
- x)(4
- x2)
+ D(4
- x2)
) için A = ~; x = - 2 için B = ~; x = O için D = olur.
i olduğundan x e, - 2, O, 2 haricinde, keyfi bir değer vererirsek
ıluuur. O halde istenen integral
dx
o,.:.!
J(~ i :ı;)(4+x2)
=
~1~ ~1~ - ~1~
+
8
2-x
ı
- -In
8
8
2+x
2
ı
12 - xi + -In
12 + xl8
4+x2
ı
x
-arctan 4
2
+c
+ C)x3 + (B + D)x2 + (2A + C)x + ('lU.ı
yazılır. Bu eşitliğin olması için
( i). çarpanlara ayrılamayan
A+c=ı
B+D=ı
2A+ C = ı
2B+D = 2
olmalıdır. Birinci ile üçüncü, ikinci ile dördüncü denklem ort/ll.
çözülürse A = O, C = ı, B = ı ve D = O olarak bulunur. Dolayısıyln
292
x2
Iwıil kesiriere ayrılır. Gerekli düzenleme yapılarak
x2+2
şeklinde basit kesirlere ayrılır. Bu katsayıları bulmak için Belirsiz ,. ii!
Teoremi uygulanacaktır. Paydalar eşitlenip gerekli düzenlemeler yaprlu ii
+ x2 + X + 2 =
)(2
-----
1
x + x + X + 2 = Ax + B + ---:::--Cx + D
...,.......,--...,....,....-::----:-
x3
x4 = (2 - x)(2 + x)(4 + x2) olduğundan basit kesirlere
tıpılırken 1. ve 3. durumdaki kuralları beraber uygulayacağız.
l(j
i
(I,
lınde, yani, q(x)
=
1)[1'111
=
2
(ax
Aıx + Bı
(ax2 + bx + c)
ikinci dereceden
+ bx + c)k ise
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
bir polinomun
tam
AkX + Bı;
+ ... + -....,...:.:..._----.:.~
(ax2 + bx + c)k
kesirlere ayrılır. Katsayılar bulunduktan sonra integral alınır.
x5 - x4
1
+ 4x3
(x2
-
4x2
+ 2)3
+ 8x
- 4
dx
integralini
293
'" ..
(.ozum:
4
3
2
+
4x - 4x + 8x - 4
----------~------=
2
(x + 2)3
5 -
x
Ax
(x2
+ B + L'x + II , F:r
+ 2) (x2 + 2)2 (.1'.'
i
i
i (I/I
4
Xli -
/
x
2
3
+ 4x2
(x
-
4x
B
+ 8x
= - ı,
=/
- 4 dx
+ 2)3
= O,
C
D
= O,
x-I
dx
(x2 + 2)
+/
+
v0
+ 21- -aretan
2
ii Iııil
2
elde edilir.
/
3x
-
+ 2x 2 -
+5
X
~
(;r~,
v0
I
,
") .i
iim:
Alıştırmalar
du
1
u
----:- = -arctan2
2
a +u
a
a
!::::ı.
n
'l
•
dx
n,..,
ifadeleri basit kesirlere ayırınız.
.
3x2 - 2x +4
(x - 2)(x _ ı)2
x2 + 2x +
LV.
x3(X2
i.
..
n.
ı
ı
x(x - ı)(x
'"
+ ı)
2x+
I
i
+ 20x + 60
ın. (x _ ıyıl
v. fx2
+ 3x + 4)2(3x2
_ 3x
.
i.
.
IV.
..J
JX+2d
-x
x+ı
J
dx
(x - ı)3(x
u.
+ ı)
v.
J
_ dx
2x3 - x2
dx
x3(x _ ı)
'" J
.J
ın.
VI.
2
x
_:l
x3
=
1
harctan
+ 7p
2. Aşağıdaki integralleri hesaplayını~.
_ dX
< O olduğundan çarpanlara ayrılamaz.
=
-
2(x2
=2
x
+ ı)2(x2 + 2x + 5)
+c
.
I·ını. hesap iayınız.
ıntegra
,.,..,
i
11 +
11 +
2
dx
2x2
.
= 400 - 8·60 = - 80
Iınlll"
.
_, dx
~4
ııılıni kullanacağız.
.1. ( rnek: ı.
ı. Aşağıdaki
x.
dx
o
!::::ı.
+ 2P
__
1
)2( x 2 +1 )2 dx
= b2 - 4ac 2: ise rasyonel fonksiyonların integralini hesaplarken
IAllıııUz ı. ve 2. madde uygulanır. Eğer !::::ı. < O ise bu integralleri nasıl
ılııvilcağımızı aşağıdaki örneklerde göreceğiz. Burada
i iBI'!
4.cd.1
(x2
+
2x
I
i . , + ~.
( x-ı
i
4xdx
(x2 + 2)3
xdx
/
dx
= / x2 + 2 - x2 + 2
1
= -Inlx
2
= 4,
E
3
4X2 - 8x
viii.
i
+ (4A + 2C + E)x + (4B + 2/)
= ı,
x4
:1"1 -
2,x
şeklinde basit kesirlere ayrılır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa
5
4
3
2
x - x + 4x - 4x + 8x - 4 = Ax5 + Bx4 + (4A + C)x3
olur. Buradan A
Dolayısıyla
3x + LO d»
i -7x + 2
x2
(x
2y5
dx
+ ıox + 30)
dx
+ (~O)2
ıox
-
en +
2
30
dx
5)2
+ ()5)2
x+5
h
y5
+c
ılıuuk bulunur.
3x+5
-
x2
-
dx
X
+ı
li.
i
x2
+dx4x + 9
. tegra I"ını hesaplayınız.
ın
Cözüm:
!::::ı. < O olduğundan
rasyonel fonksiyonların
integralinden
ii ii anam ay ız. Paydadaki ifadeyi iki kare toplamı olarak yazalım.
rı
295